BULLETIN of the Bull. Malayian Math. Sc. Soc. (Second Serie) 25 (2002) 157-162 MALAYSIAN MATHEMATICAL SCIENCES SOCIETY Perembahan-3 Hail Darab Langung dengan Permaalahan Gambarnya Boleh Ditentukan ABD. GHAFUR BIN AHMAD Puat Pengajian Sain Matematik, Fakulti Sain dan Teknologi, Univeriti Kebangaan Malayia, UKM 43600 Bangi, Selangor Darul Ehan, Malayia Abtrak. Kerta ini mengklaifikaikan bentuk-bentuk perembahan-3 hail darab langung yang permaalahan gambarnya boleh ditentukan. 1. Pengenalan Perembahan-3 adalah tiga paangan ; r; P dengan ; r adalah ebarang perembahan kumpulan dan P adalah ebarang et gambar fera dalam ; r. Gambar fera merupakan uatu konfigurai geometri dan boleh dirujuk mialnya dalam [5]. Adalah dimaklumkan bahawa perembahan-3 juga boleh dianggapkan ebagai perluaan perembahan kumpulan eperti yang ditakrifkan oleh Fenn [3]. Andaikan ; r dan y; ebarang perembahan kumpulan. Maka perembahan kumpulan hail darab langung ialah perembahan, y; r,, [, y] 1 1 dengan [, y] = y y merupakan penukar tertib. Jadi perembahan-3 hail darab langung adalah perembahan, y; r,, [, y] ; P dengan P adalah ebarang et gambar fera dalam, y; r,, [, y]. Perembahan-3 hail darab langung ini merupakan komplek Squier [6] eperti yang terdapat dalam [4]. Permaalahan gambar bagi perembahan-3 ; r; P merupakan uatu peroalan untuk mencari uatu alkhawarizma bagi menentukan ebarang gambar fera dalam ; r ama ada etara (modulo P) dengan gambar hampa. Rujuk [1]. Permaalahan yang hampir erupa melibatkan kumpulan gambar rajah boleh dirujuk dalam [4].
158 A.G. Ahmad 2. Bentuk-bentuk perembahan-3 hail darab langung Perembahan-3 hail darab langung yang ditakrifkan di ata boleh diklaifikaikan kepada beberapa bentuk berdaarkan kepada pemilihan et gambar P. Andaikan P dan P y maing-maing et gambar fera dalam homotopi modul kedua 2 ( ; r ) Juga andaikan r berbentuk π dan ( y; ) ; r dan y; yang menjana kumpulan π 2. Rujuk mialnya [2] atau [5]. P et gambar fera dalam, y; r,, [, y] yang R y y y y y R dengan y unur dalam y dan R unur dalam r. Juga andaikan berbentuk P et gambar fera dalam, y; r,, [, y] yang S S dengan unur dalam dan S unur dalam.
Perembahan-3 Hail Darab Langung dengan Permaalahan Gambarnya Boleh Ditentukan 159 Perembahan-3 hail darab langung adalah prinipal jika ia berbentuk alah atu daripada yang berikut: 1., y; r,, [, y] ; 2., y; r,, [, y] ; P atau, y; r,, [, y] ; Py 3., y; r,, [, y] ; P, Py 4., y; r,, [, y] ; Pr atau, y; r,, [, y] ; P 5., y; r,, [, y] ; P r, P 6., y; r,, [, y] ; P atau, y; r,, [, y] ; P y, P 7., y; r,, [, y] ; P, P atau, y; r,, [, y] ; Py 8., y; r,, [, y] ; P, Py atau, y; r,, [, y] ; P, P, P 9., y; r,, [, y] ; P, P atau, y; r,, [, y] ; P, P, P 10., y; r,, [, y] ; P, Py, P. y y r Perhatikan bahawa paangan bentuk dalam (2), (4), (6), (7), (8) dan (9) adalah imetri. Jadi adalah memadai untuk dipertimbangkan bentuk yang pertama ahaja bagi etiap paangan terebut. Keputuan yang diperoleh boleh diimpulkan dalam teorem berikut: Teorem. Permaalahan gambar bagi perembahan-3 hail darab langung yang prinipal adalah boleh ditentukan dan beba daripada (tidak bergantung kepada) permaalahan perkataan. 3. Pembuktian Pembuktian dilakukan mengikut bentuk-bentuk yang telah dienaraikan di ata. Boleh dianggapkan emua gambar fera diturunkan dan tidak mengandungi dwikutub. Gambar fera yang tidak diturunkan atau mengandungi dwikutub adalah etara dengan gambar hampa. Rujuk [2,5].
