MINI KURS O SIMPLEKTIQKIM MNOGOSTRUKOSTIMA

MINI KURS O SIMPLEKTIQKIM MNOGOSTRUKOSTIMA Darko Milinkovi GTA zabavixte, zimski semestar 2001. Sadrжaj 1 Ciǉ, namena i domet teksta 1 2 Pristup 1 3 Xta znaqi,,simplektiqka? 2 4 Xta je,,simplektiqka geometrija? 2 5 Xta je,,simplektiqka topologija? 2 6 Primeri simplektiqkih mnogostrukosti 3 7 Kartanova formula 4 8 Mozerov metod deformacije 5 8.1 Deformacije simplektiqkih struktura.......... 5 8.2 Morsova lema.......................... 7 9 Simplektomorfizmi 8 10 Hamiltonove jednaqine u koordinatama 10 11 Primeri simplektomorfizama 10 i

12 Suvixe kratki izlet u klasiqnu mehaniku 11 12.1 Drugi ǋutnov zakon...................... 11 12.2 Varijacioni princip..................... 12 12.3 Leжandrova transformacija................. 13 12.4 Primeri.............................. 14 12.5 Hamilton Jakobijev metod.................. 15 13 Puasonove mnogostrukosti 16 14 Zakoni oquvaǌa 18 14.1 Zakon oquvaǌa energije.................... 18 14.2 Liuvilova teorema....................... 18 14.3 Poenkare Kartanova integralna invarijanta...... 19 14.4 Simetrije............................. 20 14.5 Primeri.............................. 21 15 Skoro kompleksne strukture 22 16 Funkcional dejstva 26 17 Lagranжeve podmnogostrukosti 27 18 Simplektiqka redukcija 32 18.1 Izotropne i koizotropne podmnogostrukosti...... 32 18.2 Kratki osvrt na Lijeve grupe................ 34 18.3 Marsden Vejstejnova redukcija............... 38 19 Holomorfne krive 39 19.1 Ocena energije.......................... 39 19.2 Fredholmova teorija...................... 41 19.3 Kompaktnost........................... 43 19.4 Neke primene........................... 46 19.4.1 Teorema o sferi i cilindru............ 46 19.4.2 Taqne Lagranжeve podmnogostrukosti i egzotiqne simplektiqke strukture............... 48 19.4.3 Florova homologija: par reqi........... 48 ii

20 Geometrija grupe simplektomorfizama 51 20.1 Fluks homomorfizam...................... 51 20.2 Kalabijev homomorfizam................... 53 20.3 Hoferova geometrija...................... 54 20.4 Simplektiqki kapaciteti.................. 56 21 Kontaktne mnogostrukosti 57 22 Literatura 61 iii

1 Ciǉ, namena i domet teksta Ovaj letak je nameǌen polaznicima GTA zabavixta, radi propagiraǌa, podsticaǌa i xireǌa simplektiqkog pogleda na matematiku. 1 Moжe se koristiti kao izvor zabave ili informacija i ne pretenduje na sistematiqnost ili potpunost. 2 Pristup GTA seminar neguje tradiciju,,uqeǌa osmozom (ὼσµóς, ὼϑέω). Trudi- emo se da u ovim belexkama sledimo taj duh. Time odustajemo od svakog pokuxaja da sve definixemo, dokaжemo i razumemo odmah; umesto toga, trudimo se da se izloжimo xto ve em broju primera i zadataka (,,pove aǌe osmoznog pritiska ), nepokolebǉivo veruju i da razumevaǌe koje nije otkrivaǌe nije razumevaǌe. Glavni deo teksta su zadaci, ima ih 100. Mnogi od ǌih su rexeni na kursu. Tako ostajemo privrжeni laiqkoj filosofiji obrazovaǌa:,,poznavaǌe prirode i druxtva se uqi, iz srpskog se pixu sastavi, a iz matematike rade zadaci. Bez sumǌe, mnogima se ovaj pristup ne e dopasti; ǌih ohrabrujemo da odloжe tekst i da mu se vrate kad budu boǉe voǉe i kad im pri ruci bude olovka. 2 Neki zadaci su moжda malo teжi za prvo qitaǌe o simplektiqkim mnogostrukostima i treba im se vra ati vixe puta, ali se taj trud isplati. 3 Kraj zadatka obeleжen je jednim od simbola,,,, u zavisnosti od teжine. su zadaci koji ciǉaju samo na to da probude zaspalog qitaoca, -zadaci zahtevaju od qitaoca da se maxi olovke, podrazumeva bar mali gubitak vremena, dok za treba razmisliti, os- 1,,In recent years, symplectic and contact geometries have encroached on all areas of mathematics. As each skylark must display its comb, so every branch of mathematics must finally display symplectisation. In mathematics there exist operations on different levels: functions acting on numbers, operators acting on functions, functors acting on operators, and so on. Symplectisation belongs to the small set of highest level operations acting not on details (functions, operators, functors), but on all mathematics at once. Although some such highest level operations are presently known (for example, algebraisation, Bourbakisation, complexification, superisation, symplectisation), there is as yet no axiomatic theory describing them. (V. I. Arnold, Catastrophe theory (3rd ed.), Springer Verlag, New York 1992) 2,,Knowledge is seldom lacking in the degree that will is lacking. (Ezra Pound,Guide to Kulchur) 3,,Ni malom Joжi u poqetku nije bilo lako. Uqeǌe mu nije ixlo od ruke. [...] I tako je Joжa morao da ponavǉa prvi razred. Ali samo prvi i nijedan vixe. (France Bevk,Kǌiga o Titu) 1

vrnuti se oko sebe i, moжda, otvoriti i prelistati neku kǌigu. Budu i da se radi o predavaǌima u zabavixtu, nema zadataka betl i sans. 3 Xta znaqi,,simplektiqka? Жele i da izbegne mogu nost zabune pri nazivaǌu razliqitih objekata istim imenom, Herman Vejl 4 je umesto reqi kompleksan, latinskog korena (od cum - sa, zajedno; complexus - obuhvat, zagrǉaj, naruqje) upotrebio req simplektiqki, zamenivxi latinski koren grqkim (ςνµπλέκω splesti, zaklopiti, saviti, svezati, zaplesti se, sukobiti se, ςνµπλεκτικóς zajedno upli u i) za novu strukturu koja se pojavila. 4 Xta je,,simplektiqka geometrija? Simplektiqka forma na glatkoj mnogostrukosti je nedegenerisana 5 zatvorena 6 2-forma na M. Mnogostrukost sa takvom formom zove se simplektiqka. Zadatak 1. Dokazati da je dim M = 2n ili. Zadatak 2. Dokazati da je ω nedegenerisana ako i samo ako je ω n 0. Posledica: simplektiqka mnogostrukost je orijentisana. Zadatak 3. T M T M, X i(x)ω je bijekcija. 7 5 Xta je,,simplektiqka topologija? Simplektiqke mnogostrukosti nemaju lokalne invarijante (v. Zadatak 14) i mogu se razlikovati samo kao globalni (tj. topoloxki) objekti. 8 ǋi- 4 H. Weyl, The Classical Groups, Their Invariants and Representation, Princeton University Press, 1946. 5 ( X)( Y )ω(x, Y ) 0 6 dω = 0 7 i(x)α je k 1 forma definisana sa i(x)α(y 1,... Y k 1 ) := α(x, Y 1,... Y k 1 ); i(x) je antiderivacija, tj. i(x) i(x) = 0, i(x)(α β) = i(x)αβ + ( 1) deg α i(x)β i naziva se unutraxǌe mnoжeǌe ili unutraxǌe diferenciraǌe. 8 Za razliku od Rimanovih mnogostrukosti, koje se lokalno razlikuju, npr. sfera i ravan se lokalno razlikuju kao Rimanove mnogostrukosti jer sfera ima pozitivnu krivinu, dok je krivina ravni nula. 2

hova geometrijska struktura uslovǉava ǌihovu topologiju, xto ilustruje i slede i zadatak. Zadatak 4. Neka je M zatvorena (= kompaktna i bez granice) simplektiqka mnogostrukost. Dokazati da su kohomoloxke grupe HDR 2k (M), k = 0, 1,, n, netrivijalne. Odavde sledi da postoje mnogostrukosti koje ne dopuxtaju simplektiqku strukturu. Ali to ne znaqi da postoje mnogostrukosti koje su nedostupne simplektiqkim metodama nad svakom mnogostrukox u lebdi simplektiqka struktura (v. primer ispred Zadatka 5). 6 Primeri simplektiqkih mnogostrukosti C n = R 2n, ω 0 = dp i dq i. Kompleksne podmnogostrukosti 9 u C n. Orijentisane povrxi. Kotangentna raslojeǌa. Neka je M proizvoǉna mnogostrukost i T M π M ǌeno kotangentno raslojeǌe. Tada θ(x p ) := p(π X p ) definixe 1 formu na T M, a ω := dθ nedegenerisanu taqnu 2 formu. Zadatak 5. Dokazati da za svaku 1 formu β na M vaжi β θ = β. Kompleksni projektivni prostori CP n sa Fubini Studijevom formom 1 ω := 2π log ζ 2, ζ = [ζ 0 : : ζ n ]. Zadatak 6. Dokazati da je ω dobro definisana forma (iako je ζ 2 = ζk ζk definisano na C n, ali ne i na CP n ). Glatki projektivni varijeteti. Neka su P k homogeni polinomi n + 1 kompleksne promenǉive. Projektivni varijetet je podskup u CP n definisan jednaqinama P k ([z 0 : : z n ]) = 0. 9 Skupovi nula konaqnog broja nezavisnih (tj. takvih da su im diferencijali linearno nezavisni) holomorfnih funkcija n promenǉivih u C n. 3

