Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Vedran Šimošić Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Diplomski rad Osijek, 2010.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Vedran Šimošić Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Diplomski rad Voditelj: doc. dr. sc. Zvonko Glumac Osijek, 2010.

Sadržaj Uvod 1 1 Poopćene koordinate 2 1.1 Slobodan sustav.................................. 2 1.2 Neslobodan sustav................................ 3 1.2.1 Holonomni sustav............................. 4 1.2.2 Neholonomni sustav........................... 5 2 Lagrangeova formulacija klasične mehanike 6 2.1 Lagrangeove jednadžbe gibanja za holonomne sustave....................................... 10 2.1.1 Lagrangeove jednadžbe gibanja za konzervativne sile......... 10 2.2 Lagrangeove jednadžbe gibanja za neholonomne sustave....................................... 11 3 Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike 14 3.1 Varijacijski princip mehanike........................... 14 3.1.1 Funkcija djelovanja i Hamiltonov princip................ 16 3.2 Hamiltonove kanonske jednažbe gibanja..................... 18 3.2.1 Fizikalno značenje Hamiltonijana.................... 19 3.3 Zakoni očuvanja.................................. 21 3.4 Poissonove zagrade................................ 21 3.4.1 Zapis Hamiltonovih jednadžbi pomoću Poissonovih zagrada...... 22 3.5 Kanonske transformacije............................. 23 3.6 Hamilton-Jacobijeva jednadžba......................... 27 3.6.1 Fizikalni smisao Hamilton-Jacobijeve funkcije............. 29 4 Prijelaz na kvantnu mehaniku 30 A Slobodna čestica 32 i

B Linearni harmonički oscilator 33 Zaključak 35 Literatura 36 Sažetak 37 Summary 38 Životopis 39 ii

U nemogućnosti da ti ovaj rad predam osobno, ja ti ga posvećujem.

Uvod Newtonova 1 mehanika je kompletna, logički konzistentna teorija, koja vrlo dobro opisuje širok spektar pojava. Na osnovu nje može se upravljati svemirskim brodom koji putuje na Neptun ili izračunati kretanje bilo kojeg objekta na Zemlji koji je dovoljno velik da se može vidjeti običnim mikroskopom i koji je dovoljno spor (do nekoliko tisuća puta brži od brzine metka). Bez obzira na ovako veliku primjenu Newtonove mehanike, ispostavilo se da njena osnovna forma nije dovoljno univerzalna, a u slučaju kada želimo prijeći na teorije koje opisuju mikrosvijet, ispostavilo se da nije sasvim pogodna. Pogodnija je druga varijanta klasične mehanike koja se naziva Lagrangeova 2 ili analitička mehanika. 3 U razvoju klasične mehanike se, u tom smislu, mogu izdvojiti dva pravca. Jedan od njih je dobro poznata Newtonova ili vektorska mehanika, a drugi je poznat pod nazivom analitička mehanika. U Newtonovoj mehanici se za dobivanje diferencijalnih jednadžbi koje opisuju kretanja tijela koriste dva vektora: vektor impulsa i vektor sile, dok se u analitičkoj mehanici koriste skalarne veličine: energija i rad. U prvom su dijelu ovog diplomskog rada uvedeni pojmovi veza, broja stupnjeva slobode, te je opisana razlika izmedu holonomnih i neholonomnih veza, odnosno sustava. Drugi dio rada sadrži kompletnu Lagrangeovu formulaciju klasične mehanike koju je Hamilton kasnije iskoristio i izveo svoju formulaciju. Dakle, drugi dio rada sadrži cjelokupan izvod Lagrangeovih jednadžbi gibanja kako za holonomne, tako i za neholonomne sustave čestica. U trećem dijelu, koji je ujedno i tema ovog rada, detaljno je opisan izvod Hamiltonovih (kanonskih) jednadžbi gibanja, te izvod Hamilton-Jacobijeve formulacije klasične mehanike. 1 Sir Isaac Newton, 1642. 1727. engleski matematičar i fizičar 2 Joseph Louis comte de Lagrange, 1736. 1813., francuski fizičar i matematičar 3 Pojam analitička označava da se radi o primjeni diferencijalnog računa. 1

1 Poopćene koordinate Newtonova formulacija mehanike zahtijeva poznavanje svih sila koje djeluju na fizikalni sustav. Za sustave čija je dinamika ograničena vezama to često nije lako. Tipičan primjer je gibanje po nekoj podlozi. Znamo da na česticu (ili tijelo) mora djelovati sila reakcije, odnosno otpor podloge koji osigurava da čestica ostaje u kontanktu s podlogom, ali ne znamo napisati izraz za tu silu kao funkciju položaja i brzina čestica. U drugoj polovici XVII. stoljeća u radovima d Alemberta i Lagrangea nastala je nova, općenitija formulacija mehanike specijalno prilagodena rješavanju problema gibanja sustava s vezama. Temelj nove formulacije su Lagrangeove jednadžbe gibanja koje se formuliraju u prikladno odabranom prostoru čiju bazu čine poopćene koordinate fizikalnog sustava. Lagrangeov je formalizam omogućio daljnji razvoj drugih formulacija mehanike (Hamiltonov formalizam), te je znatno olakšao apstraktnu analizu problema gibanja fizikalnih sustava i uveo u teorijsku fiziku novi standard analitičkog formuliranja teorija koji važi i u modernoj fizici. 1.1 Slobodan sustav Promotrimo sustav sastavljen od N čestica. Ako se svaka čestica tog sustava, za vrijeme svojega gibanja, može nalaziti u proizvoljnoj točki prostora i pri tome imati proizvoljnu brzinu, takav se sustav zove slobodan sustav. Za odredivanje položaja tog sustava, potrebno je znati N radij-vektora položaja svih njegovih čestica r 1, r 2,..., r N. Uvedemo li i pravokutni koordinatni sustav, tada je r j = r j (x j, y j, z j ; t), pa je položaj cijelog sustava odreden s 3N koordinata x j, y j, z j, j = 1, 2,..., N. Umjesto pravokutnih koordinata, mogu se uvesti i neke druge, pogodnije odabrane koordinate koje čak i ne moraju imati dimenziju duljine, nego mogu biti npr. kutovi kao u sfernom 2

koordinatnom sustavu, koje ćemo označiti s η 1, η 2,..., η 3N. Svaka od 3N pravokutnih koordinata se u svakom trenutku t može izraziti pomoću svih ili samo nekih od varijabli η j, pa imamo: x j = x j (η 1, η 2,..., η 3N ; t) y j = y j (η 1, η 2,..., η 3N ; t) z j = z j (η 1, η 2,..., η 3N ; t). 1.2 Neslobodan sustav Kako bismo uopće mogli odrediti položaj nekog sustava čestica definirat ćemo pojam broja stupnjeva slobode. Broj stupnjeva slobode je najmanji broj medusobno nezavisnih skalarnih veličina nužnih za odredivanje položaja svih čestica sustava. Taj ćemo pojam pobliže objasniti na sljedećim primjerima. Primjer 1. Za odredivanje položaja jedne čestice koja se slobodno giba u trodimenzijskom prostoru, su potrebne tri koordinate: (x, y, z), (η 1, η 2, η 3 ), (r, ϑ, φ) ili nešto slično. Zato je broj stupnjeva slobode jedne slobodne čestice u trodimenzijskom prostoru, jednak tri. Primjer 2. Za odredivanje položaja sustava koji se sastoji od N čestica koje se slobodno gibaju u trodimenzijskom prostoru, potrebno je odrediti položaj svake od čestica sustava, a položaj svake čestice je odreden s tri koordinate (Primjer 1.). Prema tome, ukupan broj koordinata potrebnih za odredivanje položaja sustava je 3N, tj. toliki je broj stupnjeva slobode. Ako položaji ili brzine čestica sustava ne mogu poprimati proizvoljne vrijednosti, nego samo one vrijednosti koje zadovoljavaju odredene uvjete, onda takav sustav zovemo neslobodan sustav čestica. U takvom je fizikalnom sustavu gibanje ograničeno vezama (veza je bilo kakvo ograničenje položaja i/ili brzine čestica sustava). Npr. dvije čestice povezane tankom nerastezivom niti su primjer neslobodnog sustava: njihova medusobna udaljenost je uvijek manja ili jednaka duljini niti. Uvjeti na gibanje se općenito mogu analitički izraziti tako što će izmedu položaja i brzina čestica sustava i vremena, postojati M veza, odnosno M diferencijalnih jednadžbi oblika f m (η j, η j ; t) = 0, m = 1, 2,..., M, za j = 1, 2,..., N. Vrijeme t se pojavljuje u onim slučajevima kada se veze mijenjaju u vremenu. 3

