PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK BAGI NOMBOR NEGATIF DI SEKOLAH MENENGAH RENDAH MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA

PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK BAGI NOMBOR NEGATIF DI SEKOLAH MENENGAH RENDAH MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA

Universiti Teknologi Malaysia PSZ 19:16 (Pind. 1/97) BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS JUDUL: PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK BAGI NOMBOR NEGATIF DI SEKOLAH MENENGAH RENDAH SESI PENGAJIAN: 2007/2008 Saya MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH (HURUF BESAR) mengaku membenarkan tesis (PSM/Sarjana/Doktor Falsafah)* ini disimpan di Perpustakaan Universiti Teknologi Malaysia dengan syarat-syarat kegunaan seperti berikut: 1. Tesis adalah hakmilik Universiti Teknologi Malaysia. 2. Perpustakaan Universiti Teknologi Malaysia dibenarkan membuat salinan untuk tujuan pengajian sahaja. 3. Perpustakaan dibenarkan membuat salinan tesis ini sebagai bahan pertukaran antara institusi pengajian tinggi. 4. **Sila tandakan ( ) SULIT TERHAD (Mengandungi maklumat yang berdarjah keselamatan atau kepentingan Malaysia seperti yang termaktub di dalam AKTA RAHSIA RASMI 1972) (Mengandungi maklumat TERHAD yang telah ditentukan oleh organisasi/badan di mana penyelidikan dijalankan) TIDAK TERHAD Disahkan oleh (TANDATANGAN PENULIS) Alamat Tetap: NO18, JLN HJ YAHYA,DESA PUTRA 43000 KAJANG SELANGOR DARUL EHSAN (TANDATANGAN PENYELIA) PROF. DR. ISMAIL BIN KAILANI Nama Penyelia Tarikh: 30 APRIL 2008 Tarikh: 30 APRIL 2008 CATATAN: * Potong yang tidak berkenaan. ** Jika tesis ini SULIT atau TERHAD, sila lampirkan surat daripada pihak berkuasa/organisasi berkenaan dengan menyatakan sekali sebab dan tempoh tesis ini perlu dikelaskan sebagai SULIT atau TERHAD. Tesis dimaksudkan sebagai tesis bagi Ijazah Doktor Falsafah dan Sarjana secara penyelidikan, atau disertasi bagi pengajian secara kerja kursus dan penyelidikan, atau Laporan Projek Sarjana Muda (PSM).

Saya akui bahawa saya telah membaca karya ini dan pada pandangan saya karya ini adalah memadai dari segi skop dan kualiti untuk tujuan penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik) Tandatangan : Nama Penyelia : PROF. DR. ISMAIL BIN KAILANI Tarikh : 30 APRIL 2008

Saya akui bahawa saya telah membaca karya ini dan pada pandangan saya karya ini adalah memadai dari segi skop dan kualiti untuk tujuan penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik) Tandatangan : Nama Penyelia : PROF. DR. ISMAIL BIN KAILANI Tarikh : 30 APRIL 2008

PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK BAGI NOMBOR NEGATIF DI SEKOLAH MENENGAH RENDAH MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik) Fakulti Pendidikan Universiti Teknologi Malaysia APRIL 2008

ii PERAKUAN Saya akui bahawa karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang setiap satunya telah saya jelaskan sumbernya Tandatangan : Nama Penulis : MUHAMMAD ASYRAF BIN ASBULLAH Tarikh : 30 APRIL 2008.

iii DEDIKASI Teristimewa buat mak dan abah tercinta Che Om Hussain dan Asbullah Hj Mohd Yusof yang telah memberikan sokongan dan kasih sayang yang tiada tandingnya serta berkat doa yang tiada hentinya untuk anakmu ini... Sekalung terima kasih kepada adik-adik Nur Atiqah, Nur Atirah dan Nur Adibah yang senantiasa menceriakan hari-hari yang berlalu... Khas buat teman-teman Natasha bte Dolzakipi, Habill, Qabill, Adamaina Jaha, Eddy, Rizal, S.Arip, Keri, Oja, Jamilun, Ceni Jes,,Yusma, Fazdli, Kak Lia, Dayah, Poji, Mie, Shidi Geng Kongsi Gelap,Kumpulan Statistik, Kelab M.O dan rakan-rakan lain Sebagai pembakar semangat Sebagai tempat luahan perasaan dan tekanan Juga sebagai pengikat silaturrahim yang kukuh Jasa kalian dikenang selalu... Terpenting Terima kasih kepada diri sendiri Terima kasih diatas kesedaran diantara kau dan aku Terima kasih diatas pedoman diantara aku dan DIA Serta terima kasih diatas pengembaraan hidup bersama...

