O homomorfizam-homogenim geometrijama ranga 2

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODN0-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Eva Jungael O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 -završn rad- Nov Sad, oktoar 2009

Predgovor Za strukturu kažemo da je homogena ako se svak zomomorfzam zmeđu dve konačno genersane podstrukture može prošrt do automorfzma strukture Teorja prerojvh homogenh struktura je počela ntenzvno da se razvja nakon 1953 godne kada je R Fraïssé u svom radu [5] dokazao da je slučajn graf homogen dao opštu strategju konstrukje drugh prerojvh homogenh struktura Danas je teorja homogenh struktura čvrsto ukorenjena matematčka teorja sa duokm posledama ne samo unutar matematke, već, remo, u razumevanju soo-tehnološkh fenomena kao što je world-wde we Homogen ojekt su opsan u mnogm značajnm klasama struktura Na prmer, prerojva homogena parjalna uređenja opsana su u [12], prerojv homogen grafov su opsan u [8], dok su konačn homogen grafov opsan u [6] Prerojv homogen dgrafov su opsan u [2], a konačn prerojv homogen turnr u [7] Za predmet zučavanja ovog rada od posenog nteresa su konačne geometrje: homogen lnearn prostor su opsan u [4], a homogen semlnearn prostor u [3] U svom radu [1] z 2006 godne P Cameron J Nešetřl su uopštl konept homogenost tako što su razmatral razne tpove morfzma među strukturama Iz te grupe pojmova poseno zdvajamo pojam homomorfzamhomogenost: Defnja (Cameron, Nešetřl [1]) Za strukturu kažemo da je homomorfzamhomogena ako se svak homomorfzam zmeđu dve konačno genersane podstrukture može prošrt do endomorfzma strukture O homomorfzam-homogenm ojektma se veoma malo zna Osm rada [1] do sada su ojavljena samo dva rada: u [9] su opsan homomorfzam-homogen parjalno uređen skupov, a u [10] konačn homomorfzam-homogen turnr Geomertju ranga 2 čne konačna kolekja tačaka konačna kolekja pravh koje zadovoljavaju sledeće dve aksome: svaka prava ma ar dve tačke; svake dve razlčte tačke leže na najvše jednoj pravoj Geometrju ranga 2 ćemo u daljem tekstu nazvat komnatorna ravan Za pravu sa ar tr tačke kažemo da je regularna, dok za prave sa tačno dve tačke kažemo da su sngularne U radu [11] opsan su konačne homomorfzam- 1

homogene komnatorne ravn koje sadrže dve regularne prave koje se seku, a u radu [13] opsane su konačne homomorfzam-homogene komnatorne ravn koje sadrže tačno dve regularne prave koje se ne seku svaka tačka prpada nekoj od th regularnh pravh Da se kompletrala karakterzaja homomorfzam-homogenh komnatornh ravn potreno je još opsat homomorfzam-homogene komnatorne ravn kod koje ne postoje regularne prave koje se seku Ovaj rad predstavlja jedan orgnalan doprnos u tom smeru U ovom radu se avmo komnatornm ravnma koje maju sledeću osonu: ne postoje dve regularne prave, a, koje se seku Glavn rezultat rada je Teorema 41 koja trvd da prostor koj ma tr regularne prave a,, takvh da je prava je povezana sa pravom a sa pravom, je homomorfzam-homogen ako samo ako prpada jednoj od sledećh klasa prostora: 1 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak N N za sve A, B a N N za sve A, B 2 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak postoje tačno dve tačke X a Y za koje važ da X nje kolnearna sa Y, N N za sve A, B a \ X, X ~ C za sve C \ Y N N za sve A, B 3 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak postoj tačno jedna tačka Y za koju važ da Y nje kolnearna sa X Z A, B a \, C A, B \ C homomorfzam-homogen X a Z, N N za sve C \ Y, N N za sve C \ Y Takav prostor je X ~ za sve Z ~ za sve 4 Prostor ndukovan sa a je 1-tanak N N za sve A, B a N N za sve A, B 2

1 2 3 4 U Glav 1 ćemo defnsat komnatorne ravn, homomorfzam, homomorfzam-homogenost dat pregled poznath rezultata 3

U Glav 2 ćemo se avt komnatornm ravnma gde ne postoje dve regularne prave koje se seku gde postoje tačke koje ne prpadaju n jednoj regularnoj pravoj U Glav 3 ćemo se avt komnatornm ravnma gde ne postoje dve regularne prave koje se seku gde svaka tačka prpadaju jednoj regularnoj pravoj U Glav 4 ćemo navest opštu teoremu koja daje karakterzaju za podklasu kojom se avmo u ovom radu Ovm putem h želela da se zahvalm profesoru dr Draganu Mašulovću - zvanrednom mentoru u sručnom u ljudskom smslu - za velku pomoć koju m je pružo prlkom zrade mog rada Za pet godna mog studranja sv profesor asstent su ostavl velk utsak na mene, al h pak zdvojla dva profesora, dr Ivu Bošnjaka dr Snšu Crvenkovća, koj su prhvatl da udu članov komsje 4

Sadržaj 1 Osnovn pojmov 6 12 Pregled poznath rezultata 13 2 Komnatorne ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku16 3 Podklasa komnatornh ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku23 31 Slučaj dve regularne prave koje ndukuju 0-tanak potprostor 32 32 Slučaj dve regularne prave koje ndukuju 1-tanak potprostor 44 4 Karakterzaja 49 Lteratura 51 5

1 Osnovn pojmov Komnatorna ravan je uređen par X, L gde je X konačan skup čje elemente zovemo tačke, a L P(X ) je skup čje elemente zovemo prave važ da: 1 svaka prava sadrž ar dve tačke, 2 svake dve razlčte tačke prpadaju najvše jednoj pravoj Lnearan prostor je komnatorna ravan gde svake dve razlčte tačke prpadaju tačno jednoj pravoj Za pravu ćemo reć da je regularna ako ma ar tr tačke Za ostale prave kažemo da su sngularne Za tačke A, B X sa A ~ B ćemo označt čnjenu da su tačke A B kolnearne Izolovana tačka komnatorne ravn je tačka koja ne prpada njednoj pravoj komnatorne ravn Ako drugačje nje naglašeno, regularne prave u prostoru ćemo označt malm slovma sa a,, Za tačku A a, sa N A ćemo označt skup svh tačaka prave koje su kolnearne sa A (Slka 11) N B B ~ A Slka 11 Trakast prostor je komnatorna ravan koja ma tačno dve dsjunktne regularne prave pr tome svaka tačka lež na jednoj od ove dve prave Za trakast prostor L A N A 1 za sve A a X, ćemo reć da je tanak ako je A 1 N a za sve 6