1.2.1 Holonomni sustav Može se dogoditi da neki od uvjeta na gibanje ne ovise o brzinama čestica sustava η j. Takvi se uvjeti zovu se holonomni (konačni ili integrabilni), a mogu se analitički izraziti algebarskim jednadžbama oblika f m (η j ; t) = 0, m = 1, 2,..., M h, za j = 1, 2,..., N. S M h < M smo označili broj holonomnih veza. Neslobodni sustav čije je gibanje odredeno samo holonomnim vezama (M h = M), zove se holonomni sustav. Budući da sada imamo 3N koordinata i M h veza medu njima, zaključujemo da je samo S = 3N M h od njih medusobno nezavisno. U skladu s definicijom pojma stupnja slobode, kažemo da ovakav sustav ima 3N M h stupnjeva slobode. Primjer 3. Uzmimo jednostavni primjer sustava dvije čestice (N = 2) koje se mogu gibati samo u ravnini (x, y), a medusobno su povezane krutim štapom. Dvije slobodne čestice imaju šest stupnjeva slobode 3N = 3 2 = 6. Ograničenje na gibanje u ravnini možemo izraziti uvjetima: z 1 = 0, z 2 = 0. Kako su čestice povezane štapom kojemu je duljina npr. d, njihove su koordinate povezane još i relacijom (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 = d 2, (1.1) tako da ukupno imamo tri holonomna uvjeta na gibanje M h = 3, pa je broj stupnjeva slobode S = 3N M h = 6 3 = 3. Primjetimo da sve tri gornje veze ne ovise ni o vremenu ni o brzinama čestica. Pretpostavimo da smo riješili M h jednadžbi (1.1) i da smo dobili M h koordinata η 1, η 2,..., η Mh izraženih preko preostalih S = 3N M h koordinata η 1 = η 1 (η Mh+1, η Mh+2,..., η 3N ; t) η 2 = η 2 (η Mh+1, η Mh+2,..., η 3N ; t). η Mh = η Mh (η Mh+1, η Mh+2,..., η 3N ; t) 4

Uvedimo sada umjesto S nezavisnih koordinata η Mh+1, η Mh+2,..., η 3N, nove nezavisne koordinate q 1, q 2,..., q S pomoću relacija η Mh+1 = η Mh+1 (q 1, q 2,..., q S ; t), η Mh+1 = η Mh+2 (q 1, q 2,..., q S ; t),. η 3N = η 3N (q 1, q 2,..., q S ; t). Ove nove koordinate q s za s = 1, 2,..., S ćemo zvati poopćene koordinate. Njih ima onoliko koliko ima i stupnjeva slobode. Pomoću poopćenih koordinata je moguće napisati za sve j = 1, 2,..., 3N. η j = η j (q 1, q 2,..., q S ; t), Ukoliko jednadžbe uvjeta (1.1) ne sadrže eksplicitno vrijeme, one se zovu skleronomne, a ako te jednadžbe sadrže vrijeme, zovu se reonomne. 1.2.2 Neholonomni sustav Pogledajmo sada uvjete na gibanje, koji osim o položajima ovise i o brzinama čestica i koji se analitički mogu prikazati diferencijalnim jednadžbama oblika f m (η j ; η j ; t) = 0, (1.2) za j = 1, 2,..., N i m = 1, 2,..., M h. Može se dogoditi da je neku od M h gornjih jednadžbi moguće napisati kao vremensku derivaciju neke funkcije Φ koja ovisi samo o položajima čestica sustava i vremenu, tj. Tada veza dφ(η j ; t) dt = 0. Φ(η j ; t) = C = const. zamjenjuje odgovarajuću vezu s brzinama iz jednadžbe (1.2). Ovakve se veze nazivaju poluholonomne veze. Odabirom odgovarajućih vrijednosti za konstante C, ove veze postaju holonomne. Ako se veze (1.2) ne mogu napisati u obliku vremenskih derivacija nekih drugih funkcija koordinata i vremena, onda se one zovu neholonomne (diferencijalne ili neintegrabilne), a sustav se zove neholonomni sustav. U općem slučaju, brzine se u (1.2) mogu pojavljivati na proizvoljan način. No, u većini slučajeva od interesa one se pojavljuju linearno, tako da se veze (1.2) mogu napisati u obliku: N A jm η j + B m = 0, m = 1, 2,..., M nh, (1.3) j=1 5

A jm = A jm (η j ; t), B m = B m (η j ; t). Dakle, poluholonomne veze možemo pribrojiti holonomnim vezama, i njih sve skupa ima M h. S M nh smo označili broj neholonomnih veza, tako da je ukupan broj stupnjeva slobode za ovakav sustav jednak S = 3N M h M nh. 6

2 Lagrangeova formulacija klasične mehanike Osnovna ideja cijelog računa koji se izlaže u ovom poglavlju leži u tome da se, polazeći od Newtonovih jednadžbi gibanja svih N čestica sustava, dode do jednadžbi gibanja za S stupnjeva slobode tog istog sustava. Neka je zadan sustav od N čestica. Čestice nisu slobodne nego su podvrgnute odredenim uvjetima. Postoji M h jednadžbi pomoću kojih su izraženi holonomni i M nh jednadžbi pomoću kojih su izraženi neholonomni uvjeti. Zato je broj stupnjeva slobode sustava jednak S = 3N M h M nh (ako umjesto sustava od N čestica imamo kruto tijelo, onda umjesto 3N dolazi broj stupnjeva slobode slobodnog krutog tijela, a to je 6). Pretpostavimo da su holonomni uvjeti riješeni i da smo M h zavisnih poopćenih koordinata izrazili preko preostalih 3N M h. Ove preostale poopćene koordinate još nisu sve medusobno neovisne, nego su povezane s M nh neholonomnih jednadžbi. Ove jednadžbe ne znamo riješiti i zato nastavljamo raditi s 3N M h poopćenih koordinata imajući na umu da one nisu sve medusobno nezavisne r j = r j (q s ; t), j = 1, 2,..., 3N, s = 1, 2,..., 3N M h. Iznimka je situacija kada nema neholonomnih uvjeta, tj. M nh = 0. Tada je broj stupnjeva slobode S = 3N M h, i svih S poopćenih koordinata medusobno neovisno. Nazovimo poopćenim brzinama q s, vremenske derivacije poopćenih koordinata. Kako bismo mogli nastaviti naše razmatranje trebamo uvesti varijaciju vektora položaja (virtualni ili zamišljeni pomak) δ r j, kao trenutni pomak (uz t = const., tj. δt = 0) u skladu s uvjetima na gibanje δ r j = Tada je virtualni (zamišljeni) rad jednak: 3N M h r j δq s. δw = N F j δ r j = j=1 N j=1 3N M h F j r j δq s. 7

