Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Mentor: doc. dr. sc. Ivan Matić Osijek, 2014.

Sadržaj 1. Uvod 1 2. Blok dizajni 2 2.1. Primjer................................... 2 2.2. Terminologija................................ 4 3. Latinski kvadrati 6 3.1. Ortogonalni latinski kvadrati........................ 7 3.2. Neki primjeri................................ 7 3.3. Postojanje ortogonalnih familija...................... 8 4. Uravnoteženi nepotpuni blok dizajni 10 4.1. (b,v,r,k,λ)-dizajni.............................. 10 4.1.1. Fisherova nejednakost....................... 11 4.1.2. Dokaz Fisherove nejednakosti................... 12 4.1.3. Steinerovi trostruki sustavi..................... 13 4.1.4. Simetrični uravnoteženi nepotpuni blok dizajni.......... 15 4.1.5. Izgradnja novih od postojećih (b,v,r,k,λ)-dizajna......... 16 5. Zaključak 18

1 1. Uvod U ovom radu ćemo proučavati kombinatorna pitanja koja proizlaze iz problema eksperimentalnog (istraživačkog) dizajna. Teorija eksperimentalnog dizajna nastala je većinom kroz rad R.A. Fishera, F. Yatesa, koji su bili motivirani istraživanjima dizajna polja u agrikulturi. Bavit ćemo se istraživanjima koja ciljaju na usporedbu učinaka različitih postupaka (tretmana), npr. različitih tipova gnojiva, različitih doziranja lijekova ili različitih proizvodača cipela ili guma. Svaki postupak je primijenjen na broj eksperimentalnih jedinica ili ploha. U agrikulturi, istraživačka jedinica može biti područje na kojem se kultura uzgaja ili u drugim slučajevima može biti mašina (stroj) koji se iz nekog razloga koristi na odredenoj lokaciji. Odredene istraživačke jedinice grupirane su u blokove, jer imaju neka zajednička svojstva, npr. jer su sve u istom horizontalnom redu u polju ili su sve na istom stroju.

2 2. Blok dizajni Eksperimentalni dizajn je najsnažniji od svih istraživačkih dizajna i osigurava najbolje rezultate zbog toga što su subjekti slučajnim odabirom dodijeljeni eksperimentalnoj i kontrolnoj grupi. Iako je on najjači dizajn, njega je veoma teško provesti zbog toga što nije uvijek praktičan, etičan ili čak moguć postupak slučajnog odabira ljudi za izradu eksperimentalnih i kontrolnih grupa. 2.1. Primjer Testiranje potrošnje guma. Razmotrit ćemo problem trošenja guma različitih proizvodača (marki) guma. Tretmani koje usporedujemo su različiti proizvodači guma. Jasno, pojedine gume datih proizvodača mogu se razlikovati. Stoga svakako želimo isprobati više od jedne gume svakog proizvodača. Jedna guma je istraživačka jedinica. Pretpostavimo da će gume biti testirane u realnim vozačkim uvjetima. Tada grupiramo po 4 gume ili istraživačke jedinice, jer automobil koji će biti korišten u testiranju guma treba 4 gume. Testna vozila čine blokove. Prirodno je dopustiti svakom proizvodaču guma da postupak koriste jednako često kao i svi drugi. Pretpostavimo da svatko to čini r puta. Tada trebamo ukupno 4r guma, jer postoje 4 postupka proizvodača guma. S obzirom da su gume podjeljene u blokove veličine 4, 4r mora biti djeljivo s 4. U tom slučaju r može biti bilo koji pozitivan broj. Ako bi bilo 5 proizvodača, trebalo bi 5r guma i tada bi r mogao biti izabran tako da je 5r djeljivo sa 4. Tablica 2.1 Eksperimentalni dizajn testiranja potrošnje guma Automobil A B C D lijevi prednji 1 2 3 4 desni prednji 1 2 3 4 lijevi zadnji 1 2 3 4 desni zadnji 1 2 3 4 Ako uzmemo da je r = 4, tada bi imali vrlo jednostavan eksperimentalni dizajn. Neka su četiri automobila, npr. A, B, C, D i stavimo četiri gume proizvodača 1 na automobil A, četiri gume proizvodača 2 na automobil B, četiri gume proizvodača 3 na automobil C i četiri gume proizvodača 4 na automobil D. Ovaj dizajn je prikazan u Tablici 2.1. Ovo je nezadovoljavajući eksperimentalni dizajn. Različiti automobili i različiti vozači mogu dovesti do različite količine potrošnje guma i pokušaj razlikovanja

