Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20.
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad mentor: doc. dr. sc. Tomislav Marošević Osijek, 20.
Sadržaj Uvod 4 2 Broj e 5 2. Definicija broja e................................... 5 2.2 Iracionalnost broja e................................. 2.3 Transcendentnost broja e.............................. 2 3 Računanje broja e 7 3. Povijest broja e.................................... 7 3.2 Izračunavanje broja e................................. 23 3.3 Eulerova relacija................................... 25 4 Neke primjene i zanimljivosti broja e 28 5 Sažetak 32 6 Summary 33 7 Životopis 34 3
Uvod U ovom diplomskom radu ćemo pobliže razmotriti realni broj e. Broj e je čudesan kao i broj π, ali se znatno kasnije pojavljuje u matematičkoj povijesti, što ćemo u nastavku rada detaljnije spomenuti. Iako je simbol e uveo tek matematičar Euler, te ga zbog toga mnogi nazivaju Eulerovim brojem, broj e je baza prirodnog ili Napierovog logaritma lnx lat. logaritmus naturalis) te se često u literaturi naziva i Napierovim brojem. U drugom poglavlju ćemo navesti dvije matematičke definicije broja e te dokazati da su one valjane. Broj e iznosi približno e 2.782882845..., iracionalan je i transcendentan, što ćemo i pokazati u istom poglavlju ovog diplomskog rada. U sljedećem, trećem poglavlju iznosimo povijesni pregled otkrića i nastanka broja e, te izračunavanje broja e kroz povijest do na odredeni broj točnih decimala. Nakon toga govorimo nešto više o Eulerovoj relaciji. U zadnjem četvrtom poglavlju ovog rada promatramo neke primjene broja e, kao i nekoliko zanimljivosti vezanih uz broj e. 4
2 Broj e Broj e je baza prirodnog ili Napierovog logaritma lnx lat: logaritmus naturalis), stoga ga često nazivamo Napierovim brojem, iako je simbol e uveo tek matematičar Euler pa ga iz tog razloga neki nazivaju i Eulerovim brojem. Broj e iznosi otprilike e 2.782882845..., iracionalan je i transcendentan, što ćemo i pokazati u ovom poglavlju. Prije toga ćemo navesti definiciju broja e, a zatim dokazati valjanost te definicije. Napomenimo da je osnovni skup kojeg koristimo u ovom radu skup realnih brojeva R. 2. Definicija broja e Definicija 2. Limes niza α k = + k ) k je broj koji se označava s e, tj. e = lim + ) k. k k Budući da stroga matematička definicija broja e proizlazi iz konvergencije tog niza realnih brojeva, potrebno je dokazati njegovu konvergenciju. Da bismo to i uspjeli dokazati, potrebno je navesti pomoćne definicije i tvrdnje koje ćemo koristiti u dokazu. Teorem 2. Za svaki racionalni broj ν > i svaki realni broj h > vrijedi Bernoullijeva nejednakost Dokaz teorema može se vidjeti u []. + h) ν + νh. 2.) Definicija 2.2 Niz realnih brojeva a n ) je geometrijski ako je omjer svakog člana i člana ispred njega konstantan, tj. ako vrijedi a n a n := q, n N. Broj q naziva se kvocijentom geometrijskog niza. Teorem 2.2 Zbroj prvih n članova geometrijskog niza a n ) s kvocijentom q iznosi S n = qn q a. Dokaz: Prema [7], ako od jednakosti S n = a + a q + + a q n oduzmemo jednakost qs n = a q + a q 2 + + a q n imamo S n q) = a q n ), odakle za q dobivamo traženu formulu. 5
Definicija 2.3 Niz realnih brojeva a n ) je rastući ako za svaki prirodni broj n vrijedi a n a n+. Definicija 2.4 Niz realnih brojeva a n ) je odozgo omeden ako postoji broj M takav da za svaki prirodni broj n vrijedi a n M. Teorem 2.3 Svaki rastući odozgo omeden niz realnih brojeva je konvergentan. Dokaz se nalazi u [7]. Teorem 2.4 Neka su a n ) i b n ) konvergentni nizovi. Ako je a n b n za svaki prirodni broj n, onda je: Dokaz se nalazi u [7]. lim a n lim b n. n n Sada kad smo naveli pomoćne definicije i teoreme, potrebno je dokazati konvergenciju niza kojim je definiran broj e u Definiciji 2.. Teorem 2.5 Niz realnih brojeva s općim članom α k = + k ) k je konvergentan. Dokaz: Prema [9], stavimo li u Bernoullijevoj nejednakosti 2.) h = k +, ν = k + k dobivamo + ) k+ k > + k + k + k + = + k k. Potenciranjem obje strane ove nejednakosti sa k izlazi + ) k+ > + k + k tj. α k+ > α k pa je niz α k ) rastući. ) k 6
Budući da je niz rastući, treba samo pokazati postojanje gornje granice. Bernoullijeve nejednakosti 2.) sa h =, ν = + 2 k vrijedi: 4 2 k = 2 k = 2 2 + 2 k = 2 Potenciranje sa k daje: 4 > 2 + )+ k > 2 + k ) k = αk, [ + + 2 )] = + k k Uz primjenu tj. broj 4 je gornja granica niza α k ). Time smo pokazali da je ovaj niz rastući i omeden, pa je prema Teoremu 2.3 konvergentan. Primjedba 2. Za svaki niz a n ) realnih brojeva za koji vrijedi da je lim a n = i za sve n α, β R može se pokazati da vrijedi lim n + α a n ) βan = e αβ. U nastavku pokažimo neke varijante niza kojim se definira broj e: Pomoću Definicije 2. pokažimo da vrijedi lim k Uvodenjem supstitucije k = t, dobivamo lim + ) k t = lim k k t + t = lim + t + t + k ) k = e ) t = lim t + ) t + t + t ) +t = t ) Def 2. = e = e. Uvedimo supstituciju k = t; tada k t 0 +, pa imamo Takoder vrijedi lim + t) t = e. t 0+ lim + t) t = e. t 0 Pomoću Primjedbe 2. lako možemo pokazati da je lim ) k+ = e, k k + jer k, k + ), α =, β =. 7
