Vrednovanje opcija polisa osiguranja za katastrofe

Uiverzie u Novom Sadu Prirodo-maemaički fakule Deparma za maemaiku i iformaiku Jasa Mirović Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Maser rad Novi Sad, 3

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Sadržaj Predgovor 3 Uvod... 4 Osovi pojmovi verovaoće i sohasičke aalize... 7. Prosor verovaoće... 7. Sohasički procesi... p.3 Prosori,, L p... 7.4 Furijeove rasformacije... 8 3 Lévijevi procesi... 4 Modelovaje ideksa gubiaka... 3 5 Cea osiguraja derivaa za kaasrofe... 34 6 Opcije... 39 6. Osovi ipovi opcija... 39 6. Call, pu i spread opcije za kaasrofe... 43 7 Cee gubiaka sa eškim repom... 48 Zaključak 54 Dodaak 55 Lieraura

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Predgovor Jeda od problema koji uosi veliki srah među osiguravajuća i reosiguravajuća drušva, jesu prirode kaasrofe i erorisički apadi, koji su posledjih godia sve učesaliji. Koriseći poecijale ržiša, a u cilju smajeja rizika od gubiaka koji upravo asaju kao posledica velikih kaasrofa, osiguravajuće kompaije su uvele fiasijske derivae kojima se može rgovai. Ovi derivai prikazai su osovim ideksom koji predsavlja osiguraje imovie od gubiaka u slučaju prirodih kaasrofa, i u ovom radu će upravo bii obrađe ideks gubiaka, odoso PCS opcije koje su dae ovim ideksom. Takođe, razmara je problem cea Evropskih opcija koje su dae ideksom gubiaka i eksplicio su izračuae cee za ipove opcija kojima se ajčešće rguje a ržišu. Svom meoru, dr Dori Seleši, se zahvaljujem a predložeoj emi kojom sam proširila i obogaila svoje zaje sečeo a osovim a kasije i a maser sudijama, kao i a izuzeoj saradji, saveima i razumevaju koje mi je pružila okom izrade maser rada. Takođe, zahvaljujem se člaovima komisije, prof. Daijeli Rajer Ćirić i prof. Saji Kojik, a pružeom zaju i saveima okom osovih i maser sudija. Na kraju, želim bezuslovo da se zahvalim svojoj porodici, prijaeljima, a posebo mojoj mami Svelai, koja mi je bila velika podrška i saga okom izrade ovog rada i maser sudija. Novi Sad, sepembar 3. godie Jasa Mirović 3

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Uvod Osiguravajuće i reosiguravajuće kompaije izražavaju sve veću zabriuos zbog prirodih kaasrofa, koje se posledjih godia događaju povećaim iezieom svarajući veoma velike fiasijske gubike. Ukupa šea prouzrokovaa prirodim kaasrofama, a globalom ivou, u. godii izosi 6 milijardi dolara, od čega će 65 milijardi dolara bii adokađeo iz osiguravajućih drušava, objavio je emački reosiguravač Muich Re. Oko 67 odso šee izazvae prirodim kaasrofama dogodilo se a području Sjedijeih Američkih Država, kojoj pripada 9 odso osiguraih gubiaka. Najveću šeu pričiio je uraga Sady, koji je u okobru prošle godie pogodio isoču obalu Sjedijeih Američkih Država. Ekike (Eqeca), kompaija za proceu rizika od kaasrofa, je saopšio da se procejuje da bi ekoomski gubici prouzrokovai uragaom Sady mogli bii između 3 i 5 milijardi dolara, a da bi roškovi osiguravajućih kompaija ada bili između i milijardi dolara, pri čemu je kasije i uvrđeo da su ukupi roškovi asali zbog uragaa Sady 5 milijardi dolara. Međuim, gubici u. godii su bili zao maji u odosu a gubike u. godii, kada su zemljoresi u Japau i a Novom Zeladu, e velike poplave a Tajladu, prouzrokovale ukupe maerijale gubike od 4 milijardi dolara, dok su osigurae šee izosile 9 milijardi dolara. Drugi veliki gubiak u. godii osiguravači su prerpeli zbog eormih suša u SAD koje su uišile useve kukuruza i soje, a osiguraa šea izosi od 5 do 7 milijardi dolara. U saopšeju Muich Re se avodi da je. godia pokazaelj a koje vrse šea prouzrokovae prirodim kaasrofama će se osiguravači u budućosi suočavai. Međuim, ovakve velike prirode kaasrofe događale su se i raije. Uraga Adrew je 99. godie prouzrokovao gubike u vredosi od 6 bilioa dolara zbog čega je više od šesaes osiguravajućih kompaija bakroiralo. U cilju smajeja rizika od kaasrofa osiguravajuće kompaije se rude da iskorise poecijale ržiša kapiala uvodeći fiasijske derivaa kojima se može rgovai. Ovi derivai zasovai su a ideksu koji predsavlja osiguraje imovie u slučaju prirodih kaasrofa. Fiasijski derivai su specifiča oblik vredosih papira koji su izvedei iz eke baze (deoice, obvezice, value id). Derivai su jeda vrsa ržišo regulisaih ugovora u kojem dve srae uapred određuju predme, ceu i ermi kupoprodaje. Osova amea derivaa je osiguraje od ržiših rizika, ali ujedo i jeda od ajšpekulaijih vrsa vredosih papira kojima se rguje a ržišu. Posoji više vrsa fiasijskih isrumeaa a ajčešće se rguje forvard ugovorima i opcijskim ugovorima. 4

