Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme

Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Osijek, 2014

Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Martina Dorić Simetrične matrice, kvadratne forme i matrične norme Završni rad Voditelj: docdrsc D Marković Osijek, 2014

Sažetak Matrice su koristan alat u linearnoj algebri Bitnu klasu matrica čine simetrične matrice Imaju zanimljiva spektralna svojstva poput realnih svojstvenih vrijednosti i ortogonalnih svojstvenih vektora koji omogućavaju posebni tip dijagonalizacije Kvadratne forme su polinomi koji se na jedinstven način mogu povezati sa simetričnim matricama Pomoću simetričnih matrica se mogu odrediti mnoga svojstva kvadratnih formi i obratno Kvadratne forme su često korisne u karakterizacijama simetričnih matrica Kvadratne forme se mogu transformirati da bi računanje s njima bilo jednostavnije Matrična norma je mjera matrica koja je čest alat u numeričkoj linearnoj algebri Postoji mnogo vrsta matričnih normi, no sve su povezane nejednakostima Ključne riječi matrice, simetrične matrice, dijagonalizacija, kvadratne forme, definitnost, matrične norme Abstract Matrices are useful tool in linear algebra Symmetric matrices are important class of matrices They have interesting spectral characteristics, such as real eigenvalues and orthogonal eigenvectors which allow a special type of diagonalization Quadratic forms are polynomials which can in a unique way be connected with symmetric matrices By using symmetric matrices, a lot of characteristics of quadratic forms can be determined Also, quadratic forms are useful in characterization of symmetric matrices Quadratic forms can be transformed so that calculations would be easier to perform Matrix norm is a measure of matrices which is often used tool in numerical linear algebra There are many types of matrix norms, but they are all connected with inequalities Key words matrices, symmetric matrices, diagonalization, quadratic forms, definiteness, matrix norms

Uvod Veliki dio linearne algebre bavi se matricama Mnoge druge grane matematike koriste matrice u rješavanju matematičkih problema No, matrice su koristan alat i u mnogim područjima drugih znanosti, a koriste se čak i u modernim tehnologijama Cilj je ovog rada opisati nekoliko pojmova vezanih uz matrice To su prvo simetrične matrice, koje su najučestalija klasa matrica u primjeni Zatim kvadratne forme koje imaju primjenu u algebri, analizi, topologiji, geometriji Treći pojam su matrične norme koji su bitan alat u numeričkoj matematici U prvom poglavlju se uvode osnovne definicije i tvrdnje matrične algebre potrebne za sljedeća poglavlja Tu se definira pojam matrice i vektora i uvode oznake Definiraju se osnovni tipovi matrica, operacije s matricama i vektorima te dvije značajne relacije ekvivalencije matrica Na kraju poglavlja se navode osnovna matrična svojstva: determinanta, trag, rang te svojstvene vrijednosti Tema drugog poglavlja su realne simetrične matrice, njihova svojstva te dijagonalizacija simetričnih matrica U trećem poglavlju se definira pojam kvadratne forme te se razmatra veza kvadratnih formi i simetričnih matrica Opisuju se transformacije i dijagonalizacija kvadratnih formi i bitno svojstvo kvadratnih formi - definitnost U zadnjem poglavlju se definiraju matrične norme, navode se najznačajniji primjeri matričnih normi i njihova svojstva 1

1 Matrice U ovom poglavlju se uvode osnovni pojmovi matrične algebre te osnovni rezultati potrebni u daljnjem radu koristeći se definicijama i tvrdnjama iz [1], [2] i [7] Definicija 1 Neka je F polje te m i n prirodni brojevi Svako preslikavanje A: {1, 2,, m} {1, 2,, n} F nazivamo matrica tipa (m, n) nad poljem F Matricu A zapisujemo kao tablicu od m redaka i n stupaca: α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n A = α m1 α m2 α mn gdje je α ij vrijednost funkcije A u paru (i, j) Navedimo neke oznake koje će se koristiti S F n je označen skup svih uredenih n-torki elemenata polja F S F m n je označen skup svih matrica tipa (m, n) s elementima iz polja F U radu s matricama uredenu n-torku, odnosno vektor (a 1, a 2,, a n ) identificiramo sa stupčanom matricom a 1 a 2 a n koja se zove i vektor stupac S A = [α ij ] kraće je svojim elementima označena matrica, a element koji se nalazi na presjeku i-tog retka i j-tog stupca uz α ij označavamo i s (A) ij Za dvije matrice A = [α ij ] F m n i B = [β ij ] F p r kažemo da su jednake ako m = p, n = r i α ij = β ij za sve (i, j), tj ako su istog tipa i imaju jednake odgovarajuće elemente Ako je matrica A tipa (n, n), odnosno ako ima jednak broj redaka i stupaca, kažemo da je A kvadratna matrica Glavnu dijagonalu matrice čine elementi kojima je indeks retka jednak indeksu stupca, tj elementi α ii, za i = 1, 2, Kvadratne matrice koje imaju sve elemente izvan dijagonale jednake nuli, tj α ij = 0 za sve i j zovemo dijagonalnim matricama Jedinična matrica I je dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jedinice Matricu kojoj su svi elementi jednaki nuli nazivamo nulmatricom i označavamo s 0 bez obzira na tip matrice Transponirana matrica matrice A = [α ij ] reda (m, n) je matrica A T = [β ij ] reda (n, m) takva da je β ij = α ji za sve i = 1,, n i j = 1,, m Transponirana matrica se od polazne dobije zamjenom stupaca s retcima, tj svaki k-ti redak matrice A je k-ti stupac matrice A T Transponirana stupčana matrica se naziva redčana matrica ili vektor redak Za svaku 2

