Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept

Elektrotehniški vestnik 69(2): 143 150, 2002 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Andrej Košir, Jurij Tasič Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana E-pošta: andrej.kosir@fe.uni-lj.si Povzetek. Analiza scene digitalne slike je pomemben sestavni del komunikacije stroja z njegovim okoljem. Poleg tega se obdelava slikovne informacije vedno pogosteje uporablja v multimedijskih in spletnih sistemih pri avtomatizaciji in personalizaciji uporabniških vmesnikov ter razvrščanju in shranjevanju slikovnih podatkov. V članku predstavljamo pristop k analizi scene digitalne slike na podlagi formalnega sistema kot ga pozna matematična logika. Formalni sistem ponuja teoretični okvir za analizo vsebine digitalne slike, različne teoretične izsledke in napotke pri načrtovanju postavitve predlaganih postopkov v izbranem programskem jeziku. Osnovna ideja je v predpostavki, da obstaja hierarhična zgradba zapletenosti objektov digitalne slike in da je preprostejše objekte mogoče učinkovito zajeti in jih nato kombinirati v zapletenejše objekte te iste slike. Pri tem predpostavljamo tudi, da je omenjeno kombiniranje objektov mogoče opisati s primernimi transformacijskimi pravili. Postopek manipulacije z objekti slike temelji na analizi razmer na sliki, tj. identifikacijo karakterističnih lastnosti preprostih objektov in z vnaprej znanimi dejstvi o sceni, ki jo prinaša digitalna slika. S predlaganimi postopki je mogoče zajemati topološke in geometrijske lastnosti objektov digitalne slike. Za potrebe logične analize, ki jo predlagani postopek zajema, vpeljemo mehko logiko. S tem dosežemo večjo učinkovitost in robustnost predlaganega sistema. Pri reševanju konkretne naloge mehka logika ponuja neprimerno boljše možnosti za končno nastavitev delovanja. Razpoznava objektov digitalne slike je del predlaganega postopka analize scene. Za ilustracijo postopkov je predstavljen preprost primer analize scene digitalne slike. Dodajamo tudi kratke opombe k postavitvi predlaganega sistema v programskem jeziku C++. Smernice za nadaljnje so vključene v zaključne pripombe. Ključne besede: analiza digitalne slike, formalni sistem, razpoznava objektov Digital image analysis based on a formal system Extended abstract. In this paper, a new approach to the digital image scene analysis is presented. In order to provide for a flexible theoretical background for digital image data acquisition, image object recombinig and image scene analysis, a formal system is introduced. To enable implementation of a formal system in a context of digital image analysis, a formal language and predicate calculus are also introduced. The basic idea behind it is that simple parts of complex objects can be efficiently recognized and then step by step recombined back to complex objects. During this process of recombining, an analysis of object features and relations among them can be obtained. To allow for a feasible image scene analysis, a local image information should be coded so that global information of an image can be reconstructed later. It was established that formal logic does not assure sufficient robustness of object recombiantion processes. In order to express transformation rules more accurately, fuzzy logic was introduced and applied. Digital image feature detection and object recognition can be seen as a part of the scene analysis. Formalization of the object classification using a formal language scene analysis is given. A computer implementation of a formal system suitable for Prejet 7. februar, 2002 Odobren 20. marec, 2002 digital image analysis is briefly presented. Simple examples of a digital image scene analysis are given. The paper ends with conclusion and plans for further work. Key words: digital image analysis, formal system, object recognition 1 Uvod Pri načrtovanju algoritmov za razpoznavo objektov digitalne slike in analizo scene digitalne slike srečujemo zelo različne pristope, glej [3], [1] in [10]. Splošno uporabnih metod analize digitalne slike ne poznamo, obstajajo pa različni sorazmerno učinkoviti postopki za reševanje specifičnih problemov tega področja. Analiza digitalne slike z razpoznavo objektov je nepogrešljiv sestavni del komunikacije stroja z njegovim okoljem v primeru, ko pridobivanje podatkov o okolju poteka tudi prek slikovnih in videopodatkov.