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Chicago Board of Trade (CBOT) je 99. godie prvi uveo fiasijske derivae za kaasrofe, odoso CAT fjučers ugovore. Zbog veoma male rgoviske akivosi a ržišu ovi ugovori su 995. godie zamejei PCS opcijama koje su zasovae a ideksu gubiaka. PCS opcije je uvela ezavisa saisička agecija Propery Claim Services (PCS). Ukupi kapaciei kreirai ovom verzijom opcija osiguraja izose 89 milioa dolara po godii. Trgovaje PCS opcijama je opalo u 999. godii zbog elikvidosi ržiša i edosaka kvalifikovaih ljudi. Srukura PCS opcija kaasrofa je opisaa a sledeći ači. Opcija je daa ideksom koji prolazi kroz dva perioda, period gubiaka i period događaja. Tokom perioda gubiaka,t ideks broji kaasrofe koje se mogu desii. Uz period gubiaka, korisici opcija biraju period događaja T T,. Tokom perioda događaja, šee koje su se desile u periodu gubiaka se poovo ocejuju i asavljaju da uiču a ideks. Ugovor isiče a kraju izabraog perioda događaja. Određivaje cea derivaa za kaasrofe zbog ekompleog ržiša predsavlja veliki problem ali i veliki izazov. Prirode kaasrofe prouzrokuju skokove slučaje veličie a ideksu gubiaka u slučajom vremeskom reuku i zbog oga ije moguće odredii jedisveu ceu procesa derivae za kaasrofe, uz preposavku da arbiraža ije moguća. Do sada, u lierauri je uvođeo ekoliko aproksimacija modela ideksa gubiaka za kaasrofe i cea opcija dae ovim ideksom. U pojedioj lierauri ideks gubiaka za kaasrofe je predsavlje kao slože Poasoov proces sa eegaivim skokovima. Međuim, u ije apravljea razlika između perioda gubiaka i perioda događaja. S druge srae, eki auori prave razliku između perioda gubiaka i period događaja, gde je model ideksa gubiaka predsavlje kao Lévijev proces ad svakim periodom. Dok ehičke pojediosi za određivaje cea su pojedosavljee, preposavka ekspoecijalog modela za agomilae gubike okom perioda gubiaka je priličo ereala. Na primer, ovo implicira da je kasija kaasrofa mogo veća ego prehoda, i ada ideks gubiaka saruje u poziivoj vredosi umeso u uli. U ovom radu razmaraćemo razlike između perioda gubika i perioda događaja, pri čemu se predlaže mogo realiji model za ideks gubika. Preposavićemo da je okom perioda gubika ideks gubiaka opisa ehomogeim složeim Poasoovim procesom, dok okom perioda događaja ideks je poovo proceje ali sada fakorom koji je da ehomogeim Lévijevim procesom. Takođe, razmaraćemo problem određivaja cea Evropskih opcija pisae a i- Fjučers ugovori (ili budući ugovori) su ržiši ugovori kojima se ekoomska lica obavezuju a isporuku određee količie eke robe u budućosi. 5

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe deksu gubiaka za kaasrofe. Posmarajem isplae opcija a dvodimezioalom skupu možemo dobii aaliičku formulu za cee pomoću Furijeovih rasformacija. 6

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Osovi pojmovi verovaoće i sohasičke aalize U ovom delu podseićemo se određeih defiicija i eorema iz verovaoće i sohasičke aalize, koje ćemo korisii kasije u radu.. Prosor verovaoće Ozačimo sa P pariivi skup skupa. Defiicija.. Neka je i P pariivi skup skupa. Topologija a skupu je familija skupova sa osobiama:., ; O, O O O ;. 3. O, O. Skup sa opologijom je opološki prosor, ozačavamo ga sa,. Defiicija.. Neka je F podskup pariivog skupa P. Ako su zadovoljei uslovi:. F ;. AF A F; 3. A F, A F ada je F - algebra ad. Skup sa - algebrom F azivamo prosor sa - algebrom i ozačavamo ga sa, F. Elemee - algebre F azivamo merljivim skupovima. Defiicija..3 Borelova - algebra je ajmaja - algebra koja sadrži zavoree skupove. Sa B ( ) ozačava se Borelova - algebra defiisaa ad skupom realih brojeva. Defiicija..4 Neka je, F prosor sa - algebrom F. Mera a F je fukcija : F, za koju važi da ako je A F, disjuka familija skupova, ada je 7

