História nekonečne malej veličiny PROJEKTOVÁ PRÁCA Martin Čulen Alex Fleško Konzultant: Vladimír Repáš Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium, Skalická 1, Bratislava BRATISLAVA 2013
1. Obsah 1. Obsah 2. Úvod 3. História nekonečne malej veličiny 3.1. Matematické nekonečno a 1. kríza matematiky 3.2. Ľudia minulosti a ich problémy s nekonečnom 4. Nekonečne malá veličina v súčasnosti 4.1. Matematika dostáva základy 4.2. Teória množín 4.3. Rozšírenie prirodzených čísel 4.4. Konštrukcia hyperreálnych čísel 4.5. Neštandardná analýza 5. Záver 6. Použitá literatúra 7. Resumé 8. Resumé v anglickom jazyku 9. Resumé v nemeckom jazyku 2
2. Úvod Nekonečne malá veličina je pojem, ktorým sa zaoberalo už mnoho ľudí. Aby sa ale tí ľudia mohli priblížiť k tomuto pojmu, museli najprv zistiť, čo je to vôbec nekonečno. Niektorí tvrdili, že taká vec ako nekonečno nemôže existovať. Iní, ako napríklad Pytagoras zo Samu alebo Zenon z Eley prišli k radikálnym objavom a celkom zmenili pohľad na nekonečno. Neskôr sa tu objavili aj ľudia ako napríklad Isaac Newton alebo Gottfried Leibniz, ktorí robili pokusy s nekonečne malou veličinou a i keď s ňou nezachádzali korektne, dosiahli mnohých významných objavov, ako napríklad objav diferenciálneho a integrálneho počtu. Newtonove a Leibnizove výpočty skvelo súhlasili s pozorovaním, ale Newtonove výsledky boli založené na akýchsi nekonečne malých veličinách, ktoré zázračne mizli a objavovali sa na vhodných miestach výpočtu, pričom nikto nevedel presne povedať, čo to tá nekonečne malá veličina vôbec je a Leibnizove zase na čudných výrazoch typu. Nikto nevedel vysvetliť, ako to, že na prvý pohľad tak neurčité a na intuícií založené teórie môžu dávať tak dobre fungovať. Kritici tvrdili, že iba vďaka vzájomnej kompenzácií chýb. Všetko to ukončili Augustin Cauchy a Karl Weierstrass, ktorí problém vyriešili tak, že úplne zabudli na nekonečne malé veličiny a preformulovali diferenciálny a integrálny počet pomocou limít. Nekonečne malé a veľké veličiny boli tak na pomerne dlhé obdobie vytlačené limitami z centra matematického diania. Ľuďom, čo aplikovali matematiku na svet okolo nás, sa to ale veľmi nepáčilo, pretože veľkej časti z nich nepripadala myšlienka limít tak elegantná, ako nekonečne malé veličiny. Neskôr boli niektoré základné myšlienky nekonečne malých veličín vzkriesené a s pomocou výrazného pokroku v iných oblastiach matematiky sa podarilo znovu vybudovať teóriu, ktorá obsahuje nekonečne malé veličiny, ale teraz už absolútne korektným spôsobom. V poslednom čase sa navyše ukazuje, že nekonečne malé a veľké veličiny nie sú iba triviálnou a intuitívnejšou náhradou limít. Dôkazy rôznych tvrdení pomocou nekonečne malých veličín sa ukázali kratšie a lepšie pochopiteľné. Je iba otázkou času, kedy sa objaví veta, ktorá by sa dala dokázať iba nekonečne malými veličinami, nie klasicky. Týmto si zabezpečila moderná teória nekonečne malých veličín navždy významné postavenie v matematike. Aj napriek tomu, že nekonečne malé veličiny sú mocnejšie, boli by pre väčšinu ľudí prirodzenejšie, tak sa na školách stále vyučuje hlavne klasická analýza pomocou limít. Veľa ľudí nikdy o nekonečne malých veličinách nepočulo a ak áno, tak iba v spojitosti s Newtonom a Leibnizom, ktorých teórie však neboli korektné. A to je aj cieľom tejto práce oboznámiť s nekonečne malými veličinami a porovnať, ako používal nekonečne malé veličiny Newton a čo predchádzalo jeho objavom a ako sa používajú dnes. 3
3. História nekonečne malej veličiny 3.1. Matematické nekonečno a prvá kríza matematiky O nekonečne V matematike poznáme dve nekonečná: potenciálne nekonečno a aktuálne nekonečno. Slovo potenciálny sa dá vysvetliť slovom možný a slovo aktualizácia znamená prechod od možnosti k skutočnosti. Rozdiel by sa dal vysvetliť na nasledovnom príklade: Deti v škole sa učia počítať do desať, majú k tomu model desiatich prstov na rukách. Neskôr sa naučia pracovať s číslami do sto a do tisíc. Vtedy začínajú preteky, kto vie povedať väčšie číslo: tisíc, dvetisíc, desaťtisíc, milión, bilión, trilión. Keď objavia milión, milión miliónov miliónov atď., tak ich pretek je nezaujímavý, lebo nikdy neskončí. Objavili potenciálne nekonečno: ku každému číslu vedia zostrojiť ešte väčšie. Inými slovami, poznajú možnosť zostrojenia čísla väčšieho ako ľubovoľné dané číslo. V tomto okamihu vstupuje však do hry chytrák, ktorý sa nenechá predbehnúť a preteky uzavrie tým, že zahlási nekonečno. To je predsa väčšie ako každé iné číslo. Tento sa pozerá (ak si to uvedomí) na všetky možnosti ako na jeden celok a to je aktuálne nekonečno. (ZNÁM, Š., 1986, s. 169) Keď Euklides vytváral pojem čísla, pracoval s potenciálnym nekonečnom. To, že pracoval s potenciálnym nekonečnom sa najlepšie ukazuje v 9. knihe Základov, kde tvrdí, že prvočísel je viac ako každé dané množstvo prvočísel, čiže tým chcel povedať, že ak mu dáte ľubovoľný (konečný) počet prvočísel, on vytvorí také prvočíslo, ktoré medzi nimi nie je. Potenciálne nekonečno nepotrebovalo nijakú teóriu a v matematike a používalo sa takmer tritisíc rokov. Horšie bolo aktuálne nekonečno... Príčiny prvej krízy matematiky V matematike poznáme tri krízy. Druhú krízu vyvolali nekonečne malé veličiny Newtona a Leibniza. Prvú krízu vyvolalo taktiež nekonečno, ale kvôli iným dôvodom. Bol to aj pytagorejský objav nesúmerateľnosti úsečiek. V dnešnej dobe sa to dá vysvetliť takto: racionálne číslo sa dá opísať pomocou konečného počtu prirodzených čísel. Na opísanie pomocou sčítania a násobenia nestačí konečne mnoho prirodzených čísel. Starí Gréci tento problém nevedeli takto vyjadriť, namiesto toho ho cítili. Ľahko sa dá pochopiť hrôza, ktorú objav iracionálnosti u pytagorejcov vyvolal a niet divu, že jeho objaviteľa Hippasusa z Metapontu hodili do mora žralokom. Medzitým sa zjavil Zenon z Eley so svojimi apóriami. Ako by sa na ne díval dnešný matematik? Zenon odmietal aktuálne nekonečno, a taktiež aj všetci ostatní grécki matematici a filozofi. Dnešný človek (so znalosťami stredoškolskej matematiky 20. storočia) by vysvetlil apóriu Dichotómia takto: teleso prejde polovicu dráhy za čas 4
t, teda polovicu polovice za čas ½ t atď., takže celú dráhu prejde z bodu A do bodu B za čas t + ½ t + (½) 2 t... = 2t. Áno ale použil pri tomto aktuálne nekonečno, aby sme si to zobrali ako celok. Ale starí Gréci takýto nekonečný aktuálny celok odmietali ako aj celé aktuálne nekonečno. Aristoteles tiež pracoval s nekonečnom a aktuálne nekonečno podľa neho neexistuje, od čoho sa odvíja jeho citát: Nič, čo je nekonečné, nemá bytie. 5
