Signali i sistemi Signal st ima spektar Sf ograničen na opseg učestanosti 0 f m. Odabiranjem signala st dobijaju se signala odbiraka: s t = st s t = st s t = st s t = st δt k, δt k τ 0, δt k τ i δt k τ, pri čemu je = f m i 0 < τ 0 < τ < τ < /. Smatrati da je signal st realan. Da li je na osnovu spektara signala odbiraka s i t i =,,, moguće rekonstruisati spektar originalnog signala? Odgovor potkrepiti odgovarajućim dokazom.
Signals and Systems The signal st is band-limited with the highest frequency component f m. Sampling of the signal st produce sampled signals: s t = st s t = st s t = st s t = st δt k, δt k τ 0, δt k τ and δt k τ, such that: = f m and 0 < τ 0 < τ < τ < /. Assume that the signal st is real. Is it possible to reconstruct spectrum of the signal st using the sampled signals s i t i =,,,? The answer should contain an explanation.
Rešenje Spektar signala s t je: S f = = st st k= π jk e τ 0 k= = = k= δt k τ 0 e jπft dt π jk e t τ0 e jπft dt π jk e τ 0 Sf k Pri traženju spektra S f iskorišćena je jednakost: k= δt k τ 0 = ste jπf k t dt k= π jk e t τ 0 do koje se može doći razvojem povorke delta impulsa u FR. Spektri ostalih signala se dobija na osnovu spektra signala s t jednostavnom zamenom τ 0 = 0, τ 0 = τ i τ 0 = τ te se dobijaju sledeće jednačine: S f = S f = S f = k= k= k= Sf k π jk e τ Sf k π jk e τ Sf k Zbog hermitske simetrije spektra signala st i periodičnosti spektara signala odbiraka dovoljno je posmatrati opseg učestanosti 0 f m. Na opsegu od 0 f m / dobijaju se sledeći spektri: S f = f m Sf + f m/ + Sf + Sf f m / + Sf f m S f = f m S f = f m S f = f m Sf + fm /e j π τ π 0 j + Sf + Sf f m /e τ π 0 j + Sf f m e τ 0 Sf + fm /e j π τ π j + Sf + Sf f m /e τ π j + Sf f m e τ Sf + fm /e j π τ π j + Sf + Sf f m /e τ π j + Sf f m e τ
odakle sledi: Sf = B S f + B S f + B S f + B S f f m A gde je: B = e j π τ 0 +τ τ e j π τ 0 τ +τ e j πτ 0 τ τ + e j πτ 0 τ τ + +e j π τ 0 τ +τ + e j π τ 0 +τ τ πτ τ B = j sin + e j πτ πτ sin e j πτ πτ sin πτ τ 0 B = j sin e j πτ 0 πτ sin + e j πτ πτ0 sin πτ0 τ B = j sin + e j πτ 0 πτ sin e j πτ πτ0 sin πτ0 τ πτ τ 0 πτ τ A = j sin + sin + sin +e j π τ 0 +τ τ e j π τ 0 τ +τ e j πτ 0 τ τ + e j πτ 0 τ τ + +e j π τ 0 τ +τ e j π τ 0 +τ τ πτ +j +e j πτ e j πτ 0 sin sin πτ0 + πτ sin πτ sin + e j πτ Na opsegu od f m / f m dobijaju se sledeći spektri: πτ sin S f = f m Sf + Sf f m/ + Sf f m + Sf f m / S f = f m S f = f m S f = f m odakle sledi: πτ0 sin π Sf + Sf j fm /e τ π 0 j + Sf f m e τ 6π 0 j + Sf f m /e τ 0 π Sf + Sf j fm /e τ π j + Sf f m e τ 6π j + Sf f m /e τ π Sf + Sf j fm /e τ π j + Sf f m e τ 6π j + Sf f m /e τ Sf = f m B 5 S f + B 6 S f + B 7 S f + B 8 S f A
gde je: B 5 = e j πτ 0 B 6 = e j 6πτ 0 B 7 = e j 6πτ B 8 = e j 6πτ A = e j 6πτ 0 +τ +τ e j πτ e j πτ e j πτ e j πτ e j πτ 0 e j πτ e j πτ 0 e j πτ e j πτ e j πτ e j πτ 0 e j πτ e j πτ e j πτ 0 e j πτ e j πτ 0 e j πτ e j πτ 0 e j πτ e j πτ 0 e j πτ e j πτ 0 e j πτ e j πτ + e j πτ e j πτ e j πτ e j πτ 0 e j πτ 5
