Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Svaka od njih je ilustrirana primjerima Ključne riječi: razvoj determinante determinante, algebarski komplement, Laplaceov Methods of computing determinants of the n-th order Abstract In the paper are described methods of computing determinants of the n-th order Each of them is illustrated by examples Key words: determinants, cofactor, Laplace expansion of the determinant 1 Uvod Determinantu kvadratne matrice A [a ij ] reda n definiramo kao broj deta ( 1) i(p) a 1p(1) a 2p(2) a np(n) gdje p(1), p(2),, p(n) prolaze svih n! mogućih permutacija brojeva 1, 2,, n Predznak svakog sumanda u deta ovisi o broju inverzija u permutaciji, i(p), tj o broju situacija kad u permutaciji vrijedi i<ji p(i) >p(j) Determinantu matrice obično označavamo sa a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n deta det a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Veleučilište u Varaždinu Jurja Križanića 33, 42000 Varaždin, damirakecek@velvhr
32 Damira Keček Ako je n 1,detA a a ( ) ( ) 1 2 1 2 Za n 2 imamo 2! 2 permutacije, p 1 i p 1 2 2 Kako je 2 1 i(p 1 )0,ai(p 2 ) 1 imamo a 11 a 12 a 21 a 22 ( 1)0 a 11 a 22 ( 1) 1 a 12 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 Za n 3 račun postaje kompliciraniji, imamo 3! 6 permutacija, ( ) ( ) ( ) ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 p 1, p 1 2 3 2, p 1 3 2 3, p 2 1 3 4 2 3 1 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 p 5 i p 3 1 2 6 3 2 1 Dobivamo a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( 1) 0 a 11 a 22 a 33 ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 ( 1) 1 a 12 a 21 a 33 ( 1) 2 a 12 a 23 a 31 ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 ( 1) 3 a 13 a 22 a 31 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Primijetimo da računanje determinante pomoću definicije nije jednostavno Zato postoje razne metode kojima se determinanta brže izračuna, a najopćenitija metoda je Laplaceov razvoj determinante Laplaceov razvoj determinante može se provoditi po bilo kojem retku ili stupcu matrice Neka je A matrica reda n Ako u toj matrici izostavimo i-ti redak i j-ti stupac dobit ćemo matricu čiju determinantu zovemo subdeterminanta ili minora i označavamo sa M ij Algebarski komplement ili kofaktor elementa a ij je broj A ij ( 1) ij M ij ), Laplaceov razvoj po i-tom retku: deta Laplaceov razvoj po j-tom stupcu: deta n a ij A ij j1 n a ij A ij i1 Zadatak 1 Izračunajte determinantu matrice A 1 6 0 4 2 1 Laplaceovim 3 5 1 razvojem po
Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 33 a) trećem retku, b) drugom stupcu Rješenje: a) b) 1 0 2 6 4 1 3 5 1 1 0 2 6 4 1 3 5 1 3 ( 1)31 0 2 4 1 5 ( 1)32 1 2 6 1 1 ( 1) 33 1 0 6 4 3 [0 ( 8)] 5 [ 1 ( 12)] 1 (4 0) 27 0 ( 1)12 6 1 3 1 4 ( 1)22 1 2 3 1 5 ( 1) 32 1 2 6 1 04 [1 ( 6)] 5 [ 1 ( 12)] 27 Kod računanja determinante matrice najbolje je izabrati onaj redak ili stupac koji sadrži najviše nula jer je tada račun kraći Navedimo sada neka svojstva determinanti koja ćemo koristiti u izračunavanju determinanti višeg reda: 1 Dodamo (oduzmemo) li nekom retku (stupcu) elemente nekog drugog retka (stupca) ili njihovu linearnu kombinaciju, vrijednost determinante se ne mijenja 2 Ako je matrica B dobivena iz matrice A množenjem jednog njenog retka (stupca) brojem c, tada je det(b) c det(a) 3 Ako se neki redak ili stupac matrice sastoji samo od nula, determinanta te matrice jednaka je nuli 4 Ako je A trokutasta matrica, tada joj je determinanta jednaka produktu elemenata njezine glavne dijagonale 5 Ako su u matrici dva retka (stupca) proporcionalna, determinanta joj je jednaka nuli 6 Zamjenom dvaju stupaca determinanta mijenja predznak
