UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Second Semester Eamination 015/016 Academic Session June 016 MAT 101 - Calculus [Kalkulus] Duration : hours [Masa : jam] Please check that this eamination paper consists of EIGHT pages of printed material before you begin the eamination. [Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi LAPAN muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.] Instructions: Answer SIX (6) questions. [Arahan: Jawab ENAM (6) soalan]. In the event of any discrepancies, the English version shall be used. [Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai.] /-
- - 1. (a) Suppose Find, f ( ), 0. 1, 0 lim f( ). Why is f continuous at? (iii) What is lim f( )? 0 [ 40 marks ] Find the following limit if it eists. sin t lim t0 sin t 9 lim 0 [ 40 marks ] Suppose lim f( ) eists but lim g ( ) lim[ f ( ) g( )] does not eist. does not eist. Prove that [ 0 marks ] 1. (a) Andaikan, f ( ), 0. 1, 0 Cari lim f( ). Kenapa f selanjar pada? (iii) Apakah lim f( )? 0 [40 markah] /-
- - Cari had yang berikut jika ia wujud. sin t t lim t0 sin 9 lim 0 [ 40 markah ] Andaikan lim f( ) wujud tetapi lim g ( ) lim[ f ( ) g( )] tidak wujud. tidak wujud. Buktikan bahawa [ 0 markah ]. (a) Prove lim( 1) using the - -definition. 1 [ 0 marks ], 0 Suppose f( ), 0 determine whether f (0) eists.. Using the definition of derivatives, [ 0 marks ] Find the derivative of the function. Do not simplify your answer. y e y e sec (iii) (iv) y y ln( 1) sin ln (v) y e e e [ 40 marks ] 4/-
- 4 -. (a) Buktikan bahawa lim( 1) dengan menggunakan takrif -. 1 [ 0 markah ], 0 Andaikan bahawa f( ), 0 terbitan, tentukan sama ada f (0) wujud.. Dengan menggunakan takrif [ 0 markah ] Cari terbitan bagi fungsi yang berikut. Jangan permudahkan jawapan anda. (iii) y e y e sec y ln( 1) (iv) y sin ln (v) y e e e [ 40 markah ]. (a) State the Intermediate Value Theorem. [ 15 marks ] Show that the equation 1 has a real root between 0 and 1. [ 5 marks ] Show that the equation 1 has eactly one real root. [0 marks] (d) Find the absolute maimum and absolute minimum of the function f ( ) 1on the closed interval [0,]. [0 marks] 5/-
- 5 -. (a) Nyatakan Teorem Nilai Pertengahan. [ 15 markah ] Tunjukkan bahawa persamaan antara 0 dan 1. 1 mempunyai satu punca nyata [ 5 markah ] Tunjukkan bahawa persamaan punca nyata. 1 mempunyai tepat-tepat satu [ 0 markah ] (d) Cari nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak bagi fungsi f ( ) 1 pada selang tertutup [0,]. [ 0 markah ] 4. (a) The region bounded by the graph of y and y is rotated about the y -ais. Compute the volume of the solid obtained using the shell method. [ 40 marks ] Find each of the following integrals. sec d 4 56 d [ 60 marks ] 4. (a) Rantau yang dibatasi oleh graf bagi y dan y dikisarkan sekitar paksi y. Hitungkan isipadu kisaran dengan menggunakan kaedah kerangka. [ 40 markah ] Cari setiap kamiran yang berikut. sec d 4 56 d [60 markah] 6/-
- 6-5. (a) Show that tan whenever 0. [ 0 marks ] Find F '( ), where 4 F( ) t sin t dt. 1 [ 0 marks ] Does the definite integral 7 d eist? Why? 4 ( 1)( 10) [ 15 marks ] (d) Evaluate the telescoping sum 99 1 1 i1 i1 i. [ 5 marks ] 5. (a) Tunjukkan bahawa tan apabila 0. [ 0 markah ] Cari F '( ) untuk 4 F( ) t sin t dt. 1 [ 0 markah ] Adakah kamiran tentu 7 d wujud? Kenapa? 4 ( 1)( 10) [ 15 markah ] (d) Hitungkan hasil tambah teleskop 99 1 1 i1 i1 i. [5 markah] 7/-
- 7-6. (a) Suppose y. Find dy d using logarithmic differentiation. [ 0 marks ] Suppose f ( ) cos. Assuming f is one-to-one, find the derivative of 1 f at 1. [ 0 marks ] Is the following statement true or false? Just write down the correct answer, that is, either TRUE or FALSE. If f is an even function with domain, then f ( ) f ( ) for infinitely many real numbers. The limit 1 lim sin 0 does not eist. (iii) If lim[ f ( ) g( )] eists, then both lim f( ) eist. and lim g ( ) must (iv) If a function f is continuous at a, then f is differentiable at a. (v) If f is an even function, then f ( ) d 0. (vi) There eists 0 such that for every 0, we have. (vii) If f is differentiable at a, then lim f( ) eists. (viii) If f ( a) f ( b) whenever a b, then f is one-to-one. If lim f( ), then lim f( ) eists. () Continuity of f on [ ab, ] is sufficient to guarantee the Riemann integrability of f on [ ab., ] [ 50 marks ] 8/-
- 8-6. (a) Andaikan y. Cari pembezaan logaritma. dy d dengan menggunakan cara [ 0 markah ] Andaikan f ( ) cos. Dengan anggapan f adalah satu-ke-satu, cari terbitan 1 f pada 1. [ 0 markah ] Adakah kenyataan berikut benar atau palsu? Cuma tuliskan jawapan yang betul, iaitu sama ada BENAR atau PALSU. Jika f ialah satu fungsi genap dengan domain, maka f ( ) f ( ) untuk nombor tak terhingga banyak. Had 1 lim sin 0 tidak wujud. (iii) Jika lim[ f ( ) g( )] wujud, maka kedua-dua lim f( ) lim g ( ) mesti wujud. dan (iv) Jika suatu fungsi f adalah selanjar pada a, maka f terbezakan pada a. (v) Jika f ialah satu fungsi genap, maka f ( ) d 0. (vi) Wujud 0 supaya untuk setiap 0,. (vii) Jika f terbezakan pada a, maka lim f( ) wujud. (viii) Jika f ( a) f ( b) apabila a b, maka f adalah satu-ke-satu. Jika lim f( ), maka lim f( ) wujud. () Keselanjaran f pada [ ab, ] adalah mencukupi untuk memastikan kebolehkamiran Riemann f pada [ ab., ] [50 markah] - ooo 0 ooo -