3.2. Ľudia minulosti a ich problémy s nekonečnom Pytagoras zo Samu (590-497 pred n. l.) Je považovaný za prvého propagandistu filozofie a bol to jedným z najvýznamnejších ľudí, ktorí kedy žili. V spolku, ktorý Pytagoras založil, ho považovali za veľkú autoritu a výrok Pytagoras to povedal sa vraj používal ako argument pri uplatňovaní nejakého názoru. Uskutočnil veľmi veľa objavov významných pre celú matematiku. Napríklad určite poznáte Pytagorovu vetu, ktorá popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto: obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. Významným objavom jedného z jeho žiakov je objav iracionálnych čísel. Totiž nie každé kladné číslo možno napísať ako podiel dvoch prirodzených čísel. Čísla, ktoré tak nemožno písať, voláme iracionálne. Ich objav bol významným krokom vo vývoji matematiky. Historické dokumenty o tom, ako k objavu došlo, nemáme, ostávajú nám iba dohady. Spomedzi hypotéz, ktoré o objave iracionálnych čísel existujú, sa najčastejšie spomínajú dve, jedna aritmetická a druhá geometrická. d n + d n = d m d p + d p = d q Aritmetická: Vieme, že Pytagoras prišiel s otázkou: Existuje štvorec, ktorého polovica je tiež štvorec? Dnes tu ide o riešenie rovnice 2d n = d m. Úlohu si "zmenšíme" na úlohu 2d p = d q kde p = m - n a q = 2n - m. Ak pre prirodzené čísla m a n platí 2n 2 = m 2, tak aj pre p = m - n, q = 2n m platí 2p 2 = q 2. Pritom p + q = n, čiže dvojica p, q je menšia ako dvojica n, m. Tak sme dokázali toto tvrdenie: Ak existuje celočíselné riešenie rovnice (2d n = d m ), tak existuje aj celočíselné riešenie rovnice od tohto menšie (2d p = d q ). Posledné tvrdenie je neuveriteľné. Veď ak ku 6
každému riešeniu môžeme nájsť menšie, kedy dôjdeme k najmenšiemu? Táto absurdita je jadrom dôkazu neriešiteľnosti rovnice (2d n = d m ). Keby existovalo čo len jediné riešenie rovnice (2d n = d m ), tak zoberieme od neho menšie, potom ešte menšie a ešte menšie a tak by sme mohli pokračovať neobmedzene ďalej. Lenže čísla m, n v prvom riešení boli konečné. Preto sme po ich m-násobnom zmenšení museli nutne prísť k číslam záporným, a to je nemožné. Došli sme k sporu. Preto rovnica 2d n = d m nemôže mať ani jedno jediné riešenie. Výsledok, ku ktorému sme došli, nemožno dosiahnuť experimentovaním. Experimentovaním možno nájsť riešenie, ale nemožno ukázať, že riešenie neexistuje. Egyptský či babylonský matematik by k takému záveru dôjsť nemohol, ba čo viac, keby mu ho niekto predviedol, asi by ho ani nepochopil. Nepochopil by, že možno dokázať neriešiteľnosť. Výsledok by považoval za neschopnosť riešiteľa, nie za pravdu. Argumentoval by, že raz možno dajaký lepší počtár riešenie objaví. Dokázali sme, že neexistujú prirodzené čísla, pre ktoré platí 2n 2 = m 2. Toto tvrdenie má vážny dôsledok týkajúci sa základného poznatku pytagorejskej matematiky, ktorá znie: Každé dve čísla majú spoločnú mierku. Axióma hovorí teda toto: Ak sú a, b dve ľubovoľné čísla (dĺžky), tak nutne existuje také číslo d (mierka), že každé z čísel a, b sa dá touto mierkou d odmerať bez zvyšku. Teraz uvidíme, že náš výsledok a axióma sa navzájom vylučujú. Zoberme dve dĺžky: stranu štvorca a jeho uhlopriečku; prvá nech je a, druhá b. Podľa Pytagorovej vety platí 2a 2 = b 2. Podľa axiómy existuje také číslo d, že čísla n =, m = sú prirodzené. Po dosadení do Pytagorovej vety dostaneme rovnosť 2n 2 = m 2, čo odporuje nášmu tvrdeniu. Tieto dve tvrdenia nemôžu existovať vedľa seba. Jedno z nich je nepravdivé. Naše tvrdenie bolo nezvratne dokázané, preto nepravdivá je axióma. Bolo dokázané, že okrem čísel, ktoré možno vyjadriť ako podiel dvoch prirodzených čísel, existujú aj iné kladné čísla. Bola dokázaná existencia iracionálnych čísel. Geometrická: Aj jej motivácia začína v mágii, a to pri obrazci, ktorému pytagorejci pripisovali magickú moc, pri pentagóne, pravidelnom päťuholníku. Presnú konštrukciu pentagónu predgrécke národy nepoznali. Pre pytagorejcov bolo odhalenie presnej konštrukcie otázkou odhalenia ďalšej hlbokej pravdy kozmu. Preto je pravdepodobné, že sa o to pokúšali. Stačilo nájsť konštrukciu trojuholníka ABC (pozri Obr. č. 1), lebo body D, E by sa už potom našli ľahko. V duchu axiómy ( Každé dve čísla majú spoločnú mierku. ) by sa dalo očakávať, že pytagorejci budú A B D 1 C 1 E E 1 Obr. č. 1 B 1 A 1 C D 7
hľadať spoločnú mierku úsečiek AB a AC. Predpokladajme, že taká úsečka dĺžky d existuje. Uvidíme, že potom dĺžkou d možno odmerať bez zvyšku nielen stranu AB a uhlopriečku AC veľkého pentagónu, ale aj stranu a uhlopriečku pentagónu A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. Takže ak AC = md, AB = nd, tak E 1 C = (m - n)d, lebo AE 1 = AB a tiež C 1 E 1 = (m - n)d a D 1 E 1 = (2n - m)d, lebo C 1 E 1 = E 1 C a D 1 E 1 = AE 1 - E 1 C. Takže z predpokladu existencie spoločnej mierky d uhlopriečky a strany pentagónu ABCDE vyplýva, že tá istá mierka meria aj uhlopriečku a stranu pentagónu A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. Podľa rovnakého argumentu potom mierka d meria aj uhlopriečku a stranu ďalšieho menšieho pentagónu atď. Je očividné, že v postupnosti stále sa zmenšujúcich pentagónov musíme raz dôjsť k dĺžke menšej ako údajná mierka d a ňou merateľnej. To je však spor. Teda strana a uhlopriečka pentagónu sú nesúmerateľné. Preto ak zvolíme stranu za jednotku, bude dĺžka uhlopriečky iracionálne číslo. To je geometrický objav iracionálnych čísel. Zenon z Eley (490-430 pred n. l.) Uskutočnil rozsiahlu analýzu pojmov pohyb, zmena, jedno a mnohé, čas a nekonečno. Duchaplné príklady, ktorými dokazoval učenie svojho učiteľa, znamenajú jeden z vrcholov gréckeho myslenia. Pôvodne vraj bolo týchto apórií vyše 40. Zachovalo sa nám ich 9, aj keď je možné že sú skreslené alebo pozmenené kvôli ich mnohonásobným prepisovaniam. Tak tu sú aspoň 3 jeho najznámejšie apórie: Letiaci šíp: Na letiaci šíp sa dívame tak, že žmurkáme. V každom inom okamihu vidíme šíp stáť na inom mieste. To znamená, že pohyb sa skladá z množstva nehybných okamihov. To je nemožné. Preto pohyb neexistuje a je iba zdaním. Dichotómia (dichotómia = rozdeľovanie niečoho na dve časti): Teleso má prejsť cestu z bodu A do bodu B. Najprv teda prejde polovicu dráhy, potom polovicu zo zvyšnej polovice, potom opäť polovicu z úseku, ktorý ešte ostal,... Toto teleso sa teda