Na elo histori nosti- Cardano, Viète, Tartaglia, Abel

Na elo histori nosti- Cardano, Viète, Tartaglia, Abel seminar iz Metodike nastave matematike 2 Matea Vidov, Marija šuºul Zagreb, svibanj 2017. 1

Sadrºaj 1 Uvod 3 2 Niccolò Fontana (Tartaglia) 4 2.1 Tartaglijev doprinos matematici.......................... 4 3 Girolamo Cardano 5 3.1 Cardano i Tartaglia................................. 7 4 François Viète 10 5 Niels Henrik Abel 12 6 Literatura 14 2

1 Uvod U ovom seminaru prikazat emo biograju matemati ara koji su imali veliku ulogu u rje- ²avanju jednadºbi, osvrnut emo se na njihovo znanstveno djelovanje i povijesne okolnosti u kojima su ºivjeli. Njihova postignu a imala su veliki zna aj za matematiku kakvu danas poznajemo. Njihovo rje²avanje jednadºbi je dovelo i do prve pojave kompleksnih brojeva. Osvrnimo se naprije na razdoblje neposredno prije njihovog djelovanja gdje emo saznati do kojeg stupnja je matematika tada bila razvijena. Dakle, po etkom renesanse poznata su samo rje²enja algebarskih jednadºbi prvog i drugog stupnja u radikalima, odnosno pomo u etiri osnovne ra unske operacije i korjenovanja. Kako jo² uvijek tad nije uobi ajena upotreba negativnih brojeva, bitno je bilo koji se lanovi nalaze s koje strane jednakosti. Prvi bitan napredak u pitanju rje²enja jednadºbi tre eg stupnja ostvario je Scipione del Ferro iz Bologne. On je prva osoba koja je oko 1515. godine dala gotovo potpunu metodu za rje²enje jednadºbi tipa x 3 + ax = b Matemati ari renesanse znali su da je kvadratni lan uvijek mogu e ukloniti iz kubne jednadºbe pomo u supstitucije. Stoga je bilo dovoljno na i metodu za rje²avanje kubnih jednadºbi bez kvadratnih lanova. Del Ferro je svoja postignu a uvao u tajnosti i tek ih je pred smrt otkrio svom studentu Antoniu Fioru. Sada slijedi djelovanje na²ih matemati ara, no, prije toga, saznat emo ne²to o njihovom ºivotu. 3

2 Niccolò Fontana (Tartaglia) Niccolò Fontana, poznat i kao Tartaglia rožen je u Bresci 1499. ili 1500. godine. Potje e iz veoma siroma²ne obitelji. Njegov otac Micheletto je radio kao dostavlja na konju da bi prehranio obitelj i omogu io im sve potrebno. No, kada je Tartaglia navr²io 6 godina obitelj je zadesila nesre a. Njegov otac je ubijen na poslu, ²to je njegovu obitelj iz siroma²tva bacilo u potpunu bijedu. Sljede a nesre a za Tartagliu se dogodila 1512. godine kad je francuska vojska okupirala Bresciu te ubila 46000 stanovnika tog grada. Dok je grad bio pod opsadom Tartaglia se s majkom i sestrom skrivao u katedrali. Jedan francuski vojnik ih je na²ao i rasjekao Tartaglijevu eljust i nepce, te ga ostavio misle i da je mrtav. Kada je njegova majka shvatila da je ipak ºiv odvela ga je i brinula se za njega sama jer nije imala novaca da plati lije enje. Zahvaljuju i njoj, Tartaglia je preºivio, ali ostale su mu posljedice do kraja ºivota. Naime, vi²e nije mogao normalno pri ati te je tako i dobio nadimak Tartaglia ²to na talijanskom zna i "mucavac". Takožer je i cijelog ºivota nosio bradu kako bi sakrio taj oºiljak. Kada je imao 16 godina trebao je nau iti abecedu, ali novaca je bilo samo do slova K. Tartaglia je tada ukrao udºbenik i sam nau io dalje, ne samo abecedu, ve i latinski. Bio je i samouki matemati ar, ali jako brzo je pokazao velike matemati ke sposobnosti te je zbog toga po eo zaraživati predavaju i matematiku najprije u Veroni. Tamo se oºenio i stvorio obitelj. 