Za trakast prostor kažemo da je pun ako važ sledeće: N a (B) N (A) za sve A a, B Ako je 1 N, remo A) B N (, onda je N a 2 Za trakast prostor X, L kažemo da je mešovtog tpa ako nje n tanak n pun To znač da postoj A a sa osonom N 2 uz to postoj B takvo da je: (B) N a, l N a pr tome ako je C, onda je C) B 1 N a N a ( Sngulartet prve vrste trakastog prostora X, L je tačka B sa osonom (B) X, L je par tačaka C C ( C) B N a Sngulartet druge vrste trakastog prostora B, sa osonom N N a Pramen pravh je komnatorna ravan gde svaka prava prelaz kroz jednu zajednčku tačku (Slka 12) Tačku koja prpada svakoj pravoj zovemo entar od pramena Slka 12 Komnatorna ravan je regularna ako sadrž dve regularne prave koje se seku, nače je sngularna Komnatorna ravan je projektvna ako svake dve razlčte prave u geometrj maju zajednčku tačku Prmer 11 Svak graf je komnatorna ravan 7

Prmer 12 Fano ravan je komnatorna ravan (Slka 13): Prmer 13 Prostor I, L n, L n Slka 13 K n su lnearn prostor (Slka 14) Slka 14 Komnatorna ravan 1 Y 2 Y X Y, je potprostor komnatorne ravn L Y X 2 3 L l Y l L, l Y Y X, ako važ L X Prmer 14 Evo prmera jedne komnatorne ravn njenog potprostora (Slka 15): 8

Slka 15 A A l Šetnja u komnatornoj ravn je nz tačaka pravh 1 za sve A l A l A l A k 0 1 1 2 2 k gde Put u komnatornoj ravn je šetnja u kojoj su sve tačke razlčte sve prave razlčte Dužna puta je roj pravh na tom putu Komnatorna ravan je povezana ako za svake dve tačke u toj ravn postoj šetnja koja h spaja Komponenta povezanost komnatorne ravn je maksmalna povezana podstruktura te strukture Za dve regularne prave a, komnatorne ravn X, L kažemo da su povezane ako postoje tačke A a B takve da je A ~ B komnatorna ravan X, L sa 2 tačaka x, y, a1,, a, 1,,, 1,, 2 pravh k, l, m1,, m (Slka 16) gde Za poztvne ele rojeve,,, neka je,, k x y, a,,, 1 a l x,,, 1,,, 1 y, 1,, m, 9

Slka 16 Trougaon prostor, u ozna T q, jeste konačna projektvna komnatorna ravan gde svaka tačka lež na tačno dve prave U ovom prostoru svaka prava ma st roj tačaka Sa q ćemo označt red trougaonog prostora, tj q l 1 Trougaon prostor su parametrom q jednoznačno određen do na zomorfzam (Slka 17) Slka 17 ako je Komnatorna ravan L Y X Y postoj funkja f : Y \ X LX tako da važ (Slka 18) L Y, je potpodela komnatorne ravn X, l l Y L X f 1 l L X 10

Slka 18 Neka su X, L Y, M dve komnatorne ravn Funkja f : X Y je homomorfzam ako važ l Lm M f l m, tj kolnearne tačke se preslkavaju na kolnearne tačke Za homomorfzam zmeđu dve konačno genersane podstrukture prostora X, L X, L reć ćemo da je lokaln homomorfzam prostora Defnja 11 Komnatorna ravan X, L je homomorfzam-homogena ako za svake dve konačne podstrukture Y, L 1 1 Y, L 2 2, svak homomorfzam f : Y Y može da se prošr do endomorfzma f : X X strukture X, L 1 2 Prmer 15 Sledeća komnatorna ravan je očgledno homomorfzam-homogena (Slka 19): Slka 19 11

U ovom radu opsujemo homomorfzam-homogene komnatorne ravn u kojma ne postoje dve regularne prave, a, koje se seku Dokazaćemo da opsvanje homomorfzam-homogenh ravne gde postoje tačke koje ne leže n na jednoj regularnoj pravoj, jeste onp-kompletan prolem To, dalje, znač da ne postoj prhvatljv katalog ovakvh struktura (za nek katalog struktura kažemo da je prhvatljv ako je to konačan spsak polnomno odlučvh klasa struktura) Zato se u radu ne razmatra klasa komnatornh ravn u kojma postoje tačke koje ne leže na regularnm pravm Sledeća lema daje veoma korsnu karakterzaju homomorfzamhomogenh komnatornh ravn Za lokaln homomorfzam f : S T prostora X, L kažemo da može da se prošr za jednu tačku ako postoj A X \ S lokaln homomorfzam f ': S A T ' koj prošruje f, tj za koga važ f ' P f ( P za sve P S ) Lema 11 Komnatorna ravan X, L je homomorfzam-homogena ako samo ako svak lokaln homomorfzam f : S T tog prostora može da se prošr za jednu tačku Dokaz Uzmmo prozvoljan lokaln homomorfzam f : S T Prema pretpostav, postoj tačka A 1 X \ S lokaln homomorfzam f 1 : S A1 T1 koj prošruje f Na st načn, postoj A2 X \ S1, gde je S1 SA1, lokaln homomorfzam f 2 : S1 A2 T2 koj prošruje f 1 Itd Nakon konačno mnogo koraka (preznje, nakon X \ S koraka) na ovaj načn dojamo lokaln homomorfzam f k : S k 1 Ak Tk za koga je S k 1 Ak endomomorfzam prostora koj prošruje f Neka je X, L homomorfzam-homogen, neka je f S T lokaln homomorfzam tog prostora Tada postoj Uzmmo prozvoljno A X \ S za f ' stavmo f f : X X S A X Dakle, to je : prozvoljan koj prošruje f 12

12 Pregled poznath rezultata U ovom poglavlju navodmo osnovne rezultate vezane za dve klase komnatornh ravn: konačne homomorfzam-homogene komnatorne ravn koje sadrže dve regularne prave koje se seku, konačne homomorfzam-homogene komnatorne ravn koje sadrže tačno dve regularne prave koje se ne seku svaka tačka prpada nekoj od th regularnh prava, Karakterzaja komnatornh ravne gde postoje dve regularne prave koje se seku, data u radu [11], jeste sledeća: Teorema 11 Konačan lnearan prostor je homomorfzam-homogen ako samo ako je sngularan lnearan prostor (uključujuć trvjalne lnearne prostore kao I, L l K n ) l Fano ravan Teorema 12 Neka je X, L konačna komnatorna ravan sa arem dve komponente povezanost Tada je X, L homomorfzam-homogena ako samo ako prpada jednoj od ovh klasa: 1 L, tj svaka tačka je zolovana tačka, l 2 svaka komponenta povezanost od L lnearan prostor sa najvše dve tačke, l 3 svaka komponenta povezanost od L prostorma: X, generše jedan sngularan X, je zomorfna sa sledećm n Fano ravan, L za neko n 2, l n L n za neko n 2 (znajuć da je L2 K 3 ) 13