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe A A ( - adiivos). Uređea rojka, F, se aziva merljiv prosor ili prosor sa merom. Ako bar za jedo А F, А, ada kažemo da je mera erivijala. Mera je koača ako za svako А F, А. Defiicija..5 Neka je erivijala mera a prosoru sa algebrom, F. Tada važi:. ;. Ako je A, B F i A B, ada je A B A B ; Sledi koača adiivos: Ako su A F, i,, disjuki, ada važi 3. Ako je A, B F i A B i i Ai Ai ; i ada je A B ; 4. Ako,, A F i ada je A A i i i i ; i Defiicija..6 Neka je G eopadajuća deso eprekida fukcija a jedisvea mera a B ako da je za svaki ograičei ierval, G, a b a b G b G a ab,.. Tada posoji Ako je G Id ( Id je ideičko preslikavaje), ada se odgovarajuća mera aziva Lebegova mera a B i predsavlja ajvažiju meru a realoj pravoj. Teorema..7 Neka su, F, i YG,, prosori sa - algebrama F i G i koačim merama i. Posoji jedisvea mera a H F G ako da je za sve pravougaoike A B, AF, B G. AB A B Geeralizacija za beskoače proizvode je akođe moguća. Defiicija..8 Neka je F Y. Defiišimo za dae x, y Y, y F yy : x, y F ; F x ; x, y F. x 8

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe F x se aziva x - odsečak skupa F, a Ako je f : Y C, defiišemo y F se aziva y - odsečak skupa F. f y f x, y, y Y ( x je fiksirao), x y f x f x, y, x ( yy je fiksirao). Teorema..9 (Fubiijeva eorema) Neka su, F, i YG,, prosori sa - algebrama F i G i koačim merama i eka je mera a F G. Ako je fukcija f a Y u - iegrabila, ada y x. f d d fd f d d Y Y Y Dalje, eka je mera a, F, koja ima osobiu da je. Mera sa ovakvom osobiom ormiraosi se aziva mera verovaoće ili verovaosa mera, a prosor verovaoće se običo ozačava sa, FP,. Aksiomaska eorija verovaoće upravo se zasiva a eoriji mere i iegrala. Elemei prosora su svi mogući ishodi ekog procesa, ili sva moguća saja, a merljivi skupovi se azivaju događajima. Na dalje, u radu mera će se odosii a meru verovaoće. Neka je, FP, prosor verovaoće. Fukcija :, akva da za svako x skup : x pripada algebri F, aziva se slučaja promeljiva. Kada opisujemo osobie slučajih promeljivih koje važe za (skoro) sve, a skupu mere, kažemo da važe skoro siguro (ili P-skoro siguro, ako želimo da aglasimo u kojoj meri). Slučaje promeljive mogu bii diskreog ipa i eprekidog ipa. Svakoj slučajoj promeljivoj odgovara fukcija raspodele za slučaju promeljivu. Fukcija raspodele :, F u kojoj su sadržae sve iformacije vezae F slučaje promeljive defiisaa je sa : F x P x. Sada ćemo uvesi pojam karakerisiče fukcije k slučaje promeljive, koja je po svom začaju i uporebi veoma bliska fukciji raspodele. Naime, svakoj fukciji raspodele F odgovara jeda i samo jeda karakerisiča fukcija k. Defiicija.. Ako je slučaja promeljiva :, ada fukciju k : defiisau sa 9

j. k Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe i k E e ix e p x, ako je diskreog ipa ix e xdx, ako je eprekidog ipa azivamo karakerisičom fukcijom slučaje promeljive. Karakerisiča fukcija je zapravo Furijeova rasformacija fukcije gusie kod slučajih promeljivih eprekidog ipa. Osove osobie karakerisiče fukcije su:. k ;. k k ; 3. k e ib k a a b ; 4. Ako su i Y ezavise, oda je k k k k. 5. Y Y ; Defiicija.. Maemaičko očekivaje E slučaje promeljive je defiisao a sledeći ači: x je diskreog ipa sa zakoom raspodele : p x x px E, i i i x px je eprekidog ipa sa gusiom E x x dx. Defiicija.. Uslovo očekivaje slučaje promeljive iz prosora, FP, za dau - algebru G je skoro siguro jedisveo određea G - merljiva slučaja promeljiva E G za svako A G. za koju važi E GdP A A dp