144 Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Učinkovitejša analiza vsebine slike omogoča večjo stopnjo avtomatizacije postopkov, ki vključujejo računalniški vid. Poleg tega lahko postopke analize vsebine slike s pridom uporabimo tudi pri zgoščevanju slikovnih informacij za specifična področja, kar je pomembno tako za prenos kot shranjevanje le-teh. Analiza vsebine digitalne slike je tudi sestavni del postopkov obdelave in shranjevanja slikovnih in videopodatkov z uporabo podatkovnih baz. Prav slednje je z razmahom medmrežja in integracijo domače elektronske opreme postalo ozko grlo pri avtomatizaciji in personalizaciji multimedijskih podatkov. V članku predstavljamo koncept reševanja nalog analize digitalne slike v okviru formalnega sestava, kot je definiran v kontekstu matematične logike, glej [7]. Formalni sestav daje formalni okvir za označevanje objektov, zapis postopkov manipulacije z objekti in analize odnosov med objekti. Osnovna ideja je v predpostavki, da je mogoče kompleksne objekte digitalne slike predstaviti z naborom preprostejših objektov in karakterističnih lastnosti, ki ga sestavljajo. Tako razgradnjo nato uporabimo tudi pri pridobivanju specifičnih informacij objekta in analizi odnosov med posameznimi objekti. Omenjeni pristop temelji na naslednjih predpostavkah: kompleksne objekte je mogoče razgraditi na preprostejše podobjekte; zapletene objekte je mogoče sestaviti iz preprostejših objektov po danih transformacijskih pravilih; omenjena transformacijska pravila znamo poiskati in jih predstaviti v okviru formalnega sestava. Jasno je, da te predpostavke niso vedno v celoti izpolnjene. Težavam se poskušamo izogniti na različne načine, na splošno pa težave z zapisom transformacijskih pravil ožajo področje uporabe predstavljenih postopkov. V postopku analize digitalne slike objekte razdelimo na objekte različnih nivojev. Množico objektov k- tega nivoja označimo z B(k). Če za objekt slike izberemo kvadrat, so ravne črte objekti nivoja, prav tako so posamezne točke objekti nižjega nivoja. S tem dobimo hierarhično zgradbo objektov, katerega osnovni princip prikazuje slika 1. Slika 1. Hierarhija objektov Figure 1. Hierarchy of objects Objekte, ki jih neposredno razpoznavamo na digitalni sliki, imenujemo objekti vhodnega nivoja, označimo jih z oznako B(0). Te objekte s transformacijskimi pravili kombiniramo v objekte višjega nivoja in postopek kombinacije v objekte višjega nivoja rekurzivno ponavljamo. Transformacijska pravila predstavimo s funkcijskimi znaki formalnega sestava, natančna definicija sledi. V preprostem ilustrativnem primeru, ki ga prinaša slika 1, so objekti vhodnega nivoja B(0) točke. Točke so naprej kombinirane v ravne črte, ki sestavljajo objekte prvega nivoja B(1). V naslednjem koraku so črte kombinirane v kvadrat, ki je edini objekt drugega nivoja B(2). Če je naloga analize slike ilustriranega primera prepoznava geometrijskih likov, je razpoznan kvadrat. Če pa je objekt kvadrat sestavni del zapletenejšega objekta, postopek kombinacije objektov na višje nivoje B(k), k>2, nadaljujemo dokler ni izpolnjen ustavitveni pogoj. Tipični ustavitveni pogoji so prepoznava predpisanega objekta, identifikacija predpisane lastnosti, vnaprej predpisano največje število nivojev objektov in drugi. e ta preprost primer kaže, da je predlagani postopek rekurzivne narave in to je glavni razlog, da ga obravnavamo v okviru formalnih sistemov, glej [15]. Ker je identiteta objekta odvisna tudi od konteksta, v katerem se le-ta nahaja, je pri analizi scene potrebna globalna obravnava informacije. Npr. bitna slika roba ima zelo omejeno uporabnost, ker je zapisana lokalno. Eden glavnih razlogov za vpeljavo formalnega sistema je prav globalni zapis informacije digitalne slike. Analizo scene digitalne slike lahko vidimo kot izločanje pomembne informacije na objektih na sliki. Znano je, da posamezna slika vsebuje ogromno količino informacij, katerih večina je za razpoznavo objektov in analizo scene nepomembna. Analiza scene zahteva tak zapis globalne informacije o sliki, ki omogoča njeno nadaljnjo obdelavo. Pomembna je izbira takega zapisa, ki omogoča izražanje pravil za obdelavo informacije in določanje karakterističnih vsebin. Menimo, da je to mogoče doseči z uvedbo formalnega sestava. V kontekstu formalnega sistema je razpoznava objektov digitalne slike del analize scene. Formalni sistem vključuje predikatni račun, v okviru katerega postavljamo sistemu za analizo scene posamezna vprašanja o razmerah na sliki. Med njimi so tudi poizvedbe o eksistenci posameznih objektov. Analiza scene s formalnim sestavom je v grobem opisu sestavljena iz naslednjih korakov, katerih podrobnosti bomo pojasnili v nadaljevanju. 1. Določitev področja uporabe: Določimo osnovni nabor simbolov, v okviru katerega analiziramo digitalno sliko. Imenujemo ga abeceda, označimo pa z A. Za elemente abecede, ki jih imenujemo simboli, izberemo osnovne gradnike slike, iz katerih kasneje sestavljamo kompleksnejše objekte. Izmed elementov slovnice sestavimo objekte vhodnega nivoja B(0). 2. Izbira funkcij za zajem objektov vhodnega nivoja: Objekti vhodnega nivoja so lahko le simboli

