ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE - PDF Free Download

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU DUNJA STRAKA ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE Završni rad Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike Osijek, 2014

"Ovaj završni rad je izrađen u Osijekupod vodstvom prof. dr. sc. Branka Vukovića i Maje Varga Pajtler prof. asistent u sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku". 3

SADRŽAJ 1.Sažetak... 5 2.Uvod... 7 3.Opis Lagrangeovih točaka... 8 3.1.Točka L1... 10 3.1.1.SOHO... 10 3.2.Točka L2... 10 3.3.Točka L3... 11 3.4.Točke L4 i L5... 11 4.Pronalazak Lagrangeovih točaka... 12 5.Stabilnost Lagrangeovih točaka... 20 5.1.Stabilnost točaka L1 I L2... 20 5.2.Stabilnost točke L3... 20 5.3.Stabilnost točaka L4 I L5... 21 6.Događaji... 21 7.Zaključak... 24 8.Literatura... 25 8.Životopis... 25 4

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad Odjel za fiziku ZEMLJINE LAGRANGEOVE TOČKE DUNJA STRAKA 1. Sažetak: U ovom završnom radu ćemo se upoznati sa Zemljinim Lagrangeovim točkama. Općenito, Lagrangeove točke su točke u svemiru u kojima malo tijelo, pod utjecajem gravitacije dvaju većih tijela, ostaje u orbiti na približno istoj udaljenosti od njih. Gravitacijsko privlačenje dviju većih masa jednako je centripetalnoj sili potrebnoj da tijelo rotira zajedno s njima. Pronaći ćemo na kojoj su udaljenosti smještene Lagrangeove točke te vidjeti koje su stabilne, a koje nisu. U svakom sustavu dvaju teških tijela (npr. Sunce-Jupiter, ili Zemlja-Mjesec) postoji pet teoretskih Lagrangeovih točaka (L1, L2, L3, L4 i L5), ali samo su dvije stabilne (L4 i L5). (23 stranice, 5 slika, 1 literaturni navod) Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku Ključne riječi: Lagrangeove točke/problem dvaju tijela/problem triju tijela Mentor: prof.dr.sc. Branko Vuković i Maja varga Pajtler prof. asistent Ocjenjivač: prof. dr. sc. Branko Vuković Rad prihvaćen: 5

University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis Department of Physics EARTH'S LAGRANGE POINTS DUNJA STRAKA 1. Abstract In this final thesis we will get acquainted with the Earth's Lagrangian points. In general, the Lagrange points are in space where the small body, under the influence of gravity two larger bodies remain in orbit at approximately the same distance from them. The gravitational attraction of two large masses are precisely equals to the centripetal force required to rotate the body along with them. We will find how far are located the Lagrangian points, and see which are stable and which are not. In every system of two heavy bodies (eg. Sun-Jupiter or Earth-Moon), in theory there are five Lagrangian points (L1, L2, L3, L4 and L5), but only two of them are stable (L4 and L5). (23 pages, 5 figures, 1 references) Thesis deposited in Department of Physics library Keywords: Lagrange points/three-body problem/two-body problem Supervisor:Branko Vuković PhD and Maja varga Pajtler PhD Thesis accepted: 6

2. Uvod Cilj ovog završnog rada je prikazati Zemljine Lagrangeove točke te opisati kako gravitacijske sile djeluju između triju ili više tijela. Joseph Louis Lagrange bio je talijansko-francuski matematičar i astronom. Možemo reći kako je Lagrange jedan od osnivača teorije analitičke mehanike, te pored toga, radio je na problemima varijacijskog računa. Također, teoretski je proračunao kako se pod strogim uvjetima može postići stabilna ravnoteža triju tijela. Osim što su točke dobile naziv po Lagrangeu, možemo ih još nazvati i libracijske točke. To su točke gdje se centrifugalna i gravitacijska sila dvaju tijela poništavaju. Centrifugalna sila je inercijska sila koju tijelo osjeća kad se nalazi u sustavu koji se giba. Suprotno od centrifugalne sile dijeluje gravitacijska sila, koja tijelo privlači u središte kružnice. Ako se treće tijelo nalazi između dva tijela,pod utjecajem gravitacije dva veća tijela, treće tijelo (tijelo zanemarive mase) ostaje u orbiti na približno istoj udaljenosti.to je egzakno rješenje klasičnog problema triju tijela. Smatrao sam beskorisnim čitanje analiza; prevelik broj metoda se demonstrira odjednom. Analize moramo proučavati kroz rad (pokuse), samo na taj način ih možemo iskoristiti. Joseph-Louis Lagrange 7