Analogne modulacije Na slici prikazana je blok šema prijemnika KAM signala sa idealnim detektorom anvelope. Na ulaz prijemnika dolazi KAM signal kome je pridodat šum. Indeks modulacije je m 0, amplituda nosioca je U c, a učestanost nosioca je f c. Modulišući signal mt ima spektar u opsegu 0 f m i srednju snagu P m. Spektralna gustina srednje snage šuma data je izrazom S n f = /f +a gde je a pozitivna realna konstanta. Odrediti analitički izraz za odnos signal šum na izlazu prijemnika. Prilikom izvodenja smatrati da je snaga koristnog signala mnogo veća od snage šuma, da sinusna i kosinusna komponenta uskopojasnog šuma imaju istu srednju snagu i da su medusobno nekorelisane. Pomoć: Za x blisko nuli važi + x + x. Slika : Prijemnik sa detektorom anvelope
Analog Modulations A block scheme of AM signal receiver with an ideal envelope detector is shown in Fig.. The input signal is AM signal with additive noise. The modulation index is m 0, the carrier amplitude is U c, and the carrier frequency is f c. The modulating signal mt has limited spectrum up to f m and the power P m. The power spectrum density of noise signal is S n f = /f +a where a is positive real constant. Find an analytic expression for signal to noise ratio on the receiver output. Assume the following: the power of noise is small compared to the power of signal, sine and cosine components of bandpass noise have the same power and they are mutually uncorrelated. Hint: If x is close to 0 than + x + x. Figure : A receiver with envelope detector
Rešenje Signal na ulazu prijemnika je: ut = U c + m 0 mt cosπf c t + nt Kroz pojasni filtar prolazi celokupni modulisani signal, dok šum postaje uskopojasni, čija spektralna gustina srednje snage postaje: /f S n,c f = + a zaf c f m < f f c + f m 0 inače Signal na izlazu pojasnog filtra se može prikazati kao: u t = U c + m 0 mt cosπf c t+n c t cosπf c t+n s t sinπf c t = At cosπf c t+φt Anvelopa ovog signala ima oblik: At = U c + m 0 mt + n c t + n st = U c + m 0 mt + U c + m 0 mt + U c + m 0 mt + n c t n c t U c + m 0 mt + n c t U c + m 0 mt n ct U c + m 0 mt + Poslednja dva člana pod korenom su zanemarena pošto je snaga signala mnogo veća od snage šuma. To je iskorišćeno i pri drugoj aproksimaciji gde je koren zamenjen sa prva dva člana Tejlorovog reda. Potrebno je odrediti snagu kosinusne komponente uskopojasnog šuma. Autokorelacija šuma je: R N τ = lim T T T T ntnt + τdt = ntnt + τ Uvrštavanjem nt = n c t cosπf c t + n s t sinπf c t u izraz za autokorelaciju dobija se: R N τ = n c tn c t + τ cos πf c t cos πf c t + τ +n c tn s t + τ cos πf c t sin πf c t + τ +n s tn c t + τ sin πf c t cos πf c t + τ +n s tn s t + τ sin πf c t sin πf c t + τ = n c tn c t + τ cos πf cτ + n s tn s t + τ cos πf cτ n st U c + m 0 mt
Pri izvodenju je iskoršćen uslov da su kosinusna i sinusna komponenta uskopojasnog šuma nekorelisane n c tn s t + τ = n s tn c t + τ = 0, kao i da je cos πf c t cos πf c t + τ = sin πf c t sin πf c t + τ = cos πf cτ Po uslovu zadatka važi da je n c t = n s t i pošto važi sledi: R N 0 = n ct + n st R N 0 = n c t = n s t Tako da se od izraza za srednju snagu šuma dolazi na osnovu izraza za srednju snagu uskpojasnog šuma koja je u ovom slučaju: fc+fm n c t = R N 0 = f c f m f + a df = arctan f c + f m arctan f c f m a a a Odnosno korišćenjem odgovarajuće trigonometrijske jednačine Tražen odnosn signal šum je: n c t = a arctan af m a + fc fm SNR = P s n c t = arctan a U c m 0P m af m a +f c f m
