Seminar - 1. letnik bolonjske magistrske stopnje O energijskih bilanci v fuzijskem reaktorju - Lawsonov kriterij Avtor: Matic Kunšek Mentor: dr. Tomaž Gyergyek Ljubljana, marec 2014 Povzetek: V tem seminarju opišem kaj je fuzija in predstavim načine zadrževanja plazme pri temperaturah potrebnih za termično fuzijo. Nato pa si ogledamo še izpeljavo enega najpomembnejših kriterijev za vžig termične plazme Lawsonovega kriterija.
Kazalo Uvod... 3 Fuzija... 3 Termonuklearna fuzija... 6 Energijska bilanca... 7 Zadrževanje plazme... 10 Inercialno zadrževanje... 11 Magnetno zadrževanje... 11 Zaključek... 12 Viri... 12 2
Uvod Število ljudi na svetu nezadržno raste in s tem tudi potrebe po energiji. Eno od rešitev čedalje aktualnejšega energijskega vprašanja je fuzija zlivanje jeder. Kritičen prehod od poskusnih reaktorjev do dejanske energijske proizvodnje je, da plazma proizvede dovolj energije, da se sama ohranja. Temu pravimo vžig plazme, pogoje zanj pa opisuje Lawsonov kriterij, ki ga bom opisal v tem seminarju. Fuzija Fuzija ali spajanje jeder je fizikalni proces, pri katerem zlivamo lahka šibkeje vezana jedra v težja močneje vezana jedra. Masa jedra je manjša od vsote mas nevtronov in protonov, ki ga sestavljajo. Tej masni razliki pravimo masni defekt. Večja kot je razlika, močneje je jedro vezano. Masni defekt lahko izračunamo po formuli m = Zm p + (A Z)m n M Z Pri čemer je Z vrstno število jedra, A masno število jedra, M Z pa izmerjena masa jedra. Slika 1: Prikazuje odvisnost povprečne vezavne energije na nuklid v odvisnosti od masnega števila, vidimo da pri jedrih z zelo majhnimi masnimi števili vezavna energija zelo hitro raste ter doseže maksimum pri železu. Iz tega sledi, da se fuzija energijsko»izplača«vse do železa vendar je spajanje tako velikih jeder tehnološko zaenkrat še pretrd oreh. [2] Pri fuziji izkoriščamo, da se z večanjem vrstnega števila elementa zvišuje tudi vezavna energija, kar pomeni, da je energijsko ugodno zlivanje lažjih jeder v težja (to velja do elementov do železa, ki je element z najbolje vezanim jedrom). 3
Da sploh pride do fuzije moramo premagati coulombsko odbojno silo med jedri, ko pa to silo premagamo, prevlada privlačna močna jedrska sila in jedri se zlijeta. Slika 2: Prikazuje odvisnost med jedrnega potenciala v odvisnosti od razdalje med jedri. [3] Fuzijo lahko izvajamo s katerimi koli jedri, razlika je le v tem, da se nekatera jedra lažje spajajo kot druga. V spodaj navedenih enačbah je nekaj najpripravnejših reakcij, po katerih lahko vršimo fuzijo. D + D T + p D + D He 3 + n T + D He 4 + n D + He 3 He 4 + p (E = 4,03 MeV) (E = 3,27 MeV) (E = 17,6M ev) (E = 18,3 MeV) Pri čemer D predstavlja jedro devterija, T tritija, He 3 in He 4 pa sta izotopa helija. Eden najpomembnejših pogojev za fuzijo pa so reakcijski preseki. Primerjava na sliki 3, je več kot zgovorna. 4
Slika 3: Prikazuje presek za reakcijo med devterijem in tritijem, devterijem in devterijem ter devterijem in helijem 3. [3] Kot je razvidno iz slike 3 ima reakcija med devterijem in tritijem vrh precej višje in pri nižjih energijah kot reakciji med dvema devterijema ali pa reakcija med devterijem in tritijem. Pri fuziji (mešanica goriva devterij tritij) se po enačbi 2 3 4 1D + 1 T 2He + n + 17,6MeV Spajajo devterijeva in tritijeva jedra v helijeva. Pri tem procesu se sprosti 17,6MeV energije, katero v obliki kinetične energije 3,5MeV odnese helijevo jedro, 14,1MeV pa nevtron. Nevtron navadno pobegne, helijevo jedro pa preda kinetično energijo okoliškim delcem. Vendar vsa energija, ki jo odnese nevtron ni izgubljena, saj se bo tako proizvedene nevtrone uporabilo za proizvodnjo tritija v plašču okoli reaktorja. Za proizvodnjo tritija se bo uporabljal kovinski litij, saj velja 6 4 3 3Li + n 2He + 1 T Ker tudi reši problem z gorivom, saj tritija na zemeljski skorji ni. Medtem pa se litij nahaja v ogromnih zalogah. Za spajanje devterija in tritija moramo plazmo vzdrževati pri temperaturi 150000000 K in zadrževati v razmeroma»gostem«stanju, razloge za to in načine bom opisal v naslednjih odstavkih. 5