nikdy do daného bodu B nedostane. Achilles a korytnačka: Slávny Achilles uteká 10-krát rýchlejšie ako korytnačka, ktorá má pred ním náskok celých 10 metrov. Kedy ju Achilles dobehne? Nikdy! Lebo keď prebehne 10 metrov, korytnačka prejde zatiaľ 1 meter, a zase bude pred Achillom. Keď prebehne tento jeden meter, korytnačka prejde 1 decimeter, keď Achilles prebehne ten 1 decimeter, korytnačka bude pred ním ešte o centimeter,... Čo znamená, že táto naháňačka sa nikdy neskončí. Určite si o týchto apóriach hovoríte, že sú to vtipné nezmysly. Vyvrátiť ich nie je žiaden problém. Stačí to, že už Diogenes zo Sinope prešiel z bodu A do bodu B, a tým experimentálne vyvrátil apóriu Dichotómia. Lenže Zenon mal na toto dobrý protiargument: Naozaj môžeme prejsť z bodu A do bodu B a zmyslami túto skutočnosť evidovať. Keď však chceme to, čo oči vidia, pochopiť rozumom, musíme o pohybe uvažovať tak, ako som ukázal. A ja som ukázal, že o pohybe uvažovať nemožno. Pohyb je vlastný iba premenlivému svetu zmyslov, ale cudzí skutočnému bytiu. 8
Kríza nekonečna pokračuje Ďalej s aktuálnym nekonečnom sa stretol a známy Galileo Galilei (1564-1642). Keď sa roku 1638 vrátil naspäť domov do Florencie (vtedy už bol celkom slepý) napísal svoje druhé Dialógy Matematické rozhovory a dôkazy o dvoch nových A X mechanických vedách. V tomto diele sa nachádzajú dôležité fakty. Prvý fakt: Ak AB a CD sú dve úsečky a my ich porovnáme, majú rovnaký počet bodov. Druhý fakt: Každému prirodzenému číslu vieme vytvoriť jeho štvorec (2 4, 3 9, atď.). Teda A prirodzených čísel je rovnaký počet ako ich štvorcov. Obidva fakty sú pravdivé. A tu sa Obr. č. 2 stretávame s aktuálnym nekonečnom. Ale svojich záverov sa zľakol. Predsa z jeho úvah vyplýva, že úsečka AB a jej časť AX (pozri Obr. č. 2) majú rovnaký počet bodov. Ale u Euklida ôsma axióma hovorí: časť je menšia ako celok. Euklides bol veľká autorita a Galileo to mal v jeho živote už dosť zlé a nechcel sa dostať do sporu s Euklidom, takže toto celé ukončil slovami to nemôže byť. Ďalej sa tu objavil zase Leibniz so zistením, že prirodzených čísel je rovnako veľa ako párnych prirodzených čísel. A záver je to, že počet všetkých prirodzených čísel neexistuje (keďže neuznával aktuálne nekonečno). Ale o aktuálnom nekonečne priznal, že príroda ho má v obľube. K podobnému záveru prišiel v roku 1831 Gauss, ktorý povedal: Protestujem proti použitiu nekonečného množstva ako skutočného celku; to nie je dovolené v matematike. Nekonečno je len spôsob hovorenia.... Rovnako Cauchy odmietal pripustiť existenciu aktuálneho nekonečna, lebo táto protirečí ôsmej Euklidovej axióme ( Časť je menšia ako celok. ). B Isaac Newton (4. január 1643 31. marec 1727) Isaac Newton bol anglický matematik, fyzik a filozof. Žil vo Woolsthorpe. Tejto vidieckej samote akoby sa vyhýbali nielen politické nepokoje, ale aj prírodné živly. Sem domov sa utiahol aj mladý Isaac Newton, keď šíriaci sa mor začal zaplavovať anglické mestá jedno za druhým. Isaac nepoznal svojho otca, narodil sa tri mesiace po jeho smrti. Matka sa vydala aj druhý raz a aj druhý raz ovdovela. Zostala sama s tromi nezaopatrenými deťmi. Vtedy vybrala Isaaca zo škôl a skúsila ho pripútať ku gazdovstvu. Bola to zbytočná námaha. Isaacovi to v hospodárstve jednoducho nešlo, a tak po necelých štyroch rokoch sa sedemnásťročný Newton znovu dostal do škôl, tentoraz na univerzitu v Cambridge. Isaacova matka si predstavovala, že jej syn pôjde v šľapajach otca a stane sa pastorom. To isté čakala aj jeho snúbenica slečna Storeyová. Chudobný študent zatiaľ preukazoval na univerzite výnimočnú húževnatosť a cieľavedomosť. V krátkom čase vnikol do posledných výskumov matematiky a fyziky a sotva dvadsaťročný získal titul bakalára. V tom čase dokonale 9
ovládal spisy Archimedove, Galileiove i Descartove. Pravda, v tej rýchlosti, v tom zúfalom úteku pred epidémiou si nič z toho nestihol vziať do svojho dobrovoľného vyhnanstva. Aj keď pricestoval domov bez knižiek, ale s plnou hlavou nápadov a s veľkou chuťou do práce. Harmónia prírody a vidieckeho človeka v nej akoby ho nabádali v úsilí vniesť harmóniu do spleti hmlistých matematických pojmov a vzťahov. Fluxie a fluenty: Začal sa zaoberať všeobecnými vzťahmi medzi fluentami a fluxiami. Fluxie boli rýchlosti, akými rastú fluenty následkom vytvárajúceho ich pohybu. Napríklad pre fluentu (ktorá inak opisuje závislosť dráhy od času pri rovnomerne zrýchlenom pohybe) Newton vypočítal jej fluxiu takto: vzal tzv. nekonečne malú veličinu (on ale pracoval s nekonečne malými veličinami čisto intuitívne a nemal ich nijako korektne matematicky podložené). Za čas, za ktorý sa zmení na, sa veličina zmení na, teda. Pretože, dostávame z toho. Keď to ešte vydelíme dostaneme. Ale veličina, ktorá je nekonečne malá, nie je ničím v porovnaní s ostatnými. Preto ju škrtneme, a tak dostaneme fluxiu (rýchlosť). Newton strávil nad svojimi výpočtami celé dni i noci. Bol na prahu veľkých objavov, týkajúcich sa nekonečných radov, na čo boli však potrebné zdĺhavé výpočty, ktoré nemali konca. Okrem toho riešil problémy kvadratúry. Už Archimedes vedel, že parabola vytvorí s úsečkami, útvar s obsahom (Obr. č. 3). Ako to dať do súvisu s fluxiami fluent, ktoré sú? Problém vyriešila táto myšlienka: zoberme meniaci sa obsah ako fluentu v závislosti od vzdialenosti nuly a. Tento obsah nech je. Ak zmeníme na, tak sa zmení na alebo (čo je to isté) na (,, pričom obsah obsahu Obr. č. 4). Preto. Keďže, tak z ľavej strany zoberieme, Obr. č. 3 z pravej strany a dostaneme. Ďalej upravíme zlomky, vydelíme všetko a dostaneme. Keďže o je nekonečne malé, vyškrtneme ho a dostávame, že, teda z = je obsah odpovedajúci fluente. A problém je vyriešený. Obr. č. 4 10