3 proizvodača prema potrošnji guma može biti ometan tim vanjskim faktorima. Većina teorije eksperimentalnog dizajna se odnosi na eliminaciju zbunjujućih čimbenika koje uzrokuju različite istraživačke jedinice. Obično se nastoji eliminirati čimbenike putem slučajnog odabira. Npr., možemo početi s 4 gume svakog proizvodača i staviti gume na svaki auto nasumce. To može dovesti do dizajna poput onog prikazanog u Tablici 2.2. Nažalost, kao što tablica pokazuje, to može dovesti do toga da proizvodač guma 4 nikad ne bude korišten na automobilu A ili da proizvodač 3 bude više puta korišten na automobilu A. Ovu situaciju možemo izbjeći ako zahtijevamo da svaki postupak ili proizvodač bude korišten u svakom bloku ili automobilu i zatim izaberemo gume za svaki kotač nasumce. Tablica 2.2 Dizajn slučajnog odabira za testiranja potrošnje guma Automobil A B C D lijevi prednji 3 4 2 2 desni prednji 1 1 4 4 lijevi zadnji 3 4 1 3 desni zadnji 2 3 2 1 Glavno pitanje u teoriji eksperimentalnog dizajna je pitanje postojanja, tj. pitanje egzistencije. Ovdje postavljamo sljedeće pitanje: Postoji li dizajn u kojem su 4 proizvodača i 4 automobila, svaki proizvodač je korišten 4 puta i to najmanje jednom u svakom automobilu? Odgovor je da. Tablica 2.3 prikazuje takav dizajn. Tablica 2.3 Potpuni blok dizajn za testiranja potrošnje guma Automobil A B C D lijevi prednji 1 1 3 4 desni prednji 2 3 4 2 lijevi zadnji 3 2 1 1 desni zadnji 4 4 2 3 Dizajn u Tablici 2.3 ima neke nedostatke. Pretpostavimo da pozicija gume na automobilu utječe na trošenje gume. Npr., stražnje gume se drugačije troše od prednjih, pa čak i strana automobila na kojoj je guma može utjecati na potrošnju. Ako želimo eliminirati i ovaj čimbenik, možemo zahtijevati da se svaki proizvodač koristi jednom na svakom pojedinom automobilu i to jednom na svakoj mogućoj poziciji. Dakle, tražimo takozvani Latinski kvadrat (koji će biti formalno definiran u idućem poglavlju). Tablica 2.4 pokazuje takav dizajn.

4 Tablica 2.4 Dizajn latinskog kvadrata za testiranje potrošnje guma Automobil A B C D lijevi prednji 1 2 3 4 desni prednji 2 3 4 1 lijevi zadnji 3 4 1 2 desni zadnji 4 1 2 3 U nekim eksperimentima možda neće biti moguće primjeniti sve postupke na svaki blok. Npr., ako postoji 5 proizvodača guma možemo ih koristiti samo 4 u svakom bloku. Kako bi sada dizajnirali istraživanje? Ako je svaki proizvodač guma korišten r puta, imamo 5r guma koje trebamo podijeliti u četiri grupe, dakle kao što smo gore razmotrili, 5r mora biti djeljiv sa 4. Npr., r mora biti 4, 8, 12,... Primjetimo da ovo istraživanje ne možemo raditi sa 6 automobila, jer ne postoji takav eksperimentalni dizajn koji koristi 5 proizvodača i 6 automobila, a da se svaki proizvodač upotrijebi isti broj puta i da četiri različita proizvodača budu pridružena svakom automobilu. Jer u tom slučaju postoji 24 moguće pozicije guma, a 5r = 24 je nemoguće. Pretpostavimo da je r = 4. Tada je 5r = 20 pozicija guma. Ako je s broj automobila, 4s bi trebalo biti 20, dakle s bi trebalo biti 5. Jedan mogući dizajn prikazan je u Tablici 2.5. Ovdje je 4 različita proizvodača guma, svaki proizvodač je korišten jednom na svakoj poziciji i korišten 5 puta. Tablica 2.5 Nepotpuni blok dizajn za testiranje potrošnje guma 2.2. Terminologija Automobil A B C D E lijevi prednji 1 2 3 4 5 desni prednji 2 3 4 5 1 lijevi zadnji 3 4 5 1 2 desni zadnji 4 5 1 2 3 Upoznajmo se sada sa općom terminologijom. Pretpostavimo da je P skup istraživačkih jedinica, a V je skup postupaka. Odredene podskupove od P ćemo zvati blokovima. Definicija 2.1 Blok dizajn definiramo kao stvaranje skupine blokova i pridruživanje svakoj eksperimentalnoj jedinici skupa P postupak iz skupa V. Za blok dizajn koji odgovara Tablici 2.2. je V = {1, 2, 3, 4} i ima slijedeće blokove:

