Normirani prostori Zavr²ni rad

Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Preddiplomsi studij matematie Domini Crnojevac Normirani prostori Zavr²ni rad Osije, 2012.

Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Preddiplomsi studij matematie Domini Crnojevac Normirani prostori Zavr²ni rad Voditelj: doc. dr. sc. I. Mati Osije, 2012.

Sadrºaj 1 Uvod 3 2 Op enito o normi 4 3 Potpuni prostori 9 4 Prostor l 2 12 5 Prostori l p 15 6 Normiran prostor L(V, U) 18 1

Saºeta. Kao bi do²li do pojma normiranog prostora prvo deniramo nee osnovne pojmove ao ²to je polje i vetorsi prostor. Zatim prou avamo vezu izmežu salarnog produta i norme, te navodimo nee primjere normi i nea svojstva normi. U smjeru prou avanja svojstava normiranih prostora deniramo potpun normiran prostor te prou avamo njegova svojstva. Deniramo prostor l 2 i doazujemo da je Hilbertov te poazujemo i nea svojstva poop enog slu aja prostora l p. Na raju deniramo i analiziramo prostor L(V, U) i nea njegova svojstva. Klju ne rije i: polje, vetorsi prostor, dimenzija prostora, salarni produt, unitaran prostor, norma, normiran prostor, onvergentan niz, Cauchyev niz, potpun normiran prostor ili Banachov prostor, potpun unitaran prostor ili Hilbertov prostor, ompatan prostor, upotpunjenje normiranog prostora, separabilnost, topolo²a baza, anonsa baza, linearan operator, linearan funcional, dualni prostor. Abstract. To be able to dene a normed vector space we rst dene some basic terms such as vector space and scalar eld. We study the connection between a norm and an inner product, give some examples and show certain properties of the norm. In the line of studying the properties of a normed space we dene a complete normed space and study some of its properties. We dene the l 2 space, prove that it is a Hilbert space and study the properties of a generalized l p space. In the end we dene the L(V, U) space and analyse some of it's properties. Key words: eld, vector space, space dimension, inner product, inner product space, norm, normed vector space, convergent series, Cauchy series, complete normed vector space or Banach space, complete inner product space or Hilbert space, compact space, completion of a normed space, separability, topological basis, canonic basis, linear operator, linear functional, dual space. 2

Poglavlje 1 Uvod Normirani prostori su ao ²to ime aºe prostori na ojima je denirana nea norma. Na² cilj je da roz ovaj rad deniramo i prou imo bitna svojstva i tipove normiranih prostora. Denirati emo sve pojmove potrebne za shva anje pojma norme i normiranih prostora, navesti emo primjere neih normi i vidjeti oja su svojstva normi. Taožer je bitna veza izmežu salarnog produta i norme oju emo objasniti. Upoznat emo se sa pojmom Cauchyevog niza i objasniti oja je njegova veza sa vaºnim svojstvom prostora, potpunosti. Denirati emo pojam ompatnosti i vidjeti oja su svojstva ona no dimenzionalnih potpunih prostora. Bitni normirani prostori su prostori l p, od ojih emo ispitivati svojstvo separabilnosti, poazati da su to vetorsi prostori, poazati da su za nee p to potpuni normirani prostori te im odrediti topolo²u bazu. Na normiranom prostor operatora ili L(V, U) prostoru emo denirati normu za operatore te ispitati nea svojstva operatora na tavom prostoru. 3

Poglavlje 2 Op enito o normi Prije nego se po nemo baviti vaºnim svojstvima normiranih prostora vaºno je prvo denirati nee osnovne pojmove. Denicija 1. Polje je neprazan sup P na ojem su zadane dvije binarne operacije, zbrajanja + : P P P, ((a, b) a + b) i mnoºenja sa svojstvima: : P P P, ((a, b) ab) (a) (P, +) je omutativna grupa sa neutralnim elementom 0, tj: 1. (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c P 2. Postoji jedinstven element 0 P taav da je: a + 0 = 0 + a = a, a P 3. Za svai a P postoji jedinstveni element b P taav da je a + b = b + a = 0, b = a 4. a + b = b + a, a, b P (b) (P \{0}, ) je omutativna grupa s neutralnim elementom 1, tj: 1. (ab)c = a(bc), a, b, c P 2. Postoji jedinstven element 1 P taav da je: a1 = 1a = a, a P 3. Za svai a P postoji jedinstveni element b P taav da je ab = ba = 1, b = a 1 4. ab = ba, a, b P 4

