Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 1 Teorija Arbitraže Jelena Miletić stipendista Ministarstva za nauku i zaštitu čivotne sredine jelenami@gmail.com 16. Decembar 2005. Abstrakt Koncept ne postojanja arbitraže u finansijskoj matematici generalno tvrdi da je nemoguće napraviti novac ni iz čega. Matematička interpretacija ovog koncepta pokazalo se da zahteva poznavanje teorije martingala i stohastičke analize. Ovaj rad daje samo jedan pregled najvažnijeg rezultata postignutog iz ove oblasti a to je Fundamentalna Teorema Kretanja Cena Akcija na Tržištu. 1 Uvod Sa ekonomske tačke gledišta stohastička Teorija Arbitraže treba da da kriterijume za postojanje arbitražnih mogućnosti, tj. mogućnosti dobijanja ne rizičnih profita na finansijskom tržištu gde cene imaju slučajni karakter. Neverovatno otkriće moderne stohastičke finansijske teorije jeste razumevanje da problemi ekonomskog karaktera dozvoljavaju čistu matematičku interpretaciju u formi: da bez-arbitražna finansijska tržišta imaju veoma specijalnu verovatnosnu strukturu, martingalsku strukturu u odnosu na tzv. martingalsku meru. Ideja o nalaženju formule za cene na finansijskom tržištu zapravo datira iz 1900. godine, kada je L.Bachelier (Théorie de la spéculation) napisao doktorsku tezu pod mentorstvom čuvenog H.Poincaré-a. Njegov cilj je bio da tačno odredi takvu formulu koja će se koristiti na berzi u Parizu. On je prvi došao na ideju da iskoristi stohastičke procese kao model za evoluciju cena akcija. Pokazao je da je Braunovsko kretanje u nekom smislu dobra aproksimacija ovih fluktuacija cena akcija što je bilo neverovatno oktriće u to doba. Nešto kasnije, tačnije tek 1965. godine, Samuelson je dobio Nobelovu nagradu za svoj rad u kome evoluciju cena akcija na tržištu modeluje sada ne sa običnim Braunoskim kretanjem već Geometrijskim Brunovskim kretanjem. Naravno ovde sve vreme govorimo o neprekidnim fluktuacijama cena akcija. Danas je ovo njegovo otkriće poznato kao: Black-Scholes model postalo referentno za bilo kakvu dalju analizu cena akcija na tržištu. Zapravo ovaj Samuelson-ov model su Black, Scholes, i Merton, 1970., detaljno razradili i za to dobili takodje Nobelovu nagradu u Ekonomiji. Zato se taj model danas i zove po njima. Posle tog njihovog neverovatnog otkrića mniogo je pažnje bilo posvećeno razumevanju, generalizovanju i primeni ovoj modela evolucije cena i njegovih varijanti. Njegove tehnike, koje se i danas koriste, uključivale su teoriju stohastičkih diferencijalnij jednačina, posebno se oslanjajući na Samuelson-ovo otkriće da se tržište cena (u neprekidnom vremenu) ponaša kao Geometrijsko Braunovsko kretanje. U tom okruzenju mogla je biti pronadjena jedinstven fer linearni model cena akcija. Sada kao već aktuelno pitanje za istraživanje, 1980-ih, Harrison, Pliska i Kreps su proučavali ovaj Black-Scholes model formulu i ponovo izveli rezultate ali sada u funkcionoj analizi uključujući i reprezentaciju preko martingala. Harrison i Kreps su primetili kako se ovi novoizraženi rezultati mogu generalizovati sa jednom veoma opštom pretpostavkom da su cene na tržištu kvadratno integrabilne. Iz ovog novog pristupa je proizašla i tema ovog rada: Fundamentalana Teorema Cena Aktiva (Akcija, Vrednosni Papira) na tržištu, koja se bazira na konceptu ne-arbitraže (tj. konceptu ne
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 2 garantovanog profita bez rizika). Ovaj uslov koji se ovde javlja kao neophodan i dovoljan jeste bio automastki zadovoljen kog Geometrijskog Braunovkog Kretanja. Ova teorema daje uslove pod kojima je tržiste esencijalno bez-arbitrače tj govori da je to zadovoljeno ako i samo ako postoji ekvivalentna martingalna mera u odnosu na koju je proces cena aktiva zapravo martingal. Ako je ta mera čak i jedinstvena, onda se može naći fer model cena tako što se uzme očekivanje u odnosu na tu cenu. Narrison i Pliska su pokazali da u Black-Scholes modelu postoji ovakva martinglana mera i da je ona jedinstvena tako dovodeći do rezultata koji su 1970-ih dobijeni. Ali uopšteno govoreći ovakva martingalna mera ne mora da postoji, već je za to potrebno da tržiste zadovoljava neke uslove. U ovom slučaju to je osobina bez-arbitraže. Sa ovom teoremom dozvoljeno nam je da pojednostavimo (skratimo) proces ocenjivanja cena na izračunavanje očekivanjih vrednosti, baš kao što se u teoriji osiguranja radilo godinama. Ključna razlika je sada što ovde ne uzimamo očekivanje u odnosu na originalnu verovatnosnu meru, već u odnosu na veštačku rizik-neutralnu verovatnosnu meru tj. u odosu na meru za koju je proces(model) cena akcija jedan martingal. Ove dve verovatnosne mere jesu naravno ekvivalentne medjusobno. 