Lekcija : Osnove multivarijabilnih sistema upravljanja Prof.dr.sc. Jasmin Velagić Elektrotehnički fakultet Sarajevo Kolegij: Multivarijabilni ij i sistemi i 0/03
Kolegij: Multivarijabilni sistemi Predmetni nastavnik: Prof.dr.sc. Jasmin Velagić, dipl.inž.el. e-mail: jasmin.velagic@etf.unsa.ba i /08 tel.: 033 5 07 65 Konzultacije: Subotom 9-3, ili po dogovoru Načini i provjere domaće ć zadaće ć 0% znanja: seminarski rad 40% završni ispit 40%
Kolegij: gj Multivarijabilni sistemi Nastavne jedinice:. Uvod u multivarijabilne sisteme 3/08. Ograničenja na performanse MIMO sistema 3. Neizvjesnost i robusnost SISO sistema 4. Robusna stabilnost i analiza performansi MIMO sistema 5. Sinteza MIMO regulatora 6. LMI problem i redukcija modela
Kolegij: Multivarijabilni sistemi Preporučena literatura:. Jasmin Velagić, Zabilješke s predavanja,, 4/08 Elektrotehnički fakultet, Sarajevo, 0, URL: http://people.etf.unsa.ba/~jvelagic/laras/lecturesmulti varijabilno.html. Skogestad, S. and Postlethwaite, I. 005. Multivariable Feedback Control: Analysis and Design nd edition. Wiley-Interscience, Chichester, USA. 3. Rosenwasser, E. N. and Lampe, B. P. 00. Multivariable Computer-controlled Systems: A Transfer Function Approach. Springer Verlag, Berlin, Germany. 4. Albertos, P. And Sala, A. 004. Multivariable Control Systems: an Engineering Approach. Springer Verlag, London, UK.
Uvod u multivarijabilne sisteme MIMO sistem sistem sa više ulaza i više izlaza. Razmatramo sistem sa m ulaza i l izlaza. 5/08 u G y Funkcija prijenosa sistema: y - vektor dimenzija l u - vektor dimenzija m G - matrica dimenzija m l y s G s u s
Uvod u multivarijabilne sisteme Ulazni i izlazni vektori: u y [ ] T 6/08 u u... u m [ y y... y ] T y Koncepti relevantni za MIMO, a ne za SISO, sisteme su: interaktivnost i usmjerenost engl. directionality. Interakcija između ulaza i izlaza postoji ako promjene na jednom ulazu utječu na promjene svih izlaza. Proces objekt upravljanja je neinteraktivan ako prvi ulaz utječe samo na prvi izlaz, drugi ulaz samo na drugi izlaz, itd. matrica G je dijagonalna matrica. Glavna razlika između SISO i MIMO sistema postojanje pravaca, tj. pojačanja ovise o pravcima ulaza, odnosno o kombinaciji ulaza. y l
Funkcije prijenosa MIMO sistema Kvantifikacija multivarijabilne usmjerenosti singularna dekompozicija vrijednosti SVD. Kaskadno pravilo: 7/08 u G G G y G G G G G G G Redoslijed zdesna na lijevo, za razliku od SISO sistema. Razlog množenje matrica nije komutativno.
Funkcije prijenosa MIMO sistema Pravilo povratne veze pozitivne: u v G 8/08 z G gdje je: v I L u L G G Izlaz y: y G I GG u
Funkcije prijenosa MIMO sistema Matrični identitet Push-through pravilo: G I GG I GG G 9/08 Dokaz: pomnožiti obje strane gornjeg izraza slijeva sa I G G, a nakon toga zdesna sa I G G. Kombiniranjem kaskadnog i pravila povratne veze dobiva se MIMO pravilo: Započeti sa izlaza sistema i vraćati se unatrag kroz direktne grane prema ulazu sistema. Ukoliko na tim stazama postoje dijelovi sistema sa povratnim vezama zamijeniti ih sa blokovima I - L - za pozitivnu i I + L - za negativnu povratnu vezu.
Funkcije prijenosa MIMO sistema Primjer. G 0/08 G K G u G y Funkcija prijenosa sistema: y G + G K I G K G u
Funkcije prijenosa MIMO sistema Zatvoreni sistem upravljanja s negativnom povratnom vezom d /08 G d r e K u G y y m Pogreška e: n e I + GK r + I + GK Gdd GK I + GK n
Funkcije prijenosa MIMO sistema Zatvoreni sistem upravljanja s negativnom povratnom vezom Prethodni izraz može se napisati u obliku: /08 e Sr + SGd d Tn gdje su: S I + GK I + L T GK I + GK L I + L I S S i T su funkcije osjeljivosti sistema i komplementarne osjetljivosti sistema i predstavljaju funkcije prijenosa y u odnosu na r i y u odnosu na n:
Funkcije prijenosa MIMO sistema Zatvoreni sistem upravljanja s negativnom povratnom vezom 3/08 U prostoru stanja imamo: D B A I C L + s s s K G L 3/08 D B A I C L + s s s s s K L G Na temelju navedenog mogu se izvesti sljedeće relacije: + + + + + + G GK I KG I G I T S L I L L I + + + + + GK GK I K KG I G GK I GK G GK I KG I G + + L I L I L T
Frekvencijski odziv MIMO sistema Frekvencijski odziv Frekvencijsko područje idealno za proučavanje pravaca u MIMO sistemima na bilo kojoj frekvenciji. r Gs y y s G s r s r R m, y R Na ulazu j se primijeni skalarni sinusoidalni signal: r j j0 j ω r sin ω t + α n 4/08 Odziv na izlazu i je također sinusidalan na istoj frekvencijom ω: y ω y sin i ωt + β i i0 i
Frekvencijski odziv MIMO sistema Pojačanje i faza: g ij jω y 5/08 i0, gij jω βi α j ri 0 g ij je element matrice G. U fazorskoj notaciji sinusoidni vremenski odziv je: gdje su: r i gij jω rj j y ω ω j j α j ω rj0 e, yi ω yi0 Ovdje se kao argument koristi ω ne jω, r j ω i y i ω su kompleksni brojevi predstavljeni na svakoj frekvenciji ω čije su amplitude i faze dane izrazima na početku slajda. e j β j i
Frekvencijski odziv MIMO sistema Ukupni odziv na istovremeno narinute ulazne signale iste frekvencije jednak je sumi pojedinačnih 6/08 odziva princip superpozicije: + + j ij i i r j g r j g r j g y... ω ω ω ω ω ω ω 6/08 ili t ič i j j ij i i j g j g j g y ω ω ω r G y j ili u matričnom zapisu: V kt i l ih i ω ω y r ω ω ω r G y j Vektori ulaznih i izlaznih signala: ω ω ω ω y y r r M M, ω ω ω ω r j y i M M M M y r ω ω l r m y M M
Frekvencijski odziv MIMO sistema Pojačanje SISO sistem 7/08 0 y r j G y j G ω ω ω ω 7/08 0 r r r j G ω ω ω Pojačanje ovisi samo o frekvenciji ω. MIMO sistem euklidska -norma MIMO sistem euklidska norma +L + 0 0 y y j ω ω ω r G y +L + + + 0 0 0 0 r r y y j ω ω r r y Pojačanje ovisi o frekvenciji ω, ali i o pravcu ulaza r.
