POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

Mojoj dječici - trogodišnjoj Petri i petogodišnjem Mateju

Iskreno se zahvaljujem voditelju disertacije prof. dr. sc. Andreju Dujelli, koji mi je pružio mogućnost baviti se ovim zanimljivim problemima, naučio me osnovama znanstvenog rada te me je svojim korisnim stručnim savjetima na jednostavan, ali vrlo efikasan način vodio kroz izradu disertacije. Zahvaljujem se svojim dragim roditeljima, koji su proživjeli samnom svaki trenutak izrade ove disertacije te svojoj obitelji na velikom strpljenju i podršci.

Sadržaj Predgovor 11 1 Diofantov problem i njegove varijante 1 1.1 Diofantove m-torke........................ 1 1. Neke generalizacije Diofantova problema............ 14 1..1 Skupovi sa svojstvom D(n)............... 14 1.. Diofantove m-torke k-tih potencija........... 15 1..3 Polinomne generalizacije Diofantova problema..... 16 Elementi teorije funkcijskih polja 18.1 Masonov teorem.......................... 18. Fundamentalna nejednakost za funkcijska polja........ 19 3 Polinomna varijanta Diofantova problema za čiste potencije 3 3.1 Diofantov problem........................ 3 3. Nejednakosti za stupnjeve polinoma u polinomnim Diofantovim m-torkama......................... 6 3.3 Smanjenje gornje ograde na broj elemenata polinomne Diofantove m-torke.......................... 30 3.4 Smanjenje gornje ograde na broj elemenata Diofantove m- torke čistih potencija....................... 64 4 Diofantove m-torke za kvadratne polinome 67 4.1 Skupovi sa svojstvom D(n)................... 67 4. Skupovi polinoma jednakih stupnjeva.............. 70 4..1 Skupovi konstanti..................... 70 4.. Skupovi linearnih polinoma............... 71 4..3 Skupovi polinoma stupnja k, gdje je k....... 76 4.3 Gornja ograda i princip rupe za stupnjeve elemenata u polinomnoj D(n)-četvorci....................... 107 6

4.4 Gornja ograda na m u polinomnoj D(n)-m-torci, za kvadratni polinom n............................. 110 Bibliografija 118 Sažetak 1 Polynomial variants of a problem of Diophantus - Summary 13 Životopis 14 7

Predgovor Cilj istraživanja opisanih u ovoj disertaciji je rješavanje dvaju diofantskih problema nad zadanim prstenima polinoma. Diofant iz Aleksandrije bavio se traženjem skupova brojeva koje karakterizira svojstvo da je umnožak bilo koja dva njihova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat. Takav skup sastavljen od m elemenata zovemo Diofantovom m-torkom. Tijekom godina proučavane su brojne generalizacije Diofantova problema, a razmatran je i nad drugim domenama osim prvobitno proučavanih domena Z i Q. U disertaciji se bavimo dvjema polinomnim generalizacijama Diofantova problema. Tražimo gornje ograde na broj elemenata u Diofantovoj m-torci za zadani prsten polinoma. U trećem poglavlju dokazujemo da ne postoji skup od 8 polinoma, koji nisu svi konstantni, s koeficijentima u algebarski zatvorenom polju karakteristike 0, takav da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat. U četvrtom poglavlju disertacije određujemo gornju ogradu na broj elemenata skupa polinoma nad Z, takvog da je umnožak bilo koja dva njegova elementa plus kvadratni polinom n Z[X] kvadrat polinoma nad Z (isključujemo mogućnost da su svi elementi takvog skupa konstantni višekratnici linearnog polinoma p Z[X], takvog da p n). Dokazujemo da je najveći mogući broj elemenata takvog skupa 98. Navedena dva istraživanja povezuje i teorija funkcijskih polja koja leži u pozadini rješavanja problema. Elementi te teorije dani su u drugom poglavlju disertacije. Fundamentalna (Masonova) nejednakost za funkcijska polja osnova je efektivne analize familija diofantskih jednadžbi nad prstenom Z[X]. Masonov teorem, koji je polinomna generalizacija abc hipoteze za cijele brojeve, jedne od najpoznatijih nedokazanih slutnji u matematici, ima široku primjenu na različite diofantske probleme. U rješavanju problema opisanog u trećem poglavlju koristimo neke rezultate dobivene primjenom Masonova teorema, dok kod problema danog u četvrtom poglavlju važnu ulogu ima korištenje fundamentalne nejednakosti za određivanje ograde na visine rješenja 8

hipereliptičke jednadžbe nad funkcijskim poljem. Definicija Diofantove m-torke kao skupa sa svojstvom da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat ima smisla za skupove u proizvoljnom komutativnom prstenu s jedinicom. U trećem dijelu disertacije opisana su istraživanja takvih skupova polinoma nad proizvoljnim algebarski zatvorenim poljem K karakteristike 0 pa se zahtijeva još i da nisu svi elemnti takvoga skupa konstante, a za navedene skupove koristi se naziv polinomne Diofantove m-torke. Osnovni rezultat ovog dijela je dokaz tvrdnje da ne postoji polinomna Diofantova 8-orka. U istraživanju je najprije postavljena hipoteza da je moguće smanjiti ranije poznatu gornju ogradu od 11, dokazanu u [4]. Hipoteza se temelji na mogućnosti poboljšanja principa rupe koji je korišten kod dobivanja spomenutog rezultata. Problem proširenja polinomne Diofantove trojke do polinomne Diofantove četvorke najprije se transformira na rješavanje sustava simultanih pellovskih jednadžbi. To nas vodi do traženja presjeka binarnih linearnih rekurzivnih nizova. Poboljšani princip rupe slijedi iz detaljne analize elemenata malih indeksa tih nizova. Promatraju se binarni linearni rekurzivni nizovi (V m ) m 0 i (W n ) n 0 te se analiziraju jednakosti V m = W n za male vrijednosti m i n. Analiza je provedena slijedeći analognu analizu za cjelobrojni slučaj, iznesenu u [18]. Za razliku od prstena Z, u prstenu K[X] nije definiran uređaj. Zbog toga se u provedenim razmatranjima koriste stupnjevi polinoma, što ih čini bitno složenijima nego u cjelobrojnom slučaju. Tijekom dokazivanja poboljšanog principa rupe dokazano je i da u K[X] ne vrijedi standardna hipoteza koja vrijedi u Z[X], a kaže da je svaka Diofantova četvorka {a, b, c, d} regularna, odnosno da je (a + b c d) = 4(ab + 1)(cd + 1). Nađen je kontraprimjer u Q( 3)[X], odnosno nađena je familija skupova za koju ne vrijedi navedeno svojstvo. Naime, za svaki izbor korijena 3 jednadžbe X + 3 = 0 u K, skup { 3, 3 3 (p 1), 3 + 3 3 p + 3 3, 3 + 3 p + } 3, 3 3 gdje je p K[X] nekonstantan polinom, je iregularna polinomna Diofantova četvorka. U dokazu osnovnog rezultata kombinira se dobiveni princip rupe i gornja ograda na stupanj elementa u polinomnoj Diofantovoj četvorci, korištena i kod dokazivanja prethodno poznate ograde od 11 polinoma. Posljedica dokazanog rezultata je poboljšanje gornje ograde na broj elemenata skupa u K[X], takvog da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 k-ta potencija nekog elementa iz K[X]. Pri dokazivanju te gornje ograde slijedi se pristup analogan onome koji su koristili autori Dujella, Fuchs i Luca 9