Teorema 13 Neka je X, L konačna povezana regularna komnatorna ravan Tada je X, L homomorfzam-homogena ako samo ako prpada jednoj od ovh klasa komnatorne ravn: 1 pramen pravh, 2 Fano ravan, 3 podpodela od q 4,, T za neko q 1,, za neke,, 1 Karakterzaja komnatornh ravne gde postoje tačno dve regularne prave koje su dsjunktne svaka tačka prpada nekoj od th regularnh prava, data u radu [13], jeste sledeća: Teorema 14 Prostor je homomorfzam-homogen ako samo ako prpada jednoj od sledećh klasa trakasth prostora (Slka 110): I N 0 za sve A X, (prostore zovemo 0-tank prostor) II N 1 za sve A X, (prostore zovemo 1-tank prostor) III X, L je pun prostor N A a, je totalno uređen skup, IV X, L je prostor mešavtog tpa sa tačno jednm sngulartetom sa osonom N N( B) za sve A, B a \, gde je skup sngularnh tačaka I II 14

III IV V Slka 110 15

2 Komnatorne ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku Takve prostore takođe možemo da podelmo na dve klase: 1 Postoje tačke koje ne leže na nekoj regularnoj pravoj, 2 Svaka tačka lež na nekoj regularnoj pravoj U prvom slučaju kada postoje tačke koje ne leže na nekoj regularnoj pravoj, prolem je onp-kompletan, što je prkazano u sledećoj teorem: Teorema 21 Prolem određvanja homomorfzam-homogenost konačne komnatorne ravn X, L gde ne postoje dve regularne prave koje se seku postoje tačke koje ne leže na nekoj regularnoj pravoj, jeste onp-kompletan Dokaz Da je ovaj prolem onp-kompletan, dokazaćemo tako što ćemo prolem k-indipendent SET, k 2, da svedemo na prolem provere homomorfzamhomogenost komnatornh ravn Neka je G V, L I q q,,, S s s,, 0, 1 prozvoljan graf Neka je data regularna prava l skupov tako da su V, l, I S po parovma dsjunktn, q k 0, 1 formramo komnatornu ravan s k G k na sledeć načn (Slka 21): Tačke su: tačke grafa G, k 1 nezavsan čvorov q, q1,, qk k 1 čvorov s 0, s1,, sk tačke prave l 0, 16

Prave su: sve grane grafa G, sve grane s ~ s j, prava l, v ~ za sve 0 sve v V, q v ~ za sve 0 sve v V, s s ~ q za sve j, j sve tačke sa prave l su kolnearne sa svm tačkama skupa V, sve tačke sa prave l su kolnearne sa svm tačkama skupa S, sve tačke sa prave l su kolnearne sa tačkama q, gde 0 Ravan G k je konačna komnatorna ravan gde ne postoje dve regularne prave koje se seku postoje tačke koje ne leže na nekoj regularnoj pravoj (Slka 21) Slka 21 U nastavku ćemo dokazat da graf G ma k-nezavsan skup čvorova ako samo ako ravan G nje homomorfzam-homogena k 17

Neka graf G ma k-nezavsan skup čvorova x 0, x 1,, x k 1 Pretpostavmo suprotno, tj da je ravan Gk homomorfzam-homogena Preslkavanje f x : q 0 0 x q k 1 k1 q q 0 k je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke s 1 Zog s ~ x,, 1 0 s ~ 1 x k 1, s ~ q mora t 1 0 f ( s1 ) ~ q0, f ( s1 ) ~ q1,, f ( s1 ) ~ q k 1, f ( s 1 ) ~ qk, što je nemoguće Znač, ravan Gk nje homomorfzam-homogena Pretpostavmo da graf G nema k-nezavsan skup tačaka Dokazaćemo da je ravan G homomorfzam-homogena k Neka je f : Gk[ U ] Gk [ W ] lokaln homomorfzam, gde je W f (U ) I I W Tada za tačku q W tačka s je kolnearna sa svm tačkama u prostoru x G \ k U k q G \ Funkju f prošrmo na sledeć načn: f ( x) s, za II I W Postoje tačke x, x,, x, 0 1 k 1 xk U tako da važ f ( x ) q, za 0 k Skup X x x,,, 0, 1 x k 1 x k je nezavsan skup tačaka X S Pretpostavmo suprotno, tj X S Sgurno važ X S 1, jer je X nezavsan skup tačaka, a u skupu S nema dve nezavsne tačke Neka je s X S Tada je X V, jer je svaka tačka z skupa V kolnearna sa svakom tačkom z skupa S, a X je nezavsan 18

skup tačaka Isto važ za pravu l, tj X l, jer je svaka tačka z skupa l kolnearna sa svakom tačkom z skupa S, a X je nezavsan skup tačaka Tada je X I 2 postoj tačka q j, j, q j X I U tom slučaju važ da je q kolnearna sa tačkom s, što je nemoguće, jer je X nezavsan skup tačaka X V j Pretpostavmo suprotno, tj X V Neka je v XV Pošto G X nema k-nezavsan skup tačaka sled da je V k 1 Dalje sled da je X l, jer je tačka v kolnearna sa svakom tačkom prave l, a X je nezavsan skup tačaka Sled da je X I 2 postoj tačka q, 0 U tom slučaju važ da je q kolnearna sa tačkom v, što je nemoguće, jer je X nezavsan skup tačaka X l Pretpostavmo suprotno, tj X l Neka je A Xl Pošto prava l nema k-nezavsan skup tačaka sled da je l k 1 Dalje sled da je X I 2 postoj tačka q, 0 U tom slučaju važ da je q kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće, jer je X nezavsan skup tačaka X Dol smo da je I važ da je f ( q ) q ( ), 0 k X, tj postoj permutaja od,1,,k 0 takva da 1 V U Neka je v V \ U Funkju f prošrmo tako što uzmemo da je f ( v) s 0 2 V U S U Neka je s S \ U Funkju f prošrmo tako što uzmemo da je f ( s ) s ( ), tj 19

f U l I U S V q0 qk v vn s j s A j m Am s 1 1 t 1 p : q q 0 k x x z z n y y t p s 1 1 1 Ukolko važ da je da je j s ~ q za neko j, po konstrukj je j važ s ~ q j Pošto je tačka j q jedna tačka koja nje kolnearna sa tačkom q x1,, x n, y1,, y t, z1,, z p s trea pokazat da Pretpostavmo suprotno, tj da važ da je q x 1,, x n, y1,, y t, z1,, z p Neka je q x j, za neko j Neka je q l I \ q 0, q Pošto važ da je v j ~ ql sled da je q ~ q l što je nemoguće Analogno za tačke y, z j j S U Tada je l U Neka je A l \ U a l U Funkju f prošrmo tako što uzmemo da je f ( A ) s 0 f I V S q 0 qk v1 v 0 A n s sk : q 0 q k x1 x y0 y s n k 0 Ukolko važ da je A ~ q j, po konstrukj je s 0 ~ q j Pošto je tačka tačkom 0 q 0 jedna tačka koja nje kolnearna sa s trea da važ q x x, y,, 1,, 1 0 n y t Pretpostavmo suprotno, tj da važ da je q 0 x1,, x n, y1,, y t, z1,, z p Neka je q 0 x j, za 20