Frekvencijski odziv MIMO sistema Pojačanje Amplituda vektora ulaznog signala na ω: 8/08 r ω r i ω r + r i 0 0 +L Amplituda vektora izlaznog signala na ω: y ω y i ω y 0 + y 0 i +L Pojačanja SISO i MIMO sistema ne ovise o amplitudi ulaznog signala. Kod MIMO sistema ulaz i izlaz su vektori te se moraju sumirati amplitude elemenata svakog vektora pomoću norme.
Frekvencijski odziv MIMO sistema Primjer. Zadan je sistem s dva ulaza r y y [ ] T y0 0 [ r ] T r0 0 i dva izlaza sa matricom prijenosa: Za ulazne pobude: 5 4 G 3 9/08 0 0.707 0.707 0.6 r,, 3, 4, 5, r r r r 0 0.707 0.707 0.8 potrebno je izračunati pojačanja sistema. Odzivi sistema na navedene pobude su: 5 4 6.36 0.707 0. y, y, y3, y4, y5 3 3.54 0.707 0.
Frekvencijski odziv MIMO sistema Svi ulazi imaju jednaku amplitudu, ali različite pravce: Amplitude izlaza su: r 0/08 y 5.83, y 4.47, y3 7.30, y4.00, y5 0.8 Maksimalna i minimalna vrijednost pojačanja j predstavljaju maksimalnu i minimalnu singularnu vrijednost od G: Gr σ G max max Gr σ G min min Gr r 0 r r r 0 r r Gr
Frekvencijski odziv MIMO sistema Ovisnost pojačanja o pravcu ulaza: 8 y r0 /08 f r r0 7 6 max.sigma7.34 / r y 5 4 3 min.sigma0.7 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 r0 / r0 Pojačanje se mijenja od 0.7 do 7.34.
Svojstvene vrijednosti MIMO sistema Svojstvene vrijednosti mjere pojačanja za specijalan slučaj kada ulazi i izlazi imaju isti pravac, tzv. pravac svojstvenih vektora ovo je korisno za analizu stabilnosti, ali ne i za performanse. Za generalizaciju acij pojačanja za MIMO sisteme neophodan je koncept norme matrice, tj. zadovoljavanje svojstava: /08 G + G G G + nejednakost trokuta G G G G multiplikativnost
Svojstvene vrijednosti MIMO sistema Maksimalna svojstvena vrijednost ρ G λmax G spektralni radijus nije norma. Maksimalna singularna vrijednost σ G jest norma, koja se naziva inducirana -norma, odnosno G. i Slijedi da svojstvene vrijednosti nisu dobra mjera pojačanja MIMO sistema. Zbog svojstava svojstvenih vrijednosti i činjenice da su pojačanja MIMO sistema frekvencijski ovisna, bolje je promatrati maksimalnu singularnu vrijednost, odnosno: σ G j ω 3/08
Dekomponiranje singularnih vrijednosti SVD Singular Value Decompozition Promatrajmo matricu G za fiksnu frekvenciju ω,, tada 4/08 se ona može dekomponirati u SVD: G U Σ V H Σ - l m matrica sa k min{l, m} ne-negativnih singularnih vrijednosti σ i, Σ diag σ, σ,...,, σ k σ σ > σ >... > σ σ k U - l m unitarna matrica izlaznih vektora singularnih vrijednosti u i, U u, u,..., ul. V - m m unitarna matrica ulaznih vektora singularnih vrijednosti v i, V v, v,..., v.. m
Dekomponiranje singularnih vrijednosti Singularne vrijednosti su drugi korijeni svojstvenih vrijednosti od G H G: H σ G λ G G i i λ GG i H 5/08 GG H U H H UΣΣ, G G V VΣ H Σ Primjer SVD-a: G cosθ sinθ σ 0 cosθ ± sinθ sinθ cosθ 0 σ sinθ ± cosθ 44 443 4434 44 4443 U Σ V H H Ulazno-izlazna interpretacija: G H H UΣ V GV UΣ V V I Gv i σ u i i i pravac ulaza v i daje pravac izlaza u i s pojačanjem σ i
Dekomponiranje singularnih vrijednosti Pravci ulaza i izlaza Stupci matrice U vektori, označeni sa u i, 6/08 predstavljaju pravce izlaza procesa. Oni su ortogonalni i jedinične su duljine ortonormalni: u i ui + ui +... + uil u H i u i H, ui u j 0, i j Stupci matrice V su ortogonalni i ortonormalni vektori i predstavljaju pravce ulaza procesa: v i vi + vi +... + vim
Dekomponiranje singularnih vrijednosti Pravci ulaza i izlaza ui v i Budući da su i slijedi: 7/08 σ G Gv i i Gv i v i Maksimalne i minimalne singularne vrijednosti Najveća vrijednost pojačanja j za bilo koji pravac ulaza jednaka je maksimumu singularne vrijednosti: Gr Gv max σ G σ G r 0 r v
Dekomponiranje singularnih vrijednosti Najmanja vrijednost pojačanja za bilo koji pravac ulaza jednaka je minimumu singularne vrijednosti: k k r 0 r v k min Gr Gv σ G σ G 8/08 gdje je k min{l, m}. Za bilo koji r imamo da je: σ G Gr r σ G u u, v v, u u, v, k k Definirajmo, tada slijedi: Gv σ u, Gv σ u v
Dekomponiranje singularnih vrijednosti Neke od prednosti dekomponiranja singularnih vrijednosti SVD u odnosu na dekompoziciju svojstvenih vrijednosti za analizu pojačanja i usmjerenosti pravaca MIMO procesa su: 9/08 Singularne vrijednosti daju dobre informacije o pojačanjima sistema. Pravci sistema dobiveni korištenjem SVD su ortogonalni. SVD se također direktno primijenjuje i za nekvadratne sisteme, odnosno sisteme koji nisu opisani kvadratnom matricom.
