UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY ZNÁME NEROVNOSTI V MATEMATIKE BAKALÁRSKA PRÁCA 014 Zuzana FRONCOVÁ

UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY ZNÁME NEROVNOSTI V MATEMATIKE BAKALÁRSKA PRÁCA tudijný program: tudijný odbor: koliace pracovisko: Vedúci práce: Ekonomická a nan ná matematika 1114 Aplikovaná matematika Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky RNDr. Mária Trnovská, PhD Bratislava 014 Zuzana FRONCOVÁ

3080897 Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE Meno a priezvisko študenta: Študijný program: Študijný odbor: Typ záverečnej práce: Jazyk záverečnej práce: Zuzana Froncová ekonomická a finančná matematika Jednoodborové štúdium, bakalársky I. st., denná forma) 9.1.9. aplikovaná matematika bakalárska slovenský Názov: Cieľ: Známe nerovnosti v matematike / Well-known inequalities in mathematics Spracovanie prehľadu najznámejších nerovností v matematike s ich zovšeobecneniami, alternatívnymi dôkazmi, súvislosťami. Vedúci: Katedra: Vedúci katedry: Dátum zadania: 18.10.013 RNDr. Mária Trnovská, PhD. FMFI.KAMŠ - Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky prof. RNDr. Daniel Ševčovič, CSc. Dátum schválenia: 14.11.013 doc. RNDr. Margaréta Halická, CSc. garant študijného programu študent vedúci práce

Po akovanie Touto cestou sa chcem po akovat svojej vedúcej bakalárskej práce RNDr. Márii Trnovskej, PhD za ochotu, pomoc, odborné rady a podnetné pripomienky, ktoré mi pomohli pri písaní tejto práce. akujem aj svojej rodine a priate om za ich trpezlivos a podporu.

Abstrakt v ²tátnom jazyku FRONCOVÁ, Zuzana: Známe nerovnosti v matematike [Bakalárska práca], Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky; ²kolite : RNDr. Mária Trnovská, PhD., Bratislava, 014, 60 s. V na²ej práci sa zaoberáme dvomi z najznámej²ích a najpouºívanej²ích nerovností. Sú to Cauchy-Schwarzova nerovnos a nerovnos aritmetického a geometrického priemeru. Na²im cie om je zozbieranie a spracovanie mnoºstva informácií z rôznych zdrojov a vytvorenie jedného celku, ktorý itate ovi predstaví dané nerovnosti aj s ich zov²eobecneniami, alternatívnymi dôkazmi a súvislos ami medzi nimi a im podobnými nerovnos ami. Okrem zozbierania a spracovania je cie om tejto práce aj podrobné a o najzrozumite nej²ie podanie informácií itate ovi, ktorý s touto problematikou nemusí ma skúsenosti. Význam práce spo íva v tom, ºe itate ovi so záujmom o túto tému poskytuje viac informácií ako iné, v²eobecnej²ie zamerané publikácie. K ú ové slová: Cauchy-Schwarzova nerovnos, AG nerovnos, alternatívne dôkazy, aplikácie

Abstract FRONCOVÁ, Zuzana: Well-known inequalities in mathematics [Bachelor Thesis], Comenius University in Bratislava, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Department of Applied Mathematics and Statistics; Supervisor: RNDr. Mária Trnovská, PhD., Bratislava, 014, 60 p. Our thesis is dedicated to two of the best-known and most widely used inequalities, which are the Cauchy-Schwarz inequality and the Inequality of arithmetic mean and geometric mean. Our objective is collecting and processing information from dierent sources and creating one unit, that makes the reader acquainted with these inequalities with their generalizations, alternative proofs and connections to other similar inequalities. Besides collecting and processing information, the aim of this work is to present the information in the most detailed and comprehensible form to a reader, who might not have any previous knowledge of this subject. The purpose of this thesis lies in oering an interested reader more on the subject than other, more generally aimed publications. Keywords: Cauchy-Schwarz inequality, Arithmetic Mean-Geometric Mean inequality, alternative proofs, applications

OBSAH OBSAH Obsah Zoznam obrázkov 9 Úvod 10 1 Cauchy-Schwarzova nerovnos 1 1.1 História................................... 1 1. V²eobecný tvar............................... 14 1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia..................... 0 1.3.1 Odvodenie pomocou Lagrangeovej identity............ 0 1.3. Dôkaz matematickou indukciou.................. 1 1.3.3 Dôkaz pomocou postupnosti sú tov................ 1.3.4 Dôkaz pomocou Jensenovej nerovnosti.............. 3 1.3.5 Dôkaz pomocou AG nerovnosti.................. 4 1.3.6 Dôkaz pomocou permuta nej nerovnosti............. 4 1.3.7 Odvodenie z úlohy na viazaný extrém............... 5 1.4 Aplikácie................................... 8 1.4.1 Trojuholníková nerovnos...................... 8 1.4. Kosínus uhla dvoch vektorov.................... 8 1.4.3 Korela ný koecient........................ 30 1.4.4 Úloha o kladne denitných maticiach............... 3 1.5 Súvis s Hölderovou nerovnos ou...................... 35 AG nerovnos 36.1 V²eobecný tvar............................... 36. Jednoduché dôkazy pre premenné.................... 37..1 Geometrický dôkaz.1....................... 37.. Geometrický dôkaz........................ 38..3 Geometrický dôkaz.3....................... 39..4 Geometrický dôkaz.4....................... 40..5 Dôkaz pomocou doty nice hyperboly............... 41.3 Cauchyho dôkaz spätnou indukciou.................... 4 7

OBSAH OBSAH.4 Dôkaz pomocou pre²kálovania prvkov................... 44.5 Dôkazy vyuºívajúce konvexnos alebo konkávnos............ 46.5.1 Dôkaz pomocou konkávnosti geometrického priemeru...... 46.5. Dôkaz pomocou Jensenovej nerovnosti.............. 48.5.3 Dôkaz pomocou doty nice konvexnej funkcie........... 49.6 Aplikácie................................... 50.6.1 Maximaliza ná úloha........................ 50.6. Eulerove íslo............................ 51.7 Analógia s izoperimetrickou nerovnos ou................. 53 Záver 56 Zoznam pouºitej literatúry 58 8

ZOZNAM OBRÁZKOV ZOZNAM OBRÁZKOV Zoznam obrázkov 1 Z ava: Augustin Louis Cauchy [8], Viktor Jakovlevi Bunyakovskij [7] a Hermann Amandus Schwarz [8]..................... 1 Komplexné íslo z a k nemu komplexne zdruºené z [30]......... 19 3 Mnoºina prípustných rie²ení f 1 u) = u T u 1 = 0, kde u R a vrstevnice ú elovej funkcie f 0 u) = v T u, pre v = 1, 1) a hodnoty f 0 u) = 0, f 0 u) = 1, f 0u) = 1 a f 0 u) =.................. 6 4 Projekcia vektora v na vektor u...................... 9 5 Korela ný koecient pre rôzne sady dát.................. 31 6 Geometrický dôkaz.1, [31]........................ 38 7 Geometrický dôkaz., [31]........................ 39 8 Geometrický dôkaz.4, [5]......................... 39 9 Geometrický dôkaz.3........................... 40 10 Dôkaz pomocou doty nice hyperboly, [31]................. 41 11 Aritmetický a geometrický priemer.................... 48 1 Doty nica k y = e x v bode x = 0, [5]................... 49 13 Zvä ²enie plochy ohrani enej krivkou bez zmeny obvodu [1]....... 54 14 Rovnaká plocha ohrani ená kruºnicou a inou krivkou [9]........ 54 15 Obd ºnik a ²tvorec s plochou x 1 x..................... 55 16 Obd ºnik a ²tvorec s obvodom x 1 + x................. 55 9

ÚVOD ÚVOD Úvod Rovnosti neexistujú, dokonca aj v udskom ºivote sa vºdy stretávame s nerovnos ami. Dragoslav S. Mitrinovi Ako tvrdí jeden z uznávaných matematikov, ktorý venoval ve kú as svojej práce práve nerovnostiam, Dragoslav S. Mitrinovi, s nerovnos ami sa stretávame kaºdodenne bez toho, aby sme si to uvedomili a pritom zohrávajú v na²om ºivote celkom významnú úlohu. V obchode môºeme minú najviac celú výplatu, ak cesta do ²koly trvá 5 minút, musíme z domu vyrazi aspo 5 minút pred za iatkom vyu ovania... Nerovnosti sú uº oddávna povaºované taktieº za dôleºitú oblas matematiky a ich platnos sa asto vyuºíva aj v iných matematických odvetviach. Predstavujú neustále sa meniace a ve mi atraktívne pole pre výskum. Pod a publikácie [1] boli základy teórie nerovností vybudované v 18. a 19. storo í matematikmi K. F. Gauss 1777-1855), A. L. Cauchy 1789-1857) a P. L. ƒeby²ev 181-1894). V nasledujúcich rokoch nerovnosti oslovili aj al²ích významných matematikov ako H. Poincaré 1854-191), A. M. Lyapunov 1857 1918), O. Hölder 1859-1937) alebo J. Hadamard 1865-1963). 0. storo ie, ako sa môºeme do íta v rôznych zdrojoch ako napríklad [17], [18] a [], bolo obdobím ve kého pokroku a to hlavne v aka siedmim konferenciám o nerovnostiach, ktoré sa konali v Nemeckom Oberwolfachu v rokoch 1976 aº 1995. Vyvinula sa celkom nová vetva modernej matematiky nerovnosti. Prvou knihou venovanou výlu ne nerovnostiam bola práca Inequalities od autorov G. H. Hardy 1877-1947), J. E. Littlewood 1885-1977) a G. Pólya 1887-1985), prvýkrát publikovaná v roku 1934. Táto kniha podnietila vydanie mnohých al²ích kníh, napríklad Inequalities 1961) od E. F. Beckenbacha 1906-198) a R. Bellmana 190-1984), Analytic Inequalities 1970) od D. S. Mitrinovi a 1908-1995) alebo Classical and New Inequalities in Analysis 1993) od D. S. Mitrinovi a, J. E Pe ari a a A. M. Finka [18], z ktorej budeme aj alej v tejto práci erpa. Objavili sa aj knihy zamerané na ²peciálne typy 10