Zadatak 7. Dokazati da je P k ([z 0 : : z n ]) = 0 dobro definisana jednaqina (iako polinom P ne definixe funkciju na CP n ). Neka je Σ Rimanova povrx i Ω 1 (Σ) algebra 1 formi na Σ. Tada ω(ϕ, ψ) := ϕ ψ definixe simplektiqku strukturu na Ω 1 (Σ). Proizvod M 1 M 2 simplektiqkih mnogostrukosti (M 1, ω 1 ) i (M 2, ω 2 ) sa formom π 1ω 1 + π 2ω 2. Zadatak 8. Dokazati da navedene mnogostrukosti jesu simplektiqke. 10 Σ 7 Kartanova formula Neka je φ t : M M glatka familija glatkih preslikavaǌa, X(φ t (x)) = d dt φ t(x) i α k forma na M. Tada je (1) d dt φ t α = φ t (d(i(x)α) + i(x)dα). Dokaz: Indukcijom po k. Za k = 0 formula (1) glasi d dt φ t f = φ t df(x), xto je samo reformulacija definicije izvoda funkcije f u pravcu vektora X. Neka je β k + 1-forma. Ona se moжe zapisati kao β = df α, pa korix eǌem induktivne pretpostavke i osobina diferenciraǌa dobijamo: d dt φ t (df α) = d dt φ t df φ t α + φ t df d dt φ t α = φ t [di(x)df α + df i(x)dα + df di(x)α] 10 Za neke od ǌih videti zadatak 41. 4

i φ t [i(x)d(df α) + di(x)(df α)] = φ t [ i(x)(df dα) + d(i(x)df α df i(x)α)] = φ t [di(x)df α + df i(x)dα + df di(x)α]. Zadatak 9. Neka je α t glatka familija diferencijalnih formi. Dokazati da je ( d dt φ t α t = φ t d(i(x)α t ) + i(x)dα t + α ) t. t Zadatak 10. Koriste i Kartanovu formulu, dokazati da glatko homotopski ekvivalentna preslikavaǌa h 0, h 1 : M N indukuju isto preslikavaǌe HDR (N) H DR (M). 8 Mozerov metod deformacije 8.1 Deformacije simplektiqkih struktura Teorema 1. 11 Neka je ω t familija simplektiqkih formi na mnogostrukosti M, takvih da je [ω t ] = const. HDR 2 (M). Tada postoji familija difeomorfizama φ t, takva da je φ 0 = Id i φ t ω t = ω 0. Dokaz: Konstruisa emo φ t kao rexeǌe jednaqine (2) d dt φ t(x) = X(φ t (x)), φ 0 (x) = x, gde je vektorsko poǉe X izabrano na slede i naqin. Diferencirajmo (жeǉenu) jednaqinu φ t ω t = ω 0 po t, primeǌuju i Kartanovu formulu. Dobijamo da vektorsko poǉe X mora da zadovoǉava ( (3) φ t i(x)dω + di(x)ω + ω ) = 0. t 11 J. Moser, On the volume elemets on manifold, Trans. Amer. Math. Soc. 120, 280 296, 1965. 5

Poxto je dω = 0 i ω t = dσ t, jednaqina (3) bi e zadovoǉena ako bude zadovoǉena (4) i(x)ω + σ t = 0. Jednaqinu (4) moжemo da reximo po X (zaxto?), a zatim, za tako dobijeno X, moжemo da reximo (2) po φ (zaxto?). Zadatak 11. Neka je Σ kompaktna orijentisana povrx, a ω 0 i ω 1 dve simplektiqke forme na ǌoj. Dokazati da su (Σ, ω 0 ) i (Σ, ω 1 ) simplektomorfne ako i samo ako vaжi ω 0 = ω 1. Σ Uputstvo: ω 0 = χω 1 ; deformisati χ do 1 ne meǌaju i povrxinu (vrednost gorǌeg integrala) i ne degenerixu i formu. Zaxto je to mogu e i zaxto se time ne meǌa kohomoloxka klasa? Zadatak 12. Neka su Ω 0 i Ω 1 dve n-forme orijentacije na mnogostrukosti M dimenzije n (ne obavezno simplektiqkoj). Dokazati da postoji difeomorfizam mnogostrukosti M koji formu Ω 0 prevodi u Ω 1 ako i samo ako je Ω 0 = Ω 1. M Zadatak 13. Neka je N kompaktna podmnogostrukost mnogostrukosti M i ω 0, ω 1 dve simplektiqke forme na M takve da je ω 0 = ω 1 na T N M. Dokazati da postoji otvorena okolina U podmnogostrukosti N i difeomorfizam φ : U U takav da je φ ω 1 = ω 0. Uputstvo: Forma ω t := tω 1 + (1 t)ω 0 je nedegenerisana u nekoj okolini V N (zaxto? 12 ). Izabrati U V tako da je U = N (zaxto je to mogu e? 13 ). Primeniti Kartanovu formulu... Zadatak 14. Neka je u Zadatku 13 N taqka. Razmatraǌem tog sluqaja dokazati Darbuovu teoremu: svaka simplektiqka mnogostrukost je lokalno simplektomorfna mnogostrukosti (R 2n, dp k dq k ). 12 Xta je ω TN M?,,Nedegenerisanost je otvoreno svojstvo. 13 V. teoremu o cevastoj okolini u nekoj kǌizi o diferencijalnoj topologiji. Σ M 6

8.2 Morsova lema Lema 1. Neka je a 0 R n nedegenerisana kritiqna taqka 14 funkcije f : R n R. Tada postoji koordinatna karta oko a 0 u kojoj funkcija f ima zapis n f(x) = f(a 0 ) + a k x 2 k, a k = ±1. k=1 Dokaz: 15 Moжemo da pretpostavimo da je a 0 = 0 i f(0) = 0. Posmatrajmo 1 forme α 0 (x)v = D 2 f(0)(x, v) i α 1 = df i glatku familiju α t := α 0 + t(α 1 α 0 ). Glatka familija difeomorfizama ψ t, ψ 0 = Id prevodi α t u α 0 ako je (5) 0 = d dt ψ t α t = ψ t (d(i(x)α t ) + i(x)dα t + α 1 α 0 ). Neka je Tada je α 0 = dg, pa (5) postaje g(x) := 1 2 D2 f(0)(x, x). ψ t d(i(x)α t + f g) = 0. Rexavaǌem ove jednaqine po X (zaxto je to mogu e?), a zatim jednaqine (5) u ograniqenoj okolini nule po ψ t dobijamo koordinatnu kartu ψ 1 u kojoj je ( ) 1 df = d 2 D2 f(0)(, ), pa funkcija f ima zapis xto je i trebalo dokazati. f(x) = 1 2 D2 f(0)(x, x), Funkcija f : M R qije su sve kritiqne taqke nedegenerisane zove se Morsova funkcija. Skup Morsovih funkcija je svuda gust u skupu glatkih funkcija na mnogostrukosti M. 16 Iz Morsove leme sledi da su kritiqne taqke Morsove funkcije izolovane. 14 df(a 0 ) = 0 i matrica drugog izvoda D 2 f(a 0 ) je nedegenerisana. 15 R. Palais, On Morse Smale dynamical systems, Topology 8, 385 405, 1969. 16 v. J. Milnor, Morse theory, Princeton Univ. Press, 1963. 7

