ISPITNA PITANJA 2013/14. GORAN ÐANKOVIĆ ESTRAGON: Why doesn t he put down his bags? I too would be happy to meet him. The more people I meet the happier I become. From the meanest creature one departs wiser, richer, more conscious of one s blessings. Even you... (he looks at them ostentatiously in turn to make it clear they are both meant)... even you, who knows, will have added to my store. ESTRAGON: Why doesn t he put down his bags? But that would surprise me. You re being asked a question. (delighted) A question! You can ask him now. He s on the alert. ESTRAGON: Ask him what? [....... ] (to Pozzo) Tell him to think. Give him his hat. His hat? He can t think without his hat. (to Estragon) Give him his hat. ESTRAGON: Me! After what he did to me! Never! I ll give it to him. (He does not move.) 1. Teorija brojeva 1 (1) Prsten aritmetičkih funkcija (2) Mebijusova inverzija (3) Srednje vrednosti aritmetičkih funkcija i Dirihleov trik hiperbole (4) Dati bar 3 različita dokaza da ima beskonačno mnogo prostih brojeva (5) Ocena Čebiševa (6) Asimptotske formule za log p p x p i za p x 1 p Date: July 23, 2014. 1
2 GORAN ÐANKOVIĆ (7) Selbergova asimptotska formula - članak na web-stranici kursa, na dnu (8) Prsten Gausovih celih Z[i] i njegovi prosti elementi (9) Prsten Ajzenštajnovih celih Z[ω] i njegovi prosti elementi (10) R je UFD R[X] je UFD (videti Teoremu 3, G. Kalajdžić, odeljak 7.2.2) (11) Y 2 = X 3 1 (12) Integralni elementi i integralna raširenja prstena; integralno zatvorenje je prsten (13) Ležandrov simbol, Gausove sume, G 2 p = p (14) Gausov zakon kvadratnog reciprociteta (15) Teorema o minimalnom polinomu algebarskog elementa; karakterizacija algebarskih celih preko njihovog minimalnog polinoma (Gausova lema) (16) Prsten celih O K algebarskog brojnog polja K; prsteni celih kvadratnih brojnih polja (17) Integralno zatvoreni domeni; UFD su integralno zatvoreni; prsteni celih O K su integralno zatvoreni (18) Neterini prsteni i moduli (19) Karakterizacija prostih algebarskih raširenja (20) K-utapanja brojnog polja L/K u C (21) Karakteristični polinom, trag i norma elementa brojnog polja (22) A integralno zatvoren, K =K.p.(A), L/K konačno separabilno raširenje, B = A L, β L; onda β B ako i samo ako m β,k (X) A[X]. Posledica o Tr(O K ), N(O K ) (23) Prsten celih ciklotomičnog brojnog polja Q(ζ p ), p prost (24) Dedekind-Artinova lema (25) Diskriminanta baze raširenja L/K i bilinearna forma L L K, (x, y) Tr(xy) (26) Ako je A integralno zatvoren Neterin domen, onda je A L konačno-generisan A-modul; prsten celih O K brojnog polja K je Neterin (27) Konačno-generisani moduli bez torzije nad glavnoidealskim domenima i egzistencija integralne baze prstena celih O K brojnog polja K *************** pismeni 3/5 ******** usmeni 2/5******* (28) Definicija Dedekindovog domena; svi glavnoidealski domeni su Dedekindovi; integralno zatvorenje Dedekindovog domena je Dedekindov domen; prsten celih O K brojnog polja K je Dedekindov domen (29) Razlomački (razlomljeni) ideali i lema o p 1, za prost ideal p Dedekindovog domena A (30) Ako je A Dedekindov, onda važi Osnovna teorema aritmetike za ideale domena A (31) Ako za ideale domena A važi Osnovna teorema aritmetike, onda nenula razlomački ideali domena A čine Abelovu grupu (32) Ako nenula razlomački ideali domena