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Propozicija..3 Uslovo očekivaje ima sledeće osobie:. E a by G ae G be Y G (liearos);. E E G E ; 3. E Y G E Y G 4. E G E ako je G - merljivo; ako je ezaviso od G ; 5. E E G H E H za H G. U fiasijskoj maemaici se česo javlja poreba za promeom mere verovaoće. Zao sada dajemo pregled osovih defiicija i eorema koje omogućavaju prelazak sa jede mere a drugu. Defiicija..4 Dve mere verovaoće P i defiisae ad isim prosorom, F su ekvivalee, u ozaci P, ako imaju ise skupove mere ula, j. A P A, za sve A F. Teorema..5 (Rado-Nikodym) Neka su P i ekvivalee mere verovaoće a prosoru, F. Tada posoji eegaiva slučaja promeljiva Z akva da važi,. (.) A ZdP A F A Slučaja promeljiva Z je jedisveo određea a skupu mere ula u odosu a P. Takva slučaja promeljiva se aziva Rado-Nikodimov izvod mere u odosu a meru P i ozačava se sa d d P. Iz jedakosi (.) sledi da za svaku slučaju promeljivu iz prosora, F važi d. (.) E EZ dp Rado-Nikodimov izvod se može ierpreirai kao odos gusia raspodela eke slučaje promeljive u merama i P, respekivo. G Da bismo odredili uslovo očekivaje slučaje promeljive u odosu a - algebru F u ekvivaleoj meri, primejujući osobiu iz propozicije..3 dobijamo za svey E E GY E Y (.3) G. Izraz sa leve srae jedakosi (.3) se može apisai kao

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe d d EP E G Y EP E G EP G Y. dp dp Izraz sa dese srae jedakosi (.3) je zapravo Sledi da (.3) važi za sve Y d d EP Y EP EP G Y. dp dp G ako i samo ako d d E GE P G EP G, dp dp pa se uslovo očekivaje u ekvivaleoj meri defiiše kao. Sohasički procesi E d EP G dp G. d E G dp Preposavimo da reba formirai maemaički model za slučaji sisem i jegovo poašaje okom ekog vremeskog iervala. Kao primer akvog sisema možemo uzei sisem od k sijalica od kojih svaka ima slučaju dužiu rada. Kako vreme proiče, eke od jih će presai da rade, pregoreće. U svakom momeu, saje sisema j. broj ispravih sijalica će bii slučaja promeljiv slučajih promeljivih,, T. Maemaički model ovog sisema je beskoača familija zv. slučaji proces. Moge pojave u fiasijskoj maemaici su sohasički procesi, pr. cee akcija, kreaje kamaih sopa, fiasijski derivai id. Defiicija.. Reali sohasički proces je familija realih slučajih promeljivih, T defiisaih a fiksiraom prosoru verovaoće, FP, prolazi skupom T i običo je ierpreiramo kao vreme. Slučaja promeljiva preslikava u. Promeljiva šo zači da je slučaji proces, T fukcija dve promeljive,, T,. Ako fiksiramo ada je slučaja promeljiva koju azivamo zaseokom slučajog procesa, a ako fiksiramo ada je reala fukcija reale promeljive koju azivamo realizacijom, rajekorijom ili uzoračkom fukcijom. Iso kao i kod slučajih promeljivih, uobičajeo je

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe da se promeljiva izosavlja u zapisu, ako da umeso pisaćemo samo. Skup T kojim prolazi reala promeljiva azivamo ideksim ili paramearskim skupom, a promeljivu ideksom ili paramerom. Ukoliko je T diskrea beskoača skup, ada proces azivamo slučajim izom ili lacem. Specijalo, ako je T koača ierval ada imamo koačo mogo slučajih promeljivih. Mi ćemo dalje za paramearski skup T uzei skup,,,t jer je o vreme koje ćemo posmarai, j. vreme od počeka osiguraja do jegovog iseka. Defiicija.. Neka je A događaj a skupu. Fukcija defiisaa a sledeći ači I A,, A A je slučaja promeljiva koja se zove idikaor događaja A. Kada je jaso ša je skup, ovu fukciju možemo zapisivai samo sa I A. Defiicija..3 Familija - algebra F a aziva se filracija sohasičkog procesa ako je za sve s, T akve da je s. F S T F -algebra F će predsavljai iformacije dosupe u reuku, odoso isoriju sohasičkog procesa do reuka, uključujući i. F sadrži sve događaje čija je mera u reuku pozaa. Kako rase, ih događaja je sve više. Ako je pored oga zadovoljeo i da je:. F ajgrublja moguća paricija, j.. N F, F ajfiija moguća paricija, j. F veličie jeda, ada filraciju F azivamo iformacioa srukura. N,..., m u kojoj je svaki blok Iformacioa srukura počije sa im da emamo iformaciju o koačom saju osim da je u, u svakom aredom reuku možda dobijemo dodae iformacije (i ikada ih e gubimo) i a kraju imamo kompleo zaje o koačom saju. S Za proces S kažemo da je adapira filraciji T F -merljiva za svako T. F ako je slučaja promeljiva T 3

