Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Anita Ivanović Plic Žene u matematici Diplomski rad Osijek, 2011.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Anita Ivanović Plic Žene u matematici Diplomski rad Mentorica: doc. dr. sc. Mihaela Ribičić Penava Osijek, 2011.
Sadržaj Uvod 1 1. Uzori i mentori žena u matematici 2 1.1. Pitagora...................................... 2 1.2. Platon....................................... 4 1.3. Euklid....................................... 6 1.4. Arhimed...................................... 8 1.5. Carl Friedrich Gauss............................... 10 2. Prve žene u matematici 11 2.1. Zlatni omjer (rez)................................. 11 2.2. Veza Fibonaccijevog niza sa zlatnim omjerom................. 12 2.3. Veza zlatnog omjera i Platonovih tijela..................... 14 2.4. Konike presjeci stošca ravninom........................ 16 3. Žene u matematici (18. - 20. stoljeće) 24 Maria Gaetana Agnesi................................. 24 Sophie Germain..................................... 25 Ada Byron King.................................... 26 Mary Everest Boole................................... 27 Sofija Vasiljevna Kovalevskaja............................. 28 Charlotte Angas Scott................................. 29 Emmy Amalie Noether................................. 29 Mary Cartwright.................................... 30 i
Julia Bowman Robinson................................ 31 Louise Szmir Hay.................................... 32 Literatura 33 Sažetak 34 Summary 35 Životopis 36 ii
Uvod Nevjerojatno je kako su ljudske predrasude spriječile žene da imaju bitnu ulogu u povijesti matematike. Muškaraci su prepisivali i prisvajali genijalno stvaralaštvo svojih životnih suputnica. Žene sve do početka 20. stoljeća nisu imale mogućnost dobiti niti jedno obrazovanje, pa tako ni matematičko. Svaka intelektualna angažiranost smatrala se nepristojnom. Zbog toga tako malo ženskih imena i njihovih djela možemo naći u povijesti matematike i znanosti općenito. Baš iz tog razloga javila se želja za pisanjem ovog diplomskog rada. U prvom poglavlju ovoga rada možete se upoznati s imenima nekih najpoznatijih matematičara, s njihovim dostignućima i djelima, koji su bili uzori ili mentori žena u matematici, to su Pitagora, Platon, Euklid, Arhimed i Gauss. Uz Pitagorin život i rad dani su i doprinosi njegove škole. Zatim su opisana Platonova dostignuća i tumačenja da je svemir stvoren od pet pravilnih poliedara koje danas znamo kao Platonova tijela. U nastavku se navodi Euklidova biografija, Euklidovi postulati i postupak dobivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika, poznat kao Euklidov algoritam. Arhimed se smatra najznačajnijim primijenjenim matematičarem i fizičarem prije Newtona, pa su u radu navedena neka njegova dostignuća. Gaussovo značenje u matematici možda najbolje opisuje titula koju su mu dali matematičari, a to je princ matematike. Drugo poglavlje posvećeno je prvim ženama u matematici. Najznačajnije djelo Pitagorine žene Teano bilo je Princip zlatne sredine. Stoga je dana definicija zlatnog omjera, veza Fibonaccijevog niza sa zlatnim omjerom, te veza zlatnog omjera i Platonovih tijela. Kako se smatra da je prva poznata žena matematičarka bila Hipatija, navodi se njena biografija, a na veliku žalost njen najpoznatiji rad o konikama nije sačuvan. Iz toga razloga se definiraju konike: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola. Treće poglavlje posvećeno je najvažnijim matematičarkama u razdoblju od 18. do 20. stoljeća. Navedene su njihove biografije, važni doprinosi matematici i njihove izuzetne sposobnosti. Svojim radom i upornošću ostavile su neizbrisivi trag u znanosti. U ovom radu možete se upoznati s nekima od njih. Maria Gaetana Agnesi je bila najvažnija matematičarka 18. stoljeća. Sophie Germain koja je učila od najvećih matematičara Lagrangea i Gaussa je poznata po dokazu prvog slučaja Velikog Fermatovog teorema. Ada Byron King je bila prva programerka, dok još računala nije niti bilo. Mary Everest Bool je doprinijela razvoju linijske geometrije. Žena koja je svojim radom, učenjem i briljantnim rezultatima omogućila ženama upis na Cambridge bila je Carlotte Angas Scott. Najveća matematičarka 20. stoljeća smatra se Emmy Amalie Noether, poznata po Noetherinim prstenima. Prva žena na čelu Odjela za matematiku bila je Louise Szmir Hay. 1
1. Uzori i mentori žena u matematici 1.1. Pitagora Pitagora je roden oko 569.g.pr.Kr. na grčkom otoku Samosu. Otac mu je bio bogati trgovac, pa je s njim mnogo putovao. Bio je dobro obrazovan, učitelji su mu bili Ferekid, Tales i Anaksimander. Volio je svirati liru i recitirati poeziju. Često se prikazuje kao prvi pravi matematičar, temeljna znanja stekao je u Egiptu i Babilonu. Vrlo je važna osoba koja je doprinijela razvoju matematike. Osniva školu u Samosu, pod nazivom Polukrug, ali mještani nisu bili zadovoljni Pitagorinim poučavanjem i nisu prihvatili njegove metode učenja. Zato je otplovio u južnu Italiju, u grad Krotonu (današnja Crotona) gdje je stekao mnoge sljedbenike. Ustanovio je matematičku školu u kojoj su učenici imali stroga pravila druženja. Učenje škole zasnivalo se na postavci da se svi odnosi mogu svesti na operacije s brojevima-brojevima se može objasniti sve. Školu danas nazivamo Pitagorejskom školom, a njegove sljedbenike pitagorejcima. Pitagorejci su dali značajan doprinos aritmetici, geometriji, astronomiji i glazbi. Brojeve su prikazali grafički, te uočavajući njihova svojstva dijelili ih u skupine kao što su parni, neparni i savršeni brojevi. Pitagori se pripisuje prvi dokaz teorema o pravokutnim trokutima, te dokaz činjenice da je zbroj unutarnjih kuteva trokuta jednak 180. Pitagora je ponajprije bio filozof. Dušu je tumačio kao posebnu cjelinu u mozgu koja prolazi kroz uzastopne reinkarnacije sve dok ne postigne konačno pročišćenje. Pitagorejci su otkrili iracionalnost broja 2, rješavali su diofantske jednadžbe x 2 + y 2 = z 2 u skupu cijelih brojeva (Pitagorine trojke). Svaki neparni broj je dio neke Pitagorine trojke x = 2a + 1 y = 2a(a + 1) z = y + 1 = 2a(a + 1) + 1 Neke Pitagorine trojke (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25). Doprinosi pitagorine škole Evo poznatijih tvrdnji koje su dokazali Pitagorejci: Zbroj kuteva u trokutu iznosi dva prava kuta. Slika 1: Zbroj kuteva u trokutu 2
Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbroju kvadrata nad ostale dvije stranice u pravokutnom trokutu (Pitagorin puočak). Primijetimo ovdje da Pitagorejcima kvadrat nije označavao množenje duljine stranice sa samom sobom, već je označavao jednostavno geometrijski lik kvadrat konstruiran na stranici. Činjenica da je zbroj dva kvadrata jednak trećemu, značila je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se može složiti jedan kvadrat koji je sukladan kvadratu nad hipotenuzom. Slika 2: Pitagorin poučak U knjizi Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, postoji 367 dokaza Pitagorinog poučka. Prirodni brojevi i relacije izmedu njih: Kvadrat prirodnog broja: 1 + 2 +... + n +... + 2 + 1 = n 2 Trokutni brojevi: 1 + 2 +... + n = n(n+1) 2 Kvadratni brojevi: 1 + 3 +... + (2n 1) = n 2 Savršeni brojevi: prirodni brojevi koji su jednaki zbroju svih svojih pravih djelitelja. Na primjer: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Otkriće iracionalnih brojeva. Pitagorejci su čvrsto vjerovali da se sve može prikazati u obliku broja, pri čemu je svaki broj kvocijent dva cijela broja. Medutim, kada su 3
pokušali izmjeriti hipotenuzu jednakokračnog pravokutnog trokuta, došli su do zaključka da se ona ne može prikazati kao kvocijent dva cijela broja i to ih je užasnulo. Zapravo, činjenica da postoje brojevi koji se ne mogu prikazati kao omjer dva prirodna broja toliko ih je osupnula da su tu tvrdnju čuvali u dubokoj tajnosti kako ne bi izašla na vidjelo. Pet pravilnih geometrijskih tijela (Platonova tijela). Smatra se da je sam Pitagora znao kako konstruirati prva tri pravilna tijela, ali ne i posljednja dva. U astronomiji je Pitagora poučavao da je Zemlja kugla u središtu Svemira. On je takoder prepoznao da se Mjesečeva putanja nalazi pod kutom u odnosu na ekvator. On je takoder bio jedan od prvih koji je primijetio da je Venera kao večernja zvijezda bila isti planet kao Venera kao jutarnja zvijezda. Prema legendi Pitagora je prvi matematičar kojemu je pao na pamet način zapisivanja sličan današnjem ASCII-kodu. 1.2. Platon (Atena, 428. pr. Kr. ili 427. pr. Kr. - Atena, 347. pr. Kr. ili 348. pr. Kr.) Slika 3: Platon Platon je roden u Ateni 428.g.pr.Kr., bio je izuzetno utjecajan grčki filozof, idealist, Sokratov učenik i Aristotelov učitelj. Osnovao je prvo europsko sveučilište Akademiju čiji su članovi vjerovali kako se u proučavanju matematike nalazi ključ ukupnog razumijevanja. Legenda kaže da je iznad ulaza u Akademiju pisalo: Neka ne ulazi onaj tko ne zna geometriju. Predavajući na Akademiji, Platon je inzistirao na jasnim definicijama, hipotezama i postulatima, te se bavio idejom dokaza. Utemeljio je metodu indirektnog dokazivanja. Uveo je nazive analiza i sinteza. U svom djelu Timej Platon tumači da je svemir stvoren od pet pravilnih poliedara koje danas znamo kao Platonova tijela. Ta su geometrijska tijela poliedri kojima strane čine sukladni pravilni mnogokuti, a iz svakog vrha izlazi jednak broj bridova. 4
Postoji samo 5 pravilnih poliedara. TETRAEDAR s = 4 v = 4 b = 6 bs = vs = 3 bv = sv = 3 HEKSAEDAR-KOCKA s = 6 v = 8 b = 12 bs = vs = 4 bv = sv = 3 OKTAEDAR s = 8 v = 6 b = 12 bs = vs = 3 bv = sv = 4 DODEKAEDAR s = 12 v = 20 b = 30 bs = vs = 5 bv = sv = 3 IKOSAEDAR s = 20 v = 12 b = 30 bs = vs = 3 bv = sv = 5 Slika 4: Pravilni poliedri - Platonova tijela s - broj stranica poliedra bs - broj bridova na jednoj stranici poliedra v - broj vrhova poliedra vs - broj vrhova na jednoj stranici poliedra b - broj bridova poliedra bv - broj bridova kroz jedan vrh poliedra sv - broj stranica kroz jedan vrh poliedra U Platonovu djelu Teetet nalazi se dokaz iracionalnosti slijedećih kvadratnih korijena 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 i 17 pitagorejca Teodora iz Kirene. 5
1.3. Euklid (330 pr.kr. - 275 pr.kr) Slika 5: Euklid Poznat je kao otac geometrije i autor djela Elementi u 13 knjiga, jednog od povijesno najvažnijih matematičkih udžbenika u kojem su prikupljena sva dotadašnja znanja i otkrića o geometriji, teoriji brojeva i algebri. Osnove geometrije Euklid je vrlo sistematično i jednostavno prikazao minimalnim brojem definicija, postulata i aksioma izvodeći iz njih logičkom dedukcijom zaključke. Upravo je taj njegov model znanstvenog pisanja postao uzorom mnogim matematičarima. Euklidovi prilozi matematici, sadržani u Elementima, uključuju i postupak dobivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika poznat kao Euklidov algoritam. Neka njegova važnija djela su Data ( o uvjetima zadavanja nekog matematičkog objekta), Optika ( najranija sačuvana grčka teorija perspektive). Geometrijski sustav kojeg je opisao Euklid do 19. stoljeća je bio jedini moguć, no danas ga nazivamo euklidska geometrija kako bismo ga razlikovali od neeuklidske geometrije koja je proizašla iz drugačijeg videnja Euklidova 5. postulata. Na Euklida i njegov rad, najveći utjecaj su imala dva značajna filozofa, Platon i Aristotel. Bez Aristotelove logike, Elementi ne bi izgledali ovako kako izgledaju. Naime, Aristotel je postavio logičku gradu za rješavanje mnogih geometrijskih tajni i problema. Euklid je u svom djelu ostao vjeran tradiciji i poveo se za Platonom u njegovu razlikovanju ideja predmeta od samih predmeta kao materije. 1. Euklidovi postulati a) Dvije točke odreduju segment pravca (dužinu). b) Dužina se ne može produžiti u svakom smjeru. c) Kružnica je zadana središtem i radijusom. d) Svi pravi kutevi su jednaki (kongruentni). e) Postulat o paralelama: Ako pravac siječe dva pravca tako da je zbroj unutrašnjih kuteva s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca (ako se dovoljno produže) sijeku, tj. nisu paralelni. 6
Slika 6: Euklidovi postulati 2. Euklidov algoritam Neka su a i b nenegativni brojevi, pri čemu je b 0. Tada su jednoznačno odredeni cijeli brojevi q i r tako da je a = bq + r, 0 r < b. Broj q nazivamo količnikom brojeva a i b, a r ostatkom pri dijeljenju broja a brojem b. Pretpostavimo da je uzastopnom primjenom teorema o dijeljenju s ostatkom dobiven niz jednakosti: a = q 1 b + r 1, 0 < r 1 < b; b = q 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1 ; r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2 ;. r k 3 = q k 1 r k 2 + r k 1, 0 < r k 1 < r k 2 ; r k 2 = q k r k 1 + r k, 0 < r k < r k 1 ; r k 1 = q k+1 r k, (r k+1 = 0). Tada je (a, b) = r k, odnosno najveći zajednički djeljitelj je jednak posljednjem ostatku različitom od nule u Euklidovom algoritmu. Primjetimo da ćemo u konačno mnogo koraka doći do situacije: r k+1 = 0 (a, b) = (b 1, r 1 ) = (r 1, r 2 ) =... = (r k 1, r k ) = r k jer je prema pretpostavci r k+1 = 0 (a, b) = r k. Primjer Euklidovim algoritmom nadite najveći zajednički djeljitelj brojeva 3102 i 4002. Rješenje 4002 = 1 3102 + 900 3102 = 3 900 + 402 900 = 2 402 + 96 402 = 4 96 + 18 96 = 5 18 + 6 18 = 6 3 (4002, 3102) = 6. 7