A čine Abelovu grupu, onda je A Dedekindov domen (33) Diskriminanta brojnog polja (34) Norma ideala i multiplikativnost norme (35) Grupa klasa ideala brojnog polja je konačna (36) Interpretacija klasnog broja i Tvrženje 9.36 (37) Faktorizacija ideala u raširenjima prstena celih; primeri u kvadratnim brojnim poljima (38) Fundamentalni identitet rascepljivanja (39) Dedekindova teorema o faktorizaciji ideala (40) Dualna rešetka rešetke O K, diferentni ideal i njegova norma (41) Dedekindova teorema o ramifikaciji (42) džoker pitanje: Prosti brojevi blizanci -Teorema 2.14 (Selbergovo rešeto) -ako ne znate jedno pitanje na usmenom (deo 2/5), možete ga zameniti ovim pitanjem
ISPITNA PITANJA 2013/14. 3 2. Diskretna matematika MN (1) Cauchy-Schwarz-ova nejednakost i prosti grafovi bez trouglova (2) Grafovi bez p-klika: Turán-ova teorema (3) Spektar grafa; spektralna karakterizacija k-regularnih grafova (4) Spektralna karakterizacija k-regularnih bipartitnih grafova (5) Teorema o političaru (Erdös-Renyi-Sos) (6) l 2 (V ), l 2 (E), diskretni gradijent d, d, kombinatorni laplasijan i njegove sopstvene vrednosti za k-regularne grafove (7) Konstanta ekspanzije h(x) grafa X, donja ocena Alon-Milman-a i definicija familije ekspandera (8) Gornja ocena h(x) 2k(k µ 1 ) (9) Spektar beskonačnog k-regularnog drveta T k (10) Euler-ova formula za planarne grafove i posledice (11) Sylvester-Gallai teorema (12) Bojenje prostih planarnih grafova sa 5 boja, Thomassen-ova teorema Sledeća pitanja su za ocenu 10 i za one koji baš žele još! Link na Gowers-ove lekcije je na sajtu; lekcije su na engleskom. Student koji odgovara za 10, može da sâm izabere i izloži jedno od narednih pitanja na usmenom i da odgovara još jedno regularno pitanje pored ovih. Dakle ova pitanja vrede po 20 bodova + sami birate koje hoćete. (13) Szemerédi-jeva lema regularnosti (Teorema 10 u Gowers-ovim lekcijama) (14) Kneser-ova hipoteza, Lovasz-ova teorema (Teorema 48 u Gowers-ovim lekcijama) (15) Frankl-Wilson-ova teorema, Borsukova hipoteza i Behrend-ova teorema (Teoreme 38, 40, 41 i 44 u Gowers-ovim lekcijama) (16) Roth-ova teorema o tročlanim aritmetičkim progresijama -članak na dnu web-strane Teorije brojeva (17) Margulisova familija ekspandera - odeljak 8 u članku Hoory, Linial, Wigderson (18) Alon-Boppana donja ocena, Teorema 5.3 i dokaz iz 5.2.3, u članku Hoory, Linial, Wigderson 3. Diskretna matematika LR (1) Grafovi, podgrafovi, putevi, ciklovi, kompletni i bibpartitni grafovi; stepeni čvorova; suma stepena (2) De Bruijn-ova teorema o popločavanju pravougaonika (3) Cayley-jeva teorema o označenim stablima - dokaz metodom bijekcije (4) Cayley-jeva teorema o označenim stablima - dokaz metodom dvostrukog brojanja (označene korenske šume) (5) Cauchy-Schwarz-ova nejednakost i prosti grafovi bez trouglova (6) Grafovi bez p-klika: Turán-ova teorema (7) Euler-ova formula za planarne grafove (8) Formula 2e = i 1 if i i posledice (K 5, K 3,3 nisu planarni, e 3n 6, v d(v) 5) (9) Sylvester-Gallai teorema (10) Pick-ova teorema (11) Bojenje prostih planarnih grafova sa 6 boja, definicija hromatskog broja i hromatskog broja sa listama i nejednakost χ(g) χ l (G) (12) Bojenje prostih planarnih grafova sa 5 boja, Thomassen-ova teorema (13) Probabilistički metod; gornja i donja ocena za Ramsey-jeve brojeve R(k, k) (14) Matrica susedstva grafa i Teorema o političaru (Erdös-Renyi-Sos)