9 Simplektomorfizmi Neka je M simplektiqka mnogostrukost sa simplektiqkom formom ω i φ t : M M glatka familija difeomorfizama. Neka je (6) d dt φ t(x) = X(φ t (x)), φ 0 (x) = x. Tada je φ t ω ω ako i samo ako je i(x)ω zatvorena forma. Dokaz: Primena Kartanove formule. Ako je 1 forma i(x)ω taqna i jednaka dh t za neku glatku familiju glatkih funkcija H t : M R, onda X nazivamo Hamiltonovim vektorskim poǉem, a ǌime genrisani (jednaqinom (6)) difeomorfizam Hamiltonovim difeomorfizmom. Oznaqavamo ih sa X H i φ H. Funkciju H nazivamo Hamiltonovom funkcijom ili hamiltonijanom. Oqigledno je da Hamiltonovi difeomorfizmi quvaju simplektiqku formu. Za svaku funkciju H : [0, 1] M R sa kompaktnim nosaqem jednaqina (6) definixe Hamiltonov difeomorfizam. 17 Obrnuto, svaki Hamiltonov difeomorfizam sa kompaktnim nosaqem (= takav da je φ = Id van nekog kompaktnog skupa) definisan je jednaqinom (6) do na konstantu. Zadatak 15. Dokazati da je dejstvo grupe simplektomorfizama na M tranzitivno. Zadatak 16. Neka je X Hamiltonovo vektorsko poǉe generisano hamiltonijanom H i ψ bilo koji simplektomorfizam (ne obavezno Hamiltonov). Dokazati da je ψ X := (ψ 1 ) X Hamiltonovo vektorsko poǉe generisano Hamiltonijanom ψ H. Zadatak 17. Neka je M kompaktna simplektiqka mnogostrukost i neka su Ham(M) i Sympl(M) Lijeve algebre (sic!) Hamiltonovih i simplek- 17 Podsetiti se teoreme o egzistenciji, jedinstvenosti i produжeǌu rexeǌa diferencijalne jednaqine (posledǌe zahteva kompaktnost). 8

tiqkih vektorskih poǉa. Dokazati da su nizovi 0 0 R C (M) Ham(M) 0 Sympl(M) HDR 1 (M) 0 taqni. Zadatak 18. Dokazati da je 2 sfera polupreqnika r bez jedne taqke simplektomorfna otvorenom disku polupreqnika 2r i na i eksplicitnu formulu simplektomorfizma. Napomena 1. Primetimo da Zadatak 18 ne sledi direktno iz Mozerovog metoda, poxto se radi o otvorenim mnogostrukostima. Međutim, vaжi slede a Teorema 2. 18 Ako su U i V dva homeomorfna otvorena ograniqena povezana podskupa euklidskog prostora sa glatkim granicama i jednakim zapreminama, i φ : U V difeomorfizam koji quva orijentaciju, onda postoji difeomorfizam ψ : U V koji quva formu zapremine i poklapa se sa φ na granici. Lema 2. Neka su φ H t i φ K t putevi Hamiltonovih difeomorfizama generisani hamiltonijanima H t i K t, ψ simplektomorfizam i neka je Tada je 1. (φ H t ) 1 = φ H t H t (x) := H t (φ H t (x)), (H K) t (x) := H t (x) + K t ((φ H t ) 1 (x)), H ψ t (x) := H t ((ψ) 1 x). 18 B. Dacorogna, J. Moser, On a partial differential equation involving the Jacobian determinant, Ann. Inst. Henri Poincaré, Analyse non linéaire,7, 1 26, 1990. 9

2. φ H t φ K t = φ H K t 3. ψ φ H t (ψ) 1 = φ Hψ t. Dokaz: Direktno, diferenciraǌem leve strane. 10 Hamiltonove jednaqine u koordinatama Zadatak 19. Ako je X H Hamiltonovo vektorsko poǉe generisano hamiltonijanom H, jednaqina (6) u koordinatama q = (q 1,, q n ), p = (p 1,, p n ) ima oblik dq dt = H p (7) dp dt = H q. Oznake: q = dq, q = d2 q itd. dt dt 2 Uputstvo: Dovoǉno je jednaqinu ( n ) n i q k + ṗ k dp k dq k = q k p k k=1 k=1 n k=1 H dq k + H dp k q k p k rexiti po q k, ṗ k za n = 1 (zaxto?), odnosno rexiti ( ξ = (ξ 1, ξ 2 )) q ṗ ξ 1 ξ 2 = H q ξ 1 + H p ξ 2. 11 Primeri simplektomorfizama Hamiltonijan H : C R, H(z) = 1 2 z 2 definixe rotaciju kompleksne ravni, jer je na osnovu jednaqine (7) X H = H p q H q p = p q r p =,, θ. Zadatak 20. Na i Hamiltonovo vektorsko poǉe definisano hamiltonijanom H : C R, H(z) = z 4. 10

Zadatak 21. Forma dθ je zatvorena forma u C := C\{(0, 0)}. Dokazati da ona definixe vektorsko poǉe X θ = r 1, koje jednaqinom (6) r definixe ne-hamiltonov simplektomorfizam (radijalno preslikavaǌe). Forma dθ na cilindru Z := [0, 1] S 1 definixe ne-hamiltonov difeomorfizam. Identifikacijom granica cilindra iz prethodnog primera dobijamo torus T 2 = S 1 S 1 i ne-hamiltonov simplektomorfizam na ǌemu. Zadatak 22. Dokazati da se svaka dovoǉno mala kontraktibilna petǉa na T 2 moжe razdvojiti od sebe Hamiltonovim difeomorfizmom. 19 Zadatak 23. Difeomorfizam f : M M definixe simplektomorfizam f : T M T M. Zadatak 24. Simplektomorfizam u C n quva zbir povrxina projekcija 2 mnogostrukosti na koordinatne C ravni; pokazati primerom da ne mora da quva svaku od tih n povrxina. 12 Suvixe kratki izlet u klasiqnu mehaniku,,suvixe kratki znaqi suvixe da bi se izbegla pojednostavǉivaǌa. 20 12.1 Drugi ǋutnov zakon Trajektorija sistema qestica je određena diferencijalnom jednaqinom drugog reda (8) r = F(r, ṙ). 19 Nekontraktibilna petǉa se ne moжe razdvojiti od sebe Hamiltonovim difeomorfizmom (ova qiǌenica je netrivijalna), dok simplektiqki difeomorfizmi iz prethodnog primera razdvajaju nekontraktibilne petǉe. 20 Za vixe i preciznije o mehaniqkim izvorima simplektiqke geometrije (i o jox mnogo toga) preporuqujemo: V. I. Arnold, Matematiqki metodi klasiqne mehanike, Nauka, Moskva, 1974. Izlagaǌe u ovoj glavi uglavnom sledi tu kǌigu. 11

Koordinate vektora r R N su koordinate vektora poloжaja pomnoжene masama qestica (npr. r = (mx 1, my 1, mz 1, Mx 2, My 2, Mz 2 ) za sistem od dve qestice koje se kre u u R 3 ). Radi jednostavnosti, daǉe pretpostavǉamo da su sve mase jediniqne. Vektorsko poǉe F (sila koja deluje na qestice) se naziva potencijalnim ako je F = V za neku funkciju V : R N R. Funkcija V naziva se potencijalnom energijom sistema, a funkcija K(r) = 1 2 ṙ 2 kinetiqkom energijom. def Zadatak 25. Neka su q k Dekartova koordinate qestica, a p k = qk (koordinate impulsa; ovo nije opxta, invarijantna definicija). Dokazati da je sistem diferencijalnih jednaqina (8) ekvivalentan sistemu (7) sa hamiltonijanom H = K + V. Poxto jednaqine (7) moжemo da napixemo i u obliku (6), bez koordinata, simplektiqka geometrija nam omogu ava da izuqavamo klasiqnu mehaniku na mnogostrukostima, nezavisno od izbora koordinata. Klasiqni fazni prostor sistema na mnogostrukosti M je T M. Ako su q = (q 1,, q n ) lokalne koordinate na M (koordinate poloжaja), a p = (p 1,, p n ) lokalne koordinate sloja raslojeǌa T M (koordinate impulsa), standardna simplektiqka forma ima lokalni zapis dp dq = dpk dq k. 12.2 Varijacioni princip Kritiqne taqke funkcionala (9) S(q(t)) = 1 0 L(q, q, t)dt na prostoru puteva koji spajaju dve fiksirane taqke su rexeǌa sistema ( ) d L (10) L dt q q = 0 (Ojler Lagranжeve jednaqine). 12