Košir, Tasič 145 slovnice. Zajete objekte kasneje s pomočjo transformacijskih pravil sestavljamo v kompleksnejše objekte, tj. objekte višjega nivoja. 3. Določitev transformacijskih pravil: Predstavimo jih s funkcijskimi znaki. Uporabljeni so pri sestavljanju kompleksnih objektov. Označimo jih z oznako R. 4. Vzpostavitev predikatnega računa: Predikate, ki jih predstavimo z mehkimi formulami formalnega sestava, izberemo glede na specifične zahteve naloge analize digitalne slike. Množico predikatov označimo s P. 5. Vzpostavitev formalnega sestava: S pomočjo abecede A, transformacijskih pravil R in predikatov P zgradimo formalni sestav za reševanje konkretne naloge analize digitalne slike. 6. Izvedba analize: (a) predobdelava slike in zajem objektov vhodnega nivoja; (b) uporaba transformacijskih pravil, s katerimi objekte vhodnega nivoja sesetavljamo v kompleksnejše objekte; (c) analiza scene (in razpoznava objektov) v okviru predikatnega računa. S predstavitvijo samega postopka uporabe želimo prispevati k razumevanju podrobnosti definicije formalnega sestava, ki ga uvajamo v naslednjem poglavju. Razvojna stopnja omenjenega pristopa je v zgodnji fazi, tako da ne navajamo primerjav z obstoječimi metodami. 2 Mehka logika e preprosti primeri uporabe formalnega sistema pri analizi digitalne slike kažejo, da funkcijskih znakov, ki predstavljajo pravila kombiniranja objektov slike, ni ugodno predstavljati le v okviru kombinatorične manipulacije s simboli. Funkcijskim znakom formalnega sistema dodamo še predikate, na podlagi katerih nato algoritem za kombinacijo objektov izbere končno obliko transformacijskega pravila. Rezultat transformacije je tako poleg vhodnih objektov odvisen tudi od pripadajočega predikata. Za ilustracijo spet izberemo poenostavljen primer vhodnih objektov, ki sta točki digitalne slike T 1 in T 2. Eno od transformacijskih pravil ju sestavi v daljico [T 1,T 2 ], ki ima točki T 1 in T 2 za začetek in konec. Pripadajoč predikat je P =[d(t 1,T 2 ) <d max ], kjer je d razdalja med točkama (metrika), d max pa vnaprej predpisana razdalja. Rezultat tega transformacijskega pravila je daljica [T 1,T 2 ] le, če je evaluacija predikata P resnična, tj. točki nista oddaljeni za več kot predpisana razdalja d max. V nasprotnem primeru je rezultat transformacijskega pravila prazna množica. Izkaže se, da je izražnje transformacijskih pravil za kombinacijo objektov digitalne slike na podlagi klasične logike pregrobo in ne dosega zahtevane robustnosti. V posameznih primerih sistem ali kombinira nezdružljive objekte ali pa zavrača kombiniranje združljivih objektov. Da bi odpravili ali vsaj omilili omenjeno težavo, namesto klasične logike vpeljemo mehko logiko. Objektom digitalne slike, ki jih predstavimo s simboli formalnega sestava, priredimo pripadnost µ, splošnejša predstavitev sledi v poglavju 2. S tem množico objektov slike izbranega tipa spremenimo v mehko množico, glej [2], [8] in [16]. Vsakemu objektu ob vpeljavi (razpoznava neposredno na sliki ali rezultat kombinacije objektov nižjega nivoja) priredimo pripadnost µ. Ta je odvisna od različnih pogojev ob vpeljavi tega objekta. Objekte s pripadnostjo µ =0 izločimo iz nadaljnje obravnave. Kot smo že omenili, uporaba mehke logike omogoča boljši nadzor nad rekurzivno gradnjo objektov slike. Na drugi strani pa vpeljava mehke logike v določenih primerih prinese povečano prostorsko zahtevnost predlaganih algoritmov za analizo digitalne slike. Tako je zato, ker shranjujemo tudi objekte s pripadnostjo µ<1. Posledično sepoveča tudi računska zahtevnost manipulacije z objekti. Rešitev te težave je v skrbni izbiri t- norme T in predikatov, evaluacija katerih odloča o rezultatih transformacijskih pravil. Natamčnejša prestavitev sledi v 2. poglavju. 2.1 Mehka logika in mehko sklepanje Podajamo le osnovne definicije in opombe, več najdemo med drugim v [2] in [8]. Eden od načinov določanja klasičnih podmnožic univerzalne množice X je karakteristična funkcija množice. Množici A X je dana s svojo karakteristično funkcijo χ A (x) = { 1, x A; 0, x A, velja namreč A = {x X; χ A (x) =1}. Mehka množica je posplošitev klasične množice. Pri tem karakteristično funkcijo, ki slika v dvoelementno množico {0, 1} razširimo na funkcijo pripadnost µ, ki slika v interval [0, 1]. Definicija 2.1 Mehka množica A X univerzalne množice X je množica, dana s pripadnostjo µ A : X [0, 1]. Za poljuben x X je pripadnost predikata [x A] dana z [[x A]] := µ A (x). Predstavitev predikata kot formule formalnega sestava prinaša 3. poglavje. Kot smo že omenili, je klasična množica A množica s pripadnostjo karakteristična funkcija χ A.