5 {3,1,3,2}, {4,1,4,3}, {2,4,1,2}, {2,4,3,1}. Osim kao podskupove, blokove možemo smatrati i kao nizove. Blok dizajn smatramo potpunim ako je svaki blok sastavljen od skupa V, inače je nepotpun. Tablice 2.3. i 2.4. prikazuju potpune, a 2.5 nepotpune blok dizajne. Blok dizajn nazivamo nasumičnim ako su elementi u svakom bloku poredani nekim nasumičnim uredajem, kao što je računalni program dizajniran da izabere nasumičan redoslijed. Proučavat ćemo dva tipa blok dizajna. Potpune, koji proizlaze iz latinskih kvadrata i familije latinskih kvadrata, i nepotpune, koji se još nazivaju uravnoteženi blok dizajni.

6 3. Latinski kvadrati Dizajn latinskih kvadrata je prikladan ako postoje dva faktora, npr., pozicija kotača i automobil ili redak i stupac te želimo kontrolirati oba faktora. U agrikulturalnim eksperimentima reci i stupci su doslovno reci i stupci u pravokutnom polju. Latinske kvadrate je osmislio Fisher (1926.) kako bi mogao raditi takve eksperimente. Pretpostavimo da npr. postoji k različitih redaka, k različitih stupaca i želimo testirati k različitih postupaka. Želimo urediti stvari tako da se svaki postupak pojavljuje jednom i samo jednom u datom retku i datom stupcu, npr. na odredenoj poziciji na odredenom automobilu. Postoji takvo uredenje, odnosno k k latinski kvadrat za svaki k. Tablica 3.1 pokazuje k latinski kvadrat. Tablica 3.1 k k latinski kvadrat 1 2 3... k 1 k 2 3 4... k 1 3 4 5... 1 2 : : : : : : k 1 k 1... k 3 k 2 k 1 2... k 2 k 1 Definicija 3.1 Kažemo da je kvadratna matrica A reda n N latinski kvadrat ako vrijedi: Elementi matrice A su elementi nekog n-članog skupa {a 1, a 2,..., a n }; U svakom retku matrice A, svaki a i, i = 1, 2,..., n nalazi se na točno jednom mjestu; U svakom stupcu matrice A, svaki a i, i = 1, 2,..., n nalazi se na točno jednom mjestu. Primjer 3.1 Lako se vidi da su matrice i latinski kvadrati reda 3. M = N = 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1

7 3.1. Ortogonalni latinski kvadrati Definicija 3.2 Za latinske kvadrate A 1 = (a (1) ij ) ij i A 2 = (a (2) ij ) ij reda n kažemo da su ortogonalni ako skup {(a (1) ij, a(2) ij ) : i, j = 1, 2,..., n} sadržava n 2 različitih uredenih parova. Očito je ekvivalentno zahtijevati da je (a (1) i 1 j 1, a (2) i 1 j 1 ) (a (1) i 2 j 2, a (2) i 2 j 2 ), čim je i 1 i 2 ili j 1 j 2. Kažemo da je skup {A 1, A 2,..., A t } latinskih kvadrata istog reda ortogonalan ako su svaka dva različita elementa tog skupa ortogonalna. 3.2. Neki primjeri Primjer 3.2 Lijekovi za srce. Chen (1942.) je testirao učinak 12 različitih lijekova za srce na mačkama. Istraživanje je zahtijevalo promatrača koji mjeri učinak tijekom odredenog vremena tako da svaki promatrač može promatrati samo četiri različite mačke dnevno. Istraživanjem želimo eliminirati učinke dana u kojem je promatranje izvršeno, promatrača koji je vršio promatranje i doba dana (rano ujutro, kasnije ujutro, rano poslijepodne, kasno poslijepodne) tijekom kojeg je promatranje vršeno. Stoga postoje tri faktora koja nisu primjerena za dizajn latinskog kvadrata. Kako bilo, latinski kvadrat može se izvesti uzimanjem da je jedan faktor dan u kojem se promatra, a drugi faktor promatrač i doba dana. U latinskom kvadratu 12 12 tijekom 12 dana svaki od 3 promatrača promatrao je 4 mačke dnevno, 2 ujutro i 2 poslijepodne. Dizajn se sastojao od 12 redaka, koji su označeni kao promatrači i vrijeme promatranja, i 12 stupaca, koji su označeni kao datum. i,j su bili lijekovi korišteni na datum j u doba dana i. Datumi definiraju blokove. Primjer 3.3 Testiranje odjeće. Box (1978.) je opisao istraživanje koje uključuje tester robe Martindale, stroj koji je korišten za testiranje kvalitete nošenja materijala odjeće. U jednom pokretanju stroja,