[4], dakle kombiniraju se poznate gornje ograde na broj elemenata Diofantovih m-torki k-tog stupnja za fiksni k i Ramseyeva teorija. U pozadini nekih korištenih rezultata stoji primjena Masonova teorema. Istraživanja opisana u četvrtom poglavlju odnose se na skupove koje zovemo D(n)-m-torkama. Radi se o skupovima od m elemenata, takvih da je umnožak bilo koja dva od njih uvećan za n potpun kvadrat. Promatrani su skupovi {a 1, a,..., a m } nad Z[X], gdje je n kvadratni polinom nad Z. Cilj istraživanja bio je odrediti gornju ogradu na broj elemenata takvog skupa. Pritom je postavljena hipoteza da se poznati rezultati za linearne polinome n, izneseni u [5, 6], mogu poopćiti za kvadratne polinome n. Postavljena pretpostavka da ne postoji polinom p takav da su a 1 p,..., am n i p p cijeli brojevi znači da, za konstantni n, ne mogu svi elementi polinomne D(n )-m-torke {a 1, a,..., a m} biti konstante. U ovakvom slučaju nije poznata gornja ograda na m. Kao poveznica razmatranja problema iz trećeg i četvrtog poglavlja najprije je, korištenjem gornje ograde na broj elemenata u polinomnoj Diofantovoj m-torci, dokazano da ne postoji polinomna D(n)-8-orka, ako je n nenul cijeli broj. Nakon toga pristupa se osnovnom problemu te se promatraju polinomne D(n)-m-torke, za kvadratni n, koje se sastoje samo od polinoma jednakog stupnja. Dokazuje se da u polinomnoj D(n)-m-torci postoje najviše dvije nenul konstante te najviše četiri linearna polinoma. Ove su ograde najbolje moguće. Na primjer, skup {X, 10X + 0, 4X + 14, X + 8} čini polinomnu D( 4X 16X + 9)-četvorku. Promatraju se zatim skupovi polinoma stupnja k, većeg od 1. U tim razmatranjima ključna je konstrukcija s elementima polinomne D(n)-trojke, dana u [5], te polinom e definiran u toj konsrtukciji. Dok je kod promatranja skupova linearnih polinoma postupak dokazivanja donekle analogan odgovarajućem slučaju kada je n linearni polinom, preostali skupovi polinoma jednakih stupnjeva razmatraju se složenijim metodama. Jedan od razloga veće složenosti dokaza je taj što se sada za polinom n zasebno promatra slučaj kada je on ireducibilan nad Q, a zasebno slučaj kada je n umnožak dva linearna polinoma s racionalnim koeficijentima. Prvi korak u traženju najvećeg mogućeg broja polinoma jednakog stupnja u polinomnoj D(n)-m-torci je određivanje broja mogućih c-ova za fiksne polinome a i b, gdje je {a, b, c} polinomna D(n)-trojka. Do tog se broja dolazi detaljnom analizom mogućih e-ova iz navedene konstrukcije. Korištene su od ranije poznate jednakosti koje povezuju spomenute elemente, a izvedene su i neke nove jednakosti koje čine osnovu pojedinih dokaza. Detaljnom analizom mogućih odnosa između polinoma n i e, dokazano je da 10

postoji najviše 81 kvadratni, najviše 5 kubnih te najviše 6 polinoma četvrtog stupnja u polinomnoj D(n)-m-torci. Također, dokazano je da postoje najviše po 3 polinoma stupnja k, za k 5, u takvom skupu, što je najbolja moguća gornja ograda. Navedeni dokazi potkrijepljeni su brojnim konkretnim primjerima mogućih e-ova te su nađene brojne konkretne trojke i nekoliko četvorki. Sljedeći korak u istraživanju je dokazivanje principa rupe za stupnjeve elemenata u polinomnoj D(n)-m-torci, provedeno analogno odgovarajućem dokazu za slučaj linearnog n-a. Svi opisani rezultati kombinirani su s od ranije poznatom gornjom ogradom na stupanj elementa u polinomnoj D(n)-četvorci, kako bi se dokazao osnovni teorem ovog dijela disertacije, onaj u kojem se tvrdi da je gornja ograda na broj m jednaka 98. Dokazujući ovaj rezultat, dokazuje se i da ako se polinomna D(n)-m-torka, za kvadratni n, sastoji samo od polinoma neparnih stupnjeva, tada je m 18. Problem opisan u trećem poglavlju disertacije pretočen je u znanstveni članak, koji je prihvaćen za objavljivanje u International Journal of Number Theory. Rješavanje problema danog u četvrtom poglavlju predstavlja nastavak dosadašnjih proučavanja polinomnih generalizacija Diofantova problema. U Rijeci, svibanj 010. Ana Jurasić 11

Poglavlje 1 Diofantov problem i njegove varijante Problem konstrukcije Diofantovih m-torki, skupova sa svojstvom da je umnožak bilo koja dva njihova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat, ima korijene u vrlo dalekoj povijesti. Svakim je danom poznato sve više novih rezultata iz ovog područja, ali i dalje postoje mnogi otvoreni problemi i nedokazane slutnje. Cilj ovog poglavlja je iznijeti osnovne probleme i neke poznate rezultate vezane za Diofantove m-torke 1. 1.1 Diofantove m-torke Grčki matematičar Diofant iz Aleksandrije [6] prvi se bavio traženjem skupova četiriju brojeva takvih da je umnožak bilo koja dva njihova različita elementa uvećan za 1 potpun kvadrat. Našao je skup od četiri pozitivna racionalna broja s takvim svojstvom { 1 16, 33 16, 17 4, 105 }. 16 Prvi skup od četiri prirodna broja s takvim svojstvom {1, 3, 8, 10}, pronašao je Fermat. Euler je pronašao beskonačnu familiju takvih skupova {a, b, a + b + r, 4r(r + a)(r + b)}, 1 Za više detalja i popis literature iz ovog područja, vidjeti [1]. 1

gdje je ab + 1 = r. Također, dodao je spomenutom Fermatovom skupu i peti pozitivni racionalni broj 777480 888641. 1999. godine Gibbs [35, 34] je pronašao prvi primjer takve šestorke pozitivnih racionalnih brojeva { 11 19, 35 19, 155 7, 51 7, 135 48, 180873 }. 16 Uvedimo definicije ovakvih skupova. Definicija 1.1.1 Skup od m prirodnih brojeva {a 1, a,..., a m } nazivamo Diofantovom m-torkom ako je a i a j +1 potpun kvadrat za svaki 1 i < j m. Definicija 1.1. Skup od m nenul racionalnih brojeva {a 1, a,..., a m } nazivamo racionalnom Diofantovom m-torkom ako je a i a j + 1 potpun kvadrat za svaki 1 i < j m. Prirodno se nameće pitanje koliko mogu biti veliki ovakvi skupovi. Do sada nije poznata apsolutna gornja ograda na broj elemenata racionalne Diofantove m-torke. Ne postoji čak niti široko prihvaćena hipoteza o tome. Iako je već Euleru bilo poznato da postoji beskonačno mnogo racionalnih Diofantovih petorki, nije poznato postoji li beskonačno mnogo racionalnih Diofantovih šestorki te nije poznato postoji li racionalna Diofantova 7-orka. Gibbs [35, 34] je pronašao 45 primjera racionalnih Diofantovih šestorki, a još nekoliko ih je 009. godine pronašao Dujella [0]. Međutim, za cjelobrojni slučaj ovo je pitanje nedavno gotovo potpuno riješeno. Naime, koristeći se teorijom diofantskih aproksimacija, Dujella [18] je dokazao sljedeća dva teorema. Teorem 1.1.1 Ne postoji Diofantova šestorka. Teorem 1.1. Postoji samo konačno mnogo Diofantovih petorki. Osim toga, Dujella [18] je dokazao da za sve Diofantove petorke Q vrijedi max Q < 10 106. Iz toga slijedi, (vidi [19]), da postoji najviše 10 1930 Diofantovih petorki. Nedavno je ovu ogradu znatno poboljšao Fujita [33], dokazavši da postoji najviše 10 76 Diofantovih petorki. Uvriježena je i sljedeća slutnja. Slutnja 1.1.1 Ne postoji Diofantova petorka. Prvi važan rezultat koji je prethodio ovoj pretpostavci je onaj Bakera i Davenporta [3]. Oni su dokazali da ako je d prirodan broj takav da je {1, 3, 8, d} Diofantova četvorka, tada je d = 10. Iz toga slijedi da se Fermatov skup {1, 3, 8, 10} ne može proširiti do Diofantove petorke. Navedimo i da je Dujella [9] dokazao da se svaka Diofantova četvorka može proširiti do racionalne Diofantove petorke. 13

