UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A.

UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ TEZÃ DE DOCTORAT CONDUCÃTOR ªTIINÞIFIC PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. LECA CONSTANÞA 9

UNIVERSITATEA OVIDIUS CONSTANÞA FACULTATEA DE MATEMATICÃ ªI INFORMATICÃ ANALIZA ªI APROIMAREA SOLUÞIILOR ECUAÞIILOR HAMMERSTEIN CONDUCÃTOR ªTIINÞIFIC PROF. UNIV. DR. DAN D. PASCALI DOCTORAND IRINA A. LECA CONSTANÞA 9

CUPRINS INTRODUCERE..... CAPITOLUL I: ECUAÞIA INTEGRALÃ HAMMERSTEIN. Clase de oeratori itegrali ºi ecuaþii itegrale.....4.. Ecuaþia Hammerstei.....5.3. Metode de rezolvare a ecuaþiei Hammerstei.....6 CAPITOLUL II: OPERATORUL DE SUPRAPUNERE (NEMITKY).. Codiþii Carathéodor.....8.. Cotiuitatea oeratorului de surauere...... Saþii Lebesgue...... Saþii Sobolev....3. Mootoia oeratorului de surauere... 5.4. Diereþiabilitatea oeratorului de surauere... 9.5. Poteþialul oeratorului de surauere... CAPITOLUL III: METODE TOPOLOGICE 3.. Oeratori de ti mooto... 3 3.. Oeratori seudomootoi... 6 3.3. Oeratori de ti (M)... 9 3.4. Oeratori mãrgiiþi ughiular... 34 3.5. U grad toologic de ti (S) etru oeratori Hammerstei... 4 CAPITOLUL IV: EISTENÞA SOLUÞIILOR ECUAÞIEI HAMMERSTEIN 4.. Ecuaþii cu oeratori de ti (M)... 48 4.. Ecuaþii cu oeratori mãrgiiþi ughiular... 5 4.3. Metode de seudomootoie... 56 4.4. Eisteþa soluþiilor ecuaþiei Hammerstei î saþii Baach slab comlete... 58 4.5. Alicaþii oteþiale... 6 4.6. Eisteþa soluþiilor ecuaþiei Hammerstei î saþii Baach cu bazã Schauder... 64 CAPITOLUL V: APROIMAREA SOLUÞIILOR ECUAÞIEI HAMMERSTEIN 5.. Aroimarea soluþiilor ecuaþiei Hammerstei cu alicaþii de ti (C)... 67 5... Alicaþii de ti (C)... 67 5... Rezolvarea aroimativã a ecuaþiei Hammerstei... 7 5.. Aroimarea soluþiilor ecuaþiei Hammerstei cu alicaþii acretive... 75 5... Alicaþii acretive... 75 5... Teoreme de covergeþã etru alicaþii lischitziee... 79 5..3. Teoreme de covergeþã etru alicaþii mãrgiite... 8 BIBLIOGRAFIE CRONOLOGICÃ... 83 BIBLIOGRAFIE ALFABETICÃ... 88 NOTAÞII... 93

INTRODUCERE Ecuaþia itegralã Hammerstei are orma: u( ) k(, ), u( ) d w( ) ude R este u domeiu cu mãsurã -iitã. Nucleul k : R ºi ucþia : R R sut mãsurabile. Notâd ri K oeratorul liiar itegral Kv ( ) k(, ) v( ) d, umit ºi oeratorul ucleu (kerel), iar ri N oeratorul Nemitsk asociat ucþiei, adicã Nu N u=, u, ecuaþia Hammerstei se va scrie oeratorial: u KNu w sau ( I KN) u w. Ecuaþiile itegrale Hammerstei au ost studiate de umeroºi autori ºi au ost uul di domeiile cele mai imortate de alicare a metodelor aalizei ucþioale eliiare ºi î articular a teoriei oeratorilor eliiari de ti mooto. Primele rezultate de solvabilitate uicã a ecuaþiei au ost obþiute î 93 de Hammerstei [] cu autorul metodelor variaþioale. Î rezolvarea ecuaþiei Hammerstei au ost alicate dierite metode: metode toologice, metode variaþioale, metode de mootoie, metode de ozitivitate, metode umerice, metode sectrale etc. Alegerea celei mai bue metode deide de saþiul de ucþii î care cãutãm soluþia, determiat de rorietãþile ucþiilor k ºi. Scoul lucrãrii de aþã este studiul soluþiilor ecuaþiei Hammerstei î dierite ioteze etru saþiul ºi oeratorii K ºi N. Metodele de rezolvare abordate sut metode de mootoie ºi metode de aroimare a soluþiilor. Prima alicare a cocetului de ecuaþie cu oeratori mootoi ecuaþiilor itegrale Hammerstei a ost acutã imlicit de Golomb [] î 935 ºi elicit de Vaiberg î 956. Metodele de mootoie au ost alicate cu succes etru oeratorii K ºi N î saþii Hilbert de Dolh ºi Mit ([4], 963) ºi Koloder ([6], 964). Ulterior, teoria oeratorilor mootoi alicatã ecuaþiilor Hammerstei î saþii Baach a ost utilizatã de Ama ([, ], 969), Brezis ([9], 968), Browder ºi Guta ([], 969), Browder, De Figueiredo ºi Guta ([3], 97), Petrsh ºi Fitzatrick ([7], 97). Pricialele lucrãri de reeriþã asura ecuaþiilor Hammerstei sut moograia Pascali-Sburla ([36], 978) ºi tratatul lui Zeidler ([48], 99). Teza este structuratã î 5 caitole. Î rimul caitol acem o scurtã icursiue î clasa oeratorilor itegrali, reliearea echivaleþei ecuaþiilor itegrale Hammerstei cu roblemele semiliiare ºi deiirea ecuaþiei Hammerstei oeratoriale. Sut eumerate câteva metode de rezolvare ale ecuaþiei Hammerstei. Î caitolul al doilea studiem oeratorul de surauere (Nemitsk). Porid de la deiiþiile ucþiei Carathéodor, acem o descriere a cotiuitãþii ºi mãrgiirii

oeratorului Nemitsk e saþiile Lebesgue ºi Sobolev. O ateþie deosebitã este acordatã mootoiei oeratorului Nemitsk. Sub dierite ioteze de mootoie etru am obþiut rorietãþi sulimetare ale oeratorului Nemitsk, ublicate î lucrarea di 7 [Leca, 9]. Cea mai imortatã ditre acestea are loc câd este strict crescãtoare ºi coercivã. Î aceste codiþii oeratorul de surauere N, geerat de, este u oerator de ti (S). Demostrarea acestui at ublicatã î [Leca, 9] este o sitezã a demostraþiilor aterioare [36,74]. Î îcheierea caitolului este discutatã de asemeea diereþiabilitatea ºi oteþialul oeratorului Nemitsk. Caitolul al treilea descrie structura celor mai imortate clase de alicaþii care e vor uriza cadrul teoretic etru studiul ecuaþiilor Hammerstei: alicaþii de ti (M), mãrgiit ughiulare ºi seudomootoe. Î lucrarea di 9 [Leca, 93] am olosit la stabilirea rerezetãrii oeratorilor liiari mãrgiiþi ughiular, datorate lui Browder ºi Guta ([], 969), metoda suer-regularizãrii elitice, î orma mai geeralã datã de cãtre Berkovits [7] î 3. Acest rocedeu reduce ivestigarea uor ecuaþii eliiare e saþii Baach searabile la studiul uor robleme echivalete e saþii Hilbert. Î îcheierea caitolului vom rezeta o etesie a gradului toologic e saþii Baach reale releive searabile etru alicaþiile Hammerstei de orma T I KN ude oeratorii K ºi N sut de ti (S). Urmâd abordãrile datorate lui A.G.Kartsatos I.V. Skrik (999) ºi J. Berkovits (6) am itrodus, î lucrarea [Leca, 9] di 8, u grad toologic de ti (S), gradul Hammerstei D N, cu autorul cãruia am stabilit o geeralizare a riciiului Lera-Schauder e care l-am alicat ecuaþiei Hammerstei u KNu. Î caitolul al atrulea vom studia eisteþa soluþiilor ecuaþiei Hammerstei abstracte u + KNu = î diverse ioteze iterdeedete etru, K ºi N. Astel, saþiul este, e râd, u saþiu Baach geeral, releiv, slab comlet sau cu bazã Schauder, N o alicaþie liiarã de ti (M), emãrgiitã, oteþialã sau seudo-mootoã, iar K u oerator liiar, mãrgiit ughiular, tare mooto sau simetric. Reveid la teorema Browder-Guta, uui oerator liiar K : mãrgiit ughiular e u saþiu Baach searabil îi coresude u saþiu Hilbert H, o iecþie comactã S : H cu aucta S : H astel îcât K S AS ude A : H H este o biecþie liiarã. Aceastã descomuere e-a ermis î [Leca, 93] reducerea ecuaþiei Hammerstei cu ucleu K mãrgiit ughiular la o ecuaþie echivaletã e saþiul Hilbert asociat H, a cãrei soluþie rezultã di teorema Browder - Mit etru ecuaþii cu oeratori mootoi. Î lus, am rezetat o rezolvare aroimativã î ses Petrsh ([35], 978), olosid ecuaþiile ti Galerki e, ( u KNu, ),, ude { } este u sistem roiecþioal î. Acestora le coresud ecuaþiile Galerki î saþiul Hilbert H, FU, V, V H, ude H este u sistem roiecþioal asociat î H,, rodusul scalar e H ºi F A SNS. Echivaleþa acestor ecuaþii mi-a ermis stabilirea î 9 [Leca, 93] a uui rezultat de eisteþã ºi uicitate a soluþiei aroimative a ecuaþiei Hammestei.

