Praktična implementacija kvantnega računalnika

Oddelek za fiziko Seminar - 4. letnik Praktična implementacija kvantnega računalnika Avtor: Simon Jesenko Mentor: dr. Marko Žnidarič 23. november 2009 Povzetek V seminarju so predstavljeni osnovni kriteriji, ki jih mora izpolnjevati potencialni kvantni računalnik, s katerim bo mogoče izvajati praktično uporabne izračune. V nadaljevanju je opisanih je tudi nekaj najbolj zanimivih in obetavnih predlogov za realizacijo kvantega računalnika. Posebej so izpostavljeni NMR računalnik, ionske pasti ter polprevodniški kvantni računalnik. Za opisane predloge so predstavljeni tudi pretekli eksperimentalni dosežki.

Kazalo 1 Uvod 2 2 Pogoji za praktičen kvantni računalnik 3 2.1 Razširljiv fizikalni sistem z dobro določenimi kubiti.............. 3 2.2 Možnost nastavljanja kubitov na enostavno začetno stanje.......... 3 2.3 Dekoherenčni časi veliko daljši kot časi izvajanja vrat............. 4 2.4 Univerzalni nabor kvantnih vrat......................... 4 2.5 Možnost meritve posameznega kubita...................... 5 3 Eksperimentalne izvedbe in predlogi 5 3.1 Jedrska magnetna resonanca........................... 6 3.2 Ionske pasti.................................... 8 3.3 Polprevodniki................................... 12 3.3.1 Spini v polprevodnikih.......................... 12 3.3.2 Kvantne pike............................... 13 3.4 Ostali predlogi.................................. 15 4 Zaključek 15 1

1 Uvod Kvantni računalniki izkoriščajo osnovne kvantne zakonitosti za obdelavo informacij, kar jih v osnovi loči od klasičnih računalnikov, ki so v uporabi danes. Obdelavo informacij na klasičnih digitalnih računalnih lahko v celoti opišemo z uporabo klasične fizike. Ker klasična mehanika predstavlja le posebno limito kvantne mehanike lahko sklepamo, da so kvantni računalniki najmanj tako zmogljivi kot klasični. Idejo o uporabi kvantnega računalnika je populariziral Richard Feynman leta 1981[1]. Predstavil je preprost model kvantnega računalnika, ki bi omogočal učinkovito simulacijo kvantih sistemov, kar na klasičnem računalniku izgleda dokaj nemogoča naloga. Leta 1985 je David Deutsch [2] postavil model kvantnega Turingovega stroja, ki zajame vse računske zmožnosti poljubnega kvantnega računalnika, in tako predstavlja osnovo za matematično obravnavo lastnosti kvantnega računalnika. Zanimanje za kvantno računalništvo se je izrazito povečalo skoraj desetletje kasneje, ko je leta 1994 Peter Shor objavil učinkovit kvantni algoritem za faktorizacijo velikih števil [3]. Faktorizacija velikih števil je osnova za množico kriptografskih sistemov. Na klasičnem računalniku namreč ne poznamo algoritma, ki bi faktorizacijo opravil v doglednem času. Potreben čas za faktorizacijo števila, zapisanega z n biti, raste praktično eksponentno (t e n ). Prav eksponentna časovna odvisnost algoritma omogoča uporabo faktorizacije v kriptografiji. Pri kvantnem algoritmu pa potreben čas raste samo polinomsko (t n p ). S praktično implementacijo dovolj zmoglivega kvantnega računalnika bi lahko tako kodirana sporočila enostavno odkodirali. Kasneje so odkrili še nekaj algoritmov, pri katerih pride do pohitritve napram klasičnim algoritmom, bolj znan je Groverjev algoritem za iskanje po bazi [4], kjer celoten seznam z n elementi preščemo v n korakih, kar je seveda zelo neintuitivno, klasično moramo namreč preveriti vsak element posebej. Kakšne pohitritve klasičnih algoritmov so možne na kvantnih računalnikih zaenkrat še ni znano, kar tudi ni presenetljivo, saj tudi same teoretične omejitve algoritmov na klasičnih računalnikih niso znane (problem P=NP 1 ). Na podlagi odkritih kvantnih algoritmov pa lahko sklepamo, da določene probleme lahko izračunamo z eksponentno pohitritvijo, nekatere z bolj zmerno pohitritvijo, pri nekaterih pa do pohitritve ne pride. Zaenkrat ne poznamo veliko praktično uporabnih kvantnih algoritmov, kar pa seveda ne pomeni da ne obstajajo. Razvoj kvantnih algoritmov je namreč mnogo bolj neintuitiven kot pa razvoj klasičnih algoritmov. Z razvojem ustreznih metod in teoretičnih orodji pa bi se situacija seveda lahko spremenila. Vzporedno z teoretičnimi osnovami kvantnega računalništva so se razvijali tudi različni predlogi za praktično implementacijo kvantnega računalnika. V nadaljevanju si bomo ogledali, katerim kriterijem mora ustrezati potencialni fizikalni sistem, s katerim bi lahko realizirali kvantni računalnik. Predstavil bom tudi trenutno najbolj obetavne predloge in eksperimentalne dosežke. 1 P = NP je vprašanje razmerja med razredoma računske zahtevnosti P in NP in je eno najpomembnejših vprašanj teoretičnega računalništva oz. teorije izračunljivosti. 2