iv PENGHARGAAN Segala puji-pujian bagi Allah S.W.T, pemelihara dan pentadbir sekalian alam diatas kasih sayang, pedoman dan keizinannya maka penulisan ini dapat disempurnakan seadanya. Setinggi-tinggi penghargaan yang tidak terhingga khas ditujukan kepada Prof. Dr. Ismail Kailani selaku penyelia bagi projek ini di atas segala susah payah menunjuk ajar, menasihat, menyemak, menyumbang idea serta bimbingan yang diberikan sepanjang tempoh projek ini dijalankan sehingga berjaya disiapkan. Dikesempatan ini juga, penulis ingin merakamkan ucapan penghargaan yang tidak terhingga kepada semua yang terlibat sama ada secara langsung atau tidak dalam menyiapkan kajian ini termasuk yang telah memberi dorongan dan sokongan kepada penulis serta memberi kekuatan dan ilham dalam menyiapkan Projek Sarjana Muda ini dengan jayanya. Dengan kerjasama semua, maka projek ini dapat berjalan dengan lancar dan dapat disiapkan dengan sempurna. Semoga Allah S.W.T membalas jasa baik kalian

v ABSTRAK Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM) menyatakan bahawa penekanan yang sewajarnya perlu diberikan kepada usaha untuk menghargai dan menghayati keindahan matematik. Unsur-unsur sejarah seperti riwayat hidup ahli-ahli matematik atau peristiwa tertentu dalam perkembangan matematik itu sendiri, dapat memberangsangkan lagi minat murid terhadap sesuatu tajuk. Justeru, kajian ini telah dijalankan dengan menerapkan unsur sejarah dalam pengajaran dan pembelajaran bagi topik nombor negatif. Tumpuan kajian adalah kepada perkembangan dan penerokaan konsep nombor negatif melalui rentetan sejarahnya serta kaedah-kaedah yang pernah wujud bagi menjelaskan konsep sebenar nombor negatif. Selain itu kajian ini juga tertumpu kepada penggunaan awal nombor negatif dalam kehidupan serta penyelesaian yang melibatkan nombor negatif. Seterusnya tumpuan kajian adalah kepada beberapa cadangan aktiviti yang diterapkan unsur-unsur sejarah yang boleh digunakan guru dalam proses pengajaran bagi topik nombor negatif di bilik darjah. Kaedah-kaedah yang dicadangkan boleh dijadikan pengukuhan bagi kaedah pembelajaran sedia ada. Di bahagian akhir kajian, dikemukakan beberapa cadangan kajian lanjutan kepada yang yang berminat untuk meneruskan kesinambungan kajian ini.

vi ABSTRACT One of the mathematics Integrated Curriculum for Secondary Schools objective is to appreciate the importance and the beauty of mathematics. The historical elements such as the life of mathematicians or some particular events on mathematics history itself can be use to stimulate the students interest about the topics. This research was conducted by instilling the historical elements through the teaching and learning process, focusing on the topic of negative numbers. The research was focusing about the developments and explorations of negative numbers through its history, also the methods that existed and explanations about its real concepts. Besides that, this research converge to the early applications and the solutions that involved negative numbers in daily life. Further more, there are several suggestion activities were designed with historical approach to help teacher during the teaching and learning process in the classroom and this activities also can be considered as an supplementary methods besides the modern material s one nowadays. Some comments and comparison between the suggestion activities and the standard materials for learning negative numbers were also discussed. At the end of this research, there are some recommendations, as a guides for whose that have interest to further this research.

vii ISI KANDUNGAN BAB PERKARA MUKASURAT PENGESAHAN STATUS TESIS - PENGESAHAN PENYELIA - HALAMAN TAJUK i PERAKUAN ii DEDIKASI iii PENGHARGAAN iv ABSTRAK v ABSTRACT vi ISI KANDUNGAN vii SENARAI RAJAH xi 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Pengenalan 1 1.2 Latar belakang Masalah 3 1.3 Pernyataan Masalah 4 1.4 Kepentingan Kajian 5 1.5 Objektif Kajian 6 1.6 Persoalan Kajian 6 1.7 Skop Dan Batasan Kajian 7 1.8 Definisi Operasi 7 1.8.1 Penerapan Unsur Sejarah 7 1.8.2 Pengajaran Dan Pembelajaran 8 1.8.3 Matematik 9