(c) mnoºenje je distributivno u odnosu na zbrajanje: a(b + c) = ab + ac, a, b, c P Denicija 2. Vetorsi prostor nad poljem P je neprazan sup V na ojem su denirane dvije operacije, zbrajanje na V + : V V V, ((a, b) a + b) i mnoºenje salarima, tj elementima iz polja P sa svojstvima: P V V, ((λ, b) λb) (a) (V, +) je omutativna grupa sa neutralnim elementom 0, ojeg nazivamo nul-vetor; (b) Operacija mnoºenja salarom P V V ima svojstva: 1. λ(a + b) = λa + λb, λ P, a, b V (distributivnost s obzirom na zbrajanje u V); 2. (λ + µ)a = λa + µa, λ, µ P, a V (distributivnost s obzirom na zbrajanje u P); 3. (λµ)a = λ(µa), λ, µ P, a V (vaziasocijativnost) 4. Postoji jedinica 1 tava da: 1a = a a V. Elemente vetorsog prostora nazivamo vetorima, a elemente polja P salarima. Dale vetorsi prostor je matemati a strutura oja je sa injena od elemenata oje nazivamo vetorima, oji se mogu zbrajati i mnoºiti salarima ao ²to je navedeno u deniciji. Salari su esto racionalni, realni ili omplesni brojevi, tj. polje salara su upravo supovi Q, R i C. Uo imo da supovi N i Z nisu polja. Sup N ne sadrºi neutralni element za zbrajanje pa nije grupa u odnosu na operaciju zbrajanja a sup Z premda je grupa u odnosu na zbrajanje ne sadrºi inverze svojih elemenata osim { 1, 1} oji su jedini invertibilni elementi u Z. Vetorsi prostori ojima je polje salara sup R nazivamo realni vetorsi prostori, a one ojima je polje C nazivamo omplesni vetorsi prostori. Kod vetorsih prostora bitni su nam pojmovi ao baza i dimenzija prostora, no njih ne emo posebno de- nirati jer znamo da je baza sup linearno nezavisnih vetora oji razapinju prostor. Po dimenziji vetorse prostore dijelimo na ona no dimenzionalne (od ojih je baza ona an sup) i besona no dimenzionalne (od ojih je baza besona an sup). Vetorsim prostorima moºemo pridruºiti dodatne operacije ao ²to je salarni produt ili norma, pa prvo denirajmo te operacije. Denicija 3. Nea je X vetorsi prostor nad poljem P. Kaºemo da je funcija (x, y) (x y) sa X X u P salarni produt na X ao vrijedi: 1. (x x) 0, x X (pozitivnost); 2. (x x) = 0 x = 0 (denitnost); 3. (x y) = (y x), x, y X (hermitsa simetrija); 5

4. λ(x y) = (λx y), x, y X, λ P (homogenost u odnosu na prvu varijablu); 5. (x 1 + x 2 y) = (x 1 y) + (x 2 y), x 1, x 2, y X (aditivnost u odnosu na prvu varijablu). Urežen par vetorsog prostora X i salarnog produta nazivamo unitarni prostor. Pridruºivanjem salarnog produta dobili smo mogu nost povezati dva vetora sa neim salarom, njihovim salarnim produtom. Taožer, imamo mogu nost denirati pojmove ao ²to su duljina vetora, ut izmežu vetora te ortogonalnost(oomitost) vetora roz salarni produt na vetorsom prostoru. Primjer 1. Za primjer salarnog produta nad neim n-dimenzionalnim vetorsim prostorom moºemo uzeti n (x y) = x i y i, x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ). (2.1) Eulidsi n-dimenzionalni vetorsi prostor je vetorsi prostor R n sa salarnim produtom (2.1). Teorem 1 (Buniaowsy-Cauchy-Schwarzova nejednaost). Nea je (V, ( )) unitaran prostor. Tada vrijedi (x y) 2 (x x)(y y), x, y V. (2.2) Jednaost u 2.2 e vrijediti ao i samo ao su x i y linearno zavisni (tj. y = x za nei P ). Doaz: Ao je jedan od vetora x, y jedna nuli onda u (2.2) vrijedi jednaost. Ao je y 0, onda je e = y taav da vrijedi (e e) = 1. Pa tada vrijedi (y y) 0 (x (x e)e x (x e)e) = (x x) 2(x e)(e x) + (x e) 2 = (x x) (x e) 2, Prebacivanjem na lijevu stranu dobivamo (x e) 2 (x x), tj. upravo (2.2). U slu aju jednaosti u (2.2) je (x (x e)e x (x e)e) = 0 pa prema svojstvu 2. iz denicije 3 slijedi x = (x e)e, tj. x = (x y) y, x = y. Obrat je o it. (y y) Denicija 4. Nea je V vetorsi prostor nad poljem P. Norma je funcija : V R, x x, oja ima slijede a svojstva: 1. x 0, x V ; 2. x = 0 x = 0; 3. λx = λ x, x V, λ P (homogenost norme); 4. x + y x + y, x, y V (nejednaost trouta). Urežen par (V, ) vetorsog prostora V i ovao denirane norme nazivamo normiran vetorsi prostor ili samo normiran prostor. Korolar 1. Ao je ( ) salarni produt na V, onda je sa x = (x x) zadana norma na V. Doaz: 1. (x x) 0 (x x) 0, ²to vrijedi prema svojstvu 1. salarnog produta vrijedi x V. 6