4 GORAN ÐANKOVIĆ 4. Uvod u matematičku logiku (1) Naivna teorija skupova, Raselov paradoks; dokazati da ne postoji skup koji sadrži sve skupove iz ZFC aksioma (2) Jezik teorije skupova i dobro definisane formule (3) ZFC-aksiome praznog skupa, ekstenzionalnosti, para, unije i partitivnog skupa (4) ZFC-aksiome izdvajanja podskupa, beskonačnosti, zamene, dobrog zasnivanja i izbora (5) Dekartovi proizvodi skupova i relacije; relacije ekvivalencije, klase ekvivalencije (6) Parcijalno ureženi skupovi, linearno ureženi skupovi; lanci, antilanci, Špernerova lema (7) Funkcionalne relacije i funkcije; direktne i inverzne slike; familije skupova i Stav 1.16 (8) Skup prirodnih brojeva ω, princip matematičke indukcije, m n m n, relacija < strogog ureženja na ω (9) Princip potpune indukcije; linearno ureženje i dobro ureženje skupa ω (10) Primena matematičke indukcije: Holova teorema o sistemu različitih predstavnika (11) Bijektivne funkcije, bijekcija P(X) 2 X, Kantorova teorema o X P(X) (12) Konačni, beskonačni, prebrojivi i neprebrojivi skupovi; stavovi 2.12, 2.14 i 2.17 (13) ω ω je prebrojiv; R je neprebrojiv (14) Kantor-Bernštajnova teorema (15) Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup; Q = ω ; P fin (ω) = ω (16) Princip dobrog ureženja aksioma izbora Cornova lema (17) Definicija ordinala, stav o početnim komadima ordinala, unija skupa ordinala (za 10) (18) Svaki dobro urežen skup je izomorfan tačno jednom ordinalu (za 10) (19) Svaki ordinal α 0 je ili sledbenik ili granični ordinal (za 10) (20) Zbir, proizvod i stepenovanje ordinala (za 10) (21) Definicija kardinala; svaki beskonačni kardinal je granični ordinal (za 10)
ISPITNA PITANJA 2013/14. 5 5. Algebra 3 (1) Karakterizacija prostih raširenja polja i teorema o minimalnom polinomu algebarskog elementa (2) Algebarska raširenja i algebarsko zatvorenje polja F u polju K F (3) Polje realnih konstruktibilnih brojeva i klasični problemi kvadrature kruga, udvostručenja kocke i trisekcije ugla (4) Galuaova grupa raširenja polja K/F i fiksno polje F(S) podskupa S Aut(K); Galuaove veze F i G (5) Karakteri grupa i Dedekind-Artinova lema; ako je K/F konačno, onda je Gal(K/F ) [K : F ] (6) Ako je G Aut(K) konačna podgrupa, onda je Gal(K/F(G)) = G i Gal(K/F(G)) = [K : F(G)]; definicija Galuaovog raširenja polja (7) Karakterizacija galuaovosti prostog raširenja F (α)/f ; primeri (ne)galuaovih raširenja (8) Egzistencija korenskog polja (konačnog skupa) polinoma (9) Konstrukcija (egzistencija) konačnih polja F p n (10) Karakterizacije algebarski zatvorenih polja (11) Egzistencija algebarskog zatvorenja proizvoljnog polja (12) Teorema o ekstenziji izomorfizma; jedinstvenost korenskog polja (13) Karakterizacije normalnih raširenja (14) Separabilni polinomi (15) Separabilna raširenja (16) Čisto neseparabilna raširenja (17) Karakterizacija Galuaovih raširenja (18) Teorema o Galuaovoj korespondenciji (19) Teorema o primitivnom elementu (20) Osnovna teorema algebre (21) Ciklotomični polinomi (22) Ciklotomična raširenja (23) Teorija Galua konačnih raširenja konačnih polja (24) Wedderburn-ova teorema (25) Galuaova grupa polinoma (26) Galuaova teorema o rešivosti jednačine radikalima (27) Hilbertova teorema 90 i ciklična Galuaova