neko j Neka je I q l \ q 0 Pošto važ da je v j ~ ql sled da je q 0 ~ q l što je nemoguće Analogno za tačku U y j l, al lu 1 f z 1 Neka je f l U U l I V S q0 qk v1 v 0 A n s sk Am A 1 m p f : q 0 q k x1 x y0 y z1 z s n k 1 0 Funkju f prošrmo tako što uzmemo da je f A ) s ( 0 Analogno kao u prethodnom slučaju još trea dokazat da z1 q 0, al to važ jer u suprotnom za neko j 0 m ~ q j pa sledlo da je q j ~ q 0 A r l lu 2 U f Prava l U je preslkana na neku pravu f lu prava m tako da je f l U m z 1, z2,, z p tako da važ z 1, z 2,, z p m, postoj, tj postoje tačke U l I V S q0 qk v vn s s A k m A 1 0 m A 1 p f : q 0 q k x x z z n y y 1 0 k 1 p z Tačku A preslkamo na neku tačku z z 1, z2,, z p Ukolko važ da je pošto je tačka m A ~ q j, po konstrukj je z q j A kolnearna sa tačkom q j ~, 21

Pošto je tačka tačkom q 0 jedna tačka koja nje kolnearna sa z trea da važ da q x x, y,, 0 je posleda konstrukje funkje f 1,, 1 n y t, al to Dalje se avmo prostorma gde svaka tačka lež na nekoj regularnoj pravoj 22

3 Podklasa komnatornh ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku U ovom poglavlju zučavaju se komnatorne ravn gde ne postoje dve regularne prave koje se seku svaka tačka lež na nekoj regularnoj pravoj Teorema 31 Ako je ravan homomorfzam-homogena onda su tanke pune trakaste podstrukture homomorfzam-homogene Dokaz Pretpostavćemo suprotno, tj da je ela struktura homomorfzam-homogena al da postoj tanka l puna trakasta podstruktura koja nje homomorfzamhomogena Neka je ona ndukovana sa a gde su a regularne prave Slučajev: I Struktura je tanka Na osnovu teoreme 14 znamo koje strukture su homomorfzam-homogene Pretpostavmo da tanak prostor nje homomorfzam-homogen Tada ez umanjenja opštost možemo pretpostavt da postoje tačke A, B a takve da je N 0 1 Ako je B jedna tačka na pravoj a sa osonom B 1 N N, tj ako se rad o postoru (Slka 31) posmatrajmo preslkavanje A B D E f :, A C D E Slka 31 gde je C tačka na a, F je tačka na kolnearna sa B, a D E su još dve tačke na 23

Ovo je lokaln homomorfzam koj se, prema pretpostav, prošruje do endomorfzma f Potražmo slku tačke F Zog F ED je f ( F) ED S druge strane, B ~ F pa je C f ~ f ( F) Dakle, tačka C je kolnearna sa tačkom f ( F ) na pravoj, što nje tačno ne možemo da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor la homomorfzam-homogen Dakle, osm tačke B, na pravoj a postoj ar još jedna tačka C takva da je N C 1 Neka je E tačka na kolnearna sa B, a F tačka na, kolnearna sa C (Slka 32): Preslkavanje A f : E B F F A Slka 32 je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C AB je f ( C) EF Dalje, C ~ F pa zato mora t f ( C) ~ A Dakle, f ( C ) je tačka na pravoj EF koja je kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće ne možemo da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen II Struktura je puna Na osnovu teoreme 14 znamo koje strukture su homomorfzam-homogene X, L trakast prostor neka postoje dve razlčte tačke 1 Neka je A, B a takve da je N 2, N 2, N N, postoj C a \ A, B tako da važ N ( C) N l N ( C) N (Slka 33) 24

Slka 33 Pretpostavmo remo N N ( C) Uočmo D, E N A F G N B Posmatrajmo preslkavanje: B C D E f : F G A B, (Slka 33) To je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzamhomogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke A Zog f ~ A A BC je f FG Dalje, A ~ D pa zato mora t A ~ E pa zato mora t f ~ B Dakle, f je tačka na pravoj FG koja je kolnearna sa tačkama A B, što je nemoguće, jer po pretpostav N N( B) ne možemo da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen 2 Neka je X, L trakast prostor neka postoje dve razlčte tačke A, B a takve da je N 2, N 2 N N za svako C a \ A, B važ da N ( C) N N ( C) N Odaermo C a \ A, B D, E N A prozvoljno uočmo F, G N B tako da je C ~ E C ~ F, tj E F N C (Slka 34), 25

Slka 34 Preslkavanje C f : A B B D D E E je lokaln homomorfzam u lo kom slučaju Kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke F Zog f ( F) ~ A F DE je f ( F) DE Dalje, F ~ C pa zato mora t F ~ B pa zato mora t f ( F) ~ B Dakle, f ( F) je tačka na pravoj DE koja je kolnearna sa tačkama A B, što je nemoguće, jer po pretpostav N N( B) ne možemo da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen X, L trakast prostor neka postoje dve razlčte tačke 3 Neka je A, B a takve da je N 2, N 2 N N al ne važ N N l N N Uočmo tačke D F tako da važ D N (A), D N (B), F N (B) F N (A) Neka je E N N (Slka 35) 26

Slka 35 Preslkavanje A f : A B D D B F F je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzamhomogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke E Zog f ( E) ~ A E DF je f ( E) BF Dalje, E ~ A pa zato mora t E ~ B pa zato mora t f ( E) ~ D Dakle, f ( E) je tačka na pravoj BF koja je kolnearna sa tačkama A D, što je nemoguće da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen, jer u suprotnom mal dve prave sa vše od tr tačaka koje se seku X, L trakast prostor neka su A, B a C takve da 4 Neka je je N 2, B) C N (, N a ( C) 2 tačka A nje kolnearna sa tačkom C Zog N a ( C) 2 postoj D N (C) takva da je D B Neka je E, F N Slučaj: N ( D) 1 (Slka 36) Preslkavanje B D F E f : B C F A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke A 27

Zog mora t A BD je f BC f ~ A Dalje, A ~ E pa zato A ~ F pa zato mora t f ~ F Dakle, f ( ) je tačka na pravoj BC koja je kolnearna sa tačkama A F, što je nemoguće da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen, jer u suprotnom mal dve prave sa vše od tr tačaka koje se seku Slka 36 Slučaj: ( D) 2 Prema predhodnm razmatranjma N znamo da dojemo negatvan odgovor osm ako su N (A) N (D) uporedv Neka to važ Kako C N (A) mora t N N ( D) (Slka 37) Preslkavanje Slka 37 A f : A B B D A E E F F je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C 28