1534. godine se preselio u Veneciju gdje je ubrzo od statusa u itelja matematike niºeg sloja do²ao do statusa cijenjenog matemati ara. Umro je u Veneciji 13. prosinca 1557. godine. 2.1 Tartaglijev doprinos matematici 1530. godine Tartaglia je otkrio metodu za rje²enje kubne jednadºbe oblika x 3 + ax 2 = b i to nije tajio. Kad je za to saznao Fior, o kojem smo uli u uvodu i koji je uvjeren da samo on zna rje²avati kubne jednadºbe, izaziva Tartagliu na natjecanje 1535. godine. Jedan drugome zadaju 30 zadataka, s rokom od 50 dana. Tartaglia je znao s kakvim tipom kubnih jednadºbi se Fior bavi, te je jutro prije natjecanja uspio dobiti ideju i razviti svoju metodu za rje²avanje takvih jednandºbi. Fior mu je zadao 30 zadataka to no tog tipa koje je on znao rije²iti dok je Tartaglia njemu osim takvih tipova dao i kompliciranije za koje je on otkrio metodu par godina prije. Evo dva od Fiorovih zadataka: 1. Naži mi broj koji zbrojen sa svojim kubom daje 6. (x 3 + x = 6) 4

2. Naži mi dva broja u dvostrukom omjeru(2x i x) takva da kad kvadrat ve eg pomnoºimo s manjim i ako se taj umnoºak pribroji izvornim brojevima, zbroj bude 40. (4x 3 + 3x = 40) Tartaglia je rije²io sve zadatke u samo 2 sata i tom pobjedom je stjekao slavu. Osim po rje²enju kubne jednadºbe poznat je po doprinosima balistici. Istraºivao je krivulju koju opisuje tijelo pri kosom hicu i na²ao da se pri tom dostiºe najve i domet ako je ba eno pod kutem od 45. Napisao je i knjigu koja je sadrºavala zadatke iz zabavne matematike, poput sljede eg: Tri para ºele prije i rijeku u amcu koji moºe prevesti dvije osobe. Nijedna ºena ne smije biti sama s mu²karcem koji joj nije muº. Kako e parovi prije i rijeku? Njegovo najpoznatije djelo je "General Trattato di Numeri, et Misure" izdano 1556. godine u Veneciji. To djelo smatra se najboljom raspravom o aritmetici izdanom u 16. stolje u. Prvi je preveo i Euklidove "Elemente" na talijanski i objavio ih 1543. godine. 3 Girolamo Cardano Rožen je u Paviji 24. rujna 1501.godine, a umro je u Rimu 21. rujna 1576. godine. Bio je izvanbra ni sin Fazia Cardana, milanskog pravnika i Chiare Micherie. Otac mu je imao veliko znanje matematike da je njegove savjete iz geometrije povremeno traºio i Leonardo da Vinci. Prije roženja Girolama, njegova majka je zbog kuge koja je tada bila u Milanu otputovala u Paviju. Nakon njegova roženja, Chiara sazna da je njeno troje djece iz prvog braka umrlo od kuge u Milanu. Njegovi roditelji su dugo ºivjeli odvojeno, ali su se na kraju ipak vjen ali. Cardana je otac uzeo za svog asistenta, no po²to je on bio jako boleºljiv, a posla je bilo sve vi²e, otac je zaposlio i svoje ne ake. Cardanu je dosadilo raditi za oca te se odlu io upisati studij medicine i 1525. godine dobiva i doktorat. Cardano je potro²io ono malo nasljedstva koje mu je otac ostavio i okrenuo se kockanju kako bi pobolj²ao svoje nancije. šivio je od karta²kih igara, kocke i ²aha. Budu i da je bio matemati ar i razumio je neke zakone vjerojatnosti imao je prednost pred ostalim igra ima i op enito je vi²e zaraživao nego gubio. No, ovisnost o kocki stajala ga je vremena, novaca i reputacije. Imao je zbog toga mnogo neuspjeha u svojoj karijeri. Mnoga sveu ili²ta ga nisu htjela primiti zbog lo²e reputacije, ali i zbog toga ²to je bio izvanbra no dijete. 