Klase neograničenih operatora

Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,.

Sadržaj Predgovor...2 1. Uvod...3 2. Adjungovani i konjugovani operatori...6. Ermitski adjungovan operator neograničenog operatora...12. Obični diferencijalni operatori...2 5. Adjungovani operatori običnih diferencijalnih operatora...26 6. Prostori Soboljeva...38 7. Operator definisan Dirihleovim problemom...44 Literatura...52 Biografija...53 Klase neograničenih operatora 1

Predgovor Ovaj rad daje uvid u teoriju o neograničenim operatorima na Banahovim prostorima. Važni pojmovi o zatvorenim i zatvorivim operatorima i njihovim konjugovanim operatorima su analizirani sa puno pažnje posvećene običnim i parcijalnim diferencijalnim operatorima. Posebno si izučeni maksimalni i minimalni operatori i svojstva njihovih inverza. Rad je podeljen na sedam delova. Prva tri dela su posvećena opštoj teoriji, a ostala četiri se uglavnom bave diferencijalnim operatorima. Klase neograničenih operatora 2

1. Uvod U ovom poglavlju i će označavati kompleksne Banahove prostore. Linearni operator A sa domenom i slikom označavamo sa :. Za = rezolventni skup je skup svih kompleksnih brojeva za koje je invertibilan i inverz = 1 je ograničen na. Operator ( ) se naziva rezolventa operatora. Stav 1.1. Rezolventni skup operatora : je otvoren. Ako je, tada je rezolventa ( ) analitička funkcija na. Štaviše, ako je i < ( ) 1, tada je i (1) = 1 ( ) +1 ; = konvergentan niz u odnosu na normu u L(). Ako su i u, tada (2) = (). Identitet (2) ćemo nazivati identitet rezolvente ili jednačina rezolvente. Spektar () operatora je definisan kao komplement od u skupu C. Spektar ograničenih operatora je neprazan kompaktan skup, a spektar neograničenih operatora može biti prazan skup ili ceo C. Na primer, neka je = = [,1] prostor neprekidnih funkcija sa kompleksnim vrednostima snabdeven supremum- normom i definišimo 1 i 2 sa 3 1 =,1,1, 1 = (4) ( 2 ) = 1 =, 2 =. Klase neograničenih operatora 3

Podsetimo se da jezgro proizvoljnog operatora, u oznaci, definišemo sa = =. Kako je ( 1 ), spektar 1 = C. Sa druge strane, 2 =. Da bi videli ovo, primetimo da je 2 =. Takođe, za svako, jednačina 2 = ima rešenje ( 2 ), naime =, 1. Otuda je 2 invertibilan i ( 2 ) 1 =. Podsetimo se da je operator zatvoren ako je njegov grafik =, () zatvoren podprostor Banahovog prostora sa normom, = +. Jasno je da je zatvoren ako i samo ako, = 1, 2,, i implicira () i =. Diferencijalni operatori definisani sa (3) i (4) su zatvoreni. Stav 1.2. Ako operator : zatvoren. ima neprazan rezolventni skup, tada je Dokaz. Ako je, tada je 1 ograničen operator na. Otuda je 1 zatvoren, što podrazumeva da je zatvoren. Tada je i zatvoren. Operator : linearnog operatora : se naziva zatvoriv ako može biti produžen do zatvorenog, tj. () () i =, za. U tom slučaju, se naziva zatvorena linearna ekstenzija operatora. Stav 1.3. Operator : =. je zatvoriv ako i samo ako, () implicira Dokaz. Pretpostavimo da je zatvorena linearna ekstenzija operatora i, (). Tada je, () i zato = =. Sa druge strane, pretpostavimo da, (), kad god je. Stavimo =, (). Tada je podprostor od. Za svako postoji tačno jedno tako da je, (). Zaista, pretpostavimo da su, i (, ) u (). Tada, (), i iz naših hipoteza =. Definišemo : sa =, =. Klase neograničenih operatora 4

Tada je dobro definisan linearan operator i = (). Zato je zatvoren. Ako je, tada, (). Ovo implicira da je i =. Dakle, je zatvorena linearna ekstenzija operatora. Neka je zatvoriv operator. Operator definisan u dokazu stava 1.3. se naziva minimalna zatvorena linearna ekstenzija operatora i označava se sa. Kako je = (), bilo koja druga zatvorena linearna ekstenzija operatora je takođe ekstenzija operatora. Stav 1.4. Ako je operator : je ograničen na svom domenu. zatvoriv i ima konačno dimenzionalnu sliku, tada Dokaz. Najpre dokazujemo da je =. Očigledno,. Uzmimo. Tada je = i, = (), i zato postoji niz 1, 2, u () takav da i. Tada je. Budući da je zatvoren, onda je. Dakle, =. Iz toga sledi da takođe ima konačno dimenzionalnu sliku. Zato, bez gubljenja opštosti, možemo da da pretpostavimo da je zatvoren. Tada je zatvoren. Zaista, neka je i neka je 1, 2, niz u takav da. Kako je =, sledi da je, () =, i zato =. Dakle,. Budući da je preslikavanje izomorfizam iz / u, imamo da je dim (()/) = dim () <. Otuda je = za neki konačno dimenzionalan podprostor. Sledi da je () zatvoren podprostor od. Stoga je : () zatvoren operator između Banahovih prostora i tako prema teoremi o zatvorenom grafiku, operator je ograničen na (). Za kasnije potrebe uvodimo sledeću terminologiju. Neka su : i : dati operatori. Kažemo da je restrikcija operatora, odnosno ekstenzija operatora ako (5), =,. U tom slučaju pišemo. Primetimo da je (5) ekvivalentno sa. Klase neograničenih operatora 5

2. Adjungovani i konjugovani operatori Podsetimo se da za dati ograničen operator : 1 2, gde su 1 i 2 Hilbertovi prostori, adjungovani operator operatora je definisan na sledeći način: Za svako 2, linearni funkcional =, je ograničen na 1. Dakle, prema teoremi o Risovoj reprezentaciji, postoji jedinstveno 1 tako da je, = =,, 1. Definišemo =. Tada je : 2, =,, za svako 1 i 2. 1 ograničen linearan operator i važi Pretpostavimo sada da je gusto definisan, ali ne nužno ograničen. Tada za dato 2, funkcional definisan na () sa =, može biti neograničen i tada ne važi Risova reprezentacija. Zato moramo da modifikujemo gornju definiciju. Stavimo (1) = 2 (), <. Uzmimo. Kako je () = 1, funkcional ima jedinstvenu ograničenu linearnu ekstenziju na ceo 1. Stoga teorema o Risovoj reprezentaciji osigurava egzistenciju jedinstvenog 1 tako da je =,,. Definišimo =. Zato je Operator : 2, =,,,. 1 je linearan i naziva se adjungovani operator operatora. Ako nije gust u, tada je skup definisan sa (1) dobro definisan. Ali, za dato, linearni funkcional =,,, se na mnogo različitih načina može produžiti do ograničenog linearnog funkcionala na, tj. postoje mnogo različitih takvih da je =,, i samim tim može biti definisano kao preslikavanje sa više vrednosti. U tekstu koji sledi nećemo razmatrati ovaj slučaj. Može se desiti da je =, što ćemo videti u sledećem primeru. Neka je 1 = 2 = 2, = ( ) =1, Kronekerova delta, = 1, 2, i, =1 neko duplo indeksiranje od =1. Za svako, definišimo = i produžimo linearno do lineala od =1. Očigledno, je gusto definisan u 2. Pretpostavimo da je = ( 1, 2,...) u. Tada za svaki pozitivan ceo broj i Klase neograničenih operatora 6

