ORIGINALNI NAUČNI RADOVI / SCIENTIFIC PAPERS Zoran Popovć DOI:0.98/EKA0773036P Isptvanje Paretoove optmalnost u modelu opšte ekonomske ravnoteže sa tržštem sredstava PARETO S OPTIMUM IN MODELS OF GENERAL ECONOMIC EQUILIBRIUM WITH THE ASSET MARKET APSTRAKT: Model opšte ekonomske ravnoteže sekvenjalne strukture uključuje tržšte sredstava, koja predstavljaju nstrumente redstrbuje dohotka kroz vremenske trenutke. Takav model treba da dâ, s jedne strane, objašnjenje relatvnog odnosa ena roba, a sa druge strane načn formranja ena sredstava kao nstrumenata redstrbuje dohotka, kao mogućnost analze dohodovnh transfera zmeđu vremenskh trenutaka. U ovom radu je stražvanje prevashodno usmereno na sptvanje Paretoove optmalnost defnsanog matematčkog modela opšte ekonomske ravnoteže u uslovma potpunog nepotpunog tržšta sredstava. Postojanje nepotpunog tržšta sredstava uslovljava smanjenu mogućnost dohodovnh transfera kroz vremenske trenutke posmatranog ekonomskog sstema, što ma za posledu da ravnotežne alokaje nsu Paretoove optmalne alokaje. ABSTRACT: A model of the general eonom equlbrum of sequental strutures nludes the asset market, where assets are nstruments of sequental nome redstrbuton. The model should explan relatve pres of ommodtes, on one hand, and establsh the asset prng as an nstrument of nome redstrbuton, on the other, enablng the analyss of sequental nome transfers. Ths paper manly researhes Pareto s optmum of a defned mathematal model of the general eonom equlbrum n both omplete and nomplete asset markets. The exstene of the latter partly dsables an eonom system to transfer nome through tme sequenes properly, whh results n equlbrum alloatons not reahng Pareto s optmum. KEY WORDS: General eonom equlbrum; Dynam models; Complete and nomplete asset markets; Pareto s optmum. KLUČNE REČI: Opšta ekonomska ravnoteža; Dnamčk model; Potpuna nepotpuna tržšta sredstava; Paretoova optmalnost. Klasfkaja prema EL: D50, D5, C60, E5 36
Isptvanje Paretove optmalnost. Uvod Teorja opšte ekonomske ravnoteže orjentsana je na sptvanje svh međuzavsnost koje u okvru prvrede postoje zmeđu pojednh donoslaa ekonomskh odluka, kao zmeđu roba zmeđu tržšta. Osnovn analtčk okvr, koj se u okvru teorje opšte ekonomske ravnoteže korst za donošenje raonalnh ekonomskh zaključaka, zasnovan je na koršćenju metoda mkroekonomske analze. Teorja opšte ekonomske ravnoteže za svoj osnovn lj ma određvanje uslova za ostvarvanje sptvanje karakterstka ravnotežnh vrednost osnovnh ekonomskh velčna u okvru nekog ekonomskog sstema. Model opšte ekonomske ravnoteže, koj predstavlja matematčko-metodološku osnovu ove teorje, zasnovan je na koršćenju matematčke aparature u lju egzaktnog utvrđvanja uslova za sptvanje zračunavanje ravnotežnh stanja u okvru nekog ekonomskog sstema. Model opšte ekonomske ravnoteže u svom standardnom oblku polaze od pretpostavke da će se sv učesn u proesu razmene (potrošač prozvođač) srest u tačno određenom vremenskom trenutku na tačno određenoj lokaj kako b se zvršla razmena roba, bez mogućnost postojanja stanja nezvesnost ekonomskog sstema kao bez mogućnost postojanja prostorne dslokaje vremenske dmenzje u proesu tržšne razmene. Ovako uvedena pretpostavka veoma značajno ogrančava udaljava standardn model opšte ekonomske ravnoteže (Arrow-Debreuov model opšte ekonomske ravnoteže) od realnog stanja funkonsanja ekonomskog sstema, a samm tm dobjene ravnotežne vrednost, kao aproksmaje stvarnh ekonomskh velčna, ne mogu predstavljat u potpunost realna stanja ekonomskog sstema. Suprotno prethodno navedenoj restrktvnoj pretpostav o karakteru proesa tržšne razmene, novja stražvanja u oblast opšte ekonomske ravnoteže teže da u već defnsane matematčke relaje standardnog modela opšte ekonomske ravnoteže uključe vremensku dmenzju, kao određen stepen nezvesnost u proesu tržšne razmene, sa osnovnm ljem egzaktnjeg opsa tržšnh proesa ekonomskog sstema. Model opšte ekonomske ravnoteže koj uključuju vremensku dmenzju određen stepen nezvesnost u proesu tržšne razmene zasnovan su na koneptu opšte ravnoteže sekvenjalne strukture ekonomskog sstema. Dakle, sekvenjaln model treba da na realnj načn opše ekonomsku stvarnost, pošto se u ovm modelma ekonomsk sstem posmatra kroz 37
Zoran Popovć vremensku dmenzju kroz stanja prostora kao moguća stanja ekonomskog sstema. Model koj će bt defnsan u ovom radu predstavlja model sekvenjalne tržšne strukture koja se sastoj od promptnog tržšta roba za svak vremensk trenutak, od tržšta sredstava na kojma sredstva kao nstrument pružaju potrošačma (agentma) mogućnost redstrburanja dohotka kroz dferenrane vremenske trenutke. Za razlku od jedne savršeno konkurentske ravnoteže određene u početnom vremenskom trenutku koja ostaje kroz sve buduće vremenske trenutke, u modelu koj će bt razvjan u ovom radu posmatraće se nz ravnotežnh stanja ekonomskog sstema. Model opšte ekonomske ravnoteže sa tržštem sredstava treba da pruže mogućnost analze dohodovnh transfera zmeđu vremenskh trenutaka, kao načn formranja ene sredstava kao nstrumenata redstrbuje dohotka. Pošto defnšemo odgovarajuć formaln model opšte ekonomske ravnoteže koj uključuje tržšte sredstava u uslovma nepostojanja arbtraže, dalja analza će bt usmerena na sptvanje Paretoove optmalnost ekonomskog sstema defnsanog odgovarajućm matematčkm modelma.. Metodološka razmatranja modela opšte ekonomske ravnoteže sa tržštem sredstava U ovom radu razmatramo alternatvnu nterpretaju Arrow-Debreuovog modela koja je nešto blža funkonsanju ekonomskog sstema, pr čemu moramo ojačat pretpostavke s obzrom na očekvane rezultate. Pretpostavmo da je za svak vremensk trenutak poznato promptno tržšte L -roba kako za tekuć vremensk trenutak, tako za sve buduće vremenske trenutke. Pr tome, u vremenskom trenutku t roba se kupuje prodaje na tržštu, a plaćanje robe će bt zvršeno u znosu od t -moneta kao obračunskh jedna za kupovne prodaje u t vremenskom trenutku. Ovakav oblk prodaje kupovne robe uslovljava da potrošač mora spunt T + budžetsko ogrančenje, tj. po jedno budžetsko ogrančenje za svak od vremenskh trenutaka. Potrošač je, ako ne Spot tržšte (engl. spot market) tržšte na kome se predmet trgovne odmah plaćaju sporučuju. Zove se promptno tržšte. Obuhvata deo futures tržšta kada je dospeće futures ugovora u tekućem meseu. Spot tržšte se, po pravlu, odvja u form vanberzanskog prometa. Izvor : Ekonomsk rečnk, Ekonomsk fakultet Beograd, Beograd, 00, str. 640. 38