1.4. Arhimed iz Sirakuze(oko 287.-212. pr. Kr.) Slika 7: Arhimed Arhimed je roden 287. g.pr.kr. u Sirakuzi na Siciliji. Najpoznatiji je znanstvenik stare Grčke. Bavio se matematikom, fizikom i astronomijom, običnim, praktičnim problemima, koji su bili primjenjivani na mnogim mjestima. Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zaobljenim geometrijskim tijelima, čiju je površinu i volumen izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Upisivanjem pravilnih poligona od 6, 12, 24, 38 i 96 stranica u krug i njihovim opisivanjem oko kruga dobio je do tada najbolju aproksimaciju broja π. Primjenom te metode na tijela došao je do zaključka da se obujmi valjka, kugle i stošca jednakih polumjera i visina odnose kao 3:2:1. Slika 8: Odnos volumena valjka, kugle i stošca Prvi je sumirao beskonačne redove. Arhimed je svaki rezultat strogo logički provjerio i matematički dokazao. U dokazivanju je koristio metodu iscrpljivanja(ekshaustije) i Arhimedov aksiom. Arhimedov aksiom Za svake dvije površine P i S postoji prirodan broj m takav da je mp > S. Pored toga izumio je tzv. Arhimedov vijak za podizanje velikih količina vode na veću razinu. 8
Jedna legenda govori da je on autor poznatog uzvika Heureka!. Kako je od svog vladara, tiranina Dionizija dobio zadatak da odredi koliko u sastavu njegove krune ima bakra, a koliko zlata, tako da ne oštećuje krunu. Uzvik je navodno nastao dok se Arhimed kupao u kadi i zaključio da je lakši dok je potopljen u vodi negoli kad je vani. To mu je dalo ideju kako riješiti zadani problem. Prema legendi, Arhimeda je usmrtio rimski vojnik kada mu je ovaj rekao da mu ne kvari geometrijske konstrukcije koje je crtao u pijesku ( Noli turbare circulos meos! - Ne dirajte moje krugove! ) Arhimedova aproksimacija broja π Opisujući krugu pravilni 96-erokut Arhimed je dobio ocjenu za vrijednost broja π : 3 1 7 < π < 310 71 Arhimed je bio svjestan da se može dobiti proizvoljno dobra aproksimacija upisivanjem poligona sa sve većim brojem stranica. Arhimedova spirala Transcendentna krivulja koja nastaje kad točka, polazeći iz središta, jednoliko obilazi središte i jednoliko se udaljuje od njega. Arhimedova spirala je putanja točke koja se kreće jednoliko po pravcu koji jednoliko rotira oko polazišta te točke. Polarna jednadžba Arhimedove spirale r = a φ 2π, gdje je a udaljenost točke od polazišta O nakon jednog punog okreta. Izračunao je površinu dijela te spirale koji nastaje tokom jednog punog okreta P = a2 π 3. Slika 9: Arhimedova spirala 9
1.5. Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30. travnja 1777. - Göttingen, 23. veljače 1855.), njemački matematičar. Slika 10: Carl Friedrich Gauss Gauss je već u ranoj mladosti došao do svojih prvih matematičkih otkrića pa su ga smatrali čudom od djeteta. Svi su bili iznenadeni njegovim brzim zbrajanjem brojeva od 1 do 100. Rješenje tog zadatka pronašao je u združivanju brojeva u 50 parova tako da je zbroj svakog para 101. S 19. godina pronašao je konstrukciju pravilnog 17-erokuta, te ubrzo potpuno riješio problem konstrukcije pravilnih mnogokuta. To je opisao u knjizi o teoriji brojeva Pitanja o aritmetici, koja je postala osnovom za učenje aritmetike. Slika 11: Konstrukcija pravilnog 17-erokuta Doktorirao je 1799. dokazom da svaka algebarska jednadžba ima najmanje jedno rješenje. Taj teorem je nazvan osnovni teorem algebre. U djelu Teorija gibanja nebeskih tijela primjenio je za svoj izračun krivulju koju danas nazivamo Gaussova krivulja. Opisao je metodu rješavanja sustava linearnih jednadžbi koju nazivamo Gaussova metoda eliminacije. Njegovo značenje u matematičkoj znanosti najbolje iskazuje titula koju su mu podarili matematičari - princ matematike. 10
2. Prve žene u matematici Do prošlog stoljeća ženska imena su se jako rijetko javljala u matematici i znanosti. Što se tiče kreativnih sposobnosti žena Platon je smatrao da su žene ravnopravne s muškarcima, dok je Aristotel smatrao da su žene nižeg reda od muškaraca. Takvo mišljenje je kasnije, na žalost, prihvaćeno u krščanstvu i provlači se do današnjih dana. Mnogo žena bilo je medu pitagorejcima, no kako su svi žvjeli u jednoj zajednici sve što su radili objavljivano je pod Pitagorinim imenom, teško je točno odrediti broj žena koji je djelovao tamo. Medu ženama matematičarima grčkog doba, kojih je bio nemalen broj (prema Jamblihu, 250-330., koji je sastavio katalog 218 pitagorejaca, medu njima je bilo 17 žena). Teano je bila Pitagorina žena koja je živjela u Grčkoj u 5. stoljeću prije Krista. Vodila je Pitagorejsku školu nakon Pitagorine smrti. Njeno najvažnije djelo je Princip zlatne sredine. 2.1. Zlatni omjer (rez) Dužina duljine d je jednom svojom točkom podijeljena u omjeru zlatnog reza ako se cijela dužina odnosi prema većem od dobivena dva dijela dužine (a) kao taj dio prema manjem dijelu (d-a). d : a = a : (d a). Omjer zlatnog reza τ često možemo vidjeti u matematici, posebno u geometriji i njenim primjenama. Iz jednakosti (1) slijedi τ = d : a = a : (d a) (1) 1 + 1 τ = τ odnosno τ 2 τ 1 = 0 (2) Kako negativni broj prethodne jednadžbe nije moguć jer je τ = d a vrijednost zlatnog omjera je 5 + 1 τ = 1.618. 2 omjer pozitivnih brojeva, 11
Vrijednost recipročna zlatnom omjeru iznosi 1 5 1 τ = 0.618. 2 Pitagorin pentagram čine pravilni peterokut i njegove dijagonale. Slika 12: Pitagorin pentagram Dijagonalu i stranicu vanjskog peterokuta označimo s d i a, dijagonalu i stranicu unutarnjeg peterokuta označimo s d 1 i a 1. Zbog sličnosti vanjskog i unutarnjeg peterokuta vrijedi d : a = d 1 : a 1. odnosno d : a = d 1 : a 1 = (d d 1 ) : (a a 1 ). Kako je d d 1 = a i a a 1 = d 1 = d a, vrijedi d a = d 1 a 1 = d d 1 a a 1 = a d a, pa zaključujemo da dijagonala peterokuta d i stranica peterokuta a imaju omjer zlatnog reza. 2.2. Veza Fibonaccijevog niza sa zlatnim omjerom Johanes Kepler je u svojim zapisima zaključio da gotovo sve drveće i grmlje ima cvjetove s 5 latica pa i plodove s 5 odjeljaka. Ta činjenica ga je potsjetila na pravilni peterokut i zlatni rez. Njegov zapis glasi: Tako je ureden da dva niža člana ulaznog niza zbrojeni daju trećega...i tako do u beskonačnost, dok isti odnos ostaje neprekinut. Nemoguće je dati neki savršeni primjer s okruglim brojevima. No, neka najmanji brojevi budu 1 i 1, za koje moramo zamisliti 12