matricu A vrijedi (A T ) T = A Adjungirana matrica matrice A = [α ij ] reda (m, n) je matrica A = [γ ij ] reda (n, m) takva da je γ ij = α ji za sve i = 1,, n i j = 1,, m Ako je matrica A realna matrica, onda je njoj adjungirana matrica jednaka transponiranoj matrici matrice A Za matrice A = [α ij ] i B = [β ij ] reda (m, n) zbroj A + B je matrica C = [γ ij ] reda (m, n) za koju vrijedi γ ij = α ij + β ij za sve (i, j) Umnožak matrice A = [α ij ] reda (m, n) skalarom λ F je matrica B = [β ij ] reda (m, n) za koju vrijedi β ij = λα ij za sve (i, j) Umnožak matrica definiramo za ulančane matrice Za matrice A i B kažemo da su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B Neka su A = [α ij ] reda (m, n) i B = [β ij ] reda (n, p) dvije ulančane matrice Umnožak AB je matrica C = [γ ij ] reda (m, p) za koju je γ ij = n k=1 α ikβ kj Neka su x i y kompleksni vektori reda n (matrice tipa (n, 1)), odnosno x 1 y 1 x 2 y 2 x = x n, y = Euklidski skalarni umnožak vektora x i y se računa ovako: (x y) = n i=1 x iy i Vrlo su bitna ova dva svojstva: (λx y) = λ(x y) i (x λy) = λ(x y) što se zove homogenost u prvoj varijabli i antihomogenost u drugoj varijabli Ako su x i y realni vektori, tada je (x y) = n i=1 x iy i = x T y i vrijedi homogenost u obje varijable Za vektore kažemo da su ortogonalni ako je njihov skalarni umnožak jednak 0 Za kvadratnu matricu A reda n kažnemo da je invertibilna ili regularna ako postoji matrica B reda n tako da vrijedi AB = BA = I, gdje je I jedinična matrica reda n Ako matrica nije regularna, kažemo da je singularna Matricu B tad zovemo inverz matrice A i označavamo s A 1 Ako su matrice A i B istog reda invertibilne, onda je i njihov umnožak invertibilna matrica za koju vrijedi (AB) 1 = B 1 A 1 Slično se i transponira umnožak, tj za sve ulančane matrice A i B vrijedi (AB) T = B T A T Za matricu A reda n kažemo da je ortogonalna ako vrijedi AA T = A T A = I Svaka ortogonalna matrica je regularna i vrijedi A 1 = A T Za svaku ortogonalnu matricu A = [α ij ] reda n za svaki i, j = 1, 2,, n vrijedi: { n n 1, ako i = j, α ik α jk = δ ij i α ki α kj = δ ij, gdje je δ ij = 0, ako i j k=1 k=1 pa se kaže da retci i stupci ortogonalne matrice čine ortonormirani sustav Vrlo su značajne dvije relacije kvadratnih matrica Neka su A i B kvadratne matrice istog reda n Kažemo da je matrica A slična matrici B (A B) ako postoji regularna matrica T reda n tako da vrijedi B = T 1 AT Kažemo da je matrica A kongruentna matrici B (A = B) ako postoji regularna matrica T reda n tako da vrijedi B = T T AT Kažemo da je A ortogonalno kongruentna s B ako je T ortogonalna Sličnost i kongruentnost su relacije ekvivalencije Sve ortogonalno kongruentne matrice su slične, no obratno ne vrijedi y n 3