Dokaz: S(q + h(t)) S(q(t)) = = = 1 0 1 0 1 0 ] [L(q + h, q + ḣ, t) L(q, q, t) dt [ L q h + L ] q ḣ dt + O( h 2 ) [ L q d ( )] L hdt + O( h 2 ). dt q Funkcija L zove se lagranжijan varijacionog problema. Zadatak 26. Dokazati da su (8) Ojler Lagranжeve jednaqine za lagranжijan L = K V. Zadatak 27. Dokazati da su trajektorije sistema sa V 0 geodezijske linije metrike pomo u koje je definisana funkcija K. 21 12.3 Leжandrova transformacija Neka je F : R k R konveksna (tj. sa pozitivno definitnom matricom drugog izvoda) funkcija. Leжandrovom transformacijom funkcije F naziva se funkcija G(p) = p x F (x), gde je p := F. x Pretpostavimo da je sistem zadat langranжijanom L : R n R n R R konveksnim po drugoj promenǉivoj i neka je H Leжandrova transformacija funkcije F po toj promenǉivoj: (11) H(q, p, t) := p q L(q, q, t), p := F q. Tada je sistem (10) jednaqina drugog reda ekvivalentan sistemu (7) jednaqina prvog reda. Dokaz: dh = H q dq + H p dp + H t L dt = Ldq + qdp q t dt, 21 U sluqaju M = R 3 ovo je prvi ǋutnov zakon. U opxtem sluqaju, ovo je simplektiqki pogled na Rimanovu geometriju. Vaжi i opxtiji princip: za svako V postoji metrika na M takva da su trajektorije sistema geodezijske u toj metrici (Fermaov princip). 13

odakle sledi (12) q = H p, L q = H q, L t = H t. Iz (10) i (11) sledi ṗ = H, pa ubacivaǌem u (12) dobijamo sistem (7). q Zadatak 28. Dokazati obrnuto, da iz (7) sledi (10). Zadatak 29. Dokazati izraz dh = L L dq + qdp q t dt, koji je korix en u prethodnom dokazu (i koji je neoqigledan zbog zavisnosti nekih promenǉivih koje se u ǌemu javǉaju). U opxtem sluqaju, ako je M mnogostrukost, Leжandrova transformacija definisana lagranжijanom L : T M R ostvaruje izomorfizam D vert L : T M = T M, gde je D vert vertikalni izvod (izvod duж vlakna) 22 i pridruжuje funkciji L hamiltonijan H : T M R: H(ξ, t) := ξ((d vert ) 1 ξ) L((D vert ) 1 ξ, t). 12.4 Primeri koor- Kretaǌe u gravitacionom poǉu. Sila gravitacije u 0 q1 q 2 q 3 dinatnom sistemu je vektor F = g q 3, g 9, 81m/s 2. Potencijalna energija je, odatle, V = gq 3. Jednaqina kretaǌa je II ǋutnov zakon r = g q 3, Lagranжev oblik L = 1( 2 q2 1 + q 2 2 + q 3) 2 gq 3, pa je jednaqina (10) opet 22 Zbog toga nam je potrebna pretpostavka o nedegenerisanosti drugog izvoda. 14

r = g q 3. Hamiltonov oblik H = 1 2 (p2 1 + p 2 2 + p 2 3) + gq 3 i (7) je q k = p k, ṗ 1 = ṗ 2 = 0, ṗ 3 = g. Rexeǌe svakog od ovih sistema je r(t) = r(0) + ṙ(0)t 1 2 gt2. q 3 Harmonijski oscilator. Eksperimentalna qiǌenica je da je sila zatezaǌa opruge proporcionalna duжini istezaǌa. Jednaqine kretaǌa su II ǋutnov zakon q = α 2 q. Lagranжev oblik L = 1 2 q2 1 2 α2 q 2 i (10) je q = α 2 q. Hamiltonov oblik H = 1 2 p2 + 1 2 α2 q 2 ; jednaqine (7) daju q = p, ṗ = α 2 q. Rexeǌe svake od ovih jednaqina je q = c 1 cos αt + c 2 sin αt. 12.5 Hamilton Jakobijev metod Simplektiqki difeomorfizmi 23 daju,,smenu promenǉivih koja quva oblik (7) Hamiltonovih jednaqina (v. Zadatak 16). Hamilton Jakobijev metod rexavaǌa sistema (7) za dato H zasnovan je na izboru simplektomorfizma ψ za koji je funkcija ψ H jednostavnija od polazne H. Neka je ψ lokalno zadato sa (13) (Q(q, p), P(q, p)). Poxto je dq dp dq dp = 0 23 U klasiqnoj mehanici simplektiqki difeomorfizmi nazivaju se kanonske transformacije. 15

(jer je ψ ω = ω) i zbog ω = d(pdq), forma pdq PdQ je zatvorena. Kako je svaka zatvorena forma i lokalno taqna, 24 postoji lokalno definisana funkcija S(p, q) za koju je (14) pdq PdQ = ds. Ako se jednaqine (13) mogu lokalno rexiti po p, onda se S moжe posmatrati kao funkcija promenǉivih q, Q, pa iz (14) sledi p = S, a q odatle H(q, p) = H(q, S ). Pretpostavimo da S zadovoǉava parcijalnu q jednaqinu ( (15) H q, S ) = K(Q) q (Hamilton Jakobijeva jednaqina). Tada se jednaqine (7) mogu eksplicitno rexiti. Zaista, S definixe smenu promenǉivih ψ; u novim koordinatama hamiltonijan je K(Q) (ne zavisi od P), pa jednaqine (7) postaju Q = 0, Ṗ = K Q i lako se rexavaju: Q(t) c 1, P(t) = K Q t + c 2. 13 Puasonove mnogostrukosti Na algebri C (M) zadata je binarna operacija {f, g} := ω(x f, X g ), gde su X f i X g Hamiltonova vektorska poǉa definisana Hamiltonijanima f i g. Zadatak 30. Dokazati 1. {f, g} = X f g (izvod u pravcu). 2. {, } je bilinearna operacija. 24 H k DR (Rk ) = 0 za k 0. 16

3. {, } zadovoǉava Jakobijev identitet {{f, g}, h} + {{g, h}, f} + {{h, f}, g} = 0. 4. {, } zadovoǉava Lajbnicovo pravilo 5. U koordinatama {f, gh} = {f, g}h + g{f, h}. {f, g} = n k=1 ( f g f ) g. p k q k q k p k Lijeva algebra je algebra sa bilinearnim mnoжeǌem koje zadovoǉava Jakobijev identitet (,,Lijeve zagrade ). Puasonova algebra je Lijeva algebra na kojoj Lijeve zagrade zadovoǉavaju Lajbnicovo pravilo. Puasonova mnogostrukost je mnogostrukost M sa strukturom Puasonove algebre {, } na C (M). Zadatak 30 pokazuje da je svaka simplektiqka mnogostrukost Puasonova. Zadatak 31. Neka hamiltonijan H : M R ne zavisi od vremena. Dokazati da je funkcija F : M R konstantna duж puteva definisanih hamiltonijanom H ako i samo ako je (16) {H, F } 0. Za funkcije koje zadovoǉavaju (16) kaжe se da su u involuciji. Zadatak 32. Neka su ψ t i φ t Hamiltonovi difeomorfizmi generisani hamiltonijanima G i H sa kompaktnim nosaqem takvi da je ψ t φ t = φ t ψ t za svako t. Dokazati da su G i H u involuciji. Da li isto tvrđeǌe vaжi bez pretpostavke o kompaktnosti nosaqa? Teorema 3. (Arnold Liuvil) Neka je na simplektiqkoj mnogostrukosti M dato n = 1 dim M funkcija u involuciji 2 Oznaqimo sa c := (c 1,, c n ) R n i F 1, F n : M R. M c := {x M F k (x) = c k }. Pretpostavimo da su funkcije F k nezavisne na M. Tada 17