Zog mora t C EF je f ( C) EF f ( C) ~ B Dalje, C ~ B pa zato C ~ D pa zato mora t f ~ A Dakle, f ( C ) je tačka na pravoj EF koja je kolnearna sa tačkama A B, što je nemoguće da prošrmo van ovog trakastog prostora da eo prostor o homomorfzam-homogen Zog Teoreme 31 uvodmo sledeću pretpostavku: Dodatna pretpostavka: u svakom potprostoru genersanom sa regularne prave, ne postoj sngularna tačka prve druge vrste a gde su a Lema 31 Neka su X, L X Y, L Y dve komnatorne ravn sa osonom da su svake dve tačke u X kolnearne svake dve tačke u Y kolnearne Neka je S X, T Y funkja f : S T lokaln homomorfzam Tada se funkja f može prošrt do homomorfzma f : X Y Dokaz Neka su X, L X Y, L Y dve komnatorne ravn sa osonom da su svake dve tačke u X kolnearne svake dve tačke u Y kolnearne Neka je S X, T Y, funkja f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S Neka prostor ma k regularnh pravh Tačka A prpada nekoj regularnoj pravoj a Neka su U1 a1 S, U 2 a2 S,, U k ak S Postoje prave m j Y, j k f U j m, j 0 tako da važ j 1 Neka je U Tačka A je kolnearna sa svm tačkama z skupa U j Tada tačku A preslkamo na neku tačku neke prave, j 2 Neka je 1 f P U, neka U P m j Tada tačku A preslkamo na tačku 3 Neka je U 2 Tada tačku A preslkamo na neku tačku prave m 29

Posleda 31 Neka je X, L komnatorna ravan u kojoj važ da je svaka tačka kolnearna sa svakom tačkom Tada je taj prostor homomorfzam-homogen Lema 32 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Tada zmeđu svake dve tačke postoj put dužne najvše dva Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj postoj struktura (Slka 38) Slka 38 gde ne postoj tačka Q takvo da je A ~ Q ~ D Preslkavanje B f : A D D je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C ~ B mora t f ( C) ~ A Dalje, C ~ D pa zato mora t f ( C) ~ D Dakle, f ( C ) je kolnearna sa tačkama A D, što je nemoguće Teorema 32 Neka je X, L komnatorna ravan kod koje postoje arem dve komponente povezanost Tada je X, L homomorfzam-homogena ako samo ako je u svakoj komponent svaka tačka kolnearna sa svakom drugom tačkom Dokaz X, je homomorfzam-homogen prostor pretpostavmo suprotno, tj da postoj komponenta gde postoje dve tačke koje nsu kolnearne Označmo h sa B C One su na dve razlčte regularne prave Pošto su u stoj komponent, postoj put zmeđu njh U drugoj komponent uočmo neku tačku A ( Neka je L 30

Preslkavanje: B C f : B A Je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Pošto postoj put zmeđu tačaka B C, to značlo da postoj put zmeđu tačaka B A, što je nemoguće Posleda Leme 31 Dalje posmatramo samo strukture gde postoj samo jedna komponenta povezanost 31

31 Slučaj dve regularne prave koje ndukuju 0-tanak potprostor Pretpostavmo da u prostoru X, L postoje regularne prave a koje nsu povezane Teorema 33 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Tada za svake dve regularne prave a koje nsu povezane važ da postoj treća regularna prava koja je povezana sa jednom sa drugom (Slka 39) Dokaz Posleda Leme 32 Slka 39 Lema 33 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Tada ne postoje četr razlčte tačke A, B a E, F za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, a tačka B sa tačkom F Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj tačke postoje četr razlčte tačke A, B a E, F za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, a tačka B sa tačkom F 1 A ~ F B ~ E Prostor ne može t pun samo tanak a Potprostor ndukovan sa a je 1-tanak na osnovu Teoreme 31, neka je Preslkavanje D, G, H E f : G D H A A 32

je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzamhomogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke F Zog F ED pa zato mora t f ( F) GH Dalje, F ~ A pa zato mora t f ( F) ~ A Dakle, f ( F ) je na pravoj GH koja koja je kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće 2 A nje kolnearna sa tačkom F l B nje kolnearna sa tačkom E l oa Neka A nje kolnearna sa tačkom F A nje sngulartet prve vrste, zato postoj D tako da važ A ~ D Pošto tačka F nje sngulartet prve vrste, postoj tačka I tako da važ F ~ I (Slka 310) Preslkavanje E f : F F I A A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke D Zog D EF pa zato mora t f ( D) FI Dalje, D ~ A pa zato mora t f ( D) ~ A Dakle, f ( D ) je na pravoj FI kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće Slka 310 Posleda 32 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Ako postoje dve tačke A a E za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, tada svaka druga tačka B prave a je nekolnearna najvše sa tačkom E (Slka 311) 33

Slka 311 Lema 34 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Tada ne postoje tr razlčte tačke A, B a F za koje važ da A B nsu kolnearne sa tačkom F Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj postoje tr razlčte tačke A, B a F za koje važ da A B nsu kolnearne sa tačkom F Pošto tačka F nje sngulartet prve vrste, postoj tačka C a da je C ~ F, postoj tačka I tako da je F ~ I Preslkavanje A f : F B I F A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C AB pa zato mora t f ( C) FI Dalje, C ~ F pa zato mora t f ( C) ~ A Dakle, f ( C ) je na pravoj FI koja koja je kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće Posleda 33 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Ako postoje dve tačke A a E za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, tada svaka druga tačka B prave a je kolnearna sa svakom tačkom prave (Slka 312) 34

Slka 312 Lema 35 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Tada ne postoje tr razlčte tačke A a E, F tako da tačka A nje kolnearna n sa tačkom E n sa tačkom F Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj za tačke E, F važ da tačka A nje kolnearna n sa tačkom E n sa tačkom F Pošto tačka A nje sngulartet prve vrste, sled da postoj tačka D tako da važ A ~ D Pošto tačke E F nsu sngulartet prve vrste, neka za tačku F postoj tačka I tako da važ F ~ I (Slka 313) Preslkavanje E f : F F I A A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke D Zog f ( D) ~ A nemoguće D EF pa zato mora t f ( D) FI Dalje, D ~ A pa zato mora t Dakle, f ( D ) je na pravoj FI kolnearna sa tačkom A, što je Slka 313 35

Posleda 34 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom Ako postoje dve tačke A a E za koje važ da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, tada je tačka A kolnearna sa svakom drugom tačkom prave (Slka 314) Slka 314 Lema 36 Neka je X, L homomorfzam-homogen prostor Neka u prostoru X, L postoj treća regularna prava koja je povezana sa pravom a sa pravom postoje četr razlčte tačke A a, E, F G tako da tačka A nje kolnearna sa tačkom E, a tačka G nje kolnearna sa tačkom F Tada E F (Slka 315) Slka 315 Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj E F Na osnovu Poslede 32, 33, 34 sled da svake tačke z prostora ndukovan sa a su kolnearne, osm tačke A E, svake tačke z prostora ndukovan sa su kolnearne, osm tačke G F, zato sgurno postoj tačka X tako da važ da je X ~ A X ~ G Preslkavanje 36