1. Neke generalizacije Diofantova problema 1..1 Skupovi sa svojstvom D(n) Postoji nekoliko prirodnih generalizacija originalnog Diofantova i Fermatova problema. Prvu od njih čini zamjena broja 1, u definiciji Diofantove m-torke, proizvoljnim cijelim brojem n. Definicija 1..1 Neka je n nenul cijeli broj. Skup od m različitih prirodnih brojeva {a 1, a,..., a m } naziva se Diofantovom m-torkom sa svojstvom D(n) ili samo D(n)-m-torkom ako je a i a j + n potpun kvadrat, za svaki 1 i < j m. Nekoliko se autora bavilo problemom postojanja Diofantovih četvorki sa svojstvom D(n) i taj je problem gotovo potpuno riješen. 1985. godine, Brown [4], Gupta i Singh [38] te Mohanty i Ramasamy [48] neovisno su dokazali sljedeći rezultat, koji daje prvi dio odgovora. Teorem 1..1 Ako je n cijeli broj oblika n = 4k +, k Z, tada ne postoji Diofantova četvorka sa svojstvom D(n). Drugi dio odgovora, dan u sljedećem teoremu, dokazao je Dujella [1] 1993. godine. Isti je autor nešto kasnije dokazao i neka poboljšanja tog rezultata. Teorem 1.. Ako cijeli broj n nije oblika 4k +, k Z, i ako n / S = { 4, 3, 1, 3, 5, 8, 1, 0}, tada postoji barem jedna Diofantova četvorka sa svojstvom D(n). Za n S pitanje postojanja Diofantovih četvorki sa svojstvom D(n) i dalje je otvoreno. Pretpostavlja se da za takve vrijednosti n ne postoje Diofantove četvorke. Poznato je da D(n)-petorke postoje za n = 55 i n = 56 te su to najmanji n-ovi po apsolutnoj vrijednosti za koje su poznate D(n)-petorke. Na primjer, skupovi {1, 33, 105, 30, 1840} i {5, 1, 64, 85, 670} imaju svojstvo D(56), dok skup {8, 3, 77, 03, 58} ima svojstvo D( 55) ([9], [1]). Neke odgovore na pitanje koliko mogu biti veliki skupovi sa svojstvom D(n), gdje je n nenul cijeli broj, navest ćemo u četvrtom poglavlju. Definicija 1.. Neka je q nenul raionalan broj. Skup od m nenul racionalnih brojeva {a 1, a,..., a m } zove se racionalna D(q)-m-torka ako je a i a j +q kvadrat racionalnog broja za svaki 1 i < j m. Iz Teorema 1.. jednostavno slijedi da za svaki racionalan broj q postoji beskonačno mnogo racionalnih D(q)-četvorki. Poznato je da za racionalne brojeve q oblika q = r, q = r ([15]) te q = 3r ([14]), gdje je r Q, postoji beskonačno mnogo racionalnih D(q)-petorki. 14

1.. Diofantove m-torke k-tih potencija Definicija 1..3 Skup prirodnih brojeva takvih da je umnožak bilo koja dva od njih uvećan za 1 k-ta potencija nekog cijelog broja, za neki cijeli broj k 3, zovemo Diofantovom m-torkom k-tog stupnja. Primjeri takvih trojki za k = 3 i k = 4 su {, 171, 536} i {135, 8539880, 9768370}, respektivno. Poznate su i sljedeće apsolutne gornje ograde na veličinu takvih skupova. Već smo spomenuli da za k = vrijedi m 5. Bugeaud i Dujella [5] dokazali su da za k = 3 vrijedi m 7, za k = 4 vrijedi m 5, za 5 k 176 vrijedi m 4 te da je m 3 za k 177. Gyarmati [39] se bavila nešto općenitijim problemom. Neka su N, k 3 prirodni brojevi. Neka su A i B podskupovi skupa {1,,..., N}, tako da je ab + 1 k-ta potencija za svaki a A i b B. Gyarmati je dokazala da je min{ A, B } 1 + (log log N)/ log(k 1), gdje A, B označavaju brojeve elemenata skupa A, B, respektivno. U [5], Bugeaud i Dujella su dokazali da je min{ A, B } za k 177. Nekoliko se autora bavilo i traženjem gornje ograde na veličinu skupa prirodnih brojeva sljedećeg oblika. Definicija 1..4 Skup prirodnih brojeva takav da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 k-ta potencija nekog prirodnog broja za k zovemo Diofantovom m-torkom čistih potencija. Luca [45] je poboljšao nekoliko ranijih rezultata i dokazao da ako je {a 1,..., a m } {1,..., N} Diofantova m-torka čistih potencija u Z, tada je m c ( log N log log N za sve dovoljno velike vrijednosti od N i za efektivno izračunljivu konstantu c. Također, dokazao je da, ako vrijedi abc hipoteza, veličina Diofantove m- torke čistih potencija u Z ograničena je apsolutnom konstantom O(1). Lucin rezultat dodatno je poboljšao Stewart [55] dokazavši da je m (log N) 3 (log log N) 1 3. A. Kihel i O. Kihel [43] bavili su se još jednom generalizacijom Diofantova i Fermatova problema na veće potencije. Promatrali su skup {a 1, a,..., a m } različitih prirodnih brojeva sa svojstvom da je j J a j + n k-ta potencija nekog cijelog broja, za svaki J {1,,..., m}, gdje je J = k. Dokazali su da je takav skup konačan. Vidjeti na primjer [49]. ) 3 15

1..3 Polinomne generalizacije Diofantova problema U ovoj ćemo se disertaciji baviti dvjema različitim varijantama Diofantova problema za polinome. U četvrtom poglavlju bavit ćemo se takvim skupovima nad Z[X]. Uzet ćemo da je n Z[X] i promatrati skupove {a 1, a,..., a m } od m nenul polinoma s cjelobrojnim koeficijentima, koji zadovoljavaju uvjet da ne postoji polinom p Z[X] takav da su a 1 p, a p,..., a m n p i cijeli brojevi. p Takav skup zovemo polinomskom D(n)-m-torkom ako je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za n kvadrat polinoma s cjelobrojnim koeficijentima. Iz Teorema 1.1. slijedi da za n = 1 vrijedi m 4. U četvrtom poglavlju spomenut ćemo još neke važnije rezultate, za slučajeve kada je n nenul konstanta, odnono linearan polinom, a čitavo to poglavlje bavit ćemo se ovakvim problemom za kvadratni polinom n. Spomenimo da se polinomskom varijantom Diofantova i Fermatova problema prvi bavio Jones [4, 41] i to za klasični slučaj n = 1. Različite polinomne Diofantove četvorke pronašli su Dujella [7, 8] te Ramasamy [51]. Evo nekih primjera. Skup je polinomna D(16X + 1)-četvorka, {4X, 5X + 1, 49X + 3, 144X + 8} {4, 9X 5X, 9X + 7X +, 36X + 4X} je polinomna D(8X + 1)-četvorka te skup {X + 3, 3X + 4X +, 9X + 10X + 3, 4X + 6X + 7} čini polinomnu D(9X 4 + 6X 3 19X 0X 5)-četvorku. Dujella i Luca [8] bavili su se polinomskom varijantom Diofantova i Fermatova problema za veće potencije. Neka je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0. Spomenuti autori dokazali su da za svaki k 3 postoji konstanta P (k), koja ovisi samo o k, takva da ako je {a 1, a,..., a m } skup polinoma, koji nisu svi konstante, s koeficijentima u K i sa svojstvom da je a i a j + 1 k-ta potencija nekog elementa iz K[X] za 1 i < j m, tada je m P (k). Zatim, u [4], Dujella, Fuchs i Luca dokazali su da je m 10 ako je k =. Osim toga, odredili su i apsolutne gornje ograde za broj elemenata skupa polinoma sa svojstvom da je umnožak bilo koja dva njegova različita elementa uvećan za 1 čista potencija. Ovom varijantom Diofantova problema bavit ćemo se u trećem poglavlju, kada ćemo detaljnije opisati spomenute rezultate te dokazati poboljšanje navedenog rezultata za k =. 16