2, 2 =1 =, =1 2 2. Otuda je = ( ) =1 =. Ako je (ilbertov prostor sa unutrašnjim proizvodom,, = 1, 2, tada je 1 2 Hilbertov prostor sa unutrašnjim proizvodom, definisanim sa 1, 2, ( 1, 2 ) = 1, 1 1 + 2, 2 2. Za svako 1 2 ortogonalni komplement od se uzima u skladu sa unutrašnjim proizvodom,. Stav 2.1. Neka su 1 i 2 Hilbertovi prostori i neka operator : 1 domen u 1. Tada 2 ima gust (2) () =,, i operator : 2 1 je zatvoren. Dokaz. Označimo sa ( ) desnu stranu jednakosti (2). Iz,,, =, +, = sledi da je ( ) (). Za dato (, ) () je =,, (, ) =, +,,. Otuda je i =, što pokazuje da je () ( ). Neka je : 1 2 2 1 definisan sa, =,. Tada je homeomorfizam i =. Iz (2) sledi da je zatvoren i zato je i zatvoren. Adjungovani operator gusto definisanog operatora ima prirodnu ekstenziju do operatora između Banahovih prostora kao što sledi. Neka je dat operator : sa domenom gustim u. Definišimo konjugovani operator operatora između konjugovanih prostora i sa = č (), =, gde je jedinstvena ograničena linearna ekstenzija od na ceo. Operator : je linearan. Klase neograničenih operatora 7

Sledeći primer opisuje konjugovan operator diferencijalnog operatora na, 1, 1 <. Koristićemo sledeći rezultat. Za podskup Banahovog prostora i podskup konjugovanog prostora, definišemo = = = =. Očigledno, ( ). Iz teoreme Hana- Banaha sledi da ( ) = ako je zatvoren podprostor od. Ako je podprostor od, tada u opštem slučaju ne sledi ( ) =. Međutim, druga jednakost važi ako je <. Da bi videli ovo, neka je 1, 2,... baza za i pretpostavimo da je ( ).Tada =1 =., Otuda je linearna kombinacija 1, 2,..., i zato. Kako je uvek ( ) dokazali smo da je ( ) = za svaki konačno dimenzionalan podprostor od. Razmotrimo sada konjugovani operator diferencijalnog operatora. Tačnije, odredićemo konjugovani operator operatora :, gde je =, 1, 1 <, =, 1,, = (1) =. Domen je gust u. Za dat ograničen linearan funkcional na, 1, 1 <, postoji jedinstveno, 1, 1 + 1 = 1, sa svojstvom 1 =, =,, 1. To nam omogućava da identifikujemo, 1 sa, 1. Tako deluje na, 1. (oćemo da pokažemo da je (3) =, 1, 1,, 1, = (1), =. Neka je podprostor opisan desnom stranom jednakosti (3). Ako je, tada za svako parcijalnom integracijom dobijamo, = =. 1 1 Klase neograničenih operatora 8

Iz Helderove nejednakosti,,. Otuda je i =. Ostaje da dokažemo da je. Pretpostavimo da je, = i (). Parcijalna integracija daje 1 (4) =, =, 1 = = 1, gde je = 1 1, odnosno funkciju (, 1 ) i =. je u (). Zato iz (4),. Sada ćemo pokazati da je + konstanta s.s. Uzmimo 1 + =, 1 Jasno, = što pokazuje da je + 1 = 1, tj. + = =. s.s. Zato možemo da redefinišemo na skupu mere nula tako da je = +. Otuda je apsolutno neprekidno na, 1 i =, 1. Takođe, za (), (4) pokazuje da 1 1 = = 1 =. Ako uzmemo (), tada = 1 = 1. Odatle je. Kako ograničeni linearni funkcionali na (ilbertovom prostoru odgovaraju elementima iz prema teoremi o Risovoj reprezentaciji, radije ćemo govoriti o adjungovanim operatorima na nego o konjugovanim operatorima. Stav 2.2. Konjugovani operator gusto definisanog operatora je zatvoren. Dokaz. Za dat :, pretpostavimo da i. Tada za svako (), = lim =. Stav 2.3. Neka je domen operatora : = lim =. Odatle je ( ) i ako za svako u postoji ( ) tako da je (). gust u. Tada je zatvoriv ako i samo Dokaz. Pretpostavimo da je zatvoriv i. Neka je zatvorena linearna ekstenzija od. Tada,. Zato postoji ( ) takvo da je (, ) i =. Definišemo i sa Klase neograničenih operatora 9

=,, =,. Tada + =, =,. Otuda je i = (, ). Pretpostavimo da za svako iz postoji tako da je (). Ako je (, ) (), tada postoji niz ( ) () tako da i. Za svako, = lim ( ) = lim =. Otuda je = i je zatvoriv prema stavu 1.3. Stav 2.4. Neka su 1 i 2 Hilbertovi prostori i neka operator : 1 2 ima domen gust u 1. Tada je zatvoriv ako i samo ako je gust u 2. U tom slučaju je =, = ( ), gde je minimalna zatvorena linearna ekstenzija od. Dokaz. Pretpostavimo da je zatvoriv i. Tada je = prema stavu 2.3. Zato je = 2. Obratno, ako je = 2 i, = za sve, tada je = i zato je zatvoriv prema stavu 2.3. Neka je definisan na 1 2 sa, =,. Sada iz stava 2.1. = = () = ( ) = ( ) = 2 =. Odatle je =. Ako zamenimo sa i iskoristimo činjenicu da je zatvoren (stav 2.2.), dobijamo = = (). Stav 2.5. Neka su 1 i 2 Hilbertovi prostori i neka je operator : 1 definisan. Tada: 2 gusto () = ; () =. Ako je još i zatvoriv, tada () =. Dokaz. () Ako je, tada, = za sve. Zato je ( ) i =. Dakle,. Obrnuta inkluzija je dokazana u ograničenom slučaju. Uslov () je direktna posledica () i činjenice da je ( ) = za podprostor. Dokaz () je analogan sa () (uz korišćenje da je ( ) gust u 2 ). Klase neograničenih operatora 1

Stav 2.6. Zatvoren, gusto definisan operator : 1 2 je invertibilan ako i samo ako je njegov adjungovani operator invertibilan, u kom slučaju je ( ) 1 = ( 1 ). Dokaz. Neka je invertibilan. Prema stavu 2.5. operator je injektivan. Kako je 1 : 2 1 ograničen, njegov adjungovani operator ( 1 ) ima domen 1. Otuda za 1 i () Dakle,, ( 1 ) = 1, =,. 5, 1 =. Pokazali smo da je obostrano injektivan i surjektivan. Pošto je zatvoren, on je invertibilan (prema teoremi o zatvorenom grafiku) i ( ) 1 = ( 1 ) zbog (5). Ako je invertibilan, tada prema stavu 2.4. i gornjem rezultatu primenjenom na umesto, imamo da je = invertibilan. Klase neograničenih operatora 11

3. Ermitski adjungovan operator neograničenog operatora U ovom odeljku sa i označavamo (ilbertove prostore nad istim poljem. Za linearan i ograničen operator : postoji jedinstven operator : takav da je, =,,,. Operator je ermitski adjungovan operator operatora i važi =. Sada ćemo uvesti pojam ermitski adjungovanog operatora i za operator iz u koji nije definisan na celom prostoru. Iako može biti neograničen operator, uvek pretpostavljamo da je domen () operatora gust skup u. Definicija 3.1. Operator iz u je ermitski adjungovan operatoru iz u, () =, ako on ima ova dva svojstva:, =,,,, ako je operator iz u i ako je, =,,,, onda je restrikcija operatora, tj. () ( ) i = za svako. Definicija 3.2. Operator iz u, () = je: ermitski, ako je =, antiermitski, ako je =, () normalan, ako je = ( ) i =,. Definicija 3.3. Ermitski operator je pozitivno semidefinitan, ako je, za svako. pozitivno definitan, ako je pozitivno semidefinitan i ako, = za povlači =. Teorema 3.1. Neka je Hilbertov prostor, unitaran prostor i gust podprostor u. Klase neograničenih operatora 12