Dekomponiranje singularnih vrijednosti Primjer 3. Promatrajmo sistem iz primjera.: G 5 4 3 5 30/08 Dekomponiranje singularnih vrijednosti od G daje: G 0.87 0.490 7.343 0 0.794 0.608 0.490 0.87 0 0.7 0.608 0.794 44 444 344 443 4 4 4 44 3 U Σ V H H Najveći iznos pojačanja 7.343 dobiva se za pravac T ulaza. v [0.794 0.608] Najmanji j iznos pojačanja j 0.7 dobiva se za pravac T ulaza v [ 0.608 0.794]. Sistem je interaktivan.
Kondicioni broj Kondicioni broj engl. Condition number Definiran je omjerom maksimalne i minimalne singularnih vrijednosti: 3/08 γ G σ G G σ G Za sistem se kaže da je slabo uvjetovan engl. illconditioned ako neke kombinacija ulaza imaju jak utjecaj j na izlaze, dok ostale kombinacije ij imaju slab utjecaj na izlaze sistema. γ G >> Da bi se ovo kompenziralo, regulator mora imati širok dijapazon različitih iznosa pojačanja u različitim pravcima. γ 7.343/ 0.7 U primjeru. ovaj broj iznosi. 7
Kondicioni broj Primjer 4. Promatrajmo model u prostoru stanja destilacijske kolone: G 87.8 86.4 08. 09. 6 3/08 Budući da su elementi matrice G mnogo veći od nema problema sa ograničenjima ulaza. Dekomponiranje singularnih vrijednosti od G: G 0.65 0.78 97. 0 0.707 0.708 4 0.78 0.65 4444 3 4 0.39 443 4 4 0.708 0. 707 44 444 3 U Pojačanje u pravcu manjeg pojačanja je približno odgovara najmanjoj singularnoj vrijednosti. Σ V H H
Kondicioni broj Ovaj proces je slabo uvjetovan, budući da je: γ 97. /.39 4.7 33/08 Za dinamičke sisteme singularne vrijednosti i njima pridruženi pravci mijenjaju se s promjenom frekvencije. Destilacijski proces Okretanje satelita 40 Singular Values 60 Singular Values 30 40 r Values db Singula 0 0 0-0 σ max S σ min S r Values db Singular 0 0-0 -40 σ min S σ max S -0-60 -30 0-0 - 0 0 0 0 Frequency rad/s -80 0-0 - 0 0 0 0 Frequency rad/s
Singularne vrijednosti za performanse Maksimalna singularna vrijednost je veoma korisna za analizu performansi i robusnosti u frekvencijskom području. Pogreška u odnosu na referentnu veličinu: e Sr Mjera performansi SISO sistema: 34/08 e ω S ω r ω Generalizacija na MIMO sisteme daje: e ω σ S jω r ω e r σ S jω
Singularne vrijednosti za performanse r e Za performanse želimo da pojačanje bude malo za bilo koji pravac rω. 35/08 Za ocjenu performansi uvodi se težina w P jω takva da je zahtjev na performanse: 35/08 ω ω S e σ ω ω w ω j w P P,, S r σ ω ω Sa skalarnom težinom performansi w P imamo: ω, ω, S S P P w j w j σ ω ω σ j
H norma Za analizu performansi zasnovanoj na singularnim vrijednostima potrebno je definirati H normu. H norma predstavlja vršnu vrijednost maksimalne singularne vrijednosti frekvencijskog odziva: 36/08 P s supσ P jω ω Zahtjev na performanse korespondira ograničenju na H normu: σ w S, ω wp S P
Upravljanje MIMO procesima Konfiguracija sistema s jednim stupnjem slobode 37/08 Postoji više načina MIMO upravljanja.
Upravljanje MIMO procesima Pretkompenzator: dizajn pretkompenzatora W s s kojim se dobiva novi oblik procesa: G s G s W s s 38/08 kojeg je lakše upravljati. Nakon toga slijedi sinteza regulatora koji se sastoji od kompenzatora i dijagonalnog regulatora K s s : K s W s K s s diag k s k s... km s Kompenzator W s je obično konstantna matrica dobivena invertiranjem realne aproksimacije Gjω u zadanoj frekvenciji ω.
Upravljanje MIMO procesima Dijagonalni regulator K s s je multivarijabilni regulator dizajniran postupkom optimiranja optimiranje H. Rasprezanje engl. decoupling Dobiva se izborom kompenzatora koji omogućuje da je G s dijagonalna matrica u odabranoj frekvenciji. Dinamičko rasprezanje: G s s dijagonalna za sve frekvencije. K s k s G s 39/08 inverse-based controller Steady-state rasprezanje: G s 0 je dijagonalna. Može se postići izborom konstantnog pretkompenzatora W s G - 0.
Upravljanje MIMO procesima Aproksimativno rasprezanje na frekvenciji ω 0 : G s jω 0 je dijagonalna, ako je to moguće postići. Može se postići izborom konstantnog W s G 0-0, gdje je G 0 realna aproksimacija od G 0 jω 0. Dobar izbor za ω 0 je frekvencija propusnog opsega. 3 Pretkomenzator i postkompenzatorp 40/08 Ukupni regulator Ks: K s W s K s s W K s s je dijagonalan s
Upravljanje MIMO procesima 4 Decentralizirano upravljanje dijagonalni reg. Korištenje dijagonalnog ili blok-dijag. regulatora. Moguće ukoliko je Gs gotovo dijagonalna matrica, odnosno postoji mali broj elemenata koji su izvan glavne dijagonale i koji nemaju velike vrijednosti. Ako imaju velike iznose tada se decentraliziranim upravljanjem ne postižu dobre performanse. 5 Kompenzacija poremećaja: K s G s G s U s e s S s Gd s d s 4/08 σ SGd, ω SGd U σ U σ U 6 Direktna sinteza MIMO regulatora Ks zasnovana na minimiziranju određene funkcije cilja npr. H optimalno upravljanje. d
Polovi MIMO sistema Definicija. Polovi p i sistema u prostoru stanja: & 4/08 x Ax + Bu 4/08 y Cx + Du su svojstvene vrijednosti λ i A, i,..., n matrice A. Karakteristični polinom φs je definiran kao: φ s det si A n s i p i Slijedi da su polovi korijeni karakteristične jednadžbe: φ s det si A 0
Polovi MIMO sistema Polovi i stabilnost Teorem. Linearni dinamički sistem x & Ax + je stabilan ako i samo ako su svi njegovi polovi smješteni u lijevoj poluravnini LHP, to jest ako je Re { λ A } < 0, i i. Matrica koja posjeduje ova svojstva naziva se stabilna ili Hurwitzova. Bu 43/08 Polovi funkcije prijenosa Teorem. Polinom polova φs kji koji odgovara minimalnoj realizaciji sistema sa funkcijom prijenosa Gs predstavlja najmanji zajednički imenitelj svih neidentičnih nul-minora svih redaka od Gs.