Spomenimo na kraju ovog pregleda poznatih rezultata vezanih za Diofantove m-torke Gibbsovo [36] razmišljanje. On smatra da budući napredak u razmatranju ovog problema leži u boljem razumijevanju algebarskih svojstava Diofantovih m-torki i njihovih generalizacija. Koristeći algebarske metode i neke rezultate iz teorije eliptičkih krivulja, dokazano je [1] da se svaka Diofantova trojka može proširiti do četvorke. Osim toga, svaka Diofantova četvorka može se proširiti do racionalne Diofantove petorke [9]. Ovi rezultati pokazuju da je struktura četvorki i petorki vođena postojanjem određenih polinoma nad Diofantovim m-torkama, koji imaju korisne faktorizacije, a nisu još potpuno istraženi. Moguće je da će razumijevanje upravo tih algebarskih struktura dovesti do daljnjih zanimljivih rezultata. 17

Poglavlje Elementi teorije funkcijskih polja Cilj ovog poglavlja je iznijeti neke elemente teorije funkcijskih polja, koji se koriste kod rješavanja problema vezanih za polinomne generalizacije Diofantova problema, u naredna dva poglavlja. Izložit ćemo teoretsku osnovu potrebnu za primjenu fundamentalne (Masonove) nejednakosti na rješavanje diofantskih jednadžbi nad funkcijskim poljima, koje su analogoni klasičnih diofantskih jednadžbi nad brojevnim poljima. Snaga fundamentalne nejednakosti biti će vidljiva u oštrini dobivenih ograda na stupnjeve rješenja, u četvrtom poglavlju ove disertacije. Također, izreći ćemo Masonov teorem, koji se može smatrati polinomskom generalizacijom abc hipoteze za cijele brojeve, jedne od najpoznatijih nedokazanih slutnji u matematici. Masonov teorem ima široku primjenu te omogućuje dobivanje ograda na rješenja diofantskih problema. U to ćemo su uvjeriti već u sljedećem poglavlju disertacije. Dakle, teoretska osnova koju ćemo ukratko izložiti, temelj je na koji su nadograđeni dobiveni rezultati koje ćemo opisati u nastavku disertacije, a ujedno i poveznica problema kojima se bavimo..1 Masonov teorem 1981. godine Stothers [56] je formulirao abc teorem za polinome i dokazao ga koristeći algebarsku geometriju. Teorem je ponovno aktualizirao Mason [46] 1983. godine i dokazao ga koristeći svojstva logaritamskog deriviranja. Osnovni diofantski problemi (naći sva rješenja algebarskih jednadžbi među cijelim, odnosno racionalnim, brojevima ili dati ograde za ta rješenja) mogu se proširiti tako da domena koeficijenata i rješenja obuhvaća algebarske cijele brojeve, algebarske brojeve, polinome, racionalne funkcije ili algebarske funkcije. Različite formulacije abc problema omogućuju dobivanje odgovara- 18

jućih diofantskih nejednakosti. Ovdje ćemo promotriti abc problem za polinome. Definicija.1.1 Neka je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0 i f K[X]. Radikal polinoma f, n 0 (f), označava broj različitih korijena od f. Dakle, n 0 (f) može biti mali broj i ako je stupanj od f (kojeg ćemo označavati sa st (f)) velik. Teorem.1.1 (Masonov teorem) Neka su a, b, c K[X] nekonstantni, relativno prosti 1 polinomi, čiji koeficijenti pripadaju algebarski zatvorenom polju K karakteristike 0, i vrijedi a + b = c. Tada je max st {a, b, c} n 0 (abc) 1. Dokaz: Vidjeti [44, Theorem 7.1.]. Napomenimo da Masonov teorem ne vrijedi za polje K karakteristike p 0. Naime, tada ne vrijede potrebne tvrdnje za stupanj polinoma jer, ako je α korijen polinoma f, to je i α p.. Fundamentalna nejednakost za funkcijska polja Problem efektivne analize familija diofantskih jednadžbi nad prstenom Z riješen je 1968. godine, kada je Baker [] dobio fundamentalnu nejednakost za linearne forme logaritama algebarskih brojeva. U Lemi..1 iznijet ćemo analogon za funkcijska polja spomenute Bakerove nejednakosti. Uzet ćemo da je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0, jer ukidanje tih ograničenja mijenja pojam rješivosti diofantskih jednadžbi nad funkcijskim poljem definiranim nad K. Slijedit ćemo klasičnu teoriju funkcija, čija je ključna metoda razvoj funkcija u redove potencija. Definicija..1 Neka je K proizvoljno polje. Polje algebarskih funkcija (kraće funkcijsko polje) K/K jedne varijable nad K je polje K koje sadrži 1 Za polinome a, b K[X], K je polje, kažemo da su relativno prosti (i pišemo (a, b) = 1), ako iz a = a 1 q i b = b 1 q, gdje su a 1, b 1, q K[X], slijedi da je q polinom nultog stupnja. Analogno vrijedi i za više od dva polinoma. Za više detalja vezanih za teoriju izloženu u ovom potpoglavlju, vidjeti na primjer [9, 46]. 19

K i barem jedan element X, transcendentan nad K, tako da je K/K(X) konačno algebarsko proširenje polja racionalnih funkcija K(X). Kaže se da je takvo polje konačno generirano nad K, stupnja transcendentnosti jedan nad K. Algebarsko zatvorenje polja K u polju K zove se polje konstanti od K/K(X). Polja K koja su algebarski zatvorena i karakteristike 0 podudaraju se s poljem konstanti proširenja K/K(X). Najjednostavnije polje algebarskih funkcija je polje racionalnih funkcija. Proširenje K/K(X) zove se racionalno ako je K = K(X), za neki X K. Za rješavanje diofantskih jednadžbi nad funkcijskim poljima osnovno je pitanje postojanja i brojnosti funkcija s određenim višestrukostima nula i polova u zadanim točkama. Za to će nam trebati pojmovi valuacije, derivacije i genusa polja funkcija jedne varijable. Definirat ćemo najprije kanonske valuacije polja K(X). Definicija.. Za svaki a K, svaka nenul funkcija f(x) K(X) može se razviti u Laurentov red c n (X a) n ; c n K; c m 0. (.1) n=m Valuacija ord a na K(X) definira se kao red od f(x) u a, odnosno ord a (f(x)) = m. Slično, svaka nenul funkcija f(x) K(X) može se razviti u Laurentov red potencija od 1 X ( 1 ) n; c n cn K; c p 0. (.) X n=p Beskonačna valuacija ord na K(X) definira se kao red od f(x) u, odnosno ord(f(x)) = p. Za f(x) = 0 i a K, definiramo ord(f(x)) = ord a (f(x)) =. Za P (X) K[X] vrijedi ord(p (X)) = st(p (X)). Time smo definirali sve diskretne valuacije na K(X). Iz (.1) slijedi da ako je m > 0, f(x) ima u a nultočku reda m, a ako je m < 0, f(x) ima u a pol reda m, pa zbrojivši ord a (f(x)) po svim a K za koje je ord a (f(x)) 0 (ima ih konačno mnogo), dobivamo eksponent r 1 najveće potencije od X tako da je f(x) = X r 1 f 1 (X), st (f 1 (X)) = 0. Slično, iz (.) slijedi da je ord(f(x)) eksponent r najveće potencije od X, tako da 0