F f : F E B A A G G je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke X Zog X FE pa zato mora t f ( X ) FB Dalje, X ~ A pa zato mora t f ( X ) ~ A I još važ da je X ~ G pa zato mora t f ( X ) ~ G Dakle, f ( X ) je na pravoj FB kolnearna sa tačkama A G, što je nemoguće Lema 37 Neka je X, L komnatorna ravan sa tr regularne prave a, sa osonom da prave a nsu povezane međusono, prava je povezana sa pravom a sa pravom, N N za sve tačke A, B a N N za sve tačke A, B Takav prostor je homomorfzam-homogen (Slka 316) Slka 316 Dokaz Dokažmo da je X, L homomorfzam-homogen tako što ćemo dokazat da se svak lokaln homomorfzam može prošrt za jednu tačku Neka je f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S prozvoljna tačka I Neka je A a (analogno za tačku A ) Neka je U S N (A) 1 Slučaj: U Slučaj: a S Prošrmo f tako što stavmo f '( A) A 37

Slučaj: f a S 1, remo f a S P Neka je A ' prozvoljna tačka kolnearna sa P, pa prošrujemo f tako što stavmo f '( A) A' Slučaj: f a S 2 Tada je a S f sadržano u nekoj pravoj l Uzmmo prozvoljno A' l prošrmo f tako da je f '( A) A' 2 Slučaj: U Zog f U skup kolnearnh tačaka, pa neka je U je m prava takva da je f U m Slučaj: a S Uočmo prozvoljno A' m prošrmo f tako da je f '( A) A' Slučaj: a S 1 II Neka je f Pošto su tačke sa prave a S z skupa U kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave a S z skupa U preslka na potprostor ndukovan sa a l na potprostor ndukovan sa Tada za svaku pravu l L svak skup kolnearnh tačaka U X postoj A l takva da je A ~ B za sve B U Neka je l f U postoj A' l prava koja sadrž a S f Za pravu l skup koja je kolnearna sa svakom tačkom z skupa f U tako da je f '( A) A' A Neka je U S N (A) V S N (A) 1 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 1 2 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 3 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 4 Slučaj: U V Slučaj: S Tačku A preslkamo u see Slučaj: S 1 a Sada prošrmo f f Pošto su tačke sa prave S z skupa U kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave S z skupa U preslka na potprostor ndukovan sa a l na potprostor ndukovan sa Isto to važ za tačke sa prave S za skup V Tada sve tačke su preslkane l na potprostor ndukovan sa a l na potprostor 38

ndukovan sa l je skup S preslkana na pravu U prvm dva slučaja korstmo dokaz pod I 2 U trećem slučaju tačku A preslkamo na neku tačku prave Lema 38 Neka je X, L komnatorna ravan sa tr regularne prave a, sa osonom da prave a nsu povezane međusono, prava je povezana sa pravom a sa pravom, postoje tačno dve tačke X a Y za koje važ da X nje kolnearna sa Y, N N A, B a \ X, X ~ C za sve Y za sve C \ N N za sve A, B Takav prostor je homomorfzamhomogen (Slka 317) Slka 317 Dokaz Dokažmo da je X, L homomorfzam-homogen tako što ćemo dokazat da se svak lokaln homomorfzam može prošrt za jednu tačku Neka je f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S prozvoljna tačka I Neka je A a Neka je U S N (A) 1 Slučaj: U Slučaj: a S Prošrmo f tako što stavmo f '( A) A Slučaj: f a S 1, remo f a S P Neka je A ' prozvoljna tačka kolnearna sa P, pa prošrujemo f tako što stavmo f '( A) A' Slučaj: f a S 2 Tada je a S Uzmmo prozvoljno f sadržano u nekoj pravoj l A' l prošrmo f tako da je f '( A) A' 39

2 Slučaj: U Zog U je U m prava takva da je f U m f skup kolnearnh tačaka, pa neka je Slučaj: a S Uočmo prozvoljno A' m prošrmo f tako da je f '( A) A' Slučaj: a S 1 A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y Slučaj: a S 2 Pošto postoje tačke sa prave a S z skupa U koje su kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave a S z skupa U preslka na potprostor a l na potprostor tako da je funkja f lokaln homomorfzam Tada za svaku pravu l L svak skup kolnearnh tačaka U X postoj A l takva da je A ~ B za sve B U Neka f U postoj A' l II Neka je je l prava koja sadrž a S f Za pravu l skup koja je kolnearna sa svakom tačkom z skupa f U tako da je f '( A) A' A Neka je U S N (A) V S N (A) 1 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 1 2 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 3 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 4 Slučaj: U V a Sada prošrmo f Slučaj: S Tačku A preslkamo na neku tačku prave razlčto razlčto od Y Slučaj: S 1 A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y Slučaj: S 2 Pošto su tačke sa prave S z skupa U kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave S z skupa U preslka na potprostor a l na potprostor Isto to važ za tačke sa prave S za skup V Tada sve tačke su preslkane l na potprostor a l na l je skup S preslkana na pravu U prvm dva slučaja korstmo dokaz pod I 2 U trećem slučaju tačku A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y III Neka je A Korstmo dokaz I kod Leme 37 40

Lema 39 Neka je X, L komnatorna ravan sa tr regularne prave a, sa osonom da prave a nsu povezane međusono, prava je povezana sa pravom a sa pravom, postoj tačno jedna tačka Y za koju važ da Y nje kolnearna sa X a Z, N N A, B a \ X, X ~ C za sve Y za sve C \, N N A, B \ Z C Takav prostor je homomorfzam-homogen (Slka 318) za sve Z ~ za sve C \ Y Slka 318 Dokaz Dokažmo da je X, L homomorfzam-homogen tako što ćemo dokazat da se svak lokaln homomorfzam može prošrt za jednu tačku Neka je f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S prozvoljna tačka I Neka je A a (analogno za tačku A ) Neka je U S N (A) 1 Slučaj: U Korstmo prethodn dokaz pod I 1 pod Leme 38 2 Slučaj: U Korstmo prethodn dokaz pod I 2 pod Leme 38 II Neka je A Neka je U S N (A) V S N (A) 1 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 1 2 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 3 Slučaj: U V Analogno kao u ovom dokazu pod I 2 4 Slučaj: U V a Slučaj: S Tačku A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y Slučaj: S 1 A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y 41