Caitolul al cicilea este dedicat aroimãrii soluþiei ecuaþiei Hammerstei ºi vom demostra covergeþa tare a uor metode iterative î cazul oeratorilor de ti (C) sau acretivi. Î lucrarea [Leca, 9] di 5 am dezvoltat o metodã de rezolvare aroimativã a ecuaþiei Hammerstei ce combiã teoria alicaþiilor A-rorii a lui Petrsh ([5], 99), teorema Calvert-Webb ºi oeratorii de ti (C). Ecuaþiei Hammerstei eomogee: u KNu, u, cu N :, K : ºi i-am asociat ecuaþia aroimatã i, u K J N J u ude J : este alicaþia de dualitate ormalizatã, J : alicaþia asociatã acesteia, iar ºirurile de umere ozitive coverg la câd i,. Cu i ºi autorul ecuaþiei aroimate de mai sus am demostrat solvabilitatea roiecþioalã a ecuaþiei Hammerstei iiþiale. Potrivit ideului Societãþii Americae de Matematicã, lucrarea rezetatã oate i clasiicatã la urmãtoarele secþiui: 47 H 5 Oeratori mootoi ºi geeralizãri; 47 H Teoria gradului toologic; 47 H 3 Oeratori eliiari articulari (surauere, Hammerstei, Nemitsk, Urso, etc) 47 J 5 Metode iterative; 65 J 5 Aalizã umericã e saþii abstracte. Oeratorii cosideraþi de-a lugul tezei sut uivaleþi, iar rezultatele de eisteþã se reerã la soluþiile uor ecuaþii. Alicaþiile multivalete sut î ateþia cercetãrilor actuale. Chiar ºi iegalitãþile variaþioale, imortate î modelarea matematicã, ot i rescrise ca icluziui oeratoriale. Î articular, ivestigarea oeratorului de surauere multivalet ºi a icluziuilor itegrale eliiare de ti Hammerstei, de orma u KNu, au ost demarate de Aell-De Pascale-Zabreko ([55], 995) ºi cotiuate de Cardiali- Paageorgiou ([59], 999). Cu tehicile acumulate, îmi rou sã îcerc studierea eisteþei, aroimãrii î ses Petrsh ºi a asectelor sectrale etru soluþiile icluziuilor Hammerstei cu oeratori de ti mooto multivaleþi. U alt obiectiv î viitor ar i studiul oeratorilor de surauere e saþii Lebesgue vectoriale, olosid rezetarea ehaustivã î cazul scalar di moograia Aell-Zabreko ([46], 99). Î îcheiere, meþioez alte cercetãri româeºti asura ecuaþiilor Hammerstei ca cele datorate lui Duma-Vladimirescu ([75, 76], 3) la Uiversitatea di Craiova ºi Precu ([8], 4), ([8], 5) la Uiversitatea di Clu-Naoca. 3

CAPITOLUL I ECUAÞIA INTEGRALÃ HAMMERSTEIN.. CLASE DE OPERATORI INTEGRALI ªI ECUAÞII INTEGRALE Fie R u domeiu mãrgiit. Cosiderãm ucþia astel îcât, : R R Fie u saþiu de ucþii mãsurabile ( C sau L u itegrala, ud : R, veriicã codiþiile Carathéodor a..t.. R ) astel îcât etru orice, este deiitã î ses Lebesgue) a..t.. Deiim oeratorul Ursoh eliiar T : geerat de ucþia, ri T u, u, d., u F u Dacã ucþia este de orma,, cu F : R o ucþie mãrgiitã, atuci oeratorul Ursoh coresuzãtor se umeºte oeratorul Ursoh liiar (sau Fredholm) geerat de F. Î articular, u oerator Ursoh de orma T u F g, u, d, ude g : R R este o ucþie Carathéodor, se umeºte oerator Hammerstei. Dacã domeiul R este u iterval de orma = [a, T) cu T + ºi : R R are rorietatea cã,, etru > ºi R, oeratorul Ursoh coresuzãtor se umeºte oerator Volterra ºi are orma a T u t, ut, dt a..t.. Coresuzãtor oeratorilor itegrali se itroduc urmãtoarele ecuaþii itegrale: Ecuaþia itegralã eliiarã Ursoh este de orma: u,, ud, u, w, ude R, : R R astel îcât,, : R R satisace codiþiile Carathéodor a..t.. Fucþia se umeºte ucleul Ursoh. Dacã ucþia este de orma,, u F, u cu F : R o ucþie mãrgiitã, atuci ecuaþia devie: u F, u d 4

ºi se umeºte ecuaþia itegralã liiarã Ursoh (sau Fredholm). Dacã ucþia este de orma,, u F, g, u cu g : R R o ucþie Carathéodor, atuci ecuaþia devie: u F, g, ud ºi se umeºte ecuaþia Hammerstei. Dacã = [a, T) R cu T + ºi : R R are rorietatea cã,, etru > ºi R, ecuaþia coresuzãtoare se umeºte ecuaþia Volterra ºi are orma u t ut dt,,. a.. ECUAÞIA HAMMERSTEIN Studiul ecuaþiilor itegrale Hammerstei îºi au origiea î rezolvarea ecuaþiilor liiare cu derivate arþiale. Cel mai simlu eemlu este urmãtorul: e u domeiu mãrgiit cu rotiera etedã di saþiul euclidia R N, cosiderãm roblema Dirichlet liiarã: u( ) ( ), u. Dacã k(,) este o ucþie Gree coresuzãtoare acestei robleme, soluþia ei se oate rerezeta sub orma: u ( ) k(, ) ( ) d. Aalog, î cazul semiliiar, u( ) (, u( )), (.) u avem rerezetarea: (.) u ( ) k(, ) (, u( )) d. Aºadar, rezolvarea roblemei semiliiare (.) este echivaletã cu iversarea ecuaþiei itegrale Hammerstei (.). Notãm ri K oeratorul liiar itegral Kv ( ) k(, ) v( ) d, umit ºi oeratorul ucleu (kerel), iar ri N oeratorul Nemitsk sau de surauere (eliiar, Nu N u=, u. Ecuaþia (.) se va scrie î geeral) asociat ucþiei, adicã oeratorial: (.3) u KNu sau ( I KN ) u. Ecuaþiile Hammerstei eomogee v( ) k(, ) g, v( ) d b( ) 5

ot i reduse la ecuaþii omogee de tiul (.) dacã substituim u v b ºi, u g, u b. La el, ecuaþia oeratorialã eomogeã v KGv b se oate reduce la o ecuaþie omogeã (.3). Pri urmare, este suiciet sã cosiderãm roblemele omogee..3. METODE DE REZOLVARE A ECUAÞIEI HAMMERSTEIN Î rezolvarea ecuaþiei Hammerstei ot i alicate dierite metode: metode toologice, metode variaþioale, metode de mootoie, metode de ozitivitate, metode umerice, metode sectrale etc. Alegerea celei mai bue metode deide de saþiul de ucþii î care cãutãm soluþia, determiat de rorietãþile ucþiilor k ºi. Î cotiuarea acestui caitol vom eumera câteva metode de rezolvare ale ecuaþiilor Hammerstei..3.. Metode toologice Cea mai simlã metodã toologicã de rezolvare a ecuþiei Hammerstei este teoria uctului i sau, mai geeral, teoria gradului toologic. Î ucþie de rorietãþile ucþiei ucleu k ºi a eliiaritãþii lui se alege saþiul de ucþii adecvat etru studierea ecuaþiei Hammerstei (.3) [4, 53, 7, 84]. Î tezã e vom limita la cazul oeratorilor Nemitsk N : L L de orma N u, u ºi alicaþia ucleu ude. Vom studia ecuaþia (.3) î saþiul L. Presuuem cã alicaþia k se descomue de orma: k, g, z g z, dz. (.4) K : L L de orma k u Ku, d, Alicaþia g geereazã oeratorul itegral G : L L. Alicaþia aductã G : L L, K GG. Ecuaþia Hammerstei (.3) va i echivaletã cu ecuaþia oeratorialã: (.5) h Hh, ude u Gh ºi H G NG. Ecuaþiile (.3) ºi (.5) sut echivalete datoritã atului cã G este iversabilã. Avataul acestei costrucþii este atul cã oeratorul H ia valori î saþiul Hilbert L. Petru rezolvarea ecuaþiilor Hammerstei, se oate olosi teorema de uct i a lui Schauder sau ua ditre geeralizãrile acesteia [4]. Î teorema lui Schauder saþiul este u saþiu Baach, D o submulþime mãrgiitã îchisã coveã evidã ºi T : D D u oerator comlet cotiuu (cotiuu, cu T D relativ comactã). Î aceste codiþii eistã cel uþi u uct i etru T. Î acest caz, roblema gãsirii submulþimilor mãrgiite îchise covee (de eemlu bilele îchise) ivariate la oeratorul Hammerstei A = KN este oarte diicilã. Aceastã diicultate oate i deãºitã dacã se 6