je f(x) = ( 1 X )r f (X), st (f (X)) = 0. Budući da je f 1 (X) = f (X), vrijedi formula zbroja ord(f(x)) + ord a (f(x)) = 0, a za svaki f(x) K(X), f(x) 0. Pojam valuacije može se proširiti i na proizvoljno konačno proširenje K/K(X). Svaka od valuacija ord a, za a K, i ord može se proširiti na najviše [K : K(X)] := d načina do diskretne valuacije na K te na taj način dobivamo sve diskretne valuacije na K. Valuacije v na K, koje su proširenja valuacije ord a, za bilo koji a K, nazivaju se konačne valuacije i karakterizira ih svojstvo v(x) 0. Svaka od tih valuacija definirana je kao red isčezavanja Laurentovog razvoja funkcije f, gdje je 0 f K, u potencijama lokalnog parametra X v = (X a) 1 ev, gdje e v označava indeks razgranatosti valuacije v. Valuacije v na K, koje su proširenja valuacije ord, zovu se beskonačne valuacije i karakterizira ih svojstvo v(x) < 0. Svaka od tih valuacija v definirana je kao red isčezavanja Laurentovog razvoja u potencijama lokalnog parametra X v = X 1 ev. Iz takve definicije valuacija, koja se temelji na razvoju funkcija u redove potencija, proizlazi da su sve opisane valuacije aditivne, nearhimedske valuacije s valuacijskom grupom Z. Dakle, vrijedi v(fh) = v(f) + v(h), v(f + h) min(v(f), v(h)), za f, h K, gdje je K = {k K postoji l K takav da je kl = 1}. Također, ove valuacije ne ovise o početnom izboru elementa X K\K. Nenul elemente f K možemo okarakterizirati svojstvom v(f) = 0, za svaku valuaciju v na K. Prsten elemenata od K cijelih nad K[X], koji označavamo s O K, karakterizira svojstvo v(f) 0, za svaku konačnu valuaciju v na K. Za određivanje ograda na rješenja diofantskih jednadžbi nad funkcijskim poljima potrebno je definirati mjeru na K. Na K[X] mjera je dana pomoću stupnja polinoma pa ćemo generalizirati tu mjeru. 1

Definicija..3 Visina funkcije f K je broj polova od f (uzet sa višestrukostima) H(f) = min(0, v(f)). v Zbraja se po svim ranije definiranim valuacijama na K. Posebno, H(0) := 0. Za f K[X], slijedi H(f) = d st(f). Dakle, H(X) = d pa, kako je skup valuacija neovisan o izboru X K\K, slijedi H(f) = [K : K(f)], f K\K. Iz definicije funkcije H(f) i nearhimedskih obilježja valuacija v slijedi max {H(f + h), H(fh)} H(f) + H(h), f, h K. Za svaku valuaciju v na K uvodimo pojam lokalne derivacije d na polju dv formalnih Laurentovih redova u potencijama od X v, koju nazivamo deriviranje u odnosu na X v. Pojam genusa definirat ćemo koristeći pojam lokalne derivacije. Definicija..4 Genus funkcijskog polja K/K je cijeli broj g K za koji vrijedi jednakost g K = ( df ) v, f K\K. dv v ( df ) Kako je valuacija v neovisna o izboru lokalnog parametra X v, slijedi da dv je genus neovisan o izboru X K\K. Naredna lema odnosi se na tip jednakosti koji se često javlja kod različitih oblika diofantskih jednadžbi. Fundamentalnu nejednakost koristit ćemo za određivanje ograda na visine rješenja hipereliptičke jednadžbe u četvrtom poglavlju. Lema..1 (Fundamentalna nejednakost) Neka su γ 1, γ i γ 3 nenul elementi polja K takvi da je γ 1 + γ + γ 3 = 0 i v(γ 1 ) = v(γ ) = v(γ 3 ), za svaku valuaciju v koja nije u konačnom skupu V. Tada, ili γ 1 leži u K ili je γ ( γ1 ) H V + g K, γ gdje V označava broj elemenata skupa V. Dokaz: Vidjeti [46, Lemma ].

Poglavlje 3 Polinomna varijanta Diofantova problema za čiste potencije 3.1 Diofantov problem Diofant iz Aleksandrije [6] bavio se traženjem skupova koje karakterizira svojstvo da je umnožak bilo koja dva njihova različita elementa uvećan za jedan potpun kvadrat. Ovakve skupove prirodnih i racionalnih brojeva opisali smo u Definicijama 1.1.1 i 1.1., respektivno. Prvu racionalnu Diofantovu četvorku { 1, 33, 17, } 105 16 16 4 16 pronašao je upravo Diofant. Prvu racionalnu Diofantovu petorku pronašao je Euler, a više racionalnih Diofantovih šestorki nedavno je pronašao Gibbs [35]. Međutim, do danas nije poznata gornja ograda na veličinu takvih skupova racionalnih brojeva. Prvu Diofantovu četvorku sastavljenu od prirodnih brojeva, koju čini skup {1, 3, 8, 10}, pronašao je Fermat. Poznatu hipotezu da ne postoji Diofantova petorka sastavljena od prirodnih brojeva izrekli smo u Pretpostavci 1.1.1. 1969. godine Baker i Davenport [3] dokazali su da se Fermatov skup ne može proširiti do Diofantove petorke u Z. Nedavno je, koristeći teoriju diofantskih aproksimacija, Dujella [18] dokazao da ne postoji Diofantova šestorka i da postoji samo konačno mnogo Diofantovih petorki nad skupom prirodnih brojeva. Već je Euleru bilo poznato da se svaki Diofantov par {a, b} za koji vrijedi ab + 1 = r može proširiti do Diofantove četvorke {a, b, a + b + r, 4r(a + r)(b + r)}. Diofantova trojka {a, b, a+b+r} zove se regularna Diofantova trojka. 1979. godine, koristeći algebarske metode i teoriju eliptičkih krivulja, Arkin, Hoggatt i Strauss [1] dokazali su da se svaka Diofantova trojka {a, b, c} može 3

proširiti do Diofantove četvorke. Preciznije, neka je ab + 1 = r, ac + 1 = s i bc + 1 = t, gdje su r, s, t N. Neka je d ± = a + b + c + abc ± rst. Tada je Diofantova četvorka i vrijedi {a, b, c, d ± } ad ± + 1 = (at ± rs), bd ± + 1 = (bs ± rt), cd ± + 1 = (cr ± st). Diofantova četvorka ovog oblika zove se regularna Diofantova četvorka. Ekvivalentno 1, Diofantova četvorka {a, b, c, d} je regularna ako i samo ako vrijedi Naime, korijeni ove jednadžbe su d ±. (a + b c d) = 4(ab + 1)(cd + 1). Sada je moguće iskazati strožu verziju Pretpostavke 1.1.1. Slutnja 3.1.1 Ako je {a, b, c, d} Diofantova četvorka i d > max{a, b, c}, tada je d = d +. Jasno je da iz ove pretpostavke slijedi Slutnja 1.1.1. Već smo spomenuli da su Baker i Davenport [3] pokazali da Slutnja 3.1.1 vrijedi za Diofantovu trojku {1, 3, 8}. Među ostalim sličnim rezultatima, od kojih smo neke naveli u odjeljku 1.1, spomenimo još da je Dujella, u [11] i [13], potvrdio Pretpostavku 3.1.1 za sve trojke oblika {k 1, k + 1, 4k} i {F k, F k+, F k+4 }, respektivno. Štoviše, klasa Diofantovih trojki za koje se može dokazati da vrijedi Slutnja 3.1.1 je sada tako široka da u proizvoljnoj Diofantovoj četvorci (sa dovoljno velikim elementima), možemo naći podtrojku koja pripada toj klasi. U [18], dokazujući Pretpostavku 3.1.1 za trojku {a, b, c}, problem se najprije transformira na rješavanje sustava simultanih pellovskih jednadžbi. Traže se presjeci binarnih rekurzivnih nizova, a zatim se određuju početni uvjeti tih nizova, pod pretpostavkom da čine neprazan presjek koji inducira rješenje polaznog problema. Iz toga se dobivaju novi, poboljšani principi rupe. Ovaj ćemo pristup slijediti i kod rješavanja analognog problema za polinomski slučaj u ovom poglavlju. Spomenimo također, da je nedavno Fujita [3] dokazao da svaka Diofantova petorka sadrži regularnu Diofantovu četvorku, odnosno da ako je {a, b, c, d, e} Diofantova petorka i a < b < c < d < e, tada je d = d +. 1 Vidjeti [34]. 4