Polovi MIMO sistema Polovi funkcije prijenosa Primjer 5. Zadan je sistem: s s G s.5 s + s + 6 s 44/08 Minori reda su četiri elementa koji imaju nazivnik s+s+. Minor reda je: det s s + 6s G s.5 s + s +.5 s + s + Najmanji zajednički imenitelj svih minora je: φ s s + s + Minimalna realizacija ima polove: s, s
Polovi MIMO sistema Polovi funkcije prijenosa Primjer 6. Promatrajmo 3 sistem, sistem sa 3 ulaza i izlaza: 45/08 s s + 0 s G s s + s + s s + s + s s + s s + Minori reda : s,,,, s + s + s + s s + s Minor reda dobiva se brisanjem drugog stupca i računanjem determinante tako dobivene Gs: s s + s s + + s + s + s M s + s + s s + s + +
Polovi MIMO sistema Polovi funkcije prijenosa Preostala dva minora drugog reda, dobivena respektivnim brisanjem prvog i trećeg stupca, su: M s s + s +, M 3 s + s + 46/08 Najmanji zajednički imenitelj: φ s s + s + s Minimalna realizacija sistema ima četiri pola: s 4, s, s 3, 4
Nule MIMO sistema Definicija. z i je nula sistema Gs ako je rang od Gz i manji od normalnog ranga od Gs. Polinom nula definiran je kao: 47/08 z s n z s i z i gdje je n z broj nula od Gs s konačnim vrijednostima. Nule sistema u prostoru stanja Jednadžbe sistema u prostoru stanja: x 0 si A B P s, P s u y C D
Nule MIMO sistema Nule su vrijednosti s z za koju polinomska matrica sistema Ps gubi rang, dajući nulu na izlazu za neke ne-nulte ulaze: 48/08 z I C A B D x u z z 0 Nule funkcije prijenosa Definicija 3. z i je nula sistema Gs ako je rang od Gz i manji od normalnog ranga od Gs. Polinom n z nula definiran je kao z s s z i i, gdje je n z broj nula od Gs s konačnim vrijednostima.
Nule MIMO sistema Nule funkcije prijenosa Teorem 3. Polinom nula zs, koji odgovara 49/08 minimalnoj realizaciji sistema, predstavlja najveći zajednički djelitelj svih brojnika minora reda r od Gs, gdje je r normalni rang od Gs, omogućujući podešavanje ovih minora na način da imaju polinom polova φs kao svoje nazivnike. ik Primjer 7. Promatrajmo sistem opisan matričnom funkcijom prijenosa dimenzija : G s s s 4 + 4.5 s Normalni rang matrice:.
Nule MIMO sistema Nule funkcije prijenosa Minor reda : Polinom polova: s 8 s G s s + s + 4 50/08 φ s s + Polinom nula: z s s 4 Napomena: multivarijabilne nule nemaju veze sa nulama elemenata funkcije prijenosa.
Nule MIMO sistema Nule funkcije prijenosa Primjer 8. Promatrajmo sistem: s s G s.5 s + s + 6 s 5/08 Minor reda je determinanta: 6 det s s + s G s.5 s + s +.5 s + s + Polinom polova: φ s.5 s + s + Polinom nula brojnik od detgs. Slijedi da nema multivarijabilnih nula.
Nule MIMO sistema Nule funkcije prijenosa Primjer 9. Promatrajmo sistem: s s G s s + s + 5/08 Normalni rang od Gs je. Ne postoji s za koji je Gs 0, odnosno za koji bi oba elementa od Gs poprimila nulte vrijednosti Gs nema nula. Primjer 0. Promatrajmo sistem: G s s + s + s s s + 0 s s + s + s s + s s +
Nule MIMO sistema Nule funkcije prijenosa Podesimo njene mirore M, M i M 3 tako da su njihovi nazivnici: 53/08 Tada imamo: φ s s + s + s M s s s + s s + s, M s, M 3 s φ s φ s φ s Zajednički faktor za ove minore je polinom nula: z s s Slijedi da sistem ima RHP nulu pojedinačnu u s.
Pravci polova i nula MIMO sistema Matricu G promatramo kao kompleksnu matricu u prostoru stanja: G s C si A B + D Pravci nula Neka Gs ima nulu u s z, tada Gs gubi rang u s z i postoje ne-nulti vektori u z i y z takvi da je: 54/08 G z u 0, y H G z 0 z G u z vektor ulaznih pravaca nula z y z vektor izlaznih pravaca nula z y z je važniji jer daje informacije o tome koji izlaz ili kombinacija izlaza može biti problematičan za upravljanje. Vektori u z i y z mogu se naći iz SVD od Gz UΣV H.
Pravci polova i nula MIMO sistema Pravci nula u z zadnji stupac matrice V odgovara nultoj singularnoj vrijednosti od Gz, y z zadnji stupac od U. Primjer. Promatrajmo sistem: G s 0. s + s + + s Proces sistem ima multivarijabilnu nulu z 0.5, tj. Gs gubi rang u s 05 0.5. Dekompozicija singularnih vrijednosti od Gs daje: G0.5 0.45 0.89.9 0 0.7 0.7.65 0.89 0.45 44 43 4 4434 0 0 0.7 0. 7 444 3 U Σ V H H u z y z 55/08 0.7 0.7 0.89 0.45
Pravci polova i nula MIMO sistema Pravci nula Odzivi sistema na pojedinačne skokovite pobude y.5 y.5 y y 0.5 y 0 0.5 y 56/08 0 0 5 0 Vrijeme [s] 0 0 5 0 Vrijeme [s] Vrijeme [s] Vrijeme [s] - 0 5 0 u [ 0] T u [0 ] T u [ -] T RHP nula je povezana sa oba ulaza i oba izlaza. Prisustvo RHP nule je uočljivo na trećoj slici kod istovremenih promjena u pravcu djelovanja prvog i drugog ulaza y iskazuje inverzni odziv dok y nastoji zadržati nultu vrijednost pri promjeni djelovanja ulaza.