Determinanta je funkcija koja kvadratnoj matrici pridružuje skalar Neka je A = [α ij ] reda n, n 2 Po Laplaceovom razvoju se računa se ovako: det A = n α ij ( 1) i+j det(a ij ), i = 1,, n ili j=1 det A = n α ij ( 1) i+j det(a ij ), j = 1,, n, i=1 gdje je A ij matrica nastala od matrice A uklanjanjem i-tog retka i j-tog stupca Svaka matrica i njoj transponirana matrica imaju jednake determinante Matrica je regularna ako i samo ako je joj je determinanta različita od nule Za svake dvije matrice istog reda vrijedi: det(ab) = det A det B Trag matrice je funkcija koja matrici pridružuje zbroj elemenata na glavnoj dijagonali: tr A = n i=1 α ii Ako su k N, a 1, a 2,, a k zadani vektori i µ 1, µ 2,, µ k skalari, onda je a = k i=1 µ ka k = µ 1 a 1 +µ 2 a 2 + +µ k a k vektor istog reda koju zovemo linearna kombinacija vektora a 1,, a k s koeficijentima µ 1, µ k Kažemo da su vektori a 1, a 2,, a k linerno nezavisni ako iz k i=1 µ ka k = 0 slijedi µ 1 = µ 2 = = µ k = 0 Broj linearno nezavisnih stupaca matrice se naziva rang matrice Broj linearno nezavisnih stupaca matrice jednak je broju linearno nezavisnih redaka te matrice Kvadratna matrica A reda n je regularna ako i samo ako joj je rang jednak n Neka je A kvadratna matrica reda n Za broj λ kažemo da je svojstvena vrijednost matrice A ako postoji vektor x 0 takav da je Ax = λx Vektor x zovemo svojstveni vektor matrice A, a skup svih svojstvenih vrijednosti matrice A se zove spektar matrice A Ako je x svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti λ, onda je i svaki njemu kolinearan vektor µx, gdje je µ 0, takoder svojstveni vektor pridružen toj svojstvenoj vrijednosti Skup {x: Ax = λx} naziva se svojstveni potprostor matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ Polinom P (λ) = det(a λi) nazivamo svojstveni polinom, a jednadžbu P (λ) = det(a λi) = 0 svojstvenom jednadžbom Rješenja te jednadžbe su svojstvene vrijednosti matrice A 4

2 Simetrične matrice Ovo poglavlje se bavi svojstvima simetričnih matrica, a pri tome se koriste definicije i tvrdnje iz [5], [7], [8] te [9] Definicija 2 Za matricu A kažemo da je simetrična ako je A T = A Budući da je broj redaka matrice A jednak broju stupaca matrice A T koje su u ovom slučaju jednake matrice, zaključujemo da je simetrična matrica nužno kvadratna matrica Neka je A = [α ij ] R n n simetrična matrica Za njene elemente tada vrijedi: α ij = α ji 1 i, j n, dakle svi su elementi simetrično rasporedeni s obzirom na glavnu dijagonalu, tj svi izvandijagonalni elementi se pojavljuju u paru Simetrične matrice čine aditivnu grupu, što znači da je zbroj dvije simetrične matrice istog reda ponovno simetrična matrica tog reda Takoder, ako simetričnu matricu pomnožimo skalarom, rezultat će opet biti simetrična matrica No, umnožak dviju simetričnih matrica općenito ne mora biti simetrična matrica Propozicija 1 Za dvije simetrične matrice A i B R n n, umnožak AB je simetrična matrica ako i samo ako A i B komutiraju Dokaz: Neka je AB simetrična matrica Tada je: AB = (AB) T = B T A T = BA što znači da A i B komutiraju Pretpostavimo sad da A i B komutiraju Tada je: što znači da je AB simetrična matrica AB = BA = B T A T = (AB) T Koristeći svojstva transponiranja može se pokazati da je za svaku kvadratnu matrticu B reda n matrica B + B T simetrična Takoder, za bilo koju matricu C tipa (m, n) CC T je simetrična matrica reda m, a C T C je simetrična matrica reda n Propozicija 2 Matrica A reda n je simetrična ako i samo ako za svaki x, y R n vrijedi (Ax y) = (x Ay) Dokaz: Neka je A simetrična matrica Tada je: (x Ay) = x T Ay = x T A T y = (Ax) T y = (Ax y) Obratno, neka vrijedi (Ax y) = (x Ay) x, y R n Tada je: (x Ay) = (Ax y) = (Ax) T y = x T A T y = (x A T y) 5