da nisu jednaki. Zbrojimo ih i zbroj će biti 2; dodamo li tome 1, rezultat je 3, dodamo li tome 2, dobijemo 5; dodamo li tome 3 dobijemo 8...Kako je 5 prema 8, tako je 8 prema 13, a kako je 8 prema 13, tako je, približno, 13 prema 21. Tek 1753. godine škotski je matematičar Robert Simson prvi eksplicitno objavio da omjeri uzastopnih članova teže ka granici koja je zlatni broj τ. Prvih nekoliko omjera izgleda ovako: 1 1, 2 1, 3 2, 5 3, 8 5, 13 8, 21 13, 34 21, 55 34, 89 55, 144 89,... Uzastopni su omjeri izmjenično manji pa veći od zlatnog broja, a nakon 12 članova podudarnost sa τ je točna u četiri decimale. Iz jednakosti (2) zaključujemo odnosno τ n = a n τ + b n, τ n+1 = a n τ 2 + b n τ = a n (τ + 1) + b n τ = a n (τ + 1) + b n τ = (a n + b n )τ + a n, pa slijedi b n+1 = a n i a n+1 = a n + a n 1. Prva jednakost dokazuje da je niz b n translacija niza a n, dok druga dokazuje da je niz a n (dakle i b n ) Fibonaccijev. Dakle, τ n = F n τ + F n 1 (3) Ako niz omjera uzastopnih članova Fibonaccijevog niza F n /F n 1 konvergira prema nekoj vrijednosti p, onda primjenom prethodne jednakosti slijedi τ = τ n τ n 1 = F nτ + F n 1 F n 1 τ + F n 2 = F n F n 1 τ + 1 τ + 1 F n 1 F n 2 = pτ + 1 τ + 1, p τ 2 + τ p = pτ + 1, 1 + τ + τ p = pτ + 1, τ(1 + 1 p ) = τp. Onda vrijedi 1 + 1 p = p, p + 1 = p 2, 13
pa je p = τ. Stoga, zaključujemo da Fibonaccijevi omjeri teže prema zlatnom omjeru. Nadalje, Fibonaccijev niz F n može se prikazati kao razlika dvaju geometrijskih nizova s kvocjentima τ i 1/τ : F n = 1 (τ n ( 1/τ) n ). 5 Povezanost Fibonaccijevog niza brojeva sa zlatnim rezom nije iznenadila istraživače toliko koliko način na koji je Kepler došao do te veze pronalazeći ju u svijetu što nas okružuje. Osim na biljkama i životinjama, Kepler je pronašao zlatni omjer i medu planetima. U njegovim zapisima možemo pronaći da omjer udaljenosti Zemlje od Sunca te Venere od Sunca aproksimira zlatni broj τ. 2.3. Veza zlatnog omjera i Platonovih tijela Kod dodekaedra s jediničnim bridom površina je jednaka 15τ/ 3 τ, a volumen je 5τ 3 /2(3 τ). Ako središta strana nekog Platonovog tijela spojimo bridovima dobit ćemo njemu dualno Platonovo tijelo. Na primjer, oktaedar dualan je kocki, a kocka je na isti način dualna oktaedru, vidi sliku 13. Dodekaedar je dualan ikozaedru, a ikozaedar dodekaedru. Tetraedar je dualan samom sebi. Omjer brida nekog Platnova tijela i brida njemu upisanog dualnog tijela uvijek ima isti iznos: τ 2 / 5. Slika 13: Oktaedar i kocka Pravokutni presjeci ikozaedrasu pravokutnici kojima je omjer stranica zlatni omjer τ (zlatni pravokutnici), Slika 14. Detaljnije u [11] i [12]. 14
Slika 14: Ikozaedar Iz predgovora knjige Synagoge starogrčkog matematičara (druga polovica 3. stoljeća) spominje se žena koja je bila učitelj geometrije po imenu Pandrosian. Nista drugo o njoj nije zabilježeno. Aleksandrija je bila centar matematičkih zbivanja tjekom 700 godina. Od vremena Euklida (oko 340. - 287.prije Krista) do smrti Hipatije u 5. st. Grad je osnovao Aleksandar Veliki 332 pr.kr. bio je poznat po svojoj knjižnici i muzeju. Knjižnica je imala više od 700 000 roli papirusa koje su sadržavale cijelo znanje antičkog doba. Ona je potpuno uništena u 7. stoljeću u požaru koji su izazvali Arapi. Najveći aleksandrijski učenjaci su bili Euklid (oko 365 oko 300 pr.kr.), Apolonije iz Perge (oko 250 oko 190 pr.kr), Eratosten (oko 262 oko 190 pr.kr), Aristarh (oko 300 oko 240 pr.kr) i Heron (oko 65. oko 125.). Hipatija je živjela u Aleksandriji od 370. godine. Bila je prva poznata žena matematičarka i dala je važan doprinos razvoju matematike. Kćer Teona jednog od najučenijih osoba u Aleksandriji, koji je u to vrijeme bio učenjak i profesor matematike na sveučilištu. Kako je Hipatija odrastala sve se više zanimala za matematiku i astronomiju. Osmislila je hidrometar i srebreni astrolab, koji je služio za mnoga astronomska mjerenja na nebu. Bila je posljednja knjižničarka slavne Aleksandrijske knjižnice. Uz Teonovu pomoć postala je i vrsna govornica. Oko 400. godine dolazi na čelo Platonove akademije u Aleksandriji. Pomaže svom ocu u pisanju komentara Ptolomejevog Almagesta i u stvaranju novog izdanja Euklidovih Elemenata koje je kasnije postalo osnova svih sljedećih izdanja. Napisala je kritiku djela Apolonijeve Konike. Hipatijin najpoznatiji rad je rad o konikama, kao presjecima stošca ravninom. Pojednostavnila je do tada nerazumljive stvari i postigla da to 15
djelo inspirira mnoge matematičare kroz stoljeća. Kršćani su njezine filozofske poglede držali izrazito poganskim, te su se osjećali ugroženi njezinim učenjem i djelovanjem. Godine 415. na sred ulice su ju kamenovali kršćani jer su smatrali da ženi nije mjesto u znanosti. Usprkos tragičnom završetku njezina života, njezina djela ostala su živa sve do danas. Snimljen je i film Agora 2009. inspiriran njezinim životom i djelovanjem, postigla je nevjerojatno puno za ženu njenog vremena. 2.4. Konike presjeci stošca ravninom Povijesni pregled Kako se Hipatija bavila uredenjem Apolonijevih konika, u daljnjem radu ćemo proanalizirati konike. Konikama su se bavili mnogi matematičari kao Euklid i Arhimed. Arhimedova djela sadrže neke važne rezultate o svojstvima konika, pogotovo parabole. Najveći antički pisac o konikama je svakako Apolonije iz Perge (262. pr.kr - 190.pr.Kr). Njegov poznati rad o konikama se sastoji od osam knjiga. Apolonije je prvi uočio da se na stožcu - bio on kos ili uspravan, šiljast ili tup mogu dobiti sve tri krivulje kao presjek stošca i ravnine (vidi Sliku 16). Slika 15: Presjeci stožca i ravnine 16
Koju krivulju ćemo dobiti ovisi o nagibu ravnine koja siječe stožac. Kod uspravnog stošca, ravnina koja je okomita na os stošca će dati kružnicu. Što je ravnina bliža vrhu stošca to je kružnica manja i u samom vrhu stošca prelazi u točku. Ukoliko ravninu malo nagnemo, dobivamo elipsu. Postavimo li ravninu tako da je paralelna s jednom od izvodnica stošca kao presjek dobivamo parabolu. Ukoliko je ravnina postavljena tako da ne prolazi vrhom stošca i paralelna je s osi stožca dobivamo hiperbolu. Apolonije je uveo i nazive koje danas koristimo: elipsa, hiperbola i parabola. Od antičkih velikana geometrije je još i Papo iz Aleksandrije (290. 350.). Njegovo glavno djelo poznato kao Colection je važno jer sadrži navode i komentare rezultata svojih prethodnika. Papo je uveo pojmove fokusa i direktisa hiperbole. Kružnica Definicija 1 Kružnica je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od jedne čvrste točke - središta kružnice. Točka S je središte (centar) kružnice, a udaljenost od točke S do bilo koje točke na kružnici je polumjer (radijus) te kružnice, koji označavamo s r. Slika 16: Kružnica Neka je P (x, y) bilo koja točka kružnice sa središtem u S(p, q) i polumjera r, tada je udaljenost točaka P i S jednaka r i pišemo d(p, S) = r. d(p, S) = (x p) 2 + (y q) 2 = r Nakon kvadriranja (x p) 2 + (y q) 2 = r 2 17