Kao što smo spomenuli u prvom poglavlju, tijekom godina proučavane su brojne generalizacije Diofantova problema. Brown [4] je, na primjer, umjesto broja 1 umnošcima dvaju elemenata u Diofantovoj m-torci dodavao fiksni cijeli broj n. Takvu je generalizaciju Diofantova problema proučavao i Dujella [16, 17] za općeniti n te Dujella i Luca [7] za prost broj n. Također, Bugeaud i Dujella [5] umjesto kvadrata proučavali su k-te potencije, a Diofantov problem obrađen je i nad drugim domenama osim Z i Q. U ovoj ćemo se disertaciji baviti različitim generalizacijama Diofantova problema pa najprije uvodimo opću definiciju Diofantove m-torke. Definicija 3.1.1 Neka su m i k cijeli brojevi i R komutativni prsten s jedinicom. Diofantova m-torka k-tog stupnja u R je skup {a 1,..., a m } koji se sastoji od m različitih nenul elemenata od R takvih da je a i a j +1 k-ta potencija nekog elementa od R za 1 i < j m. Također, skup {a 1,..., a m } koji se sastoji od m različitih nenul elemenata od R zove se Diofantova m-torka čistih potencija ako je a i a j + 1 k-ta potencija nekog elementa od R za neki k i za svaki 1 i < j m. U ovom i idućem poglavlju disertacije bavit ćemo se određivanjem gornje ograde na broj elemenata u Diofantovoj m-torci za zadani R i k pa ćemo ovdje spomenuti neke poznate rezultate. Krenimo od slučaja R = Z. Poznate rezultate za Diofantove m-torke k-tog stupnja, za k, te za Diofantove m-torke čistih potencija naveli smo u prvom poglavlju. Osim slučajeva R = Q i R = Z, proučavana je i polinomna varijanta Diofantova problema. Tom se varijantom najprije bavio Jones [4, 41] za slučaj R = Z[X] i k =. Neke varijante ovog slučaja proučavali su Dujella i Fuchs []. Također, Dujella i Fuchs [3] su dokazali da se svaka Diofantova trojka u R = Z[X] može proširiti do Diofantove četvorke na jedinstven način. Dujella i Fuchs, zajedno sa Tichyem [5] te Walshom [6] dodatno su generalizirali Diofantov problem za slučaj R = Z[X] i k =, uzevši n = ax + b. Odredili su najbolje moguće gornje ograde na takve skupove polinoma jednakih stupnjeva. Također, dokazali su da ne postoji skup s više od 1 polinoma u Z[X] i svojstvom da je umnožak bilo koja dva od njih plus linearni polinom n potpun kvadrat. Na ovaj slučaj nadovezat ćemo se u četvrtom poglavlju disertacije, gdje ćemo uzeti da je k = i da je n kvadratni polinom nad skupom cijelih brojeva. Tražit ćemo gornju ogradu na veličinu takve Diofantove m-torke. Dokazat ćemo da ne postoji skup s više od 98 polinoma u Z[X] i svojstvom da je umnožak bilo koja dva od njih plus kvadratni polinom n potpun kvadrat. 5

Dujella i Luca promatrali su slučaj k 3 i R = K[X], prsten polinoma s koeficijentima u algebarski zatvorenom polju K karakteristike 0. Dokazali su [8] da je m 5 za k = 3, m 4 za k = 4, m 3 za k 5 te m za paran broj k 5. Koristeći mnoge rezultate iz [8], Dujella, Fuchs i Luca [4] dokazali su da ne postoji Diofantova 11-torka drugog stupnja u K[X], odnosno da je m 10 za k =. Cilj ovog poglavlja je smanjiti tu ogradu, koristeći brojne rezultate spomenutih autora. Za slučaj R = Z[X] i k =, Dujella i Fuchs [3] su dokazali da ne postoji Diofantova petorka, a za R = K[X], gdje je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0 i k =, dokazat ćemo da ne postoji Diofantova osmorka. Posljedica toga biti će smanjenje ograde na broj elemenata Diofantove m-torke čistih potencija u K[X], također dokazane u [4]. 3. Nejednakosti za stupnjeve polinoma u polinomnim Diofantovim m-torkama Naziv polinomna Diofantova m-torka koristit ćemo umjesto naziva Diofantova m-torka drugog stupnja u K[X], radi jednostavnosti. Prije nego što iznesemo neke rezultate koje ćemo koristiti u ovom poglavlju, navest ćemo nekoliko važnih napomena. Neka je k i {a 1,..., a m } Diofantova m-torka k-tog stupnja. Za slučaj R = Z jasno je da je a i a j za svaki i j jer jednadžba a + 1 = r k nema cjelobrojnih rješenja (a, r, k) za k i a 0. Međutim, to nije nužno tako nad drugim prstenima R. Na primjer, ako je {a 1,..., a m } Diofantova m-torka k-tog stupnja nad R i ako je a m + 1 k-ta potencija u R, tada navedenoj m-torci možemo pridružiti element a m još t puta, za neki prirodan broj t, dobivši tako Diofantovu (m + t)-torku k-tog stupnja. Kako nad algebarski zatvorenim poljem K jednadžba a + 1 = r k ima rješenje r u K za svaki zadani a iz K i za svaki cijeli broj k, slijedi da moramo pretpostaviti da je Diofantova m-torka k-tog stupnja {a 1,..., a m } koja se sastoji od nenul polinoma u K[X] takva da je a i a j za i j kadgod je a i konstanta. Također, kako je K algebarski zatvoreno polje, slijedi da je svaka m-torka konstantnih polinoma Diofantova m-torka k-tog stupnja za svaki k. Dakle, moramo pretpostaviti da je barem jedan polinom nekonstantan. Iz te pretpostavke, primjenom Masonova teorema, dobivaju se važni zaključci da je najviše jedan od polinoma a i za i = 1,..., m konstantan te da su Istaknimo ovdje važnost pretpostavke da je karakteristika polja K jednaka 0. Naime, Masonov teroem, dan u Teoremu.1.1, ne vrijedi za polje K karakteristike p 0. 6

svi a i međusobno različiti, što je dano u sljedećoj lemi. Isto vrijedi, s malim izmjenama dokaza, za Diofantove m-torke čistih potencija u K[X]. Lema 3..1 Neka je K algebarski zatvoreno polje i {a 1,..., a m } Diofantova m-torka k-tog stupnja koja se sastoji od polinoma s koeficijentima u K. Pretpostavimo također da nisu svi polinomi konstantni i da ako su a i i a j konstantni polinomi za i j, tada je a i a j. Tada je a i a j za i j i najviše jedan od polinoma a i za i = 1,..., m je konstanta. Dokaz: Vidjeti [8, Lemma 1]. Sljedeći princip rupe, poznat i u klasičnom slučaju, korišten je i u dokazima rezultata za R = Z[X]. Lema 3.. Neka je {a, b, c} polinomna Diofantova trojka i ab + 1 = r. Neka su α, β, γ stupnjevi od a, b, c, respektivno i pretpostavimo da je α β γ. Tada je c = a + b ± r ili je γ α + β. Dokaz: Vidjeti [4, Lemma 1]. Posljedica ove leme je sljedeći princip rupe za Diofantove četvorke. Lema 3..3 Neka je {a, b, c, d} polinomna Diofantova četvorka takva da je 0 < α β γ δ, gdje su α, β, γ, δ stupnjevi od a, b, c, d, respektivno. Tada je δ β + γ. Dokaz: Vidjeti [4, Lemma ]. Dujella, Fuchs i Luca dokazali su [4, Theorem 1] da ne postoji polinomna Diofantova 11-torka, kombinirajući princip rupe (Lema 3..3) s gornjom ogradom na stupnjeve elemenata polinomne Diofantove četvorke, koju ćemo u nastavku iznijeti (Propozicija 3..1). Dobivena je reduciranjem problema proširenja polinomne Diofantove trojke do četvorke na rješavanje sustava pellovskih jednadžbi. Rješenja tih jednadžbi leže u konačno mnogo binarnih linearnih rekurzivnih nizova pa se problem reducira na nalaženje presjeka tih nizova. Mnoge elemente tog pristupa preuzet ćemo u dokazivanju poboljšane ograde na broj elemenata polinomne Diofantove m-torke, u sljedećem odjeljku. Stoga ćemo ovdje najprije iznijeti potrebne elemente teorije pellovskih jednadžbi u K[X]. 7