2 Pogoji za praktičen kvantni računalnik Kriterije, ki se danes standardno uporabljajo za primerjavo različnih predlogov za kvantni računalnik, je v letu 2000 strnil IBM-ov raziskovalec David P. DiVincenzo [5]. Za uporaben kvantni računalnik, ki je dovolj zmogliv, da z uporabo kvantnih algoritmov lahko preseže zmogljivosti klasičnega računalnika pri določenih problemih, morajo biti izpolnjeni vsi Di- Vincenzovi kriteriji. 2.1 Razširljiv fizikalni sistem z dobro določenimi kubiti Fizikalni sistem, s katerim poskušamo napraviti kvantni računalnik, mora imeti dobro določene osnovne nosilce informacije, kubite. Kubit je analogen bitu v klasičnem računalniku, predstavlja pa ga poljubni dvonivojski kvantni sistem. Poznamo množico dvonivojskih kvantnih sistemov, kot na primer dve spinski stanji delca z spinom 1/2, osnovno in vzbujeno stanje atoma, ali dve polarizaciji fotona. Posamezni stanji dvonivojskega sistema označimo kot 0 in 1, kar spominja na binarno naravo klasičnega bita, vendar možno stanje posameznega kubita ni samo 0 ali 1. Poljubno stanje kubita zapišemo kot ψ = a 0 + b 1, a 2 + b 2 = 1, (1) kjer sta a in b kompleksni števili. Splošno stanje sistema z dvema kubitoma je določeno s štirimi kompleksnimi števili, a 00 +b 01 +c 10 +d 11. Za opis splošnega stanja n kubitov tako rabimo 2 n kompleksnih števil, n takih kubitov pa imenujemo kvantni register. Dobra določenost kubitov je pogojena z večimi faktorji. Dobro moramo poznati karakteristike posameznega kubita, kar vključuje energijski spekter samega kubita, kot tudi njegovo interakcijo z okoljem in ostalimi kubiti. Za kubit niso primerni samo dvonivojski sistemi, ampak lahko uporabimo tudi večnivojske sisteme, v kolikor je verjetnost za zasedenost ostalih stanj zelo majhna. Kvantni sistem mora biti tudi enostavno razširljiv. Mogoče mora biti povečevanje števila kubitov v sistemu, saj le to predstavlja glavni faktor pri zmogljivosti kvantnega računalnika. Število kubitov, ki bi jih moral imeti kvantni računalnik, s katerim bi hoteli dekodirati običajni privatni ključ v RSA kriptografiji s pomočjo Shorovega algoritma, ima spodnjo mejo n 10 4. Za nekatere druge aplikacije (simulacija kvantnih sistemov, ipd.) bi sicer zadoščali že sistemi z nekoliko manjšim številom kubitov (n 10 2 ). 2.2 Možnost nastavljanja kubitov na enostavno začetno stanje Dani pogoj je enostavna posledica dejstva, da moramo kvantni register pred začetkom vsakega izračuna postaviti na znano začetno stanje, običajno kar na 000.... Pogoj sledi tudi iz dejstva, da se bodo praktične implementacije kvantnega računalnika morale posluževati algoritma za popravljanje napak (quantum error correction)[6]. S takim algoritmom lahko v kvantnem računalniku odpravljamo napake zaradi dekoherence, dodatnih stanj na na kubitih in ostalih motenj. Brez sprotnega odpravljanja napak bolj obsežni kvantni izračuni ne bodo mogoči, določenim napakam se pač ne moremo izogniti. Algoritem za popravljanje napak pa 3

potrebuje sprotno inicializacijo kubitov na enostavno stanje (npr. 0 ). Medtem ko začetna inicializacija registra ne predstavlja večjih težav pri mnogih predlogih za kvantni računalnik, pa vmesno ponastavljanje kubitov ni enostavna naloga. Za nastavitev začetnega stanja namreč ni časovnih omejitev, in ponavadi zadošča že ohlajanje sistema, kar nas pripelje do najnižjega energijskega stanja. Za uspešnost popravljanja napak pa mora biti čas ponastavljanja kubitov primerljiv s časom izvajanja posamezne operacije na kvantnih vratih. V kolikor ustrezni časi ponastavljanja ne bodo dosegljivi, obstaja teoretična možnost inicializacije kubitov v ločenem bazenu, le te pa nato po potrebi dovajamo v računski del računalnika. 2.3 Dekoherenčni časi veliko daljši kot časi izvajanja vrat Zaradi interakcije z okoljem se čista kvantna stanja kubita ne ohranjajo, ampak prej ko slej preidejo v neko statistično mešanico čistih stanj. Tako se neko splošno stanje ψ = a 0 + b 1 v določenem času pretvori v statistično mešanico, ki jo opisuje gostotna matrika ρ = a 2 0 0 + b 2 1 1. To je seveda zelo poenostavljena slika samega procesa dekoherence, dejansko prihaja tudi do korelacij med sosednjimi kubiti, prav tako pa je hitrost dekoherence odvisna od izbranega začetnega stanja. Dekoherenca sama predstavlja osnovni mehanizem, ki vodi v klasično limito kvantne mehanike, in je do določene mere neizogibna. Brez uporabe algoritma za popravljanje napak bi morali biti vsi dekoherenčni časi tako dolgi, kot bi trajalo poljubno izvajanje algoritma. Zato bi se potreben dekoherenčni čas povečeval z velikostjo problema, ki ga rešujemo na kvantnem računalniku. Kvantni algoritem za popravljanje napak nam omogoči sprotno odpravljanje napak, zato mora biti dekoherenčni čas kubita primerljiv z razmakom med zaporednima izvedbama popravljanja napak. Trenutno je potreben dekoherenčni čas ocenjen na 10 4 10 5 kratnik časa, ki je potreben za posamezno operacijo kvantnih vrat. Negativna stran popravljanja napak pa je povečanja števila kubitov, ki so potrebni za izbrani algoritem. Vsak kubit namreč potrebuje približno še 10 pomožnih kubitov. Na srečo se relativno število pomožnih kubitov ob večanju števila računskih kubitov veča samo logaritemsko, tako da se z večanjem zmoglivosti kvantnega računalnika relativni delež pomožnih kubitov zmanjšuje. 2.4 Univerzalni nabor kvantnih vrat Kvantna vrata predstavljajo operatorje, s katerimi delujemo na kvantni register, in so analogne logičnim vratom v klasičnem računalniku. Vrata v kvantnem računalniku prestavljajo unitarne transformacije U 1, U 2, U 3,..., vsaka izmed teh operacij pa deluje na izbrane kubite in tako transformira stanje kvantnega registra v neko novo stanje ψ = U ψ. Izvajanje poljubne unitarne transformacije v praksi izgleda dokaj nemogoča naloga, vendar se izkaže, da lahko približek poljubne transformacije zapišemo kot produkt končnega števila posebej izbranih operacij, U i U i. Univerzalni nabor kvantnih vrat sestoji iz tako izbranih operacij. Tudi v klasičnem računalniku obstaja tak univerzalni nabor vrat, z operacijama NAND in NOR namreč lahko zapišemo poljubno logično operacijo. Primer univerzalnega nabora kvantnih vrat pa predstavljajo Hadamardova vrata (H), fazna vrata R(φ/4), in kon- 4