3. Opis Lagrangeovih točaka Lagrangeove točke su točke u svemiru u kojima malo tijelo, pod utjecajem gravitacije dvaju većih tijela, ostaje u orbiti na približno istoj udaljenosti od njih. U svakom sustavu dvaju teških tijela (npr. Sunce-Jupiter, ili Zemlja-Mjesec) postoji pet teorijskih Lagrangeovih točaka (L1, L2, L3, L4 i L5) (Slika 1). Točke L1, L2 i L3 leže na pravcu koji spaja središta masa tijela M i m inazivaju se kolinearne točk, a točke L4 i L5 tvore vrhove zamišljenog jednakostraničnog trokuta s tijelima M i mte ih zovemo ekvilateralnim točkama. Lagrange je izdvojio pet točaka ravnoteže u kojima tijela zanemarive mase mogu orbitirati s dvama većim tijelima. Primjer problema triju tijela je sustav Sunce-Zemlja-satelit. Problem triju tijela u nebeskoj mehanici nema opće analitičko rješenje. Smatra se da treće tijelo ima zanemarivu masu u odnosu na dva veća tijela. Za treće je tijelo Joseph-Louis Lagrange našao da može neopterećeno opstati u sustavu, na položaju pet točaka u ravnini u kojoj se sva tijela gibaju. Lagrangove točke su točke gdje se gravitacijske sile triju tijela poništavaju, mjesta gdje letjelica (satelit) može biti smještena u orbiti, te je udaljenost između tijela konstanta. 8

Slika 1: Prikaz pet Lagrangeovih točaka. Letjelica koja je prikazana na slici je National Aeronautics and Space Administration s (NASA) Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observatory koja kruži oko Sunca u drugoj Lagrangeovoj Na Slici 2 možemo vidjeti ograničen problem triju tijela. Ograničen oblik problema razmatra gibanje tri tijela, s time da je treće tijelo točkasto i bez mase.m 1 i M 2 su veće mase (u ovom primjeru su to Sunce i Zemlja), a m predstavlja zanemarivo malo tijelo. Vektorir 1, r 2 i r prestavljaju položaje tijelam 1, M 2 i m s obzirom na centar masem 1 i M 2. Položaji tijela M 1 i M 2 nisu uvjetovani masom m, već je obrnuto, položaj masem je uvjetovan položajima masa M 1 i M 2. Slika 2: Ograničen problem triju tijela U nastavku ćemo govoriti o Zemljinim Lagrangeovim točkama. Svaka točka ima svoju zadaću, značenje, te služi za proučavanje svemira. 9

3.1. Točka L1 Zemljina Lagrangeova točka L1 se naziva još unutarnja točka jer se nalazi između Zemlje i Sunca.U točki L1 su gravitacijske sile Zemlje i Sunca koje djeluju na tijelo mase mjednake centripetalnoj sili, tako da omogućujutijelu (svemirskoj letjelici) da ostane u toj točki. Točka L1 nalazi se na pravcu koji spaja Sunce i Zemlju. Tijelo mase m u Lagrangeovoj točki L1 ima orbitalni period 1 od jedne zemaljske godine. Također, položaj tijela (satelita) omogućuje neprekidna mjerenja Sunčevog vjetra izvan utjecaja geomagnetskog polja. Satelit šalje podatke parametra Sunčevog vjetra u realnom vremenu oko 30 minuta prije nego što Sunčev vjetar stigne do Zemljine magnetosfere.također, svemirska letjelica (SOHO) koja se nalazi u točki L1 nam savršeno služi za promatranje Sunca. 3.1.1. SOHO Solarni Heliosferični Observatorij (SOHO) je svemirska letjelica koja izgrađena od strane Europskih industrijskih udruženih tvrtki predvođenih Matra Marconi Space (današnji Astrium). Lansiran je 2. prosinca 1995. godine za proučavanje Sunca u Lagrangeovoj točki L1, a do sada je otkrio oko 2700 kometa. SOHO je projekt međunarodne suradnje Europske svemirske agencije (ESA) i NASA-e. NASA je bila odgovorna za lansiranje svemirske letjelice SOHO. Prvobitno je SOHO trebao biti u orbiti dvije godine, no nastavlja s radom više od 18 godina u svemiru. U liplju 2013. godine produljena mu je misija do prosinca 2016. godine. SOHOje dizajniranza proučavanjeunutarnje strukturesunca. Također, pomoću njega vidimo kako Sunce funkcionira. Prema ESA-i, glavno otkriće je pronalaženje plinske struje ispod Sunčeve vidljive površine, kao i praćenje česte promjene magnetskog toka. 3.2. Točka L2 Kod Lagrangeove točke L2, koja se naziva još i vanjska točka, suma gravitacijskih sila (koje potječu od tijela masa M 1 i M 2 )na tijelo mase mjednaka je centripetalnojsili. Nalazi se na oko 1,5 milijuna kilometara odzemlje. U točku L2 lansiran je MAP satelit i vjerojatno u 1 Orbitalni period je vrijeme koje je potrebno da tijelo napravi jednu punu orbitu oko drugog tijela 10