160 A.G. Ahmad Juga ditakrifkan cakera- dan cakera-y maing-maing adalah cakera di dalam gambar fera P yang mempunyai label unur-unur dalam dan y ahaja manakala cakera penukar tertib ialah cakera yang berlabel [, y] dengan, y y. Kitaran- ialah atu lingkaran berlabel yang berbentuk P y dengan ubgambar P y di dalam kitaran- terebut berlabel dengan unur-unur dalam y. Kitaran-y juga ditakrifkan ama eperti kitaran- dengan menggantikan dengan y. Perhatikan bahawa ebarang gambar fera yang diturunkan dan tidak mengandungi dwikutub adalah berifat eperti berikut: (a) Gambar mengandungi cakera- atau cakera-y ahaja. (b) Gambar mengandungi cakera penukar tertib jika dan hanya jika wujud cakera- dan cakera-y dalam. Maka meti wujud atu kitaran- atau kitaran-y. Pertimbangkan emua bentuk-bentuk perembahan prinipal yang dienaraikan di ata. Bentuk 1 Jela tidak etara dengan gambar hampa kerana gambar diturunkan. Bentuk 2 Gambar etara (modulo P ) dengan gambar hampa jika dan hanya jika mengandungi cakera- ahaja kerana P menjana ( ; r ) π. 2
Perembahan-3 Hail Darab Langung dengan Permaalahan Gambarnya Boleh Ditentukan 161 Bentuk 3 Andaikan gambar mengandungi cakera- atau cakera-y ahaja. Maka eperti dalam bentuk 2, gambar etara (modulo P ) atau (modulo P y ) dengan gambar hampa. Jika gambar mengandungi cakera- dan juga cakera-y maka meti wujud cakera penukar tertib yang menyambungkannnya. Jadi gambar tidak etara (modulo P) dengan gambar hampa. Bentuk 4 Andaikan gambar mengandungi cakera- atau cakera-y ahaja. Maka tidak etara (modulo P) dengan gambar hampa kerana et P tidak mengandungi penjana π ( ; r ) dan π 2 ( y; ). Gambar yang mengandungi cakera penukar tertib etara (modulo P) dengan gambar hampa jika dan hanya jika wujud kitaran-y kerana boleh digunakan et gambar dalam P. Bentuk 5 Jela gambar yang mengandungi cakera- atau cakera-y ahaja tidak etara (modulo P) dengan gambar hampa. Set P dan P r dalam P menunjukkan bahawa emua gambar yang mengandungi cakera penukar tertib adalah etara (modulo P) dengan gambar hampa. Bentuk 6 Gambar-gambar yang etara (modulo P) dengan gambar hampa adalah gambar-gambar yang mengandungi cakera- ahaja atau gambar-gambar yang tidak mengandungi ebarang kitaran-. Kitaran- memerlukan et P untuk dihapukan. Bentuk 7 Jela gambar yang etara (modulo P) dengan gambar hampa adalah gambar yang mengandungi cakera- ahaja kerana P menjana π 2 ( ; r ). Set P tidak berfungi tanpa adanya et P y. Bentuk 8 Ketiadaan et P dalam P menunjukkan bahawa gambar yang mengandungi kitaran-y adalah tidak etara (modulo P) dengan gambar hampa. Manakala gambar yang mengandungi cakera- ahaja atau yang mengandungi kitaran- adalah etara (modulo P) dengan gambar hampa. 2
162 A.G. Ahmad Bentuk 9 Jela jika mengandungi cakera-y maka tidak etara (modulo P) dengan gambar hampa kerana ketiadaan et P y. Jadi gambar yang mengandungi cakera- ahaja atau cakera- dan kitaran-y ahaja yang etara (modulo P) dengan gambar hampa. Bentuk 10 Set P merupakan penjana π (, y; r,, [, y] y ) ) 2 y fera adalah etara (modulo P) dengan gambar hampa.. Maka emua gambar Kita impulkan yang permaalan gambar bagi bentuk prinipal boleh ditentukan. Rujukan 1. A.G. Ahmad, The picture problem for 3-complee, akan terbit dalam Southeat Aian Bulletin of Mathematic. 2. Y.G. Baik, J. Harlander dan S.J. Pride, The geometry of group etenion, J. Group Theory 1 (1998), 395 416. 3. R.A. Fenn, Technique in Geometric Group Theory, LMS lecture note 57, Cambridge Univerity Pre, 1983. 4. V. Guba dan M. Sapir, Diagram Group, Memoir of the American Mathematical Society 620 (1997). 5. S.J. Pride, Identitie among relation of group preentation, dalam Group Theory from Geometrical Viewpoint-Triete 1990, World Scientific Publihing Co. Pte. Ltd., Singapura (1991), 687 717. 6. C.C. Squier, A finitene condition for rewriting ytem, reviion by F. Otto and Y. Kobayahi, Theoret. Comput. Sci. 131 (1994), 271 294.