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Defiicija..4 Neka je filraciji F. Proces T šo je ekvivaleo sa, FP, prosor verovaoće i S je marigal u meri P ako je T E S F S P-skoro siguro,,,..., T, S A dp S A dp za svako AF,,,...,. T S sohasički proces adapira Pošo osobia marigala zavisi od mere verovaoće, reći ćemo da je proces S P-marigal, kada je porebo aglasii u kojoj verovaoći. Marigal je maemaički izraz koji zapravo ozačava fer igru. Prema defiiciji, za marigal se očekuje da osae a reuom ivou. Na primer, ako je marigal bogasvo jedog ivesiora, o zači da je očekivaje jegovog budućeg bogasva jedako reuom bogasvu. T Neke klase slučajih procesa U ovom odeljku daćemo eke defiicije i osova svojsva klasa slučajih procesa koji se ajčešće korise u praksi. Nezavisi proces Ako su slučaje promeljive,,, ezavise za svako i svako,,, T ada je proces, T ezavisa proces sa ezavisim vredosima u svakoj ački. Proces sa ezavisim prirašajima Slučaji proces,, iz slučaje promeljive. Ako je je proces sa ezavisim prirašajima ako za svaki izbor, važi da su,,,, ezavise proces sa ezavisim prirašajima i ako za svako s,, a,, s, važi da slučaje promeljive s i a sa imaju isu raspodelu, ada kažemo da je proces sa sacioarim ezavisim prirašajima. 4

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Sacioari procesi Razlikujemo srogo sacioare i slabo sacioare procese. Slučaji proces, T je srogo sacioara ako su sve jegove raspodele koačog reda ivarijae u odosu a raslaciju vremea. Odoso, za svako, svaki mogući izbor,,..., T i svako c za koje c, c,..., c T, - imaju ise fukci- dimezioale slučaje promeljive je raspodele, j.,,..., i,,..., c c c F x, x,..., x F x, x,..., x,,,...,,,..., c c c za sve x, x,... x. Slučaji proces, T je slabo sacioara ako je:. E m cos Procesi Markova Slučaji proces, T je proces Markova sa diskreim skupom saja S ako za svako,3,... i svaki izbor... iz T i sve x, x,..., x S P x x,..., x P x x. Posledjom relacijom izražeo je zv. svojsvo Markova koje zači da ako su pozae prošlos j.,,..., i sadašjos j. oda budućos zavisi samo od sadašjosi a e od prošlosi. Primeri slučajih procesa Poasoov proces Defiicija..5 Neka je,. Sohasički proces N ukupa broj događaja koji se desi u ierval N, zove se proces brojaja događaja ili proces prebrajaja. Procesi prebrajaja imaju sledeće osobie:. Za fiksirao, N je slučaja promeljiva čije su vredosi iz skupa. 5

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe. Fukcija N je eopadajuća, j. N N ako je,, gde je N N broj događaja koji se desi u iervalu,. Defiicija..6 Homogei Poasoov proces sa sopom rasa, je proces prebrajaja N, za koji važi:. N,. Proces N ima ezavise prirašaje, 3. Broj događaja u proizvoljom iervalu dužie ima Poasoovu raspodelu sa paramerom, j. PN s N s e za svako i!. Defiicija..7 (Slože Poasoov proces) Neka je N, Poasoov proces sa sopom rasa, a,,... ezavise i jedako raspoređee slučaje promeljive koje su ezavise od procesa N,. Sohasički proces Y N, za svako, k k Y, defiisa kao gde važi da je Y ako je N, zove se slože Poasoov proces. Očekivaje i disperzija složeog Poasoovog procesa: E Y E N E E,. D Y E N D D N E D E E Brauovo kreaja Defiicija..8 Sadardo Brauovo kreaje (Vierov proces) je sohasički proces koji ima sledeće osobie: ; za svako... slučaje promeljive;,..., su ezavise prirašaji 6

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe za svako s, s ; ima sacioare prirašaje; slučaja promeljiva s Sadardo Brauovo kreaje ćemo ozačavai sa W. ima ormalu raspodelu Jedodimezioa Iova formula Teorema..9 Neka je sohasički proces zada svojim sohasičkim diferecijalom d d dw. Neka je g dva pua eprekido diferecijabila fukcija. Oda je Y g, proces i jegov sohasički diferecijal je da sa: p.3 Prosori L, p, dy gd gxd gxx d. sohasički Neka je p, i eka je p ovore, poveza skup. Prosor L, p, je defiisa a sledeći ači p L f : : f je merljiva, f x dx. Takođe, ovo je Baahov prosor sa ormom Za p L p p f f x dx. p dobijamo prosor L koji je i Hilberov, pri čemu je uurašji proizvod f g defiisa sa gde f g f xg x dx, g x ozačava komplekso kojugovau vredos od čije vredosi pripadaju skupu realih brojeva, oda je uurašji proizvod Za p imamo malo drugačiju defiiciju: f g f xg x dx. p g x. Ako radimo sa fukcijama f g defiisa sa 7