Termonuklearna fuzija Izračun hitrosti reakcije za D-T plazmo, če predpostavimo najenostavnejši sistem, tj da se s hitrostjo v gibljejo le devterijeva jedra (katerih številska gostota je n 1 ), tritijeva (katerih številska gostota je n 2 ) pa mirujejo lahko zapišemo kot R = σ n 2 n 1 v Če pa se hitrosti reakcije lotimo malce bolj konkretno, torej s sistemom, v katerem je presek za reakcijo odvisen od relativne hitrosti med delcema, ter se delci tako ene kot druge vrste gibljejo s hitrostmi, ki ustrezajo neki funkciji hitrostne porazdelitve, lahko reakcijsko hitrost na volumsko enoto zapišemo kot, R = σ(v )v f 1 (v 1 )f 2 (v 2 ), pri čemer je v 1 hitrost devterija in v 2 hitrost tritija, f 1 in f 2 porazdelitveni funkciji hitrosti za prvo in drugo vrsto delcev, v razlika med hitrostima in σ presek za reakcijo. Predpostavimo, da sta porazdelitvi hitrosti maxwellovi torej, f j v j = n j m j 2πT 3/2 Iz tega sledi, da je reakcijska hitrost na volumen enaka, m j v j e 2T R = σ(v )v f 1 (v 1 )f 2 (v 2 )d 3 v 1 d 3 v 2 Če pa zapišemo V = v 1+v 2 2 in µ = m 1m 3 m 1 +m 3 lahko nato R izrazimo kot R = n 1 n 2 m 1m 2 (2πT) 2 3/2 Ko integriramo po V dobimo e m 1+m 2 V+ 1 m 1 m 2 v 2T 2 m 1 +m 2 2 σ(v )v e μv 2T 2d 3 v d 3 V R = 4πn 1 n 2 μ 2πT 3/2 σ(v )v 3 e μv 2T 2dv Kar pa lahko ob upoštevanju kinetične energije delca kot ε = 1 2 m 1v 2 zapišemo kot R = 8 π 1/2 n 1 n 2 μ T 3/2 1 m 1 2 με σ(ε)ε e m 1 T 2 dε Reakcijsko hitrost pa lahko zapišemo tudi na bolj inženirski način kot 6
R = n 1 n 2 < σv > Pri čemer je < σv > reakcijski presek pri določeni energiji, ki ga lahko preberemo iz slike 6. Največjo hitrost reakcije dobimo če velja n 1 = n 2 Slika 4: Predstavlja reakcijski presek < σv > za reakcijo v D-T v odvisnosti od temperature plazme. [2] Energijska bilanca Če D-T plazmo obravnavano kot energijski sistem, lahko proizvedeno moč na volumen zapišemo kot: p Tn = R ε = n d n t < σv > ε Pri tem je ε energija, ki se sprosti pri eni reakciji D-T, < σv > je reakcijski presek, kot ga lahko vidimo na sliki 4, n t in n d pa sta številski gostoti devterija in tritija v plazmi. Bralcu je takoj jasno, da dosežemo ponovno največjo proizvodnjo energije, če sta gostoti tritija in devterija enaki torej n d = n t = n 2, pri čemer je n številsko gostota delcev v plazmi. Torej lahko zapišemo 7
p Tn = 1 4 n2 < σv > ε Seveda pri vsakem procesu v naravi, torej tudi pri fuziji obstajajo izgube, v primeru plazme z zadrževanjem v tokamaku (kaj tokamak je si lahko bralec prebere v odstavku o zadrževanju plazme). Najprej pa si poglejmo, koliko energije se v plazmi sploh nahaja. Povprečna energija delca v plazmi pri temperaturi T ustreza 3 T, tu naj poudarim, da sem že prej povedal, da je 2 vsa temperatura izražena v ev. Ker je v plazmi enako število ionov in elektronov je energija plazme na volumen enaka 3nT. Torej celotna energija plazme znaša W = 3nT d 3 x = 3 n T V, kjer n in T predstavljata povprečno številsko gostoto in povprečno temperaturo plazme, V pa volumen plazme. Hitrost izgubljanja energije lahko zapišemo kot, P L = W τ E Kjer je τ E karakteristični čas zadrževanja, ki je odvisen od