Isptvanje Paretove optmalnost raspolaže sredstvma transfera kupovne moć zmeđu vremenskh trenutaka, prsljen na određene zdatke u svakom vremenskom trenutku koj se moraju slagat sa vrednostma njalnog bogatstva odgovarajućeg vremenskog trenutka. U daljoj analz uvodmo osnovne pretpostavke koje će se odnost na skup potrošnje, vektor njalnog bogatstva potrošača funkju korsnost potrošača. Osnovne pretpostavke (P) oblka (P) R C = R L( T +) ++ L( T +), gde sa R obeležavamo poztvn ortrant robnog prostora ++ { > 0, j = 0,,,..., T} ( T + ) L( T + ) = = ( ( 0), ( ),..., ( T )) R ( j) L ++ e R ; L( T + ) + + ; (P3) u C ( C, R), gde je C ( C, R) skup funkja sa domenom C koje uzmaju vrednost z skupa R pr tome su dva puta dferenjablne; L( T + ) m (P4) Du ( ) R++ za svak R+ +, pr čemu aoban funkje u, gde je Du: C R, defnšemo kao vektor funkju parjalnh zvoda u tačk, tj. ( ) = ( ( ), ( ),..., u( ) u( ) ( )) =,, u( ),. Du predstavlja lnearnu formu defnsanu u m Du Du Du Dnu R+ + n Možemo reć da aoban () L( +) prostoru R T, odnosno vektor aobana Du (), ako h obeležmo kao grad u(), predstavljaju gradjente funkje korsnost u koj su oenjen u okoln tačke. Potpunj prkaz mplkaja osnovnh pretpostavk dat je u: Balasko, Y. (988), Fundatons of the Theory of General Equlbrum, Aadem Press. 39
Zoran Popovć (P5) tada je za m j= m R+ + je ( ) m m j= k = ( ) u h jhk < 0, za svak j k m h R, za h 0 u h j = 0, gde D u( ) predstavlja Hessan funkje u u tačk, j odnosno za smetrčnu nxn -matru vrednost na mestu (, j) znos u( ) Dju( ) =. j Pretpostavke (P) (P) mplraju da njalno bogatstvo potrošača predstavlja moguću potrošnju. Pretpostavke (P3), (P4) (P5) koje je uveo G. Debreu (97) 3 pružaju mogućnost dobjanja dferenjablne funkje tražnje za robe u standardnom modelu opšte ekonomske ravnoteže. Dakle, u pretpostav (P3), funkja u je dferenjablna funkja ako samo ako ma neprekdan prv drug parjaln zvod. Name, pretpostavkom (P3) zagovara se da funkja korsnost u ma parjalne zvode prvog drugog reda, tj. funkja korsnost u R m m : + R neprekdna je u prostoru R +. Pretpostavka (P4) je pretpostavka stroge monotonost (za dferenjablan slučaj). Pretpostavkom (P5) polaz se od stava da je funkja korsnost strogo kvaz-konkavna funkja. U stvar, pretpostavka (P5) polaz od toga da je za svak poztvan vektor potrošnje, kvadratna forma drugh zvoda funkje korsnost u (što možemo napsat kao h n D u( ) h < 0 ) negatvno je defntna pošto je ogrančena sa m hperravn ndferentnost preko vektora potrošnje (za h R \ { 0} m hperravan je Du ( ) h = 0 ). Ova famlja lokalnh stanja (za sve R+ + ) mplra globalno svojstvo da je funkja korsnost u strogo kvaz-konkavna m m na prostoru R + +. Osm toga, za svak R+ + mplra lokalno svojstvo da se gradjent grad u() oenjen u okoln tačke prema ndferentnoj površ preusmerava za blo koju lokalnu promenu. Pošto smo uvel osnovne pretpostavke dal njhova objašnjenja možemo matematčk formulsat pojam potrošača koj zadovoljava uvedene pretpostavke. 3 Debreu G., (97), «Smooth Prefernes» Eonometra, 40. 40
Defnja.. Potrošača defnšemo kao uređenu trojku ( C, u, e), gde je u : C R (tj. u : R m R ) funkja korsnost potrošača. + Vektor potrošnje je ogrančen budžetskm ogrančenjem odnosno potrošač mora zabrat takav vektor potrošnje = ( (0), (),..., ( t)) da troškov potrošnje nsu već od ukupnog njalnog bogatstva potrošača, tj. vektor potrošnje = ( (0), (),..., ( t)) mora zadovoljt sledeć uslov P( 0) (0) + P() () +... + P( T ) ( T ) W. (.) Sada, kada smo zrazom (.) dal budžetsko ogrančenje, defnšemo budžetsk skup za vektor ena P = ( P( 0), P(),..., P( T )) dat ukupan prhod potrošača W > 0 kao ukupno njalno bogatstvo, oblka { C P = P(0) (0) + P() () +... + P( T ) ( T W} B( P, W ) = ) Isptvanje Paretove optmalnost, (.a) Budžetsk skup B ( P, W ) je neprazan skup, pr čemu ako skup potrošnje u defnj budžetskog skupa zadovoljava uslov jednakost, tada to posmatramo kao bužetsku hperravan. Budžetsko ogrančenje dato zrazom (.) odnosno zrazom (.a), predstavlja za potrošača nvo potrošnje određen nekm od planova potrošnje koj se nalaze u poluprostoru na l spod budžetske hperravn. Neka su za vremenske trenutke T t β t označavamo ene zražene u 0 -monet za jednu jednu t -monete vremenskog trenutka t, odnosno β ( t) predstavlja dskontn faktor. Vektor r = ( r( ), r( ),..., r( T )) posmatran u tekućem vremenskom trenutku predstavlja neto dohodovn vektor, pr tome, vrednost neto dohodovnog t očekvane tekuće ene 4 p ( ), a sa ( ) 4 Spot ena (engl. spot pre) ena robe, hartje od vrednost l devza po kojoj se vrše kupoprodajne transakje na fnansjskom l robnom tržštu za momentalnu sporuku predmeta trgovne. Na drugoj stran, robe, hartje od vrednost devze maju futures, forward oponu enu za odloženu sporuku predmeta trgovne u određenom trenutku u budućnost. Spot ene za st predmet trgovne na razlčtm tržštma usklađuju se proesom arbtraže. Snonm za spot enu su ash ena tekuća ena. Izvor : Ekonomsk rečnk, Ekonomsk fakultet Beograd, Beograd, 00, s. 640. 4
Zoran Popovć vektora r u vremenskom trenutku t = 0 zraženog u obračunskoj jedn 0 - moneta bla b ( ) r( ) + β ( ) r( ) + β ( T ) r( T ) β r = β... +, pr tome, zbor neto dohodovnog vektora određen je sledećm ogrančenjem r ( 0 ) + ( ) r( ) + β ( ) r( ) +... + β ( T ) r( T ) = 0 β, (.) T + odnosno, H = { r R r = 0} β, (.a) T + pr čemu je dskontn faktor, vektor = ( β ( 0), β ( ), β ( ),..., β ( T )) R++ β ( 0 ) =. β sa Sada defnšemo problem potrošača kada postoj promptno tržšte roba za vremensk trenutak t T0 promptno tržšte dohotka za vremensk trenutak t = 0 (l kraće potrošačev problem promptnog tržšta) u oblku max u (, r ) p p r ( ( 0), ( ), ( ),..., ( T )) C ( 0) ( ( 0) e( 0) ) r( 0) ( ) ( ( ) e( ) ) r( )... ( T )( ( T ) e( T )) r( T ) ( 0) + β ( ) r( ) + β ( ) r( ) +... + β ( T ) r( T ) = 0 p (.3) pr čemu su ena robe p ( 0) dskontn faktor β = (, β ( ), β ( ),..., β ( T )) poznat za tekuć vremensk trenutak, a vektor ena robe p ( t) za vremenske trenutke t T predstavlja očekvane ene budućh vremenskh trenutaka. U modelu koj posmatra promptno tržšte dohotka u vremenskom trenutku t = 0 potrošaču stoj na raspolaganu mogućnost preraspodele (dohodovnh 4
