MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH Sažetak: U ovom radu je dat jedan zanimljiv način izračunavanje graničnih vrijednosti nekih funkcijatu često koristimo poznate granične vrijednosti: sin lim i lim e, te Lopitalovu teoremu ukoliko se radi o neodređenim oblicima,,,,, i Ključne riječi: granična vrijednost funkcije, Lopitalova teorema, Tejlorova i Maklore-nova formula, Lagranžov i Košijev 5 ostatak One interesting way of computation of some limiting values of the functions Abstract: In this paper are gived one interesting way of computation of some limiting values of the functions We use here the known limiting values: sin lim and lim e Key words and phrases: limiting value of the function, L'Hospital's theorem, Taylor's and Maclaurin's formula, Lagrange's and Cauchy's residue AMS Subject Classification (): 97 F 5 Guillaume François Antoine l'hôspital (66-7), francuski matematičar Brook Taylor, (685-7), engleski matematičar Colin Maclaurin(698 76), škotski matematičar Joseph-Louis Lagrange (76-8), francuski matematičar 5 Augustin Louis Cauchy (789-857), francuski matematičar
MAT-KOL, XXIII ()(7) ZDM Subject Classification (): F 5, N 5 U ovom radu ćemo pokazati kako se veoma brzo i uspješno izračunavaju neki na prvi pogled komplikovani limesi koristeći Tejlorovu formulu koja glasi: Ako funkcija f ima neprekidan n -ti izvod na segmentu a, i ako postoji konačan ili beskonačan n -vi izvod na intervalu a,, tada važi Tejlorova formula: n n a a a f f a f ' a f a f a Rn ()!! n! gdje je n a n Rn f a a ; n! ostatak Tejlorovoge formule u Lagranžovom obliku, a n n a n Rn f a a ; n! ostatak u Košijevom obliku Ostatak višeg reda u poređenju sa a n, tj Rn, kada a predstavlja beskonačno malu R a n n Neka funkcija f u tački a ima konačan n -ti izvod f n a Polinom n n a a a Tn f a f ' a f a f a ()!! n! se zove Tejlorov polinom n -tog stepena funkcije f u tački a Specijalno za a iz Tejlorove formule () se doboja Maklorenova formula: n n n n f f f ' f f f,, ()!! n! n! odnosno iz Tejlorovog polinoma () dobijamo Maklorenov polinom: n n T n f f ' f f ()!! n!
MAT-KOL, XXIII ()(7) Sada ćemo dati više primjera izračunavanja graničnih vrijednosti koristeći formule () ili () za neke konkretne funkcije Primjer Izračunati L lim m k sin ln, gdje mn Rješenje: Ovo je granična vrijednost oblika, ali brzo bi uvidjeli da nas primjena Lopitalove formule ne bi dovela lako do rješenja sin Zbog i lim, imamo: ln ln L lim lim m k sin k sin ln lim, k f ln :, k L lim k k k, k a odavde zbog () za funkciju Primjer Izračunati cos L lim tg Rješenje: I ovdje se radi o graničnoj vrijednosti oblika, ali put do rješenja koristeći Lopitalovu teoremu bi bio veoma zamršen i neizvjestan No, koristeći () za funkcije i f i g cos imamo: f 8 g : Sada dobijamo vodeći računa da važi tg ;
MAT-KOL, XXIII ()(7) cos 8 L lim lim tg tg 8 lim Primjer : Izračunati arctg L lim Rješenje: Ovo je opet slučaj Naćemo graničnu vrijednost koristeći Lopitalovu teoremu Imamo arctg L lim lim lim lim Ovo je bilo dosta lagano No, koristeći () za funkciju f arctg, tj brzo dobijamo da je: L lim arctg Primjer Ispitati diferencijabilnost funkcije: u tački f e Rješenje: Dobili bi da je prvi izvod ove funkcije zadatak riješiti nalazeći graničnu vrijednost: f ' prilično nezgrapan, pa ćemo f f f L lim lim (jer je f e ) lim
MAT-KOL, XXIII ()(7) I ovaj limes je oblika, ali upotreba Lopitalove teoreme za njegovo izračunavanje bi bila prilično mukotrpna Opet ćemo koristiti () za funkciju f e, tj e,!!! te imamo! 6 L lim lim 6 Dakle, data funkcija f je diferencijabilna u tački Primjer 5 Izračunati L lim ctg Rješenje: Ovaj limes je oblika, koji se transformiše u oblik, tj: sin cos L lim sin ali nas korištenje Lopitalove teoreme ne bi brzo dovelo do rješenja Koristićemo Loranovu 6 formulu za funkciju f ctg, tj ctg Sada dobijamo: L lim lim 9 Primjer 6 Dokazati da za sve n važi nejednakost lnn lnn n Rješenje: Koristeći () za funkcije f ln i g ln imamo: 6 Pierre Alphonse Laurent (8-85), francuski matematičar i fizičar 5
MAT-KOL, XXIII ()(7) gdje važi Sada dobijamo: Stavljajući da je ln, ln, 5 ln ln ln 5 n ; ( n, ) imamo: a odavde: ili n n n ln ln ln, n n n n n lnn ln n n n lnn lnn n, qed Primjer 7 Izračunati sin cos L lim sin ln cos sinlncos Rješenje: Ovaj limes je oblika Kako je sin () ta funkciju f e, dobijamo: cos e e, to koristeći sin sin lncos sin lncos cos e L lim lim lim ln sin sin lncos sin ln sin sin ln sin lim lim lim lim, 6
MAT-KOL, XXIII ()(7) a odavde koristeći () za funkciju g ln sin dobijamo: sin sin L lim lim Preporučujemo da čitaoci ovog rada dokažu sljedeće jednakosti koristeći () za određene funkcije: cos e lim ; ln cos lim ; lim 6 6 5 6 6 5 LITERATURA [] D Adnađević, Z Kadelberg: Matematička analiza I, Nauka, Beograd, 998 [] M Marjanović: Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 98 [] B Mesihović, Š Arslanagić: Zbirka riješenih zadataka i problema iz matematike sa osnovama teorije i ispitni zadaci, Svjetlost, Sarajevo, 988 Primljeno u redakciju 76 Dostupno online 66 7