ÚVOD ÚVOD nerovností, ako napríklad diferenciálne nerovnosti alebo nerovnosti priemerov. Medzi takéto patria napríklad publikácie od P.S. Bullena a P. M. Vasi a Means and Their Inequalities a od D. S. Mitrinovi a, J. E. Pe ari a 1948 - ) a A. M. Finka 193 - ) Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives 1991). V sú asnosti existujú zoskupenia matematikov z celého sveta zamerané na matematické nerovnosti a ich aplikácie. Pokra ujú konferencie pod a príkladu tých zo 70-tych aº 90-tych rokov minulého storo ia venované nerovnostiam a moºnostiam ich vylep²enia. Objavujú sa stále nové nerovnosti a nové dôkazy tých star²ích. Cie om tejto práce bolo vytvori ucelený preh ad nieko kých najznámej²ích a najvyuºívanej²ích nerovností. Konkrétne sme vybrali dve nerovnosti, a to Cauchy-Schwarzovu nerovnos a nerovnos aritmetického a geometrického priemeru, skrátene nazývanú AG nerovnos. O týchto nerovnostiach uº existuje ve a rôznych kníh, lánkov a ²kolských prác. Kaºdý zdroj uvádza iné dôkazy, odvodenia, dôsledky a aplikácie. Na²im cie om teda bolo zozbiera viaceré alternatívne dôkazy, aplikácie a poukáza na súvislosti s inými nerovnos ami. Prácu sme rozdelili na dve hlavné kapitoly. Prvá kapitola bude celá venovaná Cauchy- Schwarzovej nerovnosti. Na za iatok oboznámime itate a s jej autormi, historickým pozadím a postupnými zov²eobecneniami. Následne dokáºeme v²eobecný tvar Cauchy- Schwarzovej nerovnosti a uvedieme nieko ko ²peciálnych prípadov. alej bude nasledova as s viacerými alternatívnymi dôkazmi. Nakoniec pridáme nieko ko aplikácií Cauchy-Schwarzovej nerovnosti a jej súvis so v²eobecnej²ou Hölderovou nerovnos ou. V druhej kapitole itate a oboznámime s AG nerovnos ou. V úvode tejto kapitoly uvedieme tri základné tvary tejto nerovnosti. Potom nasledujú dôkazy, usporiadané od najjednoduch²ích po zloºitej²ie. alej budú nasledova aplikácie AG nerovnosti a úplne na záver uvedieme analógiu AG nerovnosti s izoperimetrickou nerovnos ou. 11

1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS 1 Cauchy-Schwarzova nerovnos Nerovnos, s ktorou sa zoznámime v tejto kapitole je vo vysoko²kolskej matematike povaºovaná za dôleºitý pojem. Významnú rolu, ako sa pí²e aj v lánku [3], zohráva v teórii Hilbertových priestorov, matematickej analýze, numerickej analýze, pravdepodobnosti a ²tatistike alebo kvalitatívnej teórii diferenciálnych rovníc. Naj astej²ie sa jej platnos vyuºíva pri odhadoch matematických výrazov, dôkazoch tvrdení a je jedným zo základných nástrojov pri práci s nerovnos ami. V literatúre býva ozna ovaná ako Cauchyho nerovnos, Schwarzova nerovnos, Cauchy-Schwarzova nerovnos alebo Cauchy-Schwarzova-Bunyakovského nerovnos, pod a troch slávnych matematikov, ktorým v a íme za jej objavenie a viaceré roz²írenia. Obr. 1: Z ava: Augustin Louis Cauchy [8], Viktor Jakovlevi Bunyakovskij [7] a Hermann Amandus Schwarz [8] 1.1 História Prvýkrát bola Cauchy-Schwarzova nerovnos, ako uvádza práca [15], z ktorej sme v tejto podkapitole erpali, publikovaná v roku 181 v diele Augustina Louisa Cauchyho Cours d' Analyse Algébrique [7], kde ju pouºil v zopár ilustratívnych príkladoch. O 8 rokov neskôr ju pouºil znovu pri overovaní Newtonovej metódy na h adanie kore ov algebraických rovníc. Cauchy odvodil túto nerovnos v nasledovnom znení: Nech u 1,..., u n, v 1,..., v n sú reálne ísla, potom platí n ) u i v i n u i n v i. 1) 1

1.1 História 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Rovnos nastáva vtedy a len vtedy, ak u i = 0 pre v²etky i = 1,..., n alebo existuje t R také, ºe v i = tu i pre v²etky i = 1,..., n. Tento tvar je aj dnes naj astej²ie pouºívaným tvarom Cauchy-Schwarzovej nerovnosti. Neskôr ju Viktor Jakovlevi Bunyakovskij v roku 1859 vo svojom diele Mémoires [6] roz²íril aj na sú ty nekone ných radov a integrály pomocou aproximácie sumami. Pre nekone né rady teda nadobudla znenie: Nech u 1, u,..., v 1, v,... sú reálne ísla, potom platí ) u i v i vi. ) Rovnos nastáva vtedy a len vtedy, ak u i = 0 pre v²etky i = 1,,... alebo existuje t R také, ºe v i = tu i pre v²etky i = 1,,.... Uvedieme aj integrálnu formu pre funkcie: Nech f, g sú reálne integrovate né funkcie na intervale [a, b], potom b b fx)gx)dx) a a u i ) b ) f x)dx g x)dx, 3) a pri om rovnos platí práve vtedy, ke f a g sú lineárne závislé funkcie, teda gx) = λfx), kde λ R. Jedným z mien, ktoré sa s touto nerovnos ou spájajú je aj meno matematika Hermanna Amandusa Schwarza. Schwarz vo svojom lánku [3] sformuloval Cauchyho nerovnos pre vektorové priestory, skalárny sú in a jeho normu. Nech V je vektorový priestor nad po om F so skalárnym sú inom.,. : V V F a normou., odvodenou od tohto skalárneho sú inu ako u = u, u. Potom pre ubovo né vektory u, v V platí u, v u v. 4) Rovnos nastáva práve vtedy, ke u a v sú lineárne závislé vektory, teda ak existujú také reálne ísla k 1, k, ºe aspo jedno z nich je rôzne od nuly a zárove platí k 1.u + k.v = 0. 13

1. V²eobecný tvar 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS 1. V²eobecný tvar Predtým, ako vyslovíme a dokáºeme tvrdenie o v²eobecnom tvare Cauchy-Schwarzovej nerovnosti pre ubovo ný vektorový priestor so skalárnym sú inom a od neho odvodenou normou, si pripomenieme pojmy vektorový priestor, skalárny sú in a norma. Hovoríme, ºe V je vektorový priestor nad po om F, ak neprázdna mnoºina V spolu s binárnou operáciou +, V, +) je komutatívna grupa a kaºdej dvojici c F, v V je priradený prvok c.v V, pri om pre ubovo né c, d F a u, v V platí: i) c.u + v) = c.u + c.v, ii) c + d).v = c.v + d.v, iii) c.d).v = c.d.v), iv) 1.v = v. Skalárny sú in na vektorovom priestore V nad po om reálnych ísel R je zobrazenie g : V V R. Zobrazenie g je kladne denitná symetrická bilineárna forma, to znamená, ºe pre ubovo né u, v, w V a c R platí: i) gu, v) = gv, u) ii) gu + v, w) = gu, w) + gv, w) iii) gcu, v) = cgu, v) iv) ak u 0, tak gu, u) > 0. Vektorový priestor V spolu so skalárnym sú inom g alebo inak povedané, usporiadanú dvojicu V, g), nazývame unitárnym vektorovým priestorom. alej budeme pre skalárny sú in pouºíva namiesto gu, v) ozna enie u, v. Norma vektora, teda jeho ve kos je pre ubovo ný prvok unitárneho vektorového priestoru V denovaná ako funkcia. : V R, ktorá pre ubovo né u, v V a pre ubovo né α R sp a vlastnosti: i) u 0, u = 0 práve vtedy, ak u = 0, ii) αu = α u, iii) u + v u + v. My budeme uvaºova len normy odvodené od niektorého skalárneho sú inu nasledovným spôsobom u = u, u. 14