transfera), kako za vremensk trenutak t = 0, tako mogućnost preraspodele dohodovnh transfera za sve buduće vremenske trenutke. Neophodno je da je ravnotežn vektor neto dohotka svakog potrošača zjednačen sa vektorom neto zdataka potrošača. Narednom teoremom dajemo tvrđenje da uređena n-torka, r, p, β predstavlja promptnu tržšnu ravnotežu ako samo ako N N za vektor ena P( t) = β ( t) p( t) uređen par, P predstavlja N Walrasovo 5 ravnotežno stanje. Name, pod pretpostavkom da postoj vektor P t = β t p t, tada u modelu potrošačevog dskontnog faktora β, tako da je ( ) ( ) ( ) problema datog zrazom (.3) uređen par ravnotežno stanje. N, P predstavlja Walrasovo L Teorema.. (vdet u [6]). Za vektor tekućh ena ( R ) ++ T + p vektor T + dskontnog faktora β = ( β ( 0), β ( ), β ( ),..., β ( T )) R ( β ( 0 ) = T { } + L su zadat skup A = ( R ) ++ ) neka, sa vektorom potrošnje, takvm da predstavlja rešenje potrošačevog problema gde su tekuće ene dskontovane na P t = β t p t, skup ene početnog vremenskog trenutka, tj. ( ) ( ) ( ) A = L T + { ( R ) }, pr tome postoj vektor neto dohotka Isptvanje Paretove optmalnost r R T +, tako da Ξ = C, 5 Walrasova ravnoteža za ekonomsk sstem ( ) N N P L( T +),, gde P R++ takav da (a) za svak N, (b), u e predstavlja par je rešenje potrošačevog problema kao problema maksmuma sa zadatm budžetskm ogrančenjma, tj. max u ( ), za B ( P, Pe ) ; N je ravnotežna raspodela (alokaja) potrošnje. 43
Zoran Popovć par (, r) predstavlja rešenje potrošačevog problema promptnog tržšta datog zrazom (.3). Tada su element skupova A A st, tj. A = A. Dokaz. Prema znetm tvrđenjma prvo treba da dokažemo da je A A. Neka vektor sa vektorom r R T + predstavlja rešenje potrošačevog problema promptnog tržšta datog zrazom (.3). Zatm, kako je na osnovu stava datog zrazom (.), ( t) r( t) = 0 β t vremenskog trenutka t N β, množeć sa ( ) ( t T0 ) budžetska ogrančenja u zrazu (.3), dobjamo ( t) p( t) [ ( t) e( t) ] β ( t) r( t) β. Kako je budžetsko ogrančenje t T 0 t T 0 N potrošačevog problema promptnog tržšta (.3), β ( t) r( t) = 0, sled da za vektor potrošnje postoj budžetsko ogrančenje dato zrazom (.a) predstavlja rešenje potrošačevog problema sa dskontovanm enama na početn P t = β t p t. Ovm smo pokazal da je A A vremensk trenutak, tj. ( ) ( ) ( ). Sada treba da pokažemo da je A A. Neka vektor potrošnje postoj za budžetsko ogrančenje dato zrazom (.a) predstavlja rešenje potrošačevog P t = β t p t. Defnšemo problema sa dskontovanm vrednostma, tj. ( ) ( ) ( ) vektor r^ ( t) ^ t preko relaje β ( t) r( t) = β ( t) p( t) [ ( t) e( t) ] za T0 ^ r( t) = p( t) [ ( t) e( t) ] zrazom (.a) mamo da je ( t) p( t) [ ( t) e( t) ] 0 t T 0 β ^ ( t) r( t) 0, kako je, za t T0, na osnovu budžetskog ogrančenja datog. Stavmo da je r( 0) r( 0) za β ( t) r( t) = 0 r^ ( t) ^ t T 0 r ( t) vdmo da par ( r) ^ r r t T 0 β, odnosno ( 0) r( 0) β ( t) r( t), = ^ ^ ( t) = r( t) t T 0 za ^ t T, tada je. Sada na osnovu postupka defnsanja vektora, predstavlja rešenje potrošačevog problema 44
Isptvanje Paretove optmalnost promptnog tržšta datog zrazom (.3) sa vektorom neto dohotka r ( r( t) ) t T 0 =. Ovm smo pokazal da je A A. Pošto je u prvom delu dokaza pokazano da je A A, a u drugom delu dokaza je pokazano da je A A sled da je A = A, što je trebalo da dokažemo. Dokazom Teoreme. pokazal smo da Walrasova ravnoteža postoj u ekonomskom sstemu sa tzv. promptnm tržštem uvedenom pretpostavkom da postoj dskontn faktor preko koga se tekuće ene dskontuju na ene početnog vremenskog trenutka odnosno Walrasova ravnoteža postoj za tržšne uslove gde je ena robe tekućh ena određena na promptnm tržštma, pr čemu postoj mogućnost dohodovnh transfera kako za posmatran vremensk trenutak, tako postoj mogućnost dohodovnh transfera za buduće vremenske trenutke. U našoj daljoj analz uvodmo pretpostavku da neto dohodovn vektor prpada nekom prozvoljnom skupu M R T + odnosno uvodmo sredstva kao nstrumente redstrbuje dohotka kroz vremenske trenutke. Dakle, speframo nove postavke koje pružaju agentma (potrošačma) mogućnost dohodovnh transfera posmatrano u vremenu. Pr tome, neto dohodovn vektor dalje posmatramo kao vektor dvdend koj prozlaz na osnovu zbora portfola. Portfolo posmatramo najšre kao kombnaju razlčth oblka aktve (sredstava), to jest pod portfolom podrazumevamo postupak ulaganja (trgovanja sredstvma) sredstava na tržštu sredstava na osnovu toga ostvarvanje odgovarajućh dvdend. Izbor portfola kao oblka ulaganja sredstava u ovom delu našeg rada polaz od pretpostavke da se sredstvma može trgovat na tržštu sredstava samo u početnom vremenskom trenutku t = 0. Dakle, u ovom modelu struktura tržšta može bt predstavljena: Sstemom promptnog tržšta roba za sve vremenske trenutke t T0, Sstemom tržšta sredstava (najčešće fnansjskh tržšta) koja pružaju nstrumentarjum koj omogućava agentma (potrošačma) redstrburanje dohotka kroz vremenske trenutke. U zavsnost od toga kako se vrš zmrenje dvdend, sredstva delmo na nomnalna sredstva koja predstavljaju zmrenje dvdend u obračunskm 45
Zoran Popovć jednama posmatrano kroz vreme, l realna sredstva koja predstavljaju zmrenje dvdend u oblku robnog snopa. Nomnalna sredstva posmatramo kao ugovore kojma su defnsan vektor dvdend vrednosno zražen u t - monet za buduće vremenske trenutke t T, oblka T v = ( v( ), v( ),..., v( T )) R, gde vlasnk jedne jedne sredstva ma pravo na v t t -moneta u vremenskom trenutku t pod uslovom da je prnos u znosu od ( ) v ( t) > 0 od ( t) Dalje, pretpostavmo da skup S {,,..., }, obrnuto vlasnk jedne jedne sredstva prmoran je da sporuč znos v t -moneta u vremenskom trenutku t pod uslovom da je ( t) < 0 v. = predstavlja skup strukture sredstava. Sada na osnovu defnsanog skupa strukture sredstava određenog vektora dvdend možemo defnsat vrednosnu matru dvdend V oblka Vreme Sredstva v ( ) v ( ). v ( ) v ( ) v ( ). v ( ). (.4) t v ( t) v ( t). v ( t). T v ( T ) v ( T ). v ( T ) gde su vektor dvdend predstavljen u kolonama matre koje opsuju strukturu sredstava, što znač da svaka kolona matre predstavlja po jedan vektor dvdend z date strukture sredstava S. Pođmo od toga da je portfolo vektor θ = ( θ, θ,..., θ,..., θ ) R, gde svaka kordnata θ j pokazuje znos j 46