Uvedemo li tzv. poopćenu silu Φ s koja djeluje na poopćenoj koordinati q s kao Φ s = N F j j=1 r j, tada virtualni rad možemo napisati kao umnožak poopćenih sila i diferencijala poopćenih koordinata. Time se ukupan rad vanjskih sila nad sustavom može napisati u obliku koji je analogan onom iz Newtonove mahanike, tj. δw = 3N m h Φ s δq s. (2.1) U gornjoj se jednadžbi umjesto sila i koordinata svih čestica sustava, pojavljuju poopćene sile i poopćene koordinate. Valja primjetiti da je poopćena sila skalar, tj. po svom algebarskom karakteru odgovara jednoj od komponenata sile kao vektora. Sada želimo uspostaviti vezu izmedu poopćene sile i kinetičke energije. Do ove ćemo veze doći u nekoliko koraka. U tim ćemo koracima poopćene koordinate q s (t) i poopćene brzine q s (t), tretirati kao dva skupa medusobno neovisnih varijabli. (1) Izvedimo takozvano poništenje točkica: r j = r j (q 1 (t), q 2 (t),..., q 3N Mh (t); t) / d dt r j = r j q 1 + r j q 2 + + r j q 3N Mh / q 1 q 2 q 3N Mh q s r j q s = r j (2.2) (2) Pokažimo da potpuna vremenska derivacija i parcijalna derivacija po poopćenoj koordinati komutiraju, kada djeluju na r j, odnosno pokažimo da vrijedi: Iz točke (1) imamo: d r j dt = r j q 1 ( ) d rj = 2 r j dt q 1 ( ) ( d d r j = dt dt q 1 + r j q 2 q 2 + + r j q 3N Mh q 1 + 2 r j 2 r j q 2 + + q 2 q 3N Mh ) r j (2.3) q 3N Mh + r j t / q 3N Mh + 2 r j t (2.4) Primjetimo sada da iz relacije r j = r j (q 1, q 2,..., q 3N Mh ; t) vrijedi da je i derivacija r j, 8

takoder nekakva funkcija od tih istih q 1, q 2,..., q 3N Mh i vremena. Zbog toga imamo: d dt ( ) rj = q 1 ( ) rj q 1 + q 2 ( ) rj q 2 + + q 3N Mh ( ) rj q 3N Mh + t ( ) rj q s = 2 r j q 1 q s + + 2 r j q 3N Mh q 3N Mh + 2 r j t. (2.5) Usporedbom (2.4) i (2.5) vidi se da relacija (2.3) vrijedi. (3) Sada ćemo ponovno zapisati izraz za virtualni rad δw, ali pomoću drugog Newtonovog zakona, tj. F j = m j rj. Tada imamo: δw = N F j δ r j = j=1 N m j rj δ r j = j=1 N j=1 3N M h m j rj r j δq s. Označeni dio gornje jednadžbe ćemo transformirati kao: ( ) ( ) d r j r j = dt q r r j j + s q r d rj j, s dt iz čega slijedi: r j r j = d ( ) ( ) r j r j dt q r d rj j. s dt Ukoliko na drugi član s desne strane gornje jednakosti primjenimo komutativnost pokazanu u točki (2) za virtualni rad tada dobivamo: [ N 3N M h ( ) d r j δw = m j rj m j dt j=1 rj r j (4) Promotrimo sada kinetičku energiju: E k = 1 N m j rj 2, / 2 E k = E k = 1 2 E k q s = N j=1 N j=1 j=1 m j N j=1 m j rj r j m j rj 2, / q s rj r j q s = (2.2) = N j=1 m j ] δq s (2.6) rj r j (2.7) Uvrstimo li dobivene izraze iz (2.7) u (2.6), dobivamo virtualni rad izražen preko kinetičke energije sustava: δw = 3N M h [ d dt 9 ( ) Ek q s E ] k δq s.

Izjednačimo li ovaj zamišljeni rad s radom koji je napisan preko poopćenih sila u relaciji (2.1) dolazimo do: 3N M h [ d dt ( ) Ek q s E k Φ s ] δq s = 0. (2.8) Gornja jednadžba vrijedi kako za holonimne tako i za neholonomne sustave, s tom razlikom da su za holonomne sustave, sve varijacije δq s medusobno nezavisne, dok za neholonomne sustave nisu sve medusobno nezavisne. 2.1 Lagrangeove jednadžbe gibanja za holonomne sustave Ograničimo se na holonomne sustave, tj. neka nema neholonomnih uvjeta na gibanje, M nh = 0. U tom je slučaju broj nezavisnih stupnjeva slobode jednak S = 3N M h i sve su varijacije δq s iz jednadžbe (2.8) medusobno nezavisne. Kako su nezavisne znači da se mogu mijenjati neovisno jedna o drugoj. Npr. možemo uzeti da je samo δq 1 0, a sve ostale varijacije da su jednake nuli. U tom je slučaju uglata zagrada s indeksom s = 1 jednaka nuli. Zatim možemo uzeti da je samo q 2 0, i doći do zaključka da uglata zagrada s indeksom s = 2 iščezava i tako redom za sve ostale koordinate. Konačno, zaključujemo da sve S = 3N M h uglate zagrade moraju iščezavati, tj. da vrijedi: Φ s = d dt ( ) Ek q s E k (2.9) gdje je s = 1, 2,..., S. To su Lagrangeove jednadžbe gibanja za holonomni sustav čestica. Ima ih onoliko koliko i stupnjeva slobode S. One vrijede i za skleronomne i reonomne sustave, kao i za konzervativne i nekonzervativne sile. Veličina p s = E k q s se zove poopćena količina gibanja konjugirana poopćenoj koordinati q s. 2.1.1 Lagrangeove jednadžbe gibanja za konzervativne sile Ukoliko su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, one se mogu izraziti preko potencijalne energije E p, odnosno vrijedi F j = j E p Tada je poopćena sila jednaka 10

Φ s = N j=1 = F j r j = N ( Ep j=1 x j N j=1 x j + E p y j ( Ep ı + E p ȷ + E ) p (xj ı + y j ȷ + z j k) k x j y j z j y j + E p z j ) z j = E p Uvrstimo li ovaj izraz za poopćenu silu u Lagrangeove jednadžbe (2.9) imamo: ( ) d Ek E k = E p, dt q s odnosno ( ) d Ek (E k E p ) = 0. dt q s Najčešće, potencijalna energija ne ovisi o poopćenim brzinama q s, pa je praktično za uvesti tzv. Lagrangeovu funkciju ili lagranžijan, L, pomoću izraza: L = E k E p. Tada su nam Lagrangeove jednažbe zapisane pomoću lagranžijana: ( ) d L L = 0 (2.10) dt q s gdje je s = 1, 2,..., S. Jednažbe (2.10) vrijede za holonomne konzervativne sustave. Za konzervativni se sustav poopćena količina gibanja definira kao: p s = L q s. (2.11) 2.2 Lagrangeove jednadžbe gibanja za neholonomne sustave Sada ćemo pretpostaviti da osim M h holonomnih uvjeta na gibanje postoji i M nh neholonomnih uvjeta. Prisjetimo se da u jednadžbi (2.8) zbog postojanja M nh neholonomnih uvjeta na gibanje, sada nisu sve varijacije δq s medusobno neovisne. Ukoliko u neholonomnim uvjetima (1.3), zamjenimo koordinate η j poopćenim koordinatama q s, dobivamo: 3N M h A s,m q s + B m = 0, m = 1, 2,..., M nh (2.12) gdje je A s,m = A s,m (q s ; t) i B m = B m (q s ; t). Ako pomnožimo gornje jednadžbe s dt imamo: 3N M h A s,m dq s + B m dt = 0, m = 1, 2,..., M nh. 11