1531. godine se oºenio za Luciu Bandarini, a 1539. godine napokon dobiva posao na medicinskom fakultetu u Milanu jer je fakultet tada promijenio pravila o izvanbra noj djeci. Iste godine Cardano objavljuje svoje prve dvije matemati ke knjige. Paralelno sa svojom lije ni kom praksom prou avao je matematiku i mehaniku, ali se intenzivno bavio i kockanjem i astrologijom. Teme njegovih objavljenih knjiga su razne: zika, ²ah, kockanje, utjeha, udesni lijekovi, otrov, zrak, voda, urin, snovi, zubi, kuga, mudrost, moral, glazba. Njegovo djelo o utjesi navodno je izvor za Hamletove komentare o snu i smrti. 5

Kako je dobio priliku za rad i objavljivanje knjiga stekao je veliku slavu i reputaciju najboljeg doktora na svijetu. šena mu je umrla 1546. godine, no on nije previ²e ºalio jer je uºivao u svojoj slavi. ƒak je 1552. na zahtjev nadbiskupa Johna Hamiltona iz Edinburgha putovao u kotsku da ga izlije i od astme jer su ostali lije nici digli ruke od njega. Lije io ga je 3 mjeseca i nadbiskupu je ve bilo bolje, a nakon 2 godine se i potpuno oporavio. Nakon ²to se vratio iz kotske radio je kao profesor medicine na Pavijskom sveu ili²tu. Njegov stariji sin Giovanni Battista je 1557. godine postao doktor i oºenio se djevojkom koju je Cardano opisao kao bezvrijednu i besramnu ºenu. Nju i njenu obitelj je zanimalo samo kako e izvu i ²to vi²e novaca od Cardana. ƒak se javno rugala svom muºu Giovanniju da nije dobar otac njihove troje djece. Zbog toga je Giovanni otrovao svoju ºenu i uhi en je. Iako je Cardano unajmio najboljeg odvjetnika, sudac je presudio da se Cardano mora dogovoriti s obitelji ubijene oko pla anja od²tete. Oni su zahtijevali sumu koju Cardano nije mogao skupiti te je Giovanni smaknut 1560. godine. To je bio veliki udarac za Cardana, postao je omraºen kao otac ubojice i odselio se u Bolognu gdje je radio kao profesor. Njegov mlaži sin Aldo je bio kockar i varalica. 1569. godine prokockao je svoju cijelu imovinu te je nakon toga i pokrao svog oca, koji ga je prijavio pa je Aldo potjeran iz Bologne. Skandali oko Cardana su se samo gomilali, ali je imao jaku za²titu tada²njeg pape Grgura XIII. 1570. godine Cardano zavr²ava u zatvoru zbog hereze, zbog odreživanja horoskopa Isusu, ²to je udno jer je ina e pruºao potpunu podr²ku crkvi. Bio je u zatvoru nekoliko mjeseci, ali nakon ²to je pu²ten bilo mu je zabranjeno drºati predavanja na sveu ili²tu, ali i objavljivati radove. Odlazi u Rim gdje je neo ekivano dobro primljen te mu papa opra²ta i osigurava mirovinu. Prema legendi, izradio je horoskop po kojem je trebao umrijeti odreženog dana i smatra se da se ubio kad je do²ao taj dan kako bi odrºao reputaciju to ne izrade horoskopa. U svojoj autobiograji pisao je o svoje etiri najve e tuge u ºivotu: "Prva tuga je bila moj brak, druga je gorka smrt mog sina, tre a je zatvor, a etvrta je karakter mog najmlažeg sina." Cardanova postignu a osim u algebri postoje jo² i u vjerojatnosti, hidrodinamici, mehanici, geologiji, itd. Takožer jedna od poznatijih stvari koje je konstruirao je i kardanski prijenos koji se danas nalazi u automobilima i u mnogim drugim strojevima. U svojoj knjiºici "Liber de luda aleae" o kockanju (objavljena tek 1663.) daje prakti ne upute za kockanje i osnove teorije vjerojatnosti. 6

