Longstaff-Schwartzev algoritem za vrednotenje ameriških opcij

Longstaff-Schwartzev algoritem za vrednotenje ameriških opcij Živa Petkovšek mentor: doc. dr. Dejan Velušček Ljubljana, 17. oktober 2013 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 1 / 21

Ameriške opcije Ameriški tip finančnega instrumenta: izvršitev kadarkoli do trenutka zapadlosti Zahtevno vrednotenje Numerične metode metoda končnih elementov metoda končnih diferenc metoda binomskih dreves... metode Monte Carlo 2001: Longstaff in Schwartz predstavita svoj algoritem Kombinacija metode Monte Carlo z metodo najmanjših kvadratov Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 2 / 21

Longstaff-Schwartzev algoritem: matematično ozadje poln verjetnostni prostor (Ω, F, P) življenjska doba opcije: končno časovno obdobje [0,T] razširitev naravne filtracije: F= {F t ; t [0,T]} na trgu ni arbitraže obstoj ekvivalentne martingalske verjetnosti Q Za finančne instrumente Longstaff in Schwartz privzameta: Izplačilna funkcija finančnega instrumenta je s kvadratom integrabilna. Cenovni proces osnovnega premoženja, na katerega imamo napisano opcijo, (X t ) t [0,T ], je Markovski proces. Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 3 / 21

Simulacija ameriških opcij Diskretizacija časovnega obdobja: bermuda opcija Natančno določeni možni trenutki izvršitve: 0 < t 1 < t 2 < t 3 <... < t K = T Odločitve o izvršitvi ob zapadlosti T pred trenutkom zapadlosti Ob času t k, k {1,..., K 1} nosilec opcije pozna denarni tok, če opcijo takoj izvrši ne pozna denarnih tokov v primeru nadaljevanja življenja opcije Maksimizacija vrednosti ameriške opcije: Izvršitev v prvem trenutku, ko je vrednost takojšnje izvršitve večja ali enaka vrednosti nadaljevanja. Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 4 / 21

Vrednost nadaljevanja? Teoretični zapis vrednosti nadaljevanja v času t k : kjer je: F (ω; t k ) = E Q K j=k+1 r(ω, t) netvegana diskontna stopnja ( tj ) exp r(ω, s)ds C(ω, t j ; t k, T ) t k F tk C(ω, t j ; t k, T ) denarni tok, ki nastopi v času t j pri pogoju, da opcijo izvršimo šele po času t k, in matematično upanje pogojeno na informacijsko množico F tk. F (ω, t k ) je element prostora L 2 ((Ω, F tk, Q), (0, ))., Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 5 / 21

Longstaff-Schwartzev algoritem Glavna ideja algoritma V času t k neznano funkcijo vrednosti nadaljevanja predstavimo kot linearno kombinacijo števne množice F tk -merljivih baznih funkcij. L 2 ((Ω, F tk, Q), (0, )) je separabilen Hilbertov prostor: obstoj števne ortonormirane baze f L 2 f lahko predstavimo kot števno linearno kombinacijo baznih funkcij prostora L 2 F (ω; t k ) = E Q K E Q j=k+1 K j=k+1 ( tj ) exp r(ω, s)ds t k ( tj ) exp r(ω, s)ds C(ω, t j ; t k, T ) t k C(ω, t j ; t k, T ) X tk F tk = = α j φ j (X tk ) j=0 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 6 / 21

Aproksimacije Dve aproksimaciji: Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 7 / 21

Aproksimacije Dve aproksimaciji: 1 Aproksimacija števne linearne kombinacije baznih funkcije s končno: M F M (ω; t k ) = αj M φ j (X tk ) j=1 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 7 / 21

Aproksimacije Dve aproksimaciji: 1 Aproksimacija števne linearne kombinacije baznih funkcije s končno: M F M (ω; t k ) = αj M φ j (X tk ) j=1 2 Aproksimacija koeficientov α M j po metodi najmanjših kvadratov. Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 7 / 21