1. M c je glatka mnogostrukost, invarijantna u odnosu na Hamiltonove difeomorfizme generisane funkcijama F k. 2. Ako je mnogostrukost M c kompaktna i povezana, onda je M c difeomorna torusu T n = (S 1 ) n. 3. U koordinatama (ϕ 1,, ϕ n ) T n Hamiltonove jednaqine sa hamiltonijanom F 1 imaju vid dϕ k = ϖ k,c dt odakle je ϕ k (t) = ϕ(0) + ϖ k,c t. Dokaz: v. Arnoldovu kǌigu, gl. 10. Funkcija F se naziva prvim integralom Hamiltonovog sistema sa hamiltonijanom H ako je F u involuciji sa H. Prethodna teorema kaжe da, ako znamo n nezavisnih prvih integrala, sistem moжemo da reximo eksplicitno u koordinatama (ϕ 1,, ϕ n ) T n. 14 Zakoni oquvaǌa 14.1 Zakon oquvaǌa energije Ako H ne zavisi od t onda je H konstantno duж rexeǌa jednaqine (6) za svako fiksirano x. Dokaz: d dt H(φH t (x)) = dh(x H ) = ω(x H, X H ) = 0. (Up. Zadatak 31.) 14.2 Liuvilova teorema Simplektiqki difeomorfizmi quvaju zapreminu definisanu sa ω n. Dokaz: φ (ω ω) = φ ω φ ω = ω ω. Zadatak 33. Dokazati da 1 parametarska familija difeomorfizama u R n generisana vektorskim poǉem X quva zapreminu ako i samo ako je div(x) = 0. Izraqunati divergenciju Hamiltonovog vektorskog poǉa i izvesti kao posledicu drugi dokaz Liuvilove teoreme. Slede a teorema pokazuje da se sistem qestica koje se kre u u ograniqenom prostoru vra a proizvoǉno blizu polaznog rasporeda. 18

Posledica 1. (Poenkareova teorema) Ako je M kompaktna sipmlektiqka mnogostrukost, φ simplektiqki difeomorfizam i p M bilo koja taqka, onda za svaku okolinu V p postoji prirodan broj k takav da je φ k (V ) V (φ k = φ φ). Dokaz: Zbog kompaktnosti mnogostrukosti M (tj. konaqnosti ǌene zapremine), skupovi V, φ(v ), φ(φ(v )),... ne mogu da budu disjunktni; ako je φ r (V ) φ s (V ), onda je φ r s (V ) V. 14.3 Poenkare Kartanova integralna invarijanta Lema 3. Simplektomorfizam ψ : R 2n R 2n quva vrednost funkcionala (17) A 0 : Ω 0 := {γ : S 1 R 2n } R, γ pdq. Dokaz: Neka je γ = D, tada je pdq = dp dq = ψ(γ) ψ(d) = dp dq = D = pdq. γ γ Zadatak 34. Dokazati da vaжi i obrnuto: svaki difeomorfizam u R 2n koji quva funkcional (17) je simplektiqki. Zadatak 35. Dokazati Lemu 3 za proizvoǉnu taqnu simplektiqku mnogostrukost (i za proizvoǉne petǉe, ne obavezno kontraktibilne), ako je ψ Hamiltonov simplektomorfizam. Uputstvo: setiti se Kartanove formule. Napomena 2. Moжe se dokazati i slede i stav: Ako su γ 1 i γ 2 dve petǉe u R 2n na kojima funkcional A 0 ima istu vrednost, onda postoji simplektomorfizam ψ : R 2n R 2n koji preslikava γ 1 u γ 2. 19

Teorema 4. Neka su γ 1 i γ 2 dve zatvorene krive koje obuhvataju cilindar Z Hamiltonovih trajektorija. Tada je pdq Hdt = pdq Hdt. γ 0 γ 1 Dokaz: Po pretpostavci, svaka taqka krive γ 1 je kraj nekog Hamiltonovog puta koji polazi u odgovaraju oj taqki krive γ 0. Unija svih tih Hamiltonovih puteva je cilindar Z. Neka je s [0, 1] parametar tih Hamiltonovih puteva, a t parametar na S 1. Tada je Z = {γ s (t) 0 s, t 1}. Ako oznaqimo sa X s := d γ ds s, onda je X H = a(s)x s, pa je 1 ( ) d pdq Hdt pdq Hdt = γ γ 0 γ 0 0 ds s(pdq Hdt) ds = S 1 1 = (dγsi(x s )pdq + γsi(x s )ω γsdh(x s ))ds = 0 S 1 1 [ ] = (dγs(pdq(x s ) + da(s)h) ds = 0, 0 S 1 jer je S 1 =. 14.4 Simetrije Difeomorfizam φ : M M se naziva simetrijom lagranжijana L : T M R ako je L φ = L. Vektorsko poǉe se naziva infinitezimalnom simetrijom, ako je ǌime generisani difeomorfizam simetrija. Komponenta impulsa u pravcu vektora infinitezimalne simetrije je integral kretaǌa (konstantna duж trajektorije); preciznije, vaжi slede a Teorema 5. (Neter) Ako je L x k q k infinitezimalna simetrija lagranжijana L, onda je funkcija L xk q k konstantna duж trajektorija sistema (10). Dokaz: Neka je γ rexeǌe sistema (10), φ s simetrija generisana datom infinitezimalnom simetrijom i φ s (γ(t)) = q(s, t), tako da je x k = dq k duж ds γ. Tada L(q(s, t), q(s, t)) ne zavisi od s, pa je 20

d L dt k dq k q k ds = k k [( ) d L dqk dt q k ds + L ] d q k = q k ds ] [ L dq k q k ds + L d q k q k ds = d L(q, q) = 0. ds 14.5 Primeri Radi ilustracije, navodimo neke primene u klasiqnoj mehanici, sasvim koncizno i bez preciznih dokaza. 25 Neka je L = 1 q V (q) lagranжijan klasiqnog mehaniqkog sistema. 2 Energija. Ako lagranжijan ne zavisi eksplicitno od vremena, 26 translacija duж vremenske ose je simetrija sistema, odakle sledi (jox jedan) dokaz zakona odrжaǌa energije. Impuls. Ako je sistem simetriqan u odnosu na translaciju 27 q q+se duж ose jediniqnog vektora e, oquvava se veliqina L q k e. Centar inercije. Vektor mk r k R := mk kre e se ravnomerno pravolinijski. Ovo je posledica zakona o oquvaǌu impulsa. Kinetiqki moment. Vektor M := r ṙ naziva se kinetiqkim momentom ili momentom koliqine kretaǌa. Neka je sistem simetriqan u odnosu na koordinatni poqetak. Tada je d dt M = 0. Keplerovi zakoni. Posmatrajmo kretaǌe qestice oko koordinatnog poqetka (planete oko Sunca). Iz zakona odrжaǌa kinetiqkog momenta sledi da se kretaǌe odvija u jednoj ravni, qime se problem svodi na dvodimenzioni. Slede a teorema svodi problem na jednodimenzioni. 25 Zainteresovanog qitaoca upu ujemo na [A], 7, 8 26 Takvi sistemi nazivaju se konzervativnim. 27,,Homogenost prostora. 21

Teorema 6. Pri kretaǌu materijalne taqke jediniqne mase u centralnom poǉu sa potencijalnom energijom V, ǌeno rastojaǌe od centra meǌa se kao r u jednodimenzionom problemu sa potencijanom energijom V (r)+ M 2, gde je 2r 2 M intenzitet kinetiqkog momenta (koji je konstanta, po zakonu oquvaǌa kinetiqkog momenta). I Keplerov zakon: Orbita kretaǌa planete je elipsa, sa Suncem u жiжi. II Keplerov zakon: Sektorijalna brzina kretaǌa (brzina promene povrxine koju od elipse odseca vektor poloжaja) je konstantna. III Keplerov zakon: Kvadrat perioda revolucije je proporcionalan kubu velike poluose orbite. 15 Skoro kompleksne strukture Zadatak 36. Neka je h(ζ, η) := ζ η standardni ermitski proizvod u C n i neka je (18) h(, ) = g(, ) + 1ω(, ), gde su g i ω realni i imaginarni deo h. 1. Dokazati da je g Rimanova metrika, a ω simplektiqka forma. 2. Neka su O(2n), U(n), Sp(2n) i GL(n, C) grupe ortogonalnih, unitarnih, simplektiqkih i nedegenerisanih kompleksnih matrica. Dokazati da je O(2n) Sp(2n) = Sp(2n) GL(n, C) = GL(n, C) O(2n) = U(n). Uputstvo: matrica koja quva dve strukture u (18) quva i tre u. Skoro kompleksna struktura na M je glatka familija linearnih preslikavaǌa J p : T p M T p M takvih da je J 2 p = Id p. Kaжemo da je J saglasno sa ω ako je ω(, J ) Rimanova metrika na M. 22