3.1 Cardano i Tartaglia Cardano je uo za natjecanje izmežu Tartaglie i Fiora, bio je zaintrigiran i odlu io je sam poku²ati na i metodu rje²avanja takvih vrsta kubnih jednadºbi. Dugo je poku²avao, ali uspjeha nije bilo. 1539. godine odlu io je zatraºiti od Tartaglije da mu otkrije svoju metodu rje²avanja tih jednadºbi. Tartaglia je to odbio, ali Cardano ne odustaje i spomene kako je pri ao sa zapovjednikom vojske u Milanu o Tartaglinoj genijalnosti. Tartagliu privu e to jer je smatrao da bi mogao promjeniti lo²e pla eni posao, te odlu i odati metodu Cardanu, uz uvjet da se Cardano zakune da je ne e objaviti prije nego je sam Tartaglia ne objavi. Odao mu je metodu u obliku pjesmice, koju vidimo na slici. Nakon toga slijedi period od 6 godina intenzivnog matemati kog istraºivanja u kojem Cardano poku²ava rije²iti jednadºbe tre eg i etvrtog stupnja u radikalima. Jedan od prvih problema s kojima se susreo su bile formule u kojima se nekad pojavljivao kvadratni korijen negativnih brojeva iako su rje²enja bili "pravi brojevi". Pomaºe mu njegov student Ludovico Ferrari koji briljantno rje²ava jednadºbe etvrtog stupnja u radikalima. 1543. godine saznaju da Tartaglia nije bio prvi koji je na²ao rje²enje kubne jednadºbe ve je to bio del Ferro o kojem smo uli u uvodu. Cardano je zaklju io da nema razloga da ne objavi formulu te 1545. godine izdaje knjigu "Ars Magna" i kr²i svoje obe anje koje je dao Fontani. U svom djelu otkriva metode rje²avanja jednadºbi tre eg i etvrtog stupnja. Takožer navodi Tartagliu kao autora metode, a uz nju objavljuje i svoje pro²irenje metode te rezultate svog studenta Ferrarija o rje²enju jednadºbe 4. stupnja. Do otkri a kompleksnih brojeva do²lo je ne putem kvadratne jednadºbe, kako bi se to moglo pomisliti, nego preko kubne za koju znamo da ima realna rje²enja. Dakle, pojavljuje se drugi korijen iz negativnog broja, a znamo da rezultat mora biti realan, pa je to onda bio pravi razlog uvoženja kompleksnih brojeva. Iako Cardano nije shva ao kompleksne brojeve, dao je prve naznake rada s kompleksnim brojevima u tom svom djelu, gdje pi²e: "Unato mentalnoj torturi, mnoºenjem (5 + 15)(5 15) i dobivamo 25 ( 15) ²to daje 40, i iako je to aritmeti ki to no, to je potpuno beskorisno." Tartaglia je optuºio Cardana za kražu i izazvao ga na natjecanje. Cardano je poslao svog studenta Ferrarija na taj dvoboj gdje Ferrari pobježuje Tartagliu i stje e slavu. Ipak, matemati ari su odlu ili pridati zasluge obojici, pa se tako danas ta formula zove "Cardano-Tartaglijeva formula". Zanimljivo je to ²to ve 30 godina nakon prvih naznaka kompleksnih brojeva matemati ar Rafael Bombelli opravdava kori²tenje kvadratnih korijena iz negativnih brojeva u Cardano- Tartagijevoj metodi rje²avanja kubne jednadºbe. Time je Bombelli prva osoba u povijesti 7

koja je kao smislene prihvatila kompleksne brojeve. On imaginarne brojeve zapisuje kao kvadratne korijene negativnih brojeva te takožer daje pravila za njihovo zbrajanje, oduzimanje i mnoºenje. No, najprije emo vidjeti kako je uop e nastala ta metoda rje²avanja kubne jednadºbe i rije²it emo jedan primjer u modernoj notaciji. Za jednadºbu oblika x 3 + px + q = 0 pretpostavimo da je njeno rje²enje x = u + v. Uvrstimo u polaznu jednadºbu i dobivamo: u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0. Uz odabir u i v takve da bude uv = p, srednji