LUCRAREA r. 5: Aaliza î domiul timp a lmtlor uui sim d rglar automată. Simul d ordiul. Scopul lucrării S va fac aaliza comportării î timp a simului liiar d ordiul pri dtrmiara variaţii mărimii d işir a acuia î fucţi d smalul aplicat la itrar (smal traptă, smal rampă). S vor fac aprciri asupra prformaţlor trazitorii şi aţioar al lmtlor udiat, obsrvâdu-s modul î car aca sut ifluţat d modificara divrşilor paramtrii ai simlor.. Brviar tortic Oric sim caractrizat pritr-o aumită dpdţa fucţioală îtr variaţia î timp a mărimii d işir y(t) şi variaţia î timp a mărimii d itrar u(t). Acaă lgatură d rgim diamic poat fi xprimată pritr-o cuaţi difrţială, obţiută p baza lgilor fizico-chimic c caractrizază fucţioara uor lmt caractriic simului. Ptru u sim liiar moovariabil itrar/işir, cuaţia difrţiala ar î cazul gral forma: d y( t) d y( t) m d u( t) m d u( t) m m m m a a... a y( t) b b... b u( t) dt dt dt dt () î car coficitii a,..., a, bm,..., b au smificaţi fizică, iar codiţia ca simul să fi fizic ralizabil m. Aplicâd trasformata Laplac cuaţii (), î codiţii iiţial ul, s obţi fucţia d trasfr a simului: m ys () bms b s... b s b Hs () u( s) a s a s... a s a m m Dacă s dau factori comui trmii a si rspctiv b s obţi forma "cu coat d timp" a fucţii d trasfr: ud: k b a y s H s k T ' m s m T ' ( )... ( ) s u( s) ' T s '... T s - factorul d amplificar al simului; m ' j T j s j ' i T i s i () (3)
' T j ' T i bj ( j m) b ai a ( i ) - coficiţii avâd dimsiua uor coat d timp. Aaliza î timp rprzită dtrmiara răspusului i timp a simlor cosidrat, la divrs tipuri d smal d itrar și dtrmiara pricipallor proprităţi (abilitat, prformaţ, tc. ). Răspusul idicial rprzită răspusul uui sim liiar atuci câd itrara d tip traptă (c s poat cosidra, datorită liiarităţii, d amplitudi uu - trapta uitară). Prformaţl rgimului diamic sut dscris pri idici sittici d calitat c caractrizază răspusul idicial al simului: suprarglajul timpul primului maxim sau d atigr a abatrii maxim a mărimii d işir î rgim trazitoriu t ; durata rgimului trazitoriu tt dfiită pri timpul c s scurg di momtul aplicării xcitaţii (itrara) p caalul d rfriţă și pîă câd işira itră îtr-o badă d ( 5)% y s ; idicl d oscilaţi rprzită variaţia rlativă a amplitudiilor a două dpăşiri succsiv d aclaşi sm a valorii d rgim aţioar, prioada oscilaţiilor T ptru rgimul oscilat amortizat; umărul d oscilaţii N dacă răspusul travrsază d u umăr fiit d ori compota aţioară; P lâgă acşti idici d calitat pricipali, s mai pot dfii şi alţii cum ar fi: - timpul d abilir: momtul î car s atig ptru prima dată valoara aţioară a ișirii; - timpul d crştr: valoara subtagti dusă la y(t) la,5 y, tagta fiid limitată d axa t şi d axa ys. Prformaţl rgimului aţioar: roara aţioară - valoara rorii d rglar î rgim aţioar (prturbat, abilizat) s lim ( t) lim u( t) - y( t) lim s ( s) lim syr( s) H ( s) (4) t t s s Aprcira acor idici d calitat s fac p baza răspusului idicial al SRA, dci a fucţii d trasfr î circuit îchis.