sredstva j u portfolu θ pr tome može mat poztvne l negatvne vrednost, tako da vlasnk portfola θ ma mogućnost naplate l obavezu splate t -moneta za vremensk trenutak t T. Na osnovu dath uslova vdmo da se vlasnk portfola θ u vremenskom trenutku t ( t T ) na osnovu posedovanja paketa sredstava j može nać u jednom od dva alternatvna stanja, to: ako je τ = v j ( t) > 0, vlasnk portfola θ naplaćuje znos od v j ( t) θ j moneta u vremenskom trenutku t ; θ t - ako je τ = v j ( t) < 0, vlasnk portfola θ splaćuje znos od v j ( t) θ j moneta u vremenskom trenutku t. Isptvanje Paretove optmalnost j j θ t - Prema tome, na ovaj načn određena alternatvna stanja pružaju mogućnost vlasnku portfola θ da u vremenskom trenutku t «naplaćuje» ukupan znos koj je prouzrokovan od strane svh sredstava odnosno vlasnk portfola naplaćuje ukupan znos od t -moneta ako je poztvan l splaćuje ukupan znos od t -moneta ako je negatvan. Na ovaj načn defnsan potrošačev paket portfola θ određuje neto dohodovn vektor r za sve buduće vremenske trenutke t T, name predstavlja lnearnu kombnaju kolona matre dvdend V za t T. Neto dohodovn vektor r predstavljamo sledećm zrazom ( ) ( ) r r... r = r... r ( t) ( T ) v v... = v... v ( ) ( ) ( t) ( T ) v v... θ + v... v ( ) ( ) ( t) ( T ) θ + v v...... + v... v ( ) ( ) ( t) ( T ) θ, tj. r = Vθ (.5) Međutm, ako posmatramo do sada sprovedenu analzu, može se uočt da nje uključen vremensk trenutak t = 0, za koj možemo reć da postoje troškov sredstava s obzrom na to da sredstva mogu predstavljat obavezu sporuke (plaćanja) t -moneta u vremenskom trenutku t za buduće vremenske trenutke, 47
Zoran Popovć to jest ne možemo očekvat da je ena sredstava nužno poztvna velčna. Pretpostavmo da vektor q R predstavlja enu sredstava zraženh u jednama 0 -moneta, tada ako je ena sredstva j negatvna, tj. q < 0, znač da prodava sredstva j mora sporučt prema kupu znos od q j 0 -moneta za svaku jednu sredstva j u vremenskom trenutku t = 0. Negatvna ena sredstva j za vremensk trenutak t = 0 predstavlja troškove portfola vremenskog trenutka t = 0. Sada ako vrednosnu dvdendnu matru V datu zrazom.4 prošrmo vektorom ena sredstava za vremensk trenutak t = 0 j Vreme Sredstva 0 q - q q tako što vrednosnoj dvdendnoj matr V dodajemo prvu vrstu, dobja se prošrena vrednosna dvdendna matra W oblka Vreme Sredstva 0 q q. q v ( ) v ( ). v ( ) v ( ) v ( ). v ( ). t v ( t) v ( t). v ( t). T v ( T ) v ( T ). ( T ) q W= V v (.6) 48
Isptvanje Paretove optmalnost Kao što smo predstavl neto dohodovn vektor r za sve buduće vremenske trenutke na osnovu vrednosne matre dvdend V, sada analogno tome možemo predstavt neto dohodovn vektor r za sve vremenske trenutke t T0 na osnovu prošrene matre dvdend W. Potrošačev paket portfola θ određuje neto dohodovn vektor r za sve vremenske trenutke t T0 kao lnearnu kombnaju kolona prošrene matre dvdend W oblka ( 0) ( ) ( ) r r r r =... r... r ( t) ( T ) q v v =... v... v ( ) ( ) ( t) ( T ) q v v θ +... v... v ( ) ( ) ( t) ( T ) θ + q v v... +... v... v ( ) ( ) ( t) ( T ) θ, tj. r = Wθ, (.7) gde neto dohodovn vektor možemo nterpretrat po svakoj koordnat odnosno ako je t koordnata poztvna, tada potrošač kao vlasnk portfola (agent) naplaćuje t -moneta u vremenskom trenutku t, obrnuto, ako je t koordnata negatvna, potrošač splaćuje t -moneta u vremenskom trenutku t. Ovako defnsan lnearn potprostor koj prelaz preko kolona prošrene vrednosne matre dvdend W predstavlja potprostor dohodovnh transfera, dakle možemo defnsat potprostor neto dohodovnog vektora preko prošrene vrednosne matre dvdend na sledeć načn: M = W = { } T + r R r = Wθ za nek θ R, (.8) gde je M lnearn potprostor kolona vektora matre W. Pr ovako defnsanom prostoru neto dohodovnog vektora može se zaključt da potrošač nje ogrančen u blo kojem zboru portfola, buduć da prošrena vrednosna matra dvdend za vremensk trenutak t = 0 uključuje troškove sredstava. Pošto smo defnsal vrednosnu dvdendnu matru V, možemo defnsat 49
Zoran Popovć tržšnu strukturu sredstava na osnovu ranga vrednosne dvdendne matre V. Neto dohodovn vektor r za sve buduće vremenske trenutke t T predstavlja lnearnu kombnaju kolona vrednosne matre dvdend V. Prema tome, za nek portfolo θ, za nek t T, neto dohodovn vektor r kao potprostor neto dohodovnh transfera predstavlja lnearn prostor ostvaren preko kolona vektora vrednosne matre dvdend V dat zrazom.5. Name, ako su vektor v ( ) v... = v... v ( t), ( T ) v v... = v... v ( ) ( t) ( T ),..., v v... = v... v ( ) ( t), ( T ) vrednosne dvdendne matre lnearno nezavsn (tekuće ene nsu proporonalne), tada je rang matre V jednak broju sredstava odnosno V je dm [ V ] =. dmenzja potprostora neto dohodovnh transfera [ ] Buduć da je rang matre V po vrstama jednak rangu matre V po kolonama da vrednosna dvdendna matra V ma T -vrsta, tada je dmenzja matre jednaka l manja od broja budućh vremenskh trenutaka odnosno rang vrednosne dvdendne matre V je manj l jednak broju budućh vremenskh trenutaka, tj. dm [ V ] T, što ukazuje da rang vrednosne dvdendne matre V ne zavs od broja sredstava. Sada na baz određenog ranga vrednosne dvdendne matre narednom defnjom određujemo potpunu nepotpunu tržšnu strukturu sredstava. Defnja.3. Posmatramo skup budućh vremenskh trenutaka Τ = {,,...,T} neka je dmenzja vrednosne dvdendne matre, dm [ V ] = T, tada je to potpuna tržšna struktura sredstava. Ako je za skup budućh vremenskh trenutaka Τ = {,,...,T} dmenzja vrednosne dvdendne matre, dm [ V ] < T, tada je to nepotpuna tržšna struktura sredstava. 50