Nadalje, prijedemo li sa pravih pomaka dq s i dt na virtualne pomake δq s i δt (za koje vrijedi δt = 0), gornje jednadžbe postaju: 3N M h Sada svaku od M nh A s,m δq s = 0, m = 1, 2,..., M nh. jednadžbi pomnožimo proizvoljnom konstantom λ m, koja se naziva Lagrangeov množitelj (multiplikator), i zbrojimo sve jednadžbe uvjeta, tj.: 3N M h (λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + + λ Mnh A s,mnh ) δq s = 0. Oduzmemo li ovu jednadžbu od jednadžbe (2.8), dobivamo: 3N M h [ d dt ( ) Ek q s E k Φ s λ 1 A s,1 λ 2 A s,2 λ Mnh A s,mnh ] δq s = 0. (2.13) U gornjoj jednadžbi nije svih 3N M h varijacija δq s medusobno nezavisno. Kako postoji i M nh neholonomnih uvjeta, nezavisno je S = 3N M h M nh varijacija poopćenih koordinata q s. Pretpostavimo da su prvih M nh poopćenih koordinata zavisne, a preostalih S = 3N M h M nh nezavisne. Dakle, q 1, q 2,..., q }{{ Mnh, q } Mnh +1, q Mnh +2,..., q }{{ 3N Mh } zavisne nezavisne Do sada, na Lagrangeove množitelje nismo postavili nikakve uvjete. Odaberu li se Lagrangeovi množitelji λ m tako da iščezava prvih M nh uglatih zagrada iz (2.13) koje množe zavisne δq s, preostaje nam još S uglatih zagrada povezanih jednadžbom: 3N M h s=m nh +1 [ d dt ( ) Ek q s E k Φ s λ 1 A s,1 λ 2 A s,2 λ Mnh A s,mnh ] δq s = 0. Obzirom da su u gornjoj jednadžbi sve poopćene koordinate q s medusobno nezavisne, zaključujemo da svaka od gornjih uglatih zagrada mora iščezavati. Time dolazimo do zaključka da svih 3N M h okruglih zagrada iz (2.13) mora iščezavati: njih M nh zbog izbora Lagrangeovih množitelja, a preostalih S = 3N M h M nh zbog nezavisnosti poopćenih koordinata. Tada Lagrangeove jednadžbe za neholonomni sustav možemo zapisati u obliku sustava diferencijalnih jednadžbi: ( ) d Ek E k = Φ s + λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + + λ Mnh A s,mnh s = 1, 2,..., 3N M h dt q s 3N M h A s,m q s + B m = 0, m = 1, 2,..., M nh. 12

Gornji se sustav sastoji od (3N M h ) + M nh jednadžbi i jednako toliko nepoznanica: q 1, q 2,..., q 3N Mh, λ 1, λ 1,..., λ Mnh. Ako su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, uvodimo potencijalnu energiju izrazom Φ s = E p. Ukoliko potencijalna energija ne ovisi o poopćenim brzinama q s, Lagrangeove jednadžbe možemo zapisati preko lagranžijana L = E k E p : d dt ( ) L q s L = λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + + λ Mnh A s,mnh s = 1, 2,..., 3N M h 3N M h A s,m q s + B m = 0, m = 1, 2,..., M nh. (2.14) Pomoću gornjeg sustava možemo rješavati i probleme vezane za holonomne sustave i to tako što ćemo holonomne uvjete f m (q s ; t) = 0, (za m = 1, 2,..., M h ), derivirati po vremenu i napisati ih u obliku sustava (2.14): 3N f m q s + f m t = 0, m = 1, 2,..., M h. Znači, zapravo nije potrebno rješavati jednadžbe kojima su zadani uvjeti, već ih se jednostavno može tretirati pomoću Lagrangeovih množitelja. Fizikalno značenje Lagrangeovih multiplikatora možemo uočiti iz sustava (2.14) na čijoj desnoj strani mora biti sila, tj. izrazi oblika λ m A s,m predstavljaju poopćene sile koje dolaze od uvjeta na gibanje. 13

3 Hamilton Jacobijeva formulacija klasične mehanike Da bi se odredio položaj čestice u trenutku t + dt, treba poznavati i položaj i brzinu čestice u trenutku t, što znači da je mehaničko stanje sustava odredeno položajem i brzinom čestica u jednom trenutku. U Lagrangeovoj formulaciji svakom stupnju slobode gibanja odgovara jedna poopćena koordinata q j, a mehaničko stanje sustava je odredeno sa 2n vrijednosti poopćenih koordinata i poopćenih brzina (q(t), q(t)). Dakle, postoji n jednadžbi gibanja (koje su diferencijalne jednadžbe drugog reda), ali 2n početnih uvjeta neophodnih da se odredi početno stanje sustava. U Hamiltonovoj 4 formulaciji uklanja se gornja asimetrija. Gibanje sustava N čestica sa n stupnjeva slodode odredeno je sa 2n jednadžbi gibanja, koje su obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Partikularno rješenje Hamiltonovih jednadžbi zahtjeva poznavanje početnih vrijednosti svih 2n kanonskih varijabli poopćenih koordinata q j i njima pridruženih poopćenih količina gibanja p j. 3.1 Varijacijski princip mehanike Dosad smo prirodne zakone izražavali diferencijalnim jednadžbama. U tim su jednadžbama uzajamno povezane male promjene različitih fizikalnih veličina. Takav način opisivanja prirodnih pojava najviše će se zadržati u egzaktnim znanostima. No, s diferencijalnim jednadžbama gibanja se pokazuju ekvivalentni varijacijski principi. Ta ekvivalentnost nam omogućuje da prirodne zakone izrazimo i ekstremalnim principima. Jedan takav princip je Fermatov princip u optici: Svjetlost putuje od jedne točke do druge onim putem za koji joj treba najmanje vremena. Naravno, svjetlost ne bira svoj put zato da bi stigla što prije u odredenu točku, već se ona jednostavno tako kreće. Fizikalno razumijevanje takvih fenomena pronalazimo u elektrodinamici, a varijacijski principi nam služe da bismo prirodnim zakonima dali takav oblik u kojem se najbolje vide osnovne fizikalne 4 William Rowan Hamilton, 1805 1865, irski matematičar i astronom 14

invarijante. Sada ćemo pokazati vezu koja postoji izmedu Lagrangeovih jednadžbi i varijacijskog računa. Ova veza će nam ukazati na jedan drukčiji način na koji se može gledati smisao Lagrangeovih jednadžbi gibanja. Slika 3.1: Varijacija staze Kako smo već spomenuli osnovni i najjednostavniji problem varijacijskog računa, je odgovoriti pitanje: Kako naći funkciju y = Y (x) koja bi spojila točku x = a s točkom x = b (Slika 3.1), tako da je integral I = b a F (y, y ; x)dx ekstreman, odnosno maksimalan ili minimalan? S y smo označili derivaciju dy dx, a F označava funkciju od y, y i x. Tada se sama funkcija y naziva ekstrem. Ako je y = Y (x) funkcija koja gornji integral I čini ekstremnim, neka je tada y = Y (x) + δy (x) Y (x) + εη(x) njoj bliska, tj. varirana krivulja (Slika 3.1), za koju vrijedi η(x = a) = η(x = b) = 0, a ε = const. u x. Tada je vrijednost integrala I za ovu blisku krivulju jednaka: I(ε) = b a F [Y (x) + ε η(x), Y (x) + ε η (x); x] dx (3.1) gdje su s crticom označene derivacije po varijabli x. Kako bi ovaj integral bio ekstreman uz ε = 0 imamo: di = 0. dε ε=0 15

Koristeći (3.1) možemo odrediti gornju derivaciju: Iskoristimo li di dε = = b a b a ( F y y ε + F y y ε F y η dx + b a ) dx = b a ( F y η + F ) y η F dη dx. (3.2) y dx ( ) d F dx y η = η d ( ) F + F dx y y dη dx, parcijalnom integracijom možemo izračunati drugi član jednadžbe (3.2), pa dobivamo: di dε = = b a b a b η F y dx + a [ F η y d dx [ η d dx )] ( F y ( ) F + d y dx ( dx + η F y ( η F y ) b. a )] dx Trebamo se prisjetiti da vrijedi η(x = a) = η(x = b) = 0. To znači da je posljednji član u gornjem izrazu jednak nuli. Tada imamo: di = 0 = dε ε=0 b a [ F η y d ( )] F dx. dx y ε=0 Funkciju η(x) u gornjem integralu odabiremo potpuno proizvoljno, pa ćemo ju odabrati tako da ona na čitavom intervalu a x b ima isti predznak kao i uglata zagrada. Tada gornja jednadžba može biti jednaka nuli samo ako je uglata zagrada jednaka nula, odnosno ( ) d F F dx y y = 0. (3.3) Jednadžba (3.3) se naziva Euler-Lagrangeova jednadžba. Ukoliko imamo funkcije više varijabli dobivamo S Euler-Lagrangeovih jednadžbi ( ) d F F = 0, s = 1, 2,..., S. dx y s y s Sada još samo valja primjetiti da ukoliko nezavisnu varijablu x zamijenimo s vremenom t, funkciju F zamijenimo s lagranžijanom L, a y s i y s shvatimo kao poopćene koordinate q s i poopćene brzine q s, tada gornje jednadžbe postaju baš Lagrangeove jednadžbe (2.10). 3.1.1 Funkcija djelovanja i Hamiltonov princip Svaki fizikalni sustav u Hamiltonovom formalizmu opisan je Hamiltonovom funkcijom sustava H čije je poznavanje ekvivalentno poznavanju Lagrangeove funkcije sustava, L. Sličnost 16

