MASALAH STURM LIOUVILLE DAN PENGGUNAANNYA DALAM MASALAH-MASALAH KHUSUS YANG LAIN SOH MEN CHEE UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA

MASALAH STURM LIOUVILLE DAN PENGGUNAANNYA DALAM MASALAH-MASALAH KHUSUS YANG LAIN SOH MEN CHEE UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA

Saya akui bahawa saya telah membaca karya ini dan pada pandangan saya karya ini adalah memadai dari segi skop dan kualiti untuk tujuan penganugerahan ijazah Sarjana Muda Sains serta Pendidikan (Matematik). Tandatangan : Nama Penyelia : Dr. Maslan Hj Osman Tarikh : 16 April 2006

MASALAH STURM-LIOUVILE DAN PENGGUNAANNYA DALAM MASALAH-MASALAH KHUSUS YANG LAIN SOH MEN CHEE Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik) Fakulti Sains Universiti Teknologi Malaysia APRIL, 2006

ii Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkas yang tiap-tiap satunya telah saya jelaskan sumbernya. Tandatangan : Nama Penulis : SOH MEN CHEE Tarikh : 16 April 2006

iii Khas untuk ayah dan ibu tersayang Soh Eng Chuan & Koh Cha Boo serta adinda yang dikasihi Soh Jiun Yi

iv PENGHARGAAN Salam sejahtera saya ucapkan kepada Dr Maslan Haji Osman, selaku penyelia projek saya sepanjang dua semester. Terlebih dahulu, saya ingin merakamkan setinggitinggi penghargaan kepada beliau yang telah banyak memberi bimbingan dan tunjuk ajar kepada saya dalam usaha menyiapkan projek ini. Beliau memang sentiasa bersedia untuk memberi pandangan yang membina kepada saya. Pada masa yang sama, saya juga tidak terlupa merakamkan penghargaan ikhlas kepada ayah, ibu dan ahli-ahli keluarga tercinta yang mendoakan kejayaan serta memberi dorongan dan sokongan kepada saya. Setinggi-tinggi penghargaan juga ditujukan khas kepada Prof. Madya Dr. Mukheta bin Isa selaku pemeriksa dalaman saya yang turut memberi komen dan cadangan dalam menghasilkan projek yang baik. Akhir kata, saya ingin berterima kasih kepada rakan-rakan yang terlibat secara langsung dan tidak langsung dalam usaha menjayakan projek ini.

v ABSTRAK Laporan ini membincangkan satu jenis masalah nilai sempadan (MNS) iaitu masalah Sturm-Liouville. Perbincangan dimulakan dengan menghuraikan secara ringkas mengenai persamaan terbitan biasa dan persamaan terbitan separa. Seterusnya, sejarah ringkas teori Sturm-Liouville dan penurunan persamaan terbitan biasa peringkat kedua ke persamaan berbentuk Sturm-Liouville juga dibincangkan. Sehubungan itu, masalah Sturm-Liouville diaplikasikan kepada beberapa masalah yang khusus iaitu persamaan gelombang bermatra satu, masalah aliran haba bermatra satu dan persamaan Laplace. Setiap masalah yang diberikan disertakan dengan syarat-syarat awal dan syarat-syarat sempadan. Terdapat empat jenis syarat sempadan yang dibincangkan iaitu syarat Dirichlet, syarat Neumann, syarat Robin dan syarat campuran. Di samping itu, pengembangan fungsi eigen bagi fungsi polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi Bessel juga dibincangkan.

vi ABSTRACT This report is discussing about a special type of boundary value problem (BVP) that is Sturm-Liouville problem. The discussion begins with simple explanation about ordinary differential equations dan partial differential equations. Then, history of Sturm- Liouville Theory and modification from ordinary differential equations of order two to Sturm-Liouville equation was demonstrated. Apart from that, Sturm-Liouville problem was applied in some specific boundary value problems namely the one dimensional wave equation, the one dimensional heat equation and the Laplace equation. Each given problem must come with initial conditions and boundary conditions. There are four types of boundary conditions that is Dirichlet condition, Neumann condition, Robin condition and combination condition. Other than that, eigen function expansion of polynomial function, exponential function and Bessel Series was discussed.