Isptvanje Paretove optmalnost Defnjom.3 postavl smo osnove tržšne strukture sredstava. Name, Defnja.3 ukazuje nam na mogućnost realzaje blo kog neto dohodovnog vektora odnosno ako postoj potpuna tržšna struktura sredstava, tada potrošač može ostvart blo koj neto dohodovn vektor za buduće vremenske trenutke, obrnuto, ako je nepotpuna tržšna struktura sredstava, tada će potrošaču uvek bt nedostupan nek neto dohodovn vektor. Pošto smo uvel sredstva u ekonomsk sstem kako b dal agentu (potrošaču) mogućnost dohodovnh transfera kroz vremenske trenutke kao ostvarene dvdende na osnovu zabranog portfola, m smo takođe pretpostavl da postoj tržšte sredstava u početnom vremenskom trenutku t = 0, al nsmo raspravl problem formranja ene sredstava na osnovu kojh b se postgla tržšna ravnoteža. Name, ako postoj mogućnost arbtraže 6 (koršćenje razlke u en na tržštma sredstava bez rzka) na tržštma sredstava od strane agenata, tada takav postupak dovod do nedoslednost u formranju ene sredstava. Postojanje arbtraže na tržštu sredstava daje potrošaču (agentu) mogućnost ostvarvanja većeg neto dohotka u jednom vremenskom trenutku a da pr tome nema odranja (smanjenja) od neto dohotka u nekom drugom vremenskom trenutku. Postojanje arbtraže ne samo da ma utaj na formranje neto dohotka enu sredstava, već ma utaj na formranje ravnotežnog stanja tržšta roba. Name, neophodan uslov za postojanje ravnotežnog stanja tržšta sredstava, a posredno za postojanje ravnotežnog stanja tržšta roba, jeste odsustvo postupka sprovođenja arbtraže. U nastavku rada temeljmo zasnvamo tvrđenja na sptvanju postojanja ravnotežnog stanja tržšta sredstava koje je tesno povezano sa postupkom arbtraže postojanjem dskontnh stopa za ene sredstava posmatrano u početnom vremenskom trenutku t = 0. U analz treba pokazat da nepostojanje mogućnost postupka sprovođenja arbtraže mplra u vremenskom trenutku t = 0 postojanje dskontnh faktora takvh da je ena sredstava vremenskog trenutka t = 0 jednaka njhovoj dskontovanoj vrednost 6 Arbtraža «Kupovna neke kolčne jedne movne prodaja neke kolčne druge da b se realzovao sguran prnos poznata je kao nerzčna arbtraža l, kraće, arbtraža. Dokle god ma ljud koj traže «sgurne stvar», očekval bsmo da b tržšta koja dobro funkonšu trebalo da brzo elmnšu blo kakvu mogućnost za arbtražu. Stoga, drug načn na koj možemo zrazt naš uslov ravnoteže jeste da kažemo da u ravnotež ne b trebalo da bude mogućnost za arbtražu.tome ćemo prbeć kao uslovu nepostojanja arbtraže». Izvor: Hal R. Varjan, Mkroekonomja, red. S. Babć M. Mlovanovć, Ekonomsk fakultet Beograd, 003, s. 78. 5
Zoran Popovć to kako za potpunu tržšnu strukturu sredstava, tako sto važ za nepotpunu tržšnu strukturu sredstava. Pretpostavmo da je struktura sredstava data vrednosnom matrom dvdend V (zraz.4) sa skupom sredstava S = (,..., ), neka je vektor q R vektor ene sredstava. Prošrena vrednosna dvdendna matra W je data zrazom.6, pr čemu je M lnearn potprostor neto dohodovnog (dvdendnog) vektora kolona vektora matre W, zadat zrazom.8. Sada pošto smo prkazal strukturu sredstava ene sredstava preko prošrene vrednosne dvdendne matre, možemo defnsat uslove za odsustvo postojanja arbtražnog postupka. Defnja.4. Neka par ( V, q) predstavlja strukturu sredstava ene sredstava u vremenskom trenutku t = 0, tada par ( V, q) predstavlja nearbtražn proes ako je presek potprostora M prostora { 0} R nula vektor, tj. T M R + =, (.9) + odnosno par ( V, q) predstavlja nearbtražn proes ako samo ako za nek portfolo θ R je T + +.. Vθ > 0 Vθ = 0 q θ > 0 q θ = 0 (.0) Ovako data Defnja.4 ma smsla s obzrom na to da lnearn potprostor M predstavlja skup neto dohodovnog vektora koj je raspoložv za potrošača. Sa druge starne, ako u Defnj.4 nje zadovoljen zadat uslov.9, tada postoj nek portfolo θ R takav da je W θ = r, da je za t T0 vektor neto dohotka uvek nenegatvan, tj. r ( t) 0, a za nek vremensk trenutak t vektor neto dohotka je uvek poztvan, tj. r ( t) > 0, što znač da portfolo θ R predstavlja arbtražn portfolo. Ako postoj arbtražn portfolo θ R takav da je V θ > 0 al je q θ 0, tada od strane kupovnog portfola θ neko može ostvart nenegatvan bruto prnos u svakom stanju strogo poztvan prhod u 5
bar jednom vremenskom trenutku, bez zdataka u vremenskom trenutku t = 0. Sa druge strane, ako postoj arbtražn portfolo θ R takav da je V θ = 0 al je q θ 0, tada od strane prodajnog portfola θ ako je q θ > 0, od starne kupovnog portfola θ ako je q θ < 0, može se ostvart ekstra prhod u vremenskom trenutku t = 0 bez značajnog utaja na prhod ostalh vremenskh trenutaka. Portfolo θ R, ukolko je arbtražn portfolo, predstavljao b čn stvaranja «prhoda n z čega», odnosno arbtražn portfolo često nazvan u lteratur «free lunhes» ne može predstavljat ravnotežn portfolo. Pretpostavmo da postoj vrednosna dvdendna matra V da postoj vektor V, q prema Defnj.4 predstavlja ena sredstava q tako da par ( ) + nearbtražn proes. Dalje, ako zaberemo blo koj vektor β R T ++ koj predstavlja dskontn faktor (pr čemu je za vremensk trenutak t = 0 β ( 0 ) = ), tada za svako sredstvo j S mamo da je ena sredstva j određena zrazom t j ( t) v ( t) q = β, (.) j T odnosno, ekvvalentno posmatrano, ena sredstava j mora spunt uslov j ( 0) β ( t) v ( t) = 0 β +, (.a) t T Isptvanje Paretove optmalnost da b sključl mogućnost sprovođenja arbtraže, tj. da b postojao nearbtražn proes dat Defnjom.4. Narednom teoremom predstavljamo prethodno navedena tvrđenja. Teorema.5. (Ross, (976), u []). Egzstenja Dskontnog faktora 7 (Osnovna teorema ene sredstava). Neka za vremenske trenutke t T postoj vrednosna 7 Temelj Teoreme o egzstenj Dskontnog faktora nalaze se u radovma S. Fshera * S. Rossa **. * Fsher S., (97), «Assets, Contngent Commodtes, and the Slutsky Equaton», 53
Zoran Popovć dvdendna matra V, u vremenskom trenutku t = 0 postoj vektor ena sredstava q ( q, q,..., q ), neka je prošrena vrednosna dvdendna matra W oblka q W =. V Tada par ( V, q) predstavlja nearbtražn portfolo (proes) ako samo ako za sve vremenske trenutke t T0, postoj vektor dskontnog faktora ( ( 0 ) = ) β takav da je β W = 0, tj. q = β V. β R Dokaz. Pretpostavmo da postoj vektor dskontnog faktora T + β = β 0, β,..., β T R ( ( ) ( ) ( )) ++ takav da je β W = 0. Obeležmo sa T + ++ j w j -kolonu vektora matre W, tada je j β W = 0, ekvvalentno sa β w = 0 za j S, što znač da je vektor β ortogonalan u odnosu na svak kolona vektor matre W. Uvodmo sada T + w M R \ 0, ( ) obrnutu pretpostavku, neka postoj vektor w takav da je { } tada je w > 0. Buduć da w M, tada postoj portfolo θ R takav da je w = w θ + w θ +... + w θ. Pretpostavmo da je vektor β poztvan ( > 0) β tada dobjamo β w βw θ + βw θ +... + βw θ > 0 što je za svak = j j S u suprotnost sa β w = 0, to jest, lnearn potprostor M ne seče ( ) T + prostor \ { 0} R. + + 54 Eonometra, 40, 37-386. ** Ross S.A., (976), «The Arbtrage Theory of Captal Assets Prng», ournal of Eonom Theory, 3, 343-36.