() Za svaki linearan operator : postoje jedinstven podprostor u i jedinstven linearan operator : takvi da je (1), =,,,. () Ako je 1 podprostor od i 1 : 1 linearan operator takav da je (2), =, 1,, 1, onda je 1 i 1 = za svako 1. () Operator je zatvoren. () Ako postoji 1 i ako je ( 1 ) gust u Hilbertovom prostoru, onda postoji 1 i važi 1 = 1. Dokaz. () Za sa, definisan je linearan funkcional na. Sa označimo skup svih za koje je funkcional, ograničen na. Očigledno sadrži nula- vektor i je podprostor od. Za ograničen funkcional, po neprekidnosti se proširuje sa na, pa postoji jedinstven vektor takav da je, =, za svako. Sa je definisan operator iz u za koji važi (1) i koji je linearan. () Ako je 1, onda (2) povlači ograničenost funkcionala na, pa je, tj. 1. Ali tada, =, 1, =,,, =, 1, i činjenica da je gust skup u povlače da je = 1. () Pretpostavimo da,,. Tada za imamo,,, tj.,,. Sa druge strane,,,. Dakle,, =,,. Odavde sledi ograničenost funkcionala, na, pa je. Ali tada, =, povlači, =, odakle sledi =. Budući da je, =, u grafiku operatora, to je zatvoren operator. () Budući da je = ( 1 ) gust skup u, to operator 1 postoji. Dalje, = povlači, pa je =, a to daje egzistenciju operatora 1. Ako je 1, onda je 1, ograničen funkcional na, pa postoji tako da je 1, =, za svako. Odavde dobijamo = 1 i, =,,. Dakle, Klase neograničenih operatora 13

, =, = 1. Prema tome je 1, 1 = 1, 1. S druge strane, ako je, onda postoji tako da je =. Odavde je, =, =,,, = 1,, 1 i = 1. Dakle, 1, 1 = 1,. Na taj način dokazano je da je 1 = = i 1 1 = 1 za. Posledica 3.2. Ako je ermitski operator injekcija, onda je 1 takođe ermitski operator. Dokaz. Ako je (), onda je, = za. Odavde sledi da je = i, što povlači = i odavde =. Budući da je () gust skup u, to prethodna teorema deo () daje 1 = 1 = 1. Stav 3.3. Neka su i Hilbertovi prostori i : () linearan operator definisan na gustom podprostoru. Ako je =, onda je ograničen operator na i je ograničen operator na. Dokaz. Budući da je zatvoren operator i = prema teoremi o zatvorenom grafiku, taj operator je neprekidan, dakle i ograničen. Budući da je (, ), postoji operator (, ) takav da je =,, =,,,. Odavde sledi da je, =, za i. Ali tada je = za. Dakle, Klase neograničenih operatora 14

=,. Ustvari je = = i = = 1,. Posledica 3.4. Ako su i Hilbertovi prostori i :, : linearni operatori sa svojstvom onda su i neprekidni i =., =,,,, Dokaz. Budući da je = teorema 3.1. daje egzistenciju operatora. Iz pretpostavke posledice sledi da je = zatvoren operator. Prema stavu 3.3. je neprekidan. Tada je i = takođe neprekidan operator. Iz posledice 3.4. neposredno sledi činjenica prema kojoj ermitski operator na (ilbertovom prostoru mora biti ograničen. Definicija 3.4. Operator iz u je simetričan ako je () = i, =,,,. Posledica 3.5. Neka je simetričan operator u (ilbertovom prostoru. Ako je =, onda je ograničen. Ako je =, onda je ermitski operator. Dokaz. Iz, =,,, i, =,, () i ( ) sledi da je () ( ) i = za. Uzmimo da je = i dokažimo da je tada ( ) () iz čega će slediti =. Za ( ) zbog = postoji takav da je =. Odavde za () imamo =, =,, =,, =,. Odavde je =, što povlači. Teorema 3.6. (Fon Nojman) Neka je linearan operator iz Hilbertovog prostora u Hilbertov prostor i () =. Ako postoji zatvorenje od, onda je =, ( ) = i =. Ako je zatvoren operator, onda je gust skup u i =. Klase neograničenih operatora 15

Teorema 3.7. (Fon Nojman) Ako je zatvoren linearan operator iz Hilbertovog prostora u Hilbertov prostor i () =, onda je = pozitivno semidefinitan ermitski operator u i pozitivno semidefinitan ermitski operator u. Za operator = + 1 iz u i = + 1 iz u važi = ; 1, 1. Nadalje je skup, gust u grafiku, operatora. Za dokaz teorema 3.6., 3.7., i nekih drugih teorema vezanih za adjungovane operatore fon Nojman je primenio sledeću metodu. Sa označimo prostor sa skalarnim proizvodom,,, =, +,. Na sličan način definiše se prostor. Sa, =,,, =,, : : definisane su linearne bijekcije. Lako je proveriti da je jedinični operator na i jedinični operator na i da su, izometrički izomorfizmi Hilbertovih prostora i. Za grafik operatora iz u stavljamo a za grafik operatora iz u stavljamo = =, (), = =, (). Lema 3.8. Linearan operator iz u ima adjungovan operator ako i samo ako (1), =. U tom slučaju je (2) =. Dokaz. Ako je, onda za svako () imamo Klase neograničenih operatora 16

,, (, ) =,, (, ) =,, =, pa (1) daje =. Dakle, je gust skup u, pa postoji. S druge strane, ako je gust skup i,, onda za svako,,, =,, (, ) = =, pa važi (1). Ako je () = i,, onda je,, (, ) =, što povlači, =, za svako. Odavde je ( ) i =, tj.,. Time je dokazano da je. Kako je obrat očigledan, to je (2) dokazano. Budući da je prema (2) ortogonalni komplement, to je zatvoren skup, tj. je zatvoren operator, pa je time dat još jedan dokaz teoreme.. Dokaz teoreme.. Budući da je zatvorenje od, to je = =, tj. =. Sada lema 3.8. daje = = = = =. Dalje (2) daje = = = =. Ali, = = = =.Prema tome je (3) =, što zajedno sa lemom.. povlači da je skup ( ) gust u i da je grafik operatora koji je adjungovan operatoru. Taj operator označavamo sa =. Sada = =. Dokaz teoreme 3.7. Kako je = zatvoren operator, to je =, pa 3 povlači Klase neograničenih operatora 17

(4) =. Za imamo,, pa (4) daje (5), =, +,, gde su i ( ) jednoznačno određeni vektorom. Prema tome, sa = i = su definisani linearni operatori : i :. Iz (5) dobijamo (6) = +, =, odakle je = i (7) = +. To pokazuje da je = + surjekcija iz = ( ) na. Ako je () i =, onda, =, +, =, +, povlači =. Dakle postoji = 1. Za, stavimo = i =. Tada je, =, =, +, =, +, =, +, =, =,, odakle je : simetričan operator. Prema posledici 3.5. je ograničen, a prema posledici 3.2. je = 1 ermitski operator. Budući da je =, to je sa = definisan operator na. Za prema (6) i (7) imamo =, =, što daje 2 + 2 = 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2 =, 2 +, 2 =, 2 = 2. Odavde dobijamo 1 i 1. Nadalje za,, =, ( + ) =, +, povlači, odakle je pozitivno semidefinitan ermitski operator. Kako je ermitski operator i =, to je ermitski operator. Nadalje, za, =, Klase neograničenih operatora 18

pokazuje da je pozitivno semidefinitan ermitski operator. Uzmemo li u obzir da je zatvoren operator i =, nalazimo da je = pozitivno semidefinitan ermitski operator. Uzmimo da je () i, (, ) za svako. Tada je, +, =, tj., =. Odavde je () i, = za svako. Budući da je gust skup u, to je =, što daje =. Budući da, (, ) za svako povlači =, to je skup, gust u grafiku operatora. Klase neograničenih operatora 19

4. Obični diferencijalni operatori Neka je diferencijalni izraz oblika = + 1 1 + + 1 +, gde je = i svaki je lokalno integrabilan na intervalu. Neka je sa () označen skup funkcija sa kompleksnim vrednostima iz sa svojstvom da ( 1) postoji i apsolutno je neprekidno na svakom kompaktnom podintervalu od. Tako () postoji s.s. na. Definišimo linearan diferencijalan operator,, : 2 () 2 () sa,, = () 2 2 (),,, =. Ovaj operator se naziva maksimalan operator koji odgovara i. Gde je jasno o kojim i se radi, pisaćemo umesto,,. Sada ćemo pokazati da su određene restrikcije od invertibilne kada je kompaktan. Teorema 4.1. Neka je : 2 (, ) 2 (, ) maksimalan operator koji odgovara i kompaktnom intervalu,. Neka je restrikcija od na one ( ) koji zadovoljavaju granične uslove (1) 1 1 + 2 1 =, 1, =1 =1 gde su () date konstante. Tada je invertibilan ako i samo ako (2) det ( 1 + 2 ), () gde su matrice matrica takva da je gde je, =1 = +, = 1,2 i () jedinstvena neprekidna,, Klase neograničenih operatora 2