budućnosti Next Generation Space Telescope, upravo zato što ih je tamo relativno jednostavno držati na istoj poziciji, a ujedno se štedi i gorivo. Inače, točke L1 i L2 su nestabilne na vremenskoj skali od približno 23 dana, što znači da je za satelite smještene u tim točkama potrebno vršiti korekciju njihovih putanja. 3.3. Točka L3 Točka L3 se naziva vanjska točka, isto kao i L2. Ona se nalazi na strani Sunca (Slika 1), odnosno, nalazi se na suprotnoj strani prve i druge Lagrangeove točke, a između njih je smješteno Sunce. Točka L3 nalazi se na pravcu kojiprolazi točkama L1 i L2. Sunce se nalazi između njih, tj. s jedne Sunčeve strane se nalazi točka L3, a s druge strane točke L1 i L2 (kao što vidimo na Slici 1). Kada bismo svemirsku letjelicu stavili u točku L3, koja se nalazi iza Sunca, mi je sa Zemlje ne bi mogli vidjeti. Točka L3 nije iskorištena jer se cijelo vrijeme nalazi iza Sunca što je zanimljivo, te ju zbog toga pisci znanstvene fantastike koriste kao točku u kojoj se nalazi nalazi zagonetni "Planet-X". U točki L3 se ne nalazi svemirska letjelica. NASA je ustanovila kako nema nikakve koristi od točke L3 budući da je skrivena iza Sunca.Međutim, orbita te točke nestabilna je (s ciklusom od 150 dana). Smatra se kako je položaj točke L3 ugrožen gravitacijskim poremećajem drugih planeta koji kruže oko Sunca. 3.4. Točke L4 i L5 Preostale dvije Lagrangeove točke, L4 i L5, tvore trokute s tijelima masa M 1 i M 2 (slika 1). Točka L4, Sunce i Zemlja tvore jednakostraničan trokut. Isto tako, točka L5, Sunce i Zemlja tvore drugi jednakostraničan trokut, jednak onome što ga čine točka L1, Sunce i Zemlja. Lagrangeove točke L4 i L5 su stabilne, što znači da, kada bi svemirska letjelica bila postavljena u te točke, nakon malog pomaka iz ravnotežnog položajasama bi se vratila u ravnotežni položaj, bez dodatnog utroška energije. U točkama L4 i L5 sustava Zemlja-Mjesec nisu pronađena nikakva tijela, ali su zato pronađene velike koncentracije prašine, što je još 1956. godine primijetio poljski astronom Kazimierz Kordylewski. Lagrangeove točke u Mjesečevoj orbiti oko Zemlje spominju se i 11