Pravci polova i nula MIMO sistema Pravci polova Neka Gs ima pol u s p, p tada Gs poprima p konačne vrijednosti i vrijedi: 57/08 H G p u, y p G p p u p vektor ulaznih pravaca polova y p vektor izlaznih pravaca polova u p i y p dobivaju se korištenjem SVD-a od Gp; u p prvi stupac matrice V odgovara konačnoj singularnoj vrijednosti od Gp, y p prvi stupac od U.
Pravci polova i nula MIMO sistema Pravci polova Primjer. Promatrajmo proces koji ima RHP nulu z 4 i LHP pol p - : G z G4 G s 3 6 4.5 s 4 s + 4.5 s 4 6 0.55 0.83 9.0 0 0.6 0.8 0.83 0.55 0 0 0.8 0. 6 0.8 0.83 u z y z 0.6 0.55 H 58/08
Pravci polova i nula MIMO sistema Pravci polova Za određivanje pravaca polova koristi se: 3 + ε 4 G p + ε G + ε ε 4.5 3 + ε 59/08 SVD za ε 0 daje: G + ε ε u p 0.55 0.83 9.0 0 0.6 0.8 0.83 0.55 0 0 0.8 0. 6 0.6 0.55 y p 0.8 0.83 Lokacije polova i nula su neovisne o skaliranju ulaza i izlaza, dok to nije slučaj sa njihovim pravcima. H
RGA engl. Relative Gain Array Mjere metrika za kvantifikaciju stupnja usmjerenosti i razine interakcije MIMO sistema: Kondicioni broj, RGA. Kondicioni broj γ strogo ovisi o skaliranju ulaza i izlaza. Ako su D i D skalirajuće matrice, tada je moguće minimizirati optimirati kondicioni broj optimalni: 60/08 γ G min γ DGD D, D Kondicioni broj može se koristiti kao mjera ulazno- izlazne upravljivosti. Ukoliko je on velikog iznosa tada imamo problem sa osjetljivošću na utjecaj neizvjesnosti.
RGA engl. Relative Gain Array RGA nesingularne kvadratne matrice G je kvadratna matrica definirana kao: RGA G Λ G G G T 6/08 gdje označava množenje element po element Schur produkt. Za matricu dimenzija sa elementima g ij imamo: λ λ λ λ Λ G λ λ ; λ λ λ λ g g RGA: neovisan o skaliranju ulaza i izlaza, suma elemenata u retcima kao i stupcima jednaka jedinici, njegova sum- norma Λ γ, predstavlja matricu identiteta jedinična sum ako je G gornjedonje trokutasta matrica. g g
RGA engl. Relative Gain Array a RGA je dobar indikator osjetljivosti na neizvjesnosti:. Neizvjesnost u ulaznim kanalima dijagonalna ulazna neizvjesnost. Procese sa velikim vrijednostima RGA oko frekvencije encije presjeka je teže upravljati zbog osjetljivosti na ovu vrstu neizvjesnosti, naprimjer, uzrokovanu neizvjesnošću ili zanemarenjem dinamike aktuatora. Upravljanje zasnovano na rasprezanju ili inverzno upravljanje ne mogu se koristiti u ovim slučajevima.. Neizvjesnost elementa. Veliki iznosi RGA impliciraju osjetljivost na utjecaj neizvjesnosti jednog elementa upravljačkog kruga na drugi. Izvor ove vrste neizvjesnosti nastaje usljed fizičke sprege između elemenata u funkciji prijenosa. 6/08
RGA engl. Relative Gain Array b RGA i RHP nule: Ako se predznak RGA elementa mijenja j kada s ide od 0 do, tada negdje postoji RHP nula. c Nekvadratni procesi funkcija prijenosa nije kvadratna matrica: Ekstra ulazi: Ako je suma elemenata u stupcu RGA mala <<, tada se može razmatrati brisanje korespondentnog ulaza. Ekstra izlazi: i Ako su svi elementi u retku RGA mali <<, tada se korespondentni izlaz ne može upravljati. d Dijagonalna dominantnost: RGA se može koristiti za mjerenje dijagonalne dominantnosti: RGA - broj Λ G I sum 63/08
RGA engl. Relative Gain Array e RGA i decentralizirano upravljanje. Integritet. Za stabilne procese izbjegavati uparivanje ili RGA elemente u stacionarnom stanju sa negativnim vrijednostima. Inače, ako su regulatori u sistemu dizajnirani neovisno, tada interakcije mogu prouzročiti nestabilnost, kada su sve petlje zatvorene ili kada petlja kojoj odgovara relativno pojačanje s negativnom vrijednošću postane neaktivna.. Stabilnost. Preferira se korištenje uparivanja kojemu odgovara RGA broj blizu 0 za frekvenciju presjeka. 64/08
RGA engl. Relative Gain Array Primjer 3. Promatrajmo dijagonalni proces Tada je: G 00 0 0 00 65/08 σ G 00 Λ G I, γ G 00, γ G σ G Kondicioni broj ima veliku vrijednost γg 00 pojačanje j procesa strogo ovisi o pravcu ulaza. Budući da je proces opisan dijagonalnom matricom nema interakcije ΛG I i γ*g γ, te je za očekivati da nema osjetljivosti na neizvjesnosti.