odakle slijedi da je A = A T, odnosno da je A simetrična matrica Za kvadratnu matricu kažemo da je dijagonalizabilna ako je slična nekoj dijagonalnoj matrici, tj ako postoji regularna matrica T takva da je T 1 AT = D, gdje je D dijagonalna matrica Za matricu T tada kažemo da dijagonalizira matricu A Neke kvadratne matrice se mogu dijagonalizirati, a neke ne mogu Sve simetrične matrice imaju svojstvo dijagonalizabilnosti, i to na specifičan način U slučaju simetričnih matrica postoje ortogonalne matrice koje ih dijagonaliziraju pa zato kažemo da su simetrične matrice ortogonalno dijagonalizabilne No prije potpunog iskaza i dokaza tog najznačajnijeg svojstva simetričnih matrica, ispitat ćemo uvjete i svojstva dijagonalizacije na općim kvadratnim matricama Može li se neka kvadratna matrica dijagonalizirati ili ne ovisi o njezinim svojstvenim vrijednostima i svojstvenim vektorima Budući da su svojstvene vrijednosti realnih kvadratnih matrica nultočke svojstvenog polinoma koji općenito ne mora imati sve realne nultočke, svojstvene vrijednosti i komponente svojstvenih vektora mogu biti kompleksni brojevi Zato dijagonalizaciju u općem obliku promotrimo nad poljem kompleksnih brojeva Neka je A kompleksna ili realna kvadratna matrica reda n Pretpostavimo da je A dijagonalizabilna matrica, odnosno da postoje regularna matrica T i dijagonalna matrica D tako da je T 1 AT = D Stupce matrice T označimo s v 1,, v n, a dijagonalne elemente matrice D s λ 1,, λ n Iz T 1 AT = D slijedi AT = T D AT = A [ v 1 v 2 v n ] = [ Av1 Av 2 Av n ] λ 1 0 0 T D = [ ] 0 λ 2 0 v 1 v 2 v n = [ ] λ 1 v 1 λ 2 v 2 λ n v n 0 0 λ n Izjednačavanjem matrica AT i T D po stupcima slijede jednakosti: Av 1 = λ 1 v 1, Av 2 = λ 2 v 2,, Av n = λ n v n Matrica T mora biti regularna, tj punog ranga pa zato stupci v 1,, v n moraju biti linearno nezavisni, što podrazumijeva da nisu nulstupci pa slijedi da su λ 1,, λ n svojstvene vrijednosti, a v 1,, v n odgovarajući svojstveni vektori matrice A U slučaju da matrica A nema n linearno nezavisnih svojstvenih vektora, ne bi se mogla konstruirati matrica T koja je regularna pa u tom slučaju dijagonalizacija matrice A nije moguća To daje zaključak: Propozicija 3 Kvadratna matrica reda n je dijagonalizabilna ako i samo ako ima n linearno nezavisnih svojstvenih vektora Svojstvene vrijednosti matrice A mogu se izračunati kao nultočke svojstvenog polinoma det(a λi) Svojstveni polinom je polinom stupnja n pa nad poljem C ima n ne nužno različitih nultočki Kratnost svojstvene vrijednosti kao nultočke svojstvenog polinoma nazivamo algebarska kratnost Ako su sve svojstvene vrijednosti različite, odnosno kratnosti 1, onda su svojstveni vektori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima linearno nezavisni Inače, k-struka svojstvena vrijednost dovodi do sustava jednadžbi koji ima beskonačno mnogo rješenja odredenih pomoću parametara kojih je od 1 do k Broj tih parametara reprezentira geometrijsku kratnost svojstvene vrijednosti koju definiramo kao dimenziju svojstvenog potprostora odredenog tom svojstvenom vrijednosti Ako je geometrijska kratnost 6