146 Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Logične operatorje in pravila sklepanja mehke logike vpeljemo glede na vlogo, ki jo imajo v klasični logiki. V okviru mehke logike je opis logičnih operatorjev dan s pripadajočimi funkcijami pripadnosti. Izkaže se, da obstaja več smiselnih definicij pripadnosti za konjunkcijo in disjunkcijo. Imenujemo jih t- norme in t-konorme. S pomočjo teh nato opišemo še preostale gradnike mehke logike, kot bomo videli v nadaljevanju. Definicija 2.2 Binarna operacija T : [0, 1] [0, 1] [0, 1] je t-norma, če je asociativna in komutativna nepadajoča za vsak argument posebej za realno število 1 velja T (u, 1) = u za vse u [0, 1]. V uporabi je več t-norm, glej [8], omenimo le primer posplošene t-norme T G (u, v) := min{u, v}. Definicija 2.3 Preslikava S :[0, 1] [0, 1] [0, 1] je t-konorma, če je asociativna in komutativna nepadajoča za vsak argument posebej za realno število 0 velja S(u, 0) = u za vse u [0, 1]. Zgled t-konorme je posplošena t-konorma, dana z S G (u, v) := max{u, v}. Po zgledu de Morganovega pravila za konjunkcijo in disjunkcijo lahko poljubni t-normi T priredimo t- konormo, ki je dana z S T (u, v) :=1 T (1 u, 1 v). Pripadnost implikacije v mehki logiki prestavimo s Ψ- operatorjem. Vezan je na izbrano t-normo. Definicija 2.4 Ψ-operator za t-normo T je preslikava ϕ T : [0, 1] [0, 1] [0, 1], za katero pri poljubnih u, v [0, 1] velja u w ϕ T (u, v) ϕ T (u, w); T (u, ϕ T (u, v)) v; u ϕ T (u, T (u, v)). Zgornja definicija ima neposredno intuitivno podlago v lastnostih implikacije v klasični logiki. Izkaže se, da za vsako t-normo T obstaja enolično določen Ψ-operator ϕ T, dan s predpisom ϕ T (u, v) := sup{w; T (u, w) v}, glej [2]. Ker je t-norm več in vsaki pripada Ψ-operator, v mehki logiki poznamo več različnih pripadnosti za implikacijo, tj. več različnih implikacij. t-normi T in njej pripadajoč Φ-operator ϕ T priredimo negacijo, ki je preslikava n T : [0, 1] [0, 1], danas predpisom n T (u) :=ϕ T (u, 0). S tem smo na podlagi izbrane t-norme T vpeljali pripadnosti za negacijo T, konjunkcijo T, disjunkcijo T in implikacijo T. Glede na razširitev pripadnosti formule formalnega sestava [[.]] so s tem omenjeni mehki logični operatorji, dani na poljubni formuli formalnega sestava; glej definicijo 2.5. Formalno vpeljavo formule formalnega sistema najdemo v 3. poglavju. Vloga kvantifikatorjev in v mehki logiki je sorodna vlogi v klasični logiki. Pripadnost obeh kvantifikarjev bomo opisali skupaj z opisom pripadnosti formule. Vrednotenje resničnosti formul v mehki logiki prevzame pripadnost formule, označimo jo z [[.]]. V skladu z njenim pomenom jo imenujemo tudi stopnja resničnosti formule. Podamo jo na atomarnih formulah formalnega sestava, glej poglavje 3.1, in jo nato razširimo na poljubno formulo. Definicija 2.5 Pripadnost množice formul formalnega sistema U pri izbrani t-normi T, njej pripadajoči t- konormi S T in Ψ-operatorju ϕ T je preslikava [[.]] : U [0, 1], (1) dana na atomarnih formulah formalnega sestava in razširjena z naslednjimi pravili: H, H 1,H 2 U, [[ T H)]] = n T ([[H ] ]), [[H 1 T H 2 ]] = T ([[H 1 ]], [[H 2 ]]), [[H 1 T H 2 ]] = S T ([[H 1 ]], [[H 2 ]]), [[H 1 T H 2 ]] = ϕ T ([[H 1 ]], [[H 2 ]]), [[ xh(x)]] = inf r X [[Zr x H(x)]], [[ xh(x)]] = sup r X [[Zr x H(x)]]. Oznaka H(x) pomeni formulo, ki vključuje prosto spremenljivko x, Z x r H(x) pa formulo H(x) po zamenjavi proste spremenljivke x s termom r. Z X smo že v uvodu označili univerzalno množico. Pripadnost formule [[H]] daje merilo njene logične veljavnosti. Definicija 2.6 Formula H je logično pravilna s pripadnostjo µ, če pri poljubnih vrednostih prostih spremenljivk velja [[H]] µ. (2) Tedaj označimo = µ H. Za vzpostavitev mehke logike, s katero nadzorujemo postopke manipulacije z objekti digitalne slike, izberemo primerno t-normo T, njej priredimo t-konormo ϕ T in njej enolično prirejeni Ψ-operator ϕ T. S pomočjo dobljenih gradnikov mehka logika zavzame klasično logiko formalnega sistema.