RGA engl. Relative Gain Array Primjer 4. Promatrajmo trokutastu matricu Slijedi: G G 0 66/08 0 σ G.4 Λ G I, γ G 5.83, γ G σ G 0.4 Za trokutastu matricu RGA je uvijek jedinična matrica i γ*g je uvijek jednak. γ j j j
RGA engl. Relative Gain Array Primjer 5. Promatrajmo proces koji u stacionarnom stanju ima funkciju prijenosa: Slijedi: G G 0.399 0.35 0.394 0. 30 87.8 86.4 08. 09. 6 ΛG 35. 34. 34. 35. γg 97./.394.7 je malo veći od γ*g γ 38.68. Suma elemenata u RGA matrici Λ 38.75 što sum odgovara tvrdnji da je za sisteme Λ γ sum kada γ*g ima veliku vrijednost. 67/08
RGA engl. Relative Gain Array Kondicioni broj γ ima veliku vrijednost, ali zbog činjenice da je minimalna singularna vrijednost σ.39veća od, to samo po sebi neće prouzročiti probleme za upravljanje. Međutim, RGA elementi i γ*g imaju velike vrijednosti, što indicira probleme za upravljanje, posebno u slučaju ako su ove vrijednosti velike u području oko frekvencije presjeka. 68/08
RGA engl. Relative Gain Array Primjer 6. Promatrajmo 3 3 proces: Slijedi: 6.8 30.5 4. 30 69/08 G 6.7 3.0.4.7 54. 5. 40.5 0.99.48 69.6 Λ G 0.4 0.97 0.45, γ G 4.6, γ G.63 0.08 0.95.03 Λ 8.86 je blizu γ*. sum sum Sume elemenata po recima i stupcima matrice Λ jednake su. σ G je veća od i RGA elementi su relativno mali nema indikacije problema za upravljanje procesom. 7.80
RGA engl. Relative Gain Array Za detaljnu analizu performansi analiza ulaznoizlazne upravljivosti, moraju se između ostalog, razmatrati singularne vrijednosti, RGA i kondicioni broj kao funkcije frekvencije. Područje oko frekvencije encije presjeka je također važno. Poremećaji smetnje i postojanje nestabilnih polova i nula RHP moraju se također uzeti u obzir pri analizi upravljačkih performansi. 70/08
Stabilnost MIMO sistema Definicija 4. Sistem je interno stabilan ako niti jedna od njegovih komponenti ne sadrži skrivene nestabilne modove i da djelovanje ograničenih vanjskih signala na bilo kojem mjestu u sistemu rezultira ograničenim izlaznim signalima mjerenim bilo gdje u sistemu. Riječ interni znači da sva stanja moraju biti stabilna, ne samo ulazi/izlazi. Definicija 5. Stabilizacija stanja, detektibilnost stanja i skriveni nestabilni modovi. Sistem je po stanjima stabiliziran ako su svi nestabilni modovi po stanjima upravljivi. Za sistem se kaže da su mu stanja detektabilna ako su svi nestabilni modovi osmotrivi po stanjima. Sistem sa nestabiliziranim i nedetektabilnim modovima sadrži skrivene nestabilne modove. 7/08
Stabilnost MIMO sistema Linearan sistem sa parom A, B može se po stanjima stabilizirati ako i samo ako postoji matrica F takva da je A+FB stabilna Hurwitz, to jest ako postoji povratna veza po stanju u Fx takva da je sistem stabilan. Ako sistem nije stabiliziran znači da matrica F ne postoji. Par A, C ima detektabilna stanja ako i samo ako postoji matrica L takva da je A+LC stabilna Hurwitz. Ako sistem nije detektibilan, tada postoje stanja u sistemu koja idu izvan granica i ne postoji način njihovog observiranja iz izlaza yt. Bilo koji nestabilan linearni sistem može se stabilizirati upravljanjem j sa povratnom vezom koje može osigurati da sistem ne sadrži skrivene nestabilne modove. 7/08
Interna stabilnost Promatrajmo SISO sistem na slici. 73/08 L GK poništenje s- RHP poništavanje polova/nula: L GK k s, S I + L s s + k Slijedi da je Ss, tj. funkcija prijenosa od d y prema y stabilna.
Interna stabilnost Međutim, funkcija prijenosa od d y prema y je nestabilna: 74/08 u K I + GK k s + d s s + k d y d y Slijedi da se za rigoroznu provjeru stabilnosti mora provesti procedura ispitivanja interne stabilnosti. Provjera polova od S i T nije dovoljna za određivanje interne stabilnosti. Za provjeru interne stabilnosti koristi se blokovski dijagram na sljedećem slajdu.
Interna stabilnost Provjera interne stabilnosti 75/08 Slika x Za internu stabilnost razmatra se: u y I + G I KG + KG d K I + GK u d y d + I + GK u d y *
Interna stabilnost Provjera interne stabilnosti Teorem 4. Zatvoreni sistem upravljanja sa prethodne slike je interno stabilan ako i samo ako su sve matrice prijenosa u * stabilne. 76/08 Teorem 5. Ako se pretpostavi da nema poništenja RHP polova i nula od Gs i Ks, tada zatvoreni sistem upravljanja sa prethodne slike je interno stabilan ako i samo ako su sve matrice prijenosa u * stabilne.
Interna stabilnost Implikacije interne stabilnosti Ukoliko Gs ima RHP nulu u s z, tada: L GK, T GK I + GK, SG I + GK G L I KG, T KG I + KG I 77/08 imaju RHP nulu u z. Ako Gs ima RHP pol u s p, tada: L GK i L I KG imaju RHP pol u p, dok S I + GK, KS K I + GK, S I + KG I imaju RHP nulu u p.
Stabilizirajući regulatori Stabilan proces Stabilizirajući regulatori osiguravaju internu stabilnost zatvorenog sistema upravljanja. Koristi se Q ili Youla parametrizacija. Teorem 6. Za stabilan proces Gs, sistem sa negativnom povratnom vezom na slici x. je interno stabilan ako i samo ako je Q K I + GK stabilna matrica. Dokaz: Matrice prijenosa iz * su: K I + GK Q I I G I + GK + KG + KG I I GQ QG G I 78/08 QG
Stabilizirajući regulatori Stabilan proces Navedene matrice su stabilne ako su G i Q stabilne. Slijedi da će sa G sistem biti interno stabilan ako i samo ako je matrica Q stabilna. Parametrizacija svih stabilizirajućih regulatora sistema sa negativnom povratnom vezom sa stabilnim procesom: 79/08 K I QG Q Q I GQ ** gdje Q predstavlja bilo koju stabilnu matricu prijenosa.