Euler Lagrangeove jednadžbe (3.3) i Lagrangeovih jednadžbi gibanja za holonomne konzervativne sustave (2.10) navela je Hamiltona na razmatranje integrala S = t2 t 1 L(q 1, q 2,..., q S, q 1, q 2,..., q S ; t) dt, koji je nazvao djelovanjem (action) ili principalnom funkcijom. Pomoću tog je integrala Hamilton postavio osnovni postulat svoje teorije, a zove se Hamiltonov princip ili princip najmanjeg djelovanja. Funkcija djelovanja prema svojoj dimenziji odgovara umnošku energije i vremena. Ukoliko zamjenimo oznake u Euler Lagrangeovim jednadžbama (3.3) tako da je F L, x t, y s q s, y s q s i ukoliko postavimo zahtjev da je djelovanje S ekstremalno ds = 0, dε s εs =0 iz Euler Lagrangeovih jednadžbi dolozimo do Lagrangeovih jednadžbi (2.10), odnosno ( ) d L L = 0 s = 1, 2,..., S. dt q s Sada možemo izvesti Taylorov razvoj funkcije djelovanja S oko točke ε s = 0: S(ε s ) = S(0) + ε s ds dε s εs=0 + 1 2 s =1 d 2 S ε s ε s + O(ε 3 ). dε s dε s 0 Ukoliko varijacijom djelovanja δs nazovemo razliku djelovanja na pravoj putanji, koja čini S ekstremalnom, i variranoj putanji, δs = S(ε s ) S(0) tada, s točnošću od O(ε s ) možemo zaključiti da se mehanički sustav giba tako da je varijacija njegove funkcije djelovanja jednaka nuli δs = 0. (3.4) Kako je na pravoj putanji mehaničkog sustava, ekstrem funkcije djelovanja S najčešće minimalan, gornji se izraz zove Hamiltonovo načelo najmanjeg djelovanja. Svakako valja primjetiti da smo počevši od zahtjeva da je integral jedne funkcije ekstreman, došli do izraza koji je ekvivalentan Newtonovim jednadžbama gibanja. Drukčije rečeno: gibanja u prirodi se odvijaju tako da čine ekstremnim integral Lagrangeove funkcije L. Hamiltonov je princip zapravo samo specijalan slučaj matematičkog problema računa varijacija koji smo opisali u Odjeljku 3.1. 17

3.2 Hamiltonove kanonske jednažbe gibanja Neka je zadan sustav sa S stupnjeva slobode, opisan Lagrangeovom funkcijom L(q s, q s ; t). Hamiltonova je ideja bila, pronaći takvu funkciju u kojoj će se kao varijable, umjesto poopćenih brzina (što je slučaj kod Lagrangeovih jednadžbi) pojavljivati poopćene količine gibanja. Račun ćemo započeti tako što ćemo izračunati diferencijal lagranžijana L(q s, q s ; t). Taj diferencijal iznosi: dl(q s, q s ; t) = ( L dq s + L ) d q s + L q s t dt. Pomoću definicije poopćene količine gibanja (2.11) i Lagrangeove jednadžbe (2.10) imamo: p s = L ( ) d L, L = 0 q s dt q s L = dp s dt = ṗ s, Time diferencijal Lagrangeove funkcije postaje: dl(q s, q s ; t) = (ṗ s dq s + p s d q s ) + L t dt. U gornjoj se jednadžbi diferencijal poopćene brzine, može zapisati kao: p s d q s = d(p s q s ) dp s q s, čime dobivamo: dl = Transformacijom imamo: ( ) d p s q s L = [ṗ s dq s + d(p s q s ) dp s q s ] + L t dt ( ṗs dq s + q s dp s ) L t dt (3.5) Funkcija na lijevoj strani jednadžbe (3.5) zove se Hamiltonova funkcija ili Hamiltonijan: H = p s q s L(q s, q s ; t), (3.6) dok se iz desne strane jednadžbe (3.5) može uočiti da je hamiltonijan funkcija koja ovisi o poopćenim koordinatama, poopćenim količinama gibanja i vremenu, H = H(q s, p s ; t). 18

Općenito, diferencijal hamiltonijana zadan je jednadžbom: dh = ( H dq s + H ) dp s + H p s t dt, pa ako usporedimo gornju jednadžbu s jednadžbom (3.5) dobivamo Hamiltonove kanonske jednadžbe gibanja: ṗ s = H, q s = H p s, H t = L t (3.7) gdje je s = 1, 2,..., S. Svakako, valja primjetiti da su Hamiltonove jednadžbe zapravo diferencijalne jednadžbe prvog reda (za razliku od Lagrangeovih diferencijalnih jednadžbi drugog reda), ali ih ima dvostruko više. 3.2.1 Fizikalno značenje Hamiltonijana U svrhu objašnjenja fizikalnog značenja hamiltonijana pretpostavit ćemo da je sustav konzervativan (L = E k E p ) te neka lagranžijan, a time i hamiltonijan eksplicitno ne ovise o vremenu. Pokazat ćemo da je u tom slučaju kinetička energija kvadratna funkcija poopćenih brzina. Počnimo od kinetičke energije sustava koji se sastoji od N čestica, zapisane pomoću pravokutnih koordinata i prevedimo tu energiju u poopćene koordinate. Dakle, E k = 1 2 N m j rj 2 = 1 2 j=1 N m j (ẋ 2 j + ẏj 2 + żj 2 ) j=1 Znamo da za koordinate reonomnog sustava čestica vrijedi: x j = x j (q 1, q 2,..., q S ; t) x j ẋ j = q s + x j q s t ( ẋ 2 x j j = q s + x j t = p=1 x j x j q p Slično se dobije i za y j i z j koordinate: p=1 x j q p q s q p + 2 x j t q p + x j t ) x j q s + ( ) 2 xj t ẏ 2 j = ż 2 j = p=1 p=1 y j y j q p z j z j q p q s q p + 2 y j t q s q p + 2 z j t y j q s + z j q s + ( ) 2 yj t ( ) 2 zj t 19

Zbog kraćeg zapisa uvodimo: a s,p = 1 2 a s = b = 1 2 N j=1 N j=1 ( xj x j m j + y j y j + z ) j z j = a p,s q p q p q p m j ( xj t x j + y j t [ N ( xj ) 2 m j + t j=1 Time dobivamo da je kinetička energija jednaka: y j + z j t ( ) 2 yj + t ) z j ( ) ] 2 zj. t E k = a s,p q s q p + a s q s + b. p=1 Uočimo da ako je sustav skleronoman, odnosno vrijeme se ne pojavljuje eksplicitno, vrijedi: b 0, a s 0, pa kinetička energija postaje kvadratna funkcija poopćenih brzina. Nadalje, imamo: l=1 E k = E k q l = E k q l q l = p=1 a l,p q p + p=1 l=1 a s,p q s q p / q l a s,l q s / a l,p q l q p + p=1 a s,l q s q l = 2E k. l=1 q l l=1 Ukoliko se ograničimo samo na konzervativne sustave kod kojih potencijalna energija ne ovisi o poopćenim brzinama, za poopćenu količinu gibanja imamo: p s = L q s = E k q s čime hamiltonijan postaje: E k q s q s = p s q s = 2E k, H = p s q s L = 2E k (E k E p ) = E k + E p, odnosno, H = E k + E p. (3.8) Dakle, fizikalno, hamiltonijan je jednak zbroju kinetičke i potencijalne energije cijelog sustava. To je ujedno i jednostavan način da se zapiše hamiltonijan. 20