Što je jednadžba kružnice kojoj je točka S(p, q) središte, a r polumjer. Elipsa Definicija 2 Neka su F 1 i F 2 dvije različite čvrste točke ravnine i neka je a pozitivan realan broj takav da je 2a > d(f 1, F 2 ). Elipsa je skup točaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od točaka F 1 i F 2 konstantan i jednak 2a. Slika 17: Elipsa Točke F 1 i F 2 su žarišta ili fokusi elipse. Polovište O dužine F 1 F 2 zovemo središte ili centar elipse. Pravac kroz žarišta siječe elipsu u točkama A i B. Dužinu AB zovemo glavna os elipse, a dužine OA i OB glavne poluosi. Pravac koji prolazi središtem elipse i okomit je na glavnu os siječe elipsu u točkama C i D. Dužinu CD zovemo sporedna os elipse, a dužine OC i OD sporedne poluosi. Točke A, B, C i D su tjemena elipse. Za bilo koju točku T elipse, dužine F 1 T i F 2 T zovemo radijvektorima točke T. Realni broj e zovemo linearni ekscentricitet elipse. (Vidi sliku 17. i sliku 18.) Slika 18: 18
Duljina glavne osi je 2a, a duljina glavne poluosi a. Prema tome ako je točka O ishodište s koordinatama (0, 0), točka A( a, 0), B(a, 0), C(0, b) i D(0, b). Kako točka D pripada elipsi i za nju vrijedi: d(d, F 1 ) + d(d, F 2 ) = 2a Zbog simetrije slijedi d(d, F 1 ) = d(d, F 2 ) = a Primjenom Pitagorina poučka na trokut ADF 2 slijedi e 2 + b 2 = a 2. Za linearni ekscentricitet vrijedi jednakost e 2 = a 2 b 2. Po definiciji za svaku točku T (x, y) koja leži na elipsi mora vrijediti d(t, F 1 ) + d(t, F 2 ) = 2a Budući da su žarišta točke F 1 i F 2 s koordinatama F 1 ( e, 0) i F 2 (e, 0) pa vrijedi (x ( e))2 + (y 0) 2 + (x e) 2 + (y 0) 2 = 2a, (x + e)2 + y 2 + (x e) 2 + y 2 = 2a, (x + e)2 + y 2 = 2a (x e) 2 + y 2. Kvadriramo lijevu i desnu stranu jednakosti (x + e) 2 + y 2 = 4a 2 4a (x e) 2 + y 2 + (x e) 2 + y 2, 4a (x e) 2 + y 2 = 4a 2 + (x e) 2 + y 2 (x + e) 2 y 2, 4a (x e) 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 2xe + e 2 x 2 2xe e 2, 4a (x e) 2 + y 2 = 4a 2 4xe : 4, a (x e) 2 + y 2 = a 2 xe. Još jednom kvadriramo i lijevu i desnu stranu pa dobijemo a 2 (x 2 2xe + e 2 + y 2 ) = a 4 2a 2 xe + x 2 e 2, a 2 x 2 2a 2 xe + a 2 e 2 + a 2 y 2 = a 4 2a 2 xe + x 2 e 2. Sad sve članove koji sadrže x i y prebacimo na lijevu, a ostalo na desnu stranu a 2 x 2 e 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 a 2 e 2, (a 2 e 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 e 2 ). Iskoristimo jednakost b 2 = a 2 e 2. Slijedi osna jednadžba elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. 19
Hiperbola Definicija 3 Neka su F 1 i F 2 dvije različite čvrste točke ravnine i neka je a pozitivan realan broj takav da je 2a > d(f 1, F 2 ). Hiperbola je skup točaka ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od točaka F 1 i F 2 konstantna i jednaka 2a. Slika 19: Hiperbola Kao kod kružnice i elipse, tako i kod hiperbole možemo izvesti njenu jednadžbu. Krećemo od definicije hiperbole, dakle za svaku njenu točku T (x, y) mora vrijediti da je: d(t, F 1 ) d(t, F 2 ) = ±2a. Kako žarišta imaju koordinate F 1 ( e, 0) i F 2 (e, 0) prethodnu jednakost možemo pisati u obliku (x ( e))2 + (y 0) 2 (x e) 2 + (y 0) 2 = ±2a, (x + e)2 + y 2 (x e) 2 + y 2 = ±2a, (x + e)2 + y 2 = ±2a + (x e) 2 + y 2. Kvadriranjem lijeve i desne strane dobivamo Odnosno (x + e) 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a (x e) 2 + y 2 + (x e) 2 + y 2. 20
4a (x e) 2 + y 2 = 4a 2 + (x e) 2 + y 2 (x + e) 2 y 2, 4a (x e) 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 2xe + e 2 x 2 2xe e 2, 4a (x e) 2 + y 2 = 4a 2 4xe : 4, a (x e) 2 + y 2 = a 2 xe. Još jednom kvadriramo i lijevu i desnu stranu, pa imamo a 2 (x 2 2xe + e 2 + y 2 ) = a 4 2a 2 xe + x 2 e 2, a 2 x 2 2a 2 xe + a 2 e 2 + a 2 y 2 = a 4 2a 2 xe + x 2 e 2. Sve članove koji sadrže x i y prebacimo na lijevu, a sve ostalo na desnu stranu, dobijemo a 2 x 2 e 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 a 2 e 2, (a 2 e 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 e 2 ). Kako je a < e, onda je: postoji realni broj b takav da je a 2 e 2 < 0, a 2 e 2 = b 2. Uvrstimo to u gornji izraz, pa dobijemo: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( b 2 ), b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Nakon množenja s (-1) dobivamo osnu jednadžbu hiperabole b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2. Dakle, tu jednadžbu zadovoljavaju sve točke T (x, y ) koje pripadaju hiperboli sa žarištima F 1 ( e, 0) i F 2 (e, 0) i za koje je d(t, F 1 ) d(t, F 2 ) = ±2a, 2a < d(f 1, F 2 ), pri čemu je e 2 = a 2 + b 2 Realni broj a zovemo duljina realne poluosi hiperbole, a realni broj b duljina imaginarne poluosi hiperbole. Podijelimo li osnu jednadžbu s a 2 b 2 dobivamo segmentni oblik jednadžbe hiperbole x 2 a 2 y2 b 2 = 1. 21
Parabola Definicija 4 Neka je točka F čvrsta točka, a d čvrsti pravac ravnine i neka točka F ne pripada pravcu d. Parabola je skup točaka ravnine za koje je udaljenost od točke F jednaka udaljenosti od pravca d. Slika 20: Parabola Točka F je žarište ili fokus parabole. Pravac d je ravnalica ili direktrisa. Pravac koji sadrži žarište i koji je okomit na ravnalicu zovemo os parabole. Sjecište parabole i njene osi zovemo tjeme. Udaljenost žarišta F od ravnalice d zovemo poluparametar parabole i označavamo s p. Za bilo koju točku T s parabole, dužinu T F zovemo njenim radijvektorom (slika 21). Iz definicije parabole znamo da je za svaku njenu točku T (x, y) udaljenost d(t, d) jednaka udaljenosti d(t, F ), gdje je F ( p 2, 0). Udaljenost d(t, d) možemo pisati kao: d(t, d) = d(o, d) + x Kako je Vrijedi Dakle, sad uvijet d(o, d) = p 2, d(t, d) = p 2 + x. d(t, d) = d(t, F ) Prelazi u p 2 + x = ( x p ) 2 + (y 0) 2 2 22
Kvadriramo lijevu i desnu stranu, pa dobivamo da je: ( p ) 2 ( 2 + x = x p ) 2 + y 2 2 ( p ) 2 ( p ) 2 + px + x 2 = x 2 px + + y 2 2 2 2px = y 2 y 2 = 2px To je osna jednadžba parabole kojoj je točka F ( p, 0) žarište, a pravac x = p ravnalica. 2 2 Ovu jednadžbu zovemo i tjemenom jednadžbom parabole jer joj je tjeme u ishodištu. 23