kao idealne svemirske baze, jer na tim mjestima ne bi bilo težine, pa se ne bi trebalo trošiti gorivo za lansiranje letjelica. Materija za takvu bazu mogla bi biti posuđena sa samog Mjeseca. 4. Pronalazak Lagranegovih točaka Kako bismo pronašli Lagrangeove točke, moramo promatrati konstantnu udaljenost između triju tijela. Promatramo Sliku 1:M 1 i M 2 su dvije mase (Sunce i Zemlja), a r 1 ir 2 njihovi radijvektori. Ukupna sila (vektorski zbroj dviju gravitacijskih sila) koja djeluje na treću masu m, s radij-vektorom r, bit će zadana sljedećom relacijom: F = GM 1m r r 3 (r r ) 1 GM 2m 1 r r 3 (r r ) 2 2 pri čemu su r 1 ir 2 funkcije vremena, a mase M 1 i M 2 rotiraju jedna oko druge. Možemo primjeniti rješenje za r 1 (t) ir 2 (t) koje dobijemo kada rješavamo problem dvaju tijela za M 1 i M 2 i tražiti rješenje za jednadžbu kretanja. Stacionarna rješenja nazivaju se Lagrangeove točke. F (t) = m d2 r (t) dt 2 Kako bi rješili problem, moramo se prilagoditi referentnom sustavu kako bi mogli uzeti u obzir mase na fiksnoj poziciji. U tom istom neinercijskom okviru upute, koordinate proizlaze iz centra mase dvije veće mase. Po 3. Keplerovom zakonu (kvadrati ophodnih vremena planeta oko Suncaodnose se kao kubusi njihovih velikih poluosi) možemo izraziti kutnu brzinu rotirajućeg sustava Ω 2 R 3 = G (M 1 + M 2 ) U gore navedenoj formuli, R nam predstavlja udaljenost između dviju masa, a Ω predstavlja kutnu brzinu.budući da se nalazimo u ne inercijskom referentnom sustavu, moramo uzeti u obzir pseudo sile (očigledne sile vršene na sve mase u ne inercijskom referentnom sustavu). Ovdje oduzimamo Coriolis silu, koja odbija objekte vodoravno kada je promatrana u rotirajućem referentnom sustavu, i centrifugalnu silu, koja ukazuje radijalno van sustava i odvlači tijelo od njegovog centra rotacije. Prema tome dovodimo u vezu efektivnu silu u 12

rotacijskom referentnom sustavu s kutnim ubrzanjem sa inercijskom silom F slijedećom transformacijom F Ω = F 2m (Ω dr dt ) mω (Ω r ) Prva korekcija je Coriolisova sila, 2m (Ω dr ),a ona predstavlja silu na česticu koja se giba dt u sustavu koji rotira, a druga korekcija je centrifugalna sila, Ω (Ω r ). Efektivna sila može se izvesti iz potencijala U Ω = U v (Ω r ) + 1 2 (Ω r )(Ω r ) F Ω = r U Ω + d dt ( v U Ω ) Prvi dio korekcije nam predstavlja položaj ravnotežne točke, a drugi dio korekcije nam određuje stabilnost gibanja oko točke ravnoteže. Veličine koji su ovisne o brzini u efektivnom potencijalu ne utječu na poziciju ravnotežnih točaka, ali su bitne u određivanju dinamičke stabilnosti kretanja oko ravnotežnih točaka. Dinamička stabilnost nam omogućava da tijelo ostane nepromjenjeno tijekom utjecaja vanjskih sila. 13

Slika 3: Prikaz poopćenog potencijala Na Slici 3 je vidljivo je da se točke L4 i L5 nalaze na vrhovima uzvisina, dok se točke L1, L2 i L3 nalaze se u sedlastom dijelu. Iz toga bi se činilo da su točke L4 i L5 nestabilne. Međutim, kada se satelit počne "spuštati nizbrdo", njegova brzina se povećava i tu počinje djelovati Coriolisova sila koja šalje satelit u stabilnu (ali nepravilnu) orbitu oko Lagrangeove točke. Smještamo ishodište koordinatnog sustava u centar mase tako da je z os paralelna kutnoj brzini, tj. kutna brzina se proteže u smjeru z osi kao što možemo vidjeti na Slici 5. Ω = Ωk r = x(t)i + y(t)j r 1 = αri r 2 = βri 14