Odatle slijedi da je lim k ) ) k+) ) = e = e. k + Nakon što smo definirali broj e, dokazat ćemo još jedan teorem koji daje pogodnu formulu za računanje broja e na računalu. Teorem 2.6 Broj e jednak je sumi sljedećeg konvergentnog reda realnih brojeva: Dokaz: Prema [9], neka je α k ) niz iz Definicije 2., tj. e = lim + ) k i lim α k = e. k k k Definirajmo niz β k ) na sljedeći način e = k=0 k!. β k = + + 2! + 3! + + k! = k r=0 r!. 2.2) Uočimo da vrijedi Odavde je β k < + r! = ) r. 2 3 r 2 [ + ) 2 k ] 2 + + +. 2 2) Izraz u uglatoj zagradi predstavlja zbroj prvih k članova geometrijskog niza s kvocijentom q = 2 pa prema Teoremu 2.2 vrijedi ) k ) k 2 2 β k < + = + 2 2 ) k odnosno, jer je 0 < <, 2 [ k ] β k < + 2 < 3. 2) Dakle, pokazali smo da je niz β k ) omeden. Takoder, za sve k β k β k = k! > 0 tj. β k < β k ovaj niz je i rastući. Budući da je prema Teoremu 2.3 rastući omeden niz konvergentan, niz β k ) je konvergentan. 8
Označimo graničnu vrijednost ovog niza s ẽ, tj. neka je Sada trebamo pokazati da je e = ẽ. Uzmimo binomnu formulu x + y) m = x m + i uvrstimo x =, y = k i m = k. Tada dobivamo α k = + lim β k = k ) m x m y + k=0 k! = ẽ. ) ) m m x m 2 y 2 + + xy m + y m 2 m ) ) k k ) ) 2 k ) k k + + + 2 k k k kk ) ) 2 kk ) + + + = + k k 2! k = + k k + k k ) + + k 2! k k k! = + + ) + + 2! k k! k k! k ) k k k ) k ) k k k Osim prva dva, reprezentativni član sume u danom nizu je sljedećeg oblika: ) 2 ) r ) r! k k k r! ). 2.3) Napomenimo da nejednakost vrijedi, jer se u svakoj zagradi nalazi pozitivan broj manji od. Iz 2.3) i 2.4) slijedi 2.4) α k + + 2! + + k! odnosno, zbog 2.2) je α k β k, k. 2.5) Budući da 2.5) vrijedi za svaki k, iz Teorema 2.4 dobivamo e ẽ. 2.6) Sada nam preostaje još pokazati da vrijedi i e ẽ. U tu svrhu uočimo da za svaki r < k vrijedi α k + + ) + + ) 2 ) r ), 2! k r! k k k jer je k r) zanemarenih članova iz 2.3) pozitivno. Kada k pustimo u beskonačnost, a r držimo fiksnim, jer je lim k k = 0 dobivamo e + + 2! + + r! = β r. 9
Ukoliko i r pustimo u beskonačnost dobivamo e ẽ. 2.7) Iz 2.6) i 2.7) slijedi e = ẽ, odnosno e = k=0 k!. 2.8) Iz formule 2.8) očito je da za bilo koji prirodni broj k vrijedi odgovarajuća aproksimacija s odredenom greškom aproksimacije. e + + 2! + 3! + 4! + + k!, Napomena: Prema [5], broj e takoder se može prikazati u obliku beskonačnog verižnog razlomka e = + + 2 + + + 4 + + = [2;, 2,,, 4,,, 6,...] + 6 +.... 0
2.2 Iracionalnost broja e Iracionalni brojevi su oni brojevi koji se ne mogu zapisati pomoću omjera dvaju cijelih brojeva razlomka), tj. brojevi kojima je decimalni zapis beskonačan i nije periodičan. Do pojma iracionalnosti došli su pitagorejci dokazavši da je duljina dijagonale kvadrata nesumjerljiva s duljinom stranice kvadrata, što je ekvivalentno činjenici da 2 nije racionalan broj. Pojam se do 6. stoljeća odnosio na dužine, ne na brojeve. Iracionalni brojevi dugo nisu smatrani ravnopravnima s racionalnim brojevima, a njihovu ravnopravnost prvi su prihvatili Bombelli 530.-572.) i Stevin 548.-620.). Već smo ranije spomenuli da je broj e iracionalan. Sada ćemo tu tvrdnju i dokazati. U dokazu iracionalnosti broja e koristit ćemo Maclaurinovu formulu, koja je specijalan slučaj Taylorove formule kada je x 0 = 0. Teorem 2.7 Neka je funkcija f : a, b R klase C n i neka je x 0 a, b. Tada za svaki x a, b postoji ϑ 0, takav da je fx) = fx 0 ) + x x 0)! + x x 0) n n )! Za x 0 = 0 formula 2.9) prelazi u Maclaurinovu formulu f x 0 ) + x x 0) 2 f x 0 ) + 2! f n ) x 0 ) + x x 0) n f n) x 0 + ϑx x 0 )). 2.9) n! fx) = f0) + x! f 0) + x2 2! f 0) + + xn n )! f n ) 0) + xn n! f n) ϑx). 2.0) Teorem 2.8 Broj e je iracionalan. Dokaz: Prema [8], ako uvrstimo funkciju fx) = e x za koju vrijedi fx) = f x) = f x) = = fx) n ) = fx) n) = e x u Maclaurinovu formulu 2.0) dobivamo e x = + x! + x2 2! + + xn n )! + xn n! eϑx. Za x = dobivamo e = +! + 2! + + n )! + eϑ n!. 2.) Pretpostavimo da je broj e racionalan. Tada je on oblika p, gdje su p i q prirodni brojevi. Ako pomnožimo 2.) s n )!, jer je q n )! višekratnik svih nazivnika prvih n razlomaka u 2.), dobivamo Prema [7], možemo uzeti da je e < 3, te za n 3 vrijedi lat.irrationalis-nerazmjeran en )! = m + eϑ, m N. 2.2) n
e ϑ n < zbog čega desna strana u 2.2) nije cijeli broj. Ukoliko za n vrijedi n q +, tj. n q onda je n )! djeljiv s q pa je lijeva strana jednakosti 2.2) prirodan broj. Dakle, za n sa svojstvom da je n 3 i n q + dobivamo da je lijeva strana jednakosti 2.2) cijeli broj, a desna strana nije, što je kontradikcija. Dakle, broj e je iracionalan. 