2 Finansijsko Tržište Pretpostavljamo da finansijsjo tržiste vrednosnih papira, koje mi posmatramo, funkcioniše u uslovima neizvesnosti, kolebljivosti. Za njegov potpun matematički opis uvodi se filtrirani verovatnosni prostor (stohastički bazis): (Ω, F, (F n ) n 1,P) gde su: Ω skup elementarnih dogadjaja za koji smo pretpostavili da je konačan, F algebra podskupova od Ω za koju smo takodje pretpostavili da je sačinjena od svih mogućih podskupova skupa Ω, (F n ) n 1 algebra filtracije i P verovatnosna mera ili verovatnoća. Algebru filracije (filtracijonu algebru )(F n ) n 1 možemo interpretirati kao potok informacija dostupnih svim učesnicima tržista zaključno sa vremenskim trenutkom n. Posmatraćemo takozvano (B,S) tržiste koje se sastoji od d + 1-ne aktive u sledećem smislu: B - račun u banci bezrizična aktiva, S =(S 1,,S d ) vrsta akcija rizične aktive. Kada se ovo kaže misli se pre svega da vektor cena na posmatranom tržištu, X =(X 0,X 1,,X d ), ima (B,S) oblik tj. ima sledeću formu: X 0 = B (X 1,,X d ) = (S 1,,S d ). Još, pretpostavimo da se dinamika ovog bankarskog računa može opisati stohastičkim nizom B =( ) n 0, koji ima osobinu da ( n) :( ) jeste F n 1 merljiva. To podrazumeva da je zadovoljeno sledeće: {ω Ω: (ω) =x} = { = x} F n 1. Početni trenutak na tržištu zauzima takodje posebno mesto. Za njega imamo osnovnu pretpostavku da je zadovoljeno: F 0 = {, Ω} trivijalnaalgebra Za različite vrste akcija pretpostavljamo da se njihova dinamika može opisati takodje jednim pozitivnim stohastičkim nizovima: S i =(S i n) n 0, ( i =1,,d) koji imaju osobinu da ( n) :S i n jeste F n merljiva tj. važi {ω Ω:S i n (ω) =x} = {Si n = x} F n.
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 3 Iz ovih pretpostavki i definicija jeste jasna principijelna razlika izmedju bankarskog računa i akcija. F n 1 merljivost veličina označava da vrednost bankarskog računa jeste poznata već u trenutku n 1. U tom smislu je vrednost predskazujuća (prognozirajuća). Sa druge strane nam F n merljivost veličina S i n označava da njihove vrednosti postaju poznate tek po spoznavanju svih informacija zaključno sa trenutkom n. Ovo objašnjava i zašto se bankarski račun naziva bezrizična aktiva a zašto se akcije nazivaju rizičnim aktivama. Posmatrajmo sada sledeće faktore: r n = 1, ρ i n = Si n S i n 1 Možemo odmah zaključiti da su r n : F n 1 merljive a da su ρ i n : F n merljive. Dalje ako uočimo da važi: = r n 1, S i n = ρ i ns i n 1 ( i) dobijamo jednu reprezentaciju posmatranog finansijskog tržista koja se naziva reprezentacija prostih procenata: S i n = Si 0 = B 0 n (1 + r k ) n (1 + ρ i k ) ( i). Sada bi trebali još samo da preciziramo uslove koje pretpostavljamo da važe na tržištu koje posmatramo. Prva pretpostavka je pretpostavka o idealnoj situaciji na tržištu u smislu da se operacioni troškovi povezani sa prenosom sredstava sa jedne aktive na drugu smatraju zanemarljivim. Čak se ide u tu krajnost da se pretpostavlja da oni i ne postoje. Druga važna pretpostavka se tiče akcija i njihovih osobina. Naime mi pretpostavljamo da su akcije beskonačno deljive u tom smislu da je moguće kupiti ili prodati bilo koliku malu količinu akcija. Definicija 1: Stohastički prognozirajući niz π =(β,γ) gde je γ =(γn(ω), 1,γn(ω)) d n 0 i( i) :γn i jesu F n 1 merljive a β =(β n (ω)) n 0 i β n jesu F n 1 i to za ( n) - naziva se portfolio investicije na (B,S) tržištu hartija od vrednosti. Primetimo da promenljive β =(β n (ω)) n 0 i γ =(γn(ω), 1,γn(ω)) d n 0 mogu biti pozitivne, jednake nuli ili negativne što zapravo znači da intestitor može da pozajmi sa bankarskog računa ili da proda akcije. Sa druge strane pretpostavka o F n 1 merljivosti znači da veličine β n (ω) iγn(ω) i koje opisuju poziciju investitora u trenutku n (količinu novca koju ima na bankarskom računu i količinu akcija koju poseduje) jesu odredjene informacijom dostupnom u trenutku n 1anen (sutrašnja pozicija je u potpunosti odredjena današnjom). Portfolio investicije se još naziva i investicionom strategijom kako bi se naglasila njegova dinamičnost. Definicija 2: Vrednost(kapital) portfolia investicije na (B,S) tržištu hartija od vrednosti jeste stohastički niz X π =(X π n ) n 0 gde je Xn π = β n + n i=1 γi nsn. i Da bi izbegli dugačke i komplikovane izraze od sada pa na dalje koristićemo sledeći kraći zapis: n i=1 γi n Si n =(γ n,s n )=γ n S n takozvani bezkoordinatni zapis. Tako sada ne moramo praviti razliku izmedju slučajeva d = 1id > 1 pa imamo: X π n = β n + γ n S n. (1)