trolirana NOT (CNOT) vrata, ki se v matrični obliki za bazo { 0, 1 } zapišejo kot H = 1 [ ] [ ] 1 0 0 0 1 1 1 0, R(θ) = 2 1 1 0 e iθ, CNOT = 0 1 0 0 0 0 0 1 (2) 0 0 1 0 Praktično izvedbo določene unitarne transformacije najlaže ponazorimo z identifikacijo ustreznih Hamiltonianov, ki generirajo dana vrata, U 1 = e ih 1t/, U 2 = e ih 2t/,... (3) Kvantni računalnik mora omogočati vklop motnje v obliki zgornjih Hamiltonianov na izbranih kubitih za določen čas t, kar izvede ustrezno operacijo na registru. V praksi seveda ne moremo enostavno vklapljati in izklapljati poljubnih Hamiltonianov na sistemu, možne operacije nam v celoti določajo interakcije med kubiti in interakcija le teh z okoljem. Prav tako ni realistična predpostavka, da posamezne Hamiltoniane sunkovito vključimo za izbran čas t, taka sunkovita sprememba Hamiltoniana namreč lahko vzbudi tudi višje ležeča stanja sistema. Zato je potrebno ustrezni Hamiltonian vklopiti in izklopiti počasi, kar seveda določa najmanjši čas izvajanja posamezne operacije na kubitih. 2.5 Možnost meritve posameznega kubita Po končanem izračunu moramo prebrati stanje kvantnega registra, ki predstavlja željeno rešitev problema. Idealna meritev v bazi { 0, 1 } mora za kubit z gostotno matriko ρ = p 0 0 + (1 p) 1 1 + α 0 1 + α 1 0 (4) vrniti 0 z verjetnostjo p, in 1 z verjetnostjo 1 p, ne glede na vrednost α in ostalih parametrov sistema, vključno s stanjem sosednjih kubitov. Meritev izbranega kubita tudi ne sme vplivati na stanje ostalih kubitov v računalniku. V praksi seveda take meritve niso možne, vendar pa je dejanska natančnost meritve lahko veliko manjša. Ustrezno natančnost namreč lahko dosežemo z večkratno ponovitvijo izračuna. Dodatno možnost ponuja tudi hkratno izvajanje izračuna na večih identičnih računalnikih, kar ima enak učinek kot večkratno ponavljanje izračuna. Določene implementacije kvantega računalnika so že v osnovi sestavljene iz več identičnih kopij, primer je NMR kvantni računalnik, kjer dejansko vsaka molekula v raztopini predstavlja instanco računalnika. S standardnimi NMR tehnikami lahko hkrati izvajamo operacije na vseh molekulah, pa tudi končni rezultat preberemo za vse molekule hkrati. 3 Eksperimentalne izvedbe in predlogi Obstaja množica predlogov za realizacijo kvantnega računalnikov, ki so na različnih stopnjah razvoja. Za določene predloge obstajajo teoretične ideje za izpolnitev DiVincenzovih kriterijev, izpolnjenost nekaterih kriterijev pa je tudi že eksperimentalno potrjena. Še za 5