3.3 Zakoni očuvanja Hamiltonove kanonske jednadžbe (3.7) odmah daju Zakon očuvanja količine gibanja: Zakon očuvanja količine gibanja: Ako hamiltonijan H ne ovisi o poopćenoj koordinati q s, pridružena poopćena količina gibanja je očuvana: H = 0 p s = const. (3.9) Potpuna vremenska derivacija Hamiltonove funkcije jednaka je: što daje: dh dt = H ( H t + Zakon očuvanja hamiltonijana H: q s + H p s ṗ s ) = H t, Ako hamiltonijan H (a time i Lagranžijan) sustava ne ovisi eksplicitno o vremenu, onda je hamiltonijan očuvana veličina: H t = 0 H = const. (3.10) Za holonomni konzervativni sustav hamiltonijan ne ovisi o vremenu t pa jednadžba (3.10) predstavlja zakon očuvanja energije za takav sustav. 3.4 Poissonove zagrade Najopćenitija formulacija jednadžbi gibanja u analitičkoj mehanici može se pronaći u obliku Poissonovih zagrada. Poissonova zagrada dvije funkcije poopćenih koordinata i poopćenih količina gibanja, odnosno F (q s, p s ) i G(q s, p s ) definira se kao: Svojstva Poissonovih zagrada: (0) {F, c} = 0, za c = const., (1) {F, F } = 0, {F, G} = ( F 21 G G p s ) F, (3.11) p s

(2) {F, G} = {G, F }, (3) {F 1 + F 2, G} = {F 1, G} + {F 2, G}, (4) {F, q k } = F p k, (5) {F, p k } = F q k, (6) {F 1 F 2, G} = {F 1, G} F 2 + F 1 {F 2, G}, (7) {F, {G, P }} + {G, {P, F }} + {P, {F, G}} = 0, pri čemu je S broj stupnjeva slobode sustava od N čestica. Ova se svojstva mogu pokazati izravnim uvrštavanjem u definicijsku jednadžbu Poissonovih zagrada (3.11). Relacija (7) se naziva Jacobijev identitet. 3.4.1 Zapis Hamiltonovih jednadžbi pomoću Poissonovih zagrada Sada ćemo pokazati čemu su jednake Poissonove zagrade poopćene koordinate i poopćene količine gibanja s hamiltonijanom, tj.: pri čemu vrijede jednadžbe: {q s, H} = = ( qs s =1 s =1 ( δ s,s H p s H p s H H ) p s ) 0 = H = (3.7) = q s, (3.12) p s ( ps H {p s, H} = H ) p s q s s p s p s =1 ( = 0 H H ) δ s,s p s s =1 = H = (3.7) = ṗ s, (3.13) = δ s,s, p s p s = δ s,s, p s = 0, p s = 0, (3.14) gdje smo s δ s,s označili Kroneckerov simbol: δ s,s = { 1, s = s ; 0, s s. 22

Koristeći Poissonove zagrade (3.12) i (3.13) lako se uočava da se Hamiltonove jednadžbe gibanja mogu zapisati u potpuno simetričnom obliku: q s = {q s, H}, ṗ s = {p s, H}. (3.15) Pomoću relacija (3.15) lako se mogu izračunati Poissonove zagrade izmedu poopćenih koordinata i poopćenih količina gibanja. Dobivamo: {q k, q l } = 0, {p k, p l } = 0, {q k, p l } = δ k,l. Znači, Poissonove su zagrade različite od 0 samo kada se odreduju izmedu poopćene koordinate i njoj pridružene poopćene količine gibanja. Sada ćemo još samo pokazati kako se može vremenska promjena proizvoljne funkcije f (q s (t), p s (t); t) zapisati pomoću Poissonove zagrade: d f dt = = ( f q s + f ) ṗ s + f p s t ( f H H ) f + f p s p s t = {f, H} + f t. Možemo uočiti da ukoliko funkcija f ne ovisi o vremenu t imamo da je: {f, H} = f t 3.5 Kanonske transformacije (3.16) Kao ni lagranžijan, ni hamiltonijan sustava nije jednoznačno odreden. Transformacije kanonskih varijabli koje ostavljaju invarijantnim Hamiltonove jednadžbe nazivaju se kanonskim transformacijama. U našem ćemo razmatranju prijeći sa naših poopćenih koordinata q s i p s (stare koordinate) na nove poopćene koordinate Q s i P s, pri čemu je s = 1, 2,..., S. Stare i nove koordinate su vezane jednadžbama: q s = q s (Q s, P s ), p s = p s (Q s, P s ). (3.17) Hamiltonijan zapisan pomoću novih koordinata izrazit ćemo pomoću H: H(Q s, P s ) = H(q s, p s ). 23

Ovakvu transformaciju ćemo zvati kanonskom ako i za nove varijable vrijede Hamiltonove jednadžbe gibanja (3.7), točnije ako vrijedi: P s = H, Q s Q s = H P s. Naš je zadatak odrediti pri kojim će uvjetima Hamiltonove jednadžbe biti invarijantne na transformacije (3.17), odnosno koje uvjete mora zadovoljavati ova transformacija da bi bila kanonska. Zbog jednostavnijeg zapisa pri odredivanju uvjeta koristit ćemo se Poissonovim zagradama. Račun ćemo početi s Poissonovim zagradama funkcija F (q s, p s ) i G(q s, p s ) napisanim pomoću novih varijabli: {F, G} Q,P = ( F Q s G G P s Q s ) F. ( ) P s Obzirom da su F i G funkcije starih koordinata q s i p s imamo: F Q s = F P s = ( F s =1 ( F s =1 p s + F Q s p s p s + F P s p s ) p s, Q s ) p s, P s G Q s = G P s = ( G s =1 ( G s =1 Uvrštavanjem gornjih izraza u ( ) i sredivanjem imamo: p s + G Q s p s p s + G P s p s ) p s, Q s ) p s. P s {F, G} Q,P [ s =1 s =1 F + F p s G G {q s, q s } Q,P + F {p s, q s } Q,P + F p s G {q s, p s } Q,P p s ] G {p s, p s } Q,P. p s Znači, ako su zadovoljene relacije: {q s, q s } Q,P = 0, {p s, p s } Q,P = 0, {q s, p s } Q,P = δ s,s, (3.18) tada su Poisssonove zagrade i u starim i u novim varijablama jednake, tj. vrijedi: {F, G} q,p = {F, G} Q,P. Nadalje, izračunajmo vremensku promjenu od q s. Kako q s ne ovisi eksplicitno o vremenu (q s = q s (Q s, P s )) tada je vremenska promjena varijable q s dana s: dq s dt = ( qs s =1 Q s 24 Q s + Q s ) P s. (3.19)

Takoder, tu istu vremensku derivaciju, koristeći jednadžbu (3.16), možemo zapisati pomoću Poissonovih zagrada: Zbog uvjeta (3.18) vrijedi: dq s dt = {q s, H(q s, p s )} q,p. {q s, H(q s, p s )} q,p = {q s, H(Q s, P s )} Q,P, čime dobivamo: dq s dt = {q s, H(Q s, P s )} Q,P = ( Q s s =1 H P s H Q s ). P s Ukoliko usporedimo gornju relaciju s (3.18) zaključujemo da vrijedi: Q s = H P s = {Q s, H}, P s = H = {P s, Q H}. (3.20) s Dakle, ukoliko su jednadžbe (3.18) zadovoljene, transformacija (3.17) će biti kanonska. Do istog zaključka možemo doći i ukoliko izračunamo vremensku promjenu od p s. Zaključujemo da su jednadžbe (3.18) uvjet na transformaciju (3.17) da bi ona bila kanonska (zato što i nove varijable Q i P zadovoljavaju Hamiltonove kanonske jednadžbe gibanja). Takoder, postoji još jedan način pronalaženja kanonske transformacije, a to je pomoću hamiltonijana. Da bi transformacija (3.17) bila kanonska potreban uvjet je važenje Hamiltonovog principa najmanjeg djelovanja (3.4) kako u starim, tako i u novim varijablama, tj. mora vrijediti: odnosno, [ t2 δ t 1 p s q s H ] [ t2 dt = δ t 1 P s Q s H [ t2 ] δ (p s q s P s Q s ) + ( H H) = 0, t 1 što će biti ispunjeno samo ako se podintegralne funkcije (L i L) u starom i novom djelovanju (akciji) razlikuju najviše do na potpunu vremensku derivaciju df funkcije F koja se naziva dt generator kanonske transformacije, tako da je: ] dt, df = (p s dq s P s dq s ) + ( H H) dt (3.21) Generatorska funkcija F je proizvoljna funkcija 4n + 1 nezavisnih varijabli - starih i novih kanonskih varijabli: q s, p s, Q s, P s i eventualno vremena t, od kojih su zbog transformacija (3.17) samo 2n + 1 nezavisne varijable. 25