Regresija v času t K 1 Diskontirane vrednosti C(ω, s; t K 1, T ), t K 1 < s T, projiciramo na izbrano končno število M baznih funkcij. Simuliramo N neodvisnih slučajnih poti gibanja vrednosti osnovnega premoženja za vsak možen trenutek izvršitve t k. C(ω, s; t K 1, T ) so (diskontirani) denarni tokovi opcije ob zapadlosti. Rezultat metode najmanjših kvadratov v času t K 1 so nepristranske cenilke iskanih koeficientov: α M,N = arg min a R M N T (exp( r(ω, s)ds)c(ω i, s; t K 1, T ) a φ) 2, i=1 t K 1 kjer je: φ vektor baznih funkcij, a φ običajni skalarni produkt v R M. Ocenjena vrednost nadaljevanja: F N M(ω; t K 1 ) = M j=1 α M,N j φ j (X tk 1 ) Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 8 / 21

Odločitev o izvršitvi Primerjava F N M (ω; t K 1) z vrednostjo takojšnje izvršitve Rekurzivni pomik na čas t K 2 : določitev denarnih tokov C(ω, s; t K 2, T ) regresija in nova cenilka vrednosti nadaljevanja odločitve o izvršitvi v času t K 2 Ponavljanje do trenutka t 1 : določitev pravila ustavljanja in pripadajočih denarnih tokov za vsako simulirano pot ω Določitev vrednosti opcije v času t 0 : diskontiranje z algoritmom določenih denarnih tokov na čas t 0 in (po metodi Monte Carlo) povprečenje glede na število simuliranih poti N. Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 9 / 21

Konvergenca algoritma Ugotovitve Longstaffa in Schwartza: 1 Trditev 1: (Longstaff F. A., Schwartz, E. S.: Valuing american options by Simulation: A simple least-squares approach) 1 V (X) lim N N N LSM(ω i ; M, K), kjer je: V(X) točna vrednost opcije in LSM(ω i, M, K) denarni tok v času t 0 za ω i, določen z algoritmom. 2 Verjetnostna konvergenca za enodimenzionalni primer pri dveh možnih trenutkih izvršitve i=1 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 10 / 21

Konvergenca algoritma Ugotovitve Longstaffa in Schwartza: 1 Trditev 1: (Longstaff F. A., Schwartz, E. S.: Valuing american options by Simulation: A simple least-squares approach) 1 V (X) lim N N N LSM(ω i ; M, K), kjer je: V(X) točna vrednost opcije in LSM(ω i, M, K) denarni tok v času t 0 za ω i, določen z algoritmom. 2 Verjetnostna konvergenca za enodimenzionalni primer pri dveh možnih trenutkih izvršitve Clement, E., Lamberton, D., Protter P.: An analysis of the Longstaff-Schwartz algortihm for American option pricing skoraj gotova konvergenca algoritma stopnja konvergence algoritma vsaj 1 2 i=1 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 10 / 21

Ameriška prodajna opcija - ilustrativni primer Ameriška prodajna opcija na delnico, ki ne izplačuje dividend Izvršilna cena: K = 1.15 Čas zapadlosti opcije: T = 3 Izvršitev možna enkrat letno ob trenutkih t = 1, t =2, in t = T = 3 r = 6 % Gibanje ekonomije po 10 možnih slučajnih poteh: Tabela: Poti gibanja osnovnega premoženja - delnice Pot t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 1 1 0.91 1.17 1.09 2 1 1.13 0.81 0.99 3 1 0.79 0.70 0.67 4 1 0.93 0.74 0.80 5 1 1.17 0.90 0.99 6 1 1.19 1.01 1.16 7 1 0.95 1.43 1.29 8 1 1.37 1.67 1.91 9 1 1.16 1.59 1.60 10 1 0.92 1.30 1.28 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 11 / 21

Denarni tokovi ob času t=3 Izplačilo opcije ob času t=3: max{0, S 3 } Tabela: Denarni tokovi ob času t = 3 Pot t = 1 t = 2 t = 3 1 / / 0.06 2 / / 0.16 3 / / 0.48 4 / / 0.35 5 / / 0.16 6 / / 0.00 7 / / 0.00 8 / / 0.00 9 / / 0.00 10 / / 0.00 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 12 / 21