Neka je {a, b, c} polinomna Diofantova trojka i vrijedi ab + 1 = r, ac + 1 = s, bc + 1 = t, (3.1) gdje su r, s, t iz K[X]. Jasno je da je st(r) = α + β, st(s) = α + γ i st(t) = β + γ pa vrijedi st(t) st(s) st(r) > 0. Ovu polinomnu Diofantovu trojku proširujemo do polinomne Diofantove četvorke dodajući joj element d za koji vrijedi ad + 1 = x, bd + 1 = y, cd + 1 = z, gdje su x, y, z iz K[X]. Eliminirajući d iz gornjih jednakosti, dobivamo poopćene pellovske jednadžbe Iz (3.) i (3.3) slijedi da jednadžbe az cx = a c, (3.) bz cy = b c. (3.3) az cx = a c i (3.4) bz cy = b c, (3.5) gdje je ac + 1 = s i bc + 1 = t, imaju netrivijalna rješenja (z, x) i (z, y), respektivno, odnosno x, y i z su nekonstantni polinomi. Sljedeća lema detaljnije opisuje rješenja jednadžbi (3.4) i (3.5). Lema 3..4 Neka su a i b nenul polinomi i barem jedan od njih nekonstantan te vrijedi ab + 1 = r, za neki polinom r. Neka je st(a) = α, st(b) = β i pretpostavimo da je α β. Pretpostavimo također da su (U, V ) polinomi za koje vrijedi au bv = a b. (3.6) Tada vrijedi sljedeće: 1.) ab nije kvadrat polinoma..) U 0. 3.) Ako je U konstanta, tada je (U, V ) = (±1, ±1). 4.) Postoji (U 0, V 0 ) rješenje jednadžbe (3.6) takvo da vrijedi st(u 0 ) 3β α 4 i st(v 0 ) α + β 4 8

te postoji nenegativan cijeli broj m, takav da do na zamjenu od (U, V ) s (±U, ±V ) vrijedi U a + V b = (U 0 a + V0 b)(r + ab) m. (3.7) 5.) Neka je (U, V ) rješenje jednadžbe (3.6) i vrijedi jednakost (3.7). Ako je U 1 (mod b), tada je V 1 (mod a) te navedene relacije kongruencije vrijede i ako (U,V) zamijenimo s (U 0, V 0 ). Posebno, ako je (U 0, V 0 ) (±1, ±1), tada vrijedi st(u 0 ) β i st(v 0) α. Dokaz: Vidjeti [8, Lemma 4]. Iz Leme 3..4 slijedi da postoji nenegativan cijeli broj m i rješenje (Z 0, X 0 ) jednadžbe (3.4) takvo da je st(z 0 ) 3γ α, st(x 4 0 ) α+γ i 4 z a + x c = (Z 0 a + X0 c)(s + ac) m. Također, slijedi da postoji nenegativan cijeli broj n i rješenje (Z 1, Y 1 ) jednadžbe (3.5) takvo da je st(z 1 ) 3γ β, st(y 4 1 ) β+γ i 4 z b + y c = (Z 1 b + Y1 c)(t + bc) n. Promotrimo jednakost (3.7) i uzmimo da su (U n ) n 0 i (V n ) n 0 nizovi polinoma dani sa U n a + Vn b = (U0 a + V0 b)(r + ab) n. Takvi (U n ) n 0 i (V n ) n 0 su binarni rekurzivni nizovi za koje usporedbom koeficijenata uz a i b, za n = 1 dobivamo da je a lako se vidi da rekurzivne relacije U 1 = ru 0 + bv 0, (3.8) V 1 = rv 0 + au 0, U n+ = ru n+1 U n, (3.9) V n+ = rv n+1 V n vrijede za svaki n 0. Dakle, za z iz jednakosti (3.) i (3.3) vrijedi z = V m = W n, gdje su nizovi (V m ) m 0 i (W n ) n 0 definirani sa V 0 = Z 0, V 1 = sz 0 + cx 0, V m+ = sv m+1 V m, (3.10) W 0 = Z 1, W 1 = tz 1 + cy 1, W n+ = tw n+1 W n. (3.11) To znači da se problem proširenja polinomne Diofantove trojke do četvorke reducira na rješavanje jednadžbe oblika V m = W n. Navedeni nizovi zadovoljavaju relacije kongruencije dane u sljedećoj lemi. 9

Lema 3..5 Vrijedi V m Z 0 (mod c), W n Z 1 (mod c), V m+1 sz 0 (mod c), W n+1 tz 1 (mod c), a vrijedi i V m Z 0 + c(az 0 m + sx 0 m) (mod c ), V m+1 sz 0 + c(asz 0 m(m + 1) + X 0 (m + 1)) (mod c ), W n Z 1 + c(bz 1 n + ty 1 n) (mod c ), W n+1 tz 1 + c(btz 1 n(n + 1) + Y 1 (n + 1)) (mod c ). Dokaz: Slijedi indukcijom iz (3.10) i (3.11). Također, vrijede odnosi između početnih uvjeta Z 0, Z 1, X 0, Y 1 koje ćemo iznijeti u Lemi 3.3.5. Lemu 3..5 i Lemu 3.3.5 koristit ćemo u narednom odjeljku, a koriste se i u dokazu sljedeće propozicije koja govori o spomenutoj gornjoj ogradi na stupnjeve elemenata u polinomnoj Diofantovoj četvorci. Ova će propozicija također biti važna u dokazivanju poboljšane ograde na broj elemenata u polinomnoj Diofantovoj m-torci. Propozicija 3..1 Neka je {a, b, c, d} polinomna Diofantova četvorka. Označimo s α, β, γ, δ stupnjeve od a, b, c, d, respektivno. Pretpostavimo da je β > α i γ > 4β α. Tada je δ < 3γ. Dokaz: Vidjeti [4, Proposition 1]. 3.3 Smanjenje gornje ograde na broj elemenata polinomne Diofantove m-torke Cilj ovog odjeljka je poboljšati rezultat Dujelle, Fuchsa i Luce [4] da ne postoji polinomna Diofantova 11-orka i dokazati sljedeći teorem. Teorem 3.3.1 Neka je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0. Tada ne postoji Diofantova 8-orka drugog stupnja u K[X], odnosno m 7 za k =. 30

Teorem 3.3.1 dokazat ćemo pod pretpostavkom da je K algebarski zatvoreno polje karakteristike 0. No, kako je svako polje K sadržano u svom algebarskom zatvorenju K, tvrdnja Teorema 3.3.1 vrijedi za svako polje K karakteristike 0. Prvi korak u dokazu Teorema 3.3.1 biti će sljedeće poboljšanje rezultata iz Leme 3..3. Lema 3.3.1 Neka je {a, b, c, d} polinomna Diofantova četvorka takva da je α β γ δ, gdje su α, β, γ, δ stupnjevi od a,b,c,d, respektivno. Neka je d + polinom većeg stupnja među polinomima a+b+c+abc±rst, gdje su r, s i t 3β + 5γ polinomi za koje vrijede jednakosti (3.1). Tada je ili δ ili je d = d + ili je {a, b, c, d} = { 3, } 3 (p 1), 3+ 3 p + 3, 3+ 3 p + 3 3 3 3 3 3, gdje je p K[X] neki nekonstantan polinom. U dokazu Leme 3.3.1 najprije ćemo transformirati problem proširenja polinomne Diofantove trojke {a, b, c} do polinomne Diofantove četvorke na rješavanje sustava simultanih pellovskih jednadžbi. To nas vodi do traženja presjeka binarnih rekurzivnih nizova. Princip rupe dan u Lemi 3.3.1 slijedit će iz detaljne analize elemenata "malih" indeksa binarnih rekurzivnih nizova (V m ) m 0 i (W n ) n 0, danih s (3.10) i (3.11). Proučit ćemo, dakle, jednadžbu V m = W n za male vrijednosti m i n, a nakon toga pristupiti dokazu Leme 3.3.1. Najprije moramo vidjeti kakav je odnos između m i n kada je V m = W n. Pritom ćemo koristiti sljedeću lemu, koja opisuje još neka svojstva nizova (V m ) m 0 i (W n ) n 0. Lema 3.3. Neka su nizovi (U n ) i (V n ) definirani s (3.8) i (3.9) te neka je m 0 cijeli broj takav da je (t, s) = (U m, V m ), za t i s definirane jednakostima (3.1). Tada vrijedi: 1.) Un 1 (mod b) i Vn 1 (mod a), za svaki n 0. Posebno, ako je (U 0, V 0 ) (±1, ±1), tada je st(u 0 ) β i st(v 0) α..) m 1. 3.) st(u 1 ) max(st(u 0 ), β ), st(v 1) max(st(v 0 ), α ). 4.) Jednakosti st(u n ) = (n 1) α + β + st(u 1 ), (3.1) st(v n ) = (n 1) α + β + st(v 1 ), (3.13) vrijede za svaki n 1 i vrijedi st(u n ) + α = st(v n ) + β, za svaki n 1 kao i za n = 0, osim ako je (U 0, V 0 ) = (±1, ±1). 31