34 Damira Keček 7 Neka se matrice A i B razlikuju samo u elementima i-tog retka (stupca) Suma determinanti det(a) det(b) je determinanta čiji je i-ti redak (stupac) suma odgovarajućih članova i-tih redova (stupaca) u det(a) i det(b), a ostali elementi su jednaki odgovarajućim elementima tih determinanti 8 Ako su A i B kvadratne matrice istog reda, tada vrijedi det(ab) det(a)det(b) (Binet-Cauchyjev teorem) 2 Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 21 Svod enje matrice na trokutasti oblik Ova metoda se sastoji u transformiranju matrice transformacijama sličnosti u oblik u kojem su svi elementi s jedne strane glavne dijagonale matrice jednaki nuli Tada primjenom Cauchy Binetove formule slijedi da je vrijednost determinante matrice jednaka produktu elemenata na glavnoj dijagonali Zadatak 2 Izračunajte determinantu D 1 x 12 x 13 x 1n 1 2 x 23 x 2n 1 2 3 x 3n 1 2 3 n Rješenje: Pomnožimo prvi redak sa -1 i dodamo drugom, trećem,, n-tom, to nam daje 1 x 12 x 13 x 1n 1 x 12 x 13 x 1n 1 2 x 23 x 2n 0 2 x 12 x 23 x 13 x 2n x 1n D 1 2 3 x 3n 0 2 x 12 3 x 13 x 3n x 1n 1 2 3 n 0 2 x 12 3 x 13 n x 1n nastavimo li analogno postupak, tj pomnožimo drugi redak sa 1 i dodamo trećem, četvrtom,, n-tom, i tako sve do (n 1) retka, dobivamo D 1 x 12 x 13 x 1n 0 2 x 12 x 23 x 13 x 2n x 1n 0 0 3 x 23 x 3n x 1n 0 0 0 n x n 1,n (2 x 12 ) (3 x 23 ) (n x n 1,n )
Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 35 Zadatak 3 Izračunajte determinantu D 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 x 1 x 2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 2 x n 1 x n 1 y n 1 x n 1 x n 1 x n 1 x n y n x n x n x n x n Rješenje: Pomnožimo prvi redak sa x 1 i dodamo drugom, pomnožimo prvi redak sa x 2 i dodamo trećem,, pomnožimo prvi redak sa x n i dodamo n-tom retku 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y 1 x 1 x 2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 2 D x n 1 x n 1 y n 1 x n 1 x n 1 x n 1 x n y n x n x n x n x n 1 1 1 1 1 0 0 0 y 1 0 0 0 y 2 0 0 0 y n 1 0 0 0 y n 0 0 0 0 razvoj po (n1) stupcu 0 0 0 y 1 0 0 y 2 0 ( 1) 1n1 0 y n 1 0 0 y n 0 0 0 0 0 0 y 1 0 0 y 2 0 ( 1) 1n1 ( 1) n 0 y n 1 0 0 y n 0 0 0 u ovoj determinanti će preživjeti jedino sumand koji odgovara permutaciji ( ) 1 2 n 1 n p n n 1 2 1 ( 1) n(n 1) 2 y 1 y 2 y n
36 Damira Keček 22 Metoda promjene elemenata u determinanti a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Neka je D determinanta kvadratne matrice A, a a n1 a n2 a nn a 11 x a 12 x a 1n x a 21 x a 22 x a 2n x D determinanta u kojoj svakom elementu a n1 x a n2 x a nn x determinante D dodamo broj x Primjenom svojstva 7, rastavimo determinantu D po prvom retku na zbroj dvije determinante, zatim svaku od njih rastavimo na zbroj dvije determinante po drugom retku, analogno nastavimo rastavljati dalje od trećeg do n-tog retka Determinante s dva ili više redaka koji se sastoje samo od elemenata x, jednake su nuli prema svojstvu 5, a nad one koje sadrže jedan redak s elementima x primjenimo svojstvo 2 i razvijemo Laplaceovim pravilom po tom retku Imamo a 11 x a 12 x a 1n x a 21 x a 22 x a 2n x D a n1 x a n2 x a nn x a 11 a 12 a 1n x x x a 21 x a 22 x a 2n x a 21 x a 22 x a 2n x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x x x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x x x x x x x a 21 a 22 a 2n x x x a n1 x a n2 x a nn x a n1 x a n2 x a nn x }{{} 0 dalje nastavljamo analogno rastavljati od 3 do n-tog retka
Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 37 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn n i1 a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n x x x a i1,1 a i1,2 a i1,n a n1 a n2 a nn D n i1 x n j1 A ij D x n i,j1 A ij, gdje je A ij algebarski komplement elementa a ij Zadatak 4 Izračunajte determinantu D n 1 n n n n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n Rješenje: D n (1 n)n 0n 0n 0n 0n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n 1 n 0 0 0 0 n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n n n n n n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n }{{} 0 1 n 0 0 0 0 0n (2 n)n 0n 0n 0n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n
38 Damira Keček 1 n 0 0 0 0 0 2 n 0 0 0 n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n 1 n 0 0 0 0 n n n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n }{{} 0 Nastavimo li analogno postupak rastavljanja determinanti, dobivamo D n 1 n 0 0 0 0 0 2 n 0 0 0 0 0 3 n 0 0 0 0 0 1 0 n n n n n primjena svojstva 4 (1 n)(2 n) ( 1) n ( 1) n 1 n! Zadatak 5 Izračunajte determinantu D n x y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x Rješenje: D n (x y)y 0y 0y 0y 0y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x x y 0 0 0 0 y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y x
Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 39 x y 0 0 0 0 0 x y 0 0 0 y y x y y y y y x y y y y y x x y 0 0 0 0 y y y y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y 0 x y 0 0 0 y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y y y y y y y y x y y y y y x y y y y y x }{{} 0 x y 0 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 0 x y 0 0 y y y x y y y y y x x y 0 0 0 0 0 x y 0 0 0 y y y y y y y y x y y y y y x x y 0 0 0 0 y y y y y 0 0 x y 0 0 y y y x y y y y y x x y 0 0 0 0 y y y y y y y y y y y y y x y y y y y x }{{} 0 y y y y y 0 x y 0 0 0 0 0 x y 0 0 y y y x y y y y y x y y y y y 0 x y 0 0 0 y y y y y y y y x y y y y y x }{{} 0
40 Damira Keček x y 0 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 0 x y 0 0 0 0 0 x y n (x y) n y  ij i,j1 y n  ij i,j1  ij 0, za i j x y 0 0  ii ( 1) ii 0 x y 0 (x y) n 1, za i j 0 0 x y (x y) n y n (x y) n 1 (x y) n 1 [x y (n 1)] 23 Metoda rekurzivnih relacija Neka je dvočlana rekurzija s konstantnim koeficijentima Razlikujemo 2 slučaja: 1 r 0, onda je D n pd n 1 rd n 2, n 3 (1) D n pd n 1 p(pd n 2 )p 2 D n 2 p n 1 D 1 (2) 2 r 0 Rekurziji (1) pridružujemo karakteristični polinom k(x) x 2 px r Neka su x 1 i x 2 korijeni karakteristične jednadžbe x 2 px r 0 Imamo slučajeve: (a) x 1 x 2, onda je D n k 1 x n 1 k 2x n 2,n N, (3) gdje se konstante k 1 i k 2 odrede pomoću poznatih D 1 i D 2, tj k 1 D 2 x 2 D 1 x 1 (x 1 x 2 ), (4)
Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda 41 (b) x 1 x 2, onda je k 2 D 2 x 1 D 1 x 2 (x 1 x 2 ) (5) D n x n 1 1 D 1 (n 1)x n 2 1 (D 2 x 1 D 1 ),n N (6) Zadatak 6 Izračunajte determinantu: 5 4 0 0 1 5 4 0 D n 0 1 5 0 0 0 0 5 5 4 0 0 1 5 4 0 Rješenje: D n 0 1 5 0 { razvoj po 1 retku } 0 0 0 5 5 4 0 1 4 0 5 ( 1) 11 1 5 0 4 ( 1) 12 0 5 0 0 0 5 0 0 5 1 4 0 0 5 0 5 D n 1 4 { razvoj po 1 stupcu } 0 0 5 5 4 0 5 D n 1 4 1 ( 1) 11 1 5 0 0 0 5 5 D n 1 4D n 2, D 1 5 5,D 2 5 4 1 5 21 Rješenja karakteristične jednadžbe x 2 5x 40sux 1 4ix 2 1 Pomoću formula (4) i (5) odredimo koeficijente k 1 i k 2 koje uvrstimo u formulu (3)
42 Damira Keček zajedno sa rješenjima x 1 i x 2 Konačno slijedi D n 4 3 4n ( 1 3 ) 1n 4n1 1 3 Literatura [1] K Horvatić, Linearna algebra, PMF - Matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 1999 [2] IV Proskuryakov, Problems in Linear Algebra, Mir, Moskva, 1978