2. (x x) = 0 (x x) = 0 x = 0. 3. (λx λx) = λλ(x x) = λ (x x), za sve λ, x V 4. Kori²tenjem BCS nejednaosti slijedi i ovo svojstvo: x + y 2 = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y) x 2 + 2 (x y) + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 x, y V. Teorem 2 (P. Jordan - J. von Neumann). Nea je norma na vetorsom prostoru V nad poljem P. Slijede a dva svojstva su mežusobno evivalentna: (a) Vrijedi jednaost paralelograma: x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2, x, y V. (b) Postoji salarni produt ( ) na V taav da je (x x) = x 2, x V. Salarni produt iz (b) je jedinstven i dan sa (x y) = 1 4 x + y 2 1 4 x y 2, za P = R. (x y) = 1 4 x + y 2 1 4 x y 2 + ı 4 x + ıy 2 ı 4 x ıy 2, za P = C. Vidimo da salarnim produtom moºemo denirati normu, tj. na eulidsom n-dimenzionalnom vetorsom prostoru salarni produt inducira normu. Taožer deniranjem funcije x y dobivamo "udaljenost" ili metriu na eulidsom prostoru, tj. norma inducira metriu a u ona nici i topologiju. Ne emo se posebno baviti deniranjem metrie, metri ih i topolo²ih prostora jer se ºelimo zadrºati na razini normiranih prostora. Primjer 2. Primjeri norme na vetorsom prostoru R n : 1. x 2 = n x2 i, x = (x 1,..., x n ), 2-norma ili eulidsa norma. 2. x 1 = n x i, x = (x 1,..., x n ), 1-norma ili "Taxicab" ili Manhattan norma. 3. x = max{ x 1,..., x n }, x = (x 1,..., x n ), norma besona no ili ƒebi²evljeva norma. 4. Op enito za 1 p < : ( n x p := x i p ) ). 1/p Slia 1. Jedini ne ruºnice u normama 1, 2 i. 7

Denicija 5. Kaºemo da su norme i na vetorsom prostoru V evivalentne ao postoje m > 0 i M > 0 tavi da vrijedi za svai x V. m x x M x Teorem 3. Nea je V ona no dimenzionalan vetorsi prostor i 1, 2 bilo oje dvije norme na V. Tada su norme 1 i 2 evivalentne. 8

Poglavlje 3 Potpuni prostori Nea je V normiran prostor sa normom. Denicija 6. Niz (x n ) u V je onvergentan ao za nei x V niz brojeva ( x n x ) onvergira i vrijedi lim n x n x = 0 tj. Taav x je jedinstven i pi²emo ( ε > 0)( n 0 N)( n N)(n n 0 ) ( x n x < ε). Denicija 7. Niz (x n ) u V je Cauchyev ao x = lim n x n. ( ε > 0)( n 0 N)( n, m N)(n, m n 0 ) ( x n x m < ε). Primjetimo da zbog svojstva 4. norme vrijedi x n x m = (x n x) + (x x m ) x n x + x x m tj. ao je niz onvergentan onda je i Cauchyev. Primjer 3. Poazati emo ao obrat te tvrdnje op enito ne vrijedi, tj. ao je niz Cauchyev ne mora biti onvergentan. Nea je x = 1, N, niz u V = (0, 1). Nea su m, N. +1 Bez smanjenja op enitosti, pretpostavimo da je m >. Tada je 1 x m x = m + 1 1 + 1 = 1 + 1 1 m + 1 1 + 1. Nea je ε > 0. Odaberimo 0 N taav da je 0 > 1 1. Tada za sve m, ε 0 vrijedi x m x < ε. Time smo poazali da je ( 1 ) Cauchyev niz. Kao je lim +1 1 = 0, ovaj +1 niz ne onvergira u prostoru V = (0, 1). Primjer preuzet iz [2], Konvergencija nizova, str. 24. Denicija 8. Kaºemo da je normiran prostor V potpun ao svai Cauchyev niz u njemu onvergira. Potpun normiran prostor zove se jo² i Banachov prostor 1. Uo imo da ao je prostor V potpun za neu normu, onda je on potpun i za svau njoj evivalentnu normu, tj. ao je niz Cauchyev u jednoj normi onda je on Cauchyev i u njoj svaoj evivalentnoj normi. Isto vrijedi za onvergentne nizove, s tim da i limes ostaje isti. Jednostavni primjer Banachovog prostora je upravo n-dimenzionalni eulidsi prostor sa eulidsom normom. 1 Po poljsom matemati aru Stefanu Banachu (1892-1945) jednom od osniva a moderne funcionalne analize. 9