lan nestaje i jednadºba izgleda ovako: 3 u 3 + v 3 = q Dakle, umjesto polazne jednadºbe ra unamo sustav: Ali umjesto tog sustava rje²avamo sustav: u 3 + v 3 = q uv = p 3 u 3 + v 3 = q ( p 3 uv = 3) Zadnja dva sustava nisu ekvivalentna, odnosno svako rje²enje prvog sustava je rje²enje i drugog, ali obrnuto ne mora vrijediti. Zato rje²avamo zadnji sustav koji je lak²i za rije²iti i onda rje²enja koja dobijemo provjeravamo na prvom sustavu. Prema Viètovim formulama zaklju ujemo da su u 3 i v 3 korijeni jednadºbe: t 2 +qt ( p 3) 3 = 0. Znamo da je x = u + v pa se sad lako dobije da su u i v: u = 3 q (q ) 2 2 + 2 ( p 3 + 3) v = 3 q (q ) 2 2 2 ( p 3 + 3) Dakle, Cardano-Tartaglijeva formula izgleda ovako: x = 3 q (q ) 2 ( p ) 3 2 + 3 + + q (q ) 2 ( p 3 2 3 2 + 2 3) 8

Primjer: x 3 + 15x + 124 = 0 Vidimo da je u ovom primjeru p = 15 i q = 124 i uvrstimo ih u formulu u = 3 q 2 + ( q 2) 2 + ( p 3 ( u = 3 124 + 124 ) 2 ( 2 2 + 15 ) 3 3 = 3 1 Tre i korijen ima 3 vrijednosti. Ozna imo ih sa u 1, u 2 i u 3. Pomo u Moivrove formule dobivamo: u 1 = 1, u 2 = 1 + i 3 2 2, u 3 = 1 i 3 2 2. Pripadne v i odrežujemo iz 3u i v i + p = 0 za i = 1, 2, 3, tj. iz u i v i = 5. ( ) ( ) Dobivamo: v 1 = 5, v 2 = 5 2 1 + i 3, v3 = 5 2 1 i 3 Sada znamo da je x i = u i v i, i = 1, 2, 3 ²to daje kona no rje²enje: x 1 = 4, x 2 = 2 + 3i 3, x 3 = 2 3i 3 ) 3 Pokazuje se da za algebarske jednadºbe stupnja ve eg od etiri takve formule ne postoje. Tu je injenicu prvi dokazao Abel i ona se zove Abelov teorem. 9

4 François Viète François Viète rožen je 1540. godine u Fontenay-le-Comteu, u zapadnoj Francuskoj. kolu je zavr²io u rodnom gradu, a obrazovanje je nastavio u obliºnjem gradu Poitersu, gdje je po uzoru na oca zavr²io studij prava. ƒetiri godine radio je kao pravnik u Fontenay-le-Comteu, zatim je etiri godine proveo u La Rochelleu u sluºbi Antoinette d'aubeterre, rade i kao u itelj njezine k eri. 1570. godine preselio se u Pariz. Iako je odgajan kao rimokatolik, poznato je da je nekoliko godina bio Hugenot. Hugenoti su bili francuski protestanti. Dana 23. kolovoza 1572. Francuski kralj Karlo IX. naredio je veliki masakr Hugenota. Tog dana, poznatog i kao Bartolomejska no, dogodio se jedan od najve ih pomora ljudi zbog njihovih vjerskih identiteta i opredjeljenja. Gotovo svi vode i Hugenoti u Parizu su ubijeni. Viète je izvukao ºivu glavu te mu je kralj dodijelio posao savjetnika Parlamenta Britanije u Rennesu. Na toj poziciji ostaje do 1580. godine kada po inje raditi kao osobni savjetnik novog kralja, Henrija III. Godine 1584., zbog uzavrelosti vjerskih ratova, biva protjeran iz Pariza, te odlazi u Beauvoirsur-Mer na obali Francuske. Iako se Viéte ve prije iz razonode bavio matematikom, te objavljivao lanke iz matematike i astronomije, tek je sada imao vremena istinski se posvetiti znanosti. U sljede ih pet godina dogodila su se njegova najzna ajnija otkri a na podru ju matematike, zahvaljuju i kojima ga danas ubrajamo u jedne od najpoznatijih matemati ara. 1589. vra a se u Pariz i po inje sluºiti novog francuskog kralja, Henrija IV. U njegovoj sluºbi nije samo radio kao savjetnik, ve je i de²ifrirao poruke koje su bile slane kraljevom protivniku, ²panjolskom kralju Filipu II. Iako mu je trebalo neko vrijeme Viète je uspio prona i klju tzv. panjolske ²ifre, koji se sastojao od vi²e od 500 znakova. Matemati ko-astronomsko djelo Ad harmonicon coeleste jedno je od prvih Vièteovih projekata. Sastojalo se od etiri rukopisa, a u njemu je Viète iznio svoje teze o planetarnim teorijama Ptolomeja i Kopernika. Zaklju io je da nisu geometrijski valjane, no to nije bilo to no pa stoga njegovo djelo nikada nije bilo objavljeno. Njegov sljede i projekt bio je uspje²an. 