= 1 1 1 1 2 1. Ako važi (2), tada je 1 Hilbert- Šmitov operator na 2 (, ) dat sa gde je 1 =,,,, = 1, < 1, <, = 1 + 2 1 2, = 1, = 1. Dokaz. Kako su elementi matrice () integrabilni na,, znamo da su () i () 1 dobro definisani. Iz integralnog oblika za () sledi da su elementi matrice () apsolutno neprekidne funkcije na i = () s.s. na,. Najpre ćemo dokazati da (3) = 2, 2 () 1 ( 1 + 2 ), i (4) = 2, =, ( 1 + 2 ). Pretpostavimo da je. Tada (5) = +, 1 + 2 =, ima rešenje. Zapravo, možemo uzeti () () = 1 (),, gde je =. Rešenje za (5) je oblika Klase neograničenih operatora 21

(6) = + () 1. Kako ( ) zadovoljava granične uslove, vidimo da je = 1 + 2 = 1 + 2 () 1. Tako je 2 () 1 = 1 + 2 1 + 2. Obratno, neka važi 2 1 1 + 2. Tada postoji C tako da 2 1 = 1 + 2. Sledi da (7) = + 1,, zadovoljava (5) i zato je = () i =. Dakle,. Da dokažemo (4), stavimo = u (5) i 6 i dobijamo (8) =, 1 + 2 =. Opšte rešenje prve jednačine u (8) je oblika =. Za () mora važiti ( 1 + 2 ) = da bi zadovoljavalo drugu jednačinu u (8). Takođe, =. Zato sledi (4). Jasno je iz (3) i (4) da je bijektivno ako je 1 + 2 invertiblno, ili ekivalentno, det (( 1 + 2 ). U ovom slučaju, iz (6) i gornje definicije sledi da je 2 (, ) i =, tada = () sa () dato sa (7). Korišćenjem graničnih uslova vidimo da je = 1 + 2 1 2 1. Klase neograničenih operatora 22

Sledi da za = 1 + 2 1 2, = 1 + () 1 = ()( ) 1 1, za svako,. Formula za (, ) kao što je navedena u teoremi je sada jasna iz 1 =. Specijalno, 1 je ograničen lineran operator i zato je invertibilan. Sledeće što ćemo pokazati je (9) dim = ( 1 + 2 ). Zbog (4) dovoljno je pokazati da = za svako, implicira =. Neka je () j-ti red od (). Kako je vidimo da za 1 1, () =,.. (1) () = +1,.. Iz = sledi da 1 =. Primenom (1) više puta dobijamo =, 1. Ali tada () implicira =. Iz (9) vidimo da ako je invertibilno sledi da 1 + 2 ima potpunu rang kolonu. Pošto je 1 + 2 kvadratna matrica, zaključujemo da je det ( 1 + 2 ) kad god je invertibilno. Jasno je da za 1 = i 2 = operator surjektivan. Kako je restrikcija od, sledi da je takođe surjektivan. Stavljanjem 1 = 2 = u (9) dobijamo = i =. Zato imamo sledeći rezultat. Posledica 4.2. Maksimalan operator koji odgovara i kompaktnom intervalu je surjektivan i njegovo jezgro je n- dimenzionalno. Stav 4.3. Maksimalan operator koji odgovara i bilo kom intervalu je zatvoren. Dokaz. Pretpostavimo najpre da je interval kompaktan. Ako uzmemo 1 = i 2 = u teoremi 4.. tada odgovarajući operator ima ograničen inverz na 2. Otuda je zatvoren. Kako je ekstenzija invertibilnog operatora, sledi da je =. Klase neograničenih operatora 23

Otuda je ( ) zatvoren jer je () zatvoren i je konačno dimenzionalan. Neka je sada bilo koji interval i 1 =,,. Pretpostavimo da je 1, 2, niz u ( 1 ) takav da 2, 1 2. Za proizvoljan kompaktan podinterval od, neka je =,,. Ako,, smatramo za elemente iz 2 ( ), tada i u 2. Kako je zatvoren prema onome što smo upravo dokazali, ( ) i = na 2 ( ). Kako je bio proizvoljan podinterval od, to je ( 1 ) i 1 =. Stav 4.4. Ako je kompaktan interval, tada svaki zatvoren operator koji je restrikcija od,, ima zatvorenu sliku. Ako je, pored toga, injektivan, tada 1 : 2 () je kompaktan. Dokaz. Pretpostavimo najpre da je injektivno. Prema teoremi 4.1. postoji invertibilan operator koji je restrikcija operatora i koji ima kompaktan inverz. Definišemo =, = 1 1. Kako je 1 zatvoren i 1 ograničen, operator je zatvoren. Takođe i drugi prostor je konačno dimenzionalan. Otuda je ograničen prema stavu.. Takođe je i () zatvoren. Kako je konačno dimenzionalan, sledi da je kompaktan. Iz 1 = + 1 i činjenice da su i 1 kompaktni, imamo da je 1 kompaktan. Specijalno, 1 je ograničen i zato je zatvoren. Ako nije injektivan, neka je 1 restrikcija od na (). Tada je 1 zatvoren, injektivan i restrikcija od. Zato je = 1 zatvoren. Neka je,, restrikcija maksimalnog operatora na one (,, ) koji imaju kompaktan nosač na unutrašnjosti od. Pod nosačem funkcije, u oznaci, podrazumevamo zatvorenje skupa (). Prema tome, (,, ) ako i samo ako je (,, ) i postoji kompaktan skup (koji zavisi od ) takav da je (). Kako je zatvoren, =,, je zatvoriv. Minimalna zatvorena linearna ekstenzija od se naziva minimalni operator koji odgovara i i označava se sa,,. Kada je jasno o kojima i se radi, pišemo umesto,,. Klase neograničenih operatora 24

Stav 4.5. Minimalni operator koji odgovara i kompaktnom intervalu, je injektivan, ima zatvorenu sliku i 1 je kompaktan na. Ako je, tada = =, 1. Dokaz. Kako je zatvoren operator i restrikcija od, iz stava 4.4. sledi da je ( ) zatvoren. Neka je 1 invertibilan operator iz teoreme 4.1. sa 1 =, 2 =. Tada je 1 zatvorena linearna ekstenzija od zato što je =, 1 = 1. Otuda je 1 ekstenzija od, čime je i injektivno. Ali tada iz stava 4.4. sledi da je 1 kompaktan na. Najzad, neka je 2 invertibilan operator iz teoreme 4.1. kome odgovaraju 1 = i 2 =. Tada =, 1 = 2. Sledi da je 2 zatvorena linearna ekstenzija od, a samim tim i od. Sledi da je ( 1 ) ( 2 ), što pokazuje poslednje tvrđenje iz stava. Klase neograničenih operatora 25

5. Adjungovani operatori običnih diferencijalnih operatora U ovom odeljku neka je = 1 + =1 (), sa (), gde je () prostor funkcija sa kompleksnim vrednostima koje imaju neprekidne k- te izvode na intervalu (koji nije neophodno kompaktan). Neka je () prostor beskonačno diferencijabilnih funkcija sa kompaktnim nosačem u unutrašnjosti od. Dodatni uslovi glatkoće koeficijenata u impliciraju da je () sadržan u (,, ). Kako je () gust u 2 (), sledi da su domeni operatora,,,,, i,, takođe gusti u 2 (). Naš cilj sada je da odredimo adjungovane operatore i. Najpre napomenimo da stav 2.4. pokazuje da je =. Da bi imali indiciju o domenima adjungovanih operatora, uzmimo, (). Tada, = () ()(), = 1. = Primetimo da su integrali dobro definisani budući da i njegovi izvodi imaju kompaktan nosač. Uzastopnom parcijalnom integracijom dobijamo = 1 i stoga (1), =,,,, gde je Prema Lajbnicovom pravilu, 1 = ( 1) () + ( 1) ( ) (). = ( ) ( ) = Zato možemo da zapišemo u obliku = ( ) (). = (), = gde je Klase neograničenih operatora 26

