ODREĐIVANJE OSNOVNE FORME I PERIODA OSCILOVANJA GRAĐEVINA PRIBLIŽNIM METODAMA Zlatko MAGLAJLIĆ Goran SIMONOVIĆ Rašid HADŽOVIĆ Naida ADEMOVIĆ PREDHODNO SAOPŠTENJE UDK: 624.042.3 = 861 1. UVOD Građevinski objekti su toku eksploatacije izloženi dejstvu stalnog i pokretnog opterećenja. U toku projektovanja konstrukcije, posebno za slučaj opterećenja koja se mijenjaju sa vremenom potrebno je odrediti osnovne dinamičke karakteristike sistema. Od interesa je u fazi analize mogućih konstruktivnih sistema procijeniti periode i forme oscilovanja. U današnje vrijeme kada je primjena računara u građevinskom konstrukterstvu postala uobičajena to je veome jednostavno uraditi. Ali zbog velikog broja podataka o konstrukciji i materijalu postoji mogućnost pojave greške kod unosa podataka. Iz tih razloga pogodno je primjeniti i neki od približnih postupaka određivanja osnovnog perioda i fome oscilovanja. Kod primjene približnih postupaka moguće je sa nekoliko osnovnih podataka o konstrukciji procijeniti period oscilovanja. Na taj način se do traženog podatka može doći i uz primjenu običnih ili programibilnih kalkulatora. 2. UNUTRAŠNJE SILE KONSTRUKCIJE U projektantskoj praksi za analizu dinamičkih karakteristika konstrukcije predpostavlja se da je materijal linearno-elastičan, odnos sila-pomjeranje P-δ je dat izrazom (1) 72 P=K*δ, (1) Adrese autora: Prof. dr. Zlatko Maglajlić dipl.građ.inž. Ass. Goran Simonović, dipl.građ.inž., V. ass. Naida Ademović, dipl.građ.inž Građevinski fakultet u Sarajevu, 71000 Sarajevo, Patriotske lige 30., BiH., V. ass. Rašid Hadžović, dipl.građ.inž.građevinski fakultet u Mostaru, Univerzitet «Džemal Bijedić» Mostar, Univerzitetski sportski centar «Midhat Hajdur-Hujko», 88104 Mostar, BiH. gdje je K krutost elementa ili konstrukcije. Rad sile konstrukcije P(δ) na pomjeranju δ je, [1,2]. A=1/2*P*δ =1/2*Kδ*δ=1/2*K*δ 2. (2) Rad A prema izrazu (2) je potreban za deformaciju konstrukcije usljed spoljašnjeg opterećenja ili predstavlja mogućnost da konstrukcija izvrši rad pri vraćanju iz deformisanog u nedeformisano stanje. 3. OSCILOVANJE GRAĐEVINE SA JEDNOM I VIŠE MASA Problem oscilovanja konstrukcije sa jednom masom razmatran je u brojnoj literaturi iz dinamike konstrukcija. Analiza se može primjeniti na prostu gredu, gredu sa prepustom, ramovske sisteme, konzolu za određivanje sopstvenog perioda i forme oscilovanja konstrukcije, [2-7]. Primjenom Dalambert-ovog principa odnosno dinamičke jednačine ravnoteže dobija se jednačina vertikalnog kretanja mase koja je elastično vezana za podlogu, Sl. 1., m*d 2 η/dt 2 +kή-mg=0 gdje je y(t)=y st +η(t) (3) gdje su m masa, η(t) tekuća koordinata od koordinatnog početka, y(t) koordinata od ugiba mase mjerena od pomjeranja y st usljed statičkog opterećenja težine mase m, k krutost opruge(odnosno krutost sistema), g ubrzanje zemljine teže. Izraz (3) dimaničke jednačine ravnoteže pri kretanju mase se može transformisati u oblik homogene diferencijalne jednačine kretanja, y+ω 2 y=0 gdje je ω=(k/m) 1/2 =(g/y st ) 1/2 (4) gdje je ω kružna frekvencija slobodnih svojstvenih neprigušenih oscilacija, m masa koja osciluje i k krutost sistema.