Sim d ordi II. Ecuaţia difrţială caractriică simului d ordi doi : a d y ( t ) a dy ( t ) a y t b u t ( ) ( ) (5) dt dt Scrisă sub forma d pulsaţii, cuaţia dvi: a a ud: (7) şi aa d y ( t ) dy ( t ) y k u (6) dt dt a (8) Fucţia d trasfr obţiută aplicâd trasformata Laplac xprsii (6) : Ptru k=, rzultă y ( s) H ( s) u( s) s k s H( s) T s Ts s s 3 î car T, / T,, s umsc coata d timp, pulsaţi aturală, rspctiv factor d amortizar. Uzual s cosidră că,, î cazul î car coducâd la poli rali, dci simul s dscompu î două sim d ordiul I. Câd itara traptă (uitară) s dduc y( s) H( s) u( s) s s s şi s obţi următoarl rgimuri tipic: a) Rgim amortizat (=) cu răspus armoic d pulsaţi. y( s) s s s s s b) Rgim subamortizat (<<). Polii sut complcşi: rzultă răspusul tipic al simului d ordiul II: y ( t ) cos t ( t ) p (9) () () (), j s s ys () s s s s s s t y( t) cos t si t ( t) t si t arctg ( t) (3) și
raspusul simului y(t) c) Rgim critic. Polii sut p p s t y( s) adica y( t) t ( t) s s s s (4) d) Rgim supra amortizat. Polii dvi rali şi diicţi p t y( t) sh t arcth ( t) Structura acor răspusuri ca di fig.., (5).8.6 Răspusuril idicial al simului d ordiul II zita= zita=.5 zita= zita= trapta.4..8.6.4. 4 6 8 4 6 8 timp[sc] Fig.. Răspusuril idicial al simului d ordiul 4
.4.35.3.5..5..5.95.9.85.8.75.7.65.6.55.5.45.4.35.3.5..5 t t raspus sim smal itrar..5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 Fig.. Prformațl rgimului diamic ptru răspusul tipic al simului d ord II Cosidrâd răspusul tipic al simului d ordiul II (<<), u calcul aalitic al durati rgimului trazitoriu s poat fac p baza dfiirii covţioal (9) prsupuâd că t t s idtifică chiar cu u xtrm al răspusului. Ac momt d timp s dduc di () pri drivar k y( t) tk, k N y = k k şi valoril xtrmlor sut k ; t k k t k l 5 y( t ) ( ) k t t 3... 4 k k Cochidm că durata rgimului trazitoriu dpid d abscisa polilor complcşi adică tot d dpărtara d axa imagiară ca şi î cazul simului d ordiul I. U alt paramtru smificativ al răspusului simului d ordi II suprarglajul dfiit afl: Î cazul răspusului tipic () cum y (6) max y (7) y y ( ) ; y y t max y = (8) (şi ca urmar s vd că suprarglajul dpid xclusiv d factorul d amortizar (, ).
D asma s poat dfii u coficit d amortizar a oscilaţiilor (9) ud şi sut priml două dpăşiri al valorii d y. Î cazul răspusului (9) 3 cum y ( t ) y, y ( t ) y 3 şi dci amortizara dpid umai d factorul d amortizar. Ptru rgimul subamortizat pricipall prformaț diamic și aţioar sut: t t l(, 5 ) 4 ( K) [%]; ; [%] dacă K () 3. Chiui d udiat. Să s dtrmi răspusuril tipic ptru simul d îtârzir d ordi. Ptru k= si T= s vor varia valoril lui afl: =, =.5, =, = y Stp To Workspac5 s + Trasfr Fc s +s+ Trasfr Fc y To Workspac y To Workspac s +s+ Trasfr Fc y3 To Workspac s +4s+ Trasfr Fc3 y4 To Workspac3 t Clock To Workspac4. Să s dtrmi prformaţl d rgim diamic şi aţioar al simlor d ordiul II d îtârzir cu fucţiil d trasfr caractrizat pri: factorul d amplificar k=;, factorul d amortizar =.5 pulsaţia aturală = rad/s 6