2.3 Transcendentnost broja e Definicija 2.5 Broj x 0 nazivamo algebarskim brojem ako postoje prirodni broj n i cijeli brojevi a 0, a,..., a n, a n 0 takvi da je a 0 + a x 0 + a 2 x 2 0 +... + a n x n 0 = 0, tj. ako je x 0 korijen algebarske jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima. Broj koji nije algebarski naziva se transcendentnim brojem 2. Dakle, transcendentan broj je realni broj koji ne zadovoljava ni jednu algebarsku jednadžbu s cjelobrojnim koeficijentima. Svi transcendentni brojevi su iracionalni i u teoriji se mogu zapisati kao decimalni brojevi s beskonačno mnogo decimala koje se ne ponavljaju. Već smo dokazali da je broj e iracionalan. U ovom poglavlju ćemo pokazati i da je transcendentan. Primjedba 2.2 Označimo sa A m, m = n + a 0 + a +... + a n, n N, a 0, a,..., a n Z skup svih algebarskih brojeva koji su rješenje jednadžbe a 0 + a x 0 + a 2 x 2 0 +... + a n x n 0 = 0. Taj skup je konačan pa je skup A = A m ) svih algebarskih brojeva prebrojiv. Prema tome, skup m= T = A C svih transcendentnih brojeva je neprebrojiv. Konstrukcija transcendentnog broja ne da se svesti na konstrukciju korijena bilo koje algebarske jednadžbe kojoj je stupanj konačan prirodan broj. Takav broj se može konstruirati samo pomoću transcendentnih krivulja. Euler je medu prvima definirao transcendentne brojeve u današnjem smislu. Liouville je 844. prvi dokazao egzistenciju transcendentnih brojeva, a 85. je dao prvi decimalni prikaz takvog broja, tzv. Liouvilleovu konstantu: 2 lat.transcendere-prekoračiti 2
0 k! ) = 0.0000000000000000000000... k= Teorem 2.9 Broj e je transcendentan. Dokaz: Prema [8], pretpostavimo da je e algebarski broj. Tada postoji prirodni broj N i cijeli brojevi a 0, a,, a N takvi da vrijedi a 0 + a e + a 2 e 2 + + a N e N = 0. 2.3) Neka je gx) = e x. Za ovako definiranu funkciju g vrijedi e x ) = e x, e x ) = e x, e x ) = e x,, e x ) n) = ) n e x. Ukoliko takvu funkciju gx) uvrstimo u formulu α 0 fαx)g n+) αx)dx = fα)g n) α) f α)g n ) α) + [ ] + ) n f n) α)gα) f0)g n) 0) f 0)g n ) 0) + + ) n f n) 0)g0), 2.4) koja je izvedena iz poznate formule za parcijalnu integraciju u [8, 3.str], dobivamo ) n+ α 0 [ ) )] fαx)e αx dx = ) n e fα)+f α α)+ +f n) α) f0)+f 0)+ +f n) 0). 2.5) Uvedimo oznaku F x) = fx) + f x) + f x) + + f n) x) 2.6) i pomnožimo 2.5) s ) n+ e α. Tada je tj. αe α fαx)e αx dx = e α F 0) F α) 0 e α F 0) = F α) + αe α fαx)e αx dx. 2.7) 0 3
Pomnožimo li jednadžbu 2.3) s F 0) i uvrstimo 2.7), dobivamo odnosno N N 0 = a k e k F 0) = a 0 F 0) + a k e k F 0) k=0 = a 0 F 0) + N a k F k) + k= k= k= 0 k= k= 0 N ka k e k fkx)e kx dx, 2.8) N N a 0 F 0) + a k F k) = ka k e k fkx)e kx dx. 2.9) Ideja dokaza je da odabiranjem povoljnog polinoma f postignemo da desna strana jednakosti 2.9) postane po apsolutnoj vrijednosti manja od, a lijeva strana cijeli broj različit od nule koji je onda po apsolutnoj vrijednosti veći ili jednak ). Kontradikcija koju bismo tada dobili opovrgnula bi početnu pretpostavku. Propozicija 2. Neka je h polinom s cjelobrojnim koeficijentima. Tada za polinom vrijedi:. f s) 0) = 0, s < m ; 2. f m ) 0) = h0); 3. m f s) r), s m, r Z. Dokaz: Vidjeti u [8]. Neka je za proizvoljni prosti broj p Tada polinom zadovoljava uvjete Propozicije 2. pa vrijedi fx) = xm hx) m )!, m N, m 2 hx) = x ) p x 2) p x N) p. fx) = xp hx) p )!, 2.20) f s) 0) = 0, s = 0,, 2,..., p 2, f p ) 0) = h0) = [ ) N N!] p, p f s) r), s p, r Z. 4
Uočimo, polinom f definiran s 2.20) je stupnja n = Np + p. Tada zbog 2.6) i prvog uvjeta iz Propozicije 2. vrijedi F 0) = f p ) 0) + f p) 0) + + f Np+p ) 0). Ako ovu jednakost pomnožimo s a 0 i uvrstimo drugi uvjet iz Propozicije 2. dobivamo Budući da je a 0 a 0 F 0) = a 0 [ ) N N!] p + a0 f p) 0) + + a 0 f Np+p ) 0). 2.2) cijeli broj, prema trećem uvjetu Propozicije2. zaključujemo da su članovi a 0 f p) 0),..., a 0 f Np+p ) 0) cijeli brojevi djeljivi s p. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo, pa možemo odabrati prosti broj p za koji vrijedi p > a 0 i p > N. 2.22) Tada broj a 0 [ ) N N!] p sigurno nije djeljiv s prostim brojem p, pa ni cijela desna strana u 2.2) nije djeljiva s p. Dakle, a 0 F 0) je cijeli broj koji nije djeljiv s p. Korolar 2. Ako je x 0 nultočka polinoma f kratnosti r, onda je x 0 nultočka polinoma f s), s = 0,,..., r, pri čemu se pod f 0) podrazumijeva sama funkcija. Budući da je k =, 2,, N nultočka polinoma f kratnosti p, prema Korolaru 2. vrijedi Stoga je f s) k) = 0, s p, k =, 2,..., N. F k) = f p) k) + f p+) k) + + f Np+p ) k). Iz trećeg uvjeta iz Propozicije 2. slijedi da je F k) cijeli broj djeljiv s p pa je i suma N a k F k) k= djeljiva s p, jer su a k, k =, 2,..., N, cijeli brojevi. Dakle, na lijevoj strani jednakosti 2.9) nalazi se broj koji je zbroj jednog cijelog broja koji nije djeljiv s p i jednog cijelog broja koji je djeljiv s p pa je on cijeli broj koji nije djeljiv s p zbog čega je različit od nule). Tada je apsolutna vrijednost toga cijelog broja barem pa za desnu stranu jednakosti 2.9) možemo zapisati N ka k e k fkx)e kx dx. 2.23) k= 0 5
Promotrimo sada funkciju fkx). Uočimo da za x [0, ] i nenegativne cijele brojeve r, k N vrijedi kx r N. Prema 2.20) slijedi fkx) = p )! kx p kx p kx 2 p kx N p 2.24) N Np+p p )! < N N+)p p )! Budući da vrijedi 0 < e kx dobivamo N ka k e k fkx)e kx N dx ka k e k fkx)e kx dx k= 0 k= 0 N k a k e k fkx) e kx dx < k= 0 < N N+)p p )! N k= N k a k e k k= k a k e k = N N+) ) p N N+ p )! 0 N N+)p p )! dx N k= k a k e k. Kako je N N+ ) p lim p p )! = 0, postoji prosti broj p za koji vrijedi Naposlijetku dobivamo da je N N+ ) p p )! < N N+ N k= k a k e k. 2.25) N ka k e k fkx)e kx dx <. 2.26) k= 0 Ako su za prosti broj p zadovoljene nejednadžbe 2.22), onda vrijedi 2.23), a ako je zadovoljena nejednadžba 2.25), onda vrijedi 2.26). Za dosta velik prosti broj p bit će zadovoljene i nejednadžbe 2.22) i nejednadžba 2.25), a tada 2.23) i 2.26) vode u kontradikciju. Dakle, broj e je transcendentan. 6