k y st Slika 1. Sistem sa jednom masom y η kη m*d 2 η/dt 2 mg U slučaju sistema sa jednim stepenom slobode kretanja amplituda pomjeranja y max se određuje prema opštem rješenju diferencijalne jednačine kretanja oblika y=y 0 *cosωt+vo/ω*sinωt; y max =(y 0 2 +v 0 2 /ω 2 ) 1/2, (5) gdje je y 0 početno odstupanje i v 0 početna brzina kretanja za t=0, ω=2π/t kružna frekvencija, a T period svojstvenih neprigušenih oscilacija. Kružna frekvencija ω i sopstveni period oscilovanja T sistema sa jednim stepenom slobode pomjeranja (jednom masom) se određuju iz izraza (6), ω = g/y st = 1/M δ aa -> T=2π/ω, (6) n = 60/T ~ 300/ gdje je g ubrzanje zemljine teže, y st pomjeranje na mjestu mase usljed dejstva sile jednake težini Q mase M, n je broj vibracija u jednom minutu, gdje se u izrazu za n, y st usvaja u (cm). Ako sistem ima više masa tada se govori o sistemu sa više stepeni slobode kretanja. Kod svojstvenih slobodnih oscilacija frekvencije svih masa su međusobno jednake, dok se amplitude pojedinih masa razlikuju. Ako je pomjeranje masa oblika y=a sin(ωt+α) sistem homogenih jednačina po amplitudama A primjenom matrice fleksibilnosti D je A - DMω 2 A=0. (7) Kada je determinata koeficijenata uz veličine amplituda (1-DMω 2 ) jedaka nuli tada se mogu odrediti frekvencije ω i odgovarajuće forme elastičnih linija oscilovanja y. det(dm - 1/ω 2 *E)=0. (8) Primjenom matrice reakcija(matrica krutosti) dobija se drugi oblik izraza (7) i (8) (K-ω 2 M)A=0, (9) det(k-ω 2 M)=0 (10) Za određivanje svojstvenih formi i odgovarajućih perioda oscilovanja postoji više metoda razrađenih u dinamici konstrukcija koje se mogu naći u literaturi [2,3,5,6] i drugoj. y st 4. PRIBLIŽNE METODE ODREĐIVAVNJA ω 1, T 1, y I1 Uobičajeno je da se u analizima sistem sa beskonačnim brojem stepeni slobode pomjeranja zamijeni sa konačnim brojem masa. Primjenom metoda dinamike konstrukcija ili računara moguće je odrediti periode i forme sopstvenih oscilacija. Pored primjene računara za analizu složenih sistema pogodna je i primjena nekih od približnih metoda jer se do rješenja dolazi relativno lako i brzo, a rezultati su dovoljno tačni za primjenu u inženjerskoj praksi. Za građevinske konstrukcije, EC8[6/dio C3], u idejnim projektima može se primjeniti približni izraz za određivanje osnovnog perioda oscilovanja objekta T 1, T 1 = 2* d (11) gdje je T 1 period oscilovanja u (sec), d horizontalno pomjeranje vrha građevine u metrima usljed gravitacionog opterećenja koje djeluje u horizontalnom pravcu. Približna metoda pogodna za određivanje prve sopstvene učestalosti ω 1 je metod redukcije cjelokupne mase konstrukcije sa jednom koncentrisanom masom[ 2,7,8,9]. U ovom slučaju oscilacija jedne mase učestalost (kružna frekvencija) je data izrazom (12), ω = C/M red = 1/(K red *M*δ aa ). (12) Koeficijent redukcije K red =M red /M se određuje iz uslova jednakosti kinetičke energije sistema sa konačnim brojem masa i jednom redukovanom masom M red K red =(ΣQ i y i 2 +ΣM i ϕ i 2 +q y 2 ds)/qy a 2, (13) gdje su Q i, M i postojeća opterećenja od koncentrisanih sila i momenata savijanja npr. opterećenja na konzolnim ispustima, q težina elemenata konstrukcije po jedinici dužine, Q ukupna težina konstrukcije koja je skoncentrisana na mjesto mase M, a y i,ϕ i, y pomjeranja konstrukcije na mjestu djelovanja odgovarajućih opterećenja Q i, M i, q i y a pomjeranje konstrukcije na mjestu redukovane mase M red. Izrazima (12,13) prema sl. 2., dobijaju se približni rezultati učestalosti(kružna frekvencija) ω 1 koji se mogu primjeniti u praksi, [2,4,5,7,8,9]. Ako je potrebno odrediti sa povećanom tačnošću periode osnovnog i viših sopstvenih tonova može se primjeniti metod postupnog približavanja, [2,7,8]. Osnovna forma oscilovanja se pretpostavlja y 0, odrede sile