Limity a nekonečne malé veličiny: Newtona čakala úspešná vedecká kariéra. V roku 1669 sa stal Newton profesorom cambridgeskej univerzity. Ujmúc sa katedry, musel dať zbohom svojej snúbenici slečne Storeyovej, lebo podľa tradície profesori zostávali starými mládencami. Za zmienku stojí skutočnosť, že miesto mu z vlastného rozhodnutia uvoľnil jeho bývalý učiteľ Isaac Barrow (1630-1677), ktorý spoznal Newtonov talent i jeho húževnatosť. Barrow študoval pôvodne klasické jazyky a veľa cestoval. Počas svojich štvrťročných ciest sa vraj dostal aj medzi pirátov. Potom sa ako 29-ročný Barrow stal profesorom gréčtiny v Oxforde, neskôr geometrie v Londýne a nakoniec od roku 1663 matematiky v Cambridge. Dodnes je jednou z najvýznamnejších viet infinitezimálneho počtu Newtonova Leibnizova formula tvoriaca most medzi diferenciálnym a integrálnym počtom: Pritom F je ľubovoľná funkcia spojitá na, ktorej derivácia na je (t.j. pre všetky ). Týmto objavom sa napr. kvadratúra paraboly zjednodušila až takto: Bernard Bolzano a jeho Paradoxy nekonečna Aj keď kopa ľudí v minulosti absolútne nechcela priznať existenciu aktuálneho nekonečna, predsa sa našiel jeden, ktorý považoval aktuálne nekonečno za niečo samozrejmé a začal ho skúmať. Bol to Bernard Bolzano. Za svojho života napísal významné dielo, ktoré vyšlo však až tri roky po jeho smrti (konkrétne 1851) a volalo sa Paradoxy nekonečna. Ako dôvod napísania tohto diela uviedol, že chce vyvrátiť spor matematických paradoxov. Nekonečno definuje ako protiklad konečna. A preto sa snaží definovať konečno. Potom uvádza zopár nekonečných množín. V 14 argumentuje proti neexistencii aktuálneho nekonečno nasledovne: K tomu aby sme si mohli myslieť nekonečný celok, skladajúci sa z predmetov nemusíme mať o každom z nich predstavu. Môžeme si predsa myslieť množinu všetkých obyvateľov Prahy alebo množinu všetkých obyvateľov Pekingu ako celky bez toho, aby sme mali predstavu o každom obyvateľovi týchto miest. Potom zavádza pojem rovnakej mohutnosti množín. Ukazuje príklady množín rovnakej mohutnosti a nezdá sa mu zvláštne, že časť nekonečnej množiny môže mať rovnakú mohutnosť ako celok. Toto dielo však bolo oveľa viac filozofické ako matematické, a zostalo nepovšimnuté. Avšak je rozhodne originálne a inšpiratívne. 11
4. Nekonečne malá veličina v súčasnosti 4.1. Matematika dostáva základy Po tisícročiach skúmaní a vývinu praktickej matematiky, postavenej na značne vetchých základoch a intuícií, ako napríklad Newtonov a Leibnizov diferenciálny a integrálny počet, sa matematika obrátila do svojho vnútra a matematici si začali klásť na prvý pohľad hlúpe otázky. Otázky ako napríklad čo je to číslo?, ako sčítavať čísla? a podobne. Jednoducho potrebovali dať celej matematike pevné základy, pomocou ktorých by sa dali zodpovedať všetky tieto otázky. V zásade sa vtedajšia matematika dala rozdeliť na dve veľké časti na matematiku tvarov a obrazcov (geometriu) a na matematiku čísel - aritmetiku. Geometrii (alebo aspoň jej časti) sa ako prvý pokúsil dať pevné základy grécky matematik Euklides vo svojich knihách (príhodne nazvaných Základy). Niektoré jeho definície (ako napríklad: bod je to, čo sa nedá rozdeliť) sú už v dnešnej dobe absolútne neprípustné - moderný matematik zaoberajúci sa geometriou nedefinuje bod nijako, ten považuje už za definovaný, pretože pri jeho definícií by použil, tak ako Euklides ďalšie nedefinované pojmy. No slávny Euklidov systém založený na axiómach, zrejmých pravdách, ktoré sa pokladajú za pravdivé a netreba ich dokazovať (ako napríklad: všetky pravé uhly sú si rovné), zostal ďalších niekoľko tisícročí to najlepšie, čo mal matematik skúmajúci geometriu k dispozícií. Neskôr sa síce vyskytlo pár problémov ako napríklad že 5 axióm nestačí, alebo že ani tých 5 axióm neplatí vždy (napríklad pri geometrii na guli), ale to matematici vyriešili Hilbert pridal 16 axióm a pre iné geometrie sa vytvorili iné axiómy. Niečo úplne iné je dať základy aritmetike. Niektorí matematici na to skúsili ísť vytvorením axióm opisujúcich vlastnosti prirodzených čísel (podobne ako Euklides vytvoril axiómy vyjadrujúce vlastnosti priamok, kružníc, bodov, atď.) a až potom z prirodzených čísel vytvoriť čísla celé, desatinné... Prvý použiteľný výsledok dosiahol Giuseppe Peano, ktorý vytvoril 5 axióm prirodzených čísel (i keď neskôr sa prišlo na to, že ich v skutočnosti iba prevzal z knihy Richarda Dedekinda Čo sú a načo sú čísla, takže by sa správne malo hovoriť o Dedekindových axiómach). Tu sú: 1. 0 je prirodzené číslo (0 ale nemusí vyjadrovať nulu v bežnom ponímaní, môže to byť aj 1) 2. Ku každému prirodzenému číslu n existuje prirodzené číslo S(n), ktoré je jeho nasledovníkom. 3. Číslo 0 nie je nasledovníkom žiadneho prirodzeného čísla. 4. Rôzne prirodzená čísla majú rôznych nasledovníkov. 12
5. Pokiaľ pre nejaké tvrdenie T(n) platí, že ju má 0 (platí T(0)) a z toho, že platí pre prirodzené číslo n plyne, že platí aj pre jeho nasledovníka S(n), potom platí pre všetky prirodzené čísla. Peanove axiómy ale stále vyjadrujú len vlastnosti prirodzených čísel, no nie to, čo to číslo je. Matematici preto chceli rozobrať prirodzené čísla na ešte základnejšie kúsky skonštruovať ich (rovnako, ako potom z prirodzených čísel skonštruovali čísla celé, racionálne...) z niečoho ešte základnejšieho ako prirodzené číslo. Dohodlo sa ale, že akákoľvek konštrukcia prirodzených čísel, ktorá sa má považovať za prijateľnú, musí spĺňať Peanove axiómy. George Cantor sa rozhodol skonštruovať prirodzené čísla pomocou množín. Z rôznych zdrojov na internete sa dá nájsť rôzny počet Peanových axióm, tak aby bolo všetko jasné pri uvádzaní Peanových axióm môžeme zaujať niekoľko postojov v závislosti od toho, či chceme 1. Axiómy v predikátovej logike prvého/druhého rádu: Tak napríklad hore uvedená piata axióma je typickou axiómou (predikátom v predikátovej logike, viac v kapitole 4.4.) druhého rádu to znamená, že obsahuje niečo ako pre každú vlastnosť. Formálnym zápisom by táto axióma začínala pre každé T(n) platí, že ak platí T(0).... Zatiaľ čo Peanove axiómy iba prvého rádu by takúto axiómu obsahovať nemohli, nahrádzajú ju schémou axiómy indukcie, ktorá dáva predpis na vytvorenie nekonečného množstva axióm. Pôvodné Peanove axiómy boli druhého rádu, navyše sú silnejšie dokážu veci, ktoré axiómy prvého rádu nie. Na druhú stranu sú ale axiómy prvého rádu lepšie pre formálne dôkazy tvrdení s prirodzenými číslami a všeobecne ich skúmanie. 2. Sčítavanie, násobenie, porovnávanie a rovnosť mať ako neoddeliteľnú súčasť prirodzených čísel/dodefinovať ich: Buď berieme, že prirodzené čísla tvorí množina prirodzených čísel a operácia nasledovníka, alebo, že okrem toho aj operácie sčítania, násobenia, porovnávania a rovnosti. Ak iba vymenúvame vlastnosti prirodzených čísel alebo dokázať pár jednoduchých viet, je prvá možnosť jednoduchšia. Ak ale chceme prirodzené čísla skonštruovať a overiť či je konštrukcia prijateľná (náš prípad), je lepšie neaxiomatizovať tieto operácie a definovať ich, pretože v takomto prípade môžeme vlastnosti sčítania, násobenia, porovnávania dokázať, a teda nepatria medzi axiómy, ktoré sú už z podstaty nedokázateľné. Axiómy tu uvedené sú v logike druhého rádu a operácie budú dodefinované. Je to hlavne z historických dôvodov, ako aj kvôli väčšej úspornosti a elegancii. 13