viii 1.8.4 Nombor Negatif 9 1.9 Penutup 9 2 SOROTAN KAJIAN 10 2.1 Pengenalan 10 2.2 Sejarah dan Matematik 10 2.3 Nombor Negatif dan Sejarahnya 14 2.4 Kecelaruan dan Kekeliruan Dalam Topik Nombor Negatif 16 2.4.1 Kecelaruan 17 2.4.2 Kekeliruan 18 2.5 Penutup 21 3 METODOLOGI 22 3.1 Pengenalan 22 3.2 Rekabentuk Kajian 22 3.3 Pengumpulan Data 24 3.4 Penganalisaan Data 25 3.5 Penutup 26 4 DAPATAN KAJIAN 27 4.1 Pengenalan 27 4.2 Sejarah Nombor Negatif 28 4.3 Penggunaan palang dalam menjelaskan idea awal nombor negatif 28 4.3.1 Peraturan bagi operasi tolak 30 4.3.2 Peraturan bagi operasi tambah 32 4.4 Petua tatatanda bagi operasi nombor negatif; implikasi dari analogi hutang serta masalah pengembangan kuadratik 34

ix 4.5 Gambaran dan ilustrasi; analogi konsep nombor negatif dengan kehidupan sebenar 42 4.5.1 Peningkatan/ pengurangan 43 4.5.2 Analogi duit dan hutang 43 4.5.3 Nombor negatif diatas garis nombor 45 4.5.4 Nombor negatif berhubung dengan konsep pengukuran 51 4.6 Nombor negatif sebagai nombor berlawanan dan juga konsep penghapusan 54 4.7 Nombor negatif ; hujah matematik secara pembuktian 58 4.8 Nombor negatif ; hujah matematik secara pola nombor 62 4.9 Penutup 65 5 CONTOH-CONTOH AKTIVITI PENGAJARAN YANG MENERAPKAN UNSUR-UNSUR SEJARAH MATEMATIK 66 5.1 Pengenalan 66 5.2 Pengenalan Kepada Konsep Nombor Negatif 67 5.2.1 Pernilaian Aktiviti 1 72 5.3 Penyelesaian Operasi Tambah Dan Tolak Nombor Negatif 73 5.3.1 Pernilaian Aktiviti 2 78 5.4 Petua Tatatanda Operasi Darab Nombor Negatif 79 5.4.1 Pernilaian Aktiviti 3 84 5.5 Petua Tatatanda Operasi Bahagi Nombor Negatif 85 5.5.1 Pernilaian Aktiviti 4 92 5.6 Penutup 93

x 6 KESIMPULAN DAN CADANGAN 94 6.1 Pengenalan 94 6.2 Dapatan dan kesimpulan 95 6.3 Kesimpulan 98 6.4 Cadangan Kajian Lanjutan 98 6.5 Penutup 100 SENARAI RUJUKAN 102

xi SENARAI RAJAH RAJAH NAMA RAJAH MUKA SURAT 1 JUBIN ALGEBRA 1 36 2 JUBIN ALGEBRA 2 37 3 PENGUKURAN ALTITUD 52 4 PENGUKURAN TERMOMETER 53 5 JUBIN ALGEBRA 3 81 6 JUBIN ALGEBRA 4 82

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Pengenalan Matlamat wawasan negara dapat dicapai melalui masyarakat yang berilmu pengetahuan dan berketerampilan mengaplikasikan pengetahuan matematik. Antara usaha ke arah mencapai wawasan ini, perlu dipastikan masyarakat membudayakan matematik dalam kehidupan seharian. Matematik ialah satu bidang ilmu yang melatih minda supaya berfikir secara logik dan bersistem dalam menyelesaikan masalah dan membuat keputusan. Sifat matematik secara tabiinya menggalakkan pembelajaran yang bermakna dan mencabar pemikiran. Kurikulum Matematik umumnya dianggap terdiri daripada beberapa bidang diskret seperti penghitungan, pengukuran, geometri, algebra dan penyelesaian masalah. Tanpa membuat perkaitan antara bidang bidang ini, murid akan mengingati terlalu banyak konsep dan kemahiran secara berasingan. Apabila idea matematik dikaitkan dengan pengalaman seharian di dalam dan di luar sekolah, murid lebih menyedari kegunaan dan kepentingan matematik. Selain itu, murid berpeluang menggunakan secara kontekstual dalam bidang ilmu yang lain dan dalam kehidupan seharian mereka (Kementerian Pendidikan Malaysia,2000).