P=M*y koje izazivaju pomjeranja y 1. Učestalost je jednaka ω 2 1 =y 0 /y 1 u prvoj odnosno ω 2 n =y n-1 /y n u n-toj iteraciji. Ako za sve tačke sa koncentrisanim masama važi približna jednakost y n-1,i ~ω 2 1 *y n,i postupak nije potrebno ponavljati. U slučaju većih odstupanja postupak se ponavlja prema poslednjoj određenoj formi oscilovanja y 1 odnosno y n-1. Za određivanje kružne frekvencije sistema ω 1 može se koristiti i izraz (14) gdje su sile P i =M i *y n-1,i pa je, ω 1 2 =g*σm i *y 0,i *y 1,i / ΣQ i *y 1,i 2 =g*σp i y 1,i / ΣQ i y 1,i 2. (14) Korigovana forma oscilovanja se dobija iz izraza y 0,i =ω 1 2 *y 1,i. Postupak brzo konvergira i ako je forma oscilovanja dobro izabrana zadovoljavajući rezultat se može dobiti već u prvoj iteraciji. Viši tonovi oscilovanja mogu se dobiti na sličan način, ali oni moraju da 73
zadovoljavaju uslov ortogonalnosti, koji je za I i II formu oscilovanja oblika Σm i *y I i *y II i =0, gdje je m i =Q i /g. Na šemi postupka oznaka -> predstavlja ugib konstrukcije y usljed sila q j na mjestu j, ordinate pomjeranja y u proizvodu Q*y norm su normirana tj. y norm i =y i /y max 1, [2,5,7,8]. v i =dy(t)/dt=y i *ω*cosωt, gdje je y i amplituda oscilacija. U istom trenutku sve mase sistema prolaze kroz nulti položaj y=0 kada je sinωt=0, odnosno kada je ωt=0; π; 2π,. Brzina pomjeranja posmatrane mase u nultom položaju (y=0) je v i =ωy i *cosωt=ωy i *1=ωy i,[2,8]. Ako je elastična linija forme oscilovanja sa ordinatama y i posljedica dejstva sila S i na mjestu masa M i, tada je potencijalna energija deformisanog sistema jednaka kinetičkoj energiji pri prolazu sistema kroz ravnotežno stanje prije deformacije, (y=0) [2,5,8,10]. pote=1/2*σs i *y i = kin E=1/2*ΣM i *(ωy i ) 2, v i =ωy i (15) Kod metode postupnog približavanja vodeći računa o ugibima y 0 i y 1 potencijalna i kinetička energija sistema je pote=1/2*σy 0 i *y 1 i *M i ; kin E=1/2*ΣM i *ω 2 *y 1 i 2, (16) kružna frekvencija ω se određuje prema uslovu pot E= kin E odnosno izrazima (15,16,17) ω 2 =Σy 0 i *y 1 i *M i /Σy 1 i 2 *M i. (17) Slika 2. Metoda redukcije masa-konzola Neka su slobodne harmonijske oscilacije masa i građevine date izrazom y(t)=y i *sinωt, tada je brzina pomjeranjav i (t) izvod pomjeranja po vremenu Osnovni period oscilacija T 1 i odgovarajuća kružna frekvencija ω 1 konzole sa raspodijeljenom masom m i krutosti EI=const. dati su izrazima (18), T 1 =2π/3.515*l 2 *(m/ei) 0.5 ; ω 1 =2π/T 1 (18) ω 1 =3.515*(EI g/q) 0.5 *(1/l 2 ). Slika 3. Metoda postupnog približavanja-osnovna forma oscilacija Slika 4. Konzola sa raspodijeljenom masom i ekvivalentnim opterećenjem 74
Ako je konzola na sl. 4. opterećena horizontalnim silama koje odgovaraju težini q=m*g raspodijeljene mase m, statički ugib y st kraja kozole(vrha građevine) je y st =ql 4 /8EI. (19) Kada se proizvod EI iz izraza (19) uvede u (18) dobija se osnovna kružna frekvencija ω 1 konzole sa raspodijeljenim teretom q, izraz (20), pri čemu je potrebno odrediti ugib konzole y st od horizontalnog opterećenja koje odgovara težini q,[2]. ω 1 =1.21*(g/y st ) 1/2 (20) Izraz (20) se može primijeniti za određivanje kružne frekvencije i perioda oscilovanja ω 1 i T 1 kozole sa koncentrisanim masama, a to je čest slučaj kod visokih objekata u građevinarstvu. Ukoliko se analiziraju dinamičke karakteristike ω, T, y okvirnih konstrukcija približnim metodama moguća su dva slučaja veze grede i stubova, grede su znatno veće krutosti u odnosu na stubove(mogu se smatrati nedeformabilnim) i grede su deformabilne. Slučaj 1(okviri). Često se u praksi javljaju okvirne konstrukcije kod kojih su grede znatno veće krutosti u odnosu na stubove. Pri određivanju formi i perioda oscilovanja grede se mogu pretpostaviti beskonačne krutosti. U tom slučaju treba voditi