= ( 1) =,, što pripada () jer su. Prema tome, je diferencijalni izraz istog tipa kao. se naziva Lagranžov adjungovani operator operatora. Teorema 5.1. Neka je, maksimalan operator koji odgovara i proizvoljnom intervalu. Tada (2), =, =,,, =,. Dokaz se oslanja na sledeću lemu. Lema 5.2. Ako je Lagranžov adjungovani operator operatora, tada je =. Dokaz. Neka je =, neki kompaktan interval u unutrašnjosti od. Uzmimo ( ) i. Važi da je (na isti način kao što je dokazano u (1)), =, =,. Kako je () gust u 2 ( ), imamo = s.s. na. Ali tada = na jer su ove dve funkcije neprekidne. Sada = () + 1 = () (), gde je. Neka je sada =, za 1. Tada = na daje = na. Ali kako je bio proizvoljan kompaktan interval u unutrašnjosti od, to sledi da je = na unutrašnjosti od i zato, iz neprekidnosti, =. Dokaz teoreme 5.1. Uzmimo (, ) i,. Kako ima kompaktan nosač u unutrašnjosti od, imamo da,, =, =,. Iz ovih identiteta je jasno da je,,,, =,, za,. Pretpostavimo da je,. Da dokažemo prva dva identiteta u (2), treba da dokažemo da je,. Neka je =, kompaktan podinterval od. Definišimo Klase neograničenih operatora 27

: 2, 2,, =. Jednostavnim računom se lako proverava da za 2, i 1 važe sledeći identiteti: (3) = 1, 1!, (4) = 1, 1!, 5 ( ) = 1.., 1 (6) =,,, =, 1 1. Posmatrajmo prostor koji sadrži sve (, ) čiji je nosač sadržan u,. Tako je za nosač od kompaktan skup u unutrašnjosti od, koji je takođe sadržan u,. Sledi da za svako je = =, =,, 1. Sada stavimo =, i uzmemo. Formula (6) daje () = (), za, i odatle (), =, =, = (), = (), = = (), ( ). = = Ovde je = 1. Stoga je () ortogonalno sa (7) + ( ) u odnosu na unutrašnji proizvod u 2,. Naš cilj je da pokažemo da je s.s. jednako polinomu stepena 1. Neka je, proizvoljan kompaktan interval u unutrašnjosti od,. Identifikujmo 2, sa podprostorom od 2, koji sadrži sve funkcije koje su jednake nuli s.s. na, \,. Neka označava skup polinoma stepena 1 restrikovanih na c, d. Uzmimo, gde je = Klase neograničenih operatora 28

ortogonalni komplement od u 2, i stavimo 1, = 1!., \, Tada je i prema gornjem rezultatu sa umesto, dobijamo (). Sada () = s.s. na, i = za,. Sledi da = =. Neka je restrikcija od na,. Sledi da je ( ), i odatle postoji polinom stepena najviše 1 tako da je = s.s. na,. Ovo važi za svaki interval c, d u unutrašnjosti od,. Ali tada postoji polinom stepena najviše 1 tako da je = s.s. na,. Dakle, iz (7) 1 (8) = + ( ) skoro svuda na,. Ako definišemo 1 kao desnu stranu jednakosti (8), tada = 1 smatramo elementima iz 2,. Jasno, 1 je apsolutno neprekidno i 1 = 2 skoro svuda na,, gde je = 2 = 1 + 1 1 + 2 = 1 1. Funkcija 2 je apsolutno neprekidna na,. Specijalno, 2 je neprekidna na,. Ali tada 1 1 = 1 = 2,, implicira da je 1 diferencijabilno i 1 = 2 na celom,. Dalje, primetimo da je 2 = 3 skoro svuda na,, gde je 3 = 2 + ( 1) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 3 = 1 2 2 1. Klase neograničenih operatora 29

3 je neprekidno na [, ]. Otuda je 1 dva puta diferencijabilno i 1 (2) = 3. Nastavljajući ovaj postupak dobijamo da je 1 u,. Kako je, proizvoljan interval u, možemo zaključiti da je 2. Iz formula (8) i (5) i činjenice da je polinom stepena 1, vidimo da je = na,. Otuda = 2 i dokazali smo da je,. Da dokažemo treći identitet u (2), zamenjujemo sa i primenjujemo stav 2.4. na,. Ovo daje, =, =,. Posledica 5.3. Ako je, minimalni operator koji odgovara i kompaktnom intervalu, tada je, =. Dokaz. Prema stavu 2.5. i teoremi 5.1.,, = (, ) =, =,. Kako je interval kompaktan, = prema posledici 4.2. Sledeće ćemo opisati adjungovani operator diferencijalnog operatora oblika koji je razmotren u teoremi 4.. Da bi uradili ovo trebamo sledeće preliminarne rezultate. Uzastopnom parcijalnom integracijom dobijamo da za sve i iz (, ), važi sledeća Grinova formula: (9),, =,,, gde je (1), = 1 1 ()( ) ( 1). =1 =1 Primenom Lajbnicovog pravila na,, dobijamo Klase neograničenih operatora 3

, 1 = 1 =1 =1 = 1 1 = 1 =1 = = 1 1 1 1 1 1 = 1 1 = = =+ +1 1 1 1 = 1 = = = 1 1 ++ 1 1. Drugi identitet nam dozvoljava da zapišemo, u sledećem obliku: (11), =. 1 Ovde je =, = matrica sa elementima = 1 = 1 ++, + 1., č Osim toga, (12) = () () 1 (), = () () 1 (), i simbol * označava uobičajenu adjungovanu matricu. Simbol u 12) predstavlja Vronskijan. Primetimo da je = 1, + = 1. Kako je 1 i = za + > 1, zaključujemo da je (13) () = 1,. Specijalno, () je invertibilno za. Pošto smo zainteresovani da nađemo adjungovani operator diferencijalnog operatora pod graničnim uslovima Klase neograničenih operatora 31

1 1 + =, 1, = = neophodno je definisati odgovorajuće adjungovane granične uslove. Počinjemo sa matricama 1 1 (14) 1 = =1, =, 2 = =1, =. Neka je rang matrice = 1 2. Tada je = 2 i možemo konstruisati matrice 1 i 2 dimenzija (2 ) tako da (15) = 1 2 = 1 2. Sledeće uvodimo (16) # 2 1 1, =1, = (16) # 2 1 2. =1, = Ovde je () matrica koja se pojavljuje u (11). Proglasićemo sistem jednačina 1 = # 1 # + =, 1 2 = za adjungovane granične uslove. Sada smo spremni da dokažemo sledeću teoremu. Teorema 5.4. Neka je : 2 (, ) (, ) koji zadovoljavaju granične uslove 2 (, ) restrikcija od, na one 1 (17) = = + 1 =, 1. Pretpostavimo da je rang 2 matrice. Tada adjungovani operator je restrikcija od, na one (, ) koji zadovoljavaju adjungovane granične uslove Klase neograničenih operatora 32

1 (18) # = # + # =, 1 2, = gde su # i # definisani u (16) i (16). Dokaz. Definišimo : 2, 1 = 2, sa =, # =, 1 2, =. Potrebno je pokazati da je =. Neka su dati () i. Posmatrajmo vektore () i () definisani formulom (12). Formula (17) implicira da () (), i stoga, prema (15) postoji vektor u C 2 tako da je = 1 i = 2. Iz (9) i (11) imamo,, =,, = =,, = 2, 1, =, 2, 1 =, 1 # + 2 #, gde je 1 # (slično i 2 # ) matrica na levoj strani u (16)((16)). Ali tada možemo koristiti (18) da pokažemo da je, =,. Odatle je ( ) i =, što dokazuje da je restrikcija od. Ostalo je da dokažemo da je. Uzmimo ( ). Iz drugog dela stava 4.5. sledi da je, restrikcija od. Zato je restrikcija od,. Prema teoremi 5.1. imamo, =,. Prema tome, (, ) i =. Postoje polinomi 1,, 2 takvi da (19) 1 = 1,, 2, 2 = 1,, 2, gde je Da bi videli ovo, stavimo 1,, 1 1 1 1 1. Klase neograničenih operatora 33