( ) T + Pretpostavmo sada da lnearn potprostor M ne presea R \ { 0} osnovu Farkasove leme 8 postoj vektor T + ++ Isptvanje Paretove optmalnost +. Na β R takav da je za svak vektor j w M β w = 0. S obzrom na to da za svak j S, w kolona vektor matre W prpadaju lnearnom potprostoru M, mamo da je β W = 0. Kako je vektor β poztvan vektor, možemo zvršt normalzaju tako da je β ( 0 ) =. Ovm smo dokazal tvrđenje Teoreme o postojanju (egzstenj) dskontnog faktora. Ako dalje analzramo prv red prošrene vrednosne matre W, odnosno u vremenskom trenutku t = 0 ene sredstava q j date zrazom., vdmo da za svako sredstvo j S ena sredstva q j predstavljaju dskontovanu vrednost dvdend sredstava budućh vremenskh trenutaka t T. Name, prv red matre W predstavlja lnearnu kombnaju preostalh T redova odnosno prv red matre W predstavlja lnearnu kombnaju redova vrednosne matre dvdend V. Prema tome, ako par ( V, q) predstavlja nearbtražn proes, tada je rang prošrene vrednosne dvdendne matre W jednak rangu vrednosne dvdendne matre V, tj. rang W = rangv, kako matra V ma T -vrsta, sled da je rang matre V manj l jednak od broja vremenskh trenutaka T, tj. 8 l k Farkasova lema Neka je data matra M kxl vektor xlx R y xk R+ +. Tada, jedna od dve mogućnost je tačna : l (a) postoj vektor xlx R tako da je Mx > 0 ; k (b) postoj vektor y xk R+ + tako da je ym = 0. Geometrjsk posmatrano, potprostor M određen je kao lnearna kombnaja vektora kolona matre vektor M kxl, takođe potprostor M seče prostor k y xk R+ + tako da y prpada ortogonalnom potprostoru k R + u tačk nula (0) l postoj M, tj. pošto je ym = 0 mamo za mplkaju da je vektor y ortogonalan prema svakom kolona vektoru matre M kxl. Izvor : Andreasson N., Evgrafov A., Patrksson M., (004), An Introduton to Optmzaton, Unversty of Tehnology, G oteborg (Gothenburg), Sweden. 55
Zoran Popovć rangv T, pa je tada rang matre W manj l jednak od broja vremenskh trenutaka T, tj. rang W T. Defnjom.3 dal smo tržšnu strukturu sredstava, tako da je u slučaju potpune tržšne strukture sredstava rang matre V jednak T, tj. rang V = T, što dalje pruža mogućnost, kako je rang W = rangv = T, da možemo tvrdt da u slučaju potpune tržšne strukture sredstava posmatrano u početnom vremenskom trenutku t = 0, ene budućeg dohotka sa promptnog tržšta (dskontn faktor) jednstveno su određene. Ovo tvrđenje dajemo narednom posledom. V, predstavlja nearbtražn proes, ako postoj potpuna tržšna struktura sredstava tako da je rang W = T, tada : Posleda.6. Neka par ( q) +. Postoj jednstven vektor dskontnog faktora β R T ++ ( β ( 0 ) = ) takav da je β W = 0 ; β. T +. Lnearn potprostor neto dohotka je M = { r R r = 0} Dokaz. () Buduć da je rang prošrene vrednosne dvdendne matre jednak broju vremenskh trenutaka T, tada lnearn potprostor M ma dmenzju T. Na osnovu teoreme o egzstenj dskontnog faktora (Teorema.5) pokazal + smo da postoj vektor dskontnog faktora β R T takav da je β W = 0 što znač da vektor dskontnog faktora β R prpada ortogonalnom potprostoru prostora M. Pretpostavmo sada da postoj vektor T + β R ++, β ( 0) = koj prpada ortogonalnom lnearnom potprostoru prostora M, s obzrom na to da ortogonaln lnearn potprostor prostora M ma dmenzju jedan, sled da su vektor β vektor β lnearno zavsn vektor, stoga postoje skalar α α (gde je bar jedan razlčt od nule), tako da je β ++ T + ++ αβ + α = 0, kako je β ( 0 ) = β ( 0) = sled da je α = α. Tada je 56
Isptvanje Paretove optmalnost α β = β = β. Ovm smo dokazal da postoj jednstven vektor dskontnog α faktora β. T + () Na osnovu dokaza pod () mamo da je potprostor M { r R β r = 0}. Buduć da je rang matre W jednak rang W = T, tada je potprostor M T dmenzje T što je ujedno dmenzja homogene hperravn { r R + β r = 0}, T + pa je stoga M = { r R β r = 0}, što predstavlja potprostor neto dohotka (dvdend). U prethodno znetm stavovma tvrdl smo pokazal da postoj strogo poztvn vektor dskontnog faktora, pr tome kolekja svh vektora dskontnog faktora + β R T ortogonalna je svakom kolona vektoru matre W predstavlja ++ ortogonaln potprostor prostora W. Dakle, svak vektor β potprostora vektoru prostora W, pa z toga sled da je W, koj ovde sada možemo označt sa W je ortogonalan svakom W = T + T + { R βw = 0} = { β R βr = 0, r W } β, (.) ++ ++ gde je vektor transfera β W predstavljen kao vrsta vekor, a vektor dohodovnh r W jeste kolona vektor. Ortogonaln potprostor W prostora W u stvar predstavlja prostor vektora sadašnje vrednost. Name, normalzovan vektor β = ( β ( 0), β ( ),..., β ( T )) gde je β ( 0 ) = se nazva vektor sadašnje vrednost, pr čemu vrednost ( t), u lteratur β predstavlja sadašnju vrednost (u vremenskom trenutku t = 0 ) jedne jedne dohotka (ostvarene dvdende) u vremenskom trenutku t. Posledom.6 tvrdl smo, a zatm dokazal postojanje (egzstenju) jednstvenog dskontnog vektora + β R T ++ u slučaju potpune tržšne strukture sredstava određene Defnjom.3, međutm ostaje otvoreno ptanje egzstenje jednstvenog dskontnog 57
Zoran Popovć + faktora β R T ++ za dalju analzu, ako je slučaj nepotpune tržšne strukture (Defnja.3), pr tome sprovod se nearbtražn portfolo θ dat Defnjom.4. Narednom teoremom dajemo ops potprostora dohodovnh transfera kada ne postoj arbtražn proes kada postoj nepotpuna tržšna struktura sredstava. Teorema.7. (Magll Qunz, (996) u [9]). Neka par ( q) V, predstavlja nearbtražn proes neka je W prošrena vrednosna dvdendna matra. Ako je rang prošrene vrednosne dvdendne matre jednak ukupnom broju sredstava, tj. rang W = T, tada postoj H = ( T + ) lnearno β, β,..., β H R + nezavsnh vektora dskontnog faktora ( ) T vremensk trenutak = 0 h t, ( 0 ) = ++ h β, za h =,,..., H je β W = 0., gde je za Dokaz. Na osnovu pretpostavke koju smo uvel u teorem, dmenzja lnearnog potprostora M = W je dm M =, tada mamo da je dmenzja ortogonalnog dm M = potprostora M = W prema prostoru M jednaka, H. Na osnovu tvrđenja Teoreme.5 o egzstenj dskontnog + faktora, postoj vektor β R T koj je ortogonalan u odnosu na svak kolona ++ vektor matre W, odnosno prpada ortogonalnom potprostoru prema tome, ostal vektor M, H β..., β. Pr tome, pretpostavmo da vektor ortogonalnog potprostora lnearno nezavsn. Izabermo nek ] [ ^ h h M vektore oblka β δ β + ( δ ) β ^ ^ h M, pa, prpadaju ortogonalnom prostoru H β, β,..., β formraju bazu H, što znač da su vektor β, β,..., β δ 0,, za h =,..., H formramo = β. Sada je potrebno pokazat da su vektor ^ H, β,..., β,..., β lnearno nezavsn vektor. Neka postoje brojev α, α,..., α H, gde su nek razlčt od nule, tako da je suma prozvoda 58