računa o vezi stubova i greda, kruta ili zglobna, sl. 5. Relativna pomjeranja spratova i statički ugib y st grede na vrhu objekta su posljedica deformacije stubova, pa je potrebno primjeniti uobičajene metode statike konstrukcija. U proračunu relativnih pomjeranja greda spratova treba voditi računa o vezi stubova za grede. Na šemi su data tri stuba tipa «K» i jedan tipa «g». Prema datoj šemi stubova, horizontalna sila ΔH i koja odgovara relativnom pomjeranju Δ spratova je, ΔH i =2*(M 1 +M 2 +M 4 )/h i +M 3 /h i (21) H 1 I g = Dijagram momenata savijanja (svi stubovi kruto vezani za H 2 I g = h 1 grede beskonačne krutosti) I s i h 2 H i H n I g = h i I s j +/-M=(ΣH i *h i /2)/s 1 p s broj stubova I s i=const. Slika 5. Okvirna konstrukcija, grede velike krutosti(k g ~ ) Dijagram momenata savijanja Elastična linija y(g) G 1 I g1 h 1 +/-M 1 =(G 1 *h 1 /2)/s G 2 I g2 h 2 y(g) y st I s i 1-s I s i=const. G i G n I gn h i I s j 2*h i /2 +/-M i =(ΣG i *h i /2)/s M n =(ΣG n *h n /3)/s 1 p h n s 2/3*h n Slika 6. Okvirna konstrukcija odnos (K g >K s ) M nu =2*(ΣG n *h n /3)/s 75
Relativna pomjeranja spratova Δ su potrebna za određivanje osnovnog i viših formi oscilovanja, pa se može primjeniti iterativni postupak postupnog približavanja dat izrazima (14-17) i sl. 3. Ukoliko se grede ne mogu pretpostaviti kao beskonačno krute za relativna horizontalna pomjeranja greda i pomjeranje vrha objekta se može primjeniti približni postupak, sl. 6., dat u literaturi [2]. Po ovom približnom postupku pretpostavlja se da su nulte tačke linije momenata savijanja na polovini visine stubova svih spratova osim u prizemlju gdje se usvaja na 2/3 visine stubova u prizemlju. Prema ovako predpostavljenom dijagramu momenata savijanja stubova treba odrediti pomjeranje y st gornjeg sprata, usljed horizontalnih sila koje su jednake težini mase spratova G i, sl. 6. Tada je kružna frekvencija ω 1 i period oscilovanja T 1 okvirne konstrukcije dati izrazom (22), ω 1 = 1.21* g/y st ; T 1 =2π/ω 1. (22) U izrazima (20-22) za određivanje kružne frekvencije ω 1 i perioda oscilovanja T 1, pomjeranja greda spratova su određena uvodeći uticaj krivine štapa κ(m) koja zavisi samo od momenata savijanja stubova ili stubova i greda prve etaže. U krajnjim stubovima okvirnih konstrukcije javljaju se normalne sile +/-N koje su posljedica momenata savijanja usljed dejstva horizontalnog opterećenja. Na pomjeranja okvirne konstrukcije usljed momeanta savijanja greda i stubova pogodno je uzeti u obzir i uticaj normalnih sila stubova. Odnos pomjeranja okvirne konstrukcije od uticaja momenata savijanja i normalnih sila dat je izrazom (23), w M + w N = w (23) w N /w M ~ n 2 (m+1)d h 2 /(2m 2 l 2 ) gdje je, m broj greda jednog sprata, (m+1) broj stubova, n broj spratova, d h dimenzija stubova i l horizontalno rastojanje stubova odnosno raspon greda,[10], (oznake m, n d h su preuzete iz date literature). Treba ukazati da je kod proračuna horizontalnih pomjeranja okvirnih konstrukcije sa malim brojem stubova veoma važno uvesti deformacije od momenata savijanja i normalnih sila. Ukoliko se zanemari deformacija koja je posljedica normalnih sila mogu se javiti «grube greške» u proračunu pomjeranja i perioda oscilovanja posebno kod konstrukcija sa manjim brojem stubova,(literatura [10], izdanje 1969., prevod 1979. Građevinska knjiga, Beograd, 1979.) Slučaj 2(okviri). Grede nisu beskonačno krute (I g ) u odnosu na stubove. U slučaju primjene približnih postupaka veoma je važno voditi računa o odnosu krutosti K=EI/L greda i stubova. Ako je odnos krutosti greda u odnosu na stubove(k g >K s ; K g ~K s ; K g <K s ) pogodno je koristiti približni postupak dat u literaturi [13] koji uvodi uticaj odnosa krutosti greda i stubova. Okvir se zamjenjuje sa konzolom koja je opterećena raspodijeljenim opterećenjem od koncentrisanih sila težine spratova, a uticaj greda se uvodi sa kontinuirano raspodijeljenim momentima elastično uklještenih greda. Prema postupku u lit.