noben predlog pa niso bili eksperimentalno potrjeni vsi kriteriji. V nadaljevanju bom predstavil nekaj predlogov, ki so trenutno najbliže izpolnitvi vseh potrebnih pogojev, ali pa imajo pomembno zgodovinsko vlogo zaradi preteklih eksperimentalnih dosežkov. Povsem mogoče pa je, da se bo v prihodnosti za najbolj primerno izkazala kakšna tehnologija, ki v seminarju ni predstavljena, ali pa morda niti še ni odkrita. 3.1 Jedrska magnetna resonanca Kvantni računalnik z uporabo jedrske magnetne resonance (NMR) je zaslužen za prve eksperimentalne uspehe na področju kvantnega računalništva. S pomočjo NMR tehnik je bilo demonstriranih več kvantnih algoritmov, vključno z že omenjenim Groverjevim in Shorovim algoritmom. Algoritmi so bili realizirani na različnem številu kubitov, trenutni rekord drži implementacija Shorovega algoritma s 7 kubiti iz leta 2001, s katerim so faktorizirali število 15. Do danes še nobena druga tehnika ni obrodila primerljivih rezultatov, vendar pa ima NMR implementacija kritično pomankljivost. Število kubitov, ki jih lahko teoretično realiziramo je namreč omejeno, razlogi pa se skrivajo v samem načinu delovanja NMR računalnika. Posledično je tudi število raziskav na področju NMR kvantnega računalnika v zadnjem času močno upadlo. Jedrska magnetna resonanca nam omogoča manipulacijo in meritve jedrskih spinskih stanj v izbranem vzorcu. Posamezna jedra z spinom 1/2 se tako ponudijo kot idealni kandidati za kubite, pod pogojem seveda, da lahko merimo in upravljamo točno izbrano jedro v molekuli. Vsaka molekula v vzorcu predstavlja izoliran kvantni register, kar NMR računalnik tudi najbolj razlikuje od ostalih implementacij. V NMR računalniku namreč iztočasno opravljamo operacije in meritve na množici enakih kvantnih registrov. Statistična narava takih operacij sicer omogoča delovanje računalnika pri sobnih temperaturah, vendar pa pripelje tudi do že omenjenih težav z večanjem števila kubitov. Hamiltonian jedra s spinom 1/2 v statičnem magnetnem polju z jakostjo B 0 zapišemo kot H 0 = µ B 0 = γs B 0, (5) kjer γ označuje giromagnetno razmerje jedra, S = 1 σ pa operator spina. Energijska razlika 2 dveh spinskih stanj v danem magnetnem polju znaša E = ω 0, kjer ω 0 = γb 0 označuje Larmorjevo frekvenco. Na spin posameznega jedra lahko vplivamo z elektromagnetnim valovanjem z ustrezno resonančno frekvenco ω = ω 0. Posamezna jedra v molekuli lahko upravljamo pod pogojem, da imajo različne resonančne frekvence ω 0. V tem primeru bomo namreč z določeno frekveno elektromagnetnega valovanja vplivali samo na izbrano jedro, ostala pa bodo ostala v prvotnem stanju. Različni elementi imajo različna giromagnetna razmerja že zaradi drugačne sestave nukleona. Vendar pa tudi pri enakih jedrih pride do razlik v resonančni frekvenci. Efektivno statično polje B 0, ki ga čutu jedro, je namreč odvisno tudi od elektronske konfiguracije v njegovi okolici. Tako lahko razločimo tudi enaka jedra na različnih mestih v molekuli. Relativni premik resonančne 6

frekvence jedra zaradi elektronske konfiguracije jedra (α) je poznan tudi kot kemijski premik. Hamiltonian za molekulo z n jedri v magnetnem polju tako lahko zapišemo kot H 0 = n i=1 (1 α (i) )γ (i) B 0 S (i) z = n i=1 ω (i) 0 S (i) z. (6) Poleg opisane interakcije jeder z magnetnim poljem pa tudi med sama jedra znotraj molekule interagirajo drug z drugim. V režimu delovanja kvantnega računalnika pride do izraza posredna interakcija med jedri, do katere pride zaradi prekrivanja elektronskih orbital posameznega atoma. Celoten Hamiltonian tako zapišemo kot H = H 0 + H J = n i=1 ω (i) 0 S z (i) + 2π i<j J ij S z (i) S z (j). (7) Same interakcije med jedri ne moremo preprosto izklopiti, ampak moramo stanja kubitov sproti ustrezno korigirati. Vendar pa ima dana interakcija tudi dobre lastnosti, omogoča namreč implementacijo dvo-kubitnih vrat, ki sicer ne bi bila mogoča. Slika 1: Shema NMR naprave: B 0 predstavlja statično magnetno polje, B 1 predstavlja vzbujajoče magnetno polje, S vzorec z raztopino molekul, L 1 in L 2 tuljavi za generiranje elektromagnetnih pulzov in meritve magnetizacije, SW pa stikalo za preklop med vzbujanjem in merjenjem. Vir: Benenti, Casati, and Strini [7] Shema naprave za NMR kvantni računalnik je prikazana na sliki 2. Močni magnet ustvari homogeno magnetno polje B 0 (10-15T), usmerjeno v z smeri. Dve tuljavi, postavljeni v (x,y) ravnini omogočata generiranje šibkih elektromagnetnih polj, s katerimi vzbujamo posamezna jedra v vzorcu. Operacije ustreznih eno in dvo kubitnih vrat dosežemo s proženjem elektromagnetnih pulzov ustrezne jakosti, frekvence in trajanja. 7

Po končanem zaporedju elektromagnetnih pulzov, ki predstavljajo določen kvantni algoritem, s tuljavami pričnemo meriti elektromagnetno polje, ki ga povzročajo precesirajoča jedra v vzorcu. Iz izmerjene napetosti na tuljavah lahko razberemo povprečje spinskih stanj posameznih kubitov v molekulah. Sedaj se lahko vrnemo na osnovni problem NMR kvantnega računalnika, in sicer skaliranje števila kubitov. Svojevrstno omejitev postavlja izbira molekule, ki bi imela ustrezno število jeder z dovolj različnimi resonančnimi frekvencami. Vendar obstaja še bolj fundamentalna težava. NMR kvantni računalnik namreč obratuje pri sobnih temperaturah, kjer nimamo opravka s kubiti v čistih stanjih, ki so običajno potrebni za kvantne izračune, ampak v statistični mešanici različnih stanj. Začetno ravnovesno stanje opišemo z gostotno matriko ρ = exp( βh)/z. Za posamezni spin tako gostotno matriko v bazi { 0, 1 } zapišemo kot ρ = 1 [ exp( 1 β ω ] 2 0) 0 Z 0 exp( 1β ω (8) 2 0) Pri običajnih pogojih, kjer velja β ω 0 10 5, lahko uporabimo približek ρ 1I 1β ω 2 2 0σ z, oziroma za molekulo z n kubiti ρ 1 (I βh). Z Za namen kvantnega računa lahko sistem spravimo v psevdo-čisto stanje [8], ki prestavlja tako statistično mešanico, da se relevantne opazljivke pod vplivom unitarnih operacij razvijajo enako kot čista stanja. Primer takega psevdo-čistega stanja, ki je analogen začetnemu čistemu stanju 00..0 lahko zapišemo kot ρ pp = 1 n Z I + ɛ 0 i 0 i, (9) kjer ɛ predstavlja intenziteto psevdo čistega stanja. Na žalost ɛ z večanjem števila kubitov n eksponentno pada, i=1 ɛ 1 2 n, zato pri večjem številu kubitov ne moremo doseči ustreznega stanja, ki bi omogočal kvantno računanje. Padanje intenzitete lahko intuitivno razložimo z opazovanjem deleža molekul vzorca v stanju 00..0. Pri sobni temperaturi je praktično vsako stanje molekule enako verjetno, obstaja pa 2 n različnih stanj, zato bo v ustreznem stanju le p = 1 molekul. 2 n 3.2 Ionske pasti Ionske pasti omogočajo natančno uporavljanje položaja posameznega iona. Kvantni računalnik s pomočjo ionskih pasti je osnovan na verigi tako ujetih ionov. Posamezni ioni v verigi predstavljajo kubite, stanje posameznega iona pa upravljamo s pomočjo laserskih sunkov. Temperatura sistema mora biti blizu absolutne ničle, naključne termične fluktuacije namreč lahko pripeljejo do napake v izračunih. Stanje posameznega iona lahko zapišemo kot produkt notranjih elektronskih stanj iona in pa gibanja celotnega iona v potencialu ionske pasti, φ = i e n i. Vrednosti kubita 0 8