1. V²eobecný tvar 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Teraz prejdeme ku v²eobecnému tvaru Cauchy-Schwarzovej nerovnosti pre unitárny vektorový priestor s normou. Tvrdenie 1.1. Nech V je unitárny vektorový priestor nad R. Potom pre ubovo né vektory u, v V platí u, v u v. Rovnos nastáva vtedy a len vtedy, ak u a v sú lineárne závislé vektory, t.j. existuje k R, ºe u = kv. Dôkaz: Vlastnos iv) skalárneho sú inu nám zabezpe í, ºe u 0 a u = 0 práve vtedy, ke u = 0. Tento poznatok pouºijeme pre vektor u + cv, kde c je ubovo né reálne íslo. V aka vlastnostiam skalárneho sú inu môºeme urobi tieto úpravy u + cv = u + cv, u + cv = u, u + c u, v + c v, v = = u + c u, v + c v 0. Ke ºe uvedená nerovnos mala plati pre ubovo né c, môºeme ju chápa ako kvadratickú nerovnicu s neznámou c. Diskriminant tejto nerovnice musí by nekladný D = 4 u, v 4 u v 0. Z tejto nerovnosti dostaneme u, v u v a po odmocnení máme u, v u v, o je práve nerovnos 4). Tým sme dokázali platnos Cauchy-Schwarzovej nerovnosti pre ubovo ný vektorový priestor a skalárny sú in s normou. Pre rôzne vektorové priestory a skalárne sú iny nadobúda Cauchy-Schwarzova nerovnos rôzne tvary. Ke napríklad zoberieme za V reálny n-rozmerný vektorový priestor R n a ²tandardný skalárny sú in denovaný ako 15

1. V²eobecný tvar 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS u, v = u T v = n u i v i s Euklidovskou normou n u = u i, tak dostaneme Cauchyho tvar 1). Bunyakovského tvar pre nekone né sumy ) dostaneme, ak vezmeme ako V nekone norozmerný reálny vektorový priestor a skalárny sú in denovaný nasledovne u, v = u T v = u i v i s normou u = u i. Ak chceme dosta druhý Bunyakovského tvar pre funkcie 3), zoberieme za V priestor C a, b v²etkých spojitých reálnych funkcií denovaných na uzavretom intervale a, b, kde a < b sú reálne ísla. Pre f, g V denujeme skalárny sú in nasledovne s normou f, g = f = b a b fx)gx)dx a f x)dx. Overíme, ºe takto denovaný skalárny sú in sp a potrebné vlastnosti. Násobenie reálnych ísel je komutatívne a integrál má vlastnos homogenity a aditivity. Z toho vyplýva, ºe f, g je symetrická bilineárna forma na V, teda sp a prvé tri vlastnosti skalárneho sú inu. alej pre f 0, je f x) 0 pre kaºdé x a, b. Zo spojitosti f, a teda aj f, vyplýva existencia uzavretého podintervalu c, d a, b takého, ºe f x) > 0 pre v²etky x c, d. Na tomto podintervale f zárove nadobúda svoje minimum, teda f, f = b a f x)dx d c f x)dx d c) min c x d f x) > 0. 16

1. V²eobecný tvar 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS To znamená, ºe tento skalárny sú in sp a aj podmienku kladnej denitnosti, teda je korektne denovaný. al²ím príkladom skalárneho sú inu sú kladne denitné bilineárne formy denované nasledovne s normou tvaru u, v = u T Av u = u T Au, kde A je kladne denitná n n matica a u, v R n sú n-rozmerné reálne vektory. Cauchy-Schwarzova nerovnos má pre n-rozmerný reálny vektorový priestor R n a takto denovaný skalárny sú in nasledovný tvar u T Av ut Au v T Av, s rovnos ou pre lineárne závislé vektory u a v. Ak uvaºujeme priestor reálnych m n matíc R m n a na om denovaný skalárny sú in matíc U, V R m n ako U, V = tru T V ), kde tra) je stopa matice A R n n, t.j. tra) = n a ii. Norma odvodená od tohto skalárneho sú inu vyzerá nasledovne U = U, U = tru T U). Cauchy-Schwarzova nerovnos v tomto prípade nadobúda tvar tru T V ) tru T U) trv T V ). Rovnos nastáva vtedy a len vtedy, ke je jedna z matíc nulová alebo je skalárnym násobkom druhej U = cv, 17

1. V²eobecný tvar 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS kde c je reálne íslo. Napokon, Cauchy-Schwarzova nerovnos sa dá zov²eobecni pre vektorový priestor nad komplexnými íslami a Hermitovský skalárny sú in. Hermitovský skalárny sú in je zobrazenie h : V V C na n-rozmernom komplexnom vektorovom priestore V denované ako hu, v) = u, v = n u i v i, kde u, v C n. Hermitovský skalárny sú in sp a pre ubovo né u, v, w C n a c C nasledujúce vlastnosti: i) u + v, w = u, w + v, w ii) u, v + w = u, v + u, w iii) cu, v = c u, v iv) u, cv = c u, v v) u, v = v, u vi) u, u 0, s rovnos ou iba pre u = 0. Norma pre hermitovský skalárny sú in má tvar n n u = u i u i = u. Cauchy-Schwarzova nerovnos pri takejto denícii vektorového priestoru a skalárneho sú inu vyzerá pre u, v V nasledovne n n n u j v j u j u j v j v j. 5) j=1 j=1 V²eobecný tvar Cauchy-Schwarzovej nerovnosti sme v²ak mali dokázaný len pre skalárne sú iny na vektorových priestoroch nad R. Uvedieme preto aj analógiu tohoto dôkazu pre komplexný priestor. Dôkaz: Vyuºijúc vlastnosti hermitovského sú inu robíme úpravy u + cv, u + cv = u, u + u, cv + cv, u + cv, cv = u, u + c u, v + c v, u + cc v, v = u + c u, v + c u, v + c v = u + Rec u, v ) + c v. j=1 18

1. V²eobecný tvar 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Kladná denitnos hermitovského skalárneho sú inu nám pre ubovo né u, v C n a c C zabezpe í nezápornos výrazu u + cv, u + cv, teda dostaneme nerovnos u + Rec u, v ) + c v 0. 6) Vieme, ºe reálna as komplexného ísla je vºdy men²ia ako jeho absolútna hodnota, teda Rec u, v ) c u, v = c u, v. Ke takto nahradíme prostredný len v nerovnosti 6) máme novú nerovnos c v + c u, v + u 0, ktorú uº vieme ahko vyrie²i rovnakým spôsobom ako v reálnom prípade. Z nekladného diskriminantu dostaneme nerovnos 5). Na druhej strane si môºeme v²imnú, ºe ke jednotlivé zloºky u = u 1, u,..., u n ) prepí²eme ako u k = x k +y k i, dá sa o C n uvaºova ako o R n. Teda komplexný vektorový priestor sa dá zreálni na n rozmerný vektorový priestor nad R. Obr. : Komplexné íslo z a k nemu komplexne zdruºené z [30] V tom prípade je reálna as hermitovského skalárneho sú inu Reh) ²tandardný skalárny sú in a jeho imaginárna as Imh) je nedegenerovaná nulová len pre nulový prvok) bilineárna forma s meniacimi sa znamienkami. 19

1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS 1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia Spôsobov dokazovania tejto nerovnosti je skuto ne ve mi ve a a vznikajú stále nové, i uº podobné tým star²ím alebo s celkom odli²nou technikou. V tejto práci ur ite nie je priestor, aby sme sa venovali kaºdému z nich, tak uvedieme aspo tie jednoduch²ie alebo zaujímavej²ie.v²etky dôkazy sa týkajú tvaru 1). 1.3.1 Odvodenie pomocou Lagrangeovej identity Tento dôkaz vyuºíva platnos Lagrangeovej identity 1 n n u i v j u j v i ) = j=1 alebo inak zapísané ako n u i n n ) v i u i v i. 7) u v = u v u, v Uvedieme odvodenie in²pirované lánkom [3]. Po umocnení a usporiadaní výrazu n n j=1 n u i v i j=1 n u i v j u j v i ) = n n j=1 dostaneme Lagrangeovu identitu 7). n u i v j u j v i ) u n i j=1 v j + n v n i j=1 u j n ) n ) n ) v j u j = u i v i u i v i Vidíme, ºe výraz na avej strane 7) je nezáporný pre v²etky reálne ísla, teda n u n n i v i u i v i) = 1 n n u i v j u j v i ) 0. Z toho vyplýva o je presne tvar 1). n u n i j=1 n v i ) u i v i, 0

1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS 1.3. Dôkaz matematickou indukciou Úplne odli²ným spôsobom dokazovania je matematická indukcia, no aj takýmto spôsobom sa dá Cauchy-Schwarzova nerovnos dokáza. In²pirovali sme sa dôkazom na stránke [0] a v lánku [3]. Prípad n = 1 je triviálny. Pre n = máme u 1 v 1 + u v ) = u 1 v 1 + u 1 v 1 u v + u v. V aka nezápornosti výrazu u 1 v u v 1 ) 0 alebo ekvivalentne u 1 u v 1 v u 1v + u v 1 dostaneme u 1 v 1 + u 1 v 1 u v + u v u 1 v 1 + u 1 v + u v 1 + u v = u 1 + u )v 1 + v ), teda platí nerovnos u 1 v 1 + u v ) u 1 + u )v 1 + v ). Predpokladajme, ºe takáto nerovnos platí pre nejaké prirodzené íslo k, teda k ) k u i v i u i ) k Dokáºeme platnos tohto tvrdenia pre k + 1, teda k+1 ) k+1 ) k+1 u i v i u i v i v i ) ). 8) Za neme od induk ného predpokladu 8), ktorý odmocníme a pripo ítame k + 1-vé leny k k u i v i + u k+1 v k+1 u i ) 1 k Teraz vyuºijeme uº dokázanú Cauchyho nerovnos pre n = v tvare v i ) 1 a 1 b 1 + a b a 1 + a ) 1 b 1 + b ) 1. + u k+1 v k+1. 9) 1