alicã teorema de uct i a lui Vigoli, care sue cã u oerator comact T are u Tu uct i dacã uasiorma sa T lim. u u.3.. Metode de mootoie Î cazul oeratorilor mootoi, cel mai imortat rezultat de eisteþã este teorema lui Mit-Browder care sue cã îtr-u saþiu releiv, orice oerator Tu, u cotiuu mooto T : coerciv ( lim ) este biectiv, adicã u u T. Acest rezultat oate i alicat ecuaþiei Hammerstei (.3) î saþiile L, cu dacã asura alicaþiilor ºi k sut imuse codiþii sulimetare ºi va i olosit î Caitolul 4. U eemlu este urmãtorul rezultat [53]: Teorema.: Presuuem cã alicaþia k satisace iegalitatea: Ku, u, k u d ud ºi alicaþia satisace urmãtoarele iegalitãþi:, u a b u ºi, uu d u. Dacã, î lus, ie oeratorul K este comact, ie alicaþia, este crescãtoare (î raort cu al doilea argumet), atuci ecuaþia Hammerstei (.3) are cel uþi o soluþie u L..3.3. Metode variaþioale Ideea metodelor variaþioale reduce rezolvarea ecuaþiei oeratoriale Au la J J alarea uctelor critice ale ucþioalei J, ude A J,, [53]. U uct critic al uei ucþioale J este uctul î care se auleazã derivata sa Fréchet. O ucþioalã J : R, saþiu Baach, este diereþiabilã Fréchet î uctul dacã eistã u elemet J ' u astel îcât w J u v J u J ' u, v wu, v u, v, etru orice v, ude câd v. v Elemetul J ' u este derivata Fréchet a lui J î uctul u. Alicarea metodei variaþioale ecesitã o rorietate de comacitate a lui J ', î sesul cã oricare ar i ºirul u cu J u r R ºi J ' u, câd, mulþimea u, este relativ comactã [7]. 7

O codiþie ecesarã este ca ucþioala J sã îdelieascã codiþia Palais-Smale, adicã orice ºir u cu J u r R ( J u este mãrgiit) ºi J ' u, câd coþie u subºir coverget. Teorema Ambrosetti-Rabiowitz (moutai ass) aratã cã orice ucþioalã J e u saþiu Baach satisace codiþia Palais-Smale ºi J are u uct critic u i J u ºi i J u etru r [53]. dacã u r u r Ituitiv, acestã teoremã airmã cã dacã douã zerouri ale graicului lui J sut searate de u laþ mutos, atuci trebuie sã eiste o trecãtoare ître ele care coþie u uct critic al lui J. Petru a alica acest rezultat ecuaþiei (.3) î saþiul Lebesgue L trebuie sã cosiderãm oteþialul oeratorului Nemitsk: Gh h udu, d î saþiul L, ude G este oeratorul itegral di relaþia (.4). Astel, soluþia ecuaþiei Hammerstei (.3) oate i gãsitã ritre uctele critice ale ucþioalei J h h h.3.4. Metode de ozitivitate, h L. Î cazul î care sutem iteresaþi de soluþiile ozitive ale ecuaþiei Hammerstei vom studia ecuaþia î saþii coice, adicã î saþii care coþi o submulþime coveã C astel îcât tu C câd u C ºi t. U rezultat clasic î acest ses este urmãtoarea teoremã datoratã lui Krasoselskii [6]: Teorema.: Fie k de orma k g, zgz,, dz ºi otãm cu i g, d, su g, d ºi su g, Presuuem de asemeea cã satisace codiþiile asimtotice:, u, u lim ºi lim. u 4 u u u Atuci ecuaþia Hammerstei (.3) are o soluþie ozitivã.., 8

CAPITOLUL II OPERATORUL DE SUPRAPUNERE (NEMITSKY).. CONDIÞII CARATHÉODORY Fie,, u saþiu cu mãsurã -iitã comletã. Itroducem oeratorul de surauere umit ºi oeratorul Nemitsk. Deiiþia.: Suem cã ucþia : R R este o ucþie Carathéodor dacã satisace urmãtoarele codiþii: ) etru orice R iat, ucþia, este -mãsurabilã, ) - a..t., este cotiuã. Prooziþia.: Dacã, ucþia : R R este o ucþie Carathéodor ºi u : R o ucþie -mãsurabilã, atuci ucþia u, este -mãsurabilã. Demostraþie: Fie u u ºir de ucþii simlu coverget a..t. la u(). m Fucþia c,u este suma uei amilii umãrabile de ucþii de orma m,, ude c R ºi sut ucþii caracteristice ale submulþimilor mãsurabile,, i etru i. Atuci, olosid codiþia ) di deiiþia ucþiilor Carathéodor, iecare ucþie doua codiþie obþiem cã mãsurabilitatea ucþiei,u m,u m coverge a..t. la, u,. u este mãsurabilã. Di a, ceea ce imlicã Deiiþia.3: Fie ºi deiite ca mai sus. Fucþiei îi asociem oeratorul de surauere sau oeratorul Nemitsk N deiit e clasele de ucþii de tiul u : R ( u u,, u ) ri u u u k k N,. Observaþie: Evidet, N duce ucþiile mãsurabile î ucþii mãsurabile. 9

.. CONTINUITATEA OPERATORULUI DE SUPRAPUNERE Oeratorul N deide udametal de saþiul de ucþii cãruia îi aarþie argumetul u. Î cele ce urmeazã se va studia comortametul oeratorului de m surauere e saþiile Lebesgue L ºi saþiile Sobolev W,.... Saþii Lebesgue Saþiile Lebesgue sut rimele saþii de ucþii e care a ost studiat oeratorul Nemitsk. Primele rezultate de cotiuitate ºi mãrgiire au ost obþiute de Krasoselski [5] ºi Vaiberg []. Reamitim cã saþiile Lebesgue L sut deiite astel [66]: L ( ) : R este - masurabila si d, L ( ) : R este - masurabila si d etru. Normele asociate acestor saþii sut R : L datã de ormula d, ude L, resectiv L R : datã de ormula d, ude L. Urmãtoarea teoremã, cuoscutã dret teorema lui Krasoselski este cel mai imortat rezultat al oeratorului Nemitsk [74, 8]. Teorema.4: Fie,, u saþiu cu mãsurã - iitã comletã ºi o ucþie Carathéodor care satisace codiþia de creºtere oliomialã: etru - a..t., a c k k k k k, ºi oricare R k,,,. Atuci N L L, k Demostraþie: Coorm iegalitãþii di iotezã avem:, ude L a, c, : este u oerator cotiuu mãrgiit.

, u a c u k k (.) c u k k a k - a..t. k k, u d a c uk a c uk k k k Rezultã cã N u, u este mãrgiit î k L. Petru demostrarea cotiuitãþii lui N olosim urmãtoarea caracterizare a covergeþei î saþiile Lebesgue: Fie F : R u ºir de ucþii mãsurabile coverget la o ucþie F. Atuci { F } coverge la F î,, L dacã ºi umai dacã, eistã u subºir F. F ºi G L ( ) astel îcât F ( ) F( ) ºi F ( ), F( ) G( ), (vezi [65], 57). Astel, cosiderãm u ºir de ucþii u coverget la u elemet u di k k, avem uk u k î k Putem resuue cã u Atuci etru orice, k k k hk L, astel îcât u k k L,. k L. u - a..t. e. Mai mult, eistã ucþiile, u h a..t. k k k, u a c h Di relaþia (.) rezultã k - a..t. k Alicâd rezultatul de mai sus avem, u, u - a..t. e. Di teorema de covergeþã domiatã obþiem cã N u N u î L. M. Krasoselski a demostrat ºi reciroca [74]: Teorema.5: Fie,, u saþiu cu mãsurã - iitã comletã, : R R o ucþie Carathéodor,,,, ºi N k : L L. Atuci eistã o ucþie L k etru - a..t. k k ºi oricare R avem:, a c k, a ºi u c astel îcât k k.