(2) = (21) = Tada 1 = 1 = ( 1)! ( 1)! + 1 + 1 ( ) + ( ) ( ) +, 1, ( ) + ( ) ( ) +, 1. (22),, 1 =,,, 1 = 23,, 1 =,,, 1 =. Sada definišimo 1,, 2 sa 1 2 () = 1 () 1 + 1 () 2. Iz ove definicije i formula (22) i (23) jasno je da je (19) zadovoljeno. Kako je 1 1 + 2 2 =, formula (19) implicira da 1,, 2 pripadaju domenu operatora. Stoga, zbog (9) i (11), =,, =,, =, za = 1,,2. Ponovo korišćenjem (19), vidimo da 2 1 =. Uzmimo adjungovane matrice u drugom identitetu i koristimo (16) i (16). To # pokazuje da je =, za = 1,,2. Tako je. Linearni funkcionali 1, koji se javljaju u 17 su linearno nezavisni na (, ) ako i samo ako je rang, 2 matrice = 1 2 upravo jednak. Ovde su 1 i 2 kao u (14). Da bi videli ovo, primetimo da za 1, i u (, ) (24) = 1 =1 1 + 2. Sada pretpostavimo da je = 1 2 <. Tada postoje 1,, od kojih je bar jedan različit od nule, tako da (25) 1 1 2 =, Klase neograničenih operatora 34

i tako 24 pokazuje da su 1, linearno zavisni na (, ). Da dokažemo obrat, pretpostavimo da su 1,, od kojih je bar jedan različit od nule, takvi da je leva strana u (24) jednaka nuli za svako (, ). Kako je interval sa kojim radimo kompaktan, svi polinomi su u (, ). Konkretno, možemo da stavimo = ili =, 1, polinomi definisani sa (2) i (21). Ali tada (24) daje = 1 1 + 2 = 1 1 + 2 za =,, 1. Dakle, možemo da koristimo (22) i (23) da pokažemo da važi (25) i samim tim <. Primetimo da je u gornjoj diskusiji oblik irelevantan, jer za kompaktan interval, (, ) je nezavisno od za klasu od posmatranu u ovom odeljku. Linearni funkcionali # # 1,, 2 definisani sa (18) su linearno nezavisni na,. Da dokažemo ovo, dovoljno je dokazati (koristimo rezultat iz prethodnog pasusa) da je rang matrice # # # # 1 2 upravo jednak 2. Ovde su 1 i 2 matrice definisane kao leve strane u (16) i (16), redom. Tako je (26) 1 # 2 # = 1 2 () (). Iz definicije za 1 i 2 znamo da je 1 2 = 2. Kako su () i () invertibilni (videti formulu 13 ), iz (26) zaključujemo da 1 # 2 # ima željeni rang. Za =, kompaktan interval, teoreme 5.1. i 5.4 i dalje važe ako vodeći koeficijent, tj. koeficijent uz, u diferencijalnom izrazu je funkcija u (, ) koja ne isčezava na,. Da bi bili precizniji, neka je = =, gde je (, ), za. Prema definiciji Lagranžovog adjungovanog operatora operatora je diferencijalni izraz = = ( 1) ( ). Sada pretpostavimo da je () za svako. Stavimo = / za 1, i neka je Klase neograničenih operatora 35

= + 1 =. Primetimo da je (, ), za 1, i zato pripada diferencijalnom izrazu na koji su primenjene teoreme 5.1. i 5.. Očigledno, (27) =, =. Definicije za, i, analogne su onima za, i,. Iz (27) sledi da, =,,, =,, =,,, =,. Ovde je operator množenja sa na 2,, tj. : 2, 2,, =. Kako je neprekidno na, i () za, operator je invertibilan i 1 = 1. Iz ovih napomena je sad jasno da teoreme 5.1. i 5.. takođe važe za umesto. Kao primer gornjih rezultata, neka je diferencijalni izraz dat sa = + = + +, gde su 2 (, ) i (, ) realne funkcije. Pretpostavimo da je () za sve. Definišimo : 2, 2, sa = 2, 2,, = =, =. )zračunaćemo. Jednostavan račun daje =. Da nađemo adjungovane granične uslove, primetimo da su granični uslovi za dati sa 1 = =, 2 = =. Dakle, 1 = 1, 2 = 1, = 1 2 = 1 1. Baza za je 1, 1. Tako možemo uzeti 1 = 1, 2 = 1. Takođe, Klase neograničenih operatora 36

= =, 1 = 1 =, 11 =. Dakle, iz (26), # # # # 1 11 1 11 # = 1 1 # # # 2 21 2 21 = () (). () () () () Zato 1 # =, 2 # =. Kako je i (), operatori i imaju isti domen. Takođe, =. Zato teorema 5.4. daje =. Klase neograničenih operatora 37

6. Prostori Soboljeva Sada ćemo uvesti pojmove slabih izvoda i Soboljevog prostora koji su nam potrebni za izučavanje Dirihleovog problema. Pretpostavićemo da je Ω ograničen otvoren skup u. Tačke u označavaćemo sa = 1,,. Za = i = 1,,, n-torku nenegativnih celih brojeva, definišemo = 1 1 i =. Red od je = =1. Za svaki nenegativan ceo broj, sa () označavamo skup kompleksnih funkcija na Ω čiji parcijalni izvodi do reda postoje i neprekidni su na Ω. Skup = = () i je skup funkcija iz koje imaju kompaktan nosač u Ω. Podsetimo se da je nosač kompleksnih funkcija definisanih na Ω zatvorenje skupa () u Ω. Pišemo () ako je (), gde je neki otvoren skup koji sadrži zatvorenje od Ω. Sa 2 () označavamo Hilbertov prostor svih Lebeg- kvadratno integrabilnih funkcija na Ω snabdeven uobičajenim unutrašnjim proizvodom. Da bi definisali Soboljeve prostore neophodno je početi pojmom slabih izvoda koji se oslanja na sledeću lemu. Lema 6.1. Prostor je gust u 2 (). Dokaz. Sa () označavamo prostor svih kompleksnih neprekidnih funkcija na i sa () prostor koji sadrži funkcije iz () koje imaju kompaktan nosač u Ω. Kako je gust u 2 (), dovoljno je dokazati da je gust u () u odnosu na 2 ()- normu. Neka je realna funkcija u sa sledećim svojstvima: () >, < 1 () =, 1 () = 1. Primer takve funkcije je = 2 1 1, < 1, 1 sa konstantom izabranom tako da važi (). Pretpostavimo da je dato sa kompaktnim nosačem. Proširimo na ceo stavljanjem = za. Neka Klase neograničenih operatora 38

je proizvoljan pozitivan broj strogo manji od rastojanja do \. Definišimo za svako, = 1. Kako je, diferenciranje pod znakom integrala pokazuje da je. Takođe, je kompaktan podskup od. Pretpostavimo da je. Tada prema () i pretpostavci da je =, postoji takav da je <. Otuda je zatvoren podskup kompaktnog skupa tačaka čije je rastojanje od najviše. Iz definicije za sledi da je drugi skup sadržan u. Zato. Ostaje da dokažemo da je =. Zbog () možemo da zapišemo Dakle, () = 1. () 1 () < (). Kako je uniformno neprekidno na, sledi da uniformno konvergira na kada. Zato je =. Sa 1 označavamo prostor Lebeg- integrabilnih funkcija na. Neka je = 1,, n- torka nenegativnih celih brojeva. Za funkciju 1 kažemo da ima slab - izvod 1 ako za svako, () = ( 1). U tom slučaju pišemo =. Ovde je integracija u odnosu na Lebegovu meru. Kako je gust u 2 (), sledi da ako su 1 i 2 slabi - izvodi funkcije, tada je 1 = 2 s.s. Ako je (), tada parcijalnom integracijom dobijamo da je uobičajen - izvod funkcije. Da bi ilustrovali pojam slabog izvoda, neka je = (,2) i definišimo =, < 1 1, 1 < < 2. Tada za svako, Klase neograničenih operatora 39

