Final IIUM Mathematics Competition (IMC 2016) FINAL MULTIPLE CHOICE QUESTIONS 29 th September 2016 2 HOURS (8.30 am 10.30 am) Name : I/C No. : INSTRUCTIONS TO STUDENTS: 1. This question paper consists of 7 printed pages with 20 questions. 2. Answer ALL questions in the given Objective Answer Sheet. 3. Students are allowed to use pencil, pen, eraser, and ruler ONLY. 4. Students are NOT allowed to bring a book, calculator, briefcase, hand phone, protractor, compass, etc. 5. Students are NOT allowed to discuss the questions during the examination.
1. Given that each unit square in the grid below is a square, find the area of the shaded region in square units. Diberi segiempat sama unit pada setiap grid di bawah bersaiz. Cari luas kawasan berlorek dalam unit persegi. (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12 2. A line passes through the points (-1,3) and (7,-2). At what value of does this line intercept the -axis? Satu garisan melalui dua titik (-1,3) dan (7, -2). Apakah nilai paksi-? untuk garisan yang memintas (A) 7 (B) 19 (C) 19 (D) 27 (E) 23 5 8 5 5 4 3. In how many consecutive zeros does the decimal expansion of 26! Berapakah bilangan nombor sifar yang berturutan, bagi 3 35 digit? 26! 3 35 end?, dalam bentuk (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 4. In ABC, AX = XY = YB = BC and ABC =120 0. What is BAC? Diberi segi tiga ABC, AX = XY = YB = BC dan ABC =120 0. Berapakah sudut BAC? (A) 15 0 (B) 20 0 (C) 25 0 (D) 30 0 (E) 35 0 2
5. What is the maximum value of the function 1 x + 1 + x + 2 + x 3? Apakah nilai maksimum untuk persamaan + + +? (A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 (E) 1 3 4 5 6 7 6. Nine distinct digits appear in the decimal expansion of. Which digit is missing? Sembilan digit berbeza muncul dalam pengembangan hilang? dalam bentuk digit. Digit manakah yang (A) 4 (B) 5 (C) 1 (D) 3 (E) 6 7. ABC is a triangle and D, E, F are points on BC,CA, AB respectively. It is given that BF = BD, CD = CE and BAC = 48 0. Find the angle EDF? ABC adalah sebuah segi tiga dan D, E, F masing-masing adalah titik pada garis BC,CA, AB. Diberi BF = BD, CD = CE dan sudut dalam BAC = 48 0. Cari nilai sudut dalam EDF? (A) 64 0 (B) 66 0 (C) 68 0 (D) 70 0 (E) 72 0 8. Farah found the sum of the digits of 2016 2016. Then, Ariff found the sum of the digits of Farah s result. Finally, Najwa found the sum of the digits of Ariff s result. What number did Najwa find? Farah memperolehi hasil tambah digit-digit bagi 2016 2016. Kemudian, Arif memperolehi hasil tambah bagi digit-digit jawapan Farah. Akhir sekali, Najwa pula memperolehi hasil tambah digitdigit bagi jawapan Arif. Apakah nombor yang Najwa perolehi? (A) 0 (B) 9 (C) 18 (D) 27 (E) 36 3
9. The numbers 1,2,,49 are written on unit squares of a 7 7 chessboard such that consecutive numbers are on unit squares sharing a common edge. At most how many prime numbers can a row have? Nombor 1,2,..., 49 ditulis dalam setiap petak unit persegi pada papan catur bersaiz 7 7, dimana setiap nombor yang berturutan mempunyai bucu yang sama. Berapakah bilangan nombor perdana dalam setiap lajur? (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3 10. Find the sum of all [x] such that x 2 15 [x]+ 36 = 0 where [x] is the largest integer less than or equal to x. Cari hasil tambah untuk semua [x] bagi persamaan x 2 15 [x]+ 36 = 0, dimana [x] adalah integer terbesar kurang daripada atau sama dengan nilai x. (A) 15 (B) 26 (C) 45 (D) 49 (E) 75 11. Find the sum of all positive integers n such that n 3 + 8n 2 + 8n +80 is an integer. n +7 Cari hasil tambah semua integer positif n bagi persamaan + + + 0 + yang juga adalah integer. (A) 31 (B) 57 (C) 66 (D) 87 (E) 112 12. Let ABCD be an circumscribed quadrilateral such A = B =120 0, C = 30 0,and BC = 2, what is AD? Katakan adalah sisi empat berterap lilit yang mana = =, =, dan =, apakah nilai bagi? (A) 3 1 (B) 2 3 (C) 6 2 (D) 2 2 (E) 3 3 4