Košir, Tasič 147 3 Formalni sestav Formalni sestav vpeljemo z namenom, da bi formalizirali zapis objektov slike, njihovega sestavljanja v kompleksnejše objekte ter zapis logičnih znakov in predikatov. Postopki analize slike v okviru formalnega sestava imajo rekurzivno naravo. S formalizacijo omogočimo uporabo nekaterih teoretičnih rezultatov zelo obširne in bogate teorije matematične logike in rekurzivnih sistemov. Prav tako lahko formalizacijo s pridom uporabimo tudi pri samem programiranju postopkov za analizo digitalne slike, kjer je izbira primernih podatkovnih struktur in algoritmov še posebej pomembna. Formalni jezik, ki je del formalnega sestava, smo pri obdelavi digitalnih slik že srečali, vendarle v nekoliko drugačnem pristopu; glej [6]. V tem primeru so bili simboli abecede jezika posamezni slikovni elementi. V literaturi najdemo nekatere znane pristope k analizi digitalne slike z rekombinacijo gradnikov slike. Taki so med drugim jezik za opis slik (Picture description language), glej [4] in λ-račun, glej [17]. Kot smo že omenili, formalni sestav prinaša primeren okvir za označevanje osnovnih gradnikov slike in zapis njihovega sestavljanja v zapletene objekte. Za analizo odnosov med objekti vpeljemo predikate in funkcijske znake. 3.1 Definicija formalnega sestava z mehko logiko V tem podpoglavju navajamo definicijo formalnega sestava z nekaterimi pripombami. Izkazalo se je, da je primerno izbrati formalni sestav I. reda, ki daje primeren okvir za analizo digitalne slike, glej [12]. V podrobnosti ne zahajamo, te bralec lahko najde še v [15] in [7]. Iz že navedenih razlogov, glej uvod v poglavje 2, klasično logiko formalnega sestava nadomestimo z mehko logiko. V ta namen za celoten članek izberemo t-normo T, glej definicijo 2.2 poglavja 2. Osnova formalnega sestava je množica znakov (simbolov) A, ki jo imenujemo abeceda. Glede vloge simbolov v okviru analize digitalne slike glej poglavje 4. Nize znakov iz abecede imenujemo izrazi. Nekatere simbole in izraze posebej odlikujemo, prav tako natančneje določimo pravila za tvorbo novih izrazov in pravila logičnega sklepanja. V ta namen nad abecedo A zgradimo jezik J in teorijo T, ki sestavljata formalni sestav F =(J, T ). Definicija 3.1 Jezik J = J (F) formalnega sestava F je štirica J =(A, I, U, V), kjerjea abeceda, I A množica izrazov, U I množica formul in V I množica termov. Pred natančnejšim opisom jezika in teorije definirajmo še teorijo formalnega sestava, ki se tudi opira na sam jezik sestava. Definicija 3.2 Teorija T = T (F) formalnega sestava F je par T =(P, S), kjer je P Umnožica aksiomov, S pa množica pravil sklepanja. Množica aksiomov je množica odlikovanih formul jezika J. Pravilo sklepanja s S je pravilo, ki iz k formul zgradi novo formulo jezika, s : U... U U. Łtevilo formul k, ki nastopajo kot argumenti pravila sklepanja, se imenuje mestnost pravila sklepanja s. Na tem mestu že lahko definiramo formalni sestav. Definicija 3.3 Formalni sestav F je urejen par (J, T ), kjer je J jezik in T teorija. Označimo J = J (F) in T = T (F). Formalni sestav F dopolnimo do formalnega sestava I. reda tako, da naprej razdelamo simbole njegove abecede A, določimo izraze, formule in terme njegovega jezika J ter določimo njegovo teorijo. Simbole abecede A razdelimo na logične znake: { T, T,, (, ),...}; individualne spremenljivke: {x, y, z}; individualne konstante: a, b, c,...; predikate: P (k),q (l),...; funkcijske znake: f (k),g (l),... Logični znaki imajo vlogo, kot jo poznamo v matematični logiki, glej [12]. Individualne spremenljivke in individualne konstante so določene z definicijo konkretnega formalnega sestava I. reda, enako velja za predikate in formule. Predikat P (k) je k mestni predikat, njegovo vlogo tudi poznamo iz matematične logike, glej [12]. f (k) je k- mestni funkcijski znak, s katerim opisujemo tvorbo novih formul formalnega sestava. Nekateri izrazi, sestavljeni iz simbolov abecede, so termi in formule. Na podlagi zgornje razdelitve določimo formule U in terme V formalnega sestava F. Izraz je term, če je individualna konstanta ali individualna spremenljivka; oblike f (k) (v 1,...,v k ),kjerjef (k) funkcijski znak in so v 1,...,v k termi. Izraz je formula, če je atomarna formula P (k) (v 1,...,v k ), kjer je P (k) predikat in so v 1,...,v k termi; oblike u ali u T v, kjer sta u in v formuli; oblike xv, kjer sta x individualna spremenljivka in v formula. Določimo še teorijo T formalnega sestava I. reda, ki služi za formalizacijo logičnega sklepanja. Sestavlja najširši okvir, ki še zagotavlja smiselno logično analizo.