neke svojstvene vrijednosti manja od njene algebarske kratnosti, ne može se pronaći dovoljno linearno nezavisnih svojstvenih vektora pridruženih toj svojstvenoj vrijednosti pa se ne može formirati regularna matrica T koja će dijagonalizirati matricu A Ako su pak algebarska i geometrijska kratnost svake svojstvene vrijednosti jednake, dobit ćemo ukupno n linearno nezavisnih svojstvenih vektora koji čine stupce matrice T Poredak stupaca nije bitan, ali utječe na poredak dijagonalnih elemenata matrice D Stoga dijagonalizacija, ako je moguća, nije nužno jedinstvena Iz navedenog je jasno da su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori od iznimnog značaja za dijagonalizaciju matrica Zato sljedeća svojstva imaju bitnu ulogu u specifičnosti dijagonalizacije simetričnih matrica Sljedeće propozicije i teorem su prema [5] Propozicija 4 Svojstvene vrijednosti realne simetrične matrice su realne Dokaz: Neka je x svojstveni vektor simetrične matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ Tada je: λ(x x) = (λx x) = (Ax x) = (x Ax) = (x λx) = λ(x x) pa je (λ λ)(x x) = 0, a x 0 pa je (x x) > 0 pa slijedi da je λ = λ što znači da je λ R Dakle simetrična matrica ima n ne nužno različitih realnih svojstvenih vrijednosti pa su i komponente svojstvenih vektora takoder realni brojevi Osim toga vrijedi i sljedeća propozicija Propozicija 5 Svojstveni vektori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima realne simetrične matrice su ortogonalni Dokaz: Neka su x i y svojstveni vektori simetrične matrice A pridruženi svojstvenim vrijednostima λ i µ, λ µ Ax = λx, Ay = µy, x, y 0 Tada je: λ(x y) = (λx y) = (Ax y) = (x Ay) = (x µy) = µ(x y) = µ(x y) pa je (λ µ)(x y) = 0, a kako je λ µ slijedi (x y) = 0, tj x i y su ortogonalni Teorem 1 Za svaku simetričnu matricu A R n n postoji ortogonalna matrica C R n n takva da je λ 1 0 0 C T 0 λ 2 0 AC = D = 0 0 λ n gdje su λ 1,, λ n svojstvene vrijednosti matrice A Dokaz: Dokaz ide matematičkom indukcijom po redu matrice A Za matricu reda 1 se nema što dokazati Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za matricu reda n 1 Neka je A R n n simetrična matrica i x 1 normirani svojstveni vektor matrice A pridružen svojstvenoj vrijednosti λ 1 R Dopunimo ga do ortonormirane baze {x 1, x 2,, x n } prostora R n Matrica V = [ ] x 1 x 2 x n je ortogonalna i vrijedi V T AV = x T 1 x T 2 A [ ] x 1 x 2 x n = x T 1 x T 2 [ ] Ax1 Ax 2 Ax n = x T n x T n 7

= x T 1 x T 2 x T n λ 1 β 12 β 1n [ ] 0 β 22 β 2n λ1 x 1 Ax 2 Ax n = 0 β n2 β nn V T AV je simetrična pa je β 12 = β 13 = = β 1n = 0 Tada je [ ] V T λ1 0 AV = 0 B gdje je β 22 β 2n B = β n2 β nn simetrična matrica reda n 1 pa se može primijeniti pretpostavka indukcije, tj postoji ortogonalna matrica W reda n 1 takva da je W T BW dijagonalna matrica Matrica C dana s [ ] 1 0 C = V 0 W je ortogonalna matrica i vrijedi: = [ 1 0 0 W T ] [ λ1 0 0 B C T AC = ] [ 1 0 0 W [ 1 0 0 W T ] = što dokazuje tvrdnju teorema za svaki n N ] V T AV [ 1 0 0 W [ λ1 0 0 W T BW Vrijedi i obrat prethodnog teorema, tj prema [8] vrijedi: ] = λ ] 1 0 0 0 λ 2 0 = 0 0 λ n Teorem 2 Kvadratna matrica A je ortogonalno dijagonalizabilna ako i samo ako je A simerična matrica Dokaz: Neka je C ortogonalna matrica Tada je C T C = CC T = I Neka je C T AC = D, gdje je D dijagonalna Množeći taj izraz s C T zdesna i s C slijeva dobijemo (CC T )A(CC T ) = CDC T, odakle je A = CDC T Vrijedi: A T = (CDC T ) T = (C T ) T D T C T = CDC T = A pa je A simetična Postupak odredivanja ortogonalne matrice C koja dijagonalizira matricu A počinje pronalaženjem svojstvenih vrijednosti pomoću svojstvenog polinoma Ako su svojstvene vrijednosti različite, po propoziciji 5 svojstveni vektori pridruženi tim svojsvenim vrijednostima su ortogonalni te se od njih može konstruirati matrica koja je ortogonalna i ona dijagonalizira matricu A Ukoliko sve svojstvene vrijednosti nisu različite, mogu se pronaći ortogonalni vektori, no potrebno je ortogonalizirati linearno nezavisne vektore pridružene svojstvenim vrijednostima kratnosti veće od 1 nekim postupkom ortogonalizacije, poput Gram-Schmidtovog 8