4.2. Teória množín Teóriu, ktorú vytvoril, založil Cantor sčasti na intuícií, preto je Cantorova teória množín nazývaná intuitívna, ale častejšie naivná teória množín na zdôraznenie rozdielu medzi Cantorovou teóriou a modernou teóriou množín založenou na nenaivných a neintuitívnych axiómach. Cantor prehlásil množinu za dobre definovaný súbor objektov Najdôležitejšie je, aby súbor objektov bol naozaj dobre definovaný, aby sa dalo jednoznačne určiť, ktorý objekt do množiny patrí a ktorý nie. Na tom, čo predstavujú objekty, nezáleží. Môžeme mať napríklad množinu prirodzených čísel menších ako 10, množinu ľudí starších ako 99 rokov, ale nie napríklad množinu pekných farieb. Fakt, že nejaký objekt o do množiny patrí (nepatrí) sa zapisuje ako ( ). Jednoduché malé konečné množiny sa zväčša zapisujú výpisom všetkých prvkov množiny:. Tento zápis sa dá použiť aj pri jednoduchších nekonečných množinách dá sa použiť, pričom sa predpokladá, že inteligentný človek si ďalšie prvky množiny dokáže odvodiť. Pri zložitejších množinách (množina všetkých prvočísel) sa dá použiť slovný popis napríklad množina všetkých prvočísel. Alebo ešte môžeme množinu vytvoriť ako množinu prvkov spĺňajúcich nejakú vlastnosť, čo sa zapisuje ako. Dôležitou vecou je, že pokiaľ zapíšeme množinu výpisom prvkov, tak pri porovnávaní množín nezáleží na poradí prvkov. Napríklad ak máme množinu a množinu, tak môžeme písať. Vyplýva to z toho, ako Cantor definoval rovnosť množín: Dve množiny A a B sú si rovné ak obsahujú rovnaké objekty Prázdna množina, ktorá neobsahuje žiadne prvky sa zapisuje ako. Množina A je podmnožinou množiny B ak množina B obsahuje všetky objekty množiny A, ale aj nejaké navyše. Toto sa zapíše ako. Zápis znamená, že buď je podmnožinou alebo. Súčasťou Cantorovej teórie množín sú aj množinové operácie: Prienik množín a sa zapisuje ako a obsahuje objekty, ktoré patria do a súčasne do. Zjednotenie množín a sa zapisuje ako a obsahuje objekty, ktoré patria do alebo do. Rozdiel množín a sa zapisuje ako (niekedy aj ) a obsahuje objekty, ktoré patria do, ale nie do. 14
Takto približne mohla vyzerať pôvodná Cantorová teória množín, ktorá bola ešte ďalej rozširovaná inými matematikmi (hlavne Gottlebom Fregem, ktorý vytváral pre Cantorovu teóriu axiómy). Na prelome 19. a 20. storočia už mala v matematike významné miesto, no po článku Bertranda Russella nastalo medzi matematikmi zdesenie. Ukázalo sa, že Cantorova teória množín je sporná, čo znamená, že sa dajú dokázať dve navzájom si odporujúce tvrdenia. Russellov paradox vyzeral takto: Cantor aj Frege tvrdili, že pre každú rozumnú vlastnosť existuje množina prvkov spĺňajúcich danú vlastnosť. Russell zobral vlastnosť nebyť podmnožinou seba samej a vytvoril množinu množín spĺňajúcich túto vlastnosť množinu množín neobsahujúcich samú seba. Označme ju napríklad. A teraz si Russell položil otázku: platí alebo? Ak by, potom by musela spĺňať, že sa neobsahuje, malo by platiť. Naopak ak by, tak by spĺňala svoju vlastnosť a malo by platiť. Po tomto matematici museli úplne zamietnuť Cantorovu teóriu množín. Je totiž nepredstaviteľné, aby bola matematika vystavaná na spornej teórií. Bola to bolestná strata na teóriu množín spoliehala obrovská časť matematiky. Ako čas plynul, niektorí matematici sa rozhodli dať teórií množín ešte šancu. Nie tej Cantorovej, ale nejakej novej, doteraz nevytvorenej. Vzniklo niekoľko axiomatických teórií množín, ktoré boli oveľa prísnejšie ako Cantorova teória množín (napr. už žiadne množiny ľudí, množina sa nikdy nemôže obsahovať...), vďaka čomu sa podarilo vyhnúť Russellovmu paradoxu. Dnes najrozšírenejšou a najpoužívanejšou teóriou množín je Zermelo Fraenkelova teória množín spolu s axiómou výberu (axiom of choice) ZFC teória množín. Najdôležitejším rozdielom ZFC teórie oproti Cantorovej teórií množín je, že ZFC teória nepredpokladá nič okrem presne vymenovaných axióm. Čo je to množina alebo čo je to patriť do množiny ZFC nedefinuje, to sa považuje za dané a zrejmé. Ale okrem toho ani tak samozrejmé skutočnosti, ako napríklad že existuje prázdna množina nie je dovolené predpokladať, pokiaľ to nie je dokázané z axióm, z týchto axióm: Axiómy ZFC teórie množín Axióma extenzionality Množiny, ktoré majú rovnaké prvky, sa rovnajú Axióma dvojice Pre každé dve množiny a existuje množina obsahujúca práve tieto dve množiny Axióma sumy Pre každú množinu existuje množina, ktorá obsahuje všetky prvky prvkov množiny Axióma potenčnej množiny Pre každú množinu existuje množina, ktorá obsahuje všetky podmnožiny množiny Axióma fundovanosti Pre každú množinu platí, že ak je neprázdna, tak obsahuje aspoň jeden prvok, ktorý má s prázdny prienik 15
Schéma axióm nahradenia Ak je formula jazyka teórie množín, ktorá je zároveň zobrazením potom každý výrok Pre každú množinu existuje množina obsahujúca všetky obrazy prvkov množiny v zobrazení je axiómou ZFC teórie množín Axióma výberu - Pre každú neprázdnu množinu neprázdnych množín existuje funkcia, ktorá z každého prvku tejto množiny vyberá práve jeden prvok Axióma nekonečna Existuje množina, ktorá obsahuje prázdnu množinu a pre každý svoj prvok x taktiež Rozoberme si jednotlivé axiómy: Prvá axióma definuje rovnosť množín, presne tak, ako v Cantorovej teórií. Ďalšie tri axiómy umožňujú vytvárať ďalšie množiny z už existujúcich množín. Axióma dvojice je jasná majme dve množiny A a B, môžeme vytvoriť množinu. Množina vytvorená axiómou sumy sa obvykle zapisuje ako. Potenčná množina množiny A sa značí. Axióma fundovanosti zabraňuje Russellovmu paradoxu tak, že neumožňuje existenciu škaredých množín ako napríklad množín, ktorá sa obsahujú, z čoho vyplýva, že nemôže existovať ani nijaká množina všetkých množín. Schéma axióm nahradenia vyzerá pomerne nezrozumiteľne a zložito a vlastne to ani nie je ani axióma v pravom slova zmysle. Je to návod, ako vytvoriť neobmedzený počet axióm takže v skutočnosti má ZFC teória množín nekonečný počet axióm. Veľmi zjednodušene hovorí približne to, že ak máme nejaké rozumné zobrazenie (funkciu, ktorá pretransformuje vstupnú množinu na nejakú inú), tak je možné zobrať prvky ľubovoľnej existujúcej množiny, transformovať ich týmto zobrazením a z výsledných množín utvoriť množinu novú. Axióma výberu je celkom jasná. Pre každú neprázdnu množinu neprázdnych množín existuje funkcia, ktorá z každého prvku tejto množiny vyberá práve jeden prvok. A teraz to najdôležitejšie. Axióma nekonečna. Pomocou nej môžeme skonštruovať prirodzené čísla ako množiny a spolu s ďalšími axiómami ZFC teórie dokázať Peanove axiómy. ZFC teória vychádza z predpokladu, že všetky matematické objekty sú množiny. Matematické objekty potom stotožníme s vhodnými množinami - vieme, aké vlastnosti majú mať prirodzené čísla (aby sa správali podľa Peanových axióm), a preto zvolíme množiny, ktoré tieto vlastnosti majú. Štandardná konštrukcia vytvára prirodzené čísla takto: 16