[13] kružna frekvencija ω 1 je data izrazima (24) ω 1 = (ω q 2 +ω m 2 ) 1/2 ω q =3.515/H 2 *(EΣI s /m) 1/2 (24) ω m =π/2h*(k/m) 1/2, gdje je H ukupna visina okvira, E modul elastičnosti materijala, zbir momenata inercije stubova ΣI s, Q težina jedne etaže, m=q/(h*9.81) raspodijeljena masa konzole. U izrazu (27) se javlja i faktor k koji približno predstavlja uticaj elastične veze greda sa stubovima. k=n*(6ei g /L) (24.1) gdje n predstavlja broj elastično vezanih krajeva greda za stubove, u ovom slučaju na sl.7. je n=2*2=4, I g i L momenat inercije i dužina greda okvira,[13]. E; ΣI s q=q/h m H=n*h Q i 2*L Slika 7. Okvir zamijenjen sa konzolom 76
5. PRIMJERI Zidovi konzole Primjer 1. Primjenom numeričkih metoda(metoda postupnog približavanja) analizirane su elastične forme oscilovanja konzole sa jednom masom, sa sedam odnosno osam masa. Amlitude pomjeranja masa su normirane prema amlitudi na vrhu objekta i date su u tabeli 1, [7,8]. Iz rezultata proračuna u tabeli 1 se može vidjeti da se osnovna forma oscilovanja konzole sa jednom, sedam i osam masa može približno usvojiti prema izrazu x 1.6 =(h/h) 1.6. Osnovni period oscilovanja konzole visine 7*3.0m=21.0m sa sedam koncentrisanih masa težine (6*622.1+740.7 kn) prema tabeli 1. sa EI=1.3064*10 7 knm 2 je određen; - po metodi postupnog približavanja, - metodi konačnih elemenata[8] i - postupku redukcije masa sa jednom masom, mjestom redukcije y red =0,722*H koristeći približnu formu oscilacija y pribl. norm. =(x/h) 1.6. Metoda postupnog približavanja T 1 =1.202 s. Metoda konačnih elemenata T 1 =1.208 s. Metoda redukcije masa(y~(x/h) 1.6 ) T 1 =1.230 s. Primjer 2. Forme oscilovanja konzole sa neravnomijerno raspoređenim masama po visini analizirana je u literaturi [5]. U tabeli 2. date su amlitude oscilacija prema dinamičkoj analizi i približno usvojenoj formi oscilacija y=(x/h) 1.6. Tabela 1. 1.0 1.0 1.0 0.634 0.668 X 1.6 0.631 4*0. 25H 0.312 0.346 0.330 0.086 0.098 0.109 EI=const. EI=const. 740.7kN 1.0 740.7kN 1.0 0.037EI 0.653 0.638 7*3.0 6*622.1kN 0.338 0.327 =2 1.0 8* 3. 0 0.101 =24 0.094 EI=const. EI=const. Tabela 2. x/h Mase y norm. y pribl. =(x/h) 1.6 (Greška aml.) 0.333 2M 0.159 0.172 (+8.2%) 0.666 M 0.535 0,523 (-2.2%) 1.000 M 1.000 1.000 (0%) Σm*y 2 1.337 1.333 M h/3 h/3 h/3 M 2*M EI=const. Slika 8. Konzola sa tri mase 2M; M; M 77
Prema analizi nekoliko različitih slučajeva konzola za približnu analizu osnovnog perioda oscilacija može se predložiti forma oscilovanja, y norm. približno=(x / H) 1.6, EI ~ const. (25) Približna osnovna forma oscilacija (x/h) 1.6 se može koristiti kao početna forma kod primjene metode postupnog približavanja[2,8] i kao forma za približnu metodu redukcije više koncentrisanih masa konstrukcije jednom masom. Treba napomenuti da kada je krutost konzole promjenljiva pogodno je koristiti postupak prema izrazu (22), gdje se pomjeranje vrha građevine y st može odrediti uobičajenim metodama statike konstrukcija ili računarom. Okvirne konstrukcije Grede su znatno veće krutosti(k g =EI g /L>>K s =EI s /h) u odnosu na stubove Pomjeranje vrha građevine y st od horizontanih sila H i =G i se može odrediti približno po postupku datom na sl. 5. i izrazom (21) ili računarom. Frekvencija ω 1 se određuje prema izrazu (22), ako se pomjeranje y st određuje računarom mogu se očekivati manja odstupanja od rješenja povećane tačnosti. Sa usvojenom formom oscilacija može se primjeniti metoda redukcije masa cijele konstrukcije. Analizom konstrukcije (okvir 1) sa jednakim brojem stubova i greda (I g ~ ) po visini objekta i masama