vii KANDUNGAN BAB PERKARA MUKA SURAT BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS PENGESAHAN PENYELIA JUDUL PENGAKUAN DEDIKASI PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT KANDUNGAN SENARAI RAJAH SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN i ii iii iv v vi vii xi xii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Pengenalan 1 1.2 Objektif Laporan 2 1.3 Skop Laporan 3 1.4 Kepentingan Kajian 3 1.5 Rangka Laporan 4

viii BAB II PEMBENTUKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE 2.1 Pendahuluan 6 2.2 Syarat Awal dan Syarat Sempadan 2.2.1 Syarat Awal 7 2.2.2 Syarat Sempadan 7 2.3 Masalah Nilai Awal dan Masalah Nilai Sempadan 2.3.1 Masalah Nilai Awal 8 2.3.2 Masalah Nilai Sempadan 8 2.4 Bentuk Am Masalah Nilai Sempadan 9 2.5 Sejarah Teori Sturm-Liouville 14 2.6 Pembentukan Masalah 18 2.7 Kesimpulan 22 BAB III MASALAH STURM-LIOUVILLE 3.1 Pendahuluan 23 3.2 Fungsi Ortogon 23 3.3 Masalah Nilai Sempadan Homogen Linear: 33 Nilai Eigen dan Fungsi Eigen 3.4 Sifat-sifat Nilai Eigen 45 3.5 Kesimpulan 50 BAB IV PENGGUNAAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DALAM BEBERAPA MASALAH KHUSUS 4.1 Pendahuluan 51 4.2 Masalah Nilai Awal Nilai Sempadan 52 4.2.1 Syarat Dirichlet 52

ix 4.2.2 Syarat Neumann 53 4.2.3 Syarat Robin 53 4.2.4 Syarat Campuran 54 4.3 Persamaan Gelombang Dalam Ruang Matra Satu (R 1 ) 4.3.1 Penerbitan Persamaan 54 4.3.2 Penyelesaian Persamaan Gelombang 58 4.4 Persamaan Haba Matra Satu (R 1 ) 4.4.1 Penerbitan Persamaan 66 4.4.2 Masalah Aliran Haba Dalam Ruang Matra 1 69 4.5 Persamaan Laplace 76 4.5.1 Kaedah Pemisahan Pembolehubah dari Koordinat Cartes 78 4.6 Kesimpulan 85 BAB V PENGEMBANGAN FUNGSI EIGEN 5.1 Pendahuluan 86 5.2 Pengembangan Fungsi Eigen bagi Fungsi-fungsi Tertentu 86 5.2.1 Fungsi Polinomial 87 5.2.2 Fungsi Eksponen 91 5.2.3 Siri Fungsi Bessel 95 5.3 Kesimpulan 103 BAB VI KESIMPULAN DAN CADANGAN 6.1 Kesimpulan 104 6.2 Cadangan 106

RUJUKAN x

xi SENARAI RAJAH NO. RAJAH TAJUK MUKA SURAT 2.1 Jacques Charles-Francois Sturm 15 2.2 Joseph Liouville 16 3.1 Penyelesaian bergraf λ = tan λ 43 3.2 Penyelesaian bergraf µ = tanh µ 45

xii SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN λ - Nilai eigen y n - Fungsi eigen R ( x) - Fungsi pemberat T ( x) ~ - Ketegangan tali τ - Vektor tangen kepada tali ~ c - Tenaga haba ρ - Ketumpatan logam A - Luas keratan rentas ( x, y, z) η - Taburan ketumpatan cas 2 - Pengoperasi laplace u - Laplacian u J 0 - Fungsi Bessel jenis pertama peringkat sifar J 1 - Fungsi Bessel jenis pertama peringkat satu Y 0 - Fungsi Bessel jenis kedua peringkat sifar Z - Pensifar bagi J ( λd ) n 0

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Pengenalan Dalam bidang matematik, banyak masalah melibatkan persamaan terbitan sama ada persamaan terbitan biasa atau persamaan terbitan separa. Persamaan terbitan ialah persamaan yang berkait rapat dengan fungsi bagi satu atau lebih pembolehubah berserta dengan pekali terbitannya. Jika fungsi tersebut bergantung kepada satu pembolehubah tak bersandar sahaja, maka terbitan yang wujud dalam persamaan ini ialah terbitan biasa. Oleh itu, persamaan tersebut dinamakan persamaan terbitan biasa. Sekiranya fungsi itu bergantung kepada beberapa pembolehubah tak bersandar, maka terbitan yang wujud dalam persamaan ini ialah terbitan separa. Dengan demikian, persamaan terbitan ini dinamakan persamaan terbitan separa. Antara contoh-contoh persamaan terbitan biasa ialah y " + 2y' + 3y = 0 2 d y dy + 6y = kos x 2 dx dx