Zadatak 37. Kompleksna struktura i na C je rotacija tangentnih vektora za π ; Shvataju i tangentne vektore kao operatore, pixemo 2 i x = y, i y = x. Xta znaqe ove formule? (tj. primena ovih operatora na funkcije)? Uputstvo upozoreǌe: moжe se odgovoriti na dva naqina. Zadatak 38. Dokazati da je u Zadatku 36 kompleksna struktura saglasna sa simplektiqkom formom. Lema 4. Na svakoj simplektiqkoj mnogostrukosti (M, ω) postoji skoro kompleksna struktura saglasna sa simplektiqkom formom. Dokaz: Neka je g bilo koja Rimanova metrika na M. Tada je ω(, ) = g(, A ) za neku antisimetriqnu matricu A. Ako je A 2 = Id, to je bilo to... U protivnom, koriste i A 2 = A A > 0, uzmemo J := A( A 2 ) 1. Zadatak 39. Zavrxiti dokaz. Teorema 7. Skup skoro kompleksnih struktura saglasnih sa ω je kontraktibilna beskonaqnodimenziona mnogostrukost. 28 Obrnuto nije taqno. Na primer, sfera S 6 nije simplektiqka (v. Zadatak 4), a ima skoro kompleksnu strukturu. Skoro kompleksna struktura na S 6 (i bilo kojoj orijentisanoj hiperpovrxi u R 7 ) moжe se konstruisati na slede i naqin. Posmatrajmo R 7 kao imaginarne Kejlijeve brojeve. Definiximo,,vektorski prooizvod u R 7 kao (19) Im(a) Im(b) := Im(a b) gde je Kelijevo mnoжeǌe. Za hiperpovrx Σ R 7 skoro kompleksna struktura J p : T p Σ T p Σ je data sa 28 Za dokaz pogledati, npr. [MS1]. J p X p := ν(x) X p 23

gde je ν Gausovo preslikavaǌe, tj. jediniqno seqeǌe normalnog raslojeǌa. 29 (Na isti naqin na svakoj orijentabilnoj provxi u R 3 konstruixe se kompleksna struktura, sa kvaternionima umesto Kejlijeve algebre; tada je (19) standardni vektorski proizvod.) Zadatak 40. Dokazati da je svaka skoro kompleksna mnogostrukost orijentabilna. Zadatak 41. Neka je N M podmnogostrukost qije je tangentno raslojeǌe zatvoreno u odnosu na neko J saglasno sa ω. Dokazati da je N simplektiqka mnogostrukost. Zadatak 42. Dokazati da je X H H (u kojoj metrici?). Dokazati odatle da je, ako H ne zavisi od t, poǉe X H tangentno na hiperpovrx {H = const.} (drugi dokaz zakona odrжaǌa energije). Zadatak 43. Neka je C zatvorena kriva na orijentisanoj povrxi i H hamiltonijan. Dokazati da je X H negde tangentno na C. Neka su (M, J M ) i (N, J N ) dve skoro kompleksne mnogostrukosti. Preslikavaǌe u : M N se naziva (pseudo)holomorfnim ako je Du J M = J N Du (uopxteǌe obiqne holomorfnosti). Skoro kompleksna mnogostrukost zove se kompleksnom (a ǌena skoro kompleksna struktura integrabilnom) ako je ona lokalno biholomorfna C n. Jedan od kriterijuma integrabilnosti je Teorema 8. Skoro kompleksna struktura J je integrabilna ako i samo ako je [JX, JY ] J[JX, Y ] J[X, JY ] [X, Y ] = 0. Izraz N J (X, Y ) := [JX, JY ] J[JX, Y ] J[X, JY ] [X, Y ] zove se Nijenhuisov tenzor. Koliko se razlikuju skoro kompleksne i kompleksne mnogostrukosti? Svaka skoro kompleksna dvodimenziona mnogostrukost je kompleksna (v. 29 Gausovo preslikavaǌe pridruжuje taqki p hiperpovrxi jediniqni normalni vektor; ovde nam je potrebna orijentabilnost: podmnogostrukost orijentabilne mnogostrukosti je orijentabilna ako i samo ako je ǌeno normalno raslojeǌe orijentabilno (zaxto?); raslojeǌe ranga 1 je orijentabilno ako i samo ako je trivijalno, pa je za orijentabilne hiperpovrxi Gausovo preslikavaǌe dobro definisano. 24

Teoremu 8); postoje skoro kompleksne 4 mnogostrukosti koje nisu kompleksne; u vixim dimenzijama ovo je otvoren problem. Borel i Ser su (metodama teorije homotopije) dokazali da su S 2 i S 6 jedine sfere koje dopuxtaju skoro kompleksnu strukturu. Znamo da je S 2 (= CP 1 ) kompleksna mnogostrukost; otvoreno pitaǌe je da li je S 6 kompleksna (tj. da li dopuxta integrabilnu) kompleksnu strukturu. Kompleksna simplektiqka mnogostrukost zove se Kelerova mnogostrukost, a ǌena simplektiqka forma Kelerova forma. Videli smo u Zadatku 4 da su Betijevi brojevi 30 parnog reda simplektiqke mnogostrukosti razliqiti od nule. Za Kelerove mnogostrukosti vaжi i slede a Lema 5. Neka je M kompaktna Kelerova mnogostrukost. Tada su Betijevi brojevi b 2k+1 parni. Ova lema je posledica Ho ove teoreme o dekompoziciji kohomologije kompaktnih Kelerovih mnogostrukosti. 31 Diferencijalna k forma na kompleksnoj mnogostrukosti M sa vrednostima u C oblika ai,k (z)dz I d z K, gde su I i K multiindeksi duжine p i q := k p zove se (p, q) formom. Neka je H p,q zatvorene (p, q) forme (M) := taqne (p, q) forme i H k (M, C) := HDR k (M) C (kohomologija sa kompleksnim koeficijentima). Teorema 9. (Ho ova dekompozicija) Neka je M kompaktna i Kelerova. Tada je H k (M, C) = H p,q (M), H p,q (M) = H q,p (M). p+q=k Brojevi h p,q := dim H p,q (M) zovu se Ho ovi brojevi. 30 Betijevi brojevi mnogostrukosti M su b k (M) := dim H k (M). 31 Za vixe o kompleksnoj geometriji v. npr. [GH]. 25

Zadatak 44. Dokazati Lemu 5. Zadatak 45. Dokazati da je Kelerova forma (1, 1) forma. Navex emo jox jednu vaжnu osobinu Kelerovih mnogostrukosti, Teorema 10. (Lefxecova teorema) Neka je ω Kelerova forma na kompaktnoj mnogostrukosti M. Preslikavaǌe L(η) := η ω indukuje izomorfizam Grupe L k : H n k (M) H n+k (M). P n k (M) := Ker(L k+1 : H n k (M) H n+k+2 (M)) zovu se primitivna kohomologija i vaжi H m (M) = k L k P m 2k (M) (,,Lefxecova dekomozicija ). 16 Funkcional dejstva Neka je ω taqna simplektiqke forma na M, ω = dθ. Zadatak 46. Dokazati da je M ili nekompaktna ili ima granicu. Oznaqimo sa P := {γ : [0, 1] M} prostor glatkih puteva u M. Funkcional dejstva A H : P R definisan je sa A H (γ) := 1 0 γ θ H t (γ(t))dt. Teorema 11. (Princip najmaǌeg dejstva) Neka je P 0 bilo koji potprostor prostora P na kome je θ(γ(1)) = θ(γ(0)). Kritiqne taqke restrikcije funkcionala dejstva A H na P 0 su Hamiltonovi putevi (tj. rexeǌa jednaqine (7)). 32 32 Jedan primer takvog potprostora P 0 je prostor petǉi (γ(0) = γ(1)), drugi, u sluqaju kotangentnog raslojeǌa, prostor puteva koji poqiǌu i zavrxavaju se na nultom seqeǌu... 26