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 4 Na osnovu svih ovih definicija zakljucujemo: Xn π = Xn π Xn 1 π (2) = β n + γ n S n β n 1 1 γ n 1 S n 1 (3) Ako sada u prethodnoj jednačini dodamo i oduzmemo β n 1 dobijamo sledeće: X π n = β n + γ n S n + β n 1 γ n 1 S n 1. (4) Ako na dalje postupamo po istoj analogiji dobijamo jednačinu: Xn π = β n + γ n S }{{ n } + { β }}{ n 1 + γ n S n 1. (5) Direktno analizirajući ovu jednakost vidimo da se promena kapitala portfolia sastoji iz dve veličine: β n + γ n S n - izmene bankovskog računa i izmene akcija i β n 1 + γ n S n 1 - izmene u sastavu samog portfolia. Prirodno se sada može zaključiti da se realna promena kapitala sastoji samo iz realnih promena veličina i S n a ne i od promena veličina β n i γ n. Definicija 3: Realna dobit(prihod) od posedovanja posmatranog portfolia hartija od vrednosti π, opisuje se pomoću stohastičkog niza takvog da za njega važi: G π =(G π n) n 0 n G π 0 =0,Gπ n = β k B k + γ k S k (6) tj. da je sastavljen od prihoda sa bankarskog računa i od prihoda od izmene akcija. Realni kapital u trenutku n jeste dakle: X π n = X π 0 + G π n. (7) Definicija 4: Portfelio π hartija od vrednosti se naziva samofinansirajući, π SF, ukoliko se njegov kapital može pretstaviti u sledećem obliku: X π n = X π 0 + n β k B k + γ k S k ( n 1) (8) Jasno je da je prethodna jednakost koja se zahtevala u definiciji ekvivalentna sledećoj jednakosti: 1 β n + S n 1 γ n =0 ( n 1). (9) Očigledan smisao prethodnog uslova jeste da se promena bankarskog računa (tj. njegovog stanja) dešava samo zbog promene strukture paketa akcija koje drži i obrnuto. Portfolii ovakvog oblika se još nazivaju i dopustivim. Potpuno je jasno da u delanju sa portfoliom π imamo i preveliki broj aktiva pa bi bilo dobro ili da mu pojednostavimo strukturu ili da smanjimo ovoliki broj aktiva. U tu svrhu pogledajmo medjusobni odnos ova dva posmatrana stohastička procesa i S n tj posmatrajmo njihov količnik: Sn i. Na ovaj količnik možemo da gledamo kao na udeo akcije Sn i u bankarskom računu, naravno pod pretpostavkom da smo za bazisnu veličinu uzeli isti ovaj bankarski račun. A još, ako smo imali apriori pretpostavku da je uvek zadovoljeno: > 0 (n 1)
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 5 tada možemo posmatrati ovo isto tržište i na jedan drugi način. Naime sada je ovo posmatrano tržište u potpunosti opisivo nešto drugačijim modelom ( B, S) gde su: B =( ) n 0, gde je B n = 1 (10) S =( S n ) n 0, gde je S n = S n. (11) Odgovarajući kapital, Xπ n =( X π n ) n 0 portfolia π =(β,γ) jeste jednak: π X n = β nbn + γ nsn = β n + γ nsn = β n + γ n S n (12) = Xπ n (13) Dodatno, ako je portfolio π samofinansirajući na tržištu (B,S) onda je samofinansirajući i na tržištu ( B, S), jer je zadovoljeno sledeće: 1 β n + S n 1 γ n = 1 β n + S n 1 γ n =0. (14) Kada je B n = 0 to za samofinansirajući portfolio π važi: π π n X n = X0 + γ k S k (15) ili u koordinatnom zapisu: π π n X n = X 0 + d i=1 Dakle, dobijamo da za samofinansirajući portfolio, normirani kapital Xπ B jednakost: γ i k S k i, S k i = S i k B k (16) =(Xπ n ) n 0 zadovoljava ( Xπ n )=γ n ( S n ) (17) Bez obzira na svoju jednostavnost ova jednačina igra ključnu ulogu u mnogim izračunavanjima koji se baziraju na konceptu tržista bez-arbitraže ili arbitražno-slobodnog tržišta. Primetimo da je ova jednakost (17) u odredjenom smislu više konzistentna (postojana) sa finansijskog pogleda nego li jednačina Xn π = β n + γ n S n. (18) Kada uporedjujemo cene nas više interesuju relativne cene od onih apsolutnih. Ovo objašnjava zašto dalje posmatramo umesto B i S njihove tzv. snižene promenljive B = B S 1i S =( S B ). Zbog jednostavnosti smo takodje pretpostavili da je u našem početnom (B,S) tržištu B 1 pa je onda tako i u ovom novoposmatranom ( B, S) tržištu. Napomenimo još samo par stvari na koje treba obratiti posebnu pažnju. Prethodna analiza kapitala portfolia π, Xn,na(B,S) π tržištu jeste dobra ukoliko uvažimo par pretpostavki. Prva je da na ovom tržištu nema uliva i izliva novca ili sredstava a druga da ne postoje troškovi prenosa ili da se oni mogu smatrati zanemarljivim (kao što smo već bili rekli na početku ali to je stvar na koju se ne sme zaboraviti). Sve ove pretpostavke se mogu naravno i skinuti ali će tada cela analiza kapitala izgledati mnogo komplikovanije. 3 Hedžing.Cena.Kompletnost. Pretpostavimo da tržiste (B, S) sada funkcioniše u konačnom diskretnom vremenu n = 0, 1,, N. Uvedimo još jednu funkciju f N (ω) koja će imati ulogu platežne obaveze (zavrsne isplate, contingent claim), a za koju tražimo da je F N merljiva.