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe L : : je merljiva i posoje M, N, L f f ako da važi da je m N i S N : sup f x M. je akođe Baahov prosor sa ormom p Začajo meso u L x\ N f if S N : N, m N. L prosorima zauzima Helderova ejedakos: u x v x dx p q u v p q, u L, v L,. L L p q Specijala slučaj ove ejedakosi, za pq, je Švarcova ejedakos..4 Furijeova rasformacija Furijeova rasformacija predsavlja uopšeje (graiči slučaj) Furijeovih redova, a iverza Furijeova rasformacija uopšeje Furijeovih koeficijeaa. p Sada ćemo defiisai klasiču Furijeovu rasformaciju a prosorima L, p,., p p Defiicija.4. Neka je f L gde je q određeo iz relacije. p q ixy q : F f x f x f y e dy L, Defiišimo formulu koja radi obruo, uzima Furijeovu rasformaciju i pod izvesim uslovima vraća origialu fukciju. Defiicija.4. Iverza Furijeova rasformacija je defiisaa sa F x e y dy ixy. Treba apomeui da defiicija Furijeove i iverze Furijeove rasformacije ije jedisvea. Primer.4.3 Odredimo Furijeovu rasformaciju sledeće fukcije h y A,, y y T. T Rešeje: Primeom Furijeove rasformacije a fukciju h y dobijamo 8

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Sledi da je Odoso, ako iskorisimo jedakos dobijamo p Defiicija.4.4 Neka su f, g L ixy T ixy. T F h y x h y e dy A e dy A ixt ixt F h yx e e. ix si y iy iy e e, i A F h y x si xt. x. Kovolucija ove dve fukcije je daa sa f x g y, f g x y y d p Teorema.4.5 Neka su f, g L, p, ozače sa F i G, respekivo. Tada važi:. F af y bg yx af x bg x x. i eka su jihove Furijeove rasformacije ; (liearos). F f g F f F g ; 3. F fg F f F g ; 4. F F f F F f f ; 5. F f x F f x ; 6. F F f x f x Dokaz:.. ; ixy F af y bg y x af y bg y e dy ixy a f y e dy b g y e dy ixy bg x. af x ixy F f g y e f g x ddx 9

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe iy 3. Na osovu. osobie imamo da je i x y e f e g x dx d iy e f d F g y F f y F g y. F F f F g x F F f x F F g x Odavde sledi f x g x. F F f F g x f x g x. Primejujući Furijeovu rasformaciju a levu i desu srau dobijamo F f F g x F f x g x. 4. Ova osobia se dokazuje primeom Fubiijeve eoreme sličo kao i. osobia. 5. i 6. osobia slede direko iz defiicije. Teorema.4.6. Ako je f L, ada je ˆ f C q. Ako je y f y L, q, j. ada posoji f ˆ f ˆ L p x p 3. Ako je,, j ˆ, f x i y f y x x. xj f y L p y ada je j ˆ f y x ix f x, x. yj j,,, i važi j p q k Napomea: C je skup svih fukcija u : ( ili ) koja ima sve eprekide izvode zaključo sa redom k. Dokaz: Dokazaćemo 3. osobiu. Bez ograičeja opšosi preposavićemo da je. Parcijalom iegracijom dobijamo ixy ixy F f y x f ye f yixe dy.

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Kako je y i f y lim f x lim x (šo važi jer je f apsoluo iegrabila fukcija) prvi izraz esaje i dobijamo ixy F f y x ix f y e dy ix F f y x. Sledeća eorema je pozaa kao Parsevalova jedakos. Teorema.4.7 Ako su f L p, g L q,, p, q,, p q ada važi: Specijalo, za pq imamo da je. f x F g y dx F f x g y F f F f L L f. L Prehodi ideie as moiviše da defiišemo Furijeovu rasformaciju emperiraih disribucija a sledeći ači: Defiicija.4.8 Za f S S : gde je defiišemo F f, f, F, F defiisao kao u defiiciji.4.. F f dao preko dejsva a es fukciju S Primer.4.9 Nađimo Furijeovu rasformaciju Dela fukcije,. Koriseći osove osobie disribucije i primeom Furijeove rasformacije dobijamo Odavde sledi da je F,, F F F. x e x dx xdx x,.