Slika 4: Kutna brzina duž z osi α i β dani su izrazima: α = M 2 M 1 + M 2, β = M 1 M 1 + M 2 što slijedi iz izraza za udaljenosti tijela masa M 1 + M 2 od centra mase sustava. Kako bismo našli ravnotežne točke, tražimo da je zadovoljen uvjet v = dr = 0, te ćemo tražiti rješenja jednadžbe F Ω = 0 dt F Ω = mω 2 (x β(x + αr)r3 α(x βr)r3 ) i ((x + αr) 2 + y 2 ) 3 2 ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 +mω 2 βyr 3 αyr 3 (y ) j (1) ((x + αr) 2 + y 2 ) 3 2 ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 Ako uzmemo da je F Ω = 0, možemo pronaći točke ravnoteže {x[(x + αr) 2 + y 2 ] 3 2[(x βr) 2 + y 2 ] 3 2 β(x + αr)r 3 [(x βr) 2 + y 2 ] 3 2 α(x βr)r 3 [(x + αr) 2 + y 2 ] 3 2} i = 0 15

Ako uzmemo y=0 jer se točke nalaze na x osi, možemo pronaći prve tri Lagrangeove točke x(x + αr) 3 (x βr) 3 ± β(x + αr)r 3 (x βr) 3 ± α(x βr)r 3 (x + αr) 3 = 0 Kako bi pojednostavili račun, uzimamo x=r(u+β), gdje nam R predstavlja udaljenost između dva tijela M 1 i M 2. R(u + β)r 3 (u + α + β) 3 R 3 u 3 ± βr(u + α + β)r 3 R 3 u 3 ± αrur 3 R 3 (u + α + β) 3 = 0 (u + β)(u + α + β) 3 u 3 ± β(u + α + β)u 3 ± αu(u + α + β) 3 = 0 u(u + α + β)[(u + β)(u + α + β) 2 u 2 ± βu 2 ± α(u + α + β) 2 ] = 0 Uzmemo da je α + β = 1 i dobijemo (u + β)(u + 1) 2 u 2 ± βu 2 ± α(u + 1) 2 = 0 (u + 1 α)(u + 1) 2 u 2 ± (1 α)u 2 ± α(u + 1) 2 = 0 [(u + 1) 3 α(u + 1) 2 ]u 2 ± [u 2 αu 2 ] ± α(u + 1) 2 = 0 Dobivamo tri jednadžbe petog reda [(u + 1) 3 α(u + 1) 2 ]u 2 (u 2 αu 2 ) + α(u + 1) 2 = 0 (2) [(u + 1) 3 α(u + 1) 2 ]u 2 (u 2 αu 2 ) α(u + 1) 2 = 0 (3) [(u + 1) 3 α(u + 1) 2 ]u 2 + (u 2 αu 2 ) + α(u + 1) 2 = 0 (4) Sada moramo rješiti ove tri jednadžbe. Možemo rješiti aproksimacijom s obzirom na sustav Zemlja-Sunce. Prvo rješavamo prvu jednadžbu Ako uzmemo da je δ 1 u 1 α (u + α) 2 + α (u 1 + α) 2 = 0 u 1 + α = δ u = 1 δ α 1 δ 16

(1 δ) (1 + 2δ) + α δ 2 = 0 3δ + α δ 2 = 0 3δ 3 + α = 0 δ = ( α 3 ) 1 3 u = 1 ( α 3 ) 1 3 Rješavanjem druge jednadžbe na isti način dobijemo u = 1 + ( α 3 ) 1 3 Rješavanjem treće jednadžbe na isti način dobijemo u = 1 5 12 a Zakonačna rješenja prve tri Lagrangeove točke dobijemo L1: (R [1 ( α 3 )1 3], 0 ) L2: (R [1 + ( α 3 )1 3], 0 ) L3: ( R [1 + 5 12 α], 0 ) Za sustav Zemlja-Sunce vijedi α~3 10 6, a R= 1AU, što približno iznosi 1,5 10 8 km. 1 AU 2 je mjerna jedinica za duljinu. Upotrebljava se u astronomiji, te je približno jednaka udaljenosti Zemlje od Sunca. Prva i druga Lagrangeova točka se nalaze 1,5 milijuna kilometara od Zemlje, a treća Lagrangeova točka se nalazi na istoj udaljenosti od Sunca kao što se Zemlja nalazi, samo na suprotnoj strani. 17