2 Seterusnya, beberapa contoh untuk persamaan terbitan separa ialah u x = y sin 3x u xx + u y = 0 Persamaan terbitan separa yang mengandungi lebih daripada satu pembolehubah diaplikasikan secara meluas dalam banyak cabang sains dan kejuruteraan. Salah satu kaedah yang digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan terbitan separa ialah kaedah pemisahan pembolehubah. Kaedah ini mempunyai beberapa kepincangannya yang tersendiri iaitu masalah yang ingin diselesaikan mestilah linear dan homogen supaya prinsip superposisi dapat digunakan untuk membina penyelesaian tambahan melalui pembentukan gabungan linear penyelesaian asasi masalah homogen yang sepadan. Kaedah ini akan menghasilkan beberapa persamaan terbitan biasa. Kaedah ini akan dibincangkan dengan mendalam dalam Bab IV iaitu menggunakan masalah Sturm- Liouville untuk menyelesaikan beberapa masalah khusus mengenai masalah nilai sempadan. Masalah-masalah khusus yang berkaitan dengan persamaan terbitan separa ialah persamaan gelombang dalam ruang bermatra satu, masalah aliran haba dalam ruang bermatra satu dan persamaan Laplace. 1.2 Objektif Laporan Objektif laporan projek ini ialah: (i) Menurunkan persamaan terbitan peringkat kedua kepada persamaan dalam bentuk Sturm-Liouville. (ii) (iii) Mengkaji syarat keortogonan bagi fungsi Ortogon. Menentukan set ortonormal bagi suatu fungsi.

3 (iv) (v) (vi) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi pemberat, nilai eigen dan fungsi eigen. Mengkaji istilah dan bentuk khusus masalah nilai sempadan, kaedah penyelesaian dan penggunaannya dalam beberapa masalah fizikal. Mengembangkan fungsi eigen bagi beberapa fungsi seperti fungsi polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi Bessel. 1.3 Skop Laporan Laporan ini merangkumi pengertian dan konsep masalah nilai sempadan (MNS). Perbincangan adalah tertumpu masalah nilai sempadan kerana masalah Sturm-Liouville adalah suatu masalah nilai sempadan. Di samping itu, beberapa masalah khusus iaitu masalah gelombang dalam ruang bermatra satu, masalah aliran haba dalam ruang bermatra satu dan persamaan Laplace yang memenuhi syarat awal dan syarat sempadan tertentu juga dibincangkan. Perbincangan terbatas kepada persamaan terbitan biasa peringkat kedua. 1.4 Kepentingan Kajian Dalam laporan ini, persamaan terbitan linear peringkat kedua dan persamaan terbitan separa merupakan pengetahuan asas kepada masalah-masalah yang dibincangkan. Selain itu, kaedah pemisahan pembolehubah akan dipelajari dan difahami serta digunakan untuk menyelesaikan masalah gelombang, masalah aliran haba dan

4 persamaan Laplace. Kaedah ini merupakan suatu kaedah yang baik dan berkesan untuk mencari nilai eigen, fungsi eigen dan penyelesaiannya. 1.5 Rangka Laporan Secara keseluruhannya, laporan ini merangkumi enam bab utama. Bab I merupakan pendahuluan terhadap penulisan projek yang merangkumi pengenalan, objektif, skop, kepentingan dan rangka laporan. Bab II membincangkan tentang istilah masalah nilai awal dan masalah nilai sempadan serta bentuk amnya. Selain itu, bab ini juga merangkumi sejarah ringkas Jacques Charles-François Sturm dan Joseph Liouville dalam teori Sturm-Liouville. Seterusnya, penurunan persamaan terbitan peringkat kedua ke persamaan berbentuk Sturm-Liouville juga dibincangkan. Perbincangan dalam Bab III pula tertumpu kepada fungsi Ortogon. Dalam usaha menyelesaikan masalah set ortogon, beberapa definasi fungsi Ortogon telah dibincangkan. Konsep ciri keortogonan juga diaplikasikan di dalam bab ini untuk membuktikan keortogonan sesuatu fungsi. Di samping itu, bab ini juga merangkumi masalah nilai sempadan (MNS) yang linear dan homogen yang bertujuan menyelesaikan masalah nilai eigen dan fungsi eigen. Sehubungan itu, sifat-sifat nilai eigen juga dibincangkan. Seterusnya dalam Bab IV, empat jenis syarat sempadan dalam masalah nilai awal-nilai sempadan diperkenalkan. Perbincangan tertumpu kepada masalah nilai sempadan yang khusus iaitu masalah Sturm-Liouville. Masalah ini akan diaplikasikan ke dalam

5 masalah-masalah yang lain iaitu masalah gelombang dalam ruang matra satu, masalah aliran haba dalam ruang matra satu dan persamaan Laplace. Bab V merangkumi pengembangan fungsi eigen bagi fungsi-fungsi tertentu. Fungsifungsi yang dibincangkan adalah fungsi polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi Bessel. Ini juga merupakan salah satu pengaplikasian bagi masalah Sturm-Liouville. Akhir sekali, Bab VI merupakan bab terakhir laporan yang memuatkan kesimpulan dan cadangan berdasarkan kepada hasil kajian yang telah dijalankan.