M i =M metodom postupnog približavanja je određena forma oscilovanja okvirne konstrukcije koja je data u tabeli 3. Predložena je i približna forma oscilovanja konstrukcije, izraz (26), vrijednosti normiranih amplituda su date u tabeli 3. y=x 0.59. (26) Pogodno mjesto za redukciju masa konstrukcije je na visini e=h red. /H od uklještenja okvirne konstrukcije 1 1 e= x*x 0.59 dx / x 0.59 dx=0.614, 0 0 kao i na vrhu građevine e=1. Primjer 3. Za okvirne konstrukcije koje su analizirane u navedenoj literaturi i primjenom komercijalnih programskih paketa određene su osnovne forme i periodi oscilovanja. Rezultati proračuna su poređeni sa približnim rješenjem po metodi redukciji mase konstrukcije usvajanjem približne forme oscilacija. Okvir 1. Tabela 3. Metoda postupnog y pr. =x 0.59 Razlika približavanja (y M.p.p - y pr. )/y M.p.p y 2 M.p.p -y 2 pr. /1.0 2 y M.p.p (Okvir 1.) 10 1.0 1.0 0 % 0 9 0.978 0.940 3. 6 0.0721 8 0.933 0.877 6.0 0.1014 7 0.868 0.810 6.7 0.0973 6 0.784 0.740 5.6 0.0671 5 0.682 0.664 2.6 0.0242 4 0.565 0.582-3.0-0.0195 3 0.438 0.491-12.1-0.0492 2 0.296 0.387-30.7-0.0621 1 0.150 0.257-71.3-0.0435 0 0 0 0 0 2 Okvir 2.,lit. [11] Okvir 3. (metoda postupnog približavanja) M 1 =10 kn s 2 /m 5 Q 5 =388.0 kn K 1-2 =10 4 kn/m 4 Q 4 =437.0kN M 2 =M 1 x=v/h 3 1 Q 3 =446.0kN K 0-1 =10 4 2 kn/m Q 2 =456.0kN v 1 Q 1 =467.0kN 0 (K-krutost spratova, relativna pomjeranja 0-1 i 1-2) 0 K (i-1) i =61538.5kN/m (K-krutost spratova, relativna pomjeranja od 0-1 do 4-5) 78
Okvir 2. Literatura [11] Metoda redukcije Približni postupak Forma oscilovanja Forma oscilovanja y=x 0.59 1.000 1.000 1.000 0.618 0.618 0.664 0 0 0 T 1 =0.32s T 1 =0.33s; +3.1% T 1 =0.34s; +6.3% h red =1.0*H h red =1.0*H Okvir 3. Met. post. približ. Metoda redukcije Približni postupak Približni postupak Forma oscilovanja Forma oscilovanja y=x 0.59 y=x 0.59-0.05sin(2πx) 1.000 1.000 1.000 1.000 0.926 0.926 0.877 0.924 0.775 0.775 0.740 0.769 0.557 0.557 0.582 0.552 0.292 0.292 0.387 0.339 0 0 0 0 T 1 =0.585s T 1 =0.629s; +7.5% h red =0.6*H Okvir 4., lit. [12] T 1 =0.653s; +11.6% h red =0.6*H T 1 =0.624s; +6.7% h red =1.0*H T 1 =0.635s; +8.5% h red =0.6*H T 1 =0.631s; +7.9% h red =1.0*H 3 2 1 0 M 3 =10000 kg M 2 =20000 kg; M 1 =30000 kg; K 2-3 =10 4 kn/m K 1-2 =2.0*104kN/m K 0-1 =2.5*104kN/m (K-krutost spratova, relativna pomjeranja 0-1 ; 1-2 ; 2-3) Okvir 4. Literatura [12] Metoda red. masa Približni postupak Približni postupak Forma oscilovanja Forma oscilovanja y=x 0.59 y=x 0.59-0.05sin(2πx) 1.000 1.000 1.000 1.000 0.813 0.813 0.787 0.830 0.444 0.444 0.523 0.479 0 0 0 0 - T 1 =0.399s; +6.4% h red =2/3*H T 1 =0.423s; +12.8% h red =2/3*H T 1 =0.375s T 1 =0.439s; +17.1% h red =1.0*H T 1 =0.401s; +6.1% h red =2/3*H T 1 =0.439s; +17.1% h red =1.0*H Treba napomenuti da metoda redukcije mase cijele konstrukcije je približna metoda pri čemu se forma oscilovanja može odrediti numeričkim metodama ili se usvojiti približnim izrazom. Iz primjera za okvire 1,2,3,4 koji su uobičajene krutosti stubova u građevinarstvu za približnu formu oscilovanja se može predložiti i izraz, gdje je y=x 0.59-0.05*sin(2πx); x = 0 1 koordinata visine objekta. 79
Primjer 4. Date su šeme okvira sa različitim odnosom krutosti stubova i greda. Odrediće se kružna frekvencija ω 1 i osnovni period oscilovanja T 1 primjenom računara, prema sl. 6., izrazu (22) prema lit. [2] i sl. 7., izraz (24) i lit. [13]. Iz rezultata analize okvira 5 i 6 važno je napomenuti da se primjenom približnog postupka određivanja osnovnog perioda oscilovanja T 1 sa pretpostavkom greda velike krutosti(k g /K s >>1) okvirnih konstrukcija dobijaju rezultati sa većim odstupanjima ako je odnos krutosti K g /K s <1 (tabela 4.; okvir 6., kolona 1 i 1.1). Približni postupak na sl. 7. koji uvodi