Takže To je všetko. Pomocou axiómy nekonečna môžeme dokázať, že takáto množina existuje a ak definujeme funkciu nasledovníka ako, tak sa dá dokázať, že táto štandardná konštrukcia spĺňa Peanove axiómy. Takže odpoveď na pôvodnú otázku Čo je to číslo? podľa modernej matematiky znie: množina 17
4.3. Rozšírenie prirodzených čísel Keď matematici skonštruovali prirodzené čísla, ostatné už nerobili problém. Prirodzené čísla sa skonštruovali štandardnou konštrukciou. Dajú sa rekurzívne definovať operácie sčítania a násobenia: Sčítanie: o o Násobenie: o o Ďalej môžeme definovať operáciu porovnávania vtedy, ak. Prirodzene práve vtedy, ak sa množina rovná množine. Množina prirodzených čísel sa označuje N. Celé číslo sa považuje za usporiadanú dvojicu (na rozdiel od dvojprvkovej množiny, pri usporiadanej dvojici záleží na poradí prvkov, zapisuje sa ako, je aliasom pre množinu ) prirodzených čísel, ktoré sa od seba odčítavajú (je to iba zjednodušená predstava, v skutočnosti musíme ešte tu uvedenú množinu rozbiť podľa relácie ekvivalencie na disjunktné množiny, a až tak dostaneme celé čísla, viď kapitolu 4.4.). Napr. -3 =, ale aj, atď. Hovoríme, že sa dve celé čísla a rovnajú, ak platí, že a + d = b + c. Ďalej môžeme zadefinovať operáciu sčítania čísel a ako odčítania čísel a ako násobenia čísel a ako Množina celých čísel sa označuje Z. Racionálne číslo sa definuje ako usporiadaná dvojica celých čísel, ktoré predstavujú čitateľ a menovateľ zlomku. Napr. 0,5 =, ale aj, atď. Hovoríme, že sa dve racionálne čísla a rovnajú, ak platí, že. Ďalej môžeme zadefinovať operáciu sčítania čísel a ako odčítania čísel a (c, d) ako násobenia čísel a ako delenia čísel a ako Množina racionálnych čísel sa označuje Q. 18
Reálne čísla sú trochu zložitejšie na konštrukciu. Množina reálnych čísel sa definuje ako množina všetkých Dedekindových rezov (inú konštrukciu podal Cauchy). Usporiadaná dvojica je Dedekindov rez ak: Ľubovoľný prvok v A je menší ako všetky prvky v B Pre každý prvok z A existuje prvok v A, ktorý je väčší A nemá najväčší prvok Napríklad reálne číslo, ktoré zvyčajne zapisujeme je tvorené Dedekindovým rezom (A, B), kde množinu A tvoria také racionálne čísla x, pre ktoré platí a množinu B také racionálne čísla, pre ktoré platí. Na množine reálnych čísel predstavujú operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia iba manipulácie s množinami, ktoré tvoria Dedekindove rezy. Množina reálnych čísel sa označuje R. Takto by sa dalo pokračovať do nekonečna. Matematici rozšírili reálne čísla na čísla komplexné, tie na kvaternióny atď. Na vytváranie nekonečne malých veličín sú ale najlepšie práve reálne čísla, pretože na rozdiel od racionálnych čísel majú nové a zaujímavé vlastnosti, a keď ich rozšírime na komplexné čísla, prídeme napríklad o možnosť porovnávania. Aké vlastnosti majú teda reálne čísla? Po prvé reálne čísla tvoria teleso to znamená, že 1. ak a sú reálne čísla, tak aj a sú reálne čísla 2. 3. ) 4. 5. pre každé reálne číslo existuje také reálne číslo, že, toto číslo označujeme, namiesto sa píše 6. pre každé reálne číslo (okrem nuly) existuje také reálne číslo, že, toto číslo označujeme, namiesto píšeme 7. Po druhé reálne čísla tvoria komutatívne teleso (alebo aj pole), čo znamená, že 8. Po tretie reálne čísla tvoria usporiadané pole, čo znamená, že o o ak a, tak o platí buď,, alebo o ak, tak o ak a, tak 19
Po štvrté reálne čísla tvoria Archimedovské pole, čo znamená, že pre každé existuje také prirodzené, že To, že reálne čísla tvoria Archimedovské pole znamená, že medzi reálnymi neexistujú nekonečne veľké (a z toho vyplýva že ani nekonečne malé) veličiny. Newtonove nekonečne malé prírastky ani Leibnizove a neboli reálne čísla boli to iba intuitívne pomôcky, ktoré Newtonovi a Leibnizovi pomáhali dosiahnuť výsledok. Po Cauchyho a Weierstrassovej teórií limít už neboli takéto pomôcky potrebné a diferenciálny a integrálny počet sa formuloval pomocou limít. No napriek tomu nekonečne malé veličiny sú pre väčšinu ľudí jednoducho prirodzenejšie hovoríme o okamihoch času, o okamžitej rýchlosti, o ploche ako o nekonečne veľa nekonečne malých kúskoch atď. Matematik Georges Reeb raz povedal: Sen o infinitezimálnom kalkule hodnom toho mena, v ktorom dx a dy sú nekonečne malé čísla, je naozajstná suma takých čísel a limity sa nadobúdajú, snívali matematici odjakživa a taký sen si možno zaslúži gnozeologický výskum. Iné sny, možno menšie, keď sa porovnajú s výdobytkami diferenciálneho a integrálneho počtu, znepokojovali matematikov svet a stávali sa jeho zbožným prianím: je to svet, v ktorom sa celé čísla dajú označiť ako veľké, malé, alebo dokonca neurčité, bez toho, aby sa prišlo o možnosť konzistentných úvah, spĺňajú indukčný princíp a v ktorom po malých číslach nasledujú zase malé. Svet, v ktorom sa konkrétne súbory, možno neurčité, ale určite nie konečné, dajú zhromaždiť do jedinej konečnej množiny, svet, v ktorom sa spojité funkcie dajú takmer dokonale aproximovať polynómom pevne daného stupňa. V takom svete sa dajú reálne končiny skúmať ďalekohľadom i lupou, aby sa získali nové obrazy. Vnútri takého sveta by kritériá exaktnosti dané Weierstrassom interpretované v dvojakom zmysle povoľovali fantáziu a metaforu. Abraham Robinson okolo roku 1960 skonštruoval množinu H (niekedy aj *R alebo R*) hyperreálnych čísel, ktorá obsahovala nekonečne malé i veľké veličiny a pomocou nich vybudoval neštandardnú matematickú analýzu, nevyžívajúcu limity, ale nekonečne malé a veľké veličiny korektným, ale intuitívnym. Tým sa Reebov sen splnil! A matematici, fyzici aj inžinieri mohli opäť začať používať nekonečne malé veličiny bez strachu z chyby spôsobenú nie úplne korektnými metódami (mohli, ale nezačali, teória limít bola už až príliš rozšírená, v poslednom čase sa ale neštandardná analýza pomerne dobre rozširuje). 20