148 Formalni sistem in mehka logika za analizo digitalne slike: osnovni koncept Aksiome delimo na logične, ki so skupni vsem formalnim sestavom I. reda, in na zunajlogične, ki jih po potrebi določimo pri konkretni definiciji teorije. Logični aksiomi formalnega sestava, ki ga tu predstavljamo, se enaki logičnim aksiomom teorije I. reda, glej [12]. Da bi se izognili zapletom, s tem zaključimo predstavitev formalnega sestava. Več najdemo med drugim tudi v [7]. V nadaljevanju bomo predstavili preprost formalni sestav, s katerim ilustriramo analizo vsebine digitalne slike na podlagi formalnega sestava. Za vodilo služi postavitev formalnega sestava v programskem jeziku, ki naj omogoča učinkovito reševanje problemov analize digitalne slike. Glavni problem računalniške postavitve ustreznega formalnega sestava sta algoritem za vrednotenje funkcijskih znakov in predikatov, tj. izvajanje transformacijskih pravil, s katerimi (pod)objekte slike sestavljamo v kompleksnejše objekte. Postopek izvajanja transformacijskih pravil vključuje tudi vrednotenje mehkih predikatov. Ker je simbolov (objektov slike), ki so zajeti v procesiranju, sorazmerno veliko (nekaj 100), je kritična tudi računska zahtevnost omenjenih algoritmov. Obvladljivo računsko in prostorsko zahtevnost postopka pri reševanju konkretnih nalog dosežemo s primerno izbiro predikatov in izbiro pripadnosti atomarnim formulam. 4 Primer formalnega sestava za analizo digitalne slike Za demonstracijo analize digitalne slike smo izbrali kar se da preprost primer. Gre za analizo slike, ki je posnetek stanja igre ťrivvrstoˇ. Sistem, postavljen v programskem jeziku C++, prebere sliko trenutnega stanja igre in na podlagi zajema in analize objektov odgovarja na vprašanja, kot npr., ali je igra že končana, kdo je zmagovalec ipd. Poleg tega lahko analiziramo različne lastnosti objektov slike, kot npr. geometrijska razmerja itd. Za celovito predstavitev podatkovnih struktur v programskem jeziku na tem mestu primanjkuje prostora. Elemente slike shranjujemo v strukturo tipa GraphicElt[ObjectId, {x...}, µ], kjer je ObjectId tip objekta, npr. Dot za točko, Line za črto, itd, {x...} je množica parametrov in µ je pripadnost objekta izbranemu razredu objektov. Ob vpeljavi določimo osnovne gradnike formalnega sestava, glej poglavje 3. Individualne spremenljivke: { Dot, Line, Curve, Cross, Circle }, Funkcijski znaki: {f (2) (Dot, Dot) = Line, g (2) (Dot, Line) = Line,...}, Predikati: {P (1) 1 (A) = [A = Cross, µ], P (1) 2 (A) = [A = Circle,µ], Q (3) (C 1,C 2,C 3 ) = [C 1,C 2,C 3 so v vrsti,µ],...} Navedli smo le nekatere predikate in nekatere funkcijske znake. Vsi simboli so opremljenimi še s pripadnostmi, na katerih temelji analiza z mehko logiko. Analiza scene slike poteka igre tri v vrsto poteka po naslednjih korakih: 1. Zajem slikovnih elementov sivinske slike v množico objektov vhodnega nivoja B(0). Format objektov je GraphicElt[Dot, {x, y}, µ]. Za pripadnost izberemo vrednosti glede na zanesljivost zajema objekta, ki je odvisna od sivinskega nivoja slikovnega elementa na mestu (x, y). Množica objektov vhodnega nivoja B(0) je v tem primeru množica točk, zajetih neposredno na analizirani sliki; 2. Izvajanje transformacij na objektih s pomočjo funkcijskih znakov. Pri tem se podmnožice točk transformirajo v črte, te pa v križce Cross in krožce Circle. Transformacije potekajo tako dolgo, dokler vmnožico obravnavanih objektov transformacijska pravila še vnašajo spremembe, tj. obstajajo mehki predikati s pripadnostjo nad predpisano vrednostjo. S tem po k korakih kombinacije simbolov (objektov) dobimo množico objektov končnega nivoja B(k). Ta vsebuje točke, ki se niso vključile v kompleksnejše objekte (črte, krivulje,...), črte, ki se niso vključile v kompleksnejše objekte, krivulje in kot najbolj kompleksne objekte tudi križce tipa GraphicsElt[Cross, {x...}, µ] in krožce tipa GraphicElt[Circle,{x...