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 6 Definicija 5: Portfolio hartija od vrednosti π =(β,γ) se naziva gornji-(x, f N ) hedž odnosno donji-(x, f N ) hedž ukoliko su zadovoljeni sledeći uslovi: 1. X π 0 x, x 0upočetnom trenutku 2. X π N f N (ω), tj. X π N f N (ω) za svako ω u konačnom trenutku N gde su β =(β n ) N n 0, γ =(γ n ) N n 0. Hedž se naziva savršenim ukoliko je: X0 π x i Xπ N = f N(ω) za svako ω. Shvatanje hedža igra u finansijskoj matematici veoma važnu ulogu. Hedž zapravo predstavlja neki zaštitni instrument, koji omogućava garantovanu dobit kapitala i ostvaruje cilj parcijalnog osiguranja na tržištu. Hedž jeste investicija koja se preduzima sa ciljem da se smanji poništi rizik u drugoj investiciji. Tipična takva investicija se odnosi na kupovinu akcija za koje se misli da će porasti pa se ova kupovina kombinuje sa prodajom akcija koje se još i ne poseduju za slučaj da tržištu celom opadne vrednost. Uvedimo sada za fiksirano x>0 sa: H (x, f N ; P )={π : X0 π = x, Xπ N f N} ( ω) klasu svih gornjih hedževa H (x, f N ; P )={π : X0 π = x, XN π f N } ( ω) klasu svih donjih hedževa Definicija 6: Neka je f N platežna obaveza. Veličina: C (f N ; P ) = inf{x 0:H (x, f N ; P ) } se naziva gornja cena (tražena cena) hedžinga platežne obaveze f N a veličina: C (f N ; P )=inf{x 0:H (x, f N ; P ) } donja cena (ponudjena cena) hedžinga f N. Kakva je suština ovih pojmova? Ukoliko mi prodajemo neki ugovor sa finalnom isplatom f N (ω) želeli bi ga prodati za najveću moguću cenu. U isto vreme trebamo razmišljati da li bi ga neko kupio za tu cenu koju mi nudimo. Tako mi ne možemo sa jedne strane staviti cenu manju od one za koju su ispunjeni uslovi ugovora ali i ne možemo staviti toliko veliku da imamo bezrizični prinos ( free-lunch ) jer kupac uopšteno govoreći neće to ni pogledati: = x [C,C ]. Sada i kupac i prodavac imaju rizik a cena jeste kompensacija za njega. Posebnu pažnju zaslužuje slučaj kada se gornja i donja cena poklapaju tj. kada je zadovoljeno: C = C. (19) Definicija 7: (B,S) tržiste hartija od vrednosti se naziva N-kompletnim (ili samo kompletnim ako N znamo), ukoliko svaku ograničenu platežnu obavezu izvodimo u tom smislu da postoji savršeni hedž tj. takav da je zadovoljeno: XN π = f N (ω), ( ω) 4 Arbitraža Odsustvo arbitraže na tržištu znači da je tržiste fer, racionalno, i da niko ne može da napravi bezrizični profit. Dakle arbitraža zapravo jeste proces iskorišćavanja neujednačenosti dva ili više tržišta: kombinacija odgovarajućih investicija koje iskorišćavaju ovu neravnotežu a profit koji se stiče ovim investicijama zapravo predstavlja razliku izmedju cena na ovim različitim tržištima. Definicija 8: Reći da samofinansirajuća strategija π realizuje arbitražnu mogućnost (u trenutku N) znači da važi:
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 7 X0 π =0,( ω) u početnom trenutku Xn π 0, ( ω) za n N XN π > 0 skoro sigurno tj. P (Xπ N > 0) > 0. Označimo sa SF arb klasu svih arbitražnih samofinansirajućih strategija. Sada vidimo da ako π SF arb i X0 π = 0 onda važi: P (X π N 0)=1= P (X π N > 0) > 0. (20) Definicija 9: Kažemo da ne postoje arbitražne mogućnosti na (B,S) tržištu ili da je tržište bez-arbitraže ako je : SF arb =. (21) Drugim rečima, ako je početni kapital X0 π, strategije π jednak nuli, tada je: P (X π N 0)=1= P (Xπ N > 0) > 0. (22) Sledeća teorema daje izvrstan kriterijum odsustva arbitražnih mogućnosti na (B,S) tržištu. Teorema 1: (Teorema Dalang-Morton-Willinger) Pretpostavimo da se (B,S) tržište na filtriranom verovatnosnom prostoru (Ω, F, (F n ) n N ) jeste formirano od, bankarskog računa B = ( ) n N, > 0 i konačno mnogo aktiva S =(S 1,S 2,,S d ), S i =(Sn). i Pretpostavimo još da ovo posmatrano tržište funkcioniše u sledećim vremenskim trenucima n = 1, 2,,N < i da važi F 0 =, Ω, F N = F. Tada je ovakvo (B,S) tržište bez-arbitražno ako i samo ako postoji (najmanje jedna) verovatnosna mera P ( martingalska mera ) ekvivalentna meri P, takva da je u odnosu na nju, snižena cena niza S B =(Sn ) n N jedan martingal, tj. E P ( Si n ) < E P ( Si n F n 1 )= Si n 1 1 i =1, 2,,d,in =0, 1,,N skoro sigurno, za n =1, 2,,N Dokaz dovoljnosti: Kao što smo već razmatrali možemo pretpostaviti da je 1. Setimo se formule za proizvoljni samofinansirajući portfolio π: ( X π n ) = γ n Uključujući i ovo pojednostavljenje sada imamo: ( Sn ). X π n = γ n S n (23) Iz prethodne jednačine možemo zaključiti da se kapital portfolia π može predstaviti kao: X π n = Xπ 0 + Gπ n,gπ n = Da bi pokazali samo trvrdjenje sada je dovoljno da pokažemo da važi: tj. G π n = n γ k S k. (24) π SF : X0 π =0,P(Xn π 0) 0 (25) n (γ k S k ) 0, ( (ω, n)) G π n =0, ( (ω, n)). (26)
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 8 No kako nizovi (G π n) n 0 i S =(S n ) n 0 jesu martingali u odnosu na meru P to imamo da važi: Ẽ(G π n F n 1) = Ẽ( = n (γ k S k ) F n 1 ) (27) n 1 (γ k S k )+γ n Ẽ( S n F n 1 ) (28) = G n 1 + 0 (29) jer su S k : F n 1 merljive, za k n 1aγ k : F n 1 merljive za k n. Sada za martingal G π n imamo da važi: Ẽ(G π N) Ẽ(G π n) Ẽ(G π 0 )=0. (30) pa jedinstvena nenegativna veličina G π n 0 sa nultim matematičkim očekivanjem jeste slična nuli tj. G π n 0. Ostalo je još samo da pokažemo da su mere P i P ekvivalentne ali to sledi iz sledećih dveju relacija: P (G π n =0)=1= P(G π n = 0) = 1 (31) i P (G π n > 0)=1= P (G π n > 0)=1. (32) Dokaz neophodnosti: Sada trebamo pokazati, da odsustvo arbitražne mogučnosti dovodi do toga da na (Ω, F) postoji verovatnosna mera P ekvivalentna meri P, u odnosu na koju je niz S =(S n ) 0 n N martingal. Pretpostavimo za sada da je d = 1idokažimo sada sledeću lemu zasnovanu na transformaciji Esera (Esscher): Lema 1 Pretpostavimo da je X(ω) slučajna veličina na verovatnosnom prostoru (Ω, F, P) takva da važi: Tada postoji mera P ekvivalentna meri P takva da je: P (X >0) > 0,P(X <0) > 0 (33) Dokaz leme 1: Kako X(ω) uzima konačno mnogo vrednosti to postoji funkcija i ona jeste konačna za a R. To daje da važi: Ẽ(X) =0. (34) ϕ(a) =E(e ax ) ϕ (a) =E(X 2 e ax ) > 0 što znači da je ϕ strogo konveksna. Kako X uzima pozitivne vrednosti sa pozitivnom verovatnoćom to važi: ϕ(a),a. (35) No kako X uzima i negativne vrednosti sa pozitivnom verovatnoćom to imamo po analogiji da je: ϕ(a),a. (36)