tega kako dobro plazmo zadržujemo. Ker je gostota plazme v tokamakih majhna in s tem sprošča malo energije moramo energijske izgube nadomeščati z zunanjim gretjem (P H ) zato velja, In iz zadnjih dveh enačb lahko izrazimo τ E kot, P H = P L τ E = W P H s to enačbo lahko določimo τ E iz eksperimentalno dobljenih količin. Pri fuziji D-T, kot so že prej omenili nastaneta helijevo jedro in nevtron, slednji nam pobegne in s seboj odnese 14,1 MeV, helijevo jedro, ki so 2x nabiti pa s svojo energijo (ε α = 3,5 MeV) ostanejo ujeti v magnetnem polju. Zato svojo energijo predajo ostalim delcem preko trkov. Moč gretja helijevih jeder na volumen lahko zapišemo kot p α = 1 4 n2 < σv > ε α Torej lahko celotno moč gretja helijevih jeder zapišemo kot P α = p α d 3 x = 1 4 n2 < σv > εα V 8
Kot smo zapisali že prej, lahko dobljeno gretje dodamo zunanjemu in ponovno zapišemo enačbo P H + P α = P L Če sedaj vstavimo še enačbe za P α in P L dobimo P H + 1 4 n2 < σv > εα V = 3 n T τ E V Iz katere pa lahko izrazimo moč gretja P H = 3nT τ E 1 4 n2 < σv > ε α V Če želimo doseči pogoje, da se plazma sama ohranja, mora biti zunanje gretje plazme P H = 0, če enačbo premečemo dobimo, 12 T n τ E = < σv > ε α Vidimo, da je desna stran enačbe odvisna le od temperature, potek n τ E v odvisnosti od temperature lahko vidimo na sliki 5. Tej enačbi pravimo tudi Lawsonov kriterij in je eden od načinov s katerim ocenimo, kakšne pogoje moramo doseči za vžig plazme pri določeni temperaturi. Slika 5: Na sliki lahko vidimo temperaturno odvisnost n τ E potrebne za vžig plazme. Vidimo, da ima funkcija minimum pri temperaturi 30 kev, n τ E pa zavzame tu vrednost 1,5*10 20 m -3 s. [2] Ne pozabimo, da je tudi < σv > odvisen od temperature, vendar se ga pri temperaturi v območju med 10 in 20 kev lepo opisati (s 10% natančnostjo) kar s funkcijo 9
< σv > = 1,1 10 24 T 2 m 3 s 1 Če sedaj še upoštevamo enačbo Lawsonovega kriterija, ter da je ε α = 3,5 MeV enačba za vžig plazme, izgleda tako n T τ E = 3 10 21 m 3 kev s S to enačbo pa lahko z lahkoto opišemo pogoje za vžig pri temperaturah med 10 in 20 kev, saj lahko točno določimo kolikšne morajo biti n T τ E, torej številska gostota, temperatura in karakteristični čas zadrževanja. Seveda v tej enačbi smo predpostavili, da sta porazdelitvi številske gostote in temperature konstantni, kar seveda ni res, lahko pa v enačbo vstavimo povprečno vrednost T in n, ter se tako bolj približamo pravemu rezultatu. Še vedno pa se moramo zavedati, da je ta izraz še vedno le ocena za vžig plazme. Da pa plazmo sploh lahko imamo, zavedati se namreč moramo, da tu govorimo o plazmi s temperaturo T 10 kev kar ustreza 170 10 6 K in ni materiala, ki bi takšno temperaturo prenesel, zato se zatečemo k drugim oblikam zadrževanja plazme, ki so opisani v naslednjem poglavju. Zadrževanje plazme Ker je plazma segreta na nekaj čez 100 milijonov stopinj, je zadrževanje z materialno posodo seveda nemogoče, saj ne poznamo nobenega materiala, ki bi vzdržal takšne temperature. V prejšnjem poglavju smo videli, da mora plazma, če želimo doseči vžig doseči določene kriterije, torej n Tτ E = 3 10 21 m 3 kev s/, to lahko dosežemo na dva načina lahko povečamo gosto plazme ali pa podaljšamo čas zadrževanja, kar nas privede do dveh zelo različnih načinov zadrževanja plazme. Slika 6: Slika prikazuje mejo, pri katerem se plazma vžge, v odvisnosti od tlaka plazme in časa zadrževanja. Tlak v plazmi je določen po zakonu p=2nt. Slika nam torej pove da, lahko pri neki želeni temperaturi plazme vžig dosežemo bodisi z podaljšanjem zadrževanja, bodisi s večjo številsko gostoto plazme. [3] 10