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe 3 Lévijevi procesi U fiasijskoj maemaici Lévijevi procesi su veoma popularai i pridaje im se veliki začaj, jer u obzir uzimaju modele koji su fleksibiliji u odosu a modele izvedee pomoću Brauovog kreaja. U ovom delu rada ćemo se dealjije upozai sa Lévijevim procesima i ekim jihovim osobiama., FP, (A) Neka je, sohasički proces defiisa a prosoru verovaoće. je Lévijev proces ako važi: ; (B) ima ezavise i sacioare prirašaje; (C) je sohasički eprekido j. za svako a i svako s lim P s a. s Neka je karakerisiča fukcija oblika u, d k u e,, u. Tada preslikavaje, : zovemo Lévijev simbol. Mogi auori azivaju karakerisiči ekspoe ili Lévijev ekspoe. Sada ćemo objasii vezu između Lévijevih procesa i beskoačo deljivih slučajih promeljivih. Defiicija 3.. Kažemo da je beskoačo deljiva slučaja promeljiva ako za, posoje slučaje promeljive Y, Y,, Y akve da je Y Y... Y i važi p p Y Lema 3.. Ako je Lévijev proces, oda je za. Teorema 3..3 Ako je Lévijev proces, oda je d za svako u,, k u e beskoačo deljiva slučaja promeljiva u gde je Lévijev simbol za. d Dokaz: Preposavimo da je Lévijev proces za svako u,. Defiišimo da je k k u. u Tada a osovu (B) sledi da za svako s

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe k s k u e u = i u, s s iu, s s iu, s e e iu, s s i u, s iu, s e e e = k k s. u u (3.) Sada, iz (A) sledi da je k (3.) dok iz (C) i leme 3.. imamo da je preslikavaje k eprekido. Jedisveo eprekido rešeje za (3.) i (3.) je dao sa leme 3.. imamo da je simbol dobijamo ražei rezula. u ku e u u d, gde je :. Sada a osovu beskoačo deljiva slučaja promeljiva. Kako je Lévijev Lévy-Khichie formula Paul Lévy i A. Ya. Khichie su 93. godie prvi predsavili lepu formulu kojom je daa karakerizacija beskoačo deljivih slučajih promeljivih preko jihove karakerisiče fukcije. d d Neka je Borelova mera defiisaa a x, x Lévijeva mera ako je y dy. d d Teorema 3..4 (Lévy Khichie). Tada kažemo da je je beskoačo deljivo ako posoji vekor d b, simeriča poziivo defiia marica A i Lévijeva mera a d ako da za svako u gde je d k u ib u u Au e i u y y dy i u, y exp,,,, (3.3) B d B ˆ B. Obruo, svako preslikavaje oblika (3.3) je karakerisiča fukcija beskoačo deljivih mera verovaoće a d. 3

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Sada ćemo avesi Lévy-Khichie formulu za Lévijev proces, : iu, iu, y e exp i b, u u, Au e i u, y y dy 3.4 B d d za svako, u, gde je,, ba karakerisika od. Primeri Lévijevih procesa Brauovo kreaje Sadardo Brauovo kreaje u. B N, I za svako ;. B ima eprekide puaje; d je Lévijev proces B B, za koji važi Iz prve osobie sledi da ako je B sadardo Brauovo kreaje oda je jegova karakerisiča fukcija daa sa d za svako u,. k u e B u Poasoov proces Poasoov proces sa gusiom je Lévijev proces N uzimajući vredosi u skupu u kome svako N, ako da imamo da je PN e,,,,...! Neka je Slože Poasoov proces odsupajem Z, familija ezavisih slučajih promeljivih sa vredosima u Z, i eka je N Poasoov proces sa gusiom ezavisa od. Slože Poasoov proces Y je defiisa a sledeći ači: Y Z... Z N (3.5) d i isim Z za svako 4

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe za svako Y, Z., pri čemu važi Lema 3..5 Slože Poasoov proces Y je Lévijev proces. Y ima Lévijev symbol Y iu, y Z. d u e dy Slože Poasoov proces ima veliku ulogu i primeu u modelima koji se primejuju za određivaje rizika osiguraja. Pre ego šo avedemo sledeći primer Lévijevih procesa defiisaćemo sabilu slučaju promeljivu. Defiicija 3..6 Neka su, ezavise kopije od slučaje promeljive. Kažemo da je slučaja promeljiva sabila ako za proizvolje kosae ab, važi da a b i c d imaju ise raspodele, za eku kosau c i proizvoljo d. Sabila Lévijev proces Sabila Lévijev proces je Lévijev proces u kom svako promeljiva. Lévijev simbol za sabila Lévijev proces je da sa u gde je ideks sabilosi i važi. u je sabila slučaja Subordiaori Subordiaor je jedodimezioali eopadajući Lévijev proces. Ovakav proces se može shvaii kao slučaja model koji se razvija okom vremea, odoso ako je T T, subordiaor, imamo sledeće T za svako, T T i gde je. Teorema 3..7 Ako je T subordiaor, ada je Lévijev simbol oblika iuy u ibu e dy, (3.6) gde je b a Lévijeva mera zadovoljava dodai uslov 5