uticaj krutosti greda i stubova na deformciju sistema, lit. [13], daje zadovoljavajuće rezultate analize,(tabela 4., kolona 2 i 2.1). Okvir 5 Okvir 6. E=2.1*10 7 kn/m 2 E=3.5*10 7 kn/m 2 I=0.0108m 4 Is 1 =0.003 m 4 I g =0.0139 (sve etaže) Is 2 =0.006 m 4 I g =0.004 m 4 (sve etaže) K g = I g /l =0.0139/6.0=0.0023 K g = I g /l=0.004/8.0=0.0005 K s = I s /h =0.0108/4.5=0.0024 i K s = I s /h=0.006/3.0=0.002 i k s =0.25*0.0024=0.0006 k s =0.003/3.0=0.001 Odnos krutosti grede i stubova K g /K s Odnos krutosti grede i stubova K g /K s 0.0023/0.0024~0.9 - Is 1 stubovi 0.0005/0.001=0.50 0.0023/0.0006~3.8 - Is 2 stubovi 0.0005/0.002=0.25 Ig ΣI s Q i (kn) Is 1 Is 2 Is 1 I 0.06I I 388.5 Ig Ig 2.06I 437.5 I 0.25I I 2.25I I 445.9 5*4.5 0.50I I 2.5I 9*3.0 455.8 I I I 3.0I I I I 3.0I 466.8 2*l=2*6.0 2*l= 2*8.0 Tabela 4. Broj Okvir 5. Okvir 5. Okvir 6. Okvir 6. Komentar-proračun R - T 1 =0.7992s - T 1 =1,3296s Računar, SAP 2000. R - T 1 =0.7986s - T 1 =1,329 s Računar, Tower 4. 1 ω 1 =11.76 T 1 =0.534 s ω 1 =9.964 T 1 =0.63s(!!!) Sl.8., izraz (25), [2] 2 ω 1 =11.39 T 1 =0.552 s ω 1 =5.317 T 1 =1.18 s Sl.10.,izraz (27), [13] 1.1 - +33.2 % - +111.1 % razlika (R-1)/R*100 2.1 - +30.9 % - +11.3 % razlika (R-2)/R*100 Okvirne konstrukcije mogu imati različit broj i krutost stubova po etažama, preporučuje se određivanje osnovnog perioda oscilovanja sa redukovanom masom cijele konstrukcije M red na visini ~0.6*H i 1.0*H od temelja objekta. Pogodno bi bilo odrediti T 1 po približnim postupcima; sl. 5., primjenom izraza (21,22), sl. 6. i izrazu (22) ili sl. 7. i izrazima (24), kao i primjenom računara za fazu izvedbenog projekta. Poređenjem rezultata proračuna posebno za značaje objekate smanjuje se mogućnost pojave greške kod određivanja T 1 računarom za složene sisteme okvirnih konstrukcija koje imaju veliki broj ulaznih podataka o materijalu i konstrukciji. 80
6. ZAKLJUČAK Na građevinske konstrukcije mogu djelovati pored statičkih i dinamička opterećenja kao što su vjetar, zemljotres ili neka od incidentnih opterećenja koja izazivaju oscilovanje građevine. U radu je razmatrana primjena više približnih metoda za određivanje osnovog perioda oscilovanja građevinskih konstrukcija. Analiza je sprovedena za konzolne zidove i okvirne konstrukcije koje se često javljaju kao nosivi sistem kod visokih objekata za koje je potrebno određivanje dinamičkih karakteristika. Za analizu horizontalnog dinamičkog opterećenja uobičajenih objekata u građevinarstvu potrebno je odrediti osnovnu formu i period oscilovanja. U ovim analizama broj podataka o konstrukciji, materijalu i opterećenjima je najčešće veliki pa postoji mogućnost greške pri unosu podataka kod korišćenja računara. Primjenom približnih metoda određivanja osnovnog perioda oscilovanja konstrukcija omogućava se kontrola rezultata proračuna koji se sprovode računarima. Pored toga približne metode su korisne kod prethodnih analiza pri izboru sistema konstrukcije. Može se preporučiti za značajne građevinske objekte poređenje rezultata proračuna osnovne forme i perioda oscilovanja više približnih metoda i računara koji su potrebni za proračun dinamičkih opterećenja konstrukcija kao što su vjetar, zemljotres, udar i tome slično. Napominje se da su za objekte prve i van kategorije potrebne detaljne analize dinamičkih uticaja koje se sprovode računarima. 7. LITERATURA [1] Targ S.M., Teorijska mehanika-kratak kurs, Građevinska knjiga, Beograd, 1964., str. 404. [2] Bezuhov, Lužin i Kolkunov, Stabilnost i dinamika konstrukcija u primjerima i zadacima(prevod), Građevinska knjiga, Beograd, 1973., str. 470. [3] Ćorić B, Ranković S. i Salatić R, Dinamika konstrukcija, Univerzitet u Beogradu, Beograd, 1998., str. 265., A-31. [4] Aničić, Fajfar, Petrović, Savits-Nossan, Tomažević, Zemljotresno inženjerstvovisokogradnja, Građevinska knjiga, Beograd, 1990., str. 642. [5] Petrović, B., Odabrana poglavlja iz zemljotresnog građevinarstva, Građevinska knjiga, Beograd, 1985., str. 180. [6] EVROCODE 8, Projektovanje seizmički otpornih konstrukcija [7] Maglajlić Z., Približni postupci određivanja vlastitih perioda oscilovanja konstrukcija, Peti opći sabor HDGK, Brijunski otoci, 26.