Izbor nezavisnih varijabli dijeli generatore kanonskih transformacija F u 4 tipa: F 1 = F 1 (q 1, q 2,..., q S, Q 1, Q 2,..., Q S ; t), F 2 = F 2 (q 1, q 2,..., q S, P 1, P 2,..., P S ; t), (3.22) F 3 = F 3 (Q 1, Q 2,..., Q S, p 1, p 2,..., p S ; t), F 4 = F 4 (p 1, p 2,..., p S, P 1, P 2,..., P S ; t), Uzmimo sada da relacija (3.21) predstavlja potpunu vremensku derivaciju generatora F 1. To zapravo znači: H = H + F 1 t, p F 1 s, P s = F 1. Q s Prva od gornjih relacija omogućava da se nade novi hamiltonijan sustava kao funkcija od Q s, P s i t, dok druge dvije relacije omogućuju da se q s i p s izraze kao funkcije od Q s, P s i t. Drugi tipovi generatorskih funkcija su Legendreove transformacije od F 1. Na primjer, ( ) d F 1 + Q s P s = (p s dq s + Q s dp s ) + ( H H)dt F 2 = F 1 + P s Q s, pa time imamo: H = H + F 2 t, p s = F 2, Q s = F 1 P s. (3.23) Analogno imamo za F 3 : ( ) d F 1 q s p s = (q s dp s + P s dq s ) + ( H H)dt F 3 = F 1 p s q s, dok za F 4 vrijedi: ( d F 1 H = H + F 3 t, q s = F 3 p s, P s = F 3 Q s, q s p s + ) Q s P s = F 4 = F 1 (q s dp s Q s dp s ) + ( H H)dt p s q s + P s Q s, H = H + F 4 t, q s = F 4 p s, Q s = F 4 P s. Napomena: U matematici se transformacija H = H(q s, p s ; t) = p s q s L(q s, q s ; t), (s = 1, 2,..., S) naziva Legendreovom transformacijom. 26

3.6 Hamilton-Jacobijeva jednadžba Još jedna formulacija klasične mehanike, tzv. Hamilton-Jacobijeva 5 formulacija, zasniva se na postojanju kanonske transformacije koja maksimalno pojednostavljuje jednadžbe gibanja. U ovoj formulaciji mehanike, osnovna jednadžba Hamilton-Jacobijeva jednadžba, je parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda čije rješenje odreduje generator kanonske transformacije S 6, koji sve kanonske varijable transformira u konstante gibanja odredene početnim uvjetima. Razmotrimo kanonsku transformaciju odredenu generatorom tipa: F 2 = F 2 (q 1, q 2,..., q S, P 1, P 2,..., P S ; t) S, takvu da je novi hamiltonijan H jednak nula. Tada prema prvoj relaciji u (3.23) imamo: H = H + S t = 0, Q s = H P = 0, s P s = H Q = 0. (3.24) s Takva transformacija ima za rješenje: Q s = α s = const., P s = β s = const., (s = 1, 2,..., S). (3.25) Kako su prema (3.25) nove količine gibanja konstante, tražena genaratorska funkcija zadovoljava prema (3.23) relacije: S = S(q 1, q 2,..., β 1, β 2..., β S ; t) H = H + S t = 0, α s = S β s, p s = S. (3.26) Hamiltonijan je funkcija starih kanonskih varijabli, H = H(q 1,..., q S, p 1,..., p S ; t). Izrazimo li stare poopćene količine gibanja kao p s = S, prva od jednadbi (3.26) postaje Hamilton- Jacobijeva jednadžba: ( S t + H q s, S ), t = 0. (3.27) Hamilton-Jacobijeva jednadžba je očito parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda s nepoznatim generatorom S = S(q s, β s, t) kanonske transformacije, koji je funkcija od n + 1 5 Carl Gustav Jakob Jacobi, 1804-1851 6 Zapravo, S je Hamiltonova principalna funkcija, a kako nam ona ujedno daje i željenu kanonsku transformaciju zove se još i generator kanonske transformacije. 27

nezavisnih varijabli q s i t, pri čemu tražena kanonska transformacija ima svojstvo da je transformirani Hamiltonijan jednak nuli. Jednadžba (3.27) je, prema (3.24), potpuno ekvivalentna Hamiltonovim jednadžbama gibanja. Kad se nade rješenje Hamilton-Jacobijeve jednadžbe, poopćene koordinate i količine gibanja odreduju se iz algebarskih relacija: Q s = S β s = α s, p s = S q s = q s (α 1, α 2,..., α S, β 1, β 2,..., β S ; t), p s = p s (α 1, α 2,..., α S, β 1, β 2,..., β S ; t), gdje 2n integracijskih konstanti (3.25) treba odrediti iz početnih uvjeta q 0 s i p 0 s. Generator S se naziva Hamilton-Jacobijeva funkcija ili Hamiltonova glavna funkcija. Hamiltonijan H je očuvana veličina ako, prema (3.10), ne ovisi eksplicitno o vremenu, tj. H = const. (H = E ako su veze stacionarne). Tada se Hamilton-Jacobijeva jednadžba (3.27) zamjenom: S = S Et može zapisati u obliku vremenski neovisne jednadžbe: ( H q s, S ) = E, (3.28) gdje se funkcija S naziva karakterističnom Hamiltonovom funkcijom, a E se podudara s energijom mehaničkog sustava. Za jednu česticu u Cartesiusovim koordinatama gornja jednadžba ima oblik: ( 1 S ) 2 ( + S ) 2 ( + S ) 2 + E p (x, y, z) = E, (3.29) 2m x y z gdje je s E p (x, y, z) označena potencijalna energija čestice. Hamilton-Jacobijeva jednadžba (3.27) ili (3.28), najčešće se rješava separacijom varijabli, tj. traženjem rješenja u obliku zbroja ili produkta funkcija samo jedne varijable: S = S 1 (q 1 ) + S 2 (q 2 ) + + S n (q n ) + S n+1 (t) ili S = S 1 (q 1 ) S 2 (q 2 )... S n (q n ) S n+1 (t), pri čemu je ideja zamjeniti parcijalnu diferencijalnu jednadžbu sustavom običnih diferencijalnih jednadžbi. 28

3.6.1 Fizikalni smisao Hamilton-Jacobijeve funkcije Fizikalni smisao Hamilton-Jacobijeve funkcije S postaje jasan nademo li njenu potpunu derivaciju po vremenu: ds dt = S q s + S t = p s q s H = L, pa integracija od trenutka t 0 do t daje: S = t t 0 L(q 1, q 2,..., q S, q 1, q 2,..., q S, t) dt = I(t). Hamilton-Jacobijeva funkcija S zapravo predstavlja djelovanje (akciju) fizikalnog sustava s neodredenom gornjom granicom t. 29