Veza izmedu iracionalnih i transcedentnih brojeva dana je idućom propozicijom: Propozicija 2.2 Svaki transcendentan broj je iracionalan. Obrat ne vrijedi. Dokaz: Dovoljno je uočiti da je svaki racionalan broj p q, p qx = 0. p, q Z, q 0 rješenje algebarske jednadžbe Obrat ne vrijedi, tj. postoje iracionalni brojevi koji nisu transcendentni, primjerice, 2, 3,... su ustvari korijeni iz racionalnih brojeva pa su kao takvi algebarski brojevi jer je p n korijen g algebarske jednadžbe p qx n = 0. Iz Propozicije 2.2 slijedi da ukoliko dokažemo transcendentnost nekog broja, odmah slijedi i iracionalnost toga broja. Stoga bi bilo dovoljno da smo u ovom radu dokazali samo transcendentnost broja e. No, iracionalnost ovog broja je njegovo važnije svojstvo koje je dokazano prije transcendentnosti, tako da smo za svako svojstvo naveli zaseban dokaz. 3 Računanje broja e U ovom poglavlju ćemo ukratko izložiti povijest broja e, dakle, njegovo prvo spominjanje i razvoj do danas. Potom ćemo spomenuti neke poznate relacije s brojem e. 3. Povijest broja e Broj e se javlja relativno kasnije u matematičkoj povijesti. Tek u 7. stoljeću je došlo do prvih otkrivanja logaritama. John Napier 550.-67.) potrošio je dvadeset godina na kontrukciju tablice logaritama koja je objavljena 69. godine pod nazivom Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio. Svoju tablicu logaritama sastavio je još 64. godine, a bila je jako teška za čitati. Napieru je matematika bila samo hobi, a njegov cilj je bio pojednostaviti trigonometrijske račune korištene u astronomiji i navigaciji, tj. svesti množenje na zbrajanje. Slika3. Napierova ideja o logaritmima 7
Napierova ideja je sljedeća: Kako je prikazano na Slici 3., promatramo dužinu AB i DE kao polupravac koji ide u beskonačnost. Neka se točke C i F počinju istovremeno kretati od A i D, duž ovih linija, s istom početnom brzinom. Pretpostavimo da se C kreće brzinom numerički jednakoj preostaloj udaljenosti od B, a F se kreće ravnomjernom brzinom. Tada Napier definira DF kao logaritam od CB, tj. DF = x i CB = y, te slijedi x = NapLogy. Da bi izbjegao račun s decimalnim brojevima, Napier je uzeo da je duljina dužine AB jednaka 0 7, za najbolju tablicu sinusa dostupnu njemu tada produženu za sedam mjesta. Tako je Napierova prva tablica logaritama zapravo tablica vrijednosti sinusa, gdje se sinus promatra kao polutetiva u krugu radijusa 0 7. Numerički izraženo koristeći modernu notaciju dobiva se sljedeće. Budući da je AB = 0 7 slijedi da je AC = 0 7 y pa prema tome Sada imamo dy y brzina C = dy dt = y. = dt, što kad integriramo dobijemo lny = t + c. Procjenjujući konstantu integracije supstitucijom t = 0 dobivamo da je c = ln0 7, odakle je lny = t + ln0 7. Sada pa je x = 0 7 t. Prema tome brzina F = dx dt = 07, NapLogy = x = 0 7 t = 0 7 ln0 7 lny) = 0 7 ln 07 y ) = 07 log /e y 0 7 ). Napierov logaritam je padajuća funkcija. Kako je u početnom trenutku udaljenost koju C treba preći jednaka 0 7, slijedi da je NapLog0 7 = 0. Iz opisane interpretacije može se pokazati da vrijedi: NapLog0 7 0 7 x) n ) = nnaplogx. 8
U tadašnje vrijeme nije se znalo da je u bazi Napierovog logaritma broj e. Danas se uzima da je upravo Napierov logaritam bili prirodni logaritam, čija je baza broj e. Povijesno uveden Napierov logaritam je padajuća funkcija, a prirodni logaritam je rastuća.) Napierov suvremenik Henry Briggs 56.-63.) saznao je za Napierovu konstrukciju. bio je profesor geometrije na Oxfordu i Napier se složio s njegovim prijedlogom kako bi puno jednostavniji bili logaritmi s bazom 0 kojima je nultočka broj. Tako je nakon Napierove smrti, on nastavio svoj rad i 624. godine objavio svoju tablicu Arithmetica Logarithmica za dekadske logaritme, koji su zbog toga poznati kao Briggsovi logaritmi, te je dao numeričku procjenu log 0 e, ali e nije kao takvog spominjao u svom radu. Istovremeno s Napierom, logaritme je otkrio i švicarski mehaničar i urar Joost Bürgi 552.- 632.). On je neovisno o Napieru, sastavio svoju tablicu logaritama i objavio ju 620. godine, 6 godina poslije Napiera. Iako, neki izvori tvrde da je svoju tablicu počeo konstruirati još 588. godine, dakle 6 godina prije nego Napier. Radio je kao urar na carskom dvoru u Pragu, gdje je imao prilike susresti Keplera, pa se pretpostavlja da je svoju tablicu logaritama objavio vjerojatno na nagovor Keplera. Medutim, ova dva čovjeka su imala potpuno različit pristup pri konstrukciji logaritama; kod Napiera opis je bio geometrijski, a kod Bürgija je bio algebarski. Ukratko, Bürgi promatra eksponencijalnu funkciju x = a y s bazom a =.000 te promjene x koje uzrokuju male pomake promjena eksponenata y za y = dakle promatra odnos x + x = a y+, tj. x = 0 4 x). Budući