IIUM Mathematics Competition 2016 (IMC 13. In the beginning, there is a pair of positive integers (m, n) written on the board. Alice and Bob are playing a turn-based game with the following move. At each turn, a player erases one of the numbers written on the board, and writes a new positive number less than the erased number but not less than the half of the erased one. If a player cannot write a new number at some turn, he/she loses the game. For how many starting pairs (m, n) from the pairs (7, 79 ), (17, 71), (10,101), (21, 251), (50, 405), can Alice guarantee to win when she makes the first move? Pada permulaannya, sepasang nombor integer positif (m, n) ditulis pada papan hitam. Alice dan Bob bermain permainan giliran yang mempunyai peraturan seperti berikut. Apabila tiba giliran pemain tersebut, dia akan memadam salah satu nombor dan menggantikan dengan nombor positif baru yang kurang daripada nombor yang telah dipadam tetapi tidak kurang separuh daripada nombor yang dipadam itu. Sekiranya pemain tidak berjaya menulis nombor yang baru, pemain tersebut telah kalah dalam permainan. Berapa banyakkah pasangan (m, n) daripada pasangan nombor berikut (7, 79 ), (17, 71), (10,101), (21, 251), (50, 405), berkemungkinan bagi Alice untuk menang sekiranya dia yang memulakan permainan. (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) None of above / Tiada yang berkenaan 14. Let a, b, and c be the roots of the polynomial x 3 + 4 x 2 7 x 1. Which of the following has roots ab, bc, and ac? Katakan, dan adalah punca-punca bagi polynomial x 3 + 4 x 2 7 x 1. Yang mana antara berikut mempunyai punca,, dan? (A) x 3 4 x 2 + 7 x 1 (B) x 3 7 x 2 + 4 x 1 (C) x 3 + 7 x 2 4 x 1 (D) x 3 4 x 2 + 7 x +1 (E) x 3 + 7 x 2 4 x +1 5
15. What is the minimum value of ( x 2 + 2 x + 8 4 3) ( x 2 6 x + 16 4 3) where x is a real number? Apakah nilai minimum bagi ( x 2 + 2 x + 8 4 3) ( x 2 6 x + 16 4 3) yang mana adalah nombor nyata? (A) 112 64 3 (B) 3 3 (C) 8 4 3 (D) 3 3 4 (E) None of the preceding / Tiada yang berkenaan 16. Let D be a point on the side BC of ABC such that BD = 2 and DC = 6. If AB = 4 and ACB = 20 0, then what is BAD? Katakan adalah titik bagi sisi dari yang mana = dan = 6. Sekiranya = dan sudut dalam =, apakah nilai sudut dalam? (A) 10 0 (B) 18 0 (C) 20 0 (D) 22 0 (E) 25 0 17. How many real triples (x, y, z) are there such that x 4 + y 4 + z 4 + 1 = 4xyz? Berapakah bilangan nombor nyata (x, y, z) bagi persamaan x 4 + y 4 + z 4 + 1 = 4xyz? (A) 0 (B) 4 (C) 6 (D) 10 (E) 1 18. Let s (n) denote the number of positive divisors of positive integer n. What is the largest prime divisor of the sum of numbers (s (k)) 3 for all positive divisors k of 2016 2016? Katakan s (n) adalah nombor pembahagi positif bagi integer positif n. Apakah nombor pembahagi perdana terbesar bagi hasil tambah nombor (s (k)) 3 bagi semua pembahagi-pembahagi positif untuk 2016 2016? (A) 593 (B) 2027 (C) 109 (D) 2017 (E) 1009 6
19. Let ABCD be a convex quadrilateral such that <ADB=15 0, <BCD=90 0. The diagonals of quadrilateral are perpendicular at E. Let P be a point on AE such that EC = 4, EA =8 and EP = 2. What is <PBD? Katakan ABCD ialah sisi empat cembung dengan sudut dalam <ADB=15 0 dan <BCD=90 0. Pepenjuru sisi empat adalah berserenjang dengan E. Katakan P adalah titik pada dimana =, = 8 dan =. Apakah sudut <PBD? (A) 15 0 (B) 30 0 (C) 45 0 (D) 60 0 (E) 75 0 20. How many non-negatives integer triples (m, n, k) are there such that m 3 n 3 = 9 k +123? Berapakah integer bukan negatif (m, n, k) yang memenuhi persamaan berikut m 3 n 3 = 9 k +123? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) None of the preceding / Tiada yang berkenaan ------------------------------------END-------------------------------------- 7