8 4 komada odjeće bi bilo trljano istovremeno svaki komad o list brusnog papira, a potom bi bio izmjeren gubitak težine. Postojalo je 4 različite vrste držača označenih s a,b,c,d i svaki je mogao biti korišten na jednom od 4 mjesta na stroju P1,P2,P3,P4. U ovom istraživanju 4 tipa odjeće označenih 1, 2, 3, 4 je bilo usporedivano. Istraživači su željeli kontrolirati učinke 4 različite vrste držača, 4 pozicije na stroju, na kojem se odjeća testirala i o koji list brusnog papira se odjeća trljala. Četverostruka kvalifikacija istraživačkih jedinica predlaže ortogonalnu familiju od 3 4 4 latinska kvadrata. Odlučeno je da će se koristiti 4 lista brusnog papira označena α,β,γ,δ svaki odrezan na 4 dijela i svaka četvrtina korištena u jednoj istraživačkoj jedinici. Bila su 4 pokretanja stroja R1,R2,R3,R4, svaki je testirao 4 vrste odjeće s različitim držačima na različitim mjestima i različitim četvrtinama brusnog papira. Tablica 3.2 prikazuje 3 korištena dizajna latinskih kvadrata. Tablica 3.2 Ortogonalna familija 3 latinska kvadrata za testiranje odjeće. Pokretanje R1 R2 R3 R4 P1 1 3 4 2 P2 2 4 3 1 P3 3 1 2 4 P4 4 2 1 3 Pokretanje R1 R2 R3 R4 P1 A D B C P2 B C A D P3 C B D A P4 D A C B Pokretanje R1 R2 R3 R4 P1 α β γ δ P2 β α δ γ P3 γ δ α β P4 δ γ β α 3.3. Postojanje ortogonalnih familija Neka je n n latinski kvadrat reda n. Pretpostavimo da su elementi u latinskom kvadratu cijeli brojevi 1, 2,..., n. Postavlja se pitanje: Postoji li ortogonalna familija r

9 latinskih kvadrata reda n? Pretpostavimo da je n > 1, jer postoji samo jedan 1 1 latinski kvadrat. Ne postoji par ortogonalnih 2 2 latinskih kvadrata, jer su jedini latinski kvadrati reda 2 prikazani u Tablici 3.3. Oni nisu ortogonalni jer se par (1,2) pojavljuje dva puta. Postoji par latinskih kvadrata reda 4, te ortogonalna familija 3 latinska kvadrata reda 4 (Tablica 3.2). Tablica 3.3 Dva latinska kvadrata reda 2. 1 2 2 1 2 1 1 2 Naredni teorem daje nužne uvjete za postojanje ortogonalne familije r latinskih kvadrata reda n. Teorem 3.1 Ako postoji ortogonalna familija r latinskih kvadrata reda n, tada je r n 1. 1 Teorem 3.1 kaže da nikada ne možemo naći ortogonalnu familiju n n latinskih kvadrata koja se sastoji od više od n 1 kvadrata. Ortogonalna familija latinskih kvadrata reda n je potpuna ako se sastoji od točno n 1 latinskih kvadrata. Teorem 3.2 daje dovoljne uvjete za postojanje potpunih ortogonalnih familija latinskih kvadrata. Teorem 3.2 Ako je n > 1 i n = p k, gdje je p prost i k prirodan broj, tada postoji potpuna ortogonalna familija latinskih kvadrata reda n. 1 Dokazi Teorema 3.1 i Teorema 3.2 se mogu vidjeti u [3].