Isptvanje Paretove optmalnost α ^ ^ h ^ H β + α β +... + α h β +... + α H β = H h α β + α h δ β + ( δ ) β = 0. h= 0, odnosno, Ako sada levu desnu stranu pomnožmo sa oslobodmo se zagrade pod δ H h sumom dobja se α β + α hδ β + α h β α hδ β = 0. Sređvanjem δ δ h= H H h δ prethodnog zraza dobjamo α + α + = 0 h β α h β. S δ h= δ h= obzrom na to da smo pošl od pretpostavke da su vektor β ^ ^ h ^ H, β,..., β,..., β lnearno nezavsn, poslednj zraz je jednak nul samo H δ ako je α + α h = α =... = α H = 0, što ma za mplkaju da je δ h= δ α α =... = α 0, na osnovu čega prozlaz da su vektor = H = ^ ^ h ^ H β, β,..., β,..., β neka je vektor oblka lnearno nezavsn vektor, što je trebalo dokazat. Sada β = β, neka su za h =,3,..., H ostal vektor β ^ h ( 0) ^ h h β h = β, gde je β ( 0) = δ β ( 0) + ( δ ) β ( 0) ^ h β ( 0) + (, β,..., β H ) R T ++ H od vektora ( β, β,..., β ), tada, vektor β jesu lnearno nezavsn vektor, pr čemu je za svak teoremom tvrdl. prva koordnata jednaka jedan, što smo Teoremom.7 odredl smo postojanje potprostora dohodovnh transfera kada nema arbtražnog proesa kada postoj nepotpuna tržšna struktura sredstava. Pokazal smo da ako je rang prošrene vrednosne dvdendne matre, rang W =, postoj H lnearno nezavsnh vektora koj formraju bazu vektorskog potprostora koja je ortogonalna na potprostor M. Na osnovu 59
Zoran Popovć određenog ortogonalnog vektorskog potprostora M = W nearbtražn proes ( q), defnšemo za V, nepotpunu tržšnu strukturu sredstava, potprostor dohodovnh transfera M oblka M = W = T + H { r R r = β r =... = β r = 0} β. (.3) Potrošačev problem zbora «najboljeg» vektora potrošnje pod pretpostavkom da neto dohodovn vektor prpada podskupu M R T + u našoj daljoj analz nazvamo potrošačev problem na promptnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M defnšemo zrazom oblka maxu (, r ) p p ( ( 0), ( ),..., ( T )) C r M ( 0) ( ( 0) e( 0) ) r( 0) ( ) ( ( ) e( ) ) r( )... p( T )( ( T ) e( T )) r( T ) ( r( 0), r( ),..., r( T )) M. (.4) U sptvanju varjaja u vektoru neto dohotka, kao poželjnh l nepoželjnh varjaja, potrebno je prment ndrektnu funkju korsnost odnosno neophodno je da analzramo da l je dovoljno mala varjaja vektora neto dohotka poželjna za potrošača, što će se utvrdt preko gradjenta ndrektne funkje korsnost za potrošače. Dakle, da b zvršl dekompozju modela datog zrazom.4 neophodno je da defnšemo ndrektnu funkju korsnost. Indrektnu funkju korsnost defnšemo pomoću funkje tražnje na promptnom tržštu 9. 9 Funkja tražnje na promptnom tržštu (Spot-tržšna funkja tražnje) g je funkja oblka 60 L ( R ) T + g : D ++, čja je vrednost za par ( p, r)
Defnja.8. Neka funkja v : D R predstavlja funkju defnsanu oblka v ( p, r) = u( g( p, r) ) koja spunjava uvedene osnovne pretpostavke (P3) v p, r nazvamo ndrektnom funkjom korsnost. (P5), takvu funkju ( ) v, nasledla je osnovna svojstva funkje korsnost odnosno sledećom teoremom dajemo tvrđenje o dferenjablnost funkje v. Indrektna funkja korsnost ( p r), predstavlja potrošača, neka je funkja v : D R ndrektna funkja korsnost potrošača. Teorema.9. (vdet u [6]). Neka uređena trojka ( C u, e) (a) Tada je funkja v dferenjablna funkja od ( r) (b) Isptvanje Paretove optmalnost p,. Lagrangov multplkator potrošačevog problema na promptnom tržštu za dat vektor neto dohotka r, jednak su parjalnm zvodma ndrektne funkje korsnost, tj. v p, r r ( t) = λ ( t). Dokaz. (a) Imamo da je ( p, r) g( p, r) u( g( p, r) ), kako je Funkja tražnje na promptnom tržštu g dferenjablna funkja, dobjamo da je kompozja u g dferenjablnh funkja takođe dferenjalna funkja. S obzrom na to da je ndrektna funkja korsnost v = u g kompozja dve dferenjalne funkje, sled da je funkja v dferenjablna funkja po paru p, r. ( ) (b) Prema defnj, funkja ( p r) v, dva puta je dferenjablna spunjava uvedenu osnovnu pretpostavku (P4), pr tome, za t T0 funkja tražnje na ( p r) ( g ( p, r), g ( p, r),..., g ( p r) ) g, = 0 T,, predstavlja jednstveno rešenje potrošačevog problema na promptnom tržštu sa zadatm neto dohodovnm vektorom r, spunjava uvedene osnovne pretpostavke (P3) (P5) o dferenjablnost funkja. (vdet u [6]). 6
Zoran Popovć promptnom tržštu ( g t ) t zadovoljava uslov p( t) g ( p r) p( t) e( t) r( t) T0 t = + za par ( p r) D T,,,. Ako sada za nek fksran vremensk trenutak t 0 (npr. t = 0 ) zvršmo dferenranje leve desne strane zraza p t gt p r = p t e t + r t r 0, dobja se p ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) sa ( ) ( t) ( p r) ( 0) ( p, r) ( 0) ( p, r) ( ) ako je t = = 0 0 ako je t g, 0 t g t g + ( ) tl p t +... + p ( t) (.5a) L r r r 0 Neka je ( g ( p r) ) t t T0, =, za dat vektor neto dohotka r, vektor potrošnje za svak t T0 zadovoljava relaju grad u λ( t) p( t) = 0 ( t ) p ( t) ( t) e( t) = r( t) grad ( t ) u = λ ( t) p( t) (.5b) gde grad u jesu vektor aobana predstavljaju gradjente funkje ( t ) korsnost u, koj su oenjen u okoln tačke λ t su Lagrangeov multplkator. Buduć da je funkja ndrektne korsnost oblka v p r = u g p, r, g p, r,..., gt p, r, tada, dferenranjem funkje ( ) ( ( ) ( ) ( )), 0 ndrektne korsnost za vremensk trenutak = 0 v ( p, r) = ( ) r 0 ( t) da je odnosno t T 0 l L u = λ ( t) ( p, r) r( 0) l v u g = l ( t) p ( t) t T 0 l λ tl r ( p, r) ( 0), pa je ( t) p ( t) l L l, a ( ) t po ( 0) r dobja se. Dalje, na osnovu relaje (.5b) mamo g tl r v( p, r) r( 0) ( p, r) ( 0) = t T 0 l L ( p, r) ( 0) gtl λ ( t) pl ( t), r. Sada na osnovu relaje (.5a) 6
mamo da je za = 0 v ( p, r) r( 0) = t T trebalo dokazat. 0 l L t, p ( t) ( t) l g tl r ( p, r) ( 0) λ, odnosno za t = 0 mamo da je =, na osnovu čega dalje sled da je v ( p, r) r( 0) = λ ( 0), što je Dekompozju modela potrošačevog problema na promtnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M (zraz.4) dajemo narednom teoremom. Teorema.0. (vdet u [9]). (Dekompozja potrošačevog problema na promptnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M ). Neka uređena trojka ( C u, e) L, predstavlja potrošača. Vektor spot ena p ( R ) T + R. Tada uređen par r Isptvanje Paretove optmalnost ++ T +, neka je skup M podskup skupa, predstavlja rešenje potrošačevog problema na promptnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M ako samo ako (a) vektor neto dohotka dohodovnog vektora r je rešenje potrošačevog problema zbora neto max v( p, r( 0), r( ),..., r( T )) r ( r( 0), r( ),..., r( T )) M (.6) (b) vektor potrošnje je rešenje potrošačevog problema na promptnom tržštu za dat vektor neto dohotka r 63