3 Kvadratne forme Homogeni polinomi nazivaju se forme Za polinom kažemo da je homogen ako su svi njegovi nenul članovi istog stupnja Forme klasificiramo po stupnju i po broju varijabli Forme prvog stupnja nazivaju se linearne, drugog kvadratne, trećeg kubne i tako dalje, a njih u slučaju jedne varijable nazivamo unarnim, u slučaju dvije binarnim, u slučaju tri ternarnim itd Koeficijenti formi su elementi nekog polja F koje će u ovom poglavlju biti polje realnih brojeva Tema ovog poglavlja su realne kvadratne forme u n varijabli te se koriste definicije i tvrdnje iz [5], [6] i [8] Primjer 1 Ternarna kvadratna forma izgleda ovako: Q 1 (x 1, x 2, x 3 ) = ax 2 1 + bx 2 2 + cx 2 3 + dx 1 x 2 + ex 1 x 3 + fx 2 x 3 Za dvije kvadratne forme kažemo da su jednake ako za svaki izbor vrijednosti varijabli poprimaju istu vrijednost Kvadratna forma u n varijabli se može zapisati na više načina Njen opći oblik je: Q(x 1, x 2,, x n ) = n i=1 n a ij x i x j, gdje su a ij R za sve i, j = 1,, n j=1 Kvadratnu formu se takoder može zadati u matričnom obliku: Q(x) = x T Ax, gdje je x stupčana matrica, odnosno vektor stupac, čiji su elementi varijable, tj x 1 x 2 x =, x n a A = [α ij ] kvadratna matrica reda n Raspišemo li matrični oblik kvadratne forme Q, izgleda ovako: α 11 α 12 α 1n x 1 Q(x) = x T Ax = [ ] α 21 α 22 α 2n x 2 x 1 x 2 x n α n1 α n2 α nn x n Izmnožimo li matrice, dobije se kvadratna formu Q u općem obliku: Q(x) = α 11 x 2 1 + (α 12 + α 21 )x 1 x 2 + + (α 1n + α n1 )x 1 x n + α 22 x 2 2 + (α 23 + α 32 )x 2 x 3 + + +(α 2n + α n2 )x 2 x n + + α nn x 2 n 9

Svakoj matrici A reda n se može pridružiti jedinstvena kvadratna forma tako da je Q(x) = x T Ax No, ako želimo proizvoljnoj kvadratnoj formi pridružiti matricu, to se može na više načina Odnosno, svakoj kvadratnoj formi Q(x 1, x 2,, x n ) = n n i=1 j=1 a ijx i x j se može pridružiti familija matrica B = [β ij ] reda n koje imaju svojstvo da je β ii = a ii, β ij + β ji = a ij + a ji za sve i, j = 1,, n Medu tim matricama postoji jedinstvena matrica koja zadovoljava sljedeći uvjet: β ij = β ji = 1 2 (a ij + a ji ) i ta je matrica simetrična Prema tome, svakoj kvadratnoj formi pridružena je jedinstvena simerična matrica A reda n takva da je Q(x) = x T Ax Tu matricu A zovemo matrica kvadratne forme Q Na taj se način mnoge definicije i svojstva simetričnih matrica prenose na kvadratne forme Tako se rang kvadratne forme definira kao rang pripadne matrice Posebno, za kvadratnu formu kažemo da je regularna ako je njezina matrica regularna matrica Takoder, za kvadratne forme možemo reći da su jednake ako i samo ako imaju istu matricu Kvadratne forme se sastoje od kvadatnih članova oblika a ii x 2 i te članova oblika a ij x i x j (i j) koje zovemo mješovitim članovima kvadratne forme Za kvadratnu formu kažemo da je dijagonalna ako je oblika n D(x) = δ i x 2 i, i=1 tj ako nema mješovitih članova Zove se dijagonalna jer je njoj pripadna matrica dijagonalna matrica Računanje s dijagonalnim kvadratnim formama i odredivanje njihovih svojstava poput ranga i definitnosti znatno je jednostavnije Stoga je osnovni problem teorije formi danu formu transformirati u novu koja je jednostavnijeg oblika, poput dijagonalne, ali zadržava osnovna svojstva polazne forme Transformacije kvadratnih formi postižu se zamjenom varijabli Ako su s x 1, x 2,, x n označene stare varijable, a s y 1, y 2,, y n označimo nove varijable, tada su jednadžbe transformacije varijabli dane s: x i = τ i1 y 1 + τ i2 y 2 + + τ in y n, i = 1,, n Matricu T = [τ ij ] zovemo matrica tranformacije Da bi se nove varijable mogle izraziti pomoću starih, matrica T mora biti regularna Tada je x = T y i y = T 1 x Neka je kvadratna forma Q(x) s matricom A i kvadratna forma dobivena transformacijom T P (y) s matricom B Tada vrijedi: Q(x) = x T Ax = (T y) T A(T y) = (y T T T )A(T y) = y T (T T AT )y = y T By = P (y) Ako postoji transformacija koja prevodi kvadratnu formu Q(x) u kvadratnu formu P (y), kažemo da su te dvije forme kongruentne Iz B = T T AT slijedi da su pripadne matrice kongruentne matrice Ako je matrica T ortogonalna, tada su A i B ortogonalno kongruentne matrice pa kažemo da su i Q(x) i P (y) ortogonalno kongruentne forme Dakle, dvije forme su (ortogonalno) kongruentne ako i samo ako su njihove pripadne matrice (ortogonalno) kongruentne 10