Î cazul uor restricþii de creºtere mai geerale decât cele oliomiale, rorietãþiile oeratorilor de surauere au ost ivestigate (de eemlu, î saþii Orlicz) î moograia lui Aell-Zabreko [46]. cu... Saþii Sobolev Fie u domeiu cu mãsurã iitã ºi saþiul Sobolev m, W u L D u L, m ºi m Z +,,,, i Z, de lugime ºi D u Î articular, W, L m W, u. u este saþiu Baach searabil uiorm cove releiv cu orma m, m D u d., m H este searabil cu rodusul scalar m Petru =, saþiu Hilbert W m, u, v D u D vd, oricare ar i, v W m m u. m Îchiderea saþiului C î orma lui W, m se oteazã cu W, m asemeea, dualul lui W, m, ' se oteazã cu W cu. '. De Di teorema de scuudare Sobolev rezultã cã iecþia W m, i L este comactã, cu codiþia ca m. Trecâd la saþii duale, iecþia ' i m, L W este de asemeea comactã, ude. ' Teorema.6: Fie, astel îcât care satisace iegalitatea:, b c, cu L m ºi o ucþie Carathéodor b,,, c. m, m, Atuci oeratorul de surauere N : W W geerat de este comact. Demostraþie: N : L L ' oeratorul de surauere geerat de. Atuci N Fie i N i este comact ca rodus ître u oerator comact ºi iecþii mãrgiite.

Observaþie: Î articular, î cazul Hilbert câd = ºi m, ri idetiicarea m m lui L cu dualul sãu, icluziuile H L H teorema aterioarã este adevãratã, ãrã codiþia automat. sut adevãrate ºi m care este îdeliitã Prooziþia.7: Fie R o mulþime deschisã, : R R R o ucþie,, z, z,, z cotiuã),, Carathéodor (. mãsurabilã;.. Dacã aroae etru toþi, z R R este adevãratã relaþia:,, z a c z, ºi oricare ude, a L ºi c, atuci,u,du L, oricare ar i u W, alicaþia u,u, Du este cotiuã de la W la L. Demostraþie: Fie oeratorul de surauere N L L, R L N u,v,u, v, ude v k L, R teorema.4 obþiem cã ºi : deiit ri v. Alicâdu-i lui N k N este u oerator cotiuu ºi mãrgiit., Pe de altã arte, di teorema de scuudare Sobolev avem cã scuudã comact î L., Alicaþia u Du de la W la, R,u,Du L ºi cã alicaþia,u, Du, W la L. W se L este cotiuã. Obþiem astel cã u este cotiuã de la Prooziþia.8: Fie R o mulþime deschisã, : R R R o ucþie Carathéodor,,. Dacã aroae etru toþi ºi oricare, z R R este adevãratã relaþia:,, z a c z, 3

ude a L, c, atuci -,,u,du W, u W ºi alicaþia u,u, Du este cotiuã de la, W, u W Demostraþie:, etru orice W la Alicâd rooziþia.7, obþiem cã,u,du L,, ºi alicaþia u,u, Du este cotiuã de la L. Fie ' astel îcât. ' Di iotezã se ºtie cã, ceea ce imlicã '.,' Alicâd teorema de scuudare Sobolev obþiem cã ' ' cotiuu ºi des î L. ' ' cot, ', Astel avem L L W W -,, Am obþiut cã,u,du W, etru toþi u W, u,u, Du este cotiuã de la W la W,., etru orice W la W se scuudã. ºi alicaþia Prooziþia.9: Fie R o mulþime deschisã, : R R R o ucþie Carathéodor ºi. Dacã etru aroae toþi este adevãratã relaþia:,, z a c z, ude a L,, u W cu ' ºi oricare, z R R -,' c, atuci,u,du W, etru toþi iar alicaþia,u, Du, W ' la W,. Demostraþie: Alicâd rooziþia.8 cu dorit. u este cotiuã de la ' se obþie imediat rezultatul 4

Petru descrierea rorietãþilor oeratorului Nemitsk s-au olosit euerile di tratatul Dekowski, Migorski ºi Paageorgiou [74] ºi moograia lui Kuer ºi Fuèik [3]..3. MONOTONIA OPERATORULUI DE SUPRAPUNERE Î vederea simliicãrii scrierii, vom cosidera, mai dearte, cã ºi,. Î acest caz, : R R este o ucþie Carathéodor cu N u, u. oeratorul Nemitsk asociat etru orice Codiþia de creºtere oliomialã devie (.), a ºi R cu c, L a, c. Di teorema lui Krasoselski, oeratorul de surauere N : L L este bie deiit mãrgiit cotiuu. Îtr-adevãr, olosid iegalitatea lui Mikowsk, obþiem: N a u d / /,u / d c u d a c u /, adicã N u a c u, oricare ar i L Petru ude ri u, v L avem u L u, v u. / N ºi deci are loc relaþia: N, u, am otat dualitatea erechii L L,. v Sub dierite ioteze de mootoie etru am obþiut rorietãþi sulimetare ale oeratorului Nemitsk, ublicate î lucrarea [9]. Prooziþia. [9]: Dacã alicaþia, este (strict) crescãtoare î raort cu al doilea argumet, atuci oeratorul N este maimal mooto. Demostraþie: Îtr-adevãr, etru orice u, v L avem d N u N v, u v, u, v u vd 5

( > dacã este strict crescãtoare a..t. ) deoarece ambii actori de sub itegralã au acelaºi sem, adicã oeratorul N este mooto. Deoarece N este cotiuu rezultã cã N este maimal mooto. Prooziþia.[9]: Fie o alicaþie coercivã, adicã etru u umãr iat d ºi o ucþie g L avem relaþia: (.3), d g etru toþi ºi R. Atuci oeratorul N este coerciv ºi Demostraþie: Di iotezã avem: N u, u d gd, oricare L u. N u u, uu d d u d gd d u g d, etru orice coerciv., u L. Obþiem u N, u u etru u, adicã N este Observaþie: Î articular, dacã este ozitivã, adicã dacã,, atuci u, u, etru orice u L. ºi R N, oricare Prooziþia.[9]: Dacã este asimtotic ozitivã (adicã, eistã u umãr R astel îcât,, etru orice ºi R cu R ºi ) atuci u u N,, oricare ar i Demostraþie: u L, ude este o costatã ozitivã. Presuuem cã eistã u umãr R > astel îcât, uu N u cu u R. Fie mulþimea M u R ºi R adevãratã codiþia de creºtere,u C a c u etru orice ºi, u u d, u N u, u u M L M, uu d CaR cr d, u. Dacã atuci., etru orice R. Atuci este M d Prooziþia.3 [9]: Fie : R R o ucþie Carathéodor astel îcât, este strict crescãtoare (î raort cu al doilea argumet) ºi veriicã codiþia de creºtere (.) ºi codiþia de coercivitate (.3). Atuci oeratorul de sueroziþie 6

N : L L este de ti (S), ceea ce îseamã cã etru orice ºir u L u î L câd ºi lim N u, u u astel îcât u L câd. Demostraþie: u L astel îcât u u î Fie ºirul cã lim N u, u u Di mootoia lui. Vom demostra cã u u î N L etru L. rezultã cã u u î ºi resuuem. Deoarece N avem N u N u, u u câd u N u, u u, u, u u ud rezultã cã eistã u subºir u u astel îcât (.4), u, u u u, etru ºi a..t.. Aceastã relaþie este adevãratã etru toþi \, ude este o submulþime a lui cu, u \ este iitã ºi toate iotezele etru rãmâ adevãrate ºi etru \. Atuci etru orice \, avem: (.5), u, u u u c u d u u g. u u u a u u ºi astel rezultã cã ºirul gãsi u subºir al lui u (deizâd î geeral de \ ide, astel îcât u u. Vom avea:, u, u u u i.e. u u, oricare ar i \. Evidet, utem gãsi u subºir al lui u (ideedet de ), otat u k k astel îcât u u este mãrgiit. Deci, etru orice \, utem ) ºi otat cu acelaºi u k, etru orice \ (altel, ar eista u >, u elemet \ ºi u ºir de îtregi k < k < < k < astel îcât u uk, etru orice k N, ceea ce cotravie covergeþei di \ ). Petru evitarea couziilor vom scrie u î loc de sub orma: (.6) u k. Rescriem relaþia (.5), u, u u u d u g a c u u a c u u. u d u Folosid aceastã iegalitate vom arãta cã ºirul este uiorm itegrabil. 7