da je lako računati x + x)-eve za svaki početni x jer iz prethodnog idući dobivamo pomicanjem zareza za 4 mjesta ulijevo i pribrajanjem prirodne vrijednosti), lako se dobiva tablica x, x y-a za y = 0,, 2,... Pritom vrijedi da je x x 2 = x 3 y točno ako je y +y 2 = y 3. Ukoliko uzmemo bolju razdiobu y-a npr. ), dobivamo novu tablicu 0 4 za eksponencijalnu funkciju x = a ) y s a = a 0000 = + 0 4 ) 04. Ponavljanjem takvog postupka dobit ćemo u bazi aproksimacije za broj e. 647.godine francuski matematičar Saint-Vincent je računao površinu ispod istostrane hiperbole i nije poznato je li uopće shvatio vezu s logaritmima i je li naišao na broj e. Već 66. nizozemski matematičar Huygens je shvatio taj odnos, koji je pažljivo promatrao kod istostrane hiperbole xy = i logaritma. Broj e je takav da je površina ispod istostrane hiperbole od do e jednaka. Slika3.2 Površina ispod hiperbole =. Takoder, Huygens je definirao krivulju, koju je nazvao logaritamska. No, u današnjoj terminologiji, ona bi bila eksponencijalna s formulom y = ka x. 9
668. godine Nicolaus Mercator objavio je rad Logarithmotechnia u kojem se nalazi razvoj ln + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 +. i tako prvi otkrio razvoj funkcije u red potencija. Iz tog razloga se Mercator smatra začetnikom teorije redova. On je prvi upotrijebio izraz prirodni logaritam za logaritme baze e. Ali ni tada se broj e nije pojavio kao samostalan. 683.godine Jacob Bernoulli je razmatrao problem kamata na kamatu i pokušavao naći + n) n. Binomnim teoremom je pokazao da se granica nalazi izmedu 2 i 3, što se lim n smatra prvom procjenom broja e. Budući da je broj e definiran spomenutim nizom, možemo reći da je to i prva definicija broja e limesom. Napomenimo da je danas logaritam funkcija, a nekada je bio samo pomoć u računanju. Možda je Jacob Bernoulli prvi shvatio inverznost logaritamske i eksponencijalne funkcije, ali je James Gregory prvi povezao logaritme i eksponente. 690. godine se broj e prvi put samostalno pojavio kada je Leibniz u pismu Huygensu upotrijebio slovo b umjesto današnjeg e. 73. godine Euler je u svom pismu Goldbachu uveo simbol e za broj čiji je hiperbolni logaritam jednak. On je najvjerojatnije izabrao simbol e ili zato što je to prvo slovo riječi exponential ili zato jer je to bilo prvo neiskorišteno slovo abecede slova a, b, c i d već su se primjenjivala drugdje u matematici). Postoje pretpostavke da je on uveo slovo e jer je to prvo slovo njegovog imena, no one su malo vjerojatne jer se zna da je Euler bio iznimno skroman čovjek: često je odgadao objavljivanje svojih radova kako bi pružio priliku svojim kolegama i studentima da dodu do istih zaključaka. 748. godine objavio je rad Introductio in analysin infinitorum gdje su bile objavljene sve njegove ideje vezane uz broj e. Dokazao je: e = +! + 2! + 3! + e = lim + ) n n n Eulerova formula e ix = cosx + isinx. U posebnom slučaju kada je x = π dobiva oblik e iπ =. U navedenom djelu, procijenio je e na čak 8 decimalnih mjesta. Takoder, Euler je naveo proširenje broja e u verižni razlomak i zamijetio odredenu strukturu u razvoju. Naime, on je dao dva verižna razlomka: 20
e 2 = + 6 + 0 + 4 + 8 +... i e = + + 2 + + + 4 + + + 6 +... Iako nije naveo dokaz da se koeficijenti članovi) verižnog razlomka nastavljaju u beskonačnost što i je tako), ali znao je da ukoliko se dokaže ta tvrdnja, to će značiti da je broj e iracionalan. Budući da su verižnom razlomku broja e 2 prvih nekoliko koeficijenata jednaki 6,0,4,8,22,... svaki put dodaj 4), znači da broj e 2 i broj e) ne može biti racionalan. Za tu tvrdnju možemo reći da je početak razmatranja broja e kao iracionalnog, ali zapravo je tek 873. Charles Hermite dokazao da broj e nije niti algebarski broj. Kako su prolazile godine, tako je i rasla znatiželja za odredivanje što više decimala broja e. 854. Shanks je prvi izračunao velik broj decimala broja e. Glaisher je dokazao da je prvih 37 decimala koje je Shanks izračunao bilo točno, a nakon korekcije, Shanks je izračunao točnih 205 decimala. Napomenimo da je potrebno čak 20 pribrojnika reda +! + 2! + 3! + za 200 točnih decimala. Broj znamenaka broja e je rastao dramatično tijekom prošlog stoljeća. Danas 20.) pomoću računalne tehnike i specijalnih numeričkih algoritama znamo 000 000 000 000 decimala broja e. U Tablici. dajemo povijesni pregled izračunavanja broja e.. 2