Teorem 3 Svaka je kvadratna forma ortogonalno kongruentna s nekom dijagonalnom formom Dokaz: Neka je A matrice dane kvadratne forme Kako je A simetrična, postoji ortogonalna matrica T takva da je D = T 1 AT, odnosno D = T T AT jer je T 1 = T T To znači da je matrica D ortogonalno kongruentna s matricom A Matricom D je očito jednoznačno odredena neka dijagonalna forma koja je ortogonalno kongruentna s polaznom Za dijagonalnu formu koja je kongruentna danoj kvadratnoj formi kaže se da je kanonski oblik te forme Budući da kongruentne matrice imaju isti rang, kongruentne forme takoder imaju isti rang Vrlo značajna klasifikacija kvadratnih formi je s obzirom na njihovu definitnost Definicija 3 Za kvadratnu formu Q s matricom A kažemo da je: (a) pozitivno semidefinitna ako je x T Ax 0 x R n, (b) pozitivno definitna ako je x T Ax > 0 x 0, tj ako je pozitivno semidefinitna i x T Ax = 0 x = 0, (c) negativno semidefinitna ako je x T Ax 0 x R n, (d) negativno definitna ako je x T Ax < 0 x 0, tj x T Ax = 0 x = 0 ako je negativno semidefinitna i Analogna definicija se uvodi za simetričnu matricu pridruženu kvadratnoj formi Kongruentne forme su iste definitnosti Najjednostavnije je odrediti definitnost dijagonalne kvadratne forme jer njoj defnitnost ovisi samo o predznaku dijagonalnih elemenata pripadne matrice Budući da svaka kvadratna forma ima kanonski oblik, tj kongruentna je s nekom dijagonalnom formom koja na dijagonali ima svojstvene vrijednosti matrice polazne forme, možemo zaključiti sljedeću vezu izmedu definitnosti kvadratne forme i svojstvenih vrijednosti pripadne matrice čiji dokaz se može naći u [5] Teorem 4 Kvadratna forma Q s matricom A je: (a) pozitivno semidefinitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A nenegativne, (b) pozitivno definitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A pozitvne, (c) negativno semidefinitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A nepozitivne, (d) negativno definitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A negativne U sljedećoj propoziciji je dana karakterizacija regularnosti simetrične matrice Propozicija 6 Ako je simetrična matrica A definitna (pozitivno ili negativno), onda je i regularna Dokaz: Ukoliko je A singularna matrica, postoji x 0 tako da je Ax = 0 Tada je Q(x) = x T Ax = 0 što je protivno definiciji definitnosti matrice 11

4 Matrične norme Matrična norma je mjera veličine matrice koja ne ovisi o broju redaka ni stupaca matrice To je pozitivan realan broj koji nam može reći je li neka matrica blizu singularne što utječe na stabilnost i točnost aproksimacijskih izračuna pa stoga matrične norme imaju veliku primjenu Ovo se poglavlje temelji na definicijama i tvrdnjama iz [3] i [4] Neka je F polje realnih ili kompleksnih brojeva Prije definicije matrične norme potrebna je definicija vektorske norme Definicija 4 Vektorska norma na F n je preslikavanje : F n R koje zadovoljava sljedeća svojstva: 1 x > 0 x F n i x = 0 x = 0 2 αx = α x α F, x F n 3 x + y x + y x, y F n Najčešći primjeri vektorskih normi su p-norme za 1 p < dane s: x p = p n i=1 x i p x F n od kojih se najviše koriste x 2 = n i=1 x i 2 x F n, x 1 = n i=1 x i x F n te -norma dana izrazom x = max 1 i n x i Matrične norme su generalizacija vektorskih normi Zato je definicija vrlo slična Definicija 5 Matrična norma na F m n je preslikavanje : F m n R koje zadovoljava sljedeća svojstva: 1 A > 0 A F m n i A = 0 A = 0 2 αa = α A α F, A F m n 3 A + B A + B A, B F m n Postoji mnogo funkcija koje zadovoljavaju ta tri svojstva, no najčešće se koriste norme koje su nastale tako da su se vektorskim p-normama inducirale odgovarajuće matrične p-norme Definicija 6 Neka su zadane vektorske norme α na F n i β norma αβ na F m n definira se s: na F m Inducirana A αβ = max x 0 Ax β x α 12