Slika 2: Struktura molekule, ki je bila uporabljena v implementaciji Shorovega algoritma z NMR. Posamezni kubiti so označeni s številkami od 1 do 7. Vir: Vandersypen, Steffen, Breyta, Yannoni, Sherwood, and Chuang [9] in 1 predstavljata ustrezno izbrani elektronski stanji g in e, ki sta dovolj izolirani od ostalih elektronskih stanj. Vibracijska stanja ionov n i pa omogočajo izvajanje dvo-kubitnih vrat, kar pri popolnoma izoliranih kubitih ne bi bilo mogoče. Posamezni ioni v verigi so lokalizirani s pomočjo Paulove pasti, ki izkorišča različna oscilirajoča radiofrekvenčna polja. V namene kvantnega računalništva se uporablja pasti, ki ujamejo izravnano verigo ionov na izbrani osi. Željene karakteristike dosežemo z oscilirajočim kvadrupolnim poljem, ki preprečuje odmik ionov z osi z ionske pasti (r = x 2 + y 2 ), vzdolžno pa ione držimo s statičnim električnim poljem (skica 3). Električni potencial znotraj pasti opisuje enačba U 0 φ(x, y, z; t) = 1 2 R 2 (x2 + y 2 ) cos(ω RF t) + 1 [ z 2 ɛx 2 (1 ɛ)y 2], (10) 2 R 2 kjer ω RF predstavlja frekvenco kvadrupolnega polja, R 2 in ɛ sta odvisna od geometrije pasti, U 0 in V 0 pa sta potenciala kvadrupolnih in statičnih elektrod. Navedeno električno polje se izpovpreči v efektivni 3D harmonični potencial, v katerem ion niha z ustreznimi frekvencami ω x, ω y in ω z. Za nihajne frekvence velja ω z ω x, ω y, zato lahko ione obravnavamo kot 1D linearno verigo v harmoničnem potencialu. Hamiltonijan ionov v taki verigi zapišemo kot V 0 H = N i=1 p 2 N i 2M + i=1 1 2 Mω2 zz 2 i + N 1 i=1 j>i q 2 4πɛ 0 z j z i, (11) kjer prvi člen predstavlja kinetično energijo ionov, drugi člen potencialni energijo ionov v efektivnem potencialu pasti, tretji člen pa elektrostatično interakcijo med posameznimi ioni. Rešitev za gornji Hamiltonian predstavljajo lastni nihajni načini z izbranimi frekvencami. Najnižji nihajni način predstavlja kar nihanje celotne verige v harmoničnem potencialu pasti. 9

Slika 3: Skica ionske pasti z ujeto verigo ionov. Štiri vzdolžne elektrode držijo ione na z osi s pomočjo oscilirajočih kvadrupolnih polj (sosednje elektrode imajo nasprotno napetost), znotraj pasti v smeri z osi pa jih drži statično električno polje, ki ga povzročata osno nameščeni elektrodi z visoko pozitivno napetostjo. Stanje posameznih ionov manipuliramo z laserjem. Spodaj: CCD slika verige osmih ionov v pasti. Razdalja med zunanjima ionoma je 70nm. Vir: Benenti, Casati, and Strini [7] Poljubna eno-kubitna vrata na posameznem kubitu izvedemo z laserskimi sunki ustrezne frekvence in trajanja na posameznem ionu. Frekvenca laserja ω mora ustrezati frekvenci prehoda med stanjema e in g, ω a = E e E g. (12) Operacijo, ki jih povzroči interakcija med laserjem in ionom opišemo kot [ ] cos θ ie R c (θ, φ) = iφ sin θ 2 2 ie iφ sin θ cos θ, (13) 2 2 kje je θ pogojen z trajanjem in jakostjo interakcije, φ pa fazo laserja. Pri izvajanju dvo-kubitnih kvantnih vrat pa si pomagamo z vibracijskimi stanji verige, ki posredujejo interakcijo med dvema kubitoma. Z ustreznim laserskim sunkom, katerega frekvenca ustreza hkratnemu prehodu vibracijskega stanja verige in elektronskega stanja iona (4), ω = ω a + ω t, lahko v odvisnosti od elektronskega stanja obsevanega elektrona spreminjamo vibracijsko stanje verige. Osnovno idejo dvo-kubitnih vrat lahko ponazorimo s poenostavljenim primerom operacije, ki deluje med prvim in drugim kubitom: Prvi kubit obsvetimo z laserskim pulzom, ki v odvisosti od stanja prvega kubita ( 0, 1 ) vzbudi vibracijsko stanje verige. 10