raširenja (28) Kohomologija grupa i kohomološka Hilbertova teorema 90 (29) Integralni elementi, integralna raširenja prstena, integralno zatvoreni domeni (knjiga Teorija brojeva: odeljak 6.3, str.136) (30) Neterina teorema normalizacije za konačno-generisane k-algebre (31) Slabi Hilbertov Nullstellensatz (32) Neterini prsteni i moduli (knjiga Teorija brojeva: odeljak 6.4, str.143) (33) Hilbertova teorema o bazi (34) Afini prostor A n k ; afini algebarski skupovi, pridruživanje Z i njegova osnovna svojstva; topologija Zariskog (35) Pridruživanje I, njegova osnovna svojstva i Z I veze; koordinatni prsten afinog algebarskog skupa (36) Radikal ideala i radikalski ideali; nilradikal prstena; svi prosti ideali su i radikalski (37) Hilbertov Nullstellensatz (38) Afini varijeteti, njihovi koordinatni prsteni i maksimalni spektar koordinatnog prstena (39) Dekompozicija proizvoljnog afinog algebarskog skupa na uniju afinih varijeteta (40) Regularne funkcije na varijetetima; prsten regularnih funkcija (41) Lokalizacija (odeljak 6.8 iz knjige Teorija brojeva) (42) Lokalni prsteni varijeteta O Y,a (43) Funkcijsko polje varijeteta K(Y ) (44) Prsteni regularnih funkcija O Y (Y f ) na standardnim otvorenim podskupovima Y f Y (45) Karakterizacija prstena regularnih funkcija na afinom varijetetu: O(Y ) = A[Y ]
6 GORAN ÐANKOVIĆ (46) Prsteni diskretne valuacije (str. 94 u Atiyah-MacDonald; Prop. 9.2) (za 10) (47) Multiplicitet tačke na krivoj u afinoj ravni i njegova karakterizacija (Teoreme 1 i 2 iz Glave 3 u Fultonovoj knjizi za 10) (48) Teorija preseka za krive u afinoj ravni (Teorema 3 iz Glave 3 u Fultonovoj knjizi za 10) (49) Bezuova teorema za krive u projektivnoj ravni (Fultonova knjiga, str. 65 za 10) (50) Teorema Maksa Netera i grupni zakon na kubici (Fultonova knjiga, odeljci 5.5, 5.6 za 10) (51) Linearni sistemi projektivnih krivih (odeljak 5.2 iz Fultonove knjige za 10) (52) Kategorije i funktori (53) Morfizmi varijeteta (54) Ekvivalentnost kategorije afinih varijeteta nad poljem k i kategorije konačno-generisanih k-algebri bez delitelja nule (55) Prsteni valuacije (str. 65. u Atiyah-MacDonald); dokaz 5.22 (za 10) (56) Artinovi prsteni (poglavlje 8 iz Atiyah-MacDonald; teoreme 8.5 i 8.7) (za 10) (57) Teorema dimenzije 11.14 (i cela glava 11) - Atiyah-MacDonald-a, str. 121 - sa kompletnim dokazom (za 11; ko ovo nauči nek se prijavi)
ISPITNA PITANJA 2013/14. 7 6. Linearna algebra B (1) Cornova lema i egzistencija baze vektorskog prostora (2) Dimenzija vektorskog prostora (3) Linearno preslikavanje f : L W ; Ker(f), Im(f); izomorfni vektorski prostori (4) Algebarske strukture L(V, W ) i End(V ) (5) Količnički vektorski prostor V/U; teorema o homomorfizmu (linearnom preslikavanju) za vektorske prostore (6) Tvrženje 4.4.23 (postoji jedinstveno linearno f : V W koje slika bazu B u X, B = X ); V = W dim V = dim W ; ako je dim V = n, onda V = F n (7) Koordinate vektora u bazi; matrica prelaska sa jedne baze na drugu (8) Linearna preslikavanja iz F n u F m ; matrica linearnog preslikavanja V W (9) L(V, W ) = M(dim W dim V, F ) (10) L : V W, M : W U, onda [M L] e,g = [M] f,g [L] e,f (11) Izomorfizam prstena End(V ) = M(dim V, F ); izomorfizam grupa Aut(V ) = GL n (F ) (12) Promena matrice linearnog preslikavanja pri promeni baza (13) Relacija sličnosti