Zoran Popovć max u ( ) p p p ( ( 0), ( ), ( ),..., ( T )) C ( 0) ( ( 0) e( 0) ) r( 0) ( ) ( ( ) e( ) ) r( )... ( T )( ( T ) e( T )) r( T ) (.7) Dokaz. Ako posmatramo alternatve promptnog tržšta, može se vdet da je u funkj krterjuma potrošačevog problema na promptnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M datog zrazom (.4) maksmzaja defnsana preko para (, r), a u funkj krterjuma potrošačevog problema na promptnom tržštu za dat vektor neto dohotka r datog zrazom (.7) maksmzaja je defnsana preko vektora potrošnje za dat vektor neto dohotka r. Potrebno je da pokažemo da je vektor neto dohotka r rešenje problema promptnog tržšta datog zrazom (.6). Prmenom defnje ndrektne funkje korsnost (Defnja.8) defnje funkja tražnje na promptnom tržštu (fusnota 9) mamo da je za r M v p, r = u g p, r = u u( g( p, r) ) = v( p, r), na osnovu čega sled da je vektor neto dohotka r rešenje potrošačevog problema zbora neto dohodovnog vektora datog zrazom (.6). Zatm, potrebno je da pokažemo da je vektor potrošnje rešenje problema promptnog tržšta datog zrazom (.7) sa datm vektorom neto dohotka r = r. Neka vektor potrošnje predstavlja blo koju tačku koja zadovoljava ogrančenja u defnsanom problemu zraza (.7) sa datm vektorom neto dohotka što znač da je vektor potrošnje = r,, r, sled da je u g p r u( ) = g p, r rešenje potrošačevog problema na 64
promptnom tržštu za dat vektor neto dohotka r defnsanog zrazom (.7). S obzrom na to da je vektor neto dohotka r rešenje potrošačevog problema zbora neto dohodovnog vektora datog zrazom (.6) mamo da je za r M, v p, r v, ( p r), sa druge strane, jednstveno rešenje potrošačevog problema na promptnom tržštu za dat vektor neto dohotka r, tj. = g p, r postoj ako je spunjen uslov dat zrazom.5b. Dalje, neka par (, r) za vektor tekućh ena p zadovoljava ogrančenja potrošačevog problema na promptnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M datog zrazom (.4), mamo da je: na osnovu funkje tražnje na promptnom tržštu u( g( p r) ) u( ),, na osnovu funkje ndrektne korsnost za r M je u g p, r = v p, r v =, ( p, r) u( g( p r) ) Na osnovu prethodnog sled da je u g p r = u u( ). Isptvanje Paretove optmalnost, pošto je g p, r, r =, r, kao par zadovoljava ogrančenja potrošačevog problema na promptnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M datog zrazom (.4), tada par, r predstavlja rešenje potrošačevog problema na promptnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M. Rezultat prethodnh razmatranja odnosl su se na zbor vektora potrošnje vektora neto dohotka od strane potrošača na promptnm tržštma, gde smo pokazal da se može razdvojt zbor neto dohodovnog vektora od zbora robnog snopa potrošnje. U našoj daljoj analz ravnoteže na promptnom tržštu analzraćemo postojanje ravnoteže na promptnom tržštu za posmatran ekonomsk sstem. 65
Zoran Popovć Defnja.. Ekonomsk sstem sa strukturom sredstava Ξ je određen uređenom trojkom ( C, u, e ) N gde, za N, uređena trojka ( C, u, e ) je potrošač, vrednosnom dvdendnom matrom određenom zrazom. 4, što predstavljamo u oblku {( C u, e ), V} Ξ =. (.8), N Pošto smo defnsal ekonomsk sstem sa strukturom sredstava (zraz.8), u daljoj analz razmatramo ekonomsk sstem Ξ dat defnjom. gde je skup ostvarvog neto dohodovnog vektora prouzrokovan strukturom sredstava, na osnovu čega dalje treba da odredmo portfolo zbora koj je neophodan potrošaču kako b obezbedo plan potrošnje. Na osnovu prethodno dath stavova o dekompozj modela potrošačevog problema promptnog tržšta (Teoema.0), narednom teoremom dajemo uslove koje mora zadovoljt ekonomsk sstem Ξ da b portfolo zbora obezbedo plan potrošnje. Teorema.. (Magll Qunz, (996), u [9]). Neka je Ξ = C u, e, V ekonomsk sstem sa strukturom sredstava neka par {( ) }, N, p predstavlja ravnotežu na promptnom tržštu ekonomskog N sstema Ξ u potprostoru dohodovnh transfera, pr čemu je potprostor dohodovnh transfera jednak prošrenoj vrednosnoj dvdendnoj matr, tj. q M = = W ( p, q) V ( p), za nek vektor ena sredstava q R T +, neka za N, t T 0 važ jednakost r ( t) = p( t) ( t) e ( t), tada, za potrošača N postoj portfolo zbora 0 θ takav da je : 0 Polazmo od toga da za portfolo θ postoj nearbtražn proes koj smo u prethodnom delu rada defnsal (defnja.4). 66
Isptvanje Paretove optmalnost (a) θ = 0, (suma portfolo zbora svh potrošača N ekonomskog N sstema jednaka je nul), za potrošača portfolo zbora portfola oblka max v θ N je r = W ( p, q) θ, tako da θ predstavlja rešenje potrošačevog problema zbora ( p, r ( 0), r ( ),..., r ( T )) r = W ( p, q) θ ; (.9) (b) za potrošača N r = W p, q θ, plan potrošnje predstavlja rešenje potrošačevog problema na promptnom tržštu za portfolo zbora θ oblka max u za t T ( ( 0), ( ),..., ( T )) 0 C p sa uslovom ( ) ( ) r ( t) ( t) ( t) e ( t) (.0) Dokaz. Neka je za potrošača N, vektor ravnotežn neto dohodovn vektor potrošačevog problema u potprostoru neto dohodovnh transfera M defnsanog zrazom (.4). Tada, suma ravnotežnh neto dohodovnh vektora svh potrošača jednaka je nul, tj. r = 0, za potrošača N, ravnotežn r N neto dohodovn vektor rešenje je potrošačevog problema zbora neto dohodovnog vektora datog zrazom (.6), tj. r 67
Zoran Popovć ( p, r ( 0), r ( ),..., r ( T )) max v r r, W ( p q) Izabermo potrošača z skupa {,3,..., I} dohodovn vektor r W ( p, q) r ( p q) = W, θ, sled da je: r. (.), postoj portfolo, tada, buduć da za neto θ takav da je neto dohodovn vektor rešenje potrošačevog problema zbora neto dohodovnog vektora datog zrazom (.), ako samo ako je portfolo θ rešenje potrošačevog problema zbora portfola datog zrazom (.9). Na osnovu do sada sprovedenog dokaza za potrošača {,3,..., I}, ako je portfolo θ rešenje potrošačevog problema datog zrazom.9., na osnovu defnsanog potrošačevog problema na promptnom tržštu u potprostoru neto dohodovnh transfera M (zraz.4) Teoreme.0 o dekompozj potrošačevog problema na promptnom tržštu, sled da za potrošača N, plan potrošnje tržštu za portfolo zbora predstavlja rešenje potrošačevog problema na promptnom θ datog zrazom.0, (ovm smo dokazal stav (b)). I Dalje, stavmo da je θ = θ, tada mamo da je za potrošača = vektor = I I neto dohotka ( ) ( ) r = r = W p, q θ = W = = p, q θ, buduć da je za potrošača = vektor neto dohotka r rešenje potrošačevog problema zbora neto dohodovnog vektora datog zrazom., tada je za potrošača =, portfolo θ rešenje potrošačevog problema zbora portfola datog zrazom 68