Dokaz: Neka je γ s varijacija puta γ; γ 0 = γ i ξ = d ds s=0 γ s (t) T γ P. Tada je da H (γ)ξ = = 1 0 1 = 0 1 γ (d(i(ξ)θ) + i(ξ)dθ dh(γ)ξ)dt γ ( i(ξ)ω dh(γ)ξ)dt + 0 1 0 γ (d(i(ξ)θ)) ω(ξ, γ X H (γ))dt + θ(γ(1))ξ θ(γ(0))ξ. Teorema 11 i Zadatak 26 daju dva varijaciona principa u klasiqnoj mehanici. Iako se funkcional A H varira u xiroj klasi puteva nego S (u (9) q i q nisu nezavisne, a p i q su u Hamiltonovim jednaqinama (7) i u Teoremi 11 nezavisne lokalne koordinate), putevi na T M koji su kritiqne taqke prvog projektuju se na puteve koji su kritiqne taqke drugog i jednoznaqno se podiжu na T M do kritiqnih taqaka prvog. 33 Zadatak 47. Dokazati da je L 2 ([0, 1], M) gradijent 34 funkcionala dejstva na potprostoru P 0 iz Teoreme 11 A H (γ) = J( dγ X dt H). Zadatak 48. Dokazati da je funkcional dejstva dobro definisan na prostoru kontraktibilnih petǉi i bez uslova ω = dθ, ako se on zameni uslovom π 2 (M) = 0. Zadatak 49. Dokazati da u opxtem sluqaju da H definixe zatvorenu 1 formu na prostoru kontraktiblinih petǉi. 17 Lagranжeve podmnogostrukosti Neka je ω simplektiqka forma na M. Podmnogostrukost L j L M se zove Lagranжeva ako je dim L = 1 dim M i 2 j L ω = 0. One su jedan od najzna- 33 Ova dva varijaciona principa odgovaraju dvema formulacijama klasiqne mehanike, Hamiltonovoj (na kotangentnim raslojeǌima) i Lagranжevoj (na tangentnim raslojeǌima). Leжandrova transformacija ostvaruje prelaz sa jednog jezika na drugi (onda kada je on mogu, kao u sluqaju konveksnih lagranжijana). 34 tj. gradijent u odnosu na metriku 1 ω(, J )dt 0 27

qajnijih objekata u simplektiqkoj topologiji i geometriji. Kao jednu ilustraciju toga, navodimo slede u lemu. 35 Lema 6. Difeomorfizam ψ : M M je simplektiqki ako i samo ako je ǌegov grafik Γ := {(p, ψ(p)) p M} Lagranжeva podmnogostrukost u M M sa simplektiqkom formom ω ( ω). 36 Dokaz: j Γ (ω ( ω)) = ω ψ ω. Zadatak 50. Neka je na R 2n R 2n simplektiqka forma zadata sa dp dq dp dq i neka je := {(ξ, ξ) ξ R 2n }. Dokazati da je preslikavaǌe R 2n R 2n T (q, p, Q, P) (q Q, 12 (q + Q), p P, 12 ) (p + P) simplektomorfizam. Primeri: R n je Lagranжeva podmnogostrukost u C n. Svaka kriva u C je Lagranжeva podmnogostrukost. Torus T n = S 1 S 1 je Lagranжeva podmnogostrukost u C n. Odatle i iz Darbuove teoreme (Zadatak 14) sledi da u svakoj simplektiqkoj mnogostrukosti postoje Lagranжeve podmnogostrukosti. 37 Neka je β : M T M 1 forma. Tada je β(m) Lagranжeva podmnogostrukost u T M ako i samo ako je dβ = 0 (zaxto?). 38 Zadatak 51. Imaju i u vidu ovaj primer, Lemu 6 i Zadatak 50, interpretirati glavu 12.5. Konormalna raslojeǌa: za podmnogostrukost N M konormalno raslojeǌe ν N := {ξ T NM ξ(t N) = {0}} je Lagranжeva podmnogostrukost u T M. 35 Nestrpǉivog qitaoca жeǉnog da omah sazna zbog qega sve jox izuqavamo ove objekte, upu ujemo na glavu 2. 36 Preciznije: simplektiqka forma na M M definisana je sa (X, Y ) ω(π 1 X, π 1 Y ) ω(π 2 X, π 2 Y ). 37 Postoje simplektiqka raslojeǌa koja nemaju Lagranжeva podraslojeǌa. 38 v. Zadatak 5 28

RP n CP n je Lagranжeva podmnogostrukost. Ako je M glatki projektivni varijetet u CP n definisan homogenim polinomima sa realnim koeficijentima, onda je M RP n Lagranжeva podmnogostrukost u M. Zadatak 52. Dokazati da su sve ove podmnogostrukosti Lagranжeve. Zadatak 53. Dokazati da je L Lagranжeva ako i samo ako je T L JT L (u odnosu na koju Rimanovu metriku?). 39 Zadatak 54. Neka je L kompaktna Lagranжeva podmnogostrukost u M. Dokazati da postoji otvorena okolina U L simplektomorfna okolini nultog seqeǌa u T L u T L (,,Darbu-Vejnstejnova teorema ). 40 Uputstvo: Postoji difeomorfizam ψ okoline L na okolinu nultog seqeǌa u T L (zaxto?). Na T L je ω = ψ ω T L (zaxto?). Dokazati (recimo koriste i Zadatak 53 i identifikaciju cevaste okoline sa normalnim raslojeǌem) da se ova jednakost moжe proxiriti na TL M (modifikovaǌem difeomorfizma ψ) i primeniti (prethodno rexen) Zadatak 13. Zadatak 54 kaжe da Lagranжeve podmnogostrukosti imaju kanonsku okolinu, sliqno taqkama (Zadatak 14). Zadatak 55. Neka je j t : L M familija Lagranжevih podmnogostrukosti. Tada je forma jt (i(x t )ω), X t (j t (x)) := dj t(x) dt taqna za svako t ako i samo ako postoji familija Hamiltonovih difeomorfizama φ H t : M M takva da je j t (L) = φ H t (L) (,,taqna deformacija Lagranжevih podmnogostrukosti realizuje se kao ambijentna Hamiltonova deformacija ). Uputstvo: Neka je jt (i(x t )ω) = dh t. Koriste i skoro kompleksnu strukturu na M raxiriti h t do funkcije H t na M. 39 Slabijim uslovom T L JT L = T M (gde direktna suma nije obavezno ortogonalna) definixu se tzv. totalno realne podmnogostrukosti kompleksnih mnogostrukosti. Skup totalno relanih podmnogostrukosti je otvoren, u smislu da,,mala homotopija prevodi totalno realne u totalno realne podmnogostrukosti (zaxto?). Da li je to taqno i za Lagranжeve (i zaxto nije?)? 40 Jedan primer je Zadatak 50, sa L =. 29

Zadatak 56. (Hamilton Jakobijev princip) Neka je L M Lagranжeva podmnogostrukost sadrжana u hiperpovrxi {H = const.}. Dokazati da je X H T L i, prema tome, L invarijantno u odnosu na Hamiltonov difeomorfizam φ H (generisan hamiltonijanom H). 41 Podmnogostrukost L j T M dimenzije dim M je Lagranжeva ako je 1 forma j θ zatvorena; ako je ta forma taqna, onda L zovemo taqnom Lagranжevom podmnogostrukox u. Iz Zadatka 5 sledi da da je ds(m) taqna Lagranжeva podmnogostrukost. Opxtije, za N M, i S : N R, mnogostrukost ν N S := {ξ T NM ξ(x) = ds(x), za X T N} je taqna. Specijalno, ν N je taqna. Zadatak 57. Neka je E M vektorsko raslojeǌe i S : E R takva glatka funkcija da je D vert S : E E transverzalno na nulto seqeǌe 0 E. Tada je Σ S := {e E D vert S(e) = 0} podmnogostrukost u E. Dokazati da je taqna Lagranжeva imerzija. i S : Σ S T M, i S (e) := ds(e) Funkcija S i prethodnog zadatka naziva se generixu a funkcija podmnogostrukosti Im(i S ). Otvoren problem je da li svaka taqna Lagranжeva podmnogostrukost dopuxta generixu u funkciju. Zadatak 58. Nacrtati Σ S i i S (Σ S ) ako je 1. E = R ξ R q π M := R q, 41 sr. Zadatak 42 S(q, ξ) = 1 3 ξ3 qξ. 30

2. E = R ξ R q π M := R q, S(q, ξ) = 1 3 ξ3 + q 2 ξ ξ. Zadatak 59. Opisati Σ S i i S (Σ S ) ako je E = {γ : [0, 1] T M γ(0) 0 M }, π : E M, π(γ) := π 0 (γ(1)), gde je π 0 : T M M i S := A H (iako E ovde nije vektorsko raslojeǌe). Zadatak 60. Neka je ψ t familija Hamiltonovih difeomorfizama i L taqna Lagranжeva podmnogostrukost. Dokazati da je za svako t podmnogostrukost ψ t (L) taqna Lagranжeva podmnogostrukost. Specijalno, Hamiltonove deformacije nultog seqeǌa u T M su taqne Lagranжeve podmnogostrukosti. Ako je M kompaktno, to su jedine poznate kompaktne taqne Lagranжeve podmnogostrukosti u T M. Da li ih ima jox, otvoren je problem. Restrikcija projekcije π : T M M na Hamiltonovu deformaciju nultog seqeǌa ima stepen 1 (zaxto?). Nije poznato ni da li ovo vaжi za proizvoǉnu kompaktnu taqnu Lagranжevu podmnogostrukost. 42 Iz Stoksove formule sledi da ne postoji kompaktna taqna Lagranжeva podmnogostrukost utopǉena u C, drugim reqima, S 1 se moжe realizovati kao taqna podmnogostrukost u C samo kao imerzija (,,osmica ). S druge strane, Hamiltonove deformacije nultog seqeǌa u T S 1 su kompaktne taqne Lagranжeve podmnogostrukosti. Primetimo da je indeks 43 utopǉene zatvorene krive u C = T R jednak ±1, dok je indeks taqne Lagranжeve podmnogostrukosti u T S 1 jednak nuli (zaxto?). Uopxteǌe indeksa krive je indeks Maslova Lagranжeve podmnogostrukosti L T M. Skup singularnih taqaka projekcije π : L M je hiperpovrx Γ L 42 U sluqaju M = S 1 odgovor je potvrdan, xto se moжe lako videti crtaǌem krivih na cilindru. 43 Indeks krive je broj obrtaja oko neke povrxine koju ograniqava. 31