Kako bi našli jednakostranične Lagrangian točke, L4 i L5, moramo uravnotežiti sile gravitacije izvšene od strane M 1 i M 2 sa centrifugalnom silom koja djeluje radijalno van centra mase. Kako je sila u smjeru okomita uključujući sile gravitacije, prikladno je razložiti efektivnu silu na paralelne i okomite komponente uzimajući u obzir distancu između mase M i centra mase, koristeći projekcijske vektore xi + yj i xi yj. Ortogonalna projekcija tada glasi [x β(x+αr)r3 ((x+rα) 2 +y 2 ) 3 2 α(x βr)r3 ((x+rα) 2 +y 2 ) 3 2 xy + R3 βy(x + αr) + R 3 βxy ((x + Rα) 2 + y 2 ) 3 2 R 3 βyx R 4 αβy + R 3 βxy ((x + Rα) 2 + y 2 ) 3 2 ] y [y βyr 3 ((x+rα) 2 +y 2 ) 3 2 + R3 αy(x βr) + R 3 αxy ((x Rβ) 2 + y 2 ) 3 2 αyr 3 ((x βr) 2 +y 2 ) 3 2 + R3 αyx + R 4 αβy + R 3 αxy ((x Rβ) 2 + y 2 ) 3 2 F Ω = αβyω 2 R 4 1 1 ( ) ((x + Rα) 2 + y 2 ) 3 2 ((x Rβ) 2 + y 2 ) 3 2 xy = ] x= Ako je F Ω = 0 i y 0, ravnotežne točke moraju biti na jednakoj udaljenosti od dviju masa. 1 1 ( ) = 0 ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 ((x + αr) 2 + y 2 ) 3 2 1 1 = ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 ((x + αr) 2 + y 2 ) 3 2 Iz ovog gore izraza nam slijedi kako je x = R (β α) = R (1 2α) 2 2 x + αr = R 2 (5) x βr = R 2 (6) Kako bi dobili F Ω, krečemo iz jednadžbe (1) 18

β(x + αr)r3 α(x βr)r3 βyr 3 αyr 3 (x ) x + (y ) y ((x + αr) 2 + y 2 ) 3 2 ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 ((x + αr) 2 + y 2 ) 3 2 ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 x 2 + y 2 + βr3 [x(x + αr) + y 2 ] ((x + αr) 2 + y 2 ) 3 2 Ako uvrstimo izraze (5) i (6) u gornju jednadžbu dobivamo x 2 + y 2 + (1 α)r3 [x(x + αr) + y 2 ] ((x + αr) 2 + y 2 ) 3 2 Kada uvrstimo (7) u (1), dobivamo (x + αr) 2 + y 2 = (x βr) 2 + y 2 x 2 + y 2 R3 (x 2 + y 2 ) (7) [(x βr) 2 + y 2 ] 3 2 F Ω = mω 2 x2 + y 2 R + αr3 [x(x βr) + y 2 ] ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 + αr3 [x(x (1 α)r) + y 2 ] ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 ( 1 R 3 1 ) ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 Zahtjevajući da paralelna komponenta bude jednaka nuli, zato što se mase M 1 i M 2 nalaze na x osi, to nas dovodi do stanja da se ravnotežne točke nalaze na udaljenosti R od svake mase. Kao što na slici 3 vidimo, L4 se nalazi na jednom vrhu jednakostraničnog trokuta, dok se druge dvije mase nalaze na ostala dva vrha. Lagrangeovu točku L5 dobijemo zrcalnom refleksijom točke L4. Prvo moramo izračunati Lagrangeovu točku L4, vodeću točku jednakostraničnog trokuta, koja je određena s pozicijom točaka M 1 i M 2 na preostalim vrhovima. 1 R 3 1 = 0 ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 1 R 3 = 1 ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 R 3 = ((x βr) 2 + y 2 ) 3 2 y = ± 3 2 R 19