matrica, A B (14) dim V/U = dim V dim U; rang i defekt operatora L : V V ; r(l) + d(l) = dim V (15) Prva teorema o izomorfizmu za vektorske prostore: (U + V )/V = U/(U V ); Grasmanova formula (16) Direktna suma potprostora i teorema o komplementu (17) Dualni vektorski prostor V i tvrženje o dualnoj bazi (18) Prirodni izomorfizam V = V (19) Dualni operator L : W V linearnog operatora L : V W ; ImL = (ImL) (20) Matrica dualnog operatora u paru dualnih baza (21) Rang vrsta, rang kolona i rang matrice (22) Teorema o baznom minoru (23) Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori linearnog operatora; geometrijska višestrukost sopstvene vrednosti; spektar operatora (24) Karakteristični polinom matrice i linearnog operatora; karakterizacija spektra; algebarska višestrukost sopstvene vrednosti (25) Dijagonalizabilni endomorfizmi i njihova karakterizacija (26) Nilpotentni endomorfizmi, ciklični nizovi vektora i Žordanove matrice (27) Egzistencija Žordanove baze nilpotentnog endomorfizma (28) Minimalni polinom endomorfizma (29) Kompleksifikacija L C endomorfizma L End(V ) za realni v.p. V i µ L = µ LC (30) Korenski vektori i korenski potprostori endomorfizma L (31) Karakterizacija korenskih potprostora preko karakterističnog i minimalnog polinoma; razlaganje na direktnu sumu korenskih potprostora (32) Hamilton-Kejlijeva teorema (33) Žordanova normalna forma operatora i matrice (34) Aditivna Žordanova dekompozicija operatora (35) Bilinearne funkcije; matrica bilinearne funkcije; karakterizacija bilinearnih funkcija; bilinearne forme (36) Vektorski prostor Bilin(V ) svih bilinearnih funkcija na vektorskom prostoru V (37) Promena matrice bilinearne funkcije pri promeni baze (38) Simetrične i antisimetrične bilinearne funkcije i odgovarajuća dekompozicija prostora Bilin(V ) (39) Kvadratne funkcije na vektorskim prostorima; tvrženje o polarizaciji; matrica kvadratne funkcije (40) Teorema o kanonskoj formi kvadratne funkcije (41) Silvesterova teorema inercije za kvadratne funkcije na realnim vektorskim prostorima; signatura realne kvadratne funkcije (42) Pozitivno i negativno definitne kvadratne funkcije na realnim vektorskim prostorima; kriterijum pozitivne definitnosti (43) Skalarni proizvod; euklidski vektorski prostori; norma vektora u euklidskom prostoru; primeri
8 GORAN ÐANKOVIĆ (44) Koši-Švarcova nejednakost; ugao izmežu vektora u euklidskom vektorskom prostoru; Pitagorina teorema (45) Skalarni proizvod u koordinatama; Gramova matrica; njena promena pri promeni baze (46) Egzistencija ortonormirane baze euklidskog vektorskog prostora (47) Ortogonalne matrice; ortogonalna O(n, F ) i specijalna ortogonalna grupa SO(n, F ) (48) Tvrženje o reprezentovanju linearnih formi na euklidskim vektorskim prostorima (49) Ortogonalni skupovi vektora; teorema o ortogonalnom komplementu (50) Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije (51) Ortogonalne transformacije euklidskih vektorskih prostora i njihova karakterizacija (52) Adjungovani operatori na euklidskim vektorskim prostorima; svojstva adjungovanja (53) Simetrični linearni operatori i njihova karakterizacija (54) Teorema o dijagonalizabilnosti simetričnog operatora u ortonormiranoj bazi (55) Polarno razlaganje automorfizma euklidskog vektorskog prostora E-mail address: djankovic@matf.bg.ac.rs