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Obruo, svako preslikavaje, i y dy. d oblika (3.6) je Lévijev simbol za subordiaor T. Uređei par b, azivamo karakerisikama za subordiaor T. Primeri subordiaora Poasoov proces Poasoov proces je subordiaor, šo je očigledo. Uopšeo, slože Poasoov proces će bii subordiaor ako i samo ako Z u jedačii (3.5) ima sve vredosi u. - sabili subordiaor Za i u u dx. x ux e Lévijev subordiaor sabila subordiaor ima gusiu dau Lévijevom raspodelom ( i ) sa 3 FT s s e za svako s. Lévijev subordiaor ima lepu ierpreaciju verovaoće kao vreme prvog odsupaje za jedodimezioalo sadardo Brauovo kreaje B,. Precizije, 4s T if s ; Bs. Jeda od ajvažijih primea verovaoće za subordiaore je akozvao vreme promea. Neka je proizvolja Lévijev proces i eka je T subordiaor defiisa a isom prosoru verovaoće kao i, pri čemu su i T ezavisi. Defiisaćemo ovi sohasički proces Z Z, a sledeći ači, 6

za svako Z Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe T,, ako da za svako, Z T Teorema 3..8 Z je Lévijev proces.. Kovolucioa semigrupa za meru verovaoće U ovom delu ćemo razmorii važu karakerisiku Lévijevih procesa. Defiicija 3..9 Kažemo da familija mera verovaoće P, a ako d za svako f C b. lim f y P dy f d d slabo kovergira ka Familija mera verovaoće P, gde je P će bii kovolucioa semigrupa ako je P P P za sve s,. s s Ovakva semigrupa je slabo eprekida ako slabo kovergira ka. Modifikacija Lévijevog procesa Neka su, i Y Y, sohasički procesi defiisai a isom prosoru verovaoće. Tada kažemo da je Y modifikacija od ako za svako, P Y. Odavde sledi da i Y imaju ise koačo dimezioale raspodele. Lema 3.. Ako je Lévijev proces i Y modifikacija od, ada je Y Lévijev proces sa isim karakerisikama kao. Dokaz: (A) je očigledo. Da bismo pokazali da i (B) važi, fiksiraćemo s i eka je N s, ; s Y s i Y. Sledi da je PN s, pošo je C PN s, ; s Y s ili Y P s Y s P Y d Da bismo pokazali da Y ima sacioare prirašaje preposavićemo da A. 7

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Tada je PY Y s A, N s, P Y Y s A, N s, P s A, N s, P Y Y s A P s A P s A PY s A. Sliči argumei se mogu korisii da se pokaže da Y ima ezavise prirašaje i da se dokaže (C). Odavde se lako može uočii da i Y imaju ise karakerisiče fukcije i akođe ise karakerisike. Lokalo vreme C Lokalo vreme Lévijevog procesa je slučajo polje, koje za svako d x opisuje ukupo vreme koje proces provede u ački x u iervalu,. Precizije, defiisaćemo merljivo preslikavaje L : d sa i imamo formulu gusie zauzimaje oblasi d za sve eegaive f B b kao slučaju raspodelu gde je Dirakova dela fukcija. Lx, limsup ds, sx, f s ds f x L x dx. Iz ovoga dobijamo iuiivo shvaaje lokalog vremea L x, x s ds, Regulara varijacija i subekspoei Kao posledju emu ovog poglavlja razmorićemo važu oblas u eoriji verovaoće iz koje su i asali Lévijevi procesi i sohasički iegrali. 8

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Preposavimo da je reala slučaja promeljiva. Nas u svari zaima asimposko poašaje za F( x) P x kada x, pri čemu je Fx se piaje koliko je ova kovergecija lim. Međuim, posavlja x lim F x brza? Za Gausovu slučaju promeljivu x ovo kovergiraje ka uli je ekspoecijalo brzo, šo je ipičo za lake repove. Sa druge srae, za sabile slučaje promeljive opadaje ka uli je sporije od poliome brzie i ovo je karakerisičo za akozvae eške repove. Da bismo geeralizovali poašaje eških repova za sabile slučaje promeljive, uvodimo sledeće: Fiksiraćemo d i eka je preslikavaje :,, da je g regularo varirajuća za sepe ako je g d merljiva fukcija. Tada kažemo g cx lim x g x c za svako c. Klasu fukcija koje regularo variraju za sepe a ozačićemo sa. Za elemee klase kažemo da su sporo promeljivi. Jeda od primera fukcije u. Jaso, g ako i samo ako posoji I akvo da je je x log x za svako x. g x I x x U eoriji verovaoće akođe se isražuju regulare varijacije za a F za eegaivu slučaju promeljivu. U ovom slučaju pišemo da p za eko kad god. Tipiča primer je Pareo raspodela sa paramerima K, koji imaju gusiu /. Ovde imamo da je / f x K K x F za svako K. F x K K x pri čemu je zadovoljeo da Da bismo sekli bolju sliku uvodimo drugu defiiciju. Neka je mera verovaoće defiisaa a d i F fukcija raspodele, akva da za svako da