4 Prijelaz na kvantnu mehaniku Jedan od glavnih razloga zašto se klasična mehanika objašnjava na način kakav je opisan u ovom radu je stvaranje kontakta s kvantnom mehanikom. U tu svrhu, u zadnjem poglavlju ovog rada prikazat ćemo vezu izmedu klasičnog i kvantnog svijeta i to ponajprije formalizmom Poissonovih zagrada koji omogućava relativno jednostavan prijelaz s klasične na kvantnu mehaniku. Umjesto klasičnih veličina (koje su općenito kompleksne funkcije) F, G,... za koje vrijedi komutativnost F G = GF, uvode se općenito nekomutativne kvantne veličine (operatori) ˆF, Ĝ,..., tako da je njihov komutator povezan s Poissonovim zagradama analognih klasičnih veličina F, G,... na sljede ći način: [ ˆF, Ĝ] ˆF Ĝ Ĝ ˆF = i {F, G}, gdje je i imaginarna jedinica, a 1, 05 10 34 Js reducirana Planckova konstanta. Svakako valja primjetiti da ima dimenziju funkcije djelovanja S (umnožak energije i vremena). Za razliku od klasične mehanike, gdje je stanje sustava opisano točkom u faznom prostoru (q i, p i ), u kvantnoj je mehanici stanje sustava opisano valnom funkcijom ψ(q) unutar konfiguracijskog prostora. Opservable su, kako smo već naveli, operatori u prostoru valnih funkcija. Obično su operator položaja ˆq i i operator količine gibanja ˆp i zadani u obliku: ˆq i ψ(q) = q i ψ(q), ˆp i = i ψ q i, što nas vodi do poznatih komutacijskih relacija: [ˆq i, ˆq j ] = 0 [ˆp i, ˆp j ] = 0 [ˆq i, ˆp j ] = i δ i,j. 30

pri čemu je δ i,j Kroneckerov simbol. Dok se zapisom pomoću Poissonovih zagrada vrlo lako može doći do Heisenbergovog pristupa kvantnoj mehanici, Hamilton-Jacobijeva jednadžba je u uskoj vezi Schrödingerovoj valnoj jednadžbi. Operator Hamiltonove funkcije Ĥ je za jednodimenzionalan sustav jednak: Ĥ = ˆp2 2m + E p(ˆq), pa je tada Schrödingerova valna jednadžba za valnu funkciju ψ(q) dana s: i ψ t = Ĥ ψ, ili ukoliko uvrstimo izraz za operator hamiltonijana imamo: i ψ t = 2 2 ψ 2m q + E p(q)ψ 2 Ovisno o vrijednosti potencijalne energije E p, može se na primjer, ukoliko se za E p uzme elektrostatska potencijalna energija, koja u SI sustavu mjernih jedinica iznosi: E p (r) = 1 4πε 0 e r, dobiti Schrödingerova valna jednadžba vodikovog atoma: i ψ t = 2 2 ψ 2m q 1 2 4πε 0 e r ψ. 31

Dodatak A Slobodna čestica Za prvi primjer Hamilton-Jacobijeve teorije razmotrit ćemo gibanje jedne čestice izvan djelovanja sila. Prema (3.29) Hamilton-Jacobijeva jednadžba tada glasi: [ ( S ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 1 S S + + + S 2m x y z t = 0. Potpuno rješenje ove jednadžbe lako možemo odrediti polazeći od integrala: [ t (x S = E k dt = mv2 2 t = 1 ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 2 m x0 y y0 z z0 + + t. t t t 0 Znači potpuni integral je jednak: S = m 2t Putanju čestice daju nam jednadžbe: [ (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2]. S x 0 = p 0 x, S y 0 = p 0 y, S z 0 = p 0 z. Uvrstimo li tada vrijednost za S dobivamo: m t (x x 0) = p 0 x, m t (y y 0) = p 0 y, m t (z z 0) = p 0 z, odnosno, konačne jednadžbe gibanja su: x = x 0 + p0 x m t, pa ukoliko odredimo brzinu imamo: y = y 0 + p0 y m t, z = z 0 + p0 z m t, ẋ = p0 x m, ẏ = p0 y m, ż = p0 z m. Dakle, čestica se kreće s konstantnom brzinom, što je u skladu s elementarnim dinamičkim predodžbama. 32

Dodatak B Linearni harmonički oscilator Kao drugi primjer Hamilton-Jacobijeve teorije uzmimo jednodimenzionalni linearni harmonički oscilator. Kako je hamiltonijan zbroj kinetičke i potencijalne energije to je hamiltonijan za harmonički oscilator dan s: H = 1 2m p2 + 1 2 kq2, gdje je s q označen pomak čestice u trenutku t. Time dobivamo Hamilton-Jacobijevu jednadžbu: 1 2m Prvo možemo uvesti nezavisnu funkciju S: ( ) 2 S + 1 q 2 kq2 + S t = 0. S = S Et, koja zadovoljava parcijalnu diferencijalnu jednadžbu: ( 1 2m S q ) 2 + 1 2 kq2 = E. Ta se jednadžba, prema gornjoj Hamilton-Jacobijevoj jednadžbi, može integrirati, jer je: S q = 2m (E 12 ) kq2 pa nam je S jednak: a principalna funkcija je: S = 2m (E 12 ) kq2 dq, S = 2m (E 12 ) kq2 dq Et. 33

Nije potrebno rješavati neodredeni integral, jer nam putanju čestice kod harmoničkog oscilatora odreduju parcijalne derivacije principalne funkcije po parametrima: β = S m E = dq t. k 2E k q2 To je nakon integracije jednako: m k t + β = k arccos 2E q ili q = a to se zapravo slaže s poznatim oblikom: 2E k k cos (t + β), m q = A cos ω(t + β), 2E k pri čemu je amplituda A dana s A =, a frekvencija titranja je jednaka ω = k m. 34

Zaključak Kako je rečeno u samom uvodu ovog rada, Newtonova je mehanika kompletna i logički konzistentna teorija, koja ima izuzetno široku primjenu. Medutim, postoje slučajevi gdje se ispostavilo da ona i nije izvediva. To su slučajevi pri vrlo velikim brzinama, tj. kod brzina koje prelaze granice klasičnih veličina i približavaju se brzini svjetlosti (c 2.998 10 8 ms 1 ). Na temelju takvog razmatranja je Lagrange izveo svoju formulaciju mehanike. Možemo zaključiti da njegova formulacija klasične mehanike u jednadžbama koje opisuju kretanje, sadrži skalarne veličine energiju i rad, pri čemu se takva formulacija razlikuje od Newtonove koja u jednadžbama gibanja sadrži vektorske veličine impulsa i sile. Lagrangeove jednadžbe gibanja su zapravo diferencijalne jednadžbe drugog reda i ima ih n, odnosno ima ih onoliko koliko ima čestica u sustavu. Svakako treba zaključiti da se Lagrangeove jednadžbe ne razlikuju od Newtonovih ukoliko se promatra ista pojava, odnosno Lagrangeov i Newtonov formalizam su ekvivalentni za istu pojavu. U trećem dijelu rada je izveden Hamilton-Jacobijev formalizam. Kako je gore navedeno, ukoliko promatramo sustav koji se sastoji od n čestica onda će isto toliko biti i Lagrangeovih jednadžbi gibanja. Medutim, one su diferencijalne jednadžbe drugog reda. Upravo to je navelo Hamiltona da izvede svoje kanonske jednadžbe gibanja. Tih jednadžbi ima dvostruko više nego Lagrangeovih (dakle, 2n), ali su one diferencijalne jednadžbe prvog reda. Time su zapravo jednadžbe rješive s nevjerojatnom lakoćom. Treba još samo spomenuti da su i te jednadžbe ekvivalentne Newtonovim jednadžbama ukoliko se promatra isti sustav. 35

Literatura [1] Antunović, Ž., Klasična mehanika Skripta, Izvor: www.pmfst.hr [2] Goldstein H., Classical Mechanics, Addison-Wesley, 1980. [3] Glumac, Z., Klasična mehanika Uvod, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, 2006. [4] Spiegel M., Theory and Problems of Theoretical Mechanics with an Introduction to Lagranges Equations and Hamiltonian Theory, McGraw-Hill, New York, 1968. [5] Supek I., Teorijska fizika i struktura materije 1, VI. izdanje, 1992. Školska knjiga, Zagreb, [6] Taylor, John R., Classical Mechanics, University Science Books, 2005. [7] http://www.physics.ohio-state.edu [8] http://www.srl.caltech.edu 36