Tablica : Prikaz izračunatih decimala broja e kroz povijest do danas, izvor [4] Datum Broj znamenaka Osoba 748. 8 Leonhard Euler 853. 37 William Shanks 87. 205 William Shanks 884. 346 J. Marcus Boorman 946. 808 nepoznat 949. 2 00 John von Neumann na ENIAC) 96. 00 265 Daniel Shanks i John Wrench 978. 6 000 Stephen Gary Wozniak na Apple II). travanj 994. 0 000 000 Robert Nemiroff i Jerry Bonnell svibanj 997. 8 99 978 Patrick Demichel kolovoz 997. 20 000 000 Birger Seifert rujan 997. 50 000 87 Patrick Demichel veljača 999. 200 000 579 Sebastian Wedeniwski listopad 999. 869 894 0 Sebastian Wedeniwski 2. studeni 999. 250 000 000 Xavier Gourdon 0. lipanj 2000. 2 47 483 648 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon 6. srpanj 2000. 3 22 225 472 Colin Martin i Xavier Gourdon 2. kolovoz 2000. 6 442 450 944 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon 6. kolovoz 2000. 2 884 90 000 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon 2. kolovoz 2003. 25 00 000 000 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon 8. rujan 2003. 50 00 000 000 Shigeru Kondo i Xavier Gourdon 27. travanj 2007. 00 000 000 000 Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo 6. svibanj 2009. 200 000 000 000 Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo 2. veljača 200. 500 000 000 000 Alexander J. Yee 5. srpanj 200. 000 000 000 000 Shigeru Kondo i Alexander J. Yee 22
3.2 Izračunavanje broja e U ovom poglavlju ćemo opisati jedan način odredivanja broja e, odnosno njegovih decimala, bez korištenja računala. Dakle, prema [4] umjesto e uzmemo vrijednost + ) N za neki veliki N broj N : što je veći N, to je bolja aproksimacija. Na primjer, e 5 je približno + ) 2000 5 = + 5 ) 0000 2000 0000 Općenito, e x je približno e x + x N ) N 3.) za jako veliki N. Prema binomnom teoremu, razvoj = + 000 x ) +! 000 = + x! + 0.999x2 2! + x 000 999 2! 000 ) 000 bi bio jednak x 000 + 0.999 0.998x3 3! + ) 2 + 000 999 998 Uzimajući sve veću i veću vrijednost broja N, približavamo se točnoj formuli Posebno, za x = broj e ima zgodan oblik, e x = + x! + x2 2! + x3 3! + e = +! + 2! + 3! + 3! x ) 3 + 000 koji smo u radu već spomenuli, a koji će nam pomoći izračunati e sa znatnom točnošću. 23
Postupak je sljedeći:.00000 00000 podijeli s.00000 00000 podijeli s 2 0.50000 00000 podijeli s 3 0.6666 66667 podijeli s 4 0.0466 66667 podijeli s 5 0.00833 33333 podijeli s 6 0.0038 88889 podijeli s 7 0.0009 8427 podijeli s 8 0.00002 4806 podijeli s 9 0.00000 27557 podijeli s 0 0.00000 02756 podijeli s 0.00000 0025 podijeli s 2 0.00000 0002 podijeli s 3 0.00000 00002 sve zbroji prema gore 2.7828 8286 Kao što vidimo, greška je u samo jednoj decimali i to tek na desetom mjestu. Spomenimo da računanje decimala broja e danas može biti puno jednostavnije i brže ukoliko se služimo računalom i gotovim programom s ugradenim numeričkim algoritmima. Primjerice, u programskom jeziku Mathematica dovoljno je upisati svega nekoliko naredbi kojima zadamo koliki broj decimala broja e želimo da program ispiše i to je sve. Postupak je ovakav: In[]:= Exp[] Out[] = e In[]:= N[%, 20] Out[] = 2.7828828459045235360287473526624977572470936999595749669676277240766303535 47594573827852566427427466399320030599287435966290435729003342952605956 30738323286279434907632338298807539525090573834879307025408949934884 67509244764606680822648006847748537423454424370753907774499206955702768 3860626333845830007520449338265602976067373200709328709274437470472306969 772093046928368902555086574637722523897844250569536967707854499699679 468644549059879363688923009879327736782542499922957635482208269895936680 3382528869398496465058209392398294887933203625094437302389706846403970 98376793206832823764648042953802328782509894558530756773633206982509 24
968885930469035598888593458072738667385894228792284998920868058257492796 048498444363463244968487560233624827049786232090026099023530436994849463 40934373843640546253520968369088870706768396424378405927456354906303 07208503837505057477047898606873969655226754688957035035402234078498 933432068702005627880235930332247450585390473049957777093503660469973 2972508868769664035557076226844762560798826578734952466520030592236677 943252786753985589448969709640975459856956380236370622047742722836489634 22564450788244235294863637247402388934424796357437026375529444833799806 2549227850925778256209262264832627793338656648627725640905900496449982893 5056604725802778638645595653244258698294695930809529872725563475463964 4790459040905862984967928740687050489585867747985466775757320568288459205 4334053922000378630094556068866740069842055804033637953764520304024322566 352783695778838638744396625322498506549958862342889970773327677839280349 4650434558897079425863987727547096295374525368350627526023264847287039 2076430059584662054529703023647254929666938537322753645098889033602057 248765858063036442823496550704750254465072725559486685080036853228 83529600373562527944955828488294787608526398395599006738 Rezultat je ispis broja e s prvih 20 decimalnih mjesta. 3.3 Eulerova relacija Leonhard Euler Basel, 5. travnja 707. - Petrograd, 8. rujna 783.) bio je švicarski matematičar, fizičar i astronom. Svoju znanstvenu djelatnost razvio je u Berlinu i Petrogradu, gdje je držao katedru fizike i matematike. Njegova aktivnost nije stala ni kada je oslijepio, jer je tada diktirao svoje radove. Napisao je oko 900 radova. Napravio je važna otkrića na polju infinitezimalnog računa i teorije grafova. On je takoder uveo Slika3.3 Leonhard Euler mnoge moderne matematičke nazive i notacije, posebno za matematičku analizu, kao što je pojam matematičke funkcije. Prvi je uveo oznaku fx), gdje f prima vrijednost argumenta x. Razvio je teoriju redova, uveo tzv. Eulerove integrale, riješio mnoge diferencijalne jednadžbe, a u diferencijalnoj geometriji dao je prvu formulu zakrivljenosti ploha Eulerov poučak). Posebno su važna dva njegova istraživanja u hidrodinamici, gdje je razvio teoriju turbina. Proučavao je širenje zvuka i svjetlosti. 25