2 = 1 2 2 + = 1 1 =, 1 1 gde je = 1, < 1, 1 < < 2. Otuda je slabi izvod funkcije u 1. Sada je diferencijabilna u 1, ali još uvek nema slabi izvod u 1. Zaista, pretpostavimo da je = za neko 1. Tada za svako, 2 2 = = = 1 1. Ali, ovo je nemoguće jer postoji, = 1,2, tako da je 1, 1 = 1 i ima nosač u intervalu 1 1, 1 + 1 1 = 1 = 2, odakle je U širem okviru teorije uopštenih funkcija, ima izvod koji se naziva Dirakov funkcional podržan u 1, tj. = (1), za sve. Argument korišćen iznad pokazuje da nije definisano za funkcije iz 1. Za svaki nenegativan ceo broj, neka je skup onih 2 () koji imaju slabe - izvode u 2 () za. Kako je = za =, stavljamo = 2 (). Definišemo unutrašnji proizvod, na sa., =. Prostor () sa ovim unutrašnjim priozvodom se naziva Soboljev prostor reda. Primetimo da, gde je uobičajena norma na 2 i =, 1 2. Jasno, (). Definišemo () kao zatvorenje od u (). Primetimo da je = () prema lemi 6.1. Za 1 prostor () je pravi podprostor od (). Na primer, može se pokazati da konstantna funkcija 1 pripada (), ali ne pripada () za 1. Teorema 6.2. Prostor Soboljeva () je Hilbertov prostor. Klase neograničenih operatora 4

Dokaz. Neka je Košijev niz u (). Kako je,, niz konvergira u 2 () ka nekom. Dakle, za svako i, = () = 1 = 1. Otuda je, = i 2 = 2. Sledeća teorema teorema.. je fundamentalna za izučavanje uopštenog Dirihleovog problema. Da bi je dokazali, potreban nam je sledeći rezultat. Stav 6.3. Označimo sa kocku =1, u, sa = >, 1. Za svako 1 () važi nejednakost: (1) () 2 2 2 =1 () 2 + 1 2. Dokaz. Za = 1, 2, i = 1, 2, iz, (2) 1 = 1 1, 2,, 1 + 2 1, 2, 3, 2 + 1 + 1, 2,, 1,. Iz Koši- Švarcove nejednakosti i (2) sledi (3) 2 = 2 + 2 1 2 2 1 1, 2,, 2 1 + 2 1, 2, 3, 2 2 1 2 + + 1, 2,, 1, 2. 2 Klase neograničenih operatora 41

Uzastopnom integracijom svake strane u (3) u odnosu na 1, 2,, 1, 2, (tj. integracijom na ) dobijamo 2 () 2 2 2 2 +1 2, =1 što je ekvivalentno sa (1). Teorema 6.4. Operator utapanja iz 1 u 2 () je kompaktan. Dokaz. Zatvorenje skupa u Banahovom prostoru je kompaktno ako i samo ako je totalno ograničeno. To znači da za svako > postoji konačan skup 1,, u takav da za svako, <. Kako je gust u 1 (), teorema će biti dokazana ako pokažemo da je skup =, 1 = 1 totalno ograničen u 2. Za dato >, neka je kocka u koja sadrži i neka je = =1, gde su 1, 2,, kocke čije ivice imaju dužinu 3 tako da se unutrašnjosti od 1, 2,, ne seku. Uzmimo i stavimo = na \. Kako je, imamo 1, za svako. Zato prema (1), (4) () 2 = () 2 2 + 1 =1 =1 2 6 =1 2 6 1 2 + 1 () 2 =1 2. Posmatrajmo preslikavanje = 1,, (), gde je = Očigledno je C i 2 C 2 2 1.. Otuda je () ograničen, pa i totalno ograničen u C. Zato možemo naći 1,, u tako da za svako postoji (koje zavisi od ) sa 1 =1 ( ) 2 = 1 2 2 C < 4. Zamenom sa u (4) dobijamo Klase neograničenih operatora 42

2 2 6 1 2 + 2 4 2 3 2 + 1 4 2 < 2. Odatle je totalno ograničen u 2 (). Klase neograničenih operatora 43

7. Operator definisan Dirihleovim problemom U ovom odeljku ćemo predstaviti i proučiti zatvoren neograničen operator koji je u vezi sa uopštenim Dirihleovim problemom. Neka je ograničen otvoren skup u. Pretpostavićemo da je rub od klase 2. Pod ovim smatramo da za datu proizvoljnu tačku, postoji otvorena okolina od i homeomorfizam iz u = 1, sa sledećim svojstvima: () = ; () i 1 su u 2 () i 2 (), redom; = = 1,, 1,, < 1. Neka je parcijalni diferencijalni izraz oblika (1) = (), =1 + (), = gde su svi i u () i =. S vremena na vreme će biti pogodno zapisati u tzv. divergentnom obliku: (2) = + (), sa, za =,,., =1 Klasičan Dirihleov problem je utvrditi da li za svako () postoji jedinstveno (), gde je () prostor neprekidnih kompleksnih funkcija na, tako da je = (3) = =. Ako je sada u 2 (), tada jednačina = ima smisla ako je 2 () i svako je slabi izvod. Osim toga, ako je () 1 (), onda se može dokazati da je granični uslov u (3) automatski zadovoljen. To dovodi do uopštenog Dirihleovog problema koji se bavi egzistencijom i jedinstvenošću rešenja za Klase neograničenih operatora 44

(4) = 1 () 2 (), gde je proizvoljno uzeto iz 2 (). Operator : 2 () 2 () definisan sa (5) = 1 2, = ćemo nazivati Dirihleov operator na 2 indukovan sa. U ovom odeljku izučavaćemo Dirihleov operator uz dodatnu pretpostavku da je uniformno eliptičan, što znači da postoji konstanta takva da (6) () 2, =1 =1, za svako i 1, 2,, C, gde simbol označava realni deo kompleksnog 2 broja. Na primer, ako je Laplasov operator =1, tada je uniformno eliptičan. Teorema 7.1. Neka je : 2 () 2 () Dirihleov operator indukovan diferencijalnim izrazom. Pretpostavimo da je uniformno eliptičan. Tada je zatvoren, gusto definisan operator. Osim toga, postoji takav da je + invertibilan i ( + ) 1 je kompaktan kad kod je. Primetimo da gore navedena teorema implicira da za 2 uopšteni Dirihleov problem 1 2, + = je jedinstveno rešiv ako je uniformno eliptičan i dovoljno veliko. Dokaz teoreme 7.1. zavisi od sledećih preliminarnih rezultata. Lema 7.2. Ako je uniformno eliptičan, tada postoje konstante > i tako da za svako (), (7), 1 2 2. Dokaz. Koristićemo divergentni oblik (2) za. Za svako (), parcijalna integracija daje Klase neograničenih operatora 45

(8), = +, =1 =. Kako je svaki ograničen na, uniformna eliptičnost i (8) impliciraju da postoje konstante i > takve da za svako () (9), 2 2 =1 =1. Sada, za sve realne brojeve, i svako >, (1) 2 = 2 1 2 + 1 2 = 2 + 1 2. dakle, (9) i (1) daju, 2 =1 =1 2 + 1 2 = 1 2 + + 1 2. Za dovoljno malo, =, = + + 1 >, i, 1 2 2,. U nastavku ćemo koristiti divergentni oblik (2) za. Ako je 2 (), tada za svako (), Klase neograničenih operatora 46