Digitalne telekomunikacije / Digital communications Zadatak: Posmatra se prenos ASK signala oblika s m t = st cosπf 0 t, gde je st = T U k a k ht kt binarni moduli²u i signal sa periodi nom informacionom sekvencom...,, 0,, 0,,...} i elementarnim impulsom ht iji je spektar oblika: Hf = cos πft, f T 0, ina e. U estanost nosioca je f 0 = /T. Odrediti i skicirati signal u vremenskom domenu u ta ki F na izlazu prijemnika u slu aju nekoherentnog a, odnosno koherentnog b prijema. Odrediti marginu ²uma u oba slu aja ako je prag odlu ivanja u odlu iva u U. Objasniti koji od ova dva prijemnika obezbežuje manju verovatno u gre²ke. Problem: Consider an ASK signal of the form s m t = st cosπf 0 t, where st = T U k a k ht kt is a binary modulating signal with periodic information sequence...,, 0,, 0,,...} and a pulse ht whose spectrum is given by: Hf = cos πft, f T 0, elsewhere. Carrier frequency is f 0 = /T. Determine and depict the signal in the time domain at the point F at the receiver's output in case of noncoherent a and coherent b detection. Determine the noise margin the largest absolute value of the amplitude of the noise that does not cause an error in both cases if the decision threshold is set to U. Explain which of the two receivers ensures smaller error probability.
Re²enje: obliku Uzimaju i u obzir oblik informacione sekvence, moduli²u i signal se moºe predstaviti u st = T U ht kt, k odakle se izra unava njegov spektar kao Sf = T UHf T δ k f k = UHf T k δ f k. T Vidi se da je tj. s m t = st = U + U cos πt, T U + U πt cos cosπf 0 t. T U slu aju nekoherentnog prijema a signal u ta ki F bi e: s F t = U + πt cos T pa je njegova margina ²uma U 0.59U. U slu aju konerentne detekcije imamo s F t = U a margina ²uma je u tom slu aju U.U. + πt cos, T Zbog ve e margine ²uma, manju verovatno u gre²ke obezbežuje koherentna detekcija.
Statisti ka teorija telekomunikacija / Statistical theory of communications Zadatak: Kroz kanal sa slabljenjem U i ka²njenjem V poslat je impuls, 0 t < T pt = 0, ina e, tako da je signal na prijemu oblika Xt = Upt V. Ako su U i V nezavisne slu ajne promenljive sa uniformnom, odnosno eksponencijalnom raspodelom: ϕ U u = /, 0 u 0, ina e, ϕ V v = λe λv, v 0 0, ina e, odrediti kumulativnu funkciju raspodele verovatno e amplitude primljenog signala Xt. Ako prijemnik moºe da detektuje samo signal amplitude ve e od δ, pri emu je 0 < δ <, izra unati verovatno u detekcije poslatog impulsa u trenutku t: P[Xt > δ]. Odrediti optimalan trenutak detekcije t u kome je ova verovatno a maksimizovana. Problem: Electrical signal pt =, 0 t < T 0, elsewhere is sent through the channel with attenuation U and delay V, so that the received signal is of the form Xt = Upt V. If U and V are independent random variables with uniform and exponential distribution, respectively: ϕ U u = /, 0 u 0, elsewhere, ϕ V v = λe λv, v 0 0, elsewhere, nd the cumulative distribution function of the received signal's amplitude Xt. If the receiver is able to detect only voltages greater than δ, where 0 < δ <, calculate the probability of detection of the sent impulse at time t: P[Xt > δ]. Determine the optimal moment of detection t at which this probability is maximized.