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 9 Odavde sledi da postoji jedinstvena tačka a takva da funkcija ϕ u njoj postiže minimum tj da je: ϕ(a ) = min a ϕ(a),ϕ (a )=0. (37) Posmatrajmo sada sledeću veličinu: Z a (ω) = eax, ( ω) (38) ϕ(a) i definišimo novu meru P sa: P (dω) =Z a (ω)p (dω). (39) Iz ove definicije je jasno da su mere P i P ekvivalentne. Tada važi i: Ẽ(X) = Ẽ(XZ a = E( Xea X ϕ(a ) ) (40) = ϕ (a ) =0. (41) ϕ(a ) Ovim je lema pokazana. Primetimo da lema važi i kada skinemo pretpostavku o konačnosti skupa dogadjaja Ω. Pri tome je i Ẽ(e a X ) <. Dokaz je samo tehnički složen ali je ideja potpuno ista. Lako se vidi da iz ove leme lako sledi dokaz neophodnosti teoreme 1 za slučaj N = 1. U ovom slučaju odsustvo arbitraže označava da važi: P ( S 1 > 0) > 0,P( S 1 < 0) > 0 (42) (za trivijalan slučaj je S 1 = S 0 asjeveć martingal). Po ovome dakle postoji mera P takva da je Ẽ( S 1 F 0 )=Ẽ( S 1 )=0, F 0 = {, Ω}. Dakle da bi pokazali celu teoremu za N proizvoljno, potrebno je da lemu 1 uopštimo na slučaj vektora (X 0,X 1,,X N ) koji se sastoji iz odogvarajućih F n merljivih slučajnih veličina zadanih na verovatnosnom prostoru (Ω, F, (F n ) N n 0,P)tj. na jednom stohastičkom bazisu, sa graničnim uslovima F 0 = {, Ω} i F N = F. Lema 2 Neka za svako n :1 n N važi: P (X n > 0 F n 1 ) > 0,P(X n < 0) > 0 ( ω). (43) tada na prostoru (Ω, F) postoji martingalna mera P ekvivalentna meri P, u odnosu na koju je niz (X 0,X 1,,X N ) jedna martingalna razlika tj. važi: X n = M n M n 1 (44) za neki martingal M n. Dokaz leme 2: Posmatrajmo funkciju ϕ n (a; ω) =E(e axn F n 1 )(ω). ( ω) ova funkcija ima tačku minimuma a n po a i pri tome je : Definišimo niz gustina na sledeći način: ϕ n(a n; ω) =0( ω) (45) Z n (ω) =Z n 1 (ω) ea n Xn(ω) ϕ n (a n; ω), Z 0 1. (46)
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 10 ( ω) Z n (ω) jesu F n 1 merljive i obrazuju martingal E(a E(Z n F n 1 )=Z n(ω)x n (ω) F n 1 ) n 1 ϕ n (a )=Z n 1 (47) n; ω) Potrebnu meru P sada definišemo sa : P(dω) =ZN (ω)p (dω). što je i trebalo pokazati. Za dokaz teoreme sada trebamo staviti: Odsustvo arbitraže označava da za n iza ω je : Ẽ(X n Z N F n 1 ) = E[E(X n Z N F n ) F n 1 ] = (48) = E(X n E(Z N F n ) F n 1 ) (49) = E(X n Z N F n 1 ) (50) = ϕ n (a n ; ω) ϕ n (a n; ω) = 0 (51) X 0 = S 0 (52) X 1 = S 1 (53) (54) X N = S N (55) ili P ( S n > 0 F n 1 ) > 0iP ( S n < 0 F n 1 ) > 0 ili S n 0 Ukoliko je S n 0 to taj trenutak mozemo isključiti iz posmatranja jer se u tom trenutku ni u kom portfeliu kapital ne menja jer važi:g π N = N n=1 (γ n S n ). Dakle, možemo pretpostaviti da važi: Nadjimo ω takvo da važi: S n 0. P ( S n > 0 F n 1 )(ω ) > 0 (56) P ( S n < 0 F n 1 )(ω ) = 0 (57) Obe ove verovatnoće jesu merljive u odnosu na algebru F n 1, pa prema tome postoji razbijanje koje stvara (čini) algebru F n 1. Pretpostavimo zato da je A neki skup iz ovog razbijanja i pretpostavimo da ω A. Uzmimo sada γ k =0za( k, ω) a kada je k = n da γ n = I A (ω). Tada je: G π N = γ n S n = I A S n (58) = I A S n I Sn>0 + I A S n I Sn<0 + I A S n I Sn=0 (59) = I A S n I Sn>0 (60) zbog pretpostavki o samom skupu A i zbog pretpostavke da ω A. Iz ovih pretpostavki takodje imamo da važi: A { S n > 0}. = P (G π N > 0) = P (γ n S n > 0) > 0 ip(g π N 0) = 1 (61) = niz (γ n ) N n 0 realizuje arbitražu. Dobijanje suprotnog označava da za niz S k, S 0 =0,k =0, 1, jesu ipunjeni uslovi leme 2 odakle = niz (S n ) N n 0 jeste martingal razlike u odnosu na ovako definisanu meru P. Teorema je dakle dokazana.