10 4. Uravnoteženi nepotpuni blok dizajni 4.1. (b,v,r,k,λ)-dizajni U poglavlju 2.1 istakli smo da u blok dizajnu nije uvijek moguće testirati svaki pojedini postupak u svakom pojedinom bloku. Npr., u testiranju trošenja guma, ako postoji 5 proizvodača guma kao što smo promatrali samo 4 od 5 može biti testirano u jednom bloku. Stoga je potrebno koristiti nepotpuni blok dizajn. Osnovni nepotpuni blok dizajn koji ćemo proučavati zove se uravnoteženi nepotpuni blok dizajn. Uravnoteženi blok dizajn sastoji se od skupa X od v 2 elemenata, koji se nazivaju varijacije ili postupci i b > 0 podskupova od X, koji se zovu blokovi, ako su zadovoljeni slijedeći uvjeti: 1. Svaki blok sastoji se od točno istog broja varijacija k, k > 0, 2. svaka varijacija se pojavljuje u istom broju blokova r, r > 0, 3. svaki par varijacija pojavljuje se istovremeno u istom broju blokova λ, λ > 0. Uravnoteženi blok dizajn s k < v nazivamo uravnoteženi nepotpuni blok dizajn. Označava se s (b, v, r, k, λ)-dizajn. Primjer 4.1 A(7,7,3,3,1)-dizajn Blok di- Ako je b = 7, v = 7, r = 3, k = 3 i λ = 1 imamo (b, v, r, k, λ)-dizajn. zajn je odreden sa X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} i blokovima B 1 = {1, 2, 4}, B 2 = {2, 3, 5}, B 3 = {3, 4, 6}, B 4 = {4, 5, 7}, B 5 = {5, 6, 1}, B 6 = {6, 7, 2}, B 7 = {7, 1, 3} Lako je vidjeti da se svaki blok sastoji od 3 varijacije, da se svaka varijacija pojavljuje u točno 3 bloka i da se svaki par varijacija pojavljuje istovremeno u točno jednom bloku. Primjer 4.2 A(4,4,3,3,2)-dizajn Ako je b = 4, v = 4, r = 3, k = 3, λ = 2, dizajn je odreden s X = {1, 2, 3, 4} i blokovima {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 1}, {4, 1, 2}. Treba biti jasno iz našeg iskustva s ortogonalnim familijama latinskih kvadrata da (b, v, r, k, λ)-dizajni možda ne postoje za sve kombinacije parametara b, v, r, k, λ. Doista, osnovna kombinatorna pitanja o temi uravnoteženih nepotpunih blok dizajna je pitanje postojanja: Za koje vrijednosti b, v, r, k, λ postoji (b, v, r, k, λ)-dizajn.

11 4.1.1. Fisherova nejednakost Teorem 4.1 Fisherova nejednakost. U (b, v, r, k, λ)-dizajnu, vrijedi b v. Dokazat ćemo ovaj rezultat u potpoglavlju 4.1.2. Da bi ga dokazali pomaže nam pojam slučajne matrice A blok dizajna. Ako blok dizajn ima varijacije x 1, x 2,...,x v i blokove B 1, B 2,...,B b, tada je A v b matrica nula i jedinica s i, j elementima od A za koje je vrijednost jednaka 1 ako je x i iz B j i 0 inače. Npr., u (b, v, r, k, λ)-dizajnu iz Primjera 4.1 imamo sljedeću slučajnu matricu: A = 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 Proizvoljna v b matrica nula i jedinica s v 2 je slučajna matrica (b, v, r, k, λ)- dizajna, b, v, r, k, λ > 0, ako i samo ako vrijede slijedeći uvjeti: 1. Svaki stupac ima jednak broj jedinica, k njih, k > 0, 2. svaki red ima jednak broj jedinica r, r > 0, 3. svaki par redaka ima isti broj stupaca s zajedničkom jedinicom, njih λ, λ > 0. Teorem 4.2 Ako je A slučajna matrica (b, v, r, k, λ)-dizajna, onda je AA T = (r λ)i + λj, gdje je A T transponirano od A, I je v v jedinična matrica a J je v v matrica jedinica. Dokaz. Neka je b ij produkt i-tog retka od A s j-tim retkom od A, tada je b ij = b a ik a jk k=1 Ako je i = j vidimo da je a ik a ik jednako 1 ako i-ta varijacija pripada k-tom bloku, nula inače. Stoga b ii sadrži broj blokova kojemu i pripada, tj. r. Ako je i j tada je a ik a jk jednako 1 ako je i-ta i j-ta varijacija pripada k-tom bloku, inače je 0. Stoga b ij sadrži broj blokova kojima i-ta i j-ta varijacija obje pripadaju, tj. λ. Prevodenje ovih zakona u jezik matrica daje nam traženu jednakost.