Kordinate Lagrangeovih točaka L4 i L5 glase L4: L5: ( R 2 ( R 2 (1 2α), 3 2 R) (1 2α), 3 2 R) 5. Stabilnost Lagrangeovih točaka Joseph Louis Lagrange teoretski je proračunao da se pod strogo određenim uvjetima može postići stabilna ravnoteža triju tijela. Ova teorija potvrđena je 1906. godine otkrićem dvije grupe asteroida (Trojanci) u orbiti planeta Jupitera. U svakom sustavu dvaju teških tijela (npr. Sunce-Jupiter, ili Zemlja-Mjesec) postoji pet Lagrangeovih točaka, ali samo su točke L4 i L5 stabilne. Točke L4 i L5 stabilne su pod uvjetom da je omjer masa M 1 M 2 > 24,96, gdje je M 1 masa Sunca, a M 2 masa Zemlje. Taj uvjet zadovoljen je za sustav Sunce-Jupiter ( M s M J = 1000), zatim sustav Zemlja-Mjesec ( M Z M MJ = 83,33). 5.1. Stabilnost točaka L1 i L2 Za neka veća istraživanja promatrana je stabilnost prve i druge Lagrangeove točke u sustavu Sunce-Zemlja. Već smo ranije spomenuli kako se satelit SOHO nalazi u točki L1, a NASA planira poslati još i satelit MAP u točku L2. Zbog odstupanja od ravnotežnog položaja, točke L1 i L2 su nestabilne, te će ta odstupanja rasti eksponencijalno s vremenom. Zbog nestabilnosti točaka, sateliti koji se nalaze u Lagrangeovim točkama L1 i L2 odlutat će nakon nekoliko mjeseci. 5.2. Stabilnost točke L3 Lagrangeova točka L3 smještena je iza Sunca te je mi ne možemo vidjeti sa Zemlje. Planet X se nalazi u točki L3, te je njegova orbita nestabilna. Iako Planet X ne postoji, Lagrangeova točka L3 se čini dobrim mjestom za satelit. Planet X mnogi znanstevnici 20

koriste u knjigama i filmovima zato što ne znaju što se u toj točki nalazi. Nama je još neotkrivena, nema svemirske letjelice i ne vidimo ju sa Zemlje. 5.3. Stabilnost točaka L4 i L5 Smatra se kako su Lagrangeove točke L4 i L5 najstabilnije točke. One odgovaraju lokalnom maksimumu poopćenog potencijala, što inače upućuje na nestabilno stanje, no ove su dvije točke stabilneuslijed djelovanja Coriolisove sile. Masa smještena blizu točaka L4 i L5 klizit će prema dolje niz potencijal kao što vidimo na slici 4, ali dok klizi, također i ubrzava te tu počinje djelovanje Coriolisove sile, koja masu šalje u orbitu oko Lagrangeove točke. L4 i L5 također nazivamo i Trojanskim točkama, a ime su dobila po tri Trojanska asteroida, Agamenom, Ahilej i Hektor. 6. Događaji Nama najpoznatija NASA-ina svemirska letjelica (SOHO) smještena je u prvoj Lagrangeovoj točki. Solarni Heliosferični Observatorij (SOHO) lansiran je 2. prosinca 1995. godine te je otkrio oko 2700 kometa. Svemirska letjelica SOHO kruži oko Sunca unutar Zemljine orbite pri čemu ima nesmetan pogled na Sunce, što mu dozvoljava konstantno prikupljanje podataka, te može prikupiti podatke vezane za Sunčevu aktivnost. Lagrangeova točka L1 značajna je u orbiti binarnih zvjezdanih sustava. Binarni zvjezdani sustav je sustav u kojem svaka od zvijezda rotira oko drugezvijezde brzinom od gotovo 500 km/s. Zemlji za orbitu oko Sunca treba godinu dana, a dvjema zvijezdama za međusobnu orbitu jedne oko druge treba samo pet minuta. Možemo jednostavnije reći kako se binarni zvjezdani sustav sastoji od dvije zvijezde, te svaka kruži oko njihovog zajedničkog centra mase. Način nagomilavanja materije na zvijezdu kroz Lagrangeovu točku L1 odgovoran je za eksploziju supernove tipa I. Ekspolozija se događa kada masivna zvijezda potroši svoje nuklearno gorivo, pri čemu jezgra postaje nestabilna, pa kolapsira.supernova tipa I nastaje u dvojnim zvjezdanim sustavima. Zvjezdani sustav koji može proizvesti Tip I supernovu mora za člana imati barem jednog bijelog patuljka. Preduvijet za nastanak supernove je taj da bijelog patuljka mora biti veća od 1.38 Sunčevih masa (oko 2,85x10 30 kg). 21