1571. godine po eo je objavljivati Canon Mathematicus, koji je zami²ljen kao matemati ki uvod u astronomsku raspravu, no pokrivao je i trigonometriju i razne matemati ke probleme. U njemu je Viète izloºio op u metodu za odreživanje nepoznatih elemenata trokuta iz triju zadanih, u ravninskoj i sfernoj trigonometriji. U Torusu 1591. godine objavljuje knjigu In artem analyticam isagoge. U tom djelu objavio je prvi sustavni algebarski zapis. Uvodi slova za oznaku brojeva i nepoznanica. Time Viète postaje osniva em algebre u njenu modernom vidu, pa ga se esto naziva i ocem algebre. Predloºio je da se slova koriste za ozna avanje veli ina, poznatih i nepoznatih. Za ozna avanje poznatih veli ina koristio je samoglasnike, a za nepoznate suglasnike. Poslije je Descartes u svom djelu La Géometrie uveo da se poznate veli ine ozna avaju slovima s po etka abecede, a nepoznate veli ine slovima s kraja abecede. Te oznake se koriste i danas. U svom djelu pokazuje (ve prije poznate, ali i svoje nove) metode za rje²avanje jednadºbi do stupnja 4 i daje vezu izmežu koecijenata i rje²enja jednadºbe, danas poznate kao Vièteove formule. Sam pojam koecijent uveo je upravo on. 10

Konkretno, ako je dana kvadratna jednadºba x 2 +ax+b = 0 te ako su x 1 i x 2 njena rje²enja, onda je: x 1 x 2 = b x 1 + x 2 = a Sli no vrijedi i za kubnu jednadºbu x 3 + ax 2 + bx + c = 0 kojoj su rje²enja x 1, x 2 i x 3. x 1 x 2 x 3 = c x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = b x 1 + x 2 + x 3 = a Viète je takožer pisao knjige o trigonometriji i geometriji, kao ²to je Supplementum geometriae, izdana 1593. godine. U toj knjizi dao je geometrijsko rje²enje problema trisekcije kuta, te duplikacije kocke. Nizozemski matemati ar Adriaan van Roomen postavio je problem za ije je rje²enje bilo potrebno rije²iti jednadºbu 45. stupnja. Kralj poziva Vièta da rije²i taj problem i pokaºe da francuski matemati ari nisu preslabi. Viète ga je brzo rije²io uo iv²i da je u pozadini jednadºbe trigonometrija. Vièteova djela sabrao je Van Schooten, te izdao u knjizi opera Mathematica. 11

5 Niels Henrik Abel Henrik Abel rožen je 5. kolovoza 1802. u gradu Frindoe, kraj Stavangera u Norve²koj. Umro je 6. travnja 1829. u Frolandu. Abelov ºivot bio je obiljeºen siroma²tvom. Krajem 18. stolje a Norve²ka, u to doba u sastavu Danske, poku²ava ostati neutralna u napoleonskim ratovima, no Engleska to smatra agresijom te napada Dansku. Godine 1807. Englezi uni²tavaju itavu dansku otu kako bi sprije ili da ju Francuzi iskoriste za invaziju. Nakon toga Danska ulazi u anti-engleski savez, ²to za posljedicu ima englesku blokadu Norve²ke. Za Norve²ku je to ekonomska katastrofa jer im je Engleska bila glavni uvoznik drva. Slijedi ekonomska kriza i veliko siroma²tvo u Norve²koj. Nakon napada vedske na Dansku, 1814. Danci predaju Norve²ku vedskoj. Usprkos norve²kom poku²aju borbe za neovisnost, vežani uspostavljaju kontrolu nad Norve²kom. U to te²ko doba odrastao