2 Penekanan yang sewajarnya perlu diberikan kepada usaha untuk menghargai dan menghayati keindahan matematik. Unsur-unsur sejarah seperti riwayat hidup ahliahli matematik atau peristiwa tertentu dalam perkembangan matematik itu sendiri, yang boleh dicapai melalui internet misalnya, dapat memberangsangkan lagi minat murid terhadap sesuatu tajuk (Kementerian Pendidikan Malaysia,2000). Menurut Noraini Idris (2001), menerapkan unsur sejarah dalam matematik dapat memotivasikan pelajar, mengukuhkan konsep kefahaman, mendedahkan pelajar dengan sumbangan ahli-ahli matematik terdahulu, menarik minat pelajar terhadap matematik dan supaya pelajar dapat menghayati keindahan dan kepentingan matematik. (Noraini Idris, 2001). Melalui kurikulum ini, pelajar telah menerima sukatan yang baru dengan kata lain peralihan dari kurikulum sekolah rendah ke sekolah menengah. Bagi pelajaran matematik, perubahan yang besar juga akan terjadi dimana kebanyakan topik matematik beralih kepada yang lebih abstrak,lebih berimiginasi berbanding penyampaian secara konkrit. Dengan mengambil contoh topik algebra asas, perbandingan dari tajuk Nombor Bulat (konkrit) kepada tajuk Nombor Negatif (abstrak) dimana peralihan ilmu matematik itu akan dirasai oleh kebanyakan pelajar lebih-lebih lagi pelajar dengan tahap kognitif yang sederhana. Sering kali terdengar keluhan pelajar dimana pelajaran matematik disekolah dianggap hanyalah pelajaran yang bermain dengan imaginasi nombor, berkhayal bersama rumus-rumus dan pengolahan simbol. Hal sebegini mengakibatkan pelajar membuat kesimpulan awal bahawa kebanyakan ilmu matematik yang dipelajari tidak praktikal dalam kehidupan seharian. 1.2 Latar belakang masalah Pengajaran dan pembelajaran matematik telah mengalami perubahan ketara bukan sahaja melibatkan perubahan sukatan pelajaran bahkan dari segi pendekatannya. Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah yang disemak semula oleh Kementerian Pendidikan Malaysia pada tahun 2000 telah memberi penekanan terhadap aspek

3 pendekatan pengajaran dan pembelajaran. Ini adalah sebagai usaha untuk mewujudkan pembelajaran berkesan dan penguasaan konsep matematik di kalangan pelajar. Mungkin sebagai guru matematik, konsep nombor negatif adalah pengetahuan asas matematik dan mudah memahaminya, namun secara sedar atau tidak pemahaman konsep nombor negatif inilah merupakan salah satu kesukaran yang amat sangat kepada kebanyakan pelajar untuk dikuasai. Secara khususnya, antara kesukaran yang wujud disebabkan penggunaan tandaan iaitu merupakan tatatanda yang sama untuk menyatakan berlawanan dan juga operasi penolakan. Selain itu kekeliruan timbul berkenaan peraturan penukaran tatatanda ketika melakukan operasi matematik melibatkan nombor negatif. Begitu juga kenyataan bahawa jika huruf a dianggap sebagai suatu anu maka huruf a boleh mewakilkan nombor negatif walaupun tiada simbol pada anu tersebut. Kelaziman menggunakan buku teks, papan tulis dan kertas kerja semata-mata akan menyebabkan para pelajar menjadi hilang minat terhadap subjek matematik terutamanya bagi para pelajar yang sememangnya lemah dalam subjek ini. Mereka tidak akan memberikan fokus yang sewajarnya dalam proses pengajaran dan pembelajaran di dalam kelas. Keadaan ini akan menyukarkan tugas para guru bagi membantu pelajar dalam membina konsep dan menguasai kemahiran secara menyeluruh terutamanya dari aspek penyelesaian masalah, penaakulan, komunikasi dalam matematik dan membuat perkaitan (Sharifah Maimunah Syed Zin, 2001). Selain itu, fokus guru mengajar untuk menghabiskan sukatan pelajaran sebelum waktu peperiksaan dan proses pengajaran dan pembelajaran yang dilaksanakan lebih berpusatkan guru. Akibatnya, pelajar tidak diberi peluang membina pengetahuan mereka tetapi diterapkan dengan rumus-rumus dan simbol-simbol matematik supaya pelajar dapat menjawab soalan peperiksaan dengan jayanya. Penyertaan pelajar dalam proses pengajaran dan pembelajaran biasanya terhad kepada memberikan respon kepada arahan atau soalan guru sahaja. Antara usaha yang dapat dilaksanakan adalah dengan menerapkan unsur-unsur sejarah matematik dalam pengajaran matematik. Penerapan unsur-unsur sejarah