NASA-in nasljednik Svemirskog teleskopa Hubbel je Svemirski teleskop James Webb (JWST). Svemirski teleskop Hubble (HST) projekt je nastao suradnjom NASA-e i Europske svemirske agencije. Postavljen je u kružnu orbitu oko Zemlje (za jedan krug treba mu prosječno 96 minuta) na visini od 600 km. Srce teleskopa čini 2,4 metarsko zrcalo. Težak je oko 10 tona. Dugačak je 11 metara, a širok 4,2 metra. Energiju potrebnu za rad dobiva iz solarnih ploča dimenzija 2,6 x 7,1 metara. Njegov zamjenik JWST ima veći promjer zrcala, kao što možemo vidjeti na Slici 5. Lansiranje JWST planirano je 2018. godine uz pomoć Ariane 5, te će kružiti oko Lagrangeove točke L2. Ariane 5 je europska raketačiji je jednokratan sustav lansiranja korišten u svrhe prijevoza tereta do geostacionarnih orbita ili niskih Zemljinih orbita. Druga Lagrangeova točka L2 je popularno stanište i za druge svemirske letjelice, uz JWST, tu su smještene Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP), Gaia, svemirska letjelica Herschel i Eddington. Slika 5: Usporedba Hubbel i James Webb Svemirskog teleskopa Za sada u trećoj Lagrangeovoj točki L3 nije smiještena ni jedna svemirska letjelica, niti se planira postaviti u skoroj budućnosti. NASA je objavila da nema nikakve koristi od stavljanja svemirskih letjelica u Lagrangeovu točku L3 s obzirom da se nalazi iza Sunca. Lagrangeova točka L3 se često koristi u znanstvenoj fantastici (knjigama, filmovima, serijama...) kao Planet X.. Planet X bi bio jako sličan našoj Zemlji, ali na suprotnoj strani Sunca, pa bi zbog toga uvijek bio kriven od ljudskih očiju, te ga mi nikad ne bi mogli vidjeti s lica Zemlje. Treća i četvrta Lagrangeova točka nagoviještaju kako prirodno orbitirajuće tijelo bi trebalo da ostane unutar ovih točaka unatoč preturbaciji, za razliku od kolinearnih točaka koje zahtjevaju 22

održavanje objekata koje je čovjek napravio. Ovo predviđanje je potvrđeno 1906 godine otkrićem Jupiterovih asteroida Trojanaca. Jupiterovi Trojancise nalaze na Jupiterovoj stazi, 60 ispred i iza Jupitera. 23

7. Zaključak Ovim završnim radom obrađena je tema Lagrangeovih točaka, s naglaskom na Zemljine Lagrangeove točke. Svrha ovog rada je upoznati se s pet točaka ravnoteže u kojima tijela zanemarive mase mogu orbitirati s dva veća tijela. Pronašli smo mjesta gdje letjelica (satelit) može biti smještena u orbiti, te je udaljenost između tijela konstanta. Također, prikazali smo kako pronaći stabilnost Lagrangeovih točaka. Prema izračunima, najstabilnije su točke L4 i L5. No, u Lagrangeovoj točki L1 se nalazi svemirska letjelica SOHO koja nam govori mnogo o unutrašnjosti Sunca. Iako je prošla prvobitna odluka da SOHO ostane samo dvije godine, NASA, koja je odgovorna za SOHI-no lansiranje, produljila je misiju do 2016. 24

8. Literatura http://www.spacealliance.ro/articles/view.aspx?id=200903060441-16.9.2014. http://bs.wikipedia.org/wiki/lagrangeova_ta%c4%8dka -16.9.2014. http://www.nasa.gov/mission_pages/soho/ -17.9.2014. http://mafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2009_2010/lagrangeove_tocke.pdf -19.9.2014. http://hr.wikipedia.org/wiki/coriolisov_u%c4%8dinak -19.9.2014. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mechanics/lagpt.html -19.9.2014. http://map.gsfc.nasa.gov/mission/observatory_l2.html -19.9.2014. http://www.spacealliance.ro/articles/view.aspx?id=200903060441-20.9.2014. 9. Životopis Ovaj rad napisala je Dunja Straka. Rođena je u Osijeku, 30.09.1992. Osnovnu školu je završila u Valpovu, gdje je i odrasla. Po završetku osnovne škole, upisala je Opću gimnaziju u Valpovu, te danas studira na Odjelu za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. U slobodno vrijeme bavi se odbojkom i trčanjem. 25