Slučaj: S 2 Pošto su tačke sa prave S z skupa U kolnearne, a f lokaln homomorfzam, ne može da se des slučaj da funkja f neke tačke preslka na pravu a, a druge na pravu Zato, mamo da funkja f tačke sa prave S z skupa U preslka na potprostor a l na potprostor Isto to važ za tačke sa prave S za skup V Tada sve tačke su preslkane l na potprostor a l na l skup S je preslkana na pravu U prvm dva slučaja korstmo dokaz pod I 2 U trećem slučaju tačku A preslkamo na neku tačku prave razlčto od Y Teorema 34 Neka je X, L komnatorna ravan sa tr regularne prave a,, gde prave a nsu povezane Ravan je homomorfzam-homogena ako samo ako prpada jednoj od sledećh klasa prostora: 1 N N za sve tačke A, B a N N za sve tačke A, B (Slka 319) 2 postoje tačno dve tačke X a Y za koje važ da X nje kolnearna sa Y, N N A, B a \ X, C C \ Y za sve N N za sve A, B (Slka 320) X ~ za sve 3 postoj tačno jedna tačka Y za koju važ da Y nje kolnearna sa X a Z, N N A, B a \ X, X ~ C za sve 1 Y Y za sve za sve A B \ Z C \, N N C \ (Slka 321), Z ~ C za sve Slka 319 42

2 Slka 320 3 Slka 321 43

32 Slučaj dve regularne prave koje ndukuju 1-tanak potprostor Pretpostavmo da u prostoru X, L postoje regularne prave a koje ndukuju 1-tanak potprostor Lema 310 Prostor X, L je homomorfzam-homogen prostor Tada za svaku treću regularnu pravu koja je povezana sa jednom od prave a l, povezana je sa drugom Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj ne postoj treća prava koja je povezana sa oe stovremeno Neka je prava povezana sa pravom a Neka je A ~ G, gde je G Tada sa svm ostalm tačkama prave tačka A nje kolnearna Zog jednostavnost, neka B, C a, H, I tako da važ B ~ H I ~ C (Slka 322) Pošto su prave a povezane, sled da postoj tačka F kolnearna sa nekom tačkom prave a Neka je to tačka B Preslkavanje A f : F B B I I je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C AB pa zato mora t f ( C) FB Dalje, C ~ I pa zato mora t f ( C) ~ I Dakle, f ( C ) je na pravoj FB kolnearna sa tačkom I, što je nemoguće Slka 322 44

Lema 311 Prostor X, L je homomorfzam-homogen prostor Tada za svaku treću regularnu pravu koja je povezana sa pravom a sa pravom važ da je N N za sve A, B a N N za sve A, B Dokaz Pretpostavmo suprotno, tj postoj tačka F tako da tačka A koja nje kolnearna sa tačkom F Neka je A ~ G, gde je G Tada sa svm ostalm tačkama prave tačka A nje kolnearna Zog jednostavnost, neka B, C a, H, I tako da važ B ~ H I ~ C 1 Postoj prava FX, gde je X \ G Preslkavanje H f : F X X A A je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke G Zog G HX pa zato mora t f ( G) FX Dalje, G ~ A pa zato mora t f ( G) ~ A Dakle, f ( G ) je na pravoj FX kolnearna sa tačkom A, što je nemoguće (Slka 323) 2 Za sve tačke X \ G Postoj tačka Preslkavanje Slka 323 ne postoj prava FX B a za koju važ B ~ F A f : F B B I I 45

je lokaln homomorfzam, pa kako je prostor homomorfzam-homogen, f može da se prošr do endomorfzma Potražmo slku tačke C Zog C AB pa zato mora t f ( C) FB Dalje, C ~ I pa zato mora t f ( C) ~ I Dakle, f ( C ) je na pravoj FB kolnearna sa tačkom I, što je nemoguće (Slka 324) Slka 324 Teorema 35 Neka prostor X, L ma tr regularne prave a,, neka je potrpostor ndukovan sa a 1-tanak Tada X, L je homomorfzam-homogen ako samo ako N N za sve A, B a N N za sve A, B (Slka 325) Slka 325 Dokaz Na osnovu Leme 310 311 Dokažmo da je X, L homomorfzam-homogen tako što ćemo dokazat da se svak lokaln homomorfzam može prošrt za jednu tačku 46

Neka je f : S T lokaln homomorfzam neka je A X \ S prozvoljna tačka I A a (analogno za tačku A ) Neka je U S N (A) tačka B za koju važ 1 U S v B ~ A B f a S 2 Tada je a S f sadržan u nekoj pravoj a ' Neka je B' f, a A' pr ' ( B' ) Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na B S f 2 Neka je ' a S a A ' a prava koja sadrž a S f Odaermo prozvoljno A' a' lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na A ' B S f a S 1 Uzmmo da je f a S P Neka je a ' regularna prava kroz P, B' f A' pr ' ( B' ) Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na A ' B S f 1 Uzmemo A' a' prozvoljno lokaln a S homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na A ' v B S a S Neka je A' f Lokaln homomorfzam f v 2 U prošrmo tako što tačku A preslkamo na B S a S Tada f ' A A A ' B S a S Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na neku tačku prave f U a v B S a S Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na neku tačku prave f U a S B S f 1 Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na neku tačku prave f U a S B S f 1 Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na neku tačku prave f U 47

B f a S 2 Neka je a ' prava koja sadrž a S Odaermo prozvoljno A f a S v S v prošrmo tako što tačku A preslkamo na B S 2 f ' lokaln homomorfzam f A ' f a S Tada je a S f sadržan u nekoj pravoj a ' Neka je B' f, a A' pr ' ( B' ) Lokaln homomorfzam f prošrmo tako što tačku A preslkamo na A ' II Neka je A Korstmo dokaz II kod Leme 37 a 48

4 Karakterzaja U ovom poglavlju ćemo samo sakupt rezultate prethodnh poglavlja Teorema 41 Neka prostor X, L ma tr regularne prave a,, takve da je prava povezana sa pravom a sa pravom Tada prostor X, L je homomorfzamhomogen ako samo ako prpada jednoj od sledećh klasa (Slka 41): 1 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak N N za sve A, B a N N za sve A, B 2 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak postoje tačno dve tačke X a Y za koje važ da X nje kolnearna sa Y, N N za sve A, B a \ X, X ~ C za sve C \ Y N N za sve A, B 3 Prostor ndukovan sa a je 0-tanak postoj tačno jedna tačka Y za koju važ da Y nje kolnearna sa X Z A, B a \, C A, B \ C homomorfzam-homogen X a Z, N N za sve C \ Y, N N za sve C \ Y Takav prostor je X ~ za sve Z ~ za sve 4 Prostor ndukovan sa a je 1-tanak N N za sve A, B a 1 N N za sve A, B 49