(11), gde je =, =1 + = () ( = =1, =1 ) + =,, (12) = ( ), =1 =1 +. Izraz se naziva Lagranžov adjungovani operator operatora. Za 2 linearan funkcional, je - ograničen na (), zbog (11). Obratno, ako je 2 () i ako je - ograničen linearan funkcional na (), tada kako je () gust u 2 () (iz leme 6.1.), funkcional ima jedinstvenu ograničenu linearnu ekstenziju do 2. Otuda, prema teoremi o Risovoj reprezentaciji, postoji jedinstveno 2 () tako da je, =,,. U tom slučaju pišemo =. Ako je 2 (), tada je =, zbog (11). Za dokaz teoreme 7.1. potrebni su nam uslovi koji obezbeđuju da = implicira =, što znači da je slabo rešenje ustvari jako rešenje. Ispostavlja se da druga implikacija važi ako je 1 () (što je sadržano u 2 ) i je uniformno eliptično. Preciznije, važi sledeća teorema. Teorema 7.3. Ako je diferencijalni izraz uniformno eliptičan, 1 i = za neko 2 (), tada je 2 () i =. Dokaz teoreme 7.3. zahteva znatnu količinu rada koji je sadržan u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina i zato je ovde izostavljen. Međutim, da bi se stekao utisak o dokazu, preispitaćemo glavne korake. Prvi veliki korak je da se uspostavi unutrašnja regularnost, tj., ako je otvoren skup sa, tada je 2 () i postoji konstanta koja zavisi od tako da je 2 () 2 + 2. Klase neograničenih operatora 47

Dalje se dokazuje da ako je - polulopta = = 1,, <, >, i = < 1 2, tada je 2 () i postoji konstanta tako da 2 () 2 + 1. Na kraju, je pokriven konačnim brojem otvorenih skupova, = 1,,, tako da svaki otvoren skup može biti preslikan -1 2 - preslikavanjem u poluloptu. Primenom gornjih rezultata i sumiranjem odgovarajućih procena, sledi dokaz teoreme. Takođe nam je potrebna sledeća lema, koja je uopštenje teoreme o Risovoj reprezentaciji i poznata je kao Laks- Milgramova lema. Podsetimo se da polulinearna forma (, ) na 1 2, gde su 1 i 2 vektorski prostori nad poljem C, je funkcional koji je linearan u i konjugovano- linearan u. Lema 7.4. Neka je Hilbertov prostor i (, ) polulinearna forma na. Pretpostavimo da postoje konstante > i > tako da (13) (, ),,, (14) (, ) 2,. Tada za dati ograničen linearan funkcional na, postoje jedinstveni i u sa osobinom da je =, =,,. Dokaz. Za svako, preslikavanje (, ) je ograničen linearan funkcional na. Zato, iz teoreme o Risovoj reprezentaciji, postoji jedinstveno tako da (15), =,,. Definišemo =. Tada je linearno na,, = (, ) i iz (13) sledi da je ograničen na. Sada iz (14) (16), =, 2. Otuda je injektivno i ima zatvorenu sliku. Kako (16) važi i za, operator je injektivan i = ( ) =. Dakle, je invertibilan. Za dat ograničen linearan funkcional na, postoji jedinstveno tako da je Klase neograničenih operatora 48

=,,. Kako je invertibilan, = za neko. Zato je =, =, =,,. Jedinstvenost za sledi iz (14). Konačno, kako je 1, = (, ) polulinearna forma na zadovoljava (13) i (14), rezultat koji smo upravo dokazali primenjen na i 1 osigurava egzistenciju jedinstvenog tako da = 1, = (, ),. Dokaz teoreme 7.. Pišemo u divergentnoj formi (2). Kao ranije, označava Lagranžov adjungovani operator operatora. Definišimo (, ) na 1 1 sa (17), =, +,., =1 Jasno, je polulinearan. Iz 11 dobijamo (18), =,, 1,, (19), =,,. Zato, iz leme 7.2., postoje konstante > i tako da je (2), =, 1 2 2,. Očigledno iz ograničenosti svakog i sledi da za neku konstantu, (21) (, ) 1 1,, 1. Kako je gust skup u 1, formule (2) i (21) impliciraju (22), 1 2 2, 1. Sada uzmimo = i neka je. Definišimo polulinearnu formu (, ) na 1 1 sa =1, =, +,. Nejednakosti (21) i (22) impliciraju da (, ) zadovoljava hipoteze leme 7.4. sa = 1. Uzmimo 2. Tada je linearni funkcional =,, 1, Klase neograničenih operatora 49

ograničen na 1. Zato, prema lemi 7.4., postoji 1 () tako da je =, =, + (, ), 1. Iz (18) sledi da za svako,, = () =, +, =, ( + ). Drugim rečima, + =. Kako je 1 i ( i zato + ) je uniformno eliptično, znamo iz teoreme.3. da je 2 i + =. Specijalno, () i + =. Ovo dokazuje da je + surjekcija. Uzmimo = 1 2. Formula (17) implicira da je, =,,, zato što je 2. Sada korišćenjem (21) i činjenice da je gust u H 1 Ω dobijamo da je, =,. Ali tada (22) daje (23) + +, = 2 +, 1 2 2. Ovde smo koristili da je =. Kako (23) važi za svaki (), dokazali smo da + ima ograničen inverz. Specijalno, operator je zatvoren. Ostalo je da dokažemo da je ( + ) 1 kompaktan operator na 2. Za dat ograničen niz u 2, neka je = ( + ) 1. Tada prema (23), 1 2 1 1 1. Dakle, je 1- ograničen niz u 1. Ali tada, preme teoremi 6.4., niz ima podniz koji konvergira u 2 (), što dokazuje kompaktnost ( + ) 1 na 2 (). Teorema 7.5. Neka je : 2 () 2 () Dirihleov operator indukovan diferencijalnim izrazom i neka je Lagranžov adjungovani operator operatora. Ako je uniformno eliptičan, tada je Dirihleov operator indukovan sa, tj = () i =. Dokaz. Neka je : 2 () 2 () Dirihleov operator indukovan sa. Iz (12) sledi da je uniformno eliptičan. Zato, iz teoreme.1., postoji tako da + i + imaju ograničene inverze na 2. Iz (11) (primenjeno na + umesto ) imamo (24) +, + 1 =, + + 1 =,, za proizvoljne 2 i. Klase neograničenih operatora 5

Da dokažemo teoremu dovoljno je dokazati da je + gust u 2 (). U tom slučaju, za dato 2 () postoji niz u tako da + u 2, i iz (24), za svako 2. Otuda, Dakle, =., + 1 = +, + 1 =, = ( + ) 1,, ( + ) 1 = ( + ) 1 = + 1. Ostalo je da dokažemo da je + gust u 2 (). Pretpostavimo da nije. Kako je + sadržan u, iz leme 6.1. sledi da postoji u tako da (25) +,,. Neka je (, ) polulinearna forma definisana sa (17). Tada (11) i (18) impliciraju (26) = +, =, + =, +,, za svako. Specijalno, (27) 2 +, =. 2 Iz (23) koji važi za svako ()) leva strana u (27) dominira 1 za. Sledi da je =, što je kontradikcija. Klase neograničenih operatora 51

Literatura 1 I. Gohberg, S. Goldberg, M:A: Kaashoek, Classes of linear operators, I,II,III, Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 199. 2 S. Kurepa, Funkcionalna analiza: elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 198. 3 S. Goldberg, Unbounded Linear Operators, Theory and applicaions, University of Maryland, 1966. Klase neograničenih operatora 52

Biografija Milena Nikolić je rođena... godine u Leskovcu, Republika Srbija. Osnovnu školu ''Vožd Karađorđe'' je završila u Leskovcu sa odličnim uspehom. Srednju Medicinsku školu, smer farmaceutski tehničar, je završila u Leskovcu sa odličnim uspehom. Osnovne akademske studije Matematike upisala je na Prirodno- matematičkom fakultetu u Nišu, na Odseku za matematiku i informatiku školske /1. godine. Master studije na departmanu za matematiku i informatiku, Prirodno- matematičkog fakulteta u Nišu, smer matematika, upisala je oktobra. godine i završila u oktobru 214. godine. Klase neograničenih operatora 53