},µ]. Pri izvajanju transformacijskih pravil evaluiramo mehke predikate, tj. izračunavamo pripadnosti pripadajočih mehkih predikatov, podanih z mehkimi formulami H. Za izbrano pripadnost µ torej preverjamo = µ H. Pri evaluaciji predikata P izračunamo razdaljo med točkama, ki sta argumenta predikata, dobljeno vrednost primerjamo s predpisano razdaljo d max in na podlagi pripadnosti µ 1, µ 2, µ 3 in izbrani pripadnosti µ ovrednotimo resničnost izjave = µ P. 3. Analiza scene zajete slike poteka na podlagi izvajanja predikatov formalnega sestava. Primeri nalog, ki jih postavljamo v obliki predikatov, so: ugotavljanje števila križcev in krožcev, na podlagi katerega nato določimo število korakov igre in kateri igralec je na potezi; preverjanje lege razpoznanih križcev in krožcev; če vsaj trije objekti istega tipa (križci ali krožci) ležijo v ravni vrsti, je pripadajoči igralec že zmagovalec. V resnejših uporabah so objekti vhodnega nivoja bolj zapleteni objekti, kot je slikovni element. e na vhodnem nivoju želimo zajeti bolj zapletene objekte, dokler je to mogoče opraviti dovolj hitro in dovolj zanesljivo. V tem demonstracijskem primeru bi npr. lahko zajeli križce in krožce že kot objekte vhodnega nivoja.

Košir, Tasič 149 Analiza scene na podlagi že pridobljene množice objektov končnega nivoja B(k) poteka zelo učinkovito. Gre le za sprehod po množici objektov tipa GraphicElt[ObjectId, {x...}, µ], pri čemer program preverja in primerja oznake objektov ObjectId in računa s koordinatami {x...}. Razpoznava objektov je v tej fazi analize le še prepisovanje oznak objektov ObjectId. Postavitev formalnega sistema v programski jezik je programersko precej zahtevna naloga. Izbrali smo programski jezik C ++, ki se je pri tem dobro obnesel. Izkazalo se je, da je mogoče transformacijska pravila (funkcijske znake) in vrednotenje predikatov izvajati z isto proceduro. Osnovno vodilo načrtovanja podatkovnih struktur in algoritmov formalnega sestava je bila sama definicija formalnega sestava. Funkcionalnosti programskega jezika C ++, kot so polimorfnost, rekurzivnost in dedovanje objektov, ustrezajo rekurzivni naravi formalnega sestava in omogočajo učinkovito postavitev postopkov manipulacije s simboli in evaluacije logičnih formul. Izvajanje transformacijskih pravil (izračun funkcij formalnega sistema) je računsko najzahtevnejši del predlaganega postopka. Izkaže se, da so računske zahtevnosti postopkov kombinatoričnih funkcij eksponentne. S primerno postavitvijo postopkov v izbranem programskem jeziku je mogoče doseči sprejemljive čase izvajanja. Algoritmične napotke mehkega sklepanja daje delo [9]. Analiza predstavljenega primera igre ťri v vrstoňa osebnem računalniku tipično zahteva nekaj sekund. 5 Sklep V članku smo predstavili pristop k analizi scene digitalne slike na podlagi formalnega sestava. Kot demonstracijski zgled navajamo preprost primer analize razmer na sliki v poteku igre ťri v vrstoˇ. Glavne prednosti predlaganega pristopa so možnosti globalnega zapisa informacije in zato tudi globalne analize scene, ki jo prinaša digitalna slika. Ker pristop omogoča tudi razpoznavo objektov v več nivojih, glej poglavje 1, lahko v specifičnih primerih uporabe dosežemo tudi večjo učinkovitost same razpoznave objektov. S predlaganim sistemom je mogoče načrtovati kompletno reševanje dane naloge analize digitalne slike, poleg tega ga lahko uporabimo v kombinaciji z drugimi postopki analize. Glavna težava tega pristopa je v iskanju transformacijskih pravil (funkcijskih znakov), ki v primeru danega področja uporabe omogočajo učinkovito sestavljanje zajetih preprostih objektov v kompleksnejše objekte slike. Kot je znano iz teorije rekurzivnih sistemov, lahko neustrezna izbira transformacijskih pravil vodi do izvajanja neskončne zanke. Ker gre za predstavitev osnovnega koncepta in je testiranje programske postavitve postopkov v zgodnji fazi, ne predstavljamo primerjav z drugimi metodami. Pomembna naloga nadaljnjega dela je razdelava postopkov za