Fie C o mulþime cu mãsura micã sau comlemetara uei submulþimi di cu mãsurã iitã. Vom avea urmãtoarele iegalitãþi: (.7) La el, obþiem: C (.8) a c u C C a c u u a c u d u a c u d u a c u u d. C d C C Holder d d u d a c u u d. C Folosid relaþiile (.6), (.7) ºi (.8) obþiem cã ºirul u este uiorm itegrabil. Fiid veriicate codiþiile di teorema lui Vitali, rezultã cã u u î, ºi deci oeratorul de surauere N este de ti (S). L dacã Reamitim cã o alicaþie A : DA deiitã e u saþiu Baach real este 3-ciclic mootoã sau trimootoã dacã ºi umai dacã are loc iegalitatea: Au u u Au, u u Au, u u,, 3 3 3 u i DA, cu i =,, 3. etru toate elemetele Echivalet, utem rescrie aceastã iegalitate sub orma: Au Au, u u Au Au u u. 3 3, Prooziþia.4 [9]: Presuuem cã : R R este o ucþie Carathéodor crescãtoare î raort cu al doilea argumet ºi satisace codiþia de creºtere (.). Atuci oeratorul de surauere : L L Demostraþie: Reamitim cã oeratorul N este 3-ciclic mooto. î raort cu al doilea argumet (rooziþia.). Fie N este mooto dacã alicaþia, r r, s, ds, r R. 3 este crescãtoare Deoarece este mootoã, aceastã ucþie este coveã î r ºi de clasã C e R a..t.. Astel, etru orice umere reale r ºi s avem:, r, s r s r, s r s, s. 8

Petru u ºi v di L avem u, v u v, v Deiim alicaþia h : L R ri u u,. h, d ºi dacã itegrãm iegalitatea de mai sus este obþiem: h u h v, v u v d N v, u v. Scriid aceastã iegalitate etru trei elemete u, v, w di L ºi aduâd relaþiile avem: N v, u v N w, v w N u, w u, ceea ce îseamã trimootoia sau 3-ciclic mootoia lui N..4. DIFERENÞIABILITATEA OPERATORULUI DE SUPRAPUNERE Fie : R R o ucþie Carathéodor astel îcât etru -aroae toþi ºi oricare R avem: cu L b, c (, ). (, ) b( ) c, Presuuem cã, are o derivatã arþialã ', î raort cu, care este de asemeea o ucþie Carathéodor. Atuci ', deieºte u oerator de surauere ître saþiile L. De asemeea, cosiderãm cã ', satisace codiþia de creºtere: ' m (.9), b c, etru orice R ºi a..t. b L,, m. Itegrâd relaþia (.9) î raort cu obþiem: c m (.), b a, m, ude a iid o ucþie arbitrarã. Folosid iegalitatea lui Youg rezultã: de ude: c m m m m m m m, b a c m m m m m m m, b a., 9

Se observã cã ucþia.4 ºi relaþia (.) rezultã cã: (.) (.) N N m b m L, cu : L L, cu m ºi ' : L L. m. Dacã alegem m m, m Cu aceste relimiarii utem studia diereþiabilitatea oeratorului Reamitim cã N este diereþiabil Fréchet î uctul ' N : L L L, L astel îcât: oeratorul N ' u v N u N uv v L coorm, de eemlu, [4], 35. L, câd v, L a L, di teorema ' N. u L dacã eistã Teorema.5: Presuuem adevãratã codiþia (.9) ºi date alicaþiile (.) ºi ' (.). Atuci N este cotiuu diereþiabil Fréchet cu N : L LL, L deiit de ' ' N u v N ' u v, u v Demostraþie: Mai îtâi arãtãm cã,u Di iegalitatea lui Hölder obþiem: ' Observãm cã ', oricare ar i u, v L. v este î L. ', uv d, u d v L Petru u iat calculãm: d ' ºi olosid (.) obþiem cã,u v L d ', u v, u, u tvdt, u tvv dt, dt de ude: N ' ' ' u v N u N u v d u tv, u v dt d,. Folosid iegalitatea lui Hölder ºi teorema lui Fubii obþiem:.

N Folosid (.) ºi cotiuitatea lui ' ' ' u v N u N u v d, u tv, u N ' ddt, teorema este demostratã. v L Observaþie: Î teorema.5, Presuuem acum cã Observãm cã N : L L deoarece am resuus m. ' m, adicã, b, L b. ', etru orice umãr ºi rocedâd ca mai sus ( ) obþiem N : L L, etru toþi, (avem aceeaºi situaþie ca î (.) ºi (.)). Presuuem cã, adicã eistã u umãr M astel îcât ', M, etru toþi ºi R. Itegrâd aceastã relaþie obþiem:, M a. Rezultã cã: N : L L, a L N ' L L, oricare ar i, :..5. POTENÞIALUL OPERATORULUI DE SUPRAPUNERE Fie g,s o ucþie Carathéodor etru care eistã costatele m, m, astel îcât g s c s b Deiim G r g, s.) obþiem: ºi deiim oeratorii de surauere r m,, L b, c., ds ºi rocedâd ca mai sus (î cazul relaþiilor. ºi G m m, r c r b b L N g, m : L L ºi N G : L L m Î articular, dacã m iegalitãþile de mai sus devi: g,r c r b, b L, (.3) G, r c r b, b N N g : L L G : L L L

Teorema.6 : Presuuem adevãrate relaþiile (.3). Atuci u G, u d deieºte o ucþioalã cotiuã L R Fréchet. Demostraþie: Cotiuitatea lui N G imlicã cotiuitatea lui. Airmãm cã ' N. g : care este cotiuu diereþiabilã Facem urmãtoarea otaþie: v G, u vd G, ud g, u Trebuie sã demostrãm cã v v L Procedâd ca î teorema.5 obþiem:, câd v î v g u tv g, u v L., dtd ºi olosid î cotiuare teorema Fubii ºi iegalitatea lui Hölder rezultã: N u tv N u v dt v. g g L L vd Dacã v atuci, di teorema de covergeþã domiatã a lui Lebesgue, L itegrala di relaþia de mai sus tide la. v Astel, dacã v. L v L

CAPITOLUL III METODE TOPOLOGICE Î acest caitol vom descrie structura celor mai imortate clase de alicaþii care e vor uriza cadrul teoretic etru studierea ecuaþiilor Hammerstei: alicaþii de ti (M), mãrgiit ughiulare ºi seudomootoe, iar î ultima arte vom rezeta o etesie a gradului toologic e saþii Baach reale releive searabile etru alicaþiile Hammerstei de orma T I KN ude oeratorii K ºi N sut de ti (S). 3.. OPERATORI DE TIP MONOTON Cosiderãm saþiul Baach real releiv, dualul sãu ºi ormele coresuzãtoare, resectiv. Notãm ri ºi covergeþa tare, resectiv covergeþa slabã ºi ri, u dualitatea ître saþiile ºi, adicã valoarea ucþioalei î uctul u. Fie T : D( T ) u oerator eliiar. Vom sue cã: T este mooto ºi otãm T MON dacã Tu Tv, u v, oricare u, v DT ; T este strict mooto ºi otãm T MON S dacã Tu Tv, u v, oricare u, v DT ºi u v ; : R R cu T este tare mooto dacã eistã o ucþie cotiuã ºi r etru r astel îcât Tu Tv, u v u v u v, oricare u, v DT ; T este de ti (S) ºi otãm T S dacã etru orice ºir DT cu limtu, u u rezultã cã u u; u ºi u u T este de ti (C) ºi otãm T C dacã etru orice ºir DT cu limtu, u u rezultã cã Tu Tu î T este seudomooto ºi otãm PS codiþii:, câd u ºi u u ; T dacã sut îdeliite urmãtoarele (PS) Dacã ºirul u DT este slab coverget la u DT limtu, u u, rezultã Tu u u limtu, u u u DT. ºi,, etru orice v iat, alicaþia (PS) Petru orice D T v u Tu, u v este ierior mãrgiitã e orice submulþime slab comactã di. 3