Primjer 4. Denirajmo vetorsi prostor C( ) vetorsi prostor svih nepreidnih funcija x : P na segmentu = [a 1, b 1 ] [a n, b n ] R n. Vetorsi prostor C( ) je Banachov prostor u odnosu na x = max{ x(t) : t }. (3.1) Norma (3.1) se naziva max norma ili uniformna norma na prostoru C( ). Taj naziv potje e iz injenice da niz (x ) funcija uniformno onvergira prema funciji x 0 u normi (3.1) na. Primjer preuzet iz [4], str. 22. Propozicija 1. Kona no dimenzionalan normiran prostor je potpun. Doaz: Prema teoremu (3) znamo da su na ona no dimenzionalnom prostoru sve norme evivalentne pa moºemo promatrati odabranu bazu {e 1,..., e n } i normu n λ ie i = max{ λ i ; 1 i n}. Nea je (x ) Cauchyev niz u V, x = n λ() i e i, N. Nea je ε > 0 po volji i n ε N taav da (a, b n ε ) ( x a x b < ε). Tada za i {1,..., n} vrijedi (a, b n ε ) ( λ (a) i λ (b) i < ε), dale nizovi (λ () i ) su Cauchyevi u P pa su onda i onvergentni u P. Nea je λ i = lim λ () i, i {1,..., n}, i ozna imo x = n λ ie i. O ito vrijedi x = lim x. U ona no dimenzionalnim prostorima vrijedi ovo svojstvo, no to ne vrijedi za besona no dimenzionalne prostore oji mogu imati puno razli itih normi. Denicija 9. Potpun unitaran prostor nazivamo Hilbertov prostor 2. Hilbertovi prostori ojima je norma inducirana sa pripadnim salarnim produtom su primjeri Banachovih prostora. Do je Hilbertov prostor uvije Banachov, obrat ne mora vrijediti. Mogu e je da Banachov prostor nema normu oja je inducirana salarnim produtom. Slijede a propozicija govori o svojstvima normiranih prostora, no prvo spomenimo par pojmova. Potprostor neog normiranog prostora V je sup T V oji je i sam vetorsi prostor nad istim poljem uz iste operacije te na ojemu je denirana ista norma, pi²emo T V. Za x 0 V i r > 0 sa K(x 0, r) = {x V ; x 0 x < r} ozna avamo otvorenu uglu u V sa sredi²tem u to i x 0 radijusa r, a K(x 0, r) = {x V ; x 0 x r} je zatvorenu uglu na V. Sup T V je otvoren ao x T postoji r > 0 taav da je K(x, r) V. Sup T V je zatvoren ao je V \ T otvoren. T, zatvara supa T, je najmanji zatvoren sup oji sadrºi T. To je presje svih zatvorenih supova oji sadrºe T. Linearna ljusa supa S V oju ozna avamo sa [S] je najmanji potprostor od V oji sadrºi sup S, to je presje svih podprostora od V oji sadrºe S. Propozicija 2. Nea je T potprostor normiranog prostora V. (a) T je potprostor od V. (b) Ao je V potpun, onda je i T potpun. (c) Ao je T potpun, onda je T zatvoren. 2 Po njema om matemati aru Davidu Hilbertu (1862-1943). 10