1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Za a 1, a, b 1, b dosadíme nasledovné výrazy: a 1 = k u i, a = u k+1, b 1 = k vi, b = v k+1 a z pravej strany nerovnosti 9) dostaneme o je to isté ako k k u i v i + u k+1 v k+1 k+1 u i v i ) u i + u k+1 k+1 u i ) 1 k ) 1 k+1 v i v i + v k+1 To znamená, ºe Cauchy-Schwarzova nerovnos platí pre n = k+1, teda platí pre v²etky prirodzené ísla. Po umocnení dostaneme nerovnos 1). ) 1. ) 1, 1.3.3 Dôkaz pomocou postupnosti sú tov V nasledujúcom dôkaze pod a príkladu autora lánku [3] vytvoríme monotónnu postupnos {S n }. Denujeme ju nasledovne S n = u 1 v 1 +... + u n v n ) u 1 +... + u n)v1 +... + vn). Potom rozdiel po sebe idúcich lenov vyzerá takto S n+1 S n = u 1 v 1 +... + u n+1 v n+1 ) u 1 +... + u n+1)v1 +... + vn+1) u 1 v 1 +... + u n v n ) + u 1 +... + u n)v1 +... + vn) = u 1v1 +... + u n+1vn+1 + u 1 v 1 u v +... + u n v n u n+1 v n+1 u 1v1... u n+1vn+1 u 1v1... u nvn u 1 v 1 u v... u n v n u n+1 v n+1 + u 1v1 +... + u nvn a dá sa zjednodu²i na S n+1 S n = [u 1 v n+1 v 1 u n+1 ) + u v n+1 v u n+1 ) +... + u n v n+1 v n u n+1 ) ]. Z toho vidno, ºe

1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS S n+1 S n a ke ºe to platí pre v²etky n N, tak S n S n 1... S 1 = 0, o implikuje na²u nerovnos 1). 1.3.4 Dôkaz pomocou Jensenovej nerovnosti al²ím zaujímavým prístupom je dôkaz pomocou Jensenovej nerovnosti pre konvexné funkcie, ktorá znie nasledovne: Funkcia f je konvexná na intervale J, ak pre ubovo né x 1,..., x n J a pre ubovo né n θ 1,..., θ n, θ i 0, θ i = 1 platí n ) n f θ i x i θ i fx i ). 10) Funkcia je konkávna, ak v uvedenom výraze platí opa ná nerovnos. A teraz k dôkazu Cauchyho nerovnosti, uvedenému v lánku [3]. Uvaºujeme reálne ísla u 1,..., u n, v 1,..., v n. Vieme, ºe funkcia fx) = x je konvexná na intervale, ). Pouºitím Jensenovej nerovnosti dostaneme θ 1 x 1 + θ x +... + θ n x n ) θ 1 x 1 + θ x +... + θ n x n, kde θ i 0, θ 1 + θ +... + θ n = 1, x i R. Dôkaz rozdelíme na dve asti: I. v i 0 pre i = 1,..., n v i Poloºíme θ i = a x v1 +... + vn i = u i pre i = 1,..., n dosadíme do Jensenovej nerovnosti v i pre fx) = x a dostaneme Po úprave dostaneme ) u1 v 1 +... + u n v n u 1 +... + u n. v1 +... + vn v1 +... + vn u 1 v 1 +... + u n v n ) u 1 +... + u n)v 1 +... + v n). 3

1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS II. Ak existujú v i1 = v i =... = v ik = 0 dostaneme n ) ) u i v i = u i v i i i 1,...,i k,1 i n Tým je nerovnos 1) dokázaná. n u i u i i i 1,...,i k,1 i n ) n v i ). ) v i i i 1,...,i k,1 i n ) 1.3.5 Dôkaz pomocou AG nerovnosti al²ia nerovnos, pomocou ktorej sa dá dokáza platnos Cauchy-Schwarzovej nerovnosti je AG nerovnos, teda nerovnos aritmetického a geometrického priemeru, o ktorej budeme písa v kapitole. Najprv uvedieme jej znenie: Pre nezáporné reálne ísla x 1, x platí s rovnos ou len pre x 1 = x. x1 x x 1 + x, Dôkaz Cauchy-Schwarzovej nerovnosti prevedieme nasledovne ako v lánku [3]. Poloºíme A = u 1 + u +... + u n a B = v 1 + v +... + v n, pre u i, v i R. Napí²eme AG nerovnosti pre jednotlivé dvojice u i A, vi B u i v i AB 1 u i A + v i B Ke tieto nerovnosti s ítame pre v²etky i = 1,..., n dostaneme n u i v i AB 1 ) n u i A + v i = 1, B teda n u i v i AB = u 1 + u +... + un v 1 + v +... + vn. Po umocnení dostane poºadovaný tvar nerovnosti 1). ). 1.3.6 Dôkaz pomocou permuta nej nerovnosti Permuta ná nerovnos, ktorej platnos vyuºíva nasledujúci dôkaz, znie nasledovne: 4

1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Lema 1.. Nech x 1... x N, y 1... y N sú reálne ísla a x σ1),..., x σn) je nejaká permutácia x 1,..., x N. Potom platí x 1 y 1 +... + x N y N x σ1) y 1 +... + x σn) y N x N y 1 +... + x 1 y N. Uvádzame postup dôkazu z lánku [3]. Pre N-tice x i, y i a x σi) z lemy 1. zavedieme ozna enie A = x 1,..., x N ), B = y 1,..., y N ), Ã = x σ1),..., x σn) ). Bez ujmy na v²eobecnosti môºeme predpoklada, ºe prvky u i v i, i = 1,,..., n sú usporiadané tak, ºe u 1 v 1... u 1 v n u v 1... u v n... u n v 1... u n v n. Za N-tice z lemy 1. zoberieme A = B = u 1 v 1,..., u 1 v n, u v 1,..., u v n,..., u n v 1,..., u n v n ), Ã = u 1 v 1,..., u n v 1, u 1 v,..., u n v,..., u 1 v n,..., u n v n ). Ke na ne aplikujeme permuta nú nerovnos, dostaneme u 1 v 1 )u 1 v 1 ) +... + u 1 v n )u 1 v n ) + u v 1 )u v 1 ) +... + u v n )u v n ) +... + u n v 1 )u n v 1 ) +... + u n v n )u n v n ) u 1 v 1 )u 1 v 1 ) +... + u 1 v n )u n v 1 ) + u v 1 )u 1 v ) +... + u v n )u n v ) +... + u n v 1 )u 1 v n ) +... + u n v n )u n v n ). Ke roznásobíme jednotlivé zátvorky dostaneme u 1v1 +... + u 1vn + u v1 +... + u vn +... + u nv1 +... + u nvn u 1v1 +... + u 1 u n v 1 v n + u 1 u v 1 v +... + u u n v v n +... + u 1 u n v 1 v n +... + u nvn, o sa dá napísa ako u 1 + u +... + u n)v1 + v +... + vn) u 1 v 1 + u v +... + u n v n ) a to je opä tvar 1), ktorý sme chceli dosiahnu. 1.3.7 Odvodenie z úlohy na viazaný extrém In²piráciu pre nasledovné odvodenie sme na²li v publikácii [11], str. 6. Majme optimaliza nú úlohu s lineárnou ú elovou funkciou f 0 u) = v T u, kde u, v R n a v je 5

1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS pevný vektor. Mnoºina prípustných rie²ení denovaná rovnos ou f 1 u) = u T u 1 = 0 je kruºnica, teda kompaktná mnoºina. Úlohu budeme rie²i pomocou Lagrangeovej funkcie Lu, λ) = f 0 u) λf 1 u), λ R. Obr. 3: Mnoºina prípustných rie²ení f 1 u) = u T u 1 = 0, kde u R a vrstevnice ú elovej funkcie f 0 u) = v T u, pre v = 1, 1) a hodnoty f 0 u) = 0, f 0 u) = 1, f 0u) = 1 a f 0 u) = Lagrangeova funkcia pre túto úlohu má tvar Lu, λ) = v T u λu T u 1), λ R. Stacionárny bod Lagrangeovej funkcie sp a rovnice Z prvého vz ahu si vyjadríme u a dosadíme do ohrani enia f 1 u) L = v λu = 0, u L λ = ut u 1 = 0. u = v λ u T u = vt v λ λ = vt v 4λ = 1. 6

1.3 Alternatívne dôkazy a odvodenia 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Vyjadríme λ v T v λ = ± 4 = ± v a dosadíme do vz ahu pre u. Tým dostaneme dva stacionárne body Lagrangeovej funkcie L u 1 = v, v u = v. v V aka spojitosti Lagrangeovej funkcie L a kompaktnosti mnoºiny prípustných rie²ení, z Weierstrassovej vety vieme, ºe na tejto mnoºine Lagrangeova funkcia nadobúda svoje minimum aj maximum. To znamená, ºe získané stacionárne body budú bodmi minima a maxima û 1, û 1 = v, v û = v. v Dosadením do ú elovej funkcie f 0 u) dostaneme optimálne hodnoty f 0 û 1 ) = v T û 1 = vt v v = v, f 0 û ) = v T û = vt v v = v. Ke ºe f 0 û 1, ) sú maximom a minimom f 0 u), tak platí v v T u v. Z ohrani enia vyplýva, ºe u = 1 pre v²etky u, tak môºeme predo²lý vz ah prepísa na a odtia po jednoduchej úprave dostaneme v vt u u v v T u v u a to je práve nerovnos 1). 7