-28. 04.2001., str 627-632. [8] Maglajlić Z., Visoki armiranobetonski zidovi- Dinamičke karakteristike u teoriji i primjerima, Građevinski fakultet Univerziteta u Sarajevu, Sarajevo 2002., str. 104. [9] Maglajlić Z., Increasing of carrying capacity and absorption energy of the structures with dampers, Proceedings of the 5 th International Conference of Bridges across the Danube(supported by IABSE), Novi Sad, S icg, 24.-26. June 2004., Vol. II, pp. 77-82. [10] Frantz G. i Schafer K., Konstruktionslehre des Stahlbetons, Band II; Tragwerke, Teil A: Typische, Tragwerke, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 1988. [11] Ramm E., Stabtragwerkw Teil VII, Baudynamik, Universitat Stuttgart, Institut fur Baustatik (blue book), Auflage 1992; 2000. [12] Čaušević M., Potresno inženjerstvo(odabrana poglavlja), Školska knjiga Zagreb, Zagreb 2001., str. 252. [13] Hadži-Musić E., Aseizmičke konstrukcije u visokogradnji(projektovanje i proračun), Svjetlost, Sarajevo 1985., str. 226. 81
REZIME SUMMARY ODREĐIVANJE OSNOVNE FORME I PERIODA OSCILOVANJA GRAĐEVINA PRIBLIŽNIM METODAMA Zlatko MAGLAJLIĆ Goran SIMONOVIĆ Rašid HADŽOVIĆ Naida ADEMOVIĆ U radu se razmatrana primjena približnih metoda za određivanje osnovog perioda oscilovanja kozolnih zidova i okvirnih konstrukcija koje se često koriste u građevinarstvu. Na osnovu analize oscilovanja više različirih primjera konzola i okvira predložene su forme oscilovanja za približno određivanje osnovnog perioda oscilovanja. Značaj određivanja forme i osnovnog perioda oscilovanja približnim metodama je u tome, što mogu poslužiti za procjenu horizontalnih dinamičkih opterećenja kod prethodnih analiza sistema konstrukcija. Primjenom računara za analizu dinamičkih karakteristika složenih sistema konstrukcija potreban je veliki broj podataka, pa postoji mogućnost pojave greške kod unošenja podataka. Približni postupci mogu biti pogodni takođe za kontrolu rezultata proračuna osnovne forme oscilovanja građevinskih konstrukcija dobijenih primjenom računara. Ključne riječi: Osnovni period oscilovanja konstrukcija, približne metode, konzole, okviri. DETERMINATION OF BASIC FORM AND THE FIRST OSCILLATION PERIOD FOR BUILDINGS USING APPROXIMATE METHODS Zlatko MAGLAJLIĆ Goran SIMONOVIĆ Rašid HADŽOVIĆ Naida ADEMOVIĆ This paper discusses the application of approximate methods for determination of the first oscillation period for cantilever and frame structures, frequentlly used in civil engineering construction works. Based on oscillation analysis of different cantilever and frame structure examples, the paper suggests oscillation forms that can be used for approximate determination of the first oscillation period. The significance of the determination of the basic form and the first oscillation period using approximate methods is in the possibility of estimation of horizontal dynamic loads in preliminary structure system analysis. Computerized procesing of dynamic characteristics of complex structural sistems requires a number of data registrated, therefore occurance of errors is highly possible during such a registration. In adition, approximate methods can also be founded useful in confirmation of the first oscillation period calculation results for civil engineering structures. Key words: First oscillation period for structures, approximate methods, cantilevers, frames. 82