Inducirana norma zadovoljava svojstva 1, 2 i 3 definicije matrične norme Za normu induciranu vektorskom normom se još kaže da je operatorska Može se na ekvivalentan način definirati ovako: A αβ = max Ax β x α=1 što je jednako Ay β za neki y F n s jediničnom normom Izraz kojim je zadana neka vektorska ili matrična norma zapravo odreduje familiju normi jer su ovisno o redu vektora ili tipu matrice definirane različite funkcije Bez obzira na red vektora ili tip matrice, sve vektorske norme i njima inducirane matrične norme označavaju se jednako, npr s p su označene sve vektorske i matrične p-norme Matrične 1-normu i -normu je jednostavno odrediti Karakterizacija 2-norme znatno je kompliciranija pa se u primjeni često aproksimira Matrična 1-norma dana je izrazom: A 1 = max x 0 Ax 1 x 1 = max 1 j n m α ij i=1 A = [α ij ] F m n 1-norma matrice jednaka je najvećem zbroju apsulutnih vrijednosti elemenata po stupcima Matrična 2-norma dana je izrazom: A 2 = max x 0 Ax 2 x 2 = λ max (A A) gdje je A adjungirana matrica matrice A, a λ max (A A) najveća svojstvena vrijednost matrice Zbog povezanosti sa svojstvenim vrijednostima, 2-norma se zove i spektralna norma Matrična -norma dana je izrazom: A = max x 0 Ax x = max 1 i m n α ij j=1 A = [α ij ] F m n Slično 1-normi -norma matrice jednaka je najvećem zbroju apsulutnih vrijednosti elemenata po retcima Za sve vektorske norme i njima inducirane matrične norme vrijedi: Ax A x To svojstvo se naziva kompatibilnost matrične i vektorske norme Za A F m n i x F n, Ax F m te ova nejednakost povezuje tri različite norme No, nisu sve matrične norme inducirane nekom vektorskom normom Najbolji primjer je tzv Frobeniusova norma koja je za svaku matricu A F m n dana izrazom: m n A F = α ij 2 i=1 j=1 13

Dakle, norma matrice jednaka je korijenu zbroja kvadrata apsolutnih vrijednosti svih elemenata matrice Frobeniusova norma matrice A tipa (m, n) jednaka je vektorskoj 2-normi vektora reda mn koji se dobije preslagivanjem svih elemenata matrice u jedan vektor Za svaku matricu A F m n vrijedi: A F = tr(a A) Frobeniousova norma je takoder kompatibilna s vektorskom 2-normom, tj A F m n i x F n vrijedi: Ax 2 A F x 2 Definicija 7 Za matričnu normu kažemo da je konzistentna ako za sve ulančane matrice A i B vrijedi: AB A B Ako A i B nisu kvadratne matrice istog reda, norme od A, B i AB nisu definirane na istom prostoru pa poput kompatibilnosti ova nejednakost povezuje različite norme Konzistentnost vrijedi za većinu matričnih normi uključujući p-norme, -normu, te Frobeniusovu normu pa se stoga često ubraja medu osnovna svojstva matričnih normi iz definicije No, ne zadovoljavaju sve matrične norme svojstvo konzistentnosti Primjer takve norme je tzv max norma koja je za A = [α ij ] F m n dana s: A = max i=1m j=1n α ij Ta je norma generalizacija vektorske -norme jer obje daju kao rezultat najveći element po apsolutnoj vrijednosti Definicija 8 Neka su α i β matrične norme definirane na istom prostoru F m n Kažemo da je norma β ekvivalentna s normom α ako postoje c, C R tako da A F m n vrijedi: c A β A α C A β Ekvivalentnost normi je relacija ekvivalencije i sve su norme medusobno ekvivalentne To znači da za svake dvije norme α i β na F m n postoji C M R tako da α C M β Konstante C M su dane u sljedećoj tablici preuzete iz [4] α β 1 2 F 1 1 m m m m 2 n 1 m 1 mn n n 1 n n F n rang(a) m 1 mn 1 1 1 1 1 Tablica 1 Pomoću te tablice se za svake dvije norme α i β na F m n mogu odrediti konstante c i C iz prethodne definicije Tako je pripadni C jednak C M za α β, a pripadni c je jednak recipročnoj vrijednosti od C M za β α 14

Bibliografija [1] V Bahovec, N Erjavec, Uvod u ekonometrijsku analizu, Element, 2009 [2] D Bakić, Linearna algebra, Školska knjiga, 2008 [3] D W Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 1996 [4] Z Drmač, V Hari, M Marušić, M Rogina, S Singer, S Singer, Numerička matematika, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, 2008 [5] I Gjenero, Linearna algebra, Hrvatska zajednica računovoda i financijskih djelatnika, Zagreb, 2000 [6] K Horvatić, Linearna algebra, Golden marketing - Tehnička knjiga, Zagreb, 2004 [7] S Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1985, [8] D C Lay, Linear algebra and its applications, Pearson Education, Inc, 2012 [9] http://mastergradhr/nastava/matematika/mat3/node5html, kolovoz, 2014 15