1.4 Aplikácie 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS 1.4 Aplikácie Ako sme uº v úvode spomenuli, Cauchy-Schwarzova nerovnos má bohaté vyuºitie v rôznych matematických disciplínach. 1.4.1 Trojuholníková nerovnos Ve mi známou a asto pouºívanou napríklad v matematickej analýze je trojuholníková nerovnos, ktorá znie nasledovne: Pre ubovo né vektory u, v z unitárneho vektorového priestoru V platí u + v u + v. 11) Ukáºeme jej platnos pomocou Cauchy-Schwarzovej nerovnosti. Budeme upravova výraz u + v u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, v = u + u, v + v Teraz vyuºijeme Cauchy-Schwarzovu nerovnos 4) a nahradíme len u, v u + u, v + v u + u v + v = u + v ). Dostávame nerovnos u + v u + v ), odkia uº ahko vyplýva nerovnos 11), o sme chceli dosta. 1.4. Kosínus uhla dvoch vektorov Jednou z dôleºitých aplikácií je dobrá denícia kosínusu uhla dvoch vektorov. Majme dva vektory u a v so spolo ným po iatkom, ktoré zvierajú uhol θ. Spolu s vektorom u v tvoria trojuholník. Vieme, ºe kosínus uhla je v pravouhlom trojuholníku podiel pri ahlej odvesny ku prepone. Potrebujeme teda nejako vytvori pravouhlý trojuholník. Urobíme projekciu vektora v na u, ím dostaneme nový vektor v, ktorý je k násobkom vektora u v = ku. 8

1.4 Aplikácie 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Rozdiel vektorov v v je kolmý na vektor u, ím sme dostali pravouhlý trojuholník, zobrazený na obrázku 4). Obr. 4: Projekcia vektora v na vektor u Ke ºe vektor v v je kolmý na vektor u, tak platí Dosadíme v = ku odkia vyplýva v v, u = 0. ku v, u = ku T u u T v = 0, v = ku = ut v u T u u = uut u T u v. Teraz vyjadríme kosínus uhla θ ako podiel odvesny v a prepony v cos θ = v v. Dosadíme v = uut u T u v cos θ = uu T u T u v v a postupne upravujeme cos θ v = uu T v u = u u, v u = u, v u. Dostaneme vzorec na výpo et kosínusu uhla ubovo ných dvoch vektorov u a v cos θ = u, v u v. 9

1.4 Aplikácie 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS V prípade, ºe je niektorý z vektorov nulový, poloºíme θ = 0. Teraz príde na rad vyuzitie Cauchy-Schwarzovej nerovnosti 4) tak, ako uvádza aj autor predná²ky [1]. V aka nej platí 1 u, v u v 1. Ke ºe cos θ nadobúda len tieto hodnoty, takýto uhol vºdy existuje. Tým sme ukázali, ºe takáto denícia kosínusu dvoch uhlov je korektná. 1.4.3 Korela ný koecient al²ím príkladom vyuºitia tejto nerovnosti je z oblasti pravdepodobnosti a ²tatistiky. Pomocou ²peciálneho tvaru Cauchy-Schwarzovej nerovnosti pre náhodné premenné ukáºeme, ºe korela ný koecient je vºdy íslo z intervalu 1, 1. Najprv je potrebné pripomenú si niektoré pojmy. Mnoºinu v²etkých moºných výsledkov experimentu nazývame mnoºinou elementárnych udalostí a ozna ujeme Ω. V prípade, ºe je Ω kone ná, udalos ou rozumieme ubovo nú podmnoºinu Ω a systém v²etkých udalostí ozna ujeme S. Náhodná premenná X je priradenie íselných hodnôt elementárnym výsledkom experimentu. Pre íselný výsledok x, ktorý náhodná premenná X nadobúda, ozna ujeme symbolom P [X = x] pravdepodobnos tej mnoºiny elementárnych výsledkov, ktorým X prira uje hodnotu x. Strednou hodnotou náhodnej premennej nazývame váºený priemer moºných íselných výsledkov experimentu, kde váhy sú pravdepodobnosti nadobudnutia týchto výsledkov. Teda, ak íselnými výsledkami experimentu môºu by hodnoty x 1,..., x m, potom stredná hodnota je EX) = m x i P [X = x i ]. Disperzia náhodnej premennej X je íslo DX) = EX EX)). 30

1.4 Aplikácie 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Ke máme náhodné premenné X a Y so strednými hodnotami a disperziami, potom stredná hodnota covx, Y ) = EX EX))Y EY ))) existuje a nazýva sa kovariancia X a Y. Ak majú náhodné premenné X a Y stredné hodnoty EX), EY ) a nenulové disperzie DX), DY ), tak koecient korelácie medzi X a Y je íslo X EX) ρ X,Y = cov, Y ). EY ) DX) DY ) Obr. 5: Korela ný koecient pre rôzne sady dát Lema 1.3. [13], str.50, Veta 7.7) Nech X má strednú hodnotu EX) a disperziu DX). Ozna me X = X EX) DX). Potom EX ) = 0 a DX ) = 1. Ozna me teda 31

1.4 Aplikácie 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS X = X EX) DX), Y = Y EY ) DY ). Tvar Cauchy-Schwarzovej nerovnosti pre stredné hodnoty pod a [13], str.50 vyzerá nasledovne: Nech náhodné veli iny X, Y majú stredné hodnoty EX), EY ), EX ), EY ). Potom platí E XY ) EX )EY ), 1) pri om rovnos platí vtedy a len vtedy, ke existujú a, b R, z ktorých aspo jedno je nenulové a pravdepodobnos P {ω : axω) + bxω) = 0}) = 1. Teraz odvodíme spomínané ohrani enie pre korela ný koecient. Chceme teda dokáza, ºe ρ X,Y 1. Postupne rozpisujeme ρ X,Y = covx, Y ) = EX Y ) EX )EY ). V aka leme 1.3 vieme, ºe EX ) = EY ) = 0, DX ) = DY ) = 1, teda EX Y ) EX )EY ) = EX Y ). Teraz pouºijeme Cauchy-Schwarzovu nerovnos 1) ρ X,Y = EX Y ) EX ) EY ) = DX ) DY ) = 1, teda ρ X,Y 1, o sme chceli dosiahnu. 1.4.4 Úloha o kladne denitných maticiach Úloha zo zdroja [4] znie nasledovne: Úloha: Nájdite nutnú a posta ujúcu podmienku pre α a β tak, aby 3

1.4 Aplikácie 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS T + αt + βi bola kladne denitná matica pre ubovo nú symetrickú maticu T. Rie²enie: Pre prípad 1 1 matice T = t, t R nutnú a posta ujúcu podmienku dostaneme z nerovnosti t + αt + β > 0. Tá platí práve vtedy, ke je jej diskriminant záporný, teda α < 4β. 13) Pod a vzoru jednorozmerného prípadu chceme ukáza, ºe pre ubovo né n prirodzené platí, ºe matica T + αt + βi je kladne denitná pre ubovo nú symetrickú n n maticu T práve vtedy, ke α < 4β. Pre symetrickú n n maticu môºeme nájs jej spektrálny rozklad T = QΛQ T, kde Λ je diagonálna matica s vlastnými íslami matice T a Q je ortogonálna matica jej vlastných vektorov. Pre jej druhú mocninu platí T = QΛ Q T. Matica T + αt + βi bude kladne denitná práve vtedy, ke bude kladne denitná matica Q Λ + αλ + βi) Q T 0. Ke ºe ortogonálna matica zachováva d ºku vektora, sta í aby Λ + αλ + βi 0, odkia uº vyplýva podmienka 13). Na²im cie om v²ak bolo vyuºi Cauchy-Schwarzovu nerovnos, tak pouºijeme iný postup. 33

1.4 Aplikácie 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS Zaujíma nás kladná denitnos matice T +αt +βi, o znamená, kedy pre ubovo né v 0 platí v T T + αt + βi)v > 0. Budeme teda skúma hodnotu výrazu v T T + αt + βi)v. Po roznásobení dostaneme v T T + αt + βi)v = T v, T v + α T v, v + β v, v = T v + α T v, v + β v, teda matica T + αt + βi je kladne denitná ke platí 0 < T v + α T v, v + β v. 14) Teraz pouºijeme Cauchy-Schwarzovu nerovnos. Ke ºe platí alebo inak zapísané α T v, v α T v v α T v v α T v, v α T v v, prostredný len pravej strany 14) α T v, v môºeme nahradi nasledovne o je to isté ako T v α T v v + β v T v + α T v, v + β v T v + α T v v + β v, T v α T v v + β v v T T + αt + βi)v T v + α T v v + β v. Po úprave ohrani ení na ²tvorec máme ) α v T v + β α 4 T v + ) v v T T + αt + βi)v 15) α v ) ) + β α v. 4 Z prvej nerovnosti 15) vyplýva posta ujúca podmienka pre α a β. To znamená, platnos podmienky 13) sta í na to, aby v T T + αt + βi)v > 0. Z druhej nerovnosti 15) zas vyplýva nutná podmienka. Teda, ak platí v T T + αt + βi)v > 0, potom nutne α a β sp a o je presne podmienka 13). β α 4 > 0, 34

1.5 Súvis s Hölderovou nerovnos ou 1 CAUCHY-SCHWARZOVA NEROVNOS 1.5 Súvis s Hölderovou nerovnos ou Cauchy-Schwarzova nerovnos je ²peciálnym tvarom Hölderovej nerovnosti. Aj ke Cauchyho nerovnos bola publikovaná uº v roku 181, kým Hölderove zov²eobecnenie sa pod a [6] neobjavilo do roku 1889. Hölderova nerovnos má nasledovné znenie: Nech p, q > 0 sú ísla sp ajúce rovnos Potom platí 1 p + 1 q = 1. s rovnos ou pre n n ) 1 u i v i u i p p n v i q ) 1 q, v i = c u i p 1. Ak poloºíme p = q =, dostaneme Cauchy-Schwarzovu nerovnos 1). Hölderova nerovnos sa tieº niekedy uvádza v tvare s integrálmi: Nech p, q > 0 sú ísla sp ajúce rovnos Potom platí nerovnos 1 p + 1 q = 1. Rovnos platí ak b a fx)gx) dx b a ) 1 ) fx) p p b 1 dx gx) q q dx. a gx) = c fx) p 1. Opä pre p = q = dosiahneme tvar Cauchy-Schwarzovej nerovnosti 3). 35