(d) Ao je T ona no dimenzionalan, onda je T zatvoren u V. Doaz za ovu propoziciju moºe se prona i u [1], str. 9. Denicija 10. Sup T V je ompatan ao svai niz u T ima onvergentan podniz iji je limes u T. Uvedimo oznau za x V i T V d(x, T ) = inf{ x y ; y T }. Teorem 4. Jedini na sfera u besona no dimenzionalnom normiranom prostoru nije ompatan sup. Doaz: Nea je S = S(0, 1) jedini na sfera u V i nea je x 1 S. Tada za X 1 = [{x 1 }] V postoji x 2 S taav da je d(x 2, X 1 ) = 1. Nadalje, za X 2 = [{x 1, x 2 ]} V postoji x 3 S taav da je d(x 3, X 2 ) = 1, itd. Tao dolazimo do niza (x n ) u S za ojeg vrijedi x n x m 1, n, m N, n m. O igledno taj niz nema onvergentan podniz, tj nije ompatan. Teorem 5 (F. Riesz). Normiran prostor je ona no dimenzionalan ao i samo ao je svai njegov ograni en i zatvoren podsup ompatan. Doaz: Slijedi iz injenice da je svai n-dimenzionalan vetorsi prostor izomorfan s R n i iz prethodnog teorema. Denicija 11. Nea su (V, ) i (U, ) normirani prostori. Linearno presliavanje ϕ : V U tavo da za svai x V vrijedi ϕ(x) = x nazivamo izometrija. Ao je ϕ bijetivna izometrija onda aºemo da su normirani prostori V i U izometri i izomorfni. Kaºemo da je sup S V gust u V ao x V i ε > 0 vrijedi K(x, ε) S. Denicija 12. Upotpunjenje normiranog prostora V je par (U, ϕ), gdje je U Banachov prostor, a ϕ : V U je izometrija tava da je njena slia ϕ(v ) gusta u U. Teorem 6. Nea je V normiran prostor. (a) Postoji upotpunjenje (U, ϕ) od V. (b) Ao je prostor V unitaran i (U, ϕ) njegovo upotpunjenje, onda je i U unitaran ili Hilbertov prostor. (c) Ao su (U 1, ϕ 1 ) i (U 2, ϕ 2 ) dva upotpunjenja od V, onda postoji jedinstven izometri i izomorzam ψ : U 1 U 2 taav da je ψ ϕ 1 = ϕ 2. 11

Poglavlje 4 Prostor l 2 U ovom poglavlju emo se baviti sa prostorima na ojima je denirana norma 2. Denicija 13. Normiran (metri i) prostor V je separabilan ao postoji prebrojiv i u V gust podsup od V, tj. taav prebrojiv podsup T V da za svao ε > 0 i svai vetor x V postoji bar jedan vetor t T sa svojstvom da je t x ε. Sa l 2 ozna imo sup svih nizova x = (λ 1, λ 2,... ) elemenata iz polja P, gdje je P = Q, R ili C, tavih da je n=1 λ n 2 <. Za x l 2 tada stavljamo ( ) 1/2. x 2 = λ 2 (4.1) n=1 Poazati emo da je l 2 separabilan Hilbertov prostor, te da je za x, y l 2, x = (λ n ), y = (µ n ), njihov salarni produt dan sa pri emu red (4.2) apsolutno onvergira. (x y) = λ n µ n, (4.2) n=1 (1) l 2 je vetorsi prostor i 2 je norma na l 2. O ito je iz denicije da x 2 0, x l 2 i x 2 = 0 x = 0. Nadalje, za x l 2 i λ P je λx l 2 i λx 2 = λ x 2. Nea su sada x, y l 2 i x = (λ n ), y = (µ n ). Za svai n N vrijedi [ n ] 1/2 λ + µ 2 =1 [ n ] 1/2 λ 2 + =1 [ n ] 1/2 µ 2 x 2 + y 2, =1 odale za n slijedi x + y l 2 i x + y 2 x 2 + y 2. (2) l 2 je unitaran sa salarnim produtom (4.2). Za x, y l 2 i za n N imamo [ n n ] 1/2 [ n ] 1/2 λ µ λ 2 µ 2 x 2 y 2. =1 =1 =1 Za n vidimo da red u (4.2) apsolutno onvergira. Neposredno provjeravamo da je sa (4.2) dan salarni produt na l 2 sa (x x) = x 2 2. Prema tome zalju ujemo da je l 2 unitaran 12