Slika 4: Energijski nivoji ujetega iona. Skica prikazuje primer dveh prehodov, ki povzročita le spremembo vibracijskega stanja iona, medtem ko elektronsko stanje elektrona ostane nespremenjeno. Vir: Benenti, Casati, and Strini [7] Drugi kubit obsvetimo z laserskim pulzom, ki v odvisosti od vibracijskega stanja verige spremeni stanje drugega kubita. Zgornji primer je seveda pretirano poenostavljen, vendar pa s podobnim postopkom lahko naredimo ustrezna CNOT vrata, ki v kombinaciji s prej navedenimi eno-kubitnimi vrati predstavljajo univerzalni nabor vrat na ionskem kvantnem računalniku. Začetno stanje kvantnega registra 00..0 dosežemo z laserskim ohlajanjem. Lasersko ohlajanje obsega več različnih metod, med najbolj uporabljane pa spadata t.i. Dopplerjevo ohlajanje in stransko pasovno ohlajanje (sideband cooling). Pri Dopplerjevem ohlajanju ione obsvetimo z laserjem s frekvenco, ki je malenkost manjša od izbrane frekvence elektronskega prehoda v ionih. Za ione, ki se približujejo laserju z večjo hitrostjo bo zaradi Dopplerjega učinka efektivna frekvenca ustrezala elektronskemu prehodu, zato hitrejši ioni absorbirajo več fotonov kot počasnejši. Pri absorbciji fotona se ionu spremeni gibalna količina za p = h/λ. Sprememba v povprečju deluje v obratni smeri največje hitrosti iona. Vzbujeni ion sčasoma tudi spontano izseva foton z enako velikostjo gibalne količine, vendar le ta nima preferenčne smeri. Tako se povprečna hitrost posameznih ionov manjša. S ponavljanjem postopka lahko vzorec ohladimo do 1mK, kar pa še vedno ustreza n 10 za osnovno vibracijsko stanje verige. Nevzbujeno stanje verige n = 0 lahko dosežemo z naknadnim stransko-pasovnim ohlajanjem, kjer z laserjem vzbujamo redke prehode med nivoji g, n v e, n 1. Nato s spontanim sevanjem pride do prehoda iz stanja e, n 1 v g, n 1. S ponavljanjem postopka na koncu z veliko verjetnostjo dosežemo osnovno stanje verige. Za branje končnega stanja kvantnega registra si zopet pomagamo z laserjem. Posamezni ion obsvetimo z laserjem, katerega valovna dolžina in polarizacija vzbudita prehode samo pri ionih, ki so v izbranem stanju (npr. v e ). Vzbujeni ioni v stanju e spontano izsevajo fotone z valovno dolžino laserja, katere lahko zaznamo z običajnim CCD senzorjem. Ioni, na katerih pa ne zaznamo izsevanih fotonov pa so v stanju g. Z ionskimi pastmi so uspešno ustvarili prepletena stanja osmih ionov [10], pomembni 11

uspehi pa so bili doseženi tudi pri izdelavi miniaturnih ionskih pasti v integriranih vezjih [11]. 3.3 Polprevodniki Kvantni računalniki, osnovani na polprevodniški tehnologiji, imajo prednosti napram ostalim predlogom predvsem zaradi uveljavnosti in tehnološke izpopoljenosti obstoječih postopkov za izdelavo integriranih vezji in ostalih polprevodniških elementov. Dodatna prednost polprevodniškega kvantnega računalnika bi bila tudi dokaj enostavna integracija le tega s klasičnim polprevodniškim računalnikom. Obstaja množica različnih predlogov za uporabo polprevodnikov v kvantnem računalništvu, v nadaljevanju pa bom predstavil dva najbolj znana in raziskana. 3.3.1 Spini v polprevodnikih Slika 5: Shema kvantnega računalnika, ki uporablja spine jeder donorskih primesi za računanje. Vir: Kane [12] Prvi praktični predlog za uporabo polprevodnikov v kvantnem računalniku je podal Kane (1998)[12]. Posamezne kubite v računalniku predstavljajo fosforjevi donorski atomi 31 P, ki so vključeni v kristal čistega silicija 28 Si. Za stanja 0 in 1 vzamemo orientacijo spina jedra 31 P s S = 1/2, medtem ko za jedra 28 Si velja S = 0. Tako izbrani kubiti imajo več dobrih lastnosti. Imajo namreč zelo dolg dekoherenčni čas, poleg tega pa jih lahko kontroliramo z zunanjim magnetnim poljem, na podoben način kot pri NMR kvantnem računalniku. Na Larmorjevo frekvenco za spinski prehod posameznega jedra lahko vplivamo z električnim poljem, ki ga reguliramo prek A-vrat (slika 5). Električno polje namreč vpliva na 12