AG NEROVNOS AG nerovnos Nerovnos aritmetického a geometrického priemeru alebo AG nerovnos, ako sa astej²ie nazýva, je jednou z najznámej²ích a najpouºívanej²ích nerovností. Jej prvé formy boli pod a publikácie [19] známe pravdepodobne uº v antike. Neskôr, e²te pred zavedením innitezimálneho po tu, sa vyuºívala na rie²enie optimaliza ných úloh, ktoré by inak vyºadovali výpo et derivácie. Jej v²eobecný tvar s váºenými priemermi pre n premenných sa prvýkrát objavil v tla i aº v 19. storo í v poznámkach z Cauchyho ²kolenia, ktoré viedol na École Royale Polytechnique. V sú asnosti sa pouºíva hlavne pri dôkazoch iných nerovností a pri rie²ení minimaliza ných a maximaliza ných úloh..1 V²eobecný tvar Najprv pripomenieme pojmy aritmetický, geometrický, váºený aritmetický a váºený geometrický priemer v²eobecne pre n prvkov: Majme n-ticu kladných ísel x = x 1,..., x n ). Potom veli iny A n x) = x 1 + x +... + x n ; n G n x) = n x 1 x...x n nazývame aritmetickým a geometrickým priemerom prvkov x 1,..., x n v tomto poradí. Majme dve n-tice ísel x = x 1,..., x n ), kde x i > 0 pre i = 1,..., n a w = w 1,..., w n ) tak, ºe w i 0 pre i = 1,..., n a n w i = 1. Potom veli iny A n x; w) = w 1 x 1 + w x +... + w n x n ; G n x; w) = x w 1 1 x w...x wn n nazývame váºeným aritmetickým a váºeným geometrickým priemerom prvkov x 1,..., x n, s nezápornými váhami w 1,..., w n v tomto poradí. AG nerovnos sa zvykne uvádza vo viacerých tvaroch. Najjednoduch²ím z nich je tvar pre premenné: 36

. Jednoduché dôkazy pre premenné AG NEROVNOS Nech x 1 a x sú kladné reálne ísla, potom platí x 1 + x x 1 x 16) s rovnos ou pre x 1 = x. Rovnako astý je aj tvar pre n premenných: Nech x 1,..., x n sú kladné reálne ísla, potom platí medzi nimi nasledujúca nerovnos A n x) = x 1 + x +... + x n n n x 1 x...x n = G n x), 17) pri om rovnos je splnená vtedy a len vtedy, ak sú v²etky x i pre i = 1,..., n rovnaké. Najv²eobecnej²í tvar AG nerovnosti je tvar s váºenými priemermi: Majme dve n-tice kladných ísel x = x 1,..., x n ) a w = w 1,..., w n ) tak, ºe w 0, n w i = 1. Potom platí nerovnos A n x; w) = w 1 x 1 + w x +... + w n x n x w 1 1 x w...x wn n = G n x; w). 18) Rovnos je splnená práve vtedy, ak sú v²etky x i rovnaké.. Jednoduché dôkazy pre premenné Za neme od najjednoduch²ích dôkazov pre dva rozmery. Nasledujúce dva dôkazy sme prebrali z lánku [31]...1 Geometrický dôkaz.1 Plocha ve kého ²tvorca na obrázku 6) je x 1 + x ). Plocha v²etkých ºltých trojuholníkov dohromady je x 1 x a ke ºe modré trojuholníky sú zrkadlovými obrazmi ºltých, ich plocha je takisto x 1 x. Celková plocha trojuholníkov je teda 4x 1 x. alej vidíme, ºe plocha bieleho ²tvorca v strede je x 1 x ). D ºky x 1 a x sú zvolené 37

. Jednoduché dôkazy pre premenné AG NEROVNOS Obr. 6: Geometrický dôkaz.1, [31] tak, ºe x 1 > x. Ak by sme tieto d ºky postupne menili tak, ºe x 1 sa bude blíºi k x, tak plocha bieleho ²tvorca sa bude zmen²ova. Nulová bude práve vtedy, ke x 1 = x. Zrejme platí nerovnos x 1 + x ) 4x 1 x, s rovnos ou nastávajúcou pre x 1 = x. Po nieko kých ekvivalentných úpravách sa dopracujeme k tvaru nerovnosti 16)... Geometrický dôkaz. V al²om dôkaze AG nerovnos vyplýva priamo z rovnosti dvoch rôznych zápisov tej istej plochy. Plocha ve kého ²tvorca na obrázku 7) sa dá zapísa bu ako x 1 +x ), alebo ako sú et plôch obd ºnikov 4x 1 x a plochy malého ºltého ²tvorca x 1 x ). Platí teda rovnos x 1 + x ) = x 1 x ) + 4x 1 x. 38

. Jednoduché dôkazy pre premenné AG NEROVNOS Obr. 7: Geometrický dôkaz., [31] Je zrejmé, ºe len x 1 x ) je nezáporný, teda ur te bude plati nerovnos x 1 + x ) 4x 1 x, odkia uº ahko dostaneme tvar nerovnosti 16)...3 Geometrický dôkaz.3 Nasledujúci dôkaz sme prebrali z publikácie [5]. Nech ABCD je ²tvorec so stranou x 1 a ABF E je obd ºnik so stranami x 1 a x. Obr. 8: Geometrický dôkaz.4, [5] 39

. Jednoduché dôkazy pre premenné AG NEROVNOS Plochu obd ºnika ABF E ozna íme P ABF E. Je zrejmé, ºe platí nasledovný vz ah to znamená o uº je dokazovaná nerovnos 16). P ABF E = P AGE + P ABF G P AGE + P ABC, x 1 x x + x 1,..4 Geometrický dôkaz.4 al²í dôkaz, ktorý je in²pirovaný dôkazom z lánku [16] vyuºíva vlastnosti Tálesovej kruºnice a Euklidovu vetu o vý²ke. Môºeme si ich v skratke pripomenú. Tálesova veta hovorí, ºe ak A, B, C sú body na kruºnici, kde AC je priemer kruºnice, potom uhol ABC je pravý uhol. Euklidova veta o vý²ke hovorí, ºe obsah ²tvorca zostrojeného nad vý²kou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obd ºnika zostrojeného z oboch úsekov na prepone. Bez ujmy na v²eobecnosti môºeme predpoklada, ºe pre reálne ísla x 1, x platí x 1 > x. Skon²truujeme kruºnicu s priemerom x 1 + x. Polomer preto bude x 1+x, teda aritmetický priemer x 1 a x. alej urobíme kolmicu na priemer v spolo nom bode P úse iek x 1 a x a jej priese ník s kruºnicou nazveme C. Obr. 9: Geometrický dôkaz.3 40

. Jednoduché dôkazy pre premenné AG NEROVNOS Pod a Tálesovej vety bude uhol ACB na obrázku 9) pravým uhlom, o nám umoºní pouºi Euklidovu vetu na výpo et vý²ky trojuholníka ABC, ktorá bude ma d ºku x 1 x. Z obrázka 9) alej vidíme, ºe d ºka x 1 x ervenej úse ky vý²ky) bude ur ite men²ia ako d ºka modrej úse ky polomer kruºnice) x 1+x, ktorá je zárove preponou trojuholníka SP C. Okrem prípadu a = b, ke je vý²ka trojuholníka ABC totoºná s jeho polomerom. Opä sme tým dokázali nerovnos 16)...5 Dôkaz pomocou doty nice hyperboly Nasledujúci dôkaz je opä prebraný z lánku [31]. Zvolíme ubovo ný bod x, y) v prvom kvadrante roviny R. Na obrázku 10) vidno, ºe ak priamka x + y = m má nejaký spolo ný bod s niektorou z hyperbol xy = c, tak bu sú to dva body, v ktorých ju pretína, alebo práve jeden dotykový bod. Obr. 10: Dôkaz pomocou doty nice hyperboly, [31] Ak je priamka x + y = m doty nicou ku jednej z hyperbol, tak sa dotýkajú v bode m, m). Pre dotykový bod m, m) potom platí 41

.3 Cauchyho dôkaz spätnou indukciou AG NEROVNOS c = xy = m a teda ) x + y xy =. Kaºdý iný bod tejto priamky je priese níkom s niektorou z hyperbol xy = c pre nejaké iné, men²ie c, c < m. Teda ak za x, y) zvolíme ubovo né x 1, x ), x 1, x 0, tak alebo platí nerovnos ) x1 + x x 1 x <, alebo rovnos ak x 1 = x ) x1 + x x 1 x =. Tým sme dokázali AG nerovnos v tvare 16). Teraz uvedieme dôkazy AG nerovnosti pre v²eobecný po et n premenných..3 Cauchyho dôkaz spätnou indukciou Cauchyho dôkaz sa uvádza v literatúre naj astej²ie zo v²etkých dôkazov AG nerovnosti. My sme si ako predlohu vybrali publikácie [4] a [5]. Pre n = nerovnos vyplýva z nezápornosti výrazu 0 x 1 x ) = x 1 x 1 x + x. Dokáza platnos pre n = 3 sa nám teraz e²te nepodarí, tak skúsime prejs na n = 4. Môºeme si v²imnú, ºe ak AG nerovnos aplikujeme dvakrát, tak máme 4 x1 x x 3 x 4 = x1 x + x 3 x 4 x1 x x3 x 4 x 1 + x + x 3 + x 4 = x 1 + x + x 3 + x 4, 4 o dokazuje na²u nerovnos pre n = 4. Skúsme sa teraz vráti k prípadu n = 3. Uº vieme, ºe AG nerovnos platí pre ubovo né ²tyri kladné ísla. 4