je Niels Abel. Otac mu je bio teolog i lolog, norve²ki nacionalist i aktivan u borbi za norve²ku nezavisnost. Majka mu je bila k er trgovca i vlasnika brodova. Obitelj je imala sedmero djece, od kojih je Niels bio drugo. Kad je Niels imao godinu dana, otac nakon smrti svog oca naslježuje mjesto protestantskog sve enika u Gjerstadu. Do trinaeste godine Nielsa podu ava otac, no ºive u siroma²tvu. Problemi obitelji ipak nisu bili samo ekonomski i politi ki. Prema raznim izvorima, Nielsov otac je bio alkoholi ar, a majka ºena slabog morala. Godine 1815. Niels i njegov stariji brat poslani su u katedralnu ²kolu u Christianii (danas Oslo). Niels je prosje an u enik koji pokazuje ne²to talenta za matematiku i ziku. Kad je u itelj matematike otpu²ten jer je nasmrt pretukao dje aka, stvari se bitno mijenjaju dolaskom novog u itelja matematike Bernta Holmboea. Potican od Holmboea, u roku od godinu dana Abel je sposoban itati djela sveu ili²ne razine. Holmboe je osobito potakao Abelov interes za Lagrangeova i Laplaceova djela. Godine 1820. Abelov otac umire. Obitelj ostaje u jako te²kim nancijskim uvjetima i nema mogu nosti nanciranja nastavak Abelova ²kolovanja. Holmboe ipak uspijeva izboriti stipendiju kojom Abel zavr²ava ²kolu. Abelov prvi abmiciozni pothvat bila je op a jednadºba petog stupnja. Prve rezultate o jednadºbi petog stupnja Abel objavljuje 1821. godine. Rad, u kojem je naizgled dokazao rje²ivost, predaje Kraljevskom dru²tvu u Copenhagenu, no kad su ga zamolili za konkretan primjer, otkrio je gre²ku. Prvotni neuspjeh skrenuo ga je na pravi put i ponukao na to da posumnja je li algebarsko rje²enje mogu e. Dokazao je nemogu nost. 1821. upisuje sveu ili²te u Christianii, a diplomira 1822. Na tom je sveu ili²tu imao jaku podr²ku profesora astronomije Christophera Hansteena. U novom asopisu kojeg je pokrenuo Hansteen, Abel 1823. objavljuje lanke o funkcionalnim jednadºbama i integralima. Pri jednom boravku u Copenhagenu upoznaje Christine Kemp s kojom se ubrzo zaru uje. Po povratku u Christianiu, poku²ava izboriti nanciranje puta u Europu da upozna velike matemati are Njema ke i Francuske. Kako nije znao ni njema ki ni francuski, nanciranje je odgoženo za dvije godine. Abel se 12

ponovno vra a radu na jednadºbama petog stupnja i 1824. dokazuje da se ne mogu rije²iti u radikalima. Taj je rad objavio na vlastiti ra un i na francuskom jeziku, kako bi imao impresivni rezultat za prezentiranje na svom putovanju. Dokaz koristi elemente tada jo² nepoznate teorije grupa, koja e nastati iz Galoisovih i Cauchyjevih rezultata i radova. Taj rad poslao je Gaussu, no Gauss ga nije ni pogledao. Godine 1825. Abel dobiva novce za studijski posjet Francuskoj i Njema koj. U Berlinu se sprijateljuje s Augustom Crelleon, matemati arem amaterom koji je osnovao jedan od najznamenitijih matemati kih asopisa u povijesti: Journal für die reine und angewandte Mathematik. U tom asopisu Abel objavljuje nekoliko radova. U njima se pojavljuje i bolja verzija njegovog prija²njeg dokaza o nerje²ivosti jednadºbe petog stupnja (1827.). Nakon Berlina Abel odlazi u Pariz gdje pi²e vaºno dijelo o elipti kim integralima kojim poop ava Eulerove rezultate i koje sadrºi danas vrlo poznati Abelov teorem. Taj teorem kaºe kako izra unati zbroj nekoliko odreženih integrala iste funkcije, ali u razli itim