Dokaz: Vidjeti [8, Lemma 5]. Lema 3.3.3 Ako je V m = W n, tada je n 1 m n + 1. Dokaz: Kako je V 1 = sz 0 + cx 0, slijedi da je st(v 1 ) max(st(sz 0 ), st(cx 0 )). Uzevši u obzir da je st(z 0 ) 3γ α, st(x 4 0 ) α+γ i st(s) = α+γ, dobivamo da 4 je st(v 1 ) α + 5γ. Također, iz Leme 3.3. 3.) slijedi da je st(v 1 ) 4 max(st(v 0 ), γ ) pa, kako je st(v 0) = st(z 0 ) 0, dobivamo da je st(v 1 ) γ. Iz (3.1) slijedi da je za svaki m 1 pa vrijedi st(v m ) = (m 1) α + γ + st(v 1 ), (m 1) α + γ + γ st(v m) (m 1) α + γ + α + 5γ, (3.14) 4 za svaki m 1. Slično razmišljamo i za W n. Kako je W 1 = tz 1 +cy 1, slijedi da je st(w 1 ) max(st(tz 1 ), st(cy 1 )). Uzevši u obzir da je st(z 1 ) 3γ β, st(y 4 1 ) β+γ i 4 st(t) = β+γ, dobivamo da je st(w 1) β + 5γ. Također, iz Leme 3.3. 3.) 4 slijedi da je st(w 1 ) max(st(w 0 ), γ ) pa, kako je st(w 0) = st(z 1 ) 0, dobivamo da je st(w 1 ) γ. Iz (3.1) slijedi da je za svaki n 1 pa vrijedi st(w n ) = (n 1) β + γ + st(w 1 ), (n 1) β + γ + γ st(w n) (n 1) β + γ + β + 5γ, (3.15) 4 za svaki n 1. Kako je V m = W n, mora biti st(v m ) = st(w n ) pa iz (3.14) i (3.15) dobivamo da je (m 1) α + γ + γ (n 1)β + γ + β + 5γ. (3.16) 4 3

Uzevši u obzir da je α 0 i β γ, iz prethodne nejednakosti dobivamo (m 1) γ nγ pa dijeljenjem s γ 0 slijedi Slično, iz (3.14) i (3.15) dobivamo da je (n 1) β + γ + γ m n + 1. (3.17) (m 1)α + γ + α + 5γ. (3.18) 4 Uzevši u obzir da je α β < 3β, iz prethodne nejednakosti dobivamo (n 1) β+γ < (m 1) β+γ + 3 (β + γ) pa dijeljenjem s β + γ 0 slijedi 4 m n 1. (3.19) Nejednakosti (3.17) i (3.19) daju ogradu na m iz tvrdnje leme. U nastavku ćemo ispitati jednakost V m = W n za male vrijednosti m i n, što će nam pomoći u dokazivanju jačeg i preciznijeg principa rupe (Lema 3.3.1), od onog iz Leme 3..3. Za razmatranje spomenute jednakosti biti će nam potrebna i sljedeća lema. Lema 3.3.4 Neka je {a, b, c} polinomna Diofantova trojka. Označimo s d + polinom većeg, a s d polinom manjeg stupnja među polinomima a + b + c + abc ± rst, gdje su r, s i t polinomi za koje vrijede jednakosti (3.1). Tada je st(d ) < st(c). Dokaz: Označimo s α, β, γ, stupnjeve od a, b, c, respektivno i neka je α β γ. Slijedit ćemo razmišljanje iz [4, Lemma 1] i uzeti da je Vrijedi d 1 = a + b + c + abc + rst, d = a + b + c + abc rst. d 1 d = a + b + c ab ac bc 4 pa je st(d 1 ) + st(d ) γ. Ako pogledamo jednakosti (3.1), možemo primijetiti da polinomi abc i rst imaju jednake stupnjeve te da su im vodeći koeficijenti jednaki do na množenje s ±1. Kako najviše jedan element polinomne Diofantove m-torke može biti konstanta, zaključujemo da mora biti st(d 1 ) st(d ) te da jedan od polinoma d 1, ima maksimalan stupanj, jednak 33

α + β + γ. Označimo s d polinom manjeg, a s d + polinom većeg stupnja među d 1 i d. Tada je st(d + ) = α + β + γ, a st(d ) < γ. Polinomi d ± imaju važnu ulogu u definiciji regularne polinomne Diofantove četvorke. Svaki polinomski Diofantov par može se proširiti do polinomne Diofantove trojke, a svaka polinomna Diofantova trojka može se proširiti do polinomne Diofantove četvorke. Štoviše, relacije koje smo naveli na početku odjeljka 3.1 dobivene su korištenjem algebarskih operacija pa vrijede i u K[X]. Definicija 3.3.1 Polinomna Diofantova četvorka {a, b, c, d} zove se regularna ako je d = d + ili d = d. Ekvivalentno, {a, b, c, d} je regularna polinomna Diofantova četvorka ako i samo ako vrijedi (a + b c d) = 4(ab + 1)(cd + 1). Ova jednakost ([34]) je kvadratna jednadžba u d s korijenima d ±. Primijetimo da je ovdje st(d ) < γ, dok u N vrijedi d < c. Spomenimo još rezultat Dujelle i Fuchsa [3] da su sve polinomne Diofantove četvorke u Z[X] regularne. Međutim, u nastavku ćemo vidjeti da to ne vrijedi u K[X]. Postojanje polinoma d ± povlači da jednadžba V m = W n ima netrivijalna rješenja, jer imamo cd ± + 1 = z i z = V m = W n. Kako je st(d ) < γ, to je st(z) = γ+st(d ) < γ. Iz (3.14) slijedi da je st(v m ) γ za m. Iz (3.15) pak slijedi da je st(w n ) > γ za n. Dakle, postojanje polinoma d može proizaći iz V m = W n jedino ako su m, n {0, 1}. Prilikom razmatranja konkretnih jednakosti V m = W n, višestruko ćemo koristiti sljedeću lemu 3. Tada ćemo detaljnije opisati pojedine tvrdnje iz njenog dokaza, kojeg ovdje navodimo kako bi spomenuta razmatranja učinili jasnijima. Lema 3.3.5 Vrijedi: 1.) Ako je V m = W n, tada je Z 0 = Z 1..) Ako je V m+1 = W n, tada je ili (Z 0, Z 1 ) = (±1, ±s) ili je (Z 0, Z 1 ) = (±s, ±1) ili je Z 1 = sz 0 + cx 0 ili je Z 1 = sz 0 cx 0. 3.) Ako je V m = W n+1, tada je ili (Z 0, Z 1 ) = (±t, ±1) ili je Z 0 = tz 1 + cy 1 ili je Z 0 = tz 1 cy 1. 4.) Ako je V m+1 = W n+1, tada je ili (Z 0, Z 1 ) = (±1, ±cr ± st) ili je (Z 0, Z 1 ) = (±cr ± st, ±1) ili je sz 0 + cx 0 = tz 1 ± cy 1 ili je sz 0 cx 0 = 3 Lema 3.3.5 je preciznija verzija leme [4, Lemma 4]. 34