2 3 4 Slka 41 50

Lteratura [1] Cameron, P J, Nešetřl, J: Homomorphsm-homogeneous relatonal strutures Comnators, Proalty and Computng 15 (2006), 91-103 [2] Cherln G L: The lassfaton of ountale homogenous dreted graphs and ountale homogenous n-tournaments Memors of the Ameran Mathematal Soety Vol 621 (1998) [3] Devllers A: Ultrahomogenous semlnear spaes Pro London Math So (3) 84 (2002), 35-58 [4] Devllers A, Doyen J: Homogenous and Ultrahomogenous Lnear Spaes Journal of Comnatoral Theory, seres A 84 (1998), 236-241 [5] Fraïssé, R: Sur ertans relatons qu généralsant l ordre des nomres ratonnels C R Aad S Pars 237 (1953), 540-542 [6] Gardner, A D: Homogenous graphs Journal of Comnatoral Theory (B) 20 (1976), 94-102 [7] Lahlan, A H: Countale Homogenous Tournaments Transatons of the Ameran Mathematal Soety, Vol 284, No 2 (1984), 431-461 [8] Lahlan, A H, Woodrow, R E: Countale Ultrahomogenous undreted graphs Transaton of the Ameran Mathematal Soety, Vol 262 (1980), 51-94 [9] Mašulovć D: Homomorphsm-homogenous partally ordered sets Order Vol 24, No 4, 2007, 215-226 [10] Ilć A, Mašulovć D, Rajkovć U: Fnte homomorphsm-homogenous tournaments wth loops Journal of Graph Theory, Vol 59, No 1, 2008, 45-58 [11] Mašulovć D: On a lass of homomorphsm-homogenous pont-lne geometres (rukops) [12] Shmerl, J H: Countale homogenous partally ordered sets Algera Unversals ( (19979), 317-321 [13] Jungael, E: Jedna klasa homomorfzam-homogenh semlnearnh prostora (dplomsk rad) 51

Bografja Eva Jungael je rođena 03061985 godne u Suot Pohađala je osnovnu školu Ivan Goran Kovačć u Suot, koju je završla 2000 godne sa odlčnm uspehom dodeljena joj je Vukova dploma Orazovanje je nastavla u gmnazj Svetozar Markovć u Suot, na prrodno matematčkom smeru Gmnazju završava 2004 godne sa odlčnm uspehom Jesen ste godne upsuje Prrodnomatematčk fakultet u Novom Sadu, smer Dplomran Matematčar - Prmenjena Matematka Fakultet završava u oktoru 2008 godne sa prosečnom oenom 994 Iste godne nastavja studje na Prrodno-matematčkom fakultetu u Novom Sadu, smer Prmenjena Matematka - Tehnomatematka Master studje završava u oktoru 2009 godne sa prosečnom oenom 987 U novemru 2007 2008 godne učestvovala je na Vojvođanskoj mađarskoj naučnoj konferenj studenata Nov Sad, Oktoar 2009 (Eva Jungael) 52

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET KLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA Redn roj: RBR Identfkaon roj: IBR Tp dokumentaje: TD Tp zapsa: TZ Vrsta rada: VR Autor: AU Mentor: MN Naslov rada: Monografska dokumentaja Tekstualn štampan materjal Završn rad Eva Jungael dr Dragan Mašulovć O homomorfzam-homogenm geometrjama ranga 2 NR Jezk pulkaje: srpsk (latna) JP Jezk zvoda: s/en JI Zemlja pulkovanja: R Srja ZP Uže geografsko područje: Vojvodna UGP Godna: 2009 GO Izdavač: autorsk reprnt IZ Mesto adresa: Nov Sad, Trg D Oradovća 4 MA Fzčk ops rada: (4/56/0/0/39/0/0) (roj poglavlja/strana/lttata/taela/slka/grafka/prloga) FO 53

Naučna olast: Matematčke nauke NO Naučna dsplna: Dskretna matematka ND Predmetne odredna, Ključne reč: Komnatorna ravan, homomorfzam-homogenost PO UDK Čuva se: ČU Važna napomena: nema VN Izvod: Danas je teorja homogenh struktura čvrsto ukorenjena matematčka teorja sa duokm posledama ne samo unutar matematke, već, remo, u razumevanju soo-tehnološkh fenomena kao što je world-wde we O homomorfzamhomogenm ojektma se veoma malo zna Ranje su opsane konačn homomorfzam-homogene komnatorn ravn koje sadrže dve regularne prave koje se seku Da se kompletrala karakterzaja homomorfzam-homogenh ravn potreno je još opsat homomorfzam-homogene ravne kod koje ne postoje regularne prave koje se seku Ovaj rad predstavlja jedan orgnalan doprnos u tom smeru IZ Datum prhvatanja teme od strane NN veća:??? 2009 DP Datum odrane: oktoar 2009 DO Članov komsje: (Naučn/stepen/me prezme/zvanje/fakultet) KO Predsednk: dr Snša Crvenkovć, redovn profesor Prrodnomatematčkog fakulteta u Novom Sadu Mentor: dr Dragan Mašulovć, vanredn profesor Prrodnomatematčkog fakulteta u Novom Sadu Član: dr Iva Bošnjak, doent Prrodno-matematčkog fakulteta u Novom Sadu 54

UNIVERSITY OF NOVI SAD FACULTY OF NATURAL SCIENCES & MATHEMATICS KEY WORDS DOCUMENTATION Aesson numer: ANO Identfaton numer: INO Doument type: DT Type of reord: TR Contents ode: CC Author: AU Mentor: MN Monograph doumentaton Textual prnted materal Master thess Eva Jungael Dr Dragan Mašulovć Ttle: On homomorphsm-homogeneous rank 2 geometres TI Language of text: Seran (Latn) LT Language of astrat: en/s LT Country of pulaton: R Srja CP Loalty of pulaton: Vojvodna LP Pulaton year: 2009 PY Pulsher: Author s reprnt PU Pul plae: Nov Sad, Trd D Oradovća 4 PP Physal desrpton: (4/56/0/0/39/0/0) PD Sentf feld: Mathemats 55

SF Sentf dsplne: SD Sujet Key words: SKW UC Holdng data: HD Note: N Astrat: AB Dsrete Mathemats Pont-lne geometry, homomorphsm-homogenety Nowadays the theory of homogenous strutures s a very deep mathematal theory wth onsequenes n oth mathemats and other dsplnes suh as word-wde we Not muh s know aout homomorphsm-homogenous ojets The homomorphsm-homogenous pont-lne geometry ontanng two regular lne ntersetng have een desred In order to omplete to haraterzaton t s neessary to desre homomorphsm-homogenous pont-lne geometres where regular lnes are dsjont Ths thess presents one step n ths dreton Aepted on Sentf oard on:???, 2009 AS Defended: Otoer 2009 DE Thess Defend oard: DB Presdent: Mentor: Memer: Dr Snša Crvenkovć, full profesor, Faulty of Senes, Nov Sad Dr Dragan Mašulovć, assoate professor, Faulty of Senes, Nov Sad Dr Iva Bošnjak, assstant professor, Faulty of Senes, Nov Sad 56