donorske elektrone, ki so z jedri sklopljeni preko hiperfine interakcije. Tako lahko kontroliramo točno izbrane kubite, katere z A-vrati premaknemo v resonanco z zunanjim magnetnim poljem B AC. Vse eno-kubitne operacije lahko nato opravljamo na podoben način kot pri NMR računalniku. Med sosednimi jedri 31 P v silicijevi mreži je interakcija zelo šibka, zato je ne moremo direktno uporabiti za implementacijo dvo-kubitnih vrat, kot je bil primer v NMR računalniku. Interakcijo pa lahko posredujejo donorski elektroni. Vrednost spina jedra lahko pod vplivom A-vrat prenesemo na spin donorskega elektrona. S potencialom na J-vratih nato pritegnemo donorske elektrone dveh sosednjih P atomov, kjer pride do močne interakcije med elektronskima spinoma, in tako do posredne interakcije med spinoma dveh sosednih jeder. Elektronski spini imajo v tem primeru podobno vlogo kot lastna nihanja verige v prej opisanem računalniku z ionsko pastjo. Težava opisanega predloga je potreba po zelo veliki natančnosti obdelave polprevodnika. Zahtevan razmik med posameznimi nečistočami in vrati je velikostnega reda 10nm, medtem ko je trenutna natančnost industrijske izdelave polprevodniških elementov v integriranih vezja 45nm. Glede na hitrost razvijanja tehnologije polprevodniških elementov lahko pričakujemo, da bo željena natančnost kmalu dosežena, takrat pa bo mogoče eksperimentalno preveriti izvedljivost Kaneovega računalnika. 3.3.2 Kvantne pike Kvantne pike so umetne tvorbe v polprevodniških materialih, ki predstavljajo potencialno jamo v kristalu polprevodnika. Potencial kvantne pike lahko ujame proste elektrone v kristalu. Ujeti elektron ima diskretni spekter, podobno kot elektroni v atomskih orbitalah. Tipične vezavne energije in velikosti orbite elektrona v kvantni piki so E v 1meV in r 0 50nm (v atomih E v 10eV in r 0 0.05nm). Kvante pike so izdelane iz dveh plasti različnih polprevodnikov. Med plastema se naberejo prosti elektroni, ki se obnašajo kot 2D elektronski plin. S pomočjo kovinskih elektrod na površini lahko ustvarimo električno polje, ki odstrani elektrone iz izbranih območji v plasti med polprevodnikoma, in tako ustvari enega ali več izoliranih otokov z omejenim številom ujetih elektronov (slika 6). Ti otoki predstavljajo kvantne pike. S kontroliranjem napetosti na vratih lahko dosežemo prekrivanje sosednjih pik. Število elektronov v posamezni kvantni piki lahko kontroliramo zelo natančno, v izolirano kvantno piko lahko ujamemo tudi en sam elektron. Za kubit lahko uporabimo spin izoliranega elektrona v kvantni piki, ki se ponaša z dolgim dekoherenčnim časom. Če kvantno piko postavimo v statično magnetno polje B (slika 7), pride do razcepa energijskih stanj elektrona v odvisnosti od orientacije spina (Zeemanov pojav). Energijska razlika stanj znaša E = gµb, kjer g označuje Landéjev g-faktor. Spinsko stanje elektrona v kvantni piki lahko kontroliramo z oscilirajočim magnetnim poljem B ac ustrezne frekvence, ki ustreza energijski razliki med spinskima stanjema ω = E/. Metoda je poznana kot elektronska spinska resonanca in je zelo podobna NMR tehniki, le namesto jeder imamo opravka z elektroni. Za eno-kubitne operacije moramo imeti možnost operiranja z izbranim kubitom. Z vklopom električnega polja nad izbrano kvantno piko lahko premaknmo elektron v območje s 13

Slika 6: (a) Skica polprevodniškega elementa, ki z ustreznimi napetostimi na vratih izolira dve kvantni piki. Območja pod elektrodami ne vsebujejo elektronov in tako izolirajo dve kvantni piki v ravnini elektronskega plina. (b) Slika kvantnih pik pod elektronskim mikroskopom. Vir: Elzerman, Hanson, van Beveren, et al. [13] Slika 7: Shema kvantnega računalnika s kvantimi pikami. Posamezne kvantne pike označujejo krogi. Vir: Elzerman, Hanson, van Beveren, et al. [13] spremenjenim Landéjevim g-faktor. Posledično se resonančna frekvenca izbranega elektrona spremeni, zato bo oscilirajoče magnetno polje B ac z enako frekvenco vplivalo samo na izbrani elektron. Dvo-kubitna vrata nam omogoča izmenjalna interakcija med elektronoma v sosednjih kvantnih pikah, ki jo opisuje Hamiltonian H = i<j J ij S i S j. (14) Jakost interakcij J ij je pogojena s stopnjo prekrivanja orbital elektronov i in j. Na stopnjo prekrivanja pa enostavno vplivamo z napetostjo elektrod na površini kristala. Pri večji napetosti sosedni kvantni piki ločuje višja potencialna barijera, ki posledično zmanjša prekrivanje orbital in jakost interakcije. Kvantne pike tako predstavljajo enega redkih predlogov, kjer lahko enostavno vklapljamo in izklapljamo interakcijo med sosednjimi kubiti. Branje končnega stanja kubita je mogoče preko spinsko odvisnega tuneliranja elektrona iz kvantne pike. Z ustrezno napetostjo na vratih lahko dosežemo, da piko zapusti samo 14