granicama, koje su rje²enja neke algebarske jednadºbe. Vra a se u Berlin 1826. i nastavlja raditi na elipti kim funkcijama te pretvara teoriju elipti kih integrala u teoriju elipti kih funkcija. Abelovi rezultati o elipti kim funkcijama postat e temelj svih budu ih istraºivanja u tom podru ju. Do Abela, matemati ari su stotinjak godina, dosta neuspje²no, poku²avali prou iti elipti ke integrale. Abel ih invertira u elipti ke funkcije, kojima se mnogo lak²e barata i time otvara prostor novim istraºivanjima. U svibnju 1827. vra a se u Christianiu i dobiva mali kredit od sveu ili²ta koji mu se odbija od svih budu ih pla a. Da bi zaradio malo novca, Abel podu ava djecu, a zaru nica mu se zapo²ljava kao guvernanta u Frolandu. Situacija se malo popravlja kad Abel dobiva Hansteenovo mjesto na sveu ili²tu i vojnoj akademiji. Godine 1828. Abel saznaje za Jacobijeve rezultate o transformacijama elipti kih integrala i pokazuje da se ti rezultati mogu dobiti kao posljedica njegovih. Ubrzo objavljuje i nekoliko novih rezultata na tu temu, te on i Jacobi postaju znameniti: Legendre ih naziva najve im analiti arima tog doba. U to doba se Abel po inje baviti i pitanjem koje e nekoliko godina kasnije rije²iti Galois: koje su algebarske jednadºbe rje²ive u radikalima? Za Boºi putuje zaru nici u Froland te se ozbiljno razbolijeva nakon jedne voºnje sanjkama. Za to saznaje Crelle, koji opet poja ava trud da mu naže mjesto profesora. Crelle nakraju i uspijeva, nalazi mu mjesto profesora u Berlinu. Pismo s dobrom vijesti stiglo je 8. travnja 1829. - dva dana nakon Abelove smrti od tuberkuloze. Zadnje dane proveo je iznimno slab, pri aju i o pro²losti. Nakon Abelove smrti naženi su jo² neki rezultati o algebarskim jednadºbama. 1828. otkrio je sljede e: ako ireducibilna jednadºba tre eg stupnja ima takvu vezu mežu tri svoja korijena da se jedan od njih moºe izraziti kao racionalna funkcija druga dva, onda je jednadºba rje²iva u radikalima. Na²ao je jedan kriterij za provjeru konvergencije reda, danas poznat kao Abelov: ako imamo jedan niz koji pada prema nuli, a drugi niz takav da je niz njegovih parcijalnih suma ograni en, onda red iji su lanovi produkti odgovaraju ih lanova ta dva niza konvergira. Abel se bavio i teorijom grupa, te i danas, nama svima poznata, algebarska struktura nosi njegovo ime. Abelova grupa je skup s binarnom operacijom koji zadovoljava sljede e aksiome: zatvorenost, asocijativnost, neutralni element, inverzni element i komutativnost. 13

6 Literatura 1. F.M. Brückler, Povijest matematike I, Sveu ili²te J.J.Strossmayera, Odjel za matematiku, 2014. 2. B. Pavkovi, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehni ka knjiga, 1992. URL: http://www.irb.hr/korisnici/zskoda/elementarna-matematika-1-pavkovic-veljan.pdf 3. I. Tadi, Matematika u doba renesanse, diplomski rad, Osijek, 2015. URL: http://www.mathos.unios.hr/ mdjumic/uploads/diplomski/tad01.pdf 4. School of Mathematics and Statistics, University of St.Andrews, Scotland, 2005. URL: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/biographies/abel.html URL: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/biographies/cardan.html URL: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/biographies/viete.html URL: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/biographies/tartaglia.html 14