.3 Cauchyho dôkaz spätnou indukciou AG NEROVNOS Skúsme teda ku x 1, x, x 3 prida kladné íslo, ktoré nezmení ich aritmetický priemer a vyuºi tento poznatok x 1 + x + x 3 3 = x 1 + x + x 3 + x 1 + x + x 3 3 4 Dostali sme nerovnos )) 1 x1 + x + x 4 3 x 1 + x + x 3 x 1 x x 3, 3 3 ktorú môºeme postupne upravi x 1 x x 3 x1 + x + x 3 3 ) x1 + x + x 3 3 )) 1 x1 + x + x 4 3 x 1 x x 3. 3 ) 4 na nerovnos x1 + x + x 3 x 1 x x 3 3 ) 3 ktorú sme potrebovali. 3 x1 x x 3 x 1 + x + x 3, 3 Vyzerá, ºe by sa podobný postup dal pouºi aj v al²ích prípadoch pre vä ²ie n. Ke AG aplikujeme k-krát, dokáºeme platnos pre n = k. pre ubovo né k 1. x 1 x...x k) 1 k x 1 + x +... + x k k, Medzery medzi druhými mocninami vyplníme nasledovne. Vezmeme nejaké m < k a skúsime nájs spôsob ako pouºi m ísel x 1, x,..., x m na vytvorenie dlh²ej postupnosti α 1, α,..., α k, na ktorú by sme aplikovali AG nerovnos. Zvo me teda postupnos {α i } nasledovne α i = x i pre 1 i m, α i = x 1 + x +... + x m m A pre m < i k, inak povedané, len doplníme na miesta chýbajúcich k m lenov pôvodnej postupnosti aritmetické priemery A. Po aplikovaní AG dostaneme x 1 x...x m A k m ) 1 k x 1 + x +... + x m + k m)a k = k A k = A. 43

.4 Dôkaz pomocou pre²kálovania prvkov AG NEROVNOS Mocniny A presunieme na pravú stranu nerovnosti x 1 x...x m ) 1 k A m k a ke umocníme obe strany na k, dostaneme presne poºadovaný tvar dokazovanej m nerovnosti 17)..4 Dôkaz pomocou pre²kálovania prvkov Dôkaz, ktorý teraz nasleduje je uvedený v publikácii [14]. Najskôr dokáºeme platnos nasledovného tvrdenia. Tvrdenie.1. Ak je sú in n kladných reálnych ísel x 1, x,..., x n rovný 1, potom ich sú et nie je men²í ako n, teda ak x 1 x...x n = 1, potom platí nerovnos x 1 + x +... + x n n. Na dôkaz pouºijeme matematickú indukciu. Najprv skontrolujeme platnos pre n =, to znamená, ºe volíme len také x 1, x, ºe x 1 x = 1 a overíme, i vºdy platí x 1 + x. Pre x 1 = x = 1 je platnos zrejmá. Ak x 1 x, bez ujmy na v²eobecnosti môºeme predpoklada, ºe x 1 < x, potom musí by x 1 < 1 a x > 1, ke ºe ich sú in má by rovný 1. Z rovnosti 1 x 1 )x 1) = x 1 + x x 1 x 1 vyplýva x 1 + x = x 1 x + 1 + 1 x 1 )x 1) = + 1 x 1 )x 1) a ke ºe x 1 < 1 < x, tak sú in 1 x 1 )x 1) je kladný, teda x 1 + x >, ím je tvrdenie.1 pre n = dokázané. Teraz predpokladajme, ºe tvrdenie.1 platí pre n = k a dokáºeme, ºe potom platí aj pre n = k + 1. 44

.4 Dôkaz pomocou pre²kálovania prvkov AG NEROVNOS Ako prvé si treba v²imnú, ºe ak x 1 x...x k+1 = 1, tak môºu nasta dva prípady: I. Ke sú v²etky initele rovné 1 x 1 = x =... = x k = x k+1 = 1. Vtedy sa ich sú et rovná k + 1. II. V prípade, ºe nie sú v²etky initele rovnaké, musia niektoré z nich by vä ²ie ako 1 a niektoré men²ie ako 1. Napríklad, predpokladajme, ºe x 1 < 1 a x k+1 > 1. Poloºme y = x 1 x k+1. Potom máme yx...x k = 1. Ide o sú in k ísel rovný 1, teda pod a induk ného predpokladu o ich sú te platí y + x +... + x k k. alej je zrejmé, ºe platí x 1 + x +... + x k + x k+1 = y + x +... + x k ) + x k+1 y + x 1 k + x k+1 y + x 1 = k + 1) + x k+1 y + x 1 1. V nasledujúcom kroku vyuºijeme, ºe y = x 1 x k+1 x 1 +x +...+x k +x k+1 k +1)+x k+1 x 1 x k+1 +x 1 1 = k +1)+x k+1 1)1 x 1 ). Ke ºe x 1 < 1 a x k+1 > 1, sú in x k+1 1)1 x 1 ) je kladný a preto x 1 + x +... + x k + x k+1 k + 1) + x k+1 1)1 x 1 ) > k + 1, ím je tvrdenie.1 dokázané. Teraz prejdeme k samotnému dôkazu AG nerovnosti. Ozna íme G n x) = g. 45

.5 Dôkazy vyuºívajúce konvexnos alebo konkávnos AG NEROVNOS Z rovnosti vyplýva alebo po umocnení g = n x 1 x...x n 1 = n x1 g 1 = x 1 g x g...x n g, x g...x n g. V aka tvrdeniu.1 vieme, ºe sú et lenov x 1 g, x g,..., x n g x 1 g + x g +... + x n g n. je aspo n, teda platí Prenásobením oboch strán g dostaneme poºadovaný tvar 17). n Rovnos je splnená práve vtedy, ke x 1 g = x g =... = x n g = 1, teda x 1 = x =... = x n = g, kde g ozna uje geometrický priemer x i, i = 1,..., n..5 Dôkazy vyuºívajúce konvexnos alebo konkávnos.5.1 Dôkaz pomocou konkávnosti geometrického priemeru Prvú as nasledovného dôkazu sme prebrali z publikácie [3]. Ako prvý krok dokáºeme, ºe geometrický priemer G n x) je konkávna funkcia na kladnom ortante R ++ ) n. Na to aby funkcia denovaná na n-rozmernom priestore bola konkávna, musí by jej Hessova matica, teda matica druhých derivácií G n x) záporne denitná. To znamená, ºe pre ubovo ný vektor y R n platí: y T G n x)y 0. Jednotlivé prvky matice druhých derivácií G n x) vyzerajú nasledovne n ) 1 n x i G n x) = n 1) = G nx) x k n x k n x k G n x) = G nx), pre k l. x k x l n x k x l 46

.5 Dôkazy vyuºívajúce konvexnos alebo konkávnos AG NEROVNOS G n x) = G nx) n n 1) 1 x 1 x 1 x 1 n 1) x x 1 x.... 1 1 x n x 1 x n x 1 x 1 x n 1 x x n. n 1) x n Dá sa napísa nasledovným spôsobom kde D je diagonálna matica s prvkami q i = 1 x i, i = 1,..., n. G n x) = G nx) n nd qq T ), 1 x 1, 1,..., 1 na diagonále a q je vektor s prvkami x x n Teraz chceme ukáza zápornú denitnos G n x), to znamená ºe y T G n x)y = G nx) n n y n ) ) i y i 0, n x i x i pre kaºdé y. Predo²lá nerovnos vyplýva z Cauchy-Schwarzovej nerovnosti 1), o ktorej y1 sme písali v kapitole 1, ke ju aplikujeme na vektory u = 1 a v =, y,..., y ) n. x 1 x x n Tým sme dokázali, ºe geometrický priemer G n x) je konkávna funkcia. Vieme, ºe ke skon²truujeme dotykovú rovinu ku konkávnej funkcii, tak v kaºdom bode okrem dotykového bude ma táto funkcia men²iu hodnotu, ako dotyková rovina. Skon²truujme dotykovú rovinu ²peciálne v bode x = x 1, x,..., x n) takom, ºe x 1 = x =... = x n = a G n x) G n x ) + G n x )x x ). Po dosadení hodnôt G n x ) a G n x ) dostaneme G n x) a + x 1 a) + x a) +... + x n a) = a + x 1 +... + x n ) na n n a + x 1 + x +... + x n a = A n x). n = Na obrázku 11) máme geometrický priemer a aritmetický priemer, ktorý je zárove jeho dotykovou rovinou v bode x = x 1, x,..., x n). 47