12 4.1.2. Dokaz Fisherove nejednakosti Pretpostavimo da je b < v i nadimo kontradikciju. Neka je A slučajna matrica. Kako je b < v, možemo dodati v b stupaca samih nula matrici A, što nam daje kvadratnu v v matricu B. Sada je AA T =BB T, jer je skalarni produkt dva retka matrice A jednak skalarnom produktu dva retka matrice B. Uzimajući determinantu zaključujemo det(aa T ) = det(bb T ) = (detb)(detb T ). det(b) = 0 jer B ima stupac nula,pa je i det(aa T ) = 0. Sada po Teoremu 4.2 imamo, det(aa T ) = det r λ λ λ... λ λ r λ λ... λ λ λ r λ... λ λ λ λ r... λ...... λ λ λ λ... λ λ λ λ λ... r Oduzimanjem prvog stupca od svakog slijedećeg u matrici, ne mijenja se determinanta, čime dobivamo det(aa T ) = det. r λ r λ r λ r... λ r λ r λ 0 0... 0 λ 0 r λ 0... 0 λ 0 0 r λ... 0...... λ 0 0 0... 0 λ 0 0 0... r λ Dodavanjem prvom retku ostalih redaka, determinanta se ne mijenja,pa je det(aa T ) = det. r + (v 1)λ 0 0 0... 0 λ r λ 0 0... 0 λ 0 r λ 0... 0 λ 0 0 r λ... 0....... λ 0 0 0... 0 λ 0 0 0... r λ S obzirom da matrica ima sve nule iznad dijagonale, njena determinanta je produkt dijagonalnih elemenata. Dakle,

13 det(aa T ) = [r + (v 1)λ](r λ) (v 1). (1) S obzirom da smo zaključili da je det(aa T ) = 0 imamo, Kako su r, v i λ pozitivni vrijedi, [r + (v 1)λ](r λ) (v 1) = 0. [r + (v 1)λ] > 0. Kako je k < v, slijedi da je r > λ, pa imamo, (r λ) (v 1) > 0. Zaključujemo da je lijeva strana jednakosti (1) pozitivna, što je kontradikcija. 4.1.3. Steinerovi trostruki sustavi Dosad su naši rezultati davali dovoljne uvjete za (b, v, r, k, λ)-dizajn, ali nam nisu dali dovoljne uvjete za dokaz njihova postojanja ili konstruktivne postupke za stvaranje istih. Opisat ćemo nekoliko takvih postupaka. Počinjemo uzimajući u obzir posebne uvjete (b, v, r, k, λ)-dizajna. U ovom slučaju pretpostavimo da je k = 2 i λ = 1. Tada se svaki blok sastoji od 2 varijacije. Kako je r = v 1 slijedi da je ili Sada je 2b = v(v 1) b = v(v 1) 2. b = v(v 1) 2 = ( v 2). Ako je npr., v = 3, dizajn s X = {1, 2, 3} ima za podskup blokove {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