Stabilizirajući regulatori Stabilan proces Parametrizacija ** identična je IMC Internal Model Control parametrizaciji stabilizirajućih regulatora. IMC struktura je interno stabilna ako je bilo koja od matrica G i Q stabilna. 80/08
Stabilizirajući regulatori Nestabilan proces Koprim faktorizacija. Za nestabilni proces Gs promatrajmo njegovu koprim faktorizaciju: G s N r M r M l N l 8/08 Parametrizacija ij svih stabilizirajućih i regulatora sistem sa povratnom vezom procesa Gs: K s V QN U + r l r QM l gdje V r i U r zadovoljavaju Bezoutov identitet za koprim faktorizaciju s desna i Qs je bilo koja stabilna funkcija prijenosa koja zadovoljava uvjet: det V r Q N l 0
Stabilnost u frekvencijskom području Nyquistov kriterij za MIMO sisteme Promatrajmo sistem s neg. povratnom vezom: 8/08 G s N r M r M l N l Pretpostavimo da nema internog poništavanja RHP polova i nula matrične funkcije prijenosa Ls, odnosno da ona nema nestabilnih ih skrivenih ih modova. Generalizirani Nyquistov dijagram predstavlja krivulju deti + L jω za ω [-, ].
Stabilnost u frekvencijskom području Nyquistov kriterij za MIMO sisteme Teorem 7. Generalizirani Nyquistov teorem. Neka P ol označava broj nestabilnih polova funkcije prijenosa otvorenog sistema Ls. Zatvoreni sistem upravljanja sa negativnom povratnom I + Ls - je stabilan ako i samo ako Nyquistov dijagram od deti + Ls: obilazi P ol puta oko ishodišta u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, ne prolazi kroz ishodište. 83/08
Robusnost MIMO sistema Mjere robusnosti amplitudno GM i fazno osiguranje PM GM L jω PM L j c L jω 80 L j ωc 80 80 0 ω + 80 0 84/08
Robusnost MIMO sistema Razmatranje dva primjera radi ilustracije osjetljivosti na neizvjesnosti koja se ne javlja kod SISO sistema. 85/08 Fokus je na dijagonalnoj ulaznoj neizvjesnosti, koja djeluje između regulatora i procesa. 85/08 Primjer 7. Razmatra se upravljanje ugaonom brzinom satelita oko jedne od glavnih osi: + + + a s s a s a a s a s s G Minimalna prezentacija je: D B A I C G + s 0 0 a 0 0 0 0 a a s s B A G 0 0 0 0 a a D C
Robusnost MIMO sistema Za stabilizaciju polova s ± jω koristi se jednostavan dijagonalni regulator Slijedi: K I 86/08 T s GK I + GK s a + a Zatvoreni sistem ima dva pola u s - i on je stabilan. Ovo se može provjeriti računanjem matrice stanja zatvorenog sistema A cl, koja se dobiva iz: x& Ax + Bu, y Cx, u Ky
Robusnost MIMO sistema Kombiniranjem prethodnih izraza dobiva se: A cl A BKC 0 a a 0 87/08 a 0 a 0 Nominalna performansa Singularne vrijednosti od na slici. L GK G 40 Singular Values 30 Singular Values db 0 0 0-0 σ max S σ min S -0-30 0-0 - 0 0 0 0 Frequency rad/s
Robusnost MIMO sistema σ, ω Budući da je slabe upravljačke performanse u smjeru malog pojačanja. Vandijagonalni elementi u Ts indiciraju jaku interakciju u zatvorenom sistemu i slabe performanse. Robusna stabilnost Određivanje osiguranja rezerve stabilnosti s obzirom na poremećaje u svakom ulaznom kanalu. 88/08
Robusnost MIMO sistema Promatra se jedna petlja u jednom vremenskom trenutku, na prethodnom slajdu to je petlja prvog ulaza, čija je funkcija prijenosa: L s GM, PM s 90 o 89/08 Ako isječemo drugu petlju dobit ćemo isti rezultat. Promatrajmo poremećaj u svakom ulaznom kanalu neizvjesnost u pojačanju č j ulaznog kanala: u + u + e u, u e gdje e i e predstavljaju relativne pogreške pojačanja u pojedinom ulaznom kanalu.
Robusnost MIMO sistema Važno je istaći da je dijagonalna ulazna neizvjesnost, koja proizlazi iz naše nemogućnosti da znamo tačne vrijednosti manipulirajućih ulaza, uvijek prisutna. Ove neizvjesnosti možemo prikazati matricom: + e 0 B 0 + e 90/08 Matrica stanja zatvorenog sistema: A cl 0 a + e 0 a A B KC a 0 0 + e a Karakteristični polinom: det s I A cl s + + e + e s + + e + e + a + ee 443 4 444 4444 3 a a 0
Robusnost MIMO sistema Ovaj sistem zahvaćen poremećajem je stabilan ako i samo ako su oba koeficijenta a i a pozitivna. Sistem je uvijek stabilan ako se uzima u obzir poremećaj u samo jednom kanalu, s tim da pojačanje č j u tom kanalu mora biti pozitivno. Drugim riječima imamo stabilnost za: 9/08 < e <, e 0 i e 0, < e < što je potvrđeno i velikim iznosom GM-a. Sistem može tolerirati samo male promjene u drugim kanalima. Ako je e e, sistem je nestabilan a < 0 za: e > 0. a +
Robusnost MIMO sistema Sumarno: Provjera rezervi fazna i amplitudna stabilnosti pojedinačnih petlji nije adekvatno za MIMO sisteme. σ T iσ S Visoke vrijednosti ukazuju na probleme robusnosti. 9/08 Primjer 8. Destilacijski proces kolona. Idealizirani dinamički model: Gs 87.8 86.4 75s + 08. 09. 6 Ovaj proces je detaljno analiziran u primjeru 4.