Smatramo ga najvećim matematičarom 8. stoljeća, a i jednim od najvećih matematičara svih vremena. Pierre-Simon Laplace je napisao izjavu koja objašnjava utjecaj Eulera na matematiku: Read Euler, read Euler, he is our teacher in all things., što se s vremenom prevodilo kao Read Euler, read Euler, he is the master of us all. Euler je takoder uveo notaciju za trigonometrijske funkcije, slovo e za bazu prirodnog logaritma, grčko slovo Σ za sumu i oznaku i za imaginarnu jedinicu. Slika3.4 Broj e iϕ 748. godine u djelu Introductio in analysin infinitorum, Euler je ujedinio vezu izmedu trigonometrijskih funkcija i kompleksnih eksponencijalnih funkcija do koje je došao koristeći De Moivreovu formulu cosϕ + isinϕ) n = cosnϕ) + isinnϕ) i dobio e iϕ = cosϕ + isinϕ. 3.2) Iako je povijesno tek poslije otkrivena Eulerova formula, preko nje se lako može doći do De Moivreove. Ukoliko 3.2) potenciramo sa n imamo e iϕ ) n = e iϕn) = cosnϕ) + isinnϕ) što je jednako De Moivreovoj formuli. Najpoznatija Eulerova relacija e iπ + = 0 3.3) je poseban slučaj formule 3.2) kada je ϕ = π. Ta jednakost je najslavnija u svoj matematici jer objedinjuje brojeve e, π, i, 0 i. Pojasnimo malo Eulerovu relaciju. Prema [4], Eulerova relacija se može identificirati kao niz s općim članom + iπ ) N, gdje vrijedi da što je N veći, to je niz bliže -. N 26
Slika 3.5 Isječak i trokut postaju gotovo jednaki. Geometrijski, ideja je da trokut na desnoj strani Slike 3.5, čiji je vrh na + iπ, je približnog N oblika kružnom isječku na istoj slici s lijeve strane, kojemu je duljina luka jednaka π. N kopija N takvih kružnih isječaka čini pravi polukrug, kao što je prikazano na Slici 3.6. Slika 3.6 Zašto je e iπ =? Na prikazanoj slici vidimo da se Eulerova relacija 3.3) temelji na izrazu + iπ N ) N što je predstavljeno s odgovarajućim N trokutima sličnog, ali rastućeg oblika. Kako raste N, tako se broj takvih trokuta povećava te zajedno čine polukrug, kao što se vidi na Slici 3.5. 27
4 Neke primjene i zanimljivosti broja e Primjer : Približno računanje faktorijela Faktorijel je matematička funkcija kojom se izračunava produkt prirodnih brojeva od do n, i označava se s n!. Na džepnim računalima možemo izračunati najveći faktorijel broja 69, dakle 69!. Veće faktorijele od navedenog računamo približno preko Stirlingove formule vidi [4]) n! n ) n. 2πn e Primjer 2: Ekonomija iz [8]) Ukoliko u neku banku uložimo početni kapital A 0 uz dekurzivnu godišnju kamatnu stopu p, vrijednost početnog kapitala na kraju n-te godine iznosi A n = A 0 + p ) n. 00 Ako dekurzivnu godišnju kamatnu stopu p obračunavamo k puta godišnje primjenom relativne kamatne stope, vrijednost početnog kapitala nakon n godina iznosi A n,k = A 0 + p ) k kn. 00 Granični iznos do kojeg početni kapital A 0 može uz dekurzivnu godišnju kamatnu stopu p za k n godina narasti dobivamo graničnim prijelazom na obračunska razdoblja manja od godine, tj. kada k. Tada, uz supstituciju α = p dobivamo 00 A n,k A 0 lim + α ) kn = A0 e αn. k k Primjerice, tijekom jedne godine uz složeno dekurzivno godišnje ukamaćivanje s godišnjom kamatnom stopom 00 α = ) iznos od 000 kuna može narasti do najviše 000 e kuna. Primjer 3: vidi []) Netko je napisao n pisama, zatvorio ih u kuverte, a zatim na slučajan način ispisao adrese. Odredimo vjerojatnost da je barem na jednoj kuverti napisana točna adresa. Rješenje: Neka je A k, k =, 2,..., n dogadaj da je na k-toj kuverti napisana točna adresa. Traži se: p = P A + A 2 + + A n ) a pri tome se dogadaji A, A 2,..., A k ne isključuju. Očigledno je P A k ) = n )! n n )! = n )! n! P A k A j ) = P A k ) P A j /A k ) = n )! n! n = n 2)! n! 28
P A k A j A i ) = P A k ) P A j /A k ) P A i /A k A j ) = Slijedi da je n ) P A k = n! k= n )! n! n n 2 n ) ) ) n n )! n n 2)! ) ) n n 3)! ) p = P A i = + = n! 2 n! 3 n! i= = 2! + 3! + )n n! =! + 2! ) 3! + e = n 3)! n! približno za velike n. Primjer 4: Realni broj e /e je rješenje Steinerova problema: za koju vrijednost x je x /x maksimum? Euler je dokazao da funkcija x xxx, gdje visina tornja eksponenata teži u beskonačnost, ima limes ako je x izmedu e e i ovog broja vidi [3]). Primjer 5: Realni broj e π je transcendentan vidi [3]). Primjer 6: Nije poznato je li realni broj π e racionalan ili iracionalan vidi [3]). Primjer 7: Kako zapamtiti što više znamenaka broja e? Broj e je zanimljiv po tome što je iracionalan, sadrži beskonačno mnogo znamenaka koje se ne ponavljaju. Stoga, da bi ponekad impresionirali sebe ili druge ljude oko sebe, trudimo se zapamtiti što je više znamenaka moguće. Sada ćemo navesti nekoliko načina koji nam u tome mogu pomoći. Jedan od načina kako zapamtiti prvih nekoliko znamenaka broja e jest taj da znamenke rastavimo na odredenim mjestima i kao takve ih zapamtimo. Recimo, 2.7 828 828 45 90 45 gdje 2.7 pamtimo kao početak broja e, 828 kao godinu i to dva puta, a 45-90-45 kao kuteve u jednakokračnom pravokutnom trokutu. 29