14 U ovom djelu ćemo se koncentrirati na jedan slučaj (b, v, r, k, λ)-dizajna gdje je k = 3 a λ = 1. Takav dizajn je skup od 3 para u kojem se svaki par varijacija pojavljuje točno jednom. Ti dizajni se nazivaju Steinerovi trostruki sistemi. Ovakvo definiranje uključuje potpune blok dizajne gdje je k = v. Ovo je trivijalan dizajn gdje je X = {1, 2, 3} i postoji samo jedan blok {1, 2, 3}. Sada ćemo govoriti o problemu postojanja Steinerovih trostrukih sistema. Primjetimo dakle 2r = v 1, (2) Sada imamo r = v 1 2. (3) 3b = v(v 1) 2, dakle b = v(v 1). (4) 6 Iz jednakosti (3) slijedi da je v 1 paran a v neparan. Takodcer je v 2, što znači da je v najmanje 3. Iz jednakosti (4) slijedi da je v(v 1) = 6b, dakle v(v 1) je produkt broja 6. To su potrebni uvjeti. Trebamo vidjeti koje vrijednosti za v zadovoljavaju dva potrebna uvjeta: v je neparan broj i najmanje iznosi 3, v(v 1) je višekratnik od 6. Ako je v = 3, tada je v(v 1) = 6 i tada može postojati Steinerov trostruki sistem za v = 3, tj., potrebni uvjeti su zadovoljeni. Za v = 5, v(v 1) = 20, nije djeljivo sa 6, stoga ne postoji Steinerov trostruki sistem za v = 5. Općenito, Steinerovi trostruki sistemi su mogući za v = 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21,..., tj., za v = 6n + 1 ili v = 6n + 3, n 1 i v = 3. Teorem 4.3 (Kirkman) Postoji Steinerov trostruki sistem varijacije v ako i samo ako je v = 3 ili v = 6n + 1 ili v = 6n + 3, n 1. 2 2 Dokaz Teorema 4.3 se može vidjeti u [1].

15 4.1.4. Simetrični uravnoteženi nepotpuni blok dizajni Uravnoteženi nepotpuni blok dizajn je simetričan ako je b = v (broj blokova je jednak broju varijacija) i r = k (broj koliko puta se varijacija pojavljuje je jednaka broju varijacija u bloku). Simetrični uravnoteženi nepotpuni blok dizajn se ponekad naziva (v, k, λ)-dizajn. Teorem 4.4 (Bruck-Ryser-Chowla Teorem) 3 Sljedeći uvjeti su potrebni za postojanje (v, k, λ)-dizajna. 1. Ako je v paran onda je k λ kvadrat cijelog broja. 2. Ako je v neparan sljedeća jednakost ima rješenje u brojevima x, y, z od kojih nisu svi jednaki 0: x 2 = (k λ)y 2 + ( 1) (v 1)/2 λz 2 (5) Da bi pokazali teorem na primjeru, pretpostavimo v = 8, k = 7 i λ = 3. Tada je v paran, a k λ = 4 je kvadrat, pa uvjet 1 kaže da (8, 7, 3)-dizajn može postojati. Takoder slijedi da (8, 7, 4)-dizajn ne bi mogao postojati jer k λ = 3 nije kvadrat. Pretpostavimo da je v = 5, k = 3, λ = 1. Tada je v neparan i (5) postaje x 2 = 2y 2 + z 2. Rješenja su x = z = 1, y = 0, prema tome (5, 3, 1) dizajn može postojati. Uvjeti za postojanje simetričnog uravnoteženog nepotpunog blok dizajna dati u Teoremu 4.4 nisu dovoljni. Neki posebni dovoljni uvjeti dati su u sljedećem teoremu. Teorem 4.5 Za proizvoljno velike vrijednosti m i za m = 2 k, k 1, postoji (4m-1,2m- 1,m-1)-dizajn. (4m 1, 2m 1, m 1)-dizajn se naziva Hadamardov dizajn dimenzije m. Slučaj m = 2 daje (7, 3, 1)-dizajn. Hadamardov dizajn može postojati za sve m 2 što proizlazi iz Teorema 4.4. Za v = 4m 1, v je neparan i (5) postaje što ima rješenje x = y = z = 1. x 2 = my 2 (m 1)z 2, Naredni teorem daje dovoljne uvjete za postojanje simetričnog uravnoteženog nepotpunog blok dizajna. Teorem 4.6 Ako je m 1 potencija prostog broja, tada postoji (m 2 + m + 1, m + 1, 1)-dizajn. 3 Dokaz Teorema 4.4 se može vidjeti u [1] ili [4].