Robusnost MIMO sistema Proces je slabo uvjetovan jer je γ 4.7 na svim frekvencijama. Proces je strogo interaktivan i RGA matrica je: RGAG 35. 34. 34. 35. Visoke vrijednosti elemenata RGA matrice ukazuju da je veoma teško upravljati ovim procesom. Promatrajmo na inverziji zasnovan regulator engl. inverse based controller, koji se također može promatrati ti kao raspregnuti regulator sa PI djelovanjem: k k + 75 s 0.3994 0.349 K inv s G s, 0.3943 0.300 k s s 93/08 0.7
Robusnost MIMO sistema Nominalna performansa 0.7 Imamo da je G s K inv s K inv s G s I s Ako nema pogreške u modelu ovaj regulator može se suprostaviti interakcijama u procesu. Na slici se vide odzivi dva raspregnuta sistema prvog reda sa vremenom e porasta a /0.7.43 min. 94/08 3.5 Nominalni model: puna linija Perturbirani model: isprekidana linija lazi Iz.5 0.5 0 y y -0.5 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Vrijeme [min]
Robusnost MIMO sistema Rezultati su dobiveni sa pretfiltriranjem referentnog ulaza r /5s+ i 0% neizvjesnosti u pojačanju: u u + 0. u.u, u 0. u 0. 8 95/08 Iz odziva za nominalni i proces zaključuje č j se da su nominalne performanse postignute sa raspregnutim regulatorom. Funkcije osjetljivosti i komplementarne osjetljivosti sa ovim regulatorom su: S S I s I, T TI s + 0.7.43 s + σ T i σ S Budući dasu manjiodnasvim na frekvencijama nema šiljaka koji ukazuju na probleme robusnosti. I
Robusnost MIMO sistema GM, PM 90 Za ovaj regulator je u svakom kanalu. Robusna stabilnost Neizvjesnosti ulaznih pojačanja: u u + 0. u.u, u 0. u 0. 8 o 96/08 same po sebi ne dovode do nestabilnosti. Ovo se može provjeriti računanjem polova zatvorenog sistema i uz pretpostavku da nema poništenja polova i nula dobiva se: det I + L s det I + L s I 0
Robusnost MIMO sistema U ovom slučaju imamo: L s I K inv G K inv + e 0 0.7 + e 0 97/08 G 0 + e s 0 + e gdje su polovi zatvorenog sistema s djelovanjem poremećaja: s 0.7 + e, s 0.7 + e Slijedi da će sistem biti stabilan dok god ulazna pojačanja +e i +e poprimaju pozitivne vrijednosti. Robusna stabilnost je postignuta sa raspregnutim regulatorom s obzirom na pogreške ulaznog pojačanja.
Robusnost MIMO sistema Robusne performanse RP SISO sistemi: NP+RS RP MIMO sistemi: NP+RS RP Ovo se uočava sa odziva sistema bez poremećaja nominalni i sistema sa poremećajem. Odziv sistema podvrgnutog poremećaju se značajno razlikuje od nominalnog, pa i ako je sistem stabilan, odziv nije prihvatljiv. Slijedi da robusne performanse nisu postignute t sa raspregnutim regulatorom. 98/08
Opća formulacija problema upravljanja Cilj: dizajnirati regulator K kojim će se minimizirati neka norma funkcije prijenosa od w prema z. Pronaći regulator K koji će na temelju dobivenih infromacija v sa senzora generirati upravljački ulaz u koji će se suprostaviti djelovanju w na z, na način da se minimizira norma funkcije prijenosa od w ka z. 99/08
Opća formulacija problema upravljanja Kod sinteze H i H regulatora pretpostavlja se da je poznat proces P, odnosno njegova funkcija prijenosa. Za izvođenje P i K potrebno je načiniti prvo blokovski dijagram sistema i identificirati signale w, z, u i v. Primjer 9. Konfiguracija s jednim stupnjem slobode. 00/08
Opća formulacija problema upravljanja Identifikacija signala generaliziranog procesa: w w d w r ; z e y r; v r ym w3 n 0/08 r y n Na temelju slike s prethodnog slajda imamo: z y r Gu + d r Iw Iw + w + Gu 0 3 v r ym r Gu d n Iw + Iw Iw3 Gu [ w ] T [ ] T Matrična funkcija prijenosa od u prema z v : P I I I I 0 I G G
Opća formulacija problema upravljanja Signal kojeg treba minimizirati je signal pogreške: Ekvivalentni prikaz: z e y r 0/08
Opća formulacija problema upravljanja Promatrajmo ponovo sistem: 03/08 Imamo: y GK r y n + Gd d I + GK y GK r n + G d d Iz čega slijede matrične funkcije prijenosa: y d I + GK GK r 44 443 T + I + GK G 443 Pogreška upravljanja i upravljački ulaz: S d I + GK GK n 44 443 T e r y Sr + SGd d Tn, u KSr KSGdd KSn
Opća formulacija problema upravljanja Zahtjevi kod sinteze regulatora: Kompenzacija gušenje poremećaja: S treba biti što je moguće manji da bi se smanjio utjecaj poremećaja na sistem: S jω << Povećati što više pojačanje otvorenog kruga. Praćenje referentnog ulaza: Osjetljivost sistema S mora se držati malom kako bi pogreške bile male: S jω << Kompenzacija djelovanja šuma: Da bi se smanjio učinak šuma mjerenja na izlaz i pogrešku sistema komplementarna osjetljivost sistema mora biti mala: T jω << 04/08 Pojačanje otvorenog kruga mora biti malo.
Opća formulacija problema upravljanja Ograničenje aktuatora: Iz izraza za upravljački ulaz: u KSr KSGd d KSn 05/08 slijedi da se KS mora ograničiti kako bi se osiguralo da izvršni signal, kojim se djeluje na proces, bude unutar raspoloživih energetskih resursa: KS K I + GK S jω GK << K I + GK GK Navedeni zahtjev će biti zadovoljen ako se komplementarna osjetljivost drži malom: G T T jω << Na ovaj način će se smanjiti i energija potrebna za upravljanje.
Phase 0 0 0 0 0 - Opća formulacija problema upravljanja Osjetljivost S daje relativnu osjetljivost funkcije prijenosa zatvorenog sistema T u odnosu na relativnu pogrešku modela procesa: 06/08 S dt dg Utjecaj smetnje na osjetljivost: T T G y SG d d S jω < smanjenja osjetljivost povećana S jω > L osjetljivost j 0 - wb wc wbt 0-0 - 0 0 0 S Frequency [rad/sec] na ω c : L jω c na ω B : S jω B na ω BT : T jω BT
Opća formulacija problema upravljanja Ukoliko želimo smanjiti učinak djelovanja poremećaja d i učinak šuma mjerenja n tada osjetljivosti S i T trebaju biti što manje. Međutim to nije moguće istovremeno postići jer je Ss + Ts I. Ako na nekoj frekvenciji S smanjimo blizu nule, slijedi da će na istoj frekvenciji T biti blizu jedinici. Kopromis: na niskim frekvencijama obično djeluju poremećaji na sistem dopušta se da S bude malo, a na visokim frekvencijama obično djeluju šumovi mjerenja se T smanjuje. 07/08
Opća formulacija problema upravljanja Sistem sa neizvjesnostima Minimizirati normu funkcije prijenosa od w ka z u prisustvu neizvjesnosti Δs tako da je Δ s. 08/08