3. Žene u matematici (18. - 20. stoljeće) Maria Gaetana Agnesi rodena je 16. svibnja 1718. u Milanu. Jedna je od najvažnijih i najsposobnijih osoba 18. stoljeća. Doživljavali su je kao čudo od djeteta, jer je s pet godina svladala francuski, a s devet hebrejski, latinski i grčki jezik. Njen otac Pietro Agnesi bio je profesor matematike. U njihovom je domu bilo okupljalište intelektualaca, a ona je sudjelovala u mnogim filozofskim i matematičkim raspravama s njima. Objavljuje kolekciju filozofskih eseja 1738. godine Propositiones Philosophicae gdje iznosi svoja razmišljanja o potrebi obrazovanja žena. Počela je raditi na svom najznačajnijem djelu Instituizioni analitiche kad je imala 20 godina. Kad je objavljen izazvao je senzaciju u akademskom svijetu, postao je jedan od glavnih udžbenika matematičke analize. U prvom dijelu udžbenika bavila se elementarnim problemom minimuma, maksimuma, tangente i točaka infleksije, u ostalima daje svoja objašnjenja o diferencijalnom i integralnom računu. Najpoznatija je po Vještičjoj krivulji ili krivulji Marije Agnesi u obliku zvona, a konstruira se na sljedeći način. Neka je dana kružnica promjera a, sa središtem u točki (0, a/2) na y osi. Nacrtamo pravac y = a i na njemu izaberemo točku A koju spojimo sa ishodištem. Tako dobijemo dužinu OA. Sa B označimo presjek dužine OA i kružnice. Sa P ćemo označiti točku presjeka pravca na kojem leži točka A i na njega okomitog pravca koji prolazi kroz točku B. Kad se točka A pomiče po pravcu y = a, pratimo li kretanje točke P nastaje krivulja Marije Agnesi (Vidi sliku 21). Slika 21: Krivulja Marije Agnesi Njezina jednadžba je y = a3 x 2 + a 2. 24
Površina ispod krivulje iznosi πa 2 i četiri je puta veća od površine kruga sa središtem u točki ( ) 0, a 2 i polumjerom a. 2 Nakon uspjeha svoje knjige, postala je članicom Bolonjske akademije znanosti i postala prva profesorica matematike, predavala je na sveučilištu u Bologni. Po prirodi je bila sramežljiva, nije imala velike ambicije postati poznata matematičarka, više joj je to bio hobi. Čini se da joj je otac bio glavna inspiracija za njen interes za matematiku, jer nakon očeve smrti 1752. ostatak svog života posvetila je siromašnim i bolesnim ljudima. Postala je upraviteljica doma za siromašne u kojemu je umrla 9. siječnja 1799. godine. Sophie Germain rodena je u Parizu 1. travnja 1776. Otkrila je čar matematičke znanosti u knjižnici svog oca Ambroise-Francoisa već s 13 godina. U jednoj knjizi je naišla na legendu o smrti Arhimeda koji je bio toliko zamišljen nad svojim crtežom u pijesku da je zaboravio odgovoriti na pitanje rimskog vojnika, što ga je koštalo života. Zaključila je kako je taj problem sigurno zanimljiv i počela je temeljito učiti matematiku. Njezini roditelji smatrali su kako je neprimjereno da se jedna djevojka bavi matematikom, pa su joj to onemogućavali na razne načine. Pobijedila je njena velika želja i roditelji su morali popustiti. U Parizu je otvorena škola Ecole Polytechnique, djevojkama je upis bio zabranjen. Sophie je uspjela nabaviti predavanja profesora i učiti. Najviše ju je zanimao rad J.L. Lagrangea, a na kraju semestra pod pseudonomom Monsieur LeBlanc je predala svoje bilješke Lagrangeu. Upotrijebila je muško ime u pismima kako bi spriječila predrasude prema znanstvenicima ženskog spola i kako bi privukla ozbiljnu pozornost. Lagrange je bio prilično impresioniran i želio je upoznati studenta koji je to napisao. Jako se iznenadio kad je shvatio da je to žena, ali prepoznao je njene mogućnosti i postao joj mentorom. Dopisivala se i s C.F. Gaussom o mnogim matematičkim temama, a najviše ju je zanimao njegov rad iz teorije brojeva, pa mu je slala i neka svoja rješenja. Ostvarila je značajan napredak u smjeru dokazivanja Velikog Fermatovog teorema. Teorem 1 (Veliki Fermatov teorem) Ne postoje pozitivni cijeli brojevi x, y, z takvi da vrijedi: za n > 2. x n + y n = z n 25
Njezin teorem glasi da ako postoji rješenje Teorema 1 za n = 5, onda sva tri broja moraju biti djeljiva sa 5. Ovaj teorem je razdvojio Veliki Fermatov teorem na dva slučaja: prvi obuhvaća brojeve koji nisu djeljivi s pet, a drugi one koji jesu. Bio je to značajan rezultat koji je smanjio moguće slučajeve pri dokazivanju Velikog Fermatovog teorema. Teorem je, nakon više od tristo godina bezuspješnog pokušavanja, napokon dokazan 1994. godine. Teorem 2 (Sophie Germain) Ako x n + y n = z n i n 3, 2n + 1 prosti brojevi, tada n mora dijeliti xyz. Za prirodan broj p kažemo da je prost broj Sophie Germain ako su brojevi p i 2p + 1 prosti. Neki od prostih brojeva Sophie Germain su 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53... Primjer: Odredite sve pravokutne trokute u kojima su duljina hipotenuze i duljina jedne katete prosti brojevi Sophie Germain, a duljina druge katete je prirodan broj. Jedini takav trokut onaj sa stranicama 3, 4, 5. Pretpostavimo da su p, q i n duljine stranica pravokutnog trokuta, p duljina hipotenuze, q duljina jedne katete, p i q prosti brojevi Sophie Germain, i n prirodan broj. Imamo: q 2 = p 2 n 2 = (p n)(p + n). Kako je q prost broj, jasno vrijedi p - n = 1, p + n = q 2, a odavde je p = (q 2 + 1) / 2. Sada, kako je p prost broj Sophie Germain, to je i broj 2p + 1 = q 2 + 2 prost. Neka je q = 3. Tada je p = 5 i n = 4, p i q doista jesu prosti brojevi Sophie Germain, pa Pitagorina trojka (3,4,5) zadovoljava sve uvjete zadatka. Tvrdimo da je ona jedina takva Pitagorina trojka. Zaista, neka je q < 3 ili q > 3. Tada je q kongruentno 1 ili -1 po modulu 3. U svakom slučaju, q 2 je kongruentno 1 po modulu 3, pa je broj q 2 + 2 djeljiv s 3 i samim tim složen (jer q ne može biti 1). Zato p ne može biti prost broj Sophie Germain. Dakle, (3,4,5) je jedino rješenje. U diferencijalnu je geometriju uvela pojam srednje zakrivljenosti plohe. Najviše je pridonijela teoriji brojeva i teoriji elasticiteta. Francuska Akademija znanosti objavila je natječaj za matematičko objašnjenje fizikalne studije o elastičnim površinama. Sophie je time bila oduševljena i osvojila nagradu. Umrla je 27. lipnja 1831. od raka dojke. Usprkos manjku formalnog obrazovanja i društvenim predrasudama, Sophie Germain je uspjela postići vrlo značajne matematičke rezultate. 26