iskanje primernih transformacijskih pravil. Z nadaljnjo teoretično razdelavo in s praktičnimi izkušnjami načrtovanja formalnih sistemov želimo oblikovati smernice za sestavo transformacijskih pravil, ki ustrezajo zahtevam reševanja specifičnih problemov. Pri tem je potreba upoštevati tudi prostorsko in računsko zahtevnost postopkov izvajanja transformacijskih pravil. V ta namen potrebujemo oceno števila simbolov, ki se pojavijo na izbranem nivoju obravnave. Nadaljnje delo se kaže tudi v kombinaciji znanih postopkov za razpoznavo objektov vhodnega nivoja s predlaganim pristopom, s čimer bi dosegli učinkovitejšo analizo scene digitalne slike. Pri tem je ključnega pomena izbira postopkov predobdelave analizirane slike, predvsem primerne segmentacije slike. Pristop analize mirne slike s formalnim sestavom je mogoče posplošiti tudi na obdelavo videopodatkov. V tem primeru za simbole formalnega sistema izberemo tridimenzionalne objekte, ki jih določata obe prostorski in ena časovna dimezija. 6 Literatura [1] Y. S. Abu-Mostafa, D. Psaltis, Recognitiove Aspects of Moment Invariants, IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Inteligence, Vol. Pami 6, No. 6, November 1984. [2] H. Bandemer, Fuzzy sets, fuzzy logic, fuzzy methods, John Wiley & Sons, 1996. [3] S. Banks, Signal Processing, Image Processing and Pattern Recognition, Prentice Hall, New York, 1990. [4] K. Chan, D. Yeung, Recognizing on-line handwritten alphanumeric characters through flexible structural matching, Pattern Recognition, Vol 32., pp 1099-1114, 1999. [5] K. Culik, J. Kari, Finite-State Transformations of Images, Computer and Graphics, Vol. 21, pp 125-135, 1996. [6] K. Culik, V. Valenta, Finite Automata Based Compression of Bi-level and Simple Color Images, Computer and Graphics, Vol. 21, pp 61-68, 1997. [7] H. B. Curry, Fundations of Mathematical Logic, McGraw- Hill, USA, 1963. [8] M. Gavalec, Fuzzy sets and fuzzy reasoning, Application of Modern Mathematical Methods, Založba FE in FRI, 2001. [9] C. J. Kim, An Algorithmic approach for fuzzy Inference, IEEE Transaction on Fuzzy Systems, vol. 5, No. 4, November 1997. [10] A. Malaviya, L. Peters, Fuzzy handwriting description language: FOHDEL, Pattern Recognition, Vol 33., pp 119-131, 2000.

[11] J. F. Martinez-Trinidad, A. Guzman-Arenas, The logical combinatorical approach to pattern recognition, Pattern Recognition, Vol 34., pp 741-751, 2001. [12] N. Prijatelj, Osnove matematične logike, Društvo matematikov, fizikov in astronomov Republike Slovenije, 1982. [13] G. E. Revesz, Introduction to Formal Languages, McGraw-Hill, Singapore, 1985. [14] G. Rozenberg, A. Salomaa, Handbook of Formal Languages, Springer-Verlang, Berlin, Vol. 1, Vol. 2, Vol. 3, 1997. [15] R. M. Smullyan, Theory of Formal Systems, Princeton University Press, New Jersey, 1961. [16] J. Virant, Čas v mehkih sistemih, Didakta, Radovljica, 1998. [17] D. Wang, Studies on the Semantics of Pictures, ILLC Dissertation Series 1995-4, Amsterdam, 1995. Andrej Košir je diplomiral leta 1993 na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo, Oddelek za matematiko in mehaniko, kjer je leta 1996 tudi magistriral. Doktoriral je leta 1999 na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani. Zaposlen je kot asistent na Fakulteti za elektrotehniko. Področje njegovega raziskovalnega dela sega v postopke digitalne obdelave slik s podporo formalnih sistemov, statističnih metod in uporabe naravnih algoritmov. Jurij Tasič je diplomiral leta 1971, magistriral leta 1973 in doktoriral leta 1977 na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani. Je redni profesor na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani in predstojnik Laboratorija za digitalno obdelavo signalov. Ožja področja njegovega raziskovalnega dela so digitalna obdelava podatkov, obdelava slik, adaptivni sistemi, paralelne strukture in telekomunikacije. Sodeluje na številnih aplikativnih projektih doma in v tujini.