elektron z ustreznim spinom, medtem ko elektron z nasprotnim spinom ostane v piki. Na ta način lahko merjenje polarizacije spina v kvantni piki nadomestimo z meritvijo naboja, kar je tehnično veliko laže izvedljivo. 3.4 Ostali predlogi Polega zgoraj obdelanih predlogov obstaja še kar nekaj drugih, ki so morda ravno tako obetavni, vendar pa bi bolj natančna obdelava vsakega posebej presegala okvirje seminarja. Zato v nadaljevanju navajam posamezne predloge s kratkim opisom fizikalnih principov, na katerih so osnovani: Nevtralni atomi v optičnih mrežah Optična mreža predstavlja stoječe svetlobno valovanje, ki nastane zaradi interference med laserskimi žarki. V periodični potencial stoječega valovanja lahko ujamemo posamezne nevtralne atome, podobno kot ione v ionski pasti. Izbrana stanja posameznega atoma predstavljajo kubite. Stanja posameznih atomov lahko upravljamo z laserskimi sunki, vendar pa se atomi v optični mreži nahajajo na majhnih razdaljah, zato je zelo težavno upravljanje s točno izbranim atomom. Privlačna značilnost optičnih mrež so predvsem dolgi dekoherenčni časi, nevtralni atomi namreč zelo šibko interagirajo z okolico [14]. Superprevodniki Kubiti v superprevodnem kvantnem računalniku so narejeni s pomočjo Josephsonovih spojev, ki je sestavljen iz dveh superprevodnikov, povezanih s tanko plastjo izolatorja. Kubit lahko predstavlja več različnih opazljivk, od naboja na izoliranem superprevodnem otoku do magnetnega pretoka skozi superprevodno zanko [15]. Linearna optika Za reprezentacijo kubitov uporabimo posamezne fotone. Stanja kubita predstavlja polarizacija izbranega fotona, operacije na posameznih kubitih pa dosežemo z linearnimi optičnimi elementi. Največjo težavo predstavlja izvedba dvo-kubitnih vrat, fotoni namreč zelo šibko interagirajo med sabo [16]. 4 Zaključek Kljub mnogim dosežkom v zadnjih desetletjih je do praktično uporabnega kvantnega računalnika še zelo dolga pot. Zaenkrat niti ni jasno, ali bo izdelava uporabnega kvantega računalnika sploh mogoča. Že pri majhnem številu kubitov namreč dekoherenca povzroča velike težave, ki se bodo z večanjem števila kubitov le še stopnjevale. Vendar pa nas lahko z optimizmom navdajata tako število in raznolikost predlaganih rešitev, kot tudi konstanten tehnološki napredek pri posameznih predlogih. Povsem mogoče je tudi odkritje neke revolucionarne tehnologije, ki bo sunkovito pospešila razvoj, čemur smo bili že priča v klasičnem računalništvu z odkritjem tranzistorja. Trenutno se največ truda vlaga v iskanje in potrditev 15

(a) Skica optične mreže z ujetimi nevtralnimi (b) Slika superprevodnega kubita, ki deluje atomi. na osnovi magnetnega pretoka skozi zanko. Kubit vsebuje 4 Josephsonove spoje. [17] najboljše arhitekture, ki bo omogočala enostavno povečevanje števila kubitov. Največ uspehov zaenkrat še vedno dosega implementacija z ionskimi pastmi, veliko aktivnosti pa je tudi na ostalih predlogih. Razvoj kvantnega računalnika hkrati veliko doprinese k ostalim vejam fizike. Kot smo videli že iz opisanih predlogov, se namreč tesno navezuje na mnoga raziskovalna področja. Teoretične raziskave na področju kvantne dekoherence nam omogočajo boljše razumevanje osnov kvantne mehanike. Eksperimentalno delo pa prispeva veliko k izboljšanju tehnoloških postopkov in različnih senzorjev na velikostni skali kvantne mehanike. Tudi v klasičnih računalnikih se ob nadaljnem zmanševanju posameznih elementov kvantnim efektom ne bo mogoče izogniti. Znanje, pridobljeno v raziskavah kvantnega računalništva, bo tako morda v prihodnosti omogočalo tudi nadaljni razvoj klasičnega računalništva. Literatura [1] R.P. Feynman. Simulating physics with computers. International journal of theoretical physics, 21(6):467 488, 1982. [2] D. Deutsch. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer. Royal Society of London Proceedings Series A, 400:97 117, July 1985. [3] P.W. Shor. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring. In ANNUAL SYMPOSIUM ON FOUNDATIONS OF COMPUTER SCIENCE, volume 35, pages 124 124, 1994. [4] L.K. Grover. A fast quantum mechanical algorithm for database search. In Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing, page 219, 1996. 16

[5] D.P. DiVincenzo. The Physical Implementation of Quantum Computation. Fortschritte der Physik, 48(9-11):771 783, 2000. [6] Peter W. Shor. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. Phys. Rev. A, 52(4):R2493 R2496, Oct 1995. doi: 10.1103/PhysRevA.52.R2493. [7] G. Benenti, G. Casati, and G. Strini. Principles of Quantum Computation and Information: Basic tools and special topics. World Scientific Pub Co Inc, 2007. [8] DG Cory, R. Laflamme, E. Knill, L. Viola, TF Havel, N. Boulant, G. Boutis, E. Fortunato, S. Lloyd, R. Martinez, et al. NMR Based Quantum Information Processing: Achievements and Prospects. Fortschritte der Physik, 48(9-11):875 907, 2000. [9] L. M. K. Vandersypen, M. Steffen, G. Breyta, C. S. Yannoni, M. H. Sherwood, and I. L. Chuang. Experimental realization of Shor s quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance. Nature, 414:883 887, December 2001. doi: 10.1038/414883a. [10] H. Häffner, W. Hänsel, CF Roos, J. Benhelm, et al. Scalable multiparticle entanglement of trapped ions. Nature, 438(7068):643 646, 2005. [11] D. Stick, WK Hensinger, S. Olmschenk, MJ Madsen, K. Schwab, and C. Monroe. Ion trap in a semiconductor chip. Nature Physics, 2(1):36 39, 2005. [12] B.E. Kane. A silicon-based nuclear spin quantum computer. Nature, 393(6681):133 138, 1998. [13] JM Elzerman, R. Hanson, LHW van Beveren, et al. Semiconductor Few-Electron Quantum Dots as Spin Qubits. In Quantum Dots: a Doorway to Nanoscale Physics, volume 667, page 25, 2005. [14] Gavin K. Brennen, Carlton M. Caves, Poul S. Jessen, and Ivan H. Deutsch. Quantum logic gates in optical lattices. Phys. Rev. Lett., 82(5):1060 1063, Feb 1999. doi: 10. 1103/PhysRevLett.82.1060. [15] J. Q.You and Franco Nori. Superconducting circuits and quantum information. Physics Today, November 2005. [16] P. Kok, WJ Munro, K. Nemoto, TC Ralph, J.P. Dowling, and GJ Milburn. Linear optical quantum computing with photonic qubits. Reviews of Modern Physics, 79(1): 135 174, 2007. [17] Wikipedia. Flux qubit (3.11.2009). http://en.wikipedia.org/wiki/flux_qubit. 17