prostor. (3) l 2 je potpun prostor, tj. Hilbertov. Nea je (x n ) Cauchyev niz u l 2, x n = (λ (n) ), n N. Tada za proizvoljan ε > 0 postoji n 0 N taav da za sve n, m N vrijedi (n, m n 0 ) ( x n x m 2 2 = λ (n) λ (m) 2 < ε 2 ). (4.3) Pa tada iz (4.3) imamo =1 N, (n, m n 0 ) ( λ (n) λ (m) < ε), tj. za svai N, (λ (n) ) je Cauchyev niz u P. Nea je sada λ (0) = lim n λ (n) i x 0 = (λ (0) ). Iz (4.3) slijedi da u N vrijedi (n, m n 0 ) ( u =1 λ (n) λ (m) 2 < ε 2 ). Kada pustimo m u besona no u N vrijedi u (n n 0 ) ( λ (n) λ (0) 2 < ε 2 ). Nea sada i u =1 (n n 0 ) ( λ (n) λ (0) 2 < ε 2 ). =1 Iz gornje nejednaosti saznajemo da je za svai n n 0 niz z n = (λ (n) λ (0) ) = x n x 0 l 2, pa je tada i x 0 = x n z n l 2, jer je l 2 vetorsi prostor. Zalju ujemo da (n n 0 ) ( x n x 0 2 ε), tj. x 0 = lim n x n u normi od l 2. (4) Hilbertov prostor l 2 je separabilan. Nea je S n, n N sup svih nizova x = (λ ) u P tavih da je λ = 0, N, n, pri emu su Reλ, Imλ Q. Nea je S = n N S n. Svai S n je prebrojiv pa je i S prebrojiv. Nea je x = (λ ) l 2 proizvoljan niz i ε > 0 proizvoljan. Tada je =1 λ 2 onvergentan red pa postoji n N taav da je =n+1 λ 2 < ε. Ozna imo sa z = (λ 4 1, λ 2,..., λ n, 0, 0,... ), pa je x z 2 < ε. Sada izaberimo µ 2 1, µ 2,..., µ n tave da je Reµ j, Imµ j Q i da je λ j µ j ε 2 za j = 1,..., n. Tada je y = (µ n 1, µ 2,..., µ n, 0, 0,... ) S i [ n ] 1/2 z y 2 = λ µ 2 ε 2. =1 Slijedi da je x y 2 x z 2 + z y 2 < ε, tj. y K(x, ε) S pa K(x, ε) S. Denicija 14. Niz (e i, i N) vetora normiranog prostora V je topolo²a baza, ili ra e samo baza u V, ao svai vetor x V moºe biti priazan ao x = λ e, λ P, (4.4) =1 i to na jedinstven na in, s tim da red u (4.4) onvergira u x po normi. U tom slu aju salar λ nazivamo -ta oordinata vetora x u bazi (e i, i N). 13

Promotrimo vetore e p = (δ ip, i N), p N prostora l 2 (e i = (0,..., i, 0,... )). U sladu sa terminologijom iz prethodne denicije zalju ujemo da ti vetori tvore topolo²u bazu u Hilbertovom prostoru l 2. Ta baza je ortonormirana, tj. vrijedi (e i e j ) = δ ij za sve i, j N. Separabilnost prostora l 2 slijedi iz slijede e propozicije. Propozicija 3. Ao je (e i, i N) topolo²a baza u normiranom prostoru V, onda je V separabilan prostor. Doaz propozicije moºe se na i u [4], str 45. 14

Poglavlje 5 Prostori l p U ovom poglavlju emo prou avati nee Banachove prostore nizova iz polja P oji ulju uju i generaliziraju Hilbertov prostor l 2. Ozna imo sa l p (p realan broj, p 1) sup svih nizova x = (λ i ), λ i P za oje red λ i p onvergira. Nadalje nea je l sup svih ograni enih nizova x = (λ i ), λ i P, za oje je sup{ λ i : i N} <. O igledno je l 1 l p l r l za 1 < p < r <. Sup l p je podsup vetorsog prostora svih nizova u P. Poazat emo da je l p (1 p ) potprostor tog prostora. Nea su x, y l, tada vrijedi: λ i + µ i λ i + µ i sup{ λ j : j N} + sup{ µ j : j N} λ i + µ i x + y. Slijedi da je x+y l i da je x+y x + y ; tj. l je vetorsi prostor i funcija x x je norma na l. Nea su x, y l 1, tada vrijedi: n λ i + µ i n λ i + n µ i λ i + µ i = x 1 + y 1 ²to zna i da red λ i + µ i onvergira, da je niz x + y l 1 i da je x + y 1 x 1 + y 1. Zalju ujemo da je l 1 vetorsi prostor i funcija x x 1 je norma na l 1. Kao bi poazali da je l p, 1 < p <, vetorsi prostor prvo poaºimo jednu tvrdnju. Za realne brojeve a, b 0 vrijedi: a b a + b 2b (a + b) p 2 p b p 2 p (a p + b p ), tj. vrijedi b a a + b 2a (a + b) p 2 p a p 2 p (a p + b p ); (a + b) p 2 p (a p + b p ). 15