Sljedeći način se odnosi na pamćenje rečenica kod kojih su duljine riječi znamenke broja e. Ovdje ćemo ih navesti nekoliko vidi [4]):. To disrupt a playroom is commonly a practice of children 0 znamenaka) 2. It enables a numskull to memorize a quantity of numerals 0 znamenaka) 3. We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed:! when first it was found, yes, loudly!. My students perhaps will compute, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant 40 znamenaka). 30
Literatura [] D. BLANUŠA, Viša matematika,.dio, Tehnička knjiga, Zagreb, 965. [2] F. M. BRÜCKLER, Povijest matematike, Sveučilište J.J. Strossmayera, Osijek, 2007. [3] F. M. BRÜCKLER, Povijest matematike 2, Sveučilište J.J. Strossmayera, Osijek, 200. [4] J. H. CONWAY, R. K. GUY, The Book of Numbers, New York, 996. [5] J. DELAČ-KLEPAC, Što je to prirodno u broju e?, Poučak 262006),73-75. [6] H. EVES, Great Moments in Mathematics-Before 650, The Mathematical Association of America,983. [7] D. JUKIĆ, R. SCITOVSKI, Matematika, Sveučilište J.J. Strossmayera, Osijek, 2000. [8] M. JUKIĆ, Transcendentnost broja e i π, Sveučilište J.J. Strossmayera, Osijek, 200. [9] M. JUKIĆ, Broj e, Osječka matematička škola 200), 79-85. [0] M. PEZER, J. 200/, 7-4. MATEJAŠ, Brojevi π, e, i kroz povijest, Matematičko-fizički list /24, [] S. V. VUKADINOVIĆ, Zbirka rešenih zadataka iz teorije verovatnoće, Privredni pregled, Beograd, 990. [2] E. W. WEISSTEIN, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics,E, Boca Raton, 999. [3] D. WELLS, Rječnik zanimljivih i neobičnih brojeva, Sveučilišna knjižara, Zagreb, 2005. [4] http://en.wikipedia.org/wiki/e mathematical constant), 27.6.20. [5] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/histtopics/e.html, 27.6.20. 3
5 Sažetak U ovom diplomskom radu smo razmatrali broj e. Najprije smo ga definirali pomoću niza realnih brojeva danog općim članom α k = + k ) k, potom smo dokazali konvergenciju toga niza. Nakon toga smo broj e definirali pomoću sume konvergentnog reda e =, te smo dokazali valjanost te definicije. k! k=0 Sljedeće što smo dokazali bila su dva najbitnija svojstva broja e, a to su iracionalnost i transcendentnost. Prema Propoziciji 2.2, koja kaže da je svaki transcendentan broj ujedno i iracionalan, mogli smo dokazati samo transcendentnost broja e. No, iracionalnost je takoder njegovo bitno svojstvo, pa je u radu naveden dokaz i za to svojstvo. U sljedećem poglavlju smo spomenuli povijesni pregled broja e, od prvih zapažanja prirodnih logaritama pa sve do danas. Radu smo priložili Tablicu., na kojoj se vidi kako je s vremenom rastao broj izračunatih decimala broja e, od samih početaka kada su se izračuni decimala radili na papiru do danas kada se to sve lako može izračunati uz dovoljno dobro opremljeno računalo. Nakon toga smo, uz kratak Eulerov životopis, opisali njegovu najpoznatiju relaciju e iπ + = 0, koja je svakako jedna od najslavnijih u svoj matematici, jer objedinjuje brojeve e, π, i, 0 i. U završnom dijelu rada smo naveli neke primjene broja e, te načine kako što lakše upamtiti prvih nekoliko znamenaka broja e. 32
6 Summary In this thesis we consider the number e. At first, we define it by means of a sequence of real numbers, given by the general element α k = + ) k, and then we prove the convergence of this sequence. k Then we define the number e with the sum of convergent series e =, and we have proved k! k=0 the validity of this definition. Next, we proved two most important properties of number e, such as irrationality and transcendence. According to Proposition 2.2, which says that every transcendental number is also irrational, we could prove only a transcendence of number e. But, the irrationality is also its essential characteristic, so there is a proof for this property also in this thesis. In the next section, we mentioned a historical overview of the number e, the first observations of natural logarithms until today. In this work we attached Table, which shows that during the time, the number of calculated digits of number e is growing, from the very beginning when they worked decimal calculations on paper until today when all this can easily be calculated with enough well-equipped computer. After that, we, along with a brief biography of Euler, described his most famous relation e iπ + = 0, that is certainly one of the most famous in all mathematics because combining numbers e, π, i, 0 and. In the final part of the work we have indicated some use of number e, and better ways to memorize the first few digits of number e. 33
7 Životopis Zovem se Mirjana Mikec rod. Gelenčir). Rodena sam 30. siječnja 986. u Osijeku. Pohadala sam i završila Osnovnu školu Hinka Juhna u Podgoraču, a nakon toga Opću gimnaziju u Srednjoj školi Isidora Kršnjavoga u Našicama. Od 2004. pohadam Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku, Sveučilište J. J. Strossmayerra u Osijeku. 2006. sam se udala, imam dvoje djece i stalno prebivalište u Antunovcu. 34