16 4.1.5. Izgradnja novih od postojećih (b,v,r,k,λ)-dizajna Najtrivijalniji način za dobijanje dizajna iz drugog je da ponovimo blokove. Ako uzmemo p kopija svakog bloka u (b, v, r, k, λ)-dizajnu dobivamo (pb, v, pr, k, pλ)-dizajn. Npr., od (4, 4, 3, 3, 2)-dizajna iz Primjera 4.2 dobivamo (8, 4, 6, 3, 4)-dizajn ponavljanjem svakog bloka dvaput. Teorem 4.7 U (v, k, λ)-dizajnu svaka dva bloka imaju točno λ zajedničkih elemenata. 4 Teorem 4.8 Pretpostavimo da su B 1, B 2,..., B v blokovi (v, k, λ)-dizajna sa skupom varijacija X={x 1, x 2,..., x v }. Tada za svaki i B 1 B i, B 2 B i,..., B i 1 B i, B i+1 B i,..., B v B i blokovi od (v 1, v k, k, k λ, λ)-dizajna na skupu varijacija X \ B i. Dokaz. Očito je v 1 blokova i v k varijacija. Prema Teoremu 4.7 svaki blok B j B i ima k λ elemenata. Svaka varijacija X \ B i pojavljuje se u k blokova novog dizajna. Slično, svaki par varijacija X \ B i pojavljuje se zajedno u λ blokova originalnog dizajna pa slijedi da se pojavljuje i u λ blokova novog dizajna Da bi prikazali ovu konstrukciju pretpostavimo da počinjemo sa (7, 3, 1)-dizajnom i neka je B i = {3, 4, 6}. Tada sljedeći blokovi formiraju (6, 4, 3, 2, 1)-dizajn na skupu varijacija {1, 2, 5, 7}: {1,2},{2,5},{5,7},{1,5},{2,7},{1,7}. Teorem 4.9 Pretpostavimo da su B 1, B 2,..., B v blokovi od (v, k, λ)-dizajna s X = {x 1, x 2,..., x v } skupom varijacija. Tada za svaki i B 1 B i, B 2 B i,..., B i 1 B i, B i+1 B i,..., B v B i blokovi od (v 1, k, k 1, λ, λ 1)-dizajna na skupu varijacija B i. Dokaz. Očito je v 1 blokova i k varijacija. Prema Teoremu 4.7 svaki blok B j B i ima λ elemenata. Štoviše, date varijacije u B i pojavljuju se u originalnom dizajnu u blokovima B j1, B j2,..., B jk 1, B i. Zatim se pojavljuju u novom dizajnu u k 1 blokova 4 Dokaz Teorema 4.7 se može vidjeti u [3].

17 B j1 B i, B j2 B i,..., B jk 1 B i. Štoviše, svaki par varijacija u B i blokova, pojavljuje se zajedno u originalnom dizajnu u λ B j1, B j2,..., B jλ 1, B i, i slijedi da se pojavljuju zajedno u novom dizajnu u λ 1 blokova B j1 B i, B j2 B i,..., B jλ 1 B i.

18 5. Zaključak Kroz povijest kombinatorika je igrala važnu ulogu u provodenju znanstvenih eksperimenata. Blok dizajn pripada takvim eksperimentima i najsnažniji je od svih istraživačkih dizajna, te daje najbolje rezultate, medutim teško ga je provesti. Stoga se većina teorije eksperimentalnog dizajna odnosi na eliminaciju zbunjujućih čimbenika.

19 Literatura [1] Hall, 1967. [2] R. Mrden: Ortogonalni latinski kvadrati konačne projektivne ravnine, math.e, broj 16. [3] F. S. Roberts: Applied Combinatorics, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1984. [4] Ryser, 1963. [5] D Veljan: Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2003.

Sažetak Osobe koje se bave eksperimentima žele na najbolji mogući način doči do željenog rezultata uz što manji gubitak. Jedan od načina je upotreba blok dizajna koji daje najbolje rezultate. U radu je opisan uravnoteženi nepotpuni blok dizajn. Na primjerima je prikazana njegova provedba. 20 Ključne riječi Latinski kvadrat, blok dizajn, ortogonalna familija, uravnoteženi nepotpuni blok dizajn, slučajna matrica, determinanta, simetrični uravnoteženi nepotpuni blok dizajn.

Summary People who do experimental design want to achieve the best possible way, with minimum loss. One way is to use block design which gives the best results. In this work is described balanced incomplete block design. In examples are shown their implementation. 21 Keywords Latin square, block design, orthogonal family, balanced incomplete block design, incidence matrix, determinant, symmetric balanced incomplete block design.

22 Životopis Roden sam 11. travnja 1986. godine u Virovitici. Osnovnu Školu Josipa Kozarca u Slatini završio sam 2001. godine. Iste godine upisao sam Elektortehničku školu u Slatini koju sam završio 2005. godine. Nakon završetka srednje škole upisao sam Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku u Osijeku.