T este uasimooto ºi otãm T QM dacã etru orice ºir u DT cu u u avem limtu, u u Relaþia de bazã ditre oeratorii uasimootoi ºi cei de ti (S) este ilustratã î teorema Calvert-Webb [65]: îtr-u saþiu Baach local uiorm cove, u oerator demicotiuu T : D( T ) este uasimooto dacã ºi umai dacã T J S, oricare, ude J este alicaþia de dualitate. Evidet, alicaþia de dualitate oate i îlocuitã de orice oerator de ti (S), S QM S. adicã Clasele MON, S, PS ºi QM au o structurã coicã, î sesul cã oricum am cosidera o ereche de oeratori T, T ditr-o clasã, vom avea T T ºi T î aceeaºi clasã etru [45]. T este de ti (M) ºi otãm T M dacã etru orice ºir DT u u î, Tu î. ºi limtu, u, u rezultã cã u cu Tu ; T este de ti () ºi otãm T dacã etru orice ºir DT î ºi limtu, u, u rezultã cã u u ; u u î, Tu u cu Orice oerator de ti (S) este de ti (). Î lus, orice oerator local mãrgiit de ti () este de ti (S). c T orice u v U oerator liiar T este mãrgiit ughiular cu o costatã c, dacã etru orice u, v D T are loc iegalitatea: Tu, v Tv, u ctu, u Tv, v. Observãm cã o alicaþie tare mootoã este mãrgiitã ughiular cu costata, ude este costata ozitivã di deiiþia mootoiei tari, deoarece etru, avem Tu, v Tv, u T u v ctu, u Tv, v. T este simetricã, dacã Tu, v Tv, u, oricare u v DT,. Astel, orice alicaþie simetricã este mãrgiitã ughiular cu o costatã c =. Vom cosidera de asemeea alicaþii multivalete T :, ude ri am otat mulþimea submulþimilor saþiului. Uei alicaþii multivalete T îi ataºãm graul G( T ) { T, D( T )}, iar alicaþia T : este mootoã dacã ( g, ) oricare ar i erechile [, ],[, g] G( T ). Mai mult, T este maimal mooto dacã G T este mulþime maimal mootoã e,, sau echivalet cu codiþia ca 4

( g, ) etru orice [, ] G( T ) sã imlice [, g] G( T ). Cel mai simlu eemlu de oerator maimal mooto este subdiereþiala :,. Petru u uei ucþii covee ierior semicotiue D subdiereþiala este o mulþime () (evetual vidã) a lui deiitã astel: () = () - () ( -, ) etru orice. Alicaþia : este mootoã deoarece etru orice ºi g avem ( ) ( ) (, ) ºi ( ) ( ) (, g), Aduâd, vom obþie (, g), oricare, D( ). Î lus, se oate arãta cã alicaþia : este mooto maimalã, [36]. U eemlu de alicaþie subdiereþiabilã este alicaþia de dualitate ormalizatã a lui : J: cu J (, ) deiitã ca subdiereþiala ucþiei covee ( ). Tu, u T este coercivã dacã lim ; u u T este slab coercivã dacã lim Tu. u. Ea oate i Teorema Mit-Browder sue cã îtr-u saþiu Baach releiv, dacã oeratorul T : este maimal mooto ºi coerciv atuci el este surectiv [5]. U caz aarte de mootoie este mootoia ciclicã: Tu u u Tu, u u Tu, u T este ciclic mooto dacã u, 3 oricare u i, i, ºi etru u u; Subdiereþiala este ciclic mootoã [43], ca ºi alicaþia de dualitate J. T este 3-ciclic mooto dacã este ciclic mooto cu =3. U eemlu de oerator 3-ciclic mooto este oeratorul Nemitsk. Aceastã rorietate a ost demostratã î rooziþia.4. Pe lâgã cotiuitatea uzualã (cotiuitatea tare), Tu Tu câd u u, vom olosi urmãtoarele variate: u D T cu u u avem T este slab cotiuu dacã etru orice ºir Tu Tu î ; T se umeºte demicotiuu dacã etru orice ºir DT avem Tu Tu î ; T este hemicotiuu dacã ucþia realã t T u tv, w,, oricare u, v, w ; T este comlet cotiuu dacã etru orice ºir DT Tu Tu î. u cu u u î este cotiuã e u cu u u avem 5

Meritã sã meþioãm cã, orice oerator mooto hemicotiuu este maimal mooto [5]. Orice oerator comlet cotiuu este seudomooto. Î articular, orice oerator cotiuu este seudomooto dacã este saþiu iit dimesioal []. u D T cu T este slab ierior semicotiuu dacã etru orice ºir u u avem Tu lim Tu ; T este Lischitz cotiuu e o submulþime M dacã Tu Tv L u v, etru orice u, v M cu L > iat. U oerator eliiar este mãrgiit dacã trasormã mulþimile mãrgiite î mulþimi mãrgiite. U oerator cotiuu C : este comact ºi otãm COMP C dacã trasormã orice mulþime mãrgiitã di î mulþimi relativ comacte di. Dacã este saþiu Hilbert, suma I + C, cu C comactã se umeºte de ti Lera-Schauder. Rezumâd toate rezultatele aterioare avem urmãtoarele icluziui [45]: M LS S PS QM MON MON COMP S 3.. OPERATORI PSEUDOMONOTONI Fie u saþiu Baach real ºi saþiul sãu dual. Deiiþia 3.: Fie u saþiu Baach geeral. O alicaþie umeºte seudomootoã dacã sut îdeliite urmãtoarele codiþii: (PS) Dacã ºirul limtu, u u, rezultã Tu u u lim Tu, u u T : se u este slab coverget la u ºi u.,, etru orice (PS) Petru orice v, este ierior mãrgiitã e orice submulþime slab comactã di. v iat, alicaþia u Tu u v Di teoria oeratorilor mootoi sut cuoscute urmãtoarele rezultate [9,, 5, 36, 65]: Prooziþia 3.: Îtr-u u saþiu Baach real releiv u oerator T : tare cotiuu este seudomooto. 6

Demostraþie: Îtr-adevãr, dacã u u î, etru atuci Tu Tu ºi Tu, u u lim Tu, u u oricare ar i u. Prooziþia 3.3: Fie u saþiu Baach real releiv iit dimesioal ºi D o mulþime deschisã. O alicaþie T : D este seudomootoã dacã ºi umai dacã este cotiuã. Demostraþie: Evidet, toate alicaþiile cotiue sut seudomootoe. Ivers, ie u u î ºi arãtãm cã Tu este mãrgiit. Altel, am utea etrage u subºir otat tot cu u astel îcât u u, Tu Tu ºi z z cu z. Tu Fie v D; di rorietatea (PS) avem: c Tu u v Îmãrþid la,. Tu ºi trecâd la limitã obþiem: z, u v, etru orice v D, de ude z = care este î cotradicþie cu z. Demostrãm î cotiuare cã Tu coverge la Tu ; altel am utea etrage u lim Tu, u u subºir otat tot cu u astel îcât u u, Tu Tu. Deci ºi Tu u limtu, u v u v,,, etru orice v D, de ude Tu =, cotradicþie cu resuuerea ãcutã. Prooziþia 3.4: Îtr-u u saþiu Baach real releiv orice oerator T : hemicotiuu mooto este seudomooto. Demostraþie: Fie u u î ºi limtu, u u. Di mootoia lui T avem Tu, u u Tu, u u Tu, u u limtu, u u. lim Fie z tu t, t,, Tu Tz, u z ºi astel. Are loc relaþia de mootoie: ºi de aici obþiem: Tu, u u Tz, u u tu ttu, u. Luâd ºi îmãrþid relaþia la t avem : Tz, u lim Tu u., Di hemicotiuitate obþiem: Tu u limtu u,., lim ºi Dar Tu, u limtu, u u limtu, u limtu, u utem rescrie ultima iegalitate astel: Tu, u limtu, u, etru orice, 7

adicã T este seudomooto. Prooziþia 3.5: Îtr-u u saþiu Baach real releiv suma a doi oeratori seudomootoi T, U : este de asemeea u oerator seudomooto. Demostraþie: Fie u u î ºi limtu Uu, u u. Rezultã cã lim Tu, u u ºi limuu, u u Pe de altã arte, utem resuue cã eistã u subºir otat tot cu u astel îcât lim Tu, u u a, de ude obþiem cã lim Uu, u u a. U iid oerator seudomooto avem u limuu, u u orice u. Îlocuid u cu u obþiem a, ceea ce este als. Di atul cã T ºi U sut seudomootoi avem: Tu u u lim Tu, u u,,, u u lim Uu, u u Uu ºi obþiem Tu Uu u u lim Tu Uu, u u este seudomooto.. Uu, u etru,, oricare u, adicã T + U Prooziþia 3.6: Fie u saþiu Baach real releiv, T : u oerator mooto hemicotiuu ºi U : u oerator seudomooto. Atuci suma T U este u oerator seudomooto. Demostraþie: Evidet, T iid oerator mooto hemicotiuu, di rooziþia 3.4, T este de asemeea seudomooto ºi astel, coorm rooziþiei 3.5 suma T + U este u oerator seudomooto. Prooziþia 3.7: Fie u saþiu Baach real releiv. U oerator T : demicotiuu de ti (S) este seudomooto. Demostraþie: Fie u u î ºi limtu, u u. Cum oeratorul T este de ti (S), îseamã cã u u etru. Di demicotiuitatea lui T obþiem Tu î ºi deci Tu u u limtu, u u,, oricare u. Deiiþia 3.8: Alicaþia T : satisace codiþia () dacã mãrgiirea ºirurilor u ºi Tu, u imlicã atul cã ºirul Tu este de asemeea mãrgiit. Tu Prooziþia 3.9: Orice alicaþie satisace de asemeea codiþia (). Demostraþie: T : care veriicã codiþia (PS) 8