4 matematik bukan sahaja sebagai usaha untuk mewujudkan pelajar lebih menghargai dan menghayati keindahan matematik malah unsur sejarah seperti riwayat hidup dan peristiwa tertentu ahli matematik atau sejarah ringkas tentang sesuatu konsep matematik boleh diterapkan bersama-sama aktiviti dalam proses pengajaran dan pembelajaran. Hal ini akan merangsang lagi minat pelajar terhadap sesuatu topik matematik sekaligus dapat meningkatkan naluri ingin tahu mereka terhadap sejarah matematik. 1.3 Pernyataan Masalah Menurut Yannis Thomaidis (1993), pada waktu dan ketika ini, banyak kajiankajian empirikal yang dijalankan telah menunjukkan peratusan yang tinggi kepada kegagalan pelajar memahami nombor negatif dan operasi-operasi matematik yang melibatkan nombor tersebut. Dapatan ini menunjukkan hubungan dengan sifat-sifat nombor negatif semasa diperkenalkan disekolah. Natijahnya aktiviti pembelajaran berkenaan nombor negatif bukanlah berorientasikan kefahaman, namun mungkin sepenuhnya hafalan semata. Berdasarkan kajian kajian lepas berkaitan dengan hasil pengajaran dan pembelajaran nombor negatif didapati bahawa pelajar mengalami kesukaran kerana sedang melalui fasa peralihan daripada sesuatu yang konkrit kepada idea abstrak. Oleh yang demikian, kajian ini cuba mengumpulkan seberapa banyak kaedah dan penyelesaian yang terlibat bagi membantu merawat kekeliruan dan kecelaruan pelajar berkenaan dengan nombor negatif.

5 1.4 Kepentingan Kajian Ilmu matematik berada dalam keadaan yang pelik walaupun banyak kalangan yang tidak menidakkan kepentingan ilmu ini, tetapi masih banyak lagi yang menganggap ilmu ini sebagai tidak berpijak di alam nyata (Abdul Latif Samian, 1992). Berdasarkan pernyataan ini, disinilah terbitnya kepentingan kajian ini dilakukan. Melalui pendekatan yang digunakan dalam kajian ini iaitu penggunaan bahan sejarah diharap dapat merubah pandangan negatif pelajar terhadap ilmu matematik serta diharap dapat menjelaskan peranan sebenar ilmu matematik dalam membina peradaban. Pelajar juga diharap dapat mengaitkan ilmu matematik yang dipelajari dengan keperluan kehidupan dan suasana sebenar rumus atau teorem itu didapati berdasarkan rentetan sejarahnya. Berdasarkan dari pandangan Abdul Latif Samian bahawa dalam konteks pengajaran dan pembelajaran, matematik ialah salah satu mata pelajaran yang membosankan dan kebosanan ini akibat dari pendekatan pendidikan matematik yang terlalu teknikal. Melalui kajian ini, disarankan supaya para guru dapat menerapkan unsur sejarah bukan sahaja sebagai set induksi ketika memulakan pengajaran malah kaedah-kaedah yang diterokai oleh tokoh-tokoh matematik terdahulu dapat diadaptasi kedalam pembelajaran pelajar. Kajian yang dilakukan ini mendedahkan pelbagai kaedah atau pendekatan yang pernah wujud dan digunakan oleh ahli-ahli matematik terdahulu agar boleh dimanfaatkan dan juga sebagai bahan pengayaan yang berguna dalam kurikulum matematik. Kaedah-kaedah yang terdapat dalam kajian ini meliputi pelbagai tahap pencapaian pelajar dalam sesebuah bilik darjah. Oleh itu kajian ini adalah amat berguna bukan sahaja kepada pelajar malah guru-guru ketika sesi pengajaran dan pembelajaran.

6 1.5 Objektif Kajian Kajian ini bertujuan untuk : i. Meninjau bahan-bahan sejarah matematik yang dapat digunakan dalam pengajaran dan pembelajaran matematik KBSM pada peringkat menengah rendah bagi topik nombor negatif. ii. Mengenalpasti bahan-bahan sejarah dan maklumat yang berpotensi yang boleh digunakan di dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran nombor negatif. iii. Menghasilkan contoh bahan pengajaran yang telah diterapkan unsur sejarah bagi topik nombor negatif. 1.6 Persoalan Kajian i. Apakah bahan-bahan sejarah matematik yang dapat digunakan dalam pengajaran dan pembelajaran matematik KBSM pada peringkat menengah rendah bagi topik nombor negatif? ii. Apakah bahan-bahan sejarah dan maklumat yang berpotensi yang boleh digunakan di dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran nombor negatif? iii. Bagaimanakah contoh bahan pengajaran yang telah diterapkan unsur sejarah bagi topik nombor negatif?