Ada Byron King je rodena u Londonu 10. prosinca 1815. Kći je Lorda Byrona i Anabelle Milbanke. Bila je suradnica Charles Babbagea, slavnog izumitelja analitičkog stroja. Smatra se prvom programerkom, a po njoj je nazvan programski jezik Ada. Učila je od svoje majke, jer u ono vrijeme ženama nije bilo dopušteno pohadati nastavu na sveučilištu. Voljela je matematiku, ples, gimnastiku, jahanje i sviranje harfe.bila je jedan od pionira računalne industrije. Predvidila je znanstvene i praktične zadatke koje moderno računalo može raditi, kao što je stvaranje crteža i skladanje glazbe. Htjela je letjeti, pa je dizajnirala leteći stroj. Proučavajući anatomiju ptica saznala je da krila moraju biti proporcionalna tijelu. Kad joj je bilo 17 godina čula je za Charlesa Babbagea, engleskog matematičara i izumitelja. Dvije godine poslije bila je u stanju razgovarati s njim o njegovim matematičkim idejama i jedna od rijetkih ljudi koja je uspjela razumjeti put njegovog rada. Sa 19 godina udala se za Vilijama Kinga i postala Vojvotkinja od Lovelacea. On je bio član Kraljevskog društva, što je Adi omogućilo pristup knjigama i radovima koji su joj bili potrebni u radu. S njim je imala troje djece Byrona, Annabellu i Ralpha Gordona. Za sobom je ostavila više originalnih radova, potpisanih pseudonimom A.L.L., a čije se pravo značenje razotkrilo tek 30-ak godina kasnije. Charles Babbage je želio stvoriti stroj koji će brojati i mjeriti, trebao je izračunati do 50 decimalnih mjesta i pohraniti do 1000 brojeva. Planirano je da stroj pohrani upute na bušene kartice poput onih koje se koriste u strojevima za tkanje. Uzeo ju je za učenicu, a ona je to povjerenje opravdala tako što je opsežnim bilješkama opisala mogućnost analitičkog stroja koji se kasnije počeo koristiti u praktične i znanstvene svrhe. Predložila je Babbageu način na koji stroj može izračunati abernoulijeve brojeve. Dala je eksplicitan opis algoritma za izračunavanje Bernoulijevih brojeva i tako postala prvi programer u povijesti. Taj rad je 1843. objavljen u Taylors Scientific Memoirs, naravno, potpisan inicijalima jer je bilo krajnje neprikladno da žena njenog društvenog statusa objavljuje matematički rad. Kad joj je bilo 25 godina pisala je upute za društvene igre Solitaire gdje je opisala svaki potez. Smatra se to prvim računalnim programom, iako tada nije bilo računala. Augusta Ada King, grofica Lovelace, umrla je 27. studenog 1852. godine, od raka maternice koji je liječen puštanjem krvi. Imala je samo trideset i šest godina. 27
Mary Everest Boole rodena je u Engleskoj 1832. godine. Otac joj se jako razbolio i zbog njegovog liječenja obitelj se preselila u Francusku. Matematikom ju je oduševio njen učitelj Deplace jer je imao posebno dobar način predavanja i znao je svojim učenicima približiti matematiku na zanimljiv način. Obitelj se vratila u Englesku kad joj je bilo 11 godina, a ona je morala prekinuti školovanje. Sama je nastavila s učenjem matematike u knjižnici svoga oca i uživala u njoj. Kroz učenje postavljala su joj se mnoga pitanja na koje si nije znala dati odgovore. Prilikom jednog posjeta rodbine u Irskoj dobila je odgovore na svoja pitanja. Tamo je upoznala poznatog matematičara Georgea Boola izumitelja Boolove algebre i sve što ju je zanimalo vezano uz matematiku saznala je u druženju s njim. Kad se vratila u Englesku često su se dopisivali. George joj je bio velika potpora nakon smrti njezina oca, na kraju su se i vjenčali, iako je ona bila 17 godina mlada. Imali su pet kćeri, a Mary je ostala udovica nakon devet godina braka. Kako bi skrenula misli od tragične sudbine koja ju je snašla, zaposlila se kao knjižničarka na Queens Colledgeu, jer ženama u to vrijeme nije bilo dopušteno predavati. Bila je ponosna na svoje široko znanje matematike i voljela ga je dijeliti s drugima, zbog toga je počela pomagati studentima. Svi su bili oduševljeni njenim načinom predavanja matematike i razumjevanju kako potaknuti studente da uče matematiku i prirodne znanosti. Kako bi pomogla djeci oko geometrije izmislila je lijepljenje krivulja, danas poznato kao linijska geometrija. Njezina prva knjiga Priprema djece za znanost imala je velik utjecaj na razvoj školstva. Umrla je 1916. godine u dobi od 84 godine. Sofija Vasiljevna Kovalevskaja rodena je 15. Siječnja 1850. U Moskvi. Izvanredna žena poznata i kao Sonia. Nije bila samo veliki matematičar, već pisac i borac za prava žena u 19. stoljeću. Njene matematičke sposobnosti pokazale su se kad je imala 13 godina. U nedostatku tapeta roditelji su na zidove njezine sobe zalijepili lekcije Ostrogradskog. Sofia je s vremenom počela razumijevati te lekcije. Udala se s 18 godina iz koristi, jer mlade žene u ono vrijeme nisu mogle putovati same, a najbliže sveučilište bilo je u Švicarskoj. Poslije udaje otputovala 28
je s mužem u Njemačku. U Berlinu ju je poučavao Weierstrass, jer sveučilište u Berlinu nije primalo žene. Nakon četverogodišnjeg rada s Weierstrassom u Gottingenu dodijeljen joj je doktorat summa cum laude. U to vrijeme bavila se diferencijalnim jednadžbama i Abelovim integralima. Vratila se kući, jer u Berlinu nije mogla pronaći posao. Prvi put se zbližila s mužem koji joj je bio velika potpora kad joj je umro otac. Rodila je kćer, ali se brak ipak nije održao. Počela je sve više proučavati matematiku kako bi zaboravila na obiteljsku tragediju, jer je njen muž Vladimir dvije godine nakon rastave počinio samoubojstvo. Zaposlila se u Stockholmu, gdje je dobila posao docenta, a uskoro i profesora na sveučilištu. Imenovana je urednikom matematičkog časopisa Acta Mathematica, koji je i danas jedan od najprestižnijih matematičkih časopisa u svijetu. U njemu je objavljen njen prvi rad o kristalima. Njezin najvažniji znanstveni rad bio je potpuno rješenje zadatka o rotaciji čvrstog tijela oko fiksne točke. Za taj joj je rad 1886.g. dodijeljena nagrada Prix Bordin Francuske akademije znanosti. Od posljedice upale pluća 10. veljače 1891. ugasio se njen život. Charlotte Angas Scott rodena je u Engleskoj 1858. godine. U to vrijeme smatralo se u društvu kako ženama nije mjesto u znanosti, već u odgoju djece i brigom za kuću i obitelj. Osnovno obrazovanje dozvoljeno je samo ženama iz visokih slojeva. Charlotte se nastojala izboriti za promjenu ženine uloge u društvu i borila se za jednakost spolova. Svojim radom, zalaganjem i učenjem postala je prvom ženom u Engleskoj koja je stekla doktorat iz matematike. Pristupila je završnom ispitu na Cambridgeu 1880. godine. Rezultatima koje je postigla bila je medu osam najboljih studenatana sveučilištu, ali joj nije dopušteno prisustvovati dodjeli nagrada jer je bila žena. To ju je potaklo da bude još upornija u svom radu. Diplomirala je 1882. godine, a doktorirala 1885. godine. Svojim velikim dostignućima, upornošću i radom na sveučilištu postigla je da ženama bude omogućen upis na Cambridge. Četiri godine je predavala na Girton Collegeu, bila je jedna od prvih žena kojoj je ponuden posao. Prihvatila je ponudu predavača na Mawr Collegeu u Sjedinjenim Američkim Državama. Uvela je diplomski i poslijediplomski program matematike na Bryn Mawru. Objavila je brojne matematičke članke iz aritmetike, algebre i geometrije, bila je član nekoliko matematičkih društava i organizacija. Umirovljena je sa 60 godina i vratila se u Englesku, gdje je živjela do 1931. godine. 29
