Teória grafov RNDr. Milan Stacho, PhD.
Literatúra Plesník: Grafové algoritmy, Veda Bratislava 1983 Sedláček: Úvod do teórie grafů, Academia Praha 1981 Bosák: Grafy a ich aplikácie, Alfa Bratislava 1980 Demel: Teorie grafů Gross, Yelen: Graph Theory and its aplications, CRC press, Boca Raton, Florida
Literatúra - skriptá Palúch: Teória grafov, EDIS, ŽU Žilina 2001 Fronc: Teória grafov z aplikáciami v doprave, Alfa Bratislava 1975 Jendroľ, Mihók, Diskrétna matematika1, Košice 1992 Froncová, Linda: Operačná analýza (návody na cvičenia), Alfa Bratislava 1988 Fronc: Teória grafov, Fakulta riadenia ŽU, 1993 Knor, Niepel: Kombinatorika a teória grafov II. UK Bratislava 2000
Úvod - história Euler 7 mostov mesta Kráľovca Kirchhoff- elektrické siete Cayley izoméry organických zlúčenín Samostatná disciplína König 1936
poznámka - dohovor (a,b) usporiadaná dvojica (a,b) (b,a) [a,b] neusporiadaná dvojica [a,b] = [b,a]
Definícia: Nech V je neprázdna konečná množina a E je podmnožina množiny 2 [ V ] = {[ u, v] ; u V, v V, u v} Potom usporiadanú dvojicu G = (V, E) nazveme graf. Prvky množiny V nazývame vrcholy (vertex) Prvky množiny E nazývame hrany (edge)
Definícia: Nakreslenie (diagram) grafu G = (V,E) nazveme také zobrazenie z V do R 2 (euklidovská rovina), ktoré každému vrcholu v i priradí bod B i z R 2 a každej hrane e=[u i, u j ] priradí oblúk spájajúci body B i,b j pri splnení týchto požiadaviek: Rôznym vrcholom sú priradené rôzne body Oblúky nesmú sami seba pretínať Oblúky nesmú obsahovať body prislúchajúce iným vrcholom
Terminológia 01 Nech e =[u,v] je hrana grafu G. Vrcholy u, v nazývame koncové a hovoríme, že vrchol u (resp. v) inciduje s hranou e. Tieto vrcholy nazývame susedné. Ak dve hrany e 1, e 2 incidujú s vrcholom v, potom tieto hrany nazývame susedné.
Príklad 1 Nakreslite diagramy nasledujúcich grafov 1. G 1 =[V 1, E], V 1 ={v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 }, E ={[v 1, v 3 ], [v 1, v 4 ], [v 3, v 4 ], [v 2, v 3 ]} 2. G 2 =(V, ), V={v 1, v 2, v 3, v 4 } (tzv. Triviálny graf)
graf G 1 v 5 v 1 v 4 v 2 v 3
graf G 2 v 1 v 4 v 2 v 3
Definícia Počet hrán incidujúcich s vrcholom v v grafe G nazývame stupeň vrcholu v a označujeme ho st(v) v príklade 1 st(v 1 ) = 2 st(v 2 ) = 1 st(v 3 ) = 3 st(v 4 ) = 2 st(v 5 ) = 0 v 2 v 1 v3 v 5 v 4
Definícia Nech V je konečná neprázdna množina a E {( u, v) ; u, v V u v}, usporiadanú dvojicu G= (V, E) nazveme digraf (orientovaný graf orgraf). Prvky množiny V nazývame vrcholy a prvky množiny E nazývame orientované hrany
Terminológia 02 Nech e =(u,v) je hrana grafu G. Vrchol u, nazývame počiatočný a vrchol v nazývame koncový vrchol hrany e. nakreslenie digrafu realizujeme ako u grafu s vyznačením orientácie šipkou
Príklad 2 Nakreslite diagram digrafu 1. G=[V, E], V 1 ={v 1, v 2, v 3, v 4,}, E ={(v 1, v 3), (v 1, v 4 ), (v 3, v 1 ), (v 2, v 3 )}
v 1 v 3 v 4 v 2
Definícia Nech G= (V, E) je digraf potom pre vrchol v z V definujeme: a) Odchádzajúci stupeň vrcholu v st + (v), ktorý znamená počet orientovaných hrán s počiatočným vrcholom v. b) Prichádzajúci stupeň vrcholu v st - (v), ktorý znamená počet orientovaných hrán s koncovým vrcholom v. c) Celkový stupeň vrcholu v st (v), ktorý znamená počet orientovaných hrán incidentných s vrcholom v. st (v) = st - (v) + st + (v) v V st + ( v ) = st ( v) v V
Veta (Euler) V ľubovolnom grafe G(V,E)platí: v V st( v) = 2 E Kde E je počet prvkov množiny E. Dôsledok: V ľubovolnom grafe je počet vrcholov nepárneho stupňa párny.
Definícia Budeme hovoriť, že graf (digraf) G = (V, E ) je podgrafom grafu (digrafu) G = (V, E), ak platí: V V a E E
ak V = V a E E -faktorový podgraf V V a E E -vlastný podgraf ( ) Ak V V, potom podgraf G = V, E nazveme indukovaným podgrafom grafu G = ( V, E), ak G obsahuje všetky hrany z grafu G incidujúce s vrcholmi grafu G, t.j 2 E = E V [ ]
Odobratie vrcholu ( ) Nech G = V, E je graf a v V. ( ) Potom budeme hovoriť, že graf G = V, E vznikol z G odobratím vrcholu v ak G je indukovaný podgraf grafu G množinou vrcholov V- v. Budeme ho označovať G = G v
Odobratie hrany ( ) Nech G = V, E je graf a e E. ( ) Potom budeme hovoriť, že graf G = V, E vznikol z G odobratím hrany e ak G je podgraf grafu G, G = V, E e ( { }) Budeme ho označovať G = G e
Definícia Graf K n = (V, E ) nazveme kompletný graf s n vrcholmi, ak každými jeho dvoma vrcholmi je určená hrana, t.j. ak ( v, v2, ) V =, 1 L v n potom E {[ v, v ]; i j n} = 1 i j Poznámka: V kompletnom grafe sú každé dva vrcholy susedné.
Definícia Graf G = (V, E ) nazveme bipartitný graf, množinu jeho vrcholov V môžeme rozdeliť na dve neprázdne podmnožiny V 1 a V 2 také že V V = V V =, Tak že ak E = 1 2, 1 2 V {[ u, v] ;pre všetky u V v V }. Bipartitný graf G nazveme kompletný bipartitný graf ak množina jeho hrán je : e = [ v v ] E, potom v V, v. i, j i 1 j V2 1, 2 Ak V = r a V 2 =s, budeme ho označovať K r,s.
Definícia Graf G = V, E nazývame komplementárny ku grafu Ak: V = V E = ( ) {[ u, v] ;pre všetkyu, v V, u v, [ u, v] E} ( V E) G =,