4.4. Konštrukcia hyperreálnych čísel Na začiatok si pripomeňme dôležité pojmy ako výrok, funkcia, relácia atď. Výrok je veta alebo jej časť, pri ktorej sa má zmysel pýtať na jej pravdivosť. Napr. 1 + 1 = 2 je výrok pravdivý a 3 8 = -247 nepravdivý. Okrem výrokov uvažujeme aj o predikátoch, výrazoch typu, pričom ak za dosadíme prvok nejakej množiny A, dostaneme výrok. Napríklad. Ak za x dosadzujeme prvky napríklad množiny Z, výsledkom bude buď pravdivý alebo nepravdivý výrok. Potom môžeme vytvoriť množinu z prvkov, ktoré výrok spĺňajú, čo sa zapíše ako (takto jednoduché to bolo iba v Cantorovej teórií, no schéma axióm nahradenia umožňuje takéto tvorenie množín aj v ZFC teórií, samozrejme v obmedzenej miere). o Predikáty môžeme kvantifikovať pomocou kvantifikátorov (všeobecný kvantifikátor) a (existenčný kvantifikátor). Kvantifikátor hovorí, že všetky prvky v danej množine spĺňajú predikát a znamená, že existuje aspoň jeden taký. Príklad: Zoberme si hore uvedený predikát. Môžeme ho kvantifikovať a vytvoriť výrok (čo sa číta ako: pre každé z množiny Z platí, že x na druhú je menej ako deväť) a výrok (čo sa číta ako: existuje také x z množiny Z, pre ktoré platí, že na druhú je menej ako deväť). Je zrejmé, že prvý výrok neplatí, zatiaľ čo druhý áno. Ak A a B sú množiny a ku každému prvku z A je priradený práve jeden prvok z B, tak hovoríme, že na A je definovaná funkcia, nadobúdajúca hodnoty z B. Ak funkciu označíme, tak fakt, že prvok je priradený prvku sa zapíše ako Funkcia je vlastne reláciou: množinou ( ). Množina A sa nazýva definičným oborom funkcie a množina oborom hodnôt. Ak A je definičný obor a B množina, z ktorej funkcia nadobúda hodnoty, píšeme. Namiesto pojmu funkcia sa používa tiež názov zobrazenie. o Zobrazenie je injektívne, ak z toho, že sa nerovná vyplýva, že sa nerovná. Zobrazenie je surjektívne, ak čo znamená, že. Zobrazenie, ktoré je súčasne injektívne i surjektívne sa nazýva bijektívne. o Funkciu, ktorej definičný obor tvorí množina prirodzených čísel sa nazýva postupnosť. Hodnota funkcie v čísle sa väčšinou neznačí, ale. Toto číslo nazývame členom postupnosti. Namiesto označenia sa používa. Množinu usporiadaných dvojíc, kde a nazývame reláciou medzi prvkami množín,. Ak, tak nazývame reláciou na. Príklad: Majme množinu. Vytvorme teraz reláciu: je dvojnásobkom. Relácia bude. 21
o Relácia na množine, ktorá je reflexívna ( ), symetrická (Ak, tak ) a tranzitívna (Ak a, tak ) je reláciou ekvivalencie (rovnosti, identickosti). Namiesto sa väčšinou píše. o Relácia na množine A, ktorá je antireflexívna ( ), tranzitívna a trichotomická (platí, že buď,, alebo ) sa nazýva reláciou usporiadania. Namiesto sa väčšinou píše. Pre konštrukciu hyperreálnych čísel je kľúčová istá množina prirodzených čísel, spĺňajúca tieto vlastnosti: podmnožín množiny 1. 2. Ak a, tak 3. Ak a, tak 4. Ak, tak platí buď, alebo 5. Každá množina typu, kde je prirodzené číslo, patrí do Nesmieme zabudnúť, že ak chceme skutočne korektne skonštruovať hyperreálne čísla, jediné, čo môžeme predpokladať, sú axiómy ZFC teórie. Napríklad množina. Existuje vôbec? Našťastie v tomto prípade sa to dá dokázať, jediným predpokladom je platnosť axiómy výberu. Keďže sa za východiskovú teóriu pre dnešnú matematiku berie ZFC teória, ktorá axiómu výberu obsahuje, nie je žiaden problém. Toto iba zdôrazňuje dôležitosť axiómy výberu, ktorá bola zo začiatku veľmi kritizovaná. No v ZF teórii žiadne hyperreálne čísla neexistujú (aspoň nie vytvorené týmto postupom tzv. konštrukcia pomocou ultrafiltra). Ale späť k množine. Jej význam bude zhruba taký, že množiny do nej patriace sa považujú za dôležité a ostatné za zanedbateľné. Napríklad množina je dôležitá a množina zanedbateľná. A teraz definujme novú množinu takto: nech je množina všetkých postupností, kde. Dve postupnosti a sú ekvivalentné práve vtedy, ak, tzn. ak existuje také, že pre každé sa rovná. Vtedy píšeme. Príklad: Postupnosť je ekvivalentná postupnosti, pretože sa zhodujú na množine indexov, ktorá patrí do (a je teda dôležitá). Inak povedané: postupnosti sú ekvivalentné, pretože sa líšia iba na množine indexov, ktorá je zanedbateľná. Dokážme teraz, že vyššie uvedená relácia a je teda naozaj reláciou ekvivalencie. je reflexívna, symetrická a tranzitívna, Reflexívnosť: Nech. Potom zrejme, pretože pre každé platí (vychádzajúc z reflexívnosti relácie ekvivalencie na R postupnosti sú tvorené reálnymi číslami) a. 22
Symetrickosť: Nech,,,. Potom existuje také z, že pre každé n z F, čo je to isté ako pre každé z (vychádzame zo symetrickosti relácie ekvivalencie na R). Tranzitívnosť: Nech,,,,,. Z toho, že vyplýva, že existuje také, že pre každé z sa. Z toho, že vyplýva, že existuje také, že pre každé z sa. Ale pre platí: pre každé z sa, a teda. No podľa 2. vlastnosti množiny platí, že, a tak. Teraz, keď už máme zadefinovanú reláciu ekvivalencie, môžeme postúpiť ďalej. Nasleduje kľúčový krok. Rozbijeme množinu na disjukntné množiny (množiny sú disjunktné, ak nemajú nijaké spoločné ekvivalentné prvky). Korektnejšie povedané, existuje množina H, ktorá je rozkladom množiny na disjunktné množiny. Množina H teda obsahuje množiny, z ktorých každá obsahuje postupností, ktoré sú ekvivalentné. Tieto množiny postupností potom označujeme, na odlíšenie od reálnych čísel. Keďže každý prvok z, označme si ho, patrí práve do jednej množiny rozkladu H, jednoznačne určuje množinu, do ktorej v rozklade patrí. Tá množina sa označuje a obsahuje a všetky jemu ekvivalentné prvky. Jednoducho sme stotožnili navzájom ekvivalentné postupnosti. Teraz definujme sčítanie, násobenie a usporiadanie: Sčítanie: Nech,,. Súčet definujeme ako. o Aby bola definícia korektná, musíme dokázať, že nezáleží na tom, ktorú postupnosť zoberieme za reprezentanta množiny a ktorú postupnosť za reprezentanta množiny. Dôkaz: Vyberme z množiny dve rôzne postupnosti. Označme ich a. Tak isto vyberme dve postupnosti aj z množiny. Postupnosti a sú ekvivalentné. Preto existuje také, že pre každé sa =. Aj postupnosti a sú ekvivalentné. Takže existuje také, že pre každé sa =. Platí, že a pre každé. Z toho vyplýva, že. Tým je dôkaz hotový. Násobenie: Nech,,. Súčin definujeme ako. o Dôkaz korektnosti: Vyberme z množiny dve rôzne postupnosti a. Tak isto vyberme dve postupnosti aj z množiny. Postupnosti a sú ekvivalentné. Preto existuje také, že pre každé sa =. Aj postupnosti a sú ekvivalentné. Takže existuje také, že pre každé 23