Nea su sada x, y l p, tada vrijedi: λ i + µ i p ( λ i + µ i ) p 2 p ( λ i p + µ i p ) n ( n n ) λ i + µ i p 2 p λ i p + µ i p 2 p ( x p p + y p p) λ i + µ i p 2 p ( x p p + y p p). Zalju ujemo da je x + y l p ²to zna i da je l p vetorsi prostor. Doaz da je funcija x x p norma na l p nije tao jednostavan i njega emo preso iti, ali moºe se na i u [4], str. 77. Sada emo poazati da je prostor l p potpun. Nea je x n = (λ in, i N) Cauchyev niz u l p. Tada za svai ε > 0 postoji n 0 N taav da (n, m n 0 ) ε x n x m p λ in λ im. (5.1) Iz (5.1) zalju ujemo da je za svai i niz n λ in Cauchyev u P. Ozna imo sada sa λ i0 = lim n λ in i x 0 = (λ i0 ). Za proizvoljan N u (5.1) dobivamo (n, m n 0 ) ε p λ in λ im p, Kada m dobijemo: (n n 0 ) ε p λ in λ i0 p, (5.2) odale zbog proizvoljnosti broja slijedi onvergencija reda λ in λ i0 p ; zalju ujemo da je x n x 0 niz u l p za n n 0. Tada je i x 0 = (x 0 x n ) + x n za n n 0 niz u l p. Nadalje za u (5.2) vrijedi (n n 0 ) ε x n x 0 p, tj. niz (x n ) onvergira a x 0. Time smo doazali da je l p Banachov prostor. Promotrimo ponovno vetore oblia e 1 = (1, 0, 0,... ), e 2 = (0, 1, 0,... ), e 3 = (0, 0, 1, 0,... ), tj. sup vetora e i = (δ i, N) i N. O ito je e i l p za svao p [1, ]. Nadalje za proizvoljan x = (λ i ) iz l p, 1 p < vrijedi: n ( ) 1/p. x λ i e i p = (0,..., 0, λ n+1, λ n+2,... ) p = λ i p Kao je red λ i p onvergentan slijedi da je n lim x λ i e i p = 0, n i=n+1 ²to zna i da red λ ie i onvergira u l p prema vetoru x. Slijedi da svai vetor x l p ima jedinstven priaz oblia x = λ i e i. (5.3) Prema tome, zbog (5.3) je sup (e i, i N) topolo²a baza u prostoru l p (1 p < ). 16

Denicija 15. Za topolo²u bazu (e i, i N) prostora l p, 1 p <, aºemo da je anonsa baza na l p. Jo² emo poazati da prostor l nije separabilan. Nea je S N, S, x(s) = (λ i ), gdje je λ i = 1 za i S odnosno λ i = 0 za i / S. Slijedi da je x(s) l i x(s) = 1. Nea su sada S 1 i S 2 razli iti neprazni podsupovi od N, onda je ( Iz ovoga slijedi da su ugle K x(s 1 ), 1 2 neprebrojivo mnogo disjuntnih ugala oblia K x(s 1 ) x(s 2 ) = 1. ) ( ) i K x(s 2 ), 1 disjuntni supovi. Kao u l 2 postoji ( ) x(s), 1, za S P(N), S, slijedi da 2 prostor l nije separabilan. Slijede i teorem obuhva a sve izvedene zalju e o prostorima l p. Teorem 7. 1. Za svao p, 1 p, l p je Banachov prostor. 2. Ao je 1 p <, onda je l p separabilan prostor. 3. Prostor l nije separabilan. 17