Regresija in izbira baze Regresija v trenutku t k : Vključitev zgolj tistih poti ω, pri katerih se izvršitev v času t k izplača. Izbira baze Robustnost algoritma (uteženi) Laguerrovi polinomi: X/2 ex d n L n (X) = e n! dx n (X n e X ) Druge izbire baze: Hermitovi, Čebiševi polinomi, trigonometrijska vrsta, Fourierova vrsta, potence Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 13 / 21

Odločitve ob času t=2 X... vektor vrednosti osnovnega premoženja za poti, ko se izvršitev opcije v času t=2 izplača Y... vektor diskontiranih vrednosti denarnih tokov, ki jih nosilec opcije prejme, če z opcijo v času t=2 nadaljuje do časa t=3 Funkcija vrednosti nadaljevanja: Tabela: Regresija ob času t = 2 Pot X Y 1 / / 2 0.81 0.16*e 0.06 3 0.70 0.48*e 0.06 4 0.74 0.35*e 0.06 5 0.90 0.16*e 0.06 6 1.01 0.00*e 0.06 7 / / 8 / / 9 / / 10 / / E[Y X] = 3.774 7.174X 3.420X 2 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 14 / 21

Odločitve in izplačila ob času t=2 Tabela: Vrednosti takojšnje izvršitve in nadaljevanja ob času t = 2 Pot Izvršitev Nadaljevanje 1 / / 2 0.34 0.2080 3 0.45 0.4289 4 0.41 0.3390 5 0.25 0.0088 6 0.14 0.0180 7 / / 8 / / 9 / / 10 / / Tabela: Denarni tokovi opcije Pot t = 1 t = 2 t = 3 1 / 0.00 0.06 2 / 0.34 0.00 3 / 0.45 0.00 4 / 0.41 0.00 5 / 0.25 0.00 6 / 0.14 0.00 7 / 0.00 0.00 8 / 0.00 0.00 9 / 0.00 0.00 10 / 0.00 0.00 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 15 / 21

Regresija ob času t=1 Tabela: Regresija ob času t = 1 Pot X Y 1 0.91 0.00*e 2 0.06 2 1.13 0.34*e 0.06 3 0.79 0.45*e 0.06 4 0.93 0.41* e 0.06 5 / / 6 / / 7 0.95 0.00*e 0.06 8 / / 9 / / 10 0.92 0.00*e 2 0.07 Tabela: Vrednosti takojšnje izvršitve in nadaljevanja ob času t = 1 Pot Izvršitev Nadaljevanje 1 0.24 0.1279 2 0.02 0.3207 3 0.36 0.4188 4 0.22 0.1066 5 / / 6 / / 7 0.20 0.093 8 / / 9 / / 10 0.23 0.1162 Funkcija vrednosti nadaljevanja: E[Y X] = 9.312 18.925X + 9.707X 2 Izvršitev se izplača, če se je ekonomija gibala po poteh 1, 4, 7 ali 10 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 16 / 21

Pravilo ustavljanja, denarni tokovi in vrednost opcije Tabela: Pravilo ustavljanja Pot t = 1 t = 2 t = 3 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 1 0 4 1 0 0 5 0 1 0 6 0 1 0 7 1 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 10 1 0 0 Tabela: Denarni tokovi ameriške prodajne opcije Pot t = 1 t = 2 t = 3 1 0.24 0.00 0.00 2 0.00 0.34 0.00 3 0.00 0.45 0.00 4 0.22 0.00 0.00 5 0.00 0.25 0.00 6 0.00 0.14 0.00 7 0.20 0.00 0.00 8 0.00 0.00 0.00 9 0.00 0.00 0.00 10 0.23 0.00 0.00 Aproksimirana vrednost ameriške opcije z LS algoritmom: 0.1885 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 17 / 21