.5 Dôkazy vyuºívajúce konvexnos alebo konkávnos AG NEROVNOS Obr. 11: Aritmetický a geometrický priemer Tým sme dokázali, ºe geometrický priemer G n x) je vºdy men²í ako aritmetický priemer A n x), okrem prípadu, ke x 1 = x =... = x n. To je presne nerovnos 17). alej nasleduje nieko ko dôkazov pre najv²eobecnej²í tvar AG nerovnosti pre n prvkov s váhami. Nasledovné dva dôkazy, ktoré teraz uvedieme sa dajú nájs na internetovej stránke []..5. Dôkaz pomocou Jensenovej nerovnosti V²imnime si, ºe funkcia fx) = ln x je rýdzo konkávna. Vyberieme n kladných ísel x 1,..., x n a budeme skúma vz ahy medzi funk nými hodnotami v týchto bodoch. Pod a Jensenovej nerovnosti 10), ktorú sme si pripomenuli v podkapitole 1.3, platí n ) ln w i x i n n ) w i ln x i = ln x w i i, kde w 0, n w i = 1, pri om rovnos nastáva len v prípade, ºe v²etky x i sú rovnaké. Ke ºe ln x je ostro rastúca funkcia, tak platí: n w i x i n x w i i, s rovnos ou len v prípade, ºe v²etky x i sú rovnaké, o je presne nerovnos 18). 48

.5 Dôkazy vyuºívajúce konvexnos alebo konkávnos AG NEROVNOS.5.3 Dôkaz pomocou doty nice konvexnej funkcie al²í dôkaz pouºíva konvexnos. Vieme, ºe funkcia fx) = e x je rýdzo konvexná, to znamená, ºe doty nica v ubovo nom bode leºí celá pod krivkou y = e x. Nájdeme teda doty nicu napríklad v bode x 0 = 0 pomocou známeho vzorca y = fx 0 ) + f x 0 )x x 0 ). Dostaneme y = 1 + x. Teda pre v²etky x reálne platí 1 + x e x 19) s rovnos ou v bode x = 0. Obrázok 1) nám môºe pomôc predstavi si danú situáciu. Obr. 1: Doty nica k y = e x v bode x = 0, [5] Pre lep²iu preh adnos zavedieme nasledovná ozna enia: Teraz poloºme Sx) = n w i x i, P x) = n r i = x w i i. x i Sx) 1 0, 49

.6 Aplikácie AG NEROVNOS kde x i 0 pre i = 1,..., n a n w i = 1, w i 0. Vz ah 19) potom hovorí, ºe a tieº r i + 1 e r i, pre i = 1,,..., n r i + 1) w i e w ir i, lebo w i 0. Vynásobením n takýchto nerovností dostaneme n n r i + 1) w i e w ir i. 0) Nerovnos sa zachová v aka nezápornosti r i. Po dosadení za r i do avej strany 0) máme n r i + 1) w i = P x) n = P x) w j Sx) j=1 Sx) Po dosadení za r i do pravej strany 0) zas máme n e w ir i = n e x i w i Sx) w Sx) i = e Sx) n Ke opä spojíme obe strany 0), tak dostamene alebo o je presne nerovnos 18). n P x) Sx) 1 x w i i n w i x i, pre n w j = 1. j=1 w i = e 0 = 1..6 Aplikácie.6.1 Maximaliza ná úloha Ako sme v úvode kapitoly spomenuli, jedným z vyuºití AG nerovnosti je pri rie²ení maximaliza ných úloh. Uvedieme príklad rie²enia takejto úlohy bez pouºitia diferenciálneho po tu, len pomocou AG. Prebrali sme ho z predná²ky [9]. Úloha: Nájdite maximálnu hodnotu x 5 sp ajúceho podmienky x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 = 0 1) x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 = 80. ) 50

.6 Aplikácie AG NEROVNOS Rie²enie: Z AG nerovnosti pre n = máme x 1 + x x 1 x, x 1 + x 3 x 1 x 3,..., x 3 + x 4 x 3 x 4, s rovnos ami pre x 1 = x = x 3 = x 4. Vyjadríme x 5 z prvej rovnice 1) x 5 = x 1 + x + x 3 + x 4 ), dosadíme ho do druhej rovnice ), nahradíme leny x 1 x, x 1 x 3,..., x 3 x 4 a dostaneme x 5 = x 1 +x +x 3 +x 4 ) = x 1 +x +x 3 +x 4 +x 1 x +x 1 x 3 +...+x 3 x 4 x 1 +x +x 3 + x 4 +x 1 +x ) + x 1 +x 3) + x 1 +x 4)+... +x 3 +x 4) = 4x 1 +x +x 3 +x 4) = 480 x 5). Teda dostávame nerovnos x 5 480 x 5), z ktorej uº len ekvivalentnými úpravami dostaneme rie²enie úlohy: 5x 5 4.80 x 5 8, s rovnos ou pre x 1 = x = x 3 = x 4 =..6. Eulerove íslo Eulerove íslo e zohráva v matematike dôleºitú rolu. Je denované ako limita postupnosti x n = 1 + 1 n )n e = lim x n = lim 1 + 1 n. 3) n n n) Dokázaním zopár tvrdení s vyuºitím AG nerovnosti ukáºeme, ºe táto limita existuje, a teda Eulerove íslo je korektne denované. Predlohou nám bola publikácia [14]. Tvrdenie.. Pre ubovo né kladné ísla a, b, a b platí nerovnos n+1 ab n < a + nb n + 1. 51

.6 Aplikácie AG NEROVNOS Dôkaz: Pod a AG nerovnosti platí n+1 ab n < a + b +... + b n + 1 = a + nb n + 1. Tvrdenie.3. S rastúcim n rastú aj hodnoty postupností x n = 1 + 1 ) n n a to znamená z n = 1 1 n) n, x n < x n+1 = 1 + 1 ) n+1, n + 1 z n < z n+1 = 1 1 ) n+1. n + 1 Dôkaz: Do nerovnosti z tvrdenia. dosadíme a = 1, b = 1 + 1 a dostaneme n n+1 1. 1 + n) 1 n < 1 + n ) 1 + 1 n = n + n + 1 n + 1 = 1 + 1 n + 1. Ke umocníme obe strany na n + 1), dostaneme 1 + n) 1 n < 1 + 1 ) n+1, n + 1 o bolo treba dokáza. Druhá nerovnos sa ukáºe analogicky. Tvrdenie.4. Postupnos y n = 1 + 1 n) n+1 klesá s rastúcim n, teda y n > y n+1 = 1 + 1 ) n+. n + 1 Dôkaz: Máme y n = 1 + n) 1 n+1 ) n+1 n + 1 = = n Ke ºe z n rastie s n, potom y n s n klesá. 1 ) n+1 = n n + 1 1 1 1 ) n+1 = 1. z n+1 n + 1 5

.7 Analógia s izoperimetrickou nerovnos ou AG NEROVNOS V tvrdeniach.3 a.4 sme dokázali, ºe x 1 = 1 + 1 1 = < x = 1 + 1) 1 =, 5 < x 3 <... < x n <..., ) y 1 = 1 + 1) 1 = 4 > y = 1 + 1 3 = 3, 375 > y 3 >... > y n >... ) Zárove = x 1 < x n = 1 + n) 1 n < 1 + n) 1 n+1 = y n < y 1 = 4. Postupnos x n je teda monotónne rastúca a ohrani ená < x n < 4. Vieme, ºe kaºdá monotónna ohrani ená postupnos má kone nú limitu. Preto existuje aj limita x n, ktorá je ozna ovaná e, teda Takisto aj limita y n je rovná e e = lim n Nie je aºké overi, ºe e < 3 teda e = lim x n = lim 1 + 1 n. n n n) 1 + 1 n) n+1 = lim n x n < y n < y 5 = 1 + 1 ) n 1 + 1 ) = e.1 = e. n n 1 + 1 5) 6 =, 985984, e = lim n x n <, 985984 < 3. Presná hodnota Eulerovho ísla je e =, 71881885490....7 Analógia s izoperimetrickou nerovnos ou AG nerovnos je istou obdobou známej izoperimetrickej nerovnosti. Izoperimetrická nerovnos znie nasledovne: Majme v rovine uzavretú, nepresekajúcu sa krivku Γ. Ozna íme L = LΓ) d ºku krivky Γ a A = AΓ) plochu ohrani enú touto krivkou. Potom platí nerovnos L 4πA 1. 53

.7 Analógia s izoperimetrickou nerovnos ou AG NEROVNOS Rovnos platí vtedy a len vtedy, ke Γ je kruºnica. Inak povedané izoperimetrická nerovnos hovorí: 1. Spomedzi v²etkých rovinných útvarov s rovnakým obvodom, kruh má najvä ²iu plochu. Obr. 13: Zvä ²enie plochy ohrani enej krivkou bez zmeny obvodu [1]. Spomedzi v²etkých rovinných útvarov s rovnakou plochou, kruh má najmen²í obvod. Obr. 14: Rovnaká plocha ohrani ená kruºnicou a inou krivkou [9] AG nerovnos v tvare 16) pod a autora publikácie [5] tvrdí to isté o ²tvorci. Uvaºujme mnoºinu v²etkých obd ºnikov s plochou A a d ºkami strán x 1 a x. 54

.7 Analógia s izoperimetrickou nerovnos ou AG NEROVNOS Obr. 15: Obd ºnik a ²tvorec s plochou x 1 x Pretoºe A = x 1 x, nerovnos 16) nám hovorí, ºe ²tvorec s d ºkou strany s = x 1 x musí ma najmen²í obvod spomedzi v²etkých obd ºnikov s plochou x 1 x 4s = 4 x 1 x x 1 + x. Teraz zoberme mnoºinu obd ºnikov s rovnakým obvodom p a stranami x 1 a x. Potom p = x 1 + x. Obr. 16: Obd ºnik a ²tvorec s obvodom x 1 + x tvorec so stranou s = p 4 potom dosahuje maximálnu plochu spomedzi obd ºnikov s obvodom x 1 + x s = p 16 = x 1 + x ) 4 x 1 x. 55