Poglavlje 6 Normiran prostor L(V, U) Nea su V i U normirani prostori nad istim poljem P i s odgovaraju im normama V i U. Deniramo novi sup L(V, U) svih nepreidnih linearnih operatora sa V u U. U slu aju da je V = U, sup L(V, U) ozna avamo sa L(V ). Moºe se poazati da je L(V, U) potprostor vetorsog prostora svih linearnih operatora sa V u U, ojeg emo jednostavnosti radi ozna iti s (V U), tj. linearna ombinacija λa + µb nepreidnih funcija A, B : V U ponovno nepreidna funcija na V. Ao je linearan operator A : V U nepreidan u to i x 0 V, onda x n x (x n, x V ) povla i x n x+x 0 x 0, ²to daje Ax n Ax+Ax 0 Ax 0 ; dale zbog nepreidnosti u x 0, Ax n Ax. Prema tome nepreidnost linearnog operatora A : V U u jednoj to i x 0 V povla i nepreidnost toga operatora na V. Denicija 16. Linearan operator A : V U je ograni en ao postoji realni broj M > 0 taav da je Ax U M x V, x V. (6.1) Propozicija 4. Linearan operator A s normiranog prostora V u normiran prostor U je ograni en ao i samo ao je on nepreidan na V. Propozicija 5. Ao je dimv <, onda je svai linearni operator sa V u U nepreidan, tj. L(U, V ) = (V U). Doazi ovih propozicija mogu se na u u [4], str. 55,56. Primjer 5. Nea je V vetorsi prostor svih polinoma p : R R. Sa ( 1 p = max{ p(t) : 0 t 1}, p 2 = p(t) 2 dt denirane su norme na V, a sa f(p) = p(3), p V linearan funcional na V. Za funcije ( ) n t p n (t) =, n N 2 0 ) 1/2 imamo: p n = 1 2 n, p n 2 = ( 1 2 n ) 1/2 ( 1, f(p n ) = n + 1 3 2 ) n. 18

Iz ovoga vidimo da p 0, p 2 0, ali f(p n ) + ; zalju ujemo da f nije nepreidan funcional u navedenim prostorima. Denicija 17. Nea su V i U normirani prostori. Za operator A L(V, U) broj nazivamo norma operatora A. Iz denicije norme operatora A proizlazi A = sup{ Ax U : x V, x V 1} (6.2) Ax U A x V, x V. Nadalje, za svao ε > 0 postoji vetor x 0 V, x 0 0, taav da je Ax 0 U ( A ε) x 0 V. To poazuje da je norma A operatora A najmanji od realnih brojeva M > 0 za oje vrijedi (6.1). Teorem 8. Nea su V i U normirani prostori nad poljem P i nea je L(V, U) vetorsi prostor svih nepreidnih linearnih operatora sa V u U. 1. Sa dana je norma na prostoru L(V, U). A A = sup{ Ax U : x V, x V 1} 2. Ao je U Banachov prostor, onda je L(V, U) Banachov prostor. Doaz se moºe prona i u [4], str. 60. Teorem 9. Ao je V normiran prostor nad poljem P, onda je prostor V = L(V, P ) svih nepreidnih linearnih funcionala na V Banachov prostor. Denicija 18. Banachov prostor V = L(V, P ) nazivamo dualni ili adjungiran prostor prostora V. Bitno je napomenuti da u prethodna dva teorema nije doazana egzistencija nepreidnog linearnog operatora (funcionala) oji je razli it od nul-operatora (funcionala). Egzistencija netrivijalnih nepreidnih operatora zasniva se na slijede em teoremu, oji je jedan od najvaºnijih teorema funcionalne analize. Teorem 10 (Hahn-Banachov teorem). Ao je U pravi potprostor normiranog prostora V, onda za svai funcional f U postoji bar jedan funcional F V taav da je f = F i F (y) = f(y), y U. Drugim rije ima, nepreidni linearni funcional f, oji je deniran na U moºe se pro²iriti do nepreidnog linearnog funcionala na V, i to tao da F ima istu normu ao i funcional f. 19

Literatura [1] B. Gulja², Normirani prostori i operatori, predavanja, PMF - Matemati i odsje, Sveu ili²te u Zagrebu, 2010, dostupno na http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/np/olegij.html [2] D. Jui, Realna analiza, materijali s predavanja, Odjel za matematiu, Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu, 2011, dostupno na http://www.mathos.unios.hr/realna/materijali.html [3] H. Kraljevi, Vetorsi prostori, predavanja, Odjel za matematiu, Sveu ili²te J.J. Strossmayera u Osijeu, 2008, dostupno na http://www.mathos.unios.hr/vetorsi/materijali.html [4] S. Kurepa, Funcionalna analiza, elementi teorije operatora, olsa njiga, Zagreb, 1981. 20