Glavna načina zadrževanja plazme sta inercialno zadrževanje (inertial confinement) in magnetno zadrževanje (magnetic confinement), pri slednjem se je najbolje izkazal tokamak. Zavedati se moramo, da sta načina doseganja fuzije popolnoma drugačne, pri inercialnem načinu je karakteristični čas zadrževanja izjemno kratek medtem ko je gostota plazme velika, pri tokamakih pa vzdržujemo plazmo dalj časa, vendar pri manjših gostotah. Inercialno zadrževanje Pri inercialnem zadrževanju plazme v plazmo pretvarjamo majhne kapsule goriva, ki jih hkrati s čim večih strani osvetlimo z močnimi laserskimi žarki. Zaradi hitrejšega segrevanja oz izparevanja površine se notranjost kapsule stisne in močno segreje, kar privede do zlitja jeder torej fuzije. Ta način je izrazito pulzen. Slika 4: Tu lahko vidimo shemo inercialnega zadrževanja plazme. Z zunanje strani tabletko, v kateri se nahajata devterij in tritij, z večih strani hkrati obsvetimo z močnimi laserskimi žarki ali pospešenimi ioni, ki tabletko hitro segrejejo. Ker se tabletka na površini segreje tako hitro, da površina praktično v hipu izpari in tako potisne sredico skupaj in jo še močneje segreje ter tako izpolni potrebne pogoje za zlivaje jeder. Značilno za inercialno zadrževanje plazme je izjemno kratko zadrževanje, pulzi so namreč dolgi le 10 11 s. [1] Magnetno zadrževanje Za razliko od inercialnega načina, ki je izrazito pulzen način fuzije, pa je magnetno zadrževanje konstruirano za daljše zadrževanje plazme. Načinov magnetnega zadrževanja je več. Poznamo linearni način zadrževanja (solenidalni in zrcalni način) in toroidni način zadrževanja, ki je značilen za tokamake in se je izkazal za najboljši način zadrževanja do sedaj. V tokamaku plazmo zadržujemo s pomočjo močnih magnetnih polj v t.i. magnetni posodi. Grejemo pa jo preko omskega gretja, obstreljevanja z hitrimi nevtralnimi delci, radiofrekvenčnim gretjem ter pri linearnem načinu še z magnetnim stiskanjem. V obeh opisanih načinih zadrževanje plazme opišemo s τ E časom zadrževanja (confinement time), s katerim opišemo kako dolgo lahko zadržujemo plazmo v želenem prostoru. 11
Slika 5: Prikazuje tri načine magnetnega zadrževanja plazme. Selodidalni način je eden izmed začetnih načinov magnetnega zadrževanja plazme. Vendar nam na obeh koncih plazme precej hitro uhaja. Drugi način, zrcalni, je v zadrževanju v smeri osi že precej boljši, saj se na koncih magnetne silnice zožajo, kar precej zmanjša uhajanje plazme. Zadnji način pa je toroidni način, ki je od opisanih načinov najboljši, saj v tem načinu nimamo nikjer konca magnetnega polja in tako delci ne uhajajo na koncih cevi. Magnetna polja, ki jih ustvarjano pri tem zadrževanju dosegajo jakosti do 13T, kar je zgornja meja jakosti za superprevodne magnete. [1] Zaključek V seminarju smo ugotovili kaj je fuzija ter spoznali nekaj načinov zadrževanja plazme. Nato pa smo si ogledali izpeljavo enega najbolj znanih načinov ocenitve pogojev za vžig plazme, ter si pogledali njegovo odvisnost od temperature plazme Lawsonov kriterij. Zavedati se moremo, da Lawsonov kriterij ne predstavlja točnega rezultata temveč je približek, vendar pa je dober korak h komercialnim fuzijskim reaktorjem in posledično elektrarnam. S katerimi bi lahko zadostili zaskrbljujoče hitro naraščajoče potrebe človeštva po električni energiji. Viri Harms A. A.; Schoepf K. F.; Miley G. H.; Kingdon D. R.; Principles of Fusion Energy;World Scientific Publishing 2005 Wesson J.; Tokamaks; 3. Edicija, Oxford New York, 2004 McCracken G. ; Stott P. Fusion : The energy of the universe; Elsavier Inc., 2005 12