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 11 5 Kompletnost Razmotrimo sada martingalni kriterijum kompletnosti (B,S) tržišta. Formulisaćemo drugu fundamentalnu teoremu o ceni finansijskih aktiva. Teorema 2: Pretpostavimo da je skup matringalnih mera za tržište (B,S) N <,d = 1 neprazan. Tada su sledeća tvrdjenja ekvivalentna: 1. (B,S) tržište jeste kompletno 2. skup martingalnih mera se sastoji od jedinstvenog elementa P 3. svaki martingal (M n, F n, P) dopušta predstavljanje: n M n (ω) =M 0 (ω)+ γ k (ω) m k (ω) (62) gde su γ k = γ k (ω) :F k 1 merljive i m k = Sk B k Sk 1 B k 1. Moze se pokazati da vazi: pa je sada: m k = S k 1 B k 1 (ρ k r k ) M n = M 0 + n γ k (ρ k r k ) S za γ k = γ k 1 k B k jeste F k 1 merljiva. Ovo razlaganje se kasnije koristi kod Binomnog tržišta. Setimo se samo da obe teoreme ovde navedene važe kod diskretnog vremena i sa veoma važnom pretpostavkom o konacnom broju aktiva prisutnih na tržištu. Obe ove teoreme padaju u vodu ako se zanemari ova pretpostavka. Zapravo Prva fundamentalna teorema još uvek nije proširena za ovaj slučaj a za Drugu fundamentalnu teoremu se zna da ne važi. Artzner i Heath (1995) su pokazali primer kompletne ekonomije gde postoji beskonačan broj aktiva ali sada i isto toliki broj ekvivalentnih matringalnih mera što naravno otežava kasnija konkretna izračunavanja. Delbaen i Schachermayer su produžili Prvu fundamentalnu teoremu u okriljima funkcionalne analize kako bi uključili nekompletna tržišta ali u uslovima kada se cene aktiva modeluju ne sada martingalom već semi-martingalom. Njihov rezultat ukazuje na to da se matringalna mera možda i ne može pronaći kod nekompletnih tržišta. A Dodatak U ovom delu ćemo dati nešto drugačiji pristup Prvoj Fundamentalnoj Teoremi prema samima Dalang, Morton i Willinger-u. Neka je (S t ) N t=0 R d -vrednostan diskretan stohastički proces, za koji pretpostavljamo da modeluje evoluciju (sniženih) vrednosti cena d aktiva. Postoji i nulti aktiv, keš, čija je cena u trenutku t uvek 1 i ovo uključujemo u notaciju tako što definizvsemo S T t (1,S T t ). Proces S jeste adaptiran na filtraciju F N t=0 definisanu na verovatnosnom prostoru (Ω, F,P). U toku dana n investitor ima portfolio θ n (θ 1 n,θ 2 n,,θ d n) T aktiva, θ n (θ 0 n,θ 1 n,,θ d n) T,ina kraju toga dana cene S n za taj dan se otkrivaju donoseći investitoru dobit od za taj dan. θ n (S n S n 1 )= θ n ( S n S n 1 ) (63)
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 12 Sada u svetlu onoga što se desilo toga dana investitor bira portfolio za sledeći dan, θ n+1 ali vodeći računa o ograničenju budžeta: ( θ n+1 θ n ) S n =0. (64) Primetivo da je ovo ograničenje ovde ekvivalentno uslovu samofinansiranja portfolia iz prethodnih paragrafa. Pošto nema restrikcija na short-selling strategije, ovo zapravo znači da investitor bira θ n+1 a zatim se θ 0 menja da bi se platilo za novi portfolio. Dakle dobit za celi vremenski period do trenutka N je N θ n (S n S n 1 ) ( θ S) N ( θ S) 0. (65) n=1 Jasno je da iz same interpretacije ovog procesa portfolia da su veličine θ n obavezno F n 1 merljive za ( n). Na dalje kada govorimo o portolio procesu θ uvek pretpostavljamo da su θ n F n 1 merljive za ( n) ida θ zadovoljava samofinansirajuće uslove. Portolio proces ( θ n ) N n=1 se naziva arbitražnom mogućnošću ako važi: ( θ S) N ( θ S) 0 0 s.s (66) tj. ako se ostvaruje skoro-sigurno dobit bez rizika i ako je P {( θ S) N ( θ S) 0 > 0} > 0. (67) Teorema 1: (Dalang-Morton-Willinger) Sledeće jeste ekvivalentno: 1. postoji verovatnosna mera P ekvivalentna meri P takva da je u odnosu na nju (S n, F n ) N n=0 martingal 2. ne postoje arbitražne mogućnosti Šta više, ako ovi ekvivalentni uslovi važe, onda je moguće izabrati P takvo da je d P dp ograničeno. Osnovna ideja u dokazu ove teoreme se lako može prikazati na primeru jednovremenskog perioda. Metod se sastoji u maksimizovanju ovekivane količine dobiti iz razmene preko svih mogućih strategija razmena. Neka je U : R (, 0) strogo konkavna, strogo rastuća funkcija sa neprekidnim izvodima i neka je X R d -vrednosna slučajna promenljiva. Definišimo sada Ũ : Rd (, 0) sa: Ako se Ũ maksimizuje u a inr d, tada po uslovu za prvi izvod važi: Ũ(a) EU(aX). (68) 0=EXU (a X), (69) pa će zato odgovarajući množitelj od U (a X) poslužiti kao promena mere koja pretvara X u slučajnu promenljivu sa nultim matematičkim očekivanjem. Sa druge strane, ako se sup a Ũ(a) ne postiže onda se može pokazati da: θ R d \{0} : Ũ(tθ) (70) ostaje ograničeno kako t. Ovo zapravo znači da je: P (θx < 0)=0. (71) Zbog učinjenih pretpostavki odavde direktno sledi da je: P (θx > 0) > 0 (72) tj. θ predstavlja arbitražnu mogućnost. Detaljniji dokaz postoji u radu Equivalent Martingale Measures and No-Arbitrage, L.C.G.Rogers,1994