Emmy Amalie Noether rodena je 23. ožujka 1882. U Njemačkoj. Otac joj je bio poznati matematičar Max Noether, jedan od najznačajnijih matematicara koji su se bavili algebarskom geometrijom. U ranoj mladosti proučavala je jezike francuski i engleski. Majka ju je učila tradicionalnim vještinama žena onoga vremena kuhati i svirati klavir. U osamnaestoj godini upisala je studij matematike na sveučilištu u Erlangenu, kao slušač, jer ženama nije bilo dopušteno studirati. Nakon dvije godine postala je punopravni student, gdje je i doktorirala. Seli u Gottingen na poziv David Hilberta i Felix Kleina koji su smatrali da im ona može pomoći u radu na jednoj od Einsteinovih teorija. Zaposlila se kao profesor na sveučilištu. Studenti koji su pohadali njezina predavanja postali su joj sljedbenicima, motivirala je studente da razviju svoje vlastite ideje. Jako je brinula o studentima, te im uvijek bila spremna pomoći. 1932. godine dobila je Memorijalnu nagradu za širenje matematičkog znanja. Emmy Noether prihvatila je ponudu za posao na sveučilištu u Bryn Mawru, gdje je radila sve do svoje smrti 1935. godine. Emmy Noether dala je velik doprinos matematici. Bavila se apstraktnom algebrom, s posebnim naglaskom na prstene, grupe i polja. Noetherini prsteni, nazvani njoj u čast, predstavljaju vrlo važan pojam u algebri i algebarskoj teoriji brojeva. Neka je A komuntativan prsten. Tada su sljedeća tri svojstva ekvivalentna: 1. Svaki ideal I u A je konačno generiran, tj. postoje a 1,..., a n takvi da je I = a 1 A + a 2 A +... + a n A. 2. Ako imamo niz ideala I 1 I 2 u A tada je on stacionaran. 3. Svaki neprazan skup S ideala u A posjeduje maksimalan element s obzirom na inkluziju. Prsten A u kojem vrijedi jedno od gornjih svojstava naziva se Noetherin prsten. Za detalje pogledati [7]. Naglasimo kako je svojstvo Noetherinosti fundamentalni pojam u algebra. Naime, kako u komutativnoj, tako i u nekomutativnoj teoriji ima cijelo mnoštvo prstena koji su Noetherini. Iako to nije lako za dokazati. 30
Mary Cartwright rodena je 17.prosinca 1900. godine u Aynhou u Engleskoj. Diplomirala je na sveučilištu u Oxfordu 1923., samo dvije godine nakon što je to bilo dozvoljeno ženama. Godine 1928. vratila se na Oxford i stekla titulu doktora matematike. Na Cambridgeu je nastavila svoj rad na teoriji funkcija, gdje je 1935. godine imenovana predavačem matematike. Tijekom 40-ih godina radila je s Johnom Littlewoodom na rješavanju Van der Polove jednadžbe. Cijeli razvoj radija u Drugom svjetskom ratu ovisio je o visokonaponskim pojačalima i bilo je pitanje života i smrti imati pojačalo koje je radilo sve što je bilo potrebno. Vojnici su se mučili s pojačalima koja su se kvarila i za to krivili proizvodače. Cartwright i Littlewood otkrili su da nisu krivi proizvodači, nego jednadžba. Otkrili su da povećanjem snage pojačala rješenja jednadžbe postaju sve više i više iregularna. Pri niskoj snazi rješenje ima isti period kao i ulaz, no kako raste snaga, period rješenja se udvostručuje i konačno se dobije neperiodično rješenje. Mary je imala velik doprinos u teoriji analitičkih funkcija. Objavila je brojne članke o klasičnoj analizi i diferencijalnim jednadžbama. Godine 1951. izabrana je za predsjednicu Londonskog matematičkog društva, 1964. primila je Sylvesterovu medalju Kraljevskog društva, 1968. De Morganovu medalju Londonskog matematičkog društva, a 1969. dobila je titulu lady. Umrla je u Cambridgeu 3. travnja 1998. Julia Bowman Robinson rodena je 8. prosinca 1919. godine u St. Louisu, Missouri. Zbog bolesti nije mogla ići u školu. Privatni učitelj ju je poučavao gradivo od petog do osmog razreda. Počela se zanimati za matematiku u devetom razredu kad je nastavila svoje školovanje. Matematika u to vrijeme nije bila popularna mladim djevojkama, zato je bila jedina djevojka u svom razredu. Na zadnjoj godini studija prešla je na Berkeley, gdje su bili mnogi koji su se sa istim žarom kao i ona posvetili proučavanju matematike. Naučila je mnogo od svog profesora Raphaela M. Robinsona, koji joj je držao predavanja iz teorije brojeva. Kako je ta predavanja pohadalo samo nekoliko studenata, mnogo su vremena provodili u druženjima, što je dovelo do toga da se Julia i Raphael zbliže, a kasnije i 31
vjenčaju. Radila je u statističkom laboratoriju na Berkeleyju na tajnim vojnim projektima, jer je bilo pravilo na sveučilištu da članovi obitelji ne mogu predavati na istom odjelu. Strašno ju je pogodilo i dovelo do depresivnog stanja kad je saznala da zbog bolesti iz djetinjstva neće moći imati djecu. Kako bi spriječila to svoje stanje, počela je pisati doktorat na Berkelyju o nerješivosti jednadžbi na polju racionalnih brojeva. Doktorirala je 1948. godine. Nakon toga počela je svoj rad na desetom Hilbertovom problemu - naći algoritam za rješenje diofantskih jednadžbi s kojim se bavila veći dio svoje karijere. Napravila je osnovu koju je Yuri Matijašević 1971. godine iskoristio da dokaže kako ne postoji jedinstvena metoda za odredivanje rješivosti. Postala je prva matematičarka koja je primljena u Nacionalnu znanstvenu akademiju 1975. Imenovana je redovnim profesorom na Berkeleyju 1976. godine, 1982. postala je prva predsjednica Američkog matematičkog društva, a primljena je i u Američku akademiju znanosti i umjetnosti. U ljeto 1984. saznala je da boluje od leukemije, umrla je godinu dana kasnije. Louise Szmir Hay rodena je 1935. u Metzu u Francuskoj. Njeno zanimanje za matematiku pokazalo se u desetom razredu, a za to je bio zaslužan njen profesor David Rosenbaum jer je preferirao logičko predavanje i očekivao da studenti razumiju što rade kad pišu dokaze. Bila je iz siromašne obitelji i zbog toga je počela davati instrukcije iz matematike. Naučila je programirati i sve do diplome radila je u školi za elektronički inženjering. Diplomirala je 1956. godine na Swarthmore Collegeu i željela je upisati poslijediplomski studij. Udala se za Johna Haya studenta eksperimentalne psihologije. Kako ju je zanimala matematička logika bilo joj je teško naći studij koji je nudio doktorat, a da ne mora boraviti na sveučilištu. Doktorirala je tek 1965. godine jer je rodila blizance. Kao redovni profesor zaposlila se u Chicagu. Imenovana je voditeljem Odjela za matematiku 1980. godine kao jedina žena koja vodi matematički odjel u to vrijeme. Velik je njen doprinos matematičkoj logici, bila je savršen predavač i jako angažirana oko svojih studenata. Umrla je 1989. godine od raka. 32