qiji su singulariteti u kodimenziji tri, 44 pa se moжe govoriti o algebarskom broju preseka krive γ L i Γ, xto definixe homomorfizam µ : π 1 (L) Z, koji se naziva indeks Maslova. Otvoren problem je da li je indeks Maslova taqne Lagranжeve podmnogostrukosti jednak nuli. M. Gromov je 1985. godine potvrdio hipotezu koju je postavio V. I. Arnold, dokazavxi da ne postoje kompaktne taqne Lagranжeve podmnogostrukosti u C n. Ovo je samo jedan od mnogih rezultata dobijenih tehnikom (pseudo) holomorfnih krivih koje je uveo Gromov u radu 45 punom dubokih rezultata, qije su posledice jox uvek nesagledive. 46 U glavi 19 skicira emo detaǉe te bogate teorije. 18 Simplektiqka redukcija 18.1 Izotropne i koizotropne podmnogostrukosti Neka je N M podmnogostrukost simplektiqke mnogostrukosti. Oznaqimo sa (T N) ω T M podraslojeǌe tangentnih vektora u T M koji su ω ortogonalni na T N. Podmnogostrukost N se naziva izotropnom ako je T N (T N) ω koizotropnom ako je (T N) ω T N. Podmnogostrukost N je Lagranжeva ako je T N = (T N) ω (primetimo da odatle sledi dim N = 1 dim M), a simplektiqka ako je T N (T = {0}. 2 N) ω Zadatak 61. Neka su (M k, ω k ), k = 1, 2 simplektiqke mnogostrukosti iste dimenzije, N j M 1 koizotropna mnogostrukosti i φ : N M 2 utapaǌe 44 v. V. I. Arnold, A. B. Givental, Symplectic geometry, Encyclopaedia of mathematical sciences, Dynamical systems IV, Springer 1980. 45 M. Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math 82, 307 347, 1985. 46 Pod uticajem pomenutog rada razvile su se nove oblasti kao xto su kvantna kohomologija, Florova homologija, novi pogled na enumerativnu algebarsku geometriju, razvijene primene u topologiji 4 dimenzionih mnogostrukosti, ogledalska simetrija, geometrija i topologija grupe Hamiltonovih difeomorfizama, Lagranжevih podmnogostrukosti... 32

za koje vaжi φ ω 2 = j ω 1. Dokazati da se φ moжe produжiti do simplektiqkog difeomorfizma neke otvorene okoline V (M 1 V N). Uputstvo: Najpre raxiriti φ do difeomorfizma φ neke okoline U N tako da je φ ω 2 N = ω 1 N, a zatim primeniti Zadatak 13 (up. Zadatke 54 i 55). Teorema 12. Neka je N M koizotropna podmnogostrukost. Tada je distribucija (T N) ω integrabilna. Napomena 3. k distribucijom na mnogostrukosti P naziva se glatka familija k dimenzionih potprostora prostora T p P za svako p P. Za razliku od 1 distribucija (tj. vektorskih poǉa), k distribucija u opxtem sluqaju nije integrabilna, tj. nije tangentno raslojeǌe neke pomnogostrukosti 47 Vaжi slede a Teorema 13. (Frobenijusova teorema) 48 Distribucija je integrabilna ako i samo ako je zatvorena za operaciju Lijevih zagrada [, ] Dokaz teoreme 12: Neka su X, Y vektorska poǉa iz (T N) ω i Z T N. Tada je 0 = dω(x, Y, Z) = = Xω(Y, Z) + Y ω(z, X) + Zω(X, Y ) + ω([y, Z], X) + ω([z, X], Y ) + ω([x, Y ], Z) = ω([x, Y ], Z). Dokaz sledi iz Frobenijusove teoreme. Iz teoreme 12 sledi da se koizotropna podmnogostrukost N M razlistava na izotropne listove. 49 Pretpostavimo da su listovi kompaktne povezane podmnogostrukosti u N i definiximo relaciju ekvivalencije na N sa x y ako i samo ako x i y leжe na istom listu. Teorema 14. 1. Koliqniqki skup N/ je simplektiqka mnogostrukost. 2. Ako je L M Lagranжeva mnogostrukost takva da je 50 47 Drugim reqima, teorema egzistencije rexeǌa obiqnih diferencijalnih jednaqina ne vaжi za parcijalne jednaqine. 48 v. M. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, I, gl. 6. 49 Za pojam razlistavaǌa (folijacije) v. spomenutu Spivakovu kǌigu, str. 264. 50 Kaжemo da se tada L i M seku qisto. 33

( p L N)T p (L N) = T p L T p N, onda je ǌena slika L/ N/ Lagranжeva podmnogostrukost. 51 Dokaz sledi iz 1. T [p] (N/ ) = T pn (T p N) ω 2. T [p] (L/ ) = T pl T p N T p L (T p N) ω. Mnogostrukosti N/ zovemo simplektiqkom redukcijom koizotropne podmnogostrukosti N. Zadatak 62. Neka je M glatka mnogostrukost i N M ǌena glatka podmnogostrukost. Dokazati da je TN M koizotropna podmnogostrukost mnogostrukosti T M i da je ǌena simplektiqka redukcija (simplektomorfna) T N. 18.2 Kratki osvrt na Lijeve grupe Lijeva grupa je grupa koja je istovremeno i glatka mnogostrukost, takva da su operacije (proizvod i inverz) glatka preslikavaǌa. Primeri: 52 Neka je K poǉe R ili C. Vektorski prostor (K, +). Linearne grupe (matriqne grupe sa operacijom mnoжeǌa matrica): 1. Grupa invertibilnih n n matrica GL(n, K). 2. Grupa SL(n, K) n n matrica sa determinantom 1. 3. Grupa O(n) ortogonalnih n n matrica nad R. 4. Grupa U(n) unitarnih n n matrica nad C. 5. SO(n) := O(n) SL(n, R), SU(n) := U(n) SL(n, C). 6. Grupa Sp(2n) simplektiqkih matrica. 51 Ne obavezno utopǉena (u opxtem sluqaju imerzija). 52 Elementaran uvod u Lijeve grupe je M. L. Curtis, Matrix groups, Springer Verlag. 34

Projektivne linearne grupe P SL(n) := SL(n, C)/ A λa. Spin i P in grupe: 0 Z 2 Spin(n) SO(n) 1, 0 Z 2 P in(n) O(n) 1. Zadatak 63. Dokazati da je SO(3) = RP 3. Neka je G Lijeva grupa i g G. Preslikavaǌa R g, L g : G G, R g (h) := hg, L g (h) := gh su difeomorfizmi i zovu se desna i leva translacija. Vektorsko poǉe X na G je levoinvarijantno ako je L g X h = X gh. Algebra levoinvarijantnih vektorskih poǉa zove se Lijeva algebra Lijeve grupe G, ona se prirodno identifikuje sa tangentnim prostorom T e G u jedinici. Lijeve algebre linearnih grupa oznaqavaju se malim slovima, so(n) je Lijeva algabra grupe SO(n) itd. Zadatak 64. Neka je G Lijeva grupa i G ǌena Lijeva algebra. Dokazati da je tangentno raslojeǌe T G trivijalno i T G = G G. Homomorfizam R G Lijevih grupa (jasno nam je xta je to!?) R i G zove je jednoparametarska podgrupa grupe G. Svako X G generixe jednoparametarsku podgrupu γ(t) kao rexeǌe jednaqine (20) dγ dt = X(γ(t)), γ(0) = e. Zadatak 65. Dokazati da jednaqina (20) zaista definixe jednoparametarsku podgrupu. Neka je γ jednoparametarska podgrupa generisana vektorom X e T e G. Preslikavaǌe exp : G G, naziva se eksponencijalno preslikavaǌe. X γ(1) Zadatak 66. Dokazati da je exp tx = γ(t). 35