Re²enje: Potrebno je odrediti F Xt x = P[Xt x]. Kako je o igledno 0 Xt za svako t, dobija se F Xt x = 0 za x < 0 i F Xt t = za x. Neka je nadalje 0 x <. U tom slu aju dogažaj Xt x se moºe izraziti na slede i na in Xt x } = pt V = 0 } pt V =, U x } = t < V } t > V + T } V < t < V + T, U x } pa je F Xt x = P[V > t] + P[V < t T ] + P[t T < V < t] P[U x]. Treba razmotriti dva slu aja, t < T i t T. U prvom slu aju se dobija a u drugom tako da je kona no F Xt x = e λt + e λt x, F Xt x = e λt + e λt T + e λt T e λt x, 0, x < 0 e λt + e λt x, 0 x <, t < T F Xt x = e λt + e λt T + e λt T e λt x, 0 x <, t T, x. Verovatno a detekcije impulsa u trenutku t sada se lako odrežuje kao P[Xt > δ] = F Xt δ, tj. e λt δ P[Xt > δ] =, t < T e λt e λt δ, t T. Vidi se da ova verovatno a, posmatrana kao funkcija vremena, raste u intervalu 0 t T, nakon ega monotono opada. Optimalan trenutak detekcije u kome je ona maksimizovana je stoga t = T.
Teorija informacija / Information theory Zadatak: crne i bele kuglice, koje se razlikuju jedino po boji, nalaze se u posude, tako da su u svakoj posudi po kuglice ne obavezno iste boje. U jednom potezu se iz prve posude na slu aj izvla i jedna kuglica i prebacuje u drugu, a posle toga se iz druge posude na slu aj izvla i jedna kuglica i prebacuje u prvu. Ako se ovaj postupak ponavlja mnogo puta, odrediti prose nu koli inu informacije koju sadrºi podatak o tome koje kuglice se nalaze u prvoj posudi nakon jednog poteza. Problem: black and white balls, which dier only in colour, are put in bowls, so that there are balls in each bowl not necessarily of the same colour. In one move, one ball from the rst bowl is chosen at random and put into the second bowl, and then one ball chosen at random from the second ball is put into the rst bowl. If this is repeated many times, calculate the average amount of information conveyed by the contents of the rst bowl after a single move.
Re²enje: Neka su b i b brojevi belih kuglica u prvoj posudi pre i posle jednog poteza. Ako su sa C i B ozna eni dogažaji da je izvu ena crna ili bela kuglica, sa I i II prvo i drugo izvla enje u jednom potezu, a sa p I i p II njihove verovatno e, onda su mogu i slede i potezi sa odgovaraju im verovatno ama: b I II p I p II p b 0 C C 0 C B B C B B C C C B B C B B C C C B B C B B 0 0 Pri odreživanju verovatno a, uzeto je u obzir koliko kojih kuglica ima u posudi iz koje se neka od njih izvla i, kao i da su izvla enja u jednom potezu nezavisna osim preko brojeva kuglica. Proces dobijen uzastopnim izvla enjima je Markovljev izvor, ije stanje je npr. broj belih kuglica u prvoj posudi. Na osnovu prethodne tabele, uzimaju i u obzir da su razli iti potezi za isto polazno stanje disjunktni dogažaji, sabiranjem verovatno a onih koji dovode u isto odredi²no stanje dobija se matrica verovatno a prelaza izvora, 0 0 Π = 7 0 0 0 0 7 Re²enje problema je entropija ovog izvora. Da bi se ona izra unala, potrebno je odrediti vektor njegovih stacionarnih verovatno a koji je re²enje sistema jedna ina t = [ t 0 t t t ], tπ = t, t 0 + t + t + t =. Iz simetrije izvora moºe da se zaklju i da je t 0 = t i t = t, na osnovu ega se lako dobija.. t 0 = t = 0, t = t = 9 0.
Entropije prelaza iz pojedinih stanja su H 0 = H = ld + ld = ld i H = H = ld + 7 odakle sledi da je entropija izvora ld 7 + ld = + ld 7 ld 7, H = t 0 H 0 + t H + t H + t H = 7 5 + ld ld 7.7. 0 0