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 13 B Dodatak Analiza nepostojanja ili postojanja arbitraže najčešće zanemaruje troškove u stanjima kojima je agent dodelio nultu verovatnoću. Ovde želimo prikazati produžetak Fundamentalne Teoreme na slučaj ne-praznih obećanja u kojima agent ne može da obeća proizvoljno veliku isplatu u nekim stanjima. Dogmatska neslaganja dovode do arbitražnih mogućnosti u takmičarskim tržištima koja sa svoje strane jesu dovoljno kompletna. Može da postoji neko u ekonomiji ko je siguran (sa ili bez osnova za to) da će cene zlata skočiti a sa druge strane neko ko veruje da će one pasti. Tada će u jendom trenutku neka od ovih dveju osoba imati arbitražnu mogućnost. Kao što smo već rekli tipična pretpostavka Fundamentalne Teoreme jeste da se troškovi u stanjima kojima je agent dodelio nultu verovatnoću mogu zanemariti. Linearni model cena koji dodeljuje pozitivnu verovatnoću stanju za koje agent veruje da je nemoguće, bio bi nepostojan u odnosu na očekivanu maksimizaciju dobita u takmičarskim tržištima jer selling-short akcije omogućava uzimanje sada sa verovatnoćom nula od budućeg gubitka. Sa druge strane, nulta ili negativna cena stanja bila bi nepostojana sa maksimizacijom dobiti ako agent veruje da je stanje mogućejer kupovinom akcija za neka stanja jeste arbitraža a marginalna kupovina stavlja agenta u bolju poziciju. Sprečavanje agenta da daje prazna obećanja može onemogućiti strategije koje iskorišćavaju pozitivne cene stanja kojima je agent dodelio nultu verovatnoću. Ovo se modelira kao ograničenje u bogatstvu koje se nameće svim stanjima koja se smatraju važnim od strane neke ovlašćene agencije. Osnovna Fundamentalna Teorema je glasila ovako. Teorema 1: (Dalang-Morton-Willinger Teorema) Sledeće jeste ekvivalentno: 1. ne postoji gruba-arbitraža 2. postoji pozitivni linearni model cena 3. postoji optimum kod tradicionalnog problema bez praznih obećanja za nekog hipotetičkog agenta koji preferira više nego manje za neku uplatu U ovako navedenim novim uslovima i sa novim nametnutim ograničenjima Fundamentalana Teorema će sada izgledati nekako ovako. Teorema 2: (Produzena Dalang-Morton-Willinger Teorema) Sledeće jeste ekvivalentno: 1. ne postoji gruba-arbitraža 2. postoji super pozitivni linearni model cena 3. postoji optimum kod tradicionalnog problema bez praznih obećanja za nekog hipotetičkog agenta koji preferira više nego manje za neku uplatu Naveli smo obe teoreme kako bi se mogle najbolje uporediti. Još samo dugujemo objašnjenja novouvedenih pojmova kao što su:gruba-arbitraža i super pozitivni linearni model cena. Grubaarbitraža nije niša drugo do standardna arbitraža sa još dodatim ogranicenjem da ne postoje prazna obećanja. Pozitivni linearni model cena dodeljuje pozitivne cene svim stanjima sa pozitivnom verovatnoćom a nulte cene svim ostalim stanjima. Za razliku od njega super pozitivni linearni model cena dodeljuje pozitivne cene svim stanjima sa pozitivnom verovatnoćom ali može dodeliti i pozitivnu cenu onim stanjima koje tržište smatra važnim. Detalji dokaza ovako proširene Fundamentalne teoreme se mogu naći u radu Empty Promises and Arbitrage, Willarg, Dybvig,1999.
Seminar:Teorija Verovatnoća i Matematička Statistika 14 C Reference [1] Elements of Finance Mathematics, Patrik Bulonj, V.I.Piterbarg, December 1999. [2] Essentials of the Arbitrage Theory, Lectures in Institute for Pure and Applied Mathematics, UCLA, Albert N.Shiryaev, 3-4 January 2001. [3] Equivalent Martingale Measures and No-Arbitrage, Stochastics and Stochastics Reports, L.C.G.Rogers, 1994. [4] Empty Promises and Arbitrage, The Review of Financial Studies 1999 Vol.12, No.4, pp. 807-834, Willarg, Dybvig, The Society for Financial Studies, 1999. [5] Martingale Pricing Measures in Incomplete Markets via Stochastic Programming Duality in the Dual of L, AMS, Alan King, Lisa Kroft, 1 April 2003. [6] Applications to Mathematical Finance, Freddy Delbean, Walter Schachermayer, 22. November 1999.