sa =. Platí, že a pre každé. Z toho vyplýva, že. Usporiadanie: Nech,,. ak existuje také, pre ktoré platí, že pre každé. o Dôkaz korektnosti: Vyberme z množiny dve rôzne postupnosti a. Tak isto vyberme dve postupnosti aj z množiny. Postupnosti a sú ekvivalentné. Preto existuje také, že pre každé sa =. Aj postupnosti a sú ekvivalentné. Takže existuje také, že pre každé sa =. Ak existuje také, že pre každé je, platí, že a pre každé. Zaveďme ešte a a inverzné prvky vzhľadom na násobenie (ak, tak ) a sčítanie (ak, tak ) a dostaneme usporiadané pole H hyperreálnych čísel. Dokážme, že usporiadané pole reálnych čísel je vnorené do usporiadaného poľa hyperreálnych čísel. Teda v istom zmysle. Definujme pojem vnorenie. Hovoríme, že usporiadané pole je vnorené do usporiadaného poľa ak: Existuje injektívne zobrazenie Pre každé platí: o o o Ak, tak Definujme si zobrazenie takto: - teda reálnemu číslu priradíme množinu postupností ekvivalentných s postupnosťou Je zrejmé, že zobrazenie je injektívne: ak, tak a nie sú ekvivalentné, lebo sa nezhodujú nikde ( ) a. Teda. Ďalej Ak, tak (pretože ) a teda Tým je dokázané, že R je vnorené do H. Preto môžeme stotožniť reálne čísla s ich obrazmi v H. Odteraz tiež budeme namiesto písať iba a namiesto a a. Aby sme dokázali, že na rozdiel od usporiadaného poľa reálnych čísel, usporiadané pole hyperreálnych čísel je nearchimedovské (preto sme ho zavádzali), musíme nájsť aspoň jedno nekonečne veľké číslo. Stačí dokázať, že existuje taký prvok H, že pre ľubovoľné prirodzené číslo n. Určme napríklad, teda množinu 24
postupností ekvivalentnú s Keďže obrazom prirodzeného čísla v H je, teda množinou postupností ekvivalentných s, tak, pretože pre všetky k z množiny je, teda. Pretože sme na začiatku neurčili nijaké pevné, je nekonečne veľké. Našli sme nekonečne veľké číslo. Nekonečne malé číslo môžeme vytvoriť rovnako jednoducho: [( ) ]. Zrejme je, ale pre každé reálne je. Zhrňme to. Celkovo máme 3 typy čísel. Hyperreálne číslo nazývame Konečným, ak (absolútna hodnota hyperreálneho čísla je pre číslo ) o Pozor! Aj nekonečne malé číslo je konečné. Nekonečne veľkým, ak nie je konečné Nekonečne malým, ak o Tejto definícií vyhovuje aj číslo 0, ktoré je zároveň jediným nekonečne malým číslom v R. Uveďme si niekoľko užitočných vlastností počítania s nekonečne malými a veľkými číslami, ak a sú konečné a nie sú nekonečne malé, a sú nekonečne malé a je nekonečne veľké (samozrejme sa dajú všetky tieto vlastnosti veľmi jednoducho dokázať): 1. sú konečné 2. je nekonečne malé 3. sú konečné 4. sú nekonečne veľké 5. sú nekonečne malé 6. je nekonečne veľké 7. je nekonečne malé 8. je nekonečne veľké (samozrejme ak ) 9. sú nekonečne malé 10. je nekonečne veľké Dôkazy sú zväčša triviálne. Dokážme napr. 5., ktorá sa nám bude o chvíľu hodiť: Ak je nekonečne malé to znamená ak, tak aj je nekonečne malé ( ), pretože platí. Veľmi užitočnou vlastnosťou je aj 9. Dokážme ju: Nech, a je nekonečne malé. Dokážeme, že pre každé. Majme číslo. Toto číslo je reálne, preto musí platiť, lebo inak by nebolo nekonečne malé. Keďže H je usporiadané pole, tak musí platiť. Čo znamená, že pre každé kladné. 25
Nech, a aj sú nekonečne malé. Keďže je konečné, tak existuje také, že. Dokážeme, že pre každé. Majme číslo. Toto číslo je reálne, preto musí platiť, lebo inak by nebolo nekonečne malé. Musí platiť. Čo znamená, že pre každé kladné. Vieme už, že [( ) ] je nekonečne malé a nekonečne veľké. Bolo by ale dobré mať nejakú šablónu, podľa ktorej by sme mohli jednoducho vytvoriť ďalšie takéto veličiny a naopak ak by číslo spadalo do šablóny, vedeli by sme, že je určite nekonečne malé (veľké). Uvedieme si príklad a jeho (nie až tak jednoduchý) dôkaz. Ak [( ) ], kde, a (berieme, že je väčšie ako nula preto, že to zjednoduší dôkaz, ale platí to aj pre, pretože potom [( ) ] [( ) ] a dôkaz je zrejmý stačí použiť piatu vlastnosť a dôkaz pre ), tak je nekonečne malé číslo. o Dôkaz: Nech,. Vytvorme množinu takých, pre ktoré je. Ak pre ľubovoľné je, tak potom je a nekonečne malé. Nájdime teda množinu pre ktoré je. Pre prirodzené je vždy kladné, kladné číslo a kladné číslo krát kladné číslo je zase kladné (dôkazy sú zrejmé). Preto. Riešme ďalej nerovnicu. Vynásobíme obe strany nerovnice, podľa vlastností usporiadania sa nerovnosť zachová. Získame. Umocnime obe strany na -1, nerovnosť sa otočí, pretože ak,,, tak, čo dokážeme tak, že vynásobíme obe strany kladným nenulovým číslo a podľa vlastností usporiadania sa nerovnosť zachová. Potom urobíme -tú odmocninu, výsledkom je (pamätajme, že je vždy kladné a je prirodzené, to je). Záverom je, že práve vtedy, ak. Označme si teraz najmenšie prirodzené číslo, čo je väčšie ako ako (uvedomme si, že také číslo jednoducho musí existovať, pretože, je vždy kladné a R archimedovské pole). Potom ale nerovnosť platí aj pre (ak, tak aj ). Keďže množina 26
nekonečne malé., tak a preto [( ) ] je o Použitie: [( ) ] je nekonečne malé, stačí si zobrať a. Ak, kde,, a, tak je nekonečne veľké číslo o Dôkaz: Nech,. Vytvorme množinu takých, pre ktoré je. Ak pre ľubovoľné je, tak potom je a je nekonečne veľké. Nájdime teda množinu pre ktoré je. Pre, platí. Riešme ďalej nerovnicu. Odpočítajme, vydeľme a urobme -tú odmocninu. výsledkom je. Takže práve vtedy, ak. Označme si teraz najmenšie prirodzené číslo, čo je väčšie ako ako (ak by bolo a mali by sme pod odmocninou záporné číslo, stačí položiť, pretože platí, ak je, na pravej strane máme záporné číslo a na ľavej pre každé vždy kladné číslo, keďže je pre a vždy kladné a kladné číslo je vždy väčšie ako záporné). Potom nerovnosť platí aj pre. Keďže ale, tak a preto je nekonečne veľké. o Použitie: Aj napríklad [(,, ) ] je nekonečne veľké, zoberme si Ak pre dve hyperreálne čísla platí, že je nekonečne malé číslo, nazývame čísla a nekonečne blízke. Píšeme. Relácia je ďalšou reláciou ekvivalencie na H. Dôkaz: Reflexívnosť: Platí, pretože, čo je nekonečne malé číslo. Symetria: Ak je nekonečne malé číslo, tak aj je nekonečne malé číslo, pretože a je podľa 5. vlastnosti tiež nekonečne malé. Tranzitívnosť: Ak aj, tak aj sú nekonečne malé čísla. Ale je podľa 2. vlastnosti tiež nekonečne malé, a preto. Definujme si štandardnú časť hyperreálneho čísla. Nech je konečné hyperreálne číslo. Také reálne číslo r, pre ktoré platí, sa nazýva štandardnou časťou hyperreálneho čísla a píšeme (niekedy aj ). Význam štandardnej časti bude zhruba taký, že napríklad pri hyperreálnej derivácií problém vypočítame 27