Primer: Ameriška prodajna opcija Ameriška prodajna opcija na delnico Black-Scholesova predpostavka gibanja cene osnovnega premoženja: ds = rsdt + σsdw, (1) kjer je S cena osnovnega premoženja, r in σ sta konstantni, W standardno Brownovo gibanje oz. Wienerjev proces; Delnica ne izplačuje dividend. Opcijo lahko izvršimo petdesetkrat na leto, izvršilna cena K = 30, čas zapadlosti T Bazne funkcije: konstanta in prvi trije uteženi Laguerrovi polinomi Primerjava vrednosti, dobljeni po metodi končnih diferenc in Longstaff-Schwartzevem algoritmu Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 18 / 21

Ameriška prodajna opcija Longstaff-Schwartzev algoritem (lastna implementacija): 100 000 slučajnih poti gibanja vrednosti osnovnega premoženja, simuliranih v skladu z enačbo (1) 50 diskretnih trenutkov možne izvršitve Metoda končnih diferenc Paket RQuantLib: funkcija AmericanOption Parametri: št. časovnih korakov: 40 000 št. korakov za ceno osnovnega premoženja (delnice): 1000 Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 19 / 21

Primerjava vrednosti po metodi končnih diferenc in L-S algoritma Primerjava vrednosti ameriške prodajne opcije po obeh metodah: Končne diference Longstaff-Schwartzev algoritem S σ T AM EU* VZI AM (s.e.) EU* VZI Razlika 26 0.20 1 4.100 3.470 0.630 4.112 (0.006) 3.470 0.642-0.012 26 0.20 2 4.282 3.272 1.009 4.295 (0.008) 3.272 1.022-0.013 26 0.40 1 5.848 5.518 0.330 5.863 (0.014) 5.518 0.344-0.014 26 0.40 2 6.858 6.167 0.691 6.847 (0.018) 6.167 0.680 + 0.011 28 0.20 1 2.711 2.369 0.341 2.717 (0.007) 2.369 0.347-0.006 28 0.20 2 3.060 2.424 0.636 3.060 (0.009) 2.424 0.636 + 0.000 28 0.40 1 4.842 4.586 0.256 4.823 (0.013) 4.586 0.237 + 0.019 28 0.40 2 5.985 5.409 0.576 5.953 (0.017) 5.409 0.544 + 0.032 30 0.20 1 1.743 1.550 0.193 1.734 (0.007) 1.550 0.184 + 0.009 30 0.20 2 2.180 1.767 0.413 2.155 (0.008) 1.767 0.388 + 0.025 30 0.40 1 3.996 3.795 0.201 3.994 (0.014) 3.795 0.199 + 0.002 30 0.40 2 5.232 4.745 0.487 5.187 (0.017) 4.745 0.442 + 0.045 32 0.20 1 1.088 0.975 0.113 1.078 (0.006) 0.975 0.103 + 0.010 32 0.20 2 1.546 1.270 0.276 1.514 (0.007) 1.270 0.244 + 0.032 32 0.40 1 3.289 3.128 0.161 3.269 (0.012) 3.128 0.141 + 0.020 32 0.40 2 4.580 4.164 0.416 4.538 (0.016) 4.164 0.374 + 0.042 *Vrednosti EU izračunane po Black-Scholesovi enačbi Povprečna absolutna razlika: 1.8 centa Pozitivne in negativne razlike Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 20 / 21

Zaključek Preprosto, intuitivno, a učinkovito orodje za določitev cene številnih finančnih instrumentov ameriškega tipa Ameriška-bermuda-azijska nakupna opcija Opcija na delnico, katere cenovni proces dopušča skoke (nastop Poissonovega procesa) Vrednotenje ameriške zamenjave v dvajset faktorskem verižnem modelu strukture terminskih obrestnih mer Problemi višje dimenzije: opcija na premoženje, sestavljeno iz več tveganih osnovnih sredstev... Priljubljeno in pogosto uporabljeno orodje v praksi Živa Petkovšek () Predstavitev dela diplomskega seminarja 17. oktober 2013 21 / 21