Îtr-adevãr, cosiderãm ºirul mãrgiit u astel îcât ºirul Tu, u r ºi k astel îcât u B, r ºi Tu, u k N. sã ie mãrgiit, adicã eistã, Presuuem acum cã T satisace codiþia (PS). Atuci iecãrui C v B astel îcât: coresude u Tu, u v Cv B sau Tu, v k Cv B. La el, eistã u C v B astel îcât: Tu, u v C B sau Tu v k C B v îi v, v. Cele douã iegalitãþi imlicã atul cã iecãrui v îi coresude u M v > astel Tu, v M. Atuci, coorm riciiului mãrgiirii uiorme, eistã u îcât v m astel îcât Tu m, etru orice N, adicã codiþia () este adevãratã. Eemle de alicaþii seudomootoe ) Alicaþiile hemicotiue mootoe ºi, mai geeral, alicaþiile semimootoe [36]. Alicaþia P : este semimootoã dacã Pu = T(u, u), ude alicaþia T : are urmãtoarele rorietãþi: a. Petru u iat, alicaþia T u, : este hemicotiuã ºi T u, u T u, v, u v, etru orice v. b. Petru v iat, T, v : este hemicotiuu mãrgiit. c. Dacã u u î ºi T u, u T u, u, u u T u, v T u, v î, oricare v. d. Dacã u u î ºi T u, v î atuci T u, v, u, u atuci. ) Alicaþiile de orma Tu = S(u, u) + Cu, ude S este semimootoã ºi C comactã cu ioteza sulimetarã etru orice ºir u care sue cã dacã u u ºi Su, u Su, u, u u atuci Cu Cu [9]. 3.3. OPERATORI DE TIP (M) Clasa oeratorilor de ti (M) etide clasa oeratorilor seudomootoi ºi are u rol imortat î stabilirea eisteþei soluþiilor ecuaþiilor Hammerstei. Fie u saþiu Baach real ºi saþiul sãu dual. Presuuem cã este releiv. Deiiþia 3.: Oeratorul T : se umeºte de ti (M) dacã îdelieºte urmãtoarele codiþii: (m ) etru orice ºir u astel îcât u u î, Tu î ºi limtu, u, u, sã rezulte Tu =. 9

(m ) T este cotiuã de la subsaþiile iit dimesioale ale lui la toologia slabã a dualului. Î cazul alicaþiilor multivalete aceastã deiiþie este rescrisã astel: Deiiþia 3.: O alicaþie eliiarã multivaletã T : se umeºte de ti (M) dacã sut îdeliite urmãtoarele codiþii: (M ) Mulþimea Tu este evidã, mãrgiitã, coveã ºi îchisã, etru orice u. u G T u, î (M ) Petru orice ºir, astel îcât u, ºi lim, u u, sã rezulte u, GT. (M 3 ) T este cotiuã de la subsaþiile iit dimesioale ale lui la toologia slabã a dualului. Observaþie: Codiþia (M ) imlicã imlicit cã DT. Î acest momet utem amiti câteva rorietãþi ale oeratorilor de ti (M) ([9, 5, 36]). Prooziþia 3.: Orice oerator T : seudomooto este de ti (M). lim Demostraþie: Fie ºirul Tu, u, u u, cu u u î, Tu î etru ºi. Atuci limtu, u u Di seudomootoia lui T avem Tu, u u lim Tu, u u etru orice u. Rezultã cã: Tu, u u, u, u u u etru orice u,. ºi deci Tu Se ºtie cã u oerator seudomooto este cotiuu, rezultâd astel codiþia (m ) ºi atul cã oeratorul T este de ti (M). Prooziþia 3.3 (Brezis): Suma a doi oeratori de ti (M) u este eaãrat de ti (M). Demostraþie: Fie saþiul Hilbert H cu baza ortoormalã e, I oeratorul idetitate î saþiul H ºi P roiecþia e sera uitate. Evidet, oeratorul I este de ti (M), iar oeratorul P este cotiuu mooto cu DP H. Aºadar, trebuie sã demostrãm cã oeratorul S = P I u este de ti (M). Petru u elemet = e + e avem S. Astel e ºi S e î H. k Evidet, etru k e k cu k, k rezultã cã. 3

Petru, e, k e, ek e, obþiem e,.. k, Pe de altã arte, lims, ºi Se =. Deoarece e, codiþia (m ) u are loc. Rezultã deci cã oeratorul S u este de ti (M). Avem totuºi urmãtorul rezultat: Prooziþia 3.4 (Brezis): Fie A u oerator mooto cotiuu ºi T o alicaþie de ti (M). Atuci suma S = A + T este de ti (M). Demostraþie: lim Su, u, u. Di Fie u u î, Su î etru ºi cotiuitatea lui A avem Au Au ºi Tu Au. Oeratorul A iid mooto avem Au Au u u Tu u Tu, u Su Au, u, ºi deci, u. Obþiem astel cã lim Tu, u Au u Su.,. Rezultã cã Tu Au ºi Reamitim cã u oerator C : este comact dacã este cotiuu ºi duce mulþimile mãrgiite di î mulþimi relativ comacte di. Cu Observaþie [36]: U oerator comact u e eaãrat de ti (M). Îtr-adevãr, î saþiul Hilbert l cosiderãm oeratorul comact u,,,... u u u,..., cu (simbolul lui Kroecker).. Fie, Petru orice N avem Cu,,,. Evidet u, Cu,,, l ºi limcu, u,,, C. u î. Alicaþia C u este de ti (M), deoarece Deoarece alicaþia zero este de ti (M), di eemlul de mai sus, observãm cã suma ditre o alicaþie de ti (M) ºi ua comactã u este eaãrat de ti (M). Orice oerator demicotiuu de ti (S) este de asemeea de ti (M). Reciroca u este adevãratã, deoarece oeratorul -I îtr-u saþiu Hilbert este de ti (M), dar u veriicã codiþia (S). Prooziþia 3.5: Fie T : u oerator demicotiuu de ti (S) ºi C : o alicaþie comactã. Atuci suma T + C este de ti (M). Demostraþie: T C u î ºi lim u Fie u, cu u u î, T Cu, u, u. Deoarece C este u oerator comact, îseamã cã eistã g ºi u subºir, otat de asemeea cu u astel îcât g Cu î. Di 3

atul cã T S rezultã cã u u î ºi olosid demicotiuitatea lui T obþiem Cu ºi T Cu. Evidet, T C Tu Tu. Dar C este cotiuu, deci Cu este demicotiuã ºi astel este de ti (M). Corolar 3.6: Îtr-u saþiu Hilbert, erturbaþiile comacte ale idetitãþii sut de ti (M). Demostraþie: Fie C : H H o alicaþie comactã e saþiul Hilbert H. Dorim ca suma I C sã ie de ti (M). Este suiciet sã arãtãm cã I S. Dacã u u î H ºi limu, u u semicotiuitatea ormei avem: Deoarece u lim u lim u, atuci di slab ierior u u ºi H este local uiorm cove obþiem cã u u î H. Reamitim cã o alicaþie este slab ierior semicotiuã dacã etru orice ºir u cu u u avem u u lim. Prooziþia 3.7: Fie u saþiu Baach, T : u oerator de ti (M) ºi P : u oerator slab cotiuu. Presuuem cã ucþia u Pu, u este slab ierior semicotiuã. Atuci suma T + P : este de ti (M). Demostraþie: P u lim T P u, u g, u. Fie u, cu u u î, T g ºi u. Deoarece P este slab cotiuã rezultã cã Pu Pu ºi deci Tu g - Pu. lim Tu, u lim T P u, u Pu, u lim T Pu, u limpu, u g Pu, u. Di atul cã T este de ti (M) obþiem cã Tu = g - Pu ºi, î coseciþã, T C u. Astel T + P este de ti (M). g Prooziþia 3.8: Dacã T : este u oerator mooto ºi slab cotiuu, atuci ucþioala : R, deiitã ri u Tu, u etru orice u, este slab ierior semicotiuã. Demostraþie: Fie u cu u u. Di mootoia lui T avem Tu Tu, u u, sau echivalet, Tu, u u Tu, u u. Deci limtu, u u limtu, u u Dar limtu, u u limtu, u Tu, u lim u u, adicã este slab ierior semicotiuã., de ude obþiem cã. 3

Prooziþia 3.9: Dacã T : este u oerator comlet cotiuu atuci u Tu, u este slab ierior semicotiuã. ucþioala : R deiitã ri Corolar 3.: Fie T : u oerator de ti (M), P : o alicaþie slab cotiuã ºi mootoã ºi L : u oerator comlet cotiuu. Atuci suma T + P + L este de ti (M). Putem stabili urmãtorul rezultat de eisteþã [7]: Prooziþia 3.: Fie u saþiu Baach releiv ºi T : o alicaþie de ti (M) care satisace codiþia () (vezi deiiþia 3.8). Presuuem îdeliitã urmãtoarea codiþie de coercivitate î raort cu origiea: eistã u r > astel îcât Tu, u etru u B, r. Atuci eistã u B, r astel îcât Tu. Demostraþie: Fie F amilia tuturor subsaþiilor iit dimesioale ale lui ordoate arþial de icluziue. Petru iecare F F cosiderãm : F alicaþia icluziue, : F J F roiecþia dualã ºi TF J FTJ F : F F alicaþia cotiuã. Deoarece, etru orice u B F, T F u, u Tu, u îseamã cã eistã u u F B F astel îcât T. F u F Petru iecare F F cosiderãm AF u F TFu, u r ~ ºi V weak cl (acoerirea slabã). V F A F FF, F ' F ' F V F J F /, V ~ este slab comactã ºi amilia V ~ F / F F Atuci, oricare F F, F are rorietatea itersecþiei iite. Deci V ~ F ºi eistã u B, r astel îcât F F ~ u V F, oricare F F. Î cotiuare vom arãta cã Tu. F u Dacã Tu atuci eistã u uct astel îcât Tu, ( ) Fie F F care coþie uctele u ºi. Deoarece u ~ V F, eistã F F, u î V F astel îcât u u î. Fiecare uct u F, ude dim F ºi u T u, u Tu, u, etru orice N, codiþia () imlicã mãrgiirea lui Tu. Avâd î vedere acest lucru ºi releivitatea lui, utem resuue cã Tu g, g. Deoarece u u F Tu, u u T u u u, deci T. Deoarece u u î ºi,, etru orice N, Tu, u lim Tu, u lim Tu, u g, u lim Deci u u î, Tu g î ºi limtu, u g, u o,.. 33

Aºadar, olosid atul cã T este de ti (M), avem Tu = g. Dar, oricare N ºi deci, g, lim Tu î cotradicþie cu relaþia ( ). Obþiem astel cã Tu. Tu,. Deoarece Tu = g avem Tu,, Mai mult, avem: Prooziþia 3.: Fie u saþiu Baach releiv cu dim ºi T : o alicaþie de ti (M) care satisace codiþia (). Presuuem cã eistã u r > astel îcât etru orice u, cu u r, avem Tu, u. Atuci eistã u astel îcât Tu. Demostraþie: Fie F ' amilia tuturor subsaþiilor iit-dimesioale ale lui cu dimesiuea mai mare ca l. Folosid aceleaºi otaþii ca î rooziþia 3., dacã arãtãm cã T F u are o soluþie î B,r F oricare F F ', atuci demostraþia rooziþiei 3. va i suicietã. Fie F F '. Atuci T F : F F este cotiuu ºi, deci, ucþioala : F R, Fu T F u, u este cotiuã. Mulþimea F B, r este coeã, T F F B, r coeã ºi di atul cã T F F B, r obþiem cã T F u, u sau u, u oricare u F, u r. Î rimul caz, T F u are soluþie î B, r caz cosiderãm astel îcât u, u TF T F u are soluþie. Deci T F u are soluþie. este T F,, iar î al doilea T F oricare u F, u r ºi astel 3.4. OPERATORI MÃRGINIÞI UNGHIULAR Petru studierea solvabilitãþii ecuaþiilor Hammerstei, cel mai semiicativ cocet itrodus a ost acela de oerator mãrgiit ughiular, ca o subclasã a alicaþiilor mootoe [7, 36, 48, 6, 68, 79]. Oeratorii mãrgiiþi ughiular au ost itroduºi de H. Ama [] ºi utilizaþi î studiul ecuaþiilor Hammerstei, î secial de F.E. Browder C.P. Guta [] ºi F.E. Browder [4]. Meþioãm abordãrile detaliate ale ecuaþiilor Hammerstei î moograiile [36], [4] ºi [48]. Vom cosidera saþiul Baach real ºi dualul sãu. Deiiþia 3.3: O alicaþie liiarã mootoã K : DK se umeºte mãrgiitã ughiular cu o costatã c, dacã etru orice ºi are loc relaþia: (3.) K, K, ck, K,. Petru simlitate vom cosidera î cotiuare cã DK. 34

Observaþie: Reamitim cã o alicaþie liiarã mãrgiitã K : se K, K,, oricare,. Astel, orice alicaþie umeºte simetricã, dacã simetricã K : este mãrgiitã ughiular cu o costatã c =. Observaþie: Alicaþia liiarã K : se umeºte tare mootoã (sau tare acretivã sau ozitiv deiitã) dacã eistã o costatã m > astel îcât K, m, etru orice. O alicaþie tare mootoã este mãrgiitã ughiular cu costata c K m, deoarece: K, K, K ck, K,, oricare,. Cocetul de mãrgiire ughiularã oate i etis ºi la oeratori eliiari [48]. Vom lega mãrgiirea ughiularã de mootoia ciclicã. U oerator este ciclic mooto dacã: T, T, T : D T T., 3 oricare i D( T ), i=,,,, ºi etru toþi N ude am cosiderat. Petru roblema se reduce la mootoia uzualã. U eemlu tiic de alicaþie multivaletã ciclic mootoã este subdiereþiala uei ucþii rorii covee semicotiue ([36],. 4). Sutem iteresaþi î articular de cazul î care u oerator eliiar este 3-ciclic mooto, adicã, T T, z T Tz, z,, z DT T : D T,. Î acest ses, reamitim cã oeratorul Nemitsk este 3-ciclic mooto (rooziþia.4), adicã: N N z, z N, z,, oricare ar i,, z. Aceastã iegalitate oate i rescrisã îtr-o ormã mai coveabilã astel: N N z z N N,,, etru orice,, z sau, mai geeral, eistã o costatã C astel ca N N z z CN N,,, oricare,, z. Avem urmãtoarea echivaleþã: Teorema 3.4: Fie K : u oerator liiar mooto e saþiul Baach real. Urmãtoarele trei airmaþii sut echivalete: (a) K este 3-C-mooto, adicã eistã o costatã C astel îcât (3.) K K, z CK Kz, z, oricare ar i,, z ; (b) K satisace iegalitatea discrimiatului: (3.3) Kv, w 4CKv, vkw, w, oricare ar i v, w ; (c) K este mãrgiit ughiular, adicã eistã o costatã c astel îcât (3.4) K, K, 4c K, K,, etru orice,. 35

Demostraþie: Îlocuid î relaþia (3.) v = z ºi w = z, di liiaritatea lui K, obþiem Kv, w Kw, w CKv, v, etru orice v, w. Îlocuid î cotiuare v cu tv, obþiem iegalitatea: Kv, v t Kv, wt Kw, w C, oricare v, w, care este echivaletã cu eegativitatea discrimiatului ei, adicã (b)(c). Petru a stabili cealaltã echivaleþã itroducem, K, K,, oricare ar i,. Deoarece K este mooto, avem [, ] etru toþi ºi di iegalitatea Schwarz geeralizatã obþiem: (3.5) [, ] [, ] [, ], etru toþi,. Pe de altã arte, avem (3.6) K,,,, etru toþi,. Mai mult, iegalitatea (3.4), umitã mãrgiirea ughiularã a lui K, oate i scrisã sub orma: (3.7), c,,, oricare,. Di relaþia (3.6) ºi iegalitatea ( A B) A B etru umerele reale A,B, obþiem: K, c,,, oricare,, adicã relaþia (3.3) care este echivaletã cu 3-C-mootoia lui K, aºa cum am demostrat aterior. Aºadar, (c) (a)., K,, atuci obþiem Î ial, dacã K este 3-C-mooto ºi [, ] (4C )[, ] [, ], etru toþi,, adicã relaþia (3.4). Astel (a) (c), ºi echivaleþele euþate mai sus sut demostrate. Avem astel urmãtoarea etidere a mãrgiirii ughiulare la alicaþii eliiare: Deiiþia 3.5: O alicaþie eliiarã T : se umeºte mãrgiitã ughiular cu costata C >, dacã T Tz, z C T T,, etru toþi,, z. Dacã = z atuci u oerator mãrgiit ughiular K este mooto. Prooziþia 3.6 [36]: Alicaþiile mãrgiite ughiular au urmãtoarele rorietãþi: (P): Fie K : u oerator mãrgiit ughiular hemicotiuu. Fie, astel îcât K K,, atuci K = K. (P): Fie K : u oerator mãrgiit. Dacã oeratorul K este mãrgiit ughiular cu costata c, atuci etru orice r, eistã o costatã r K c K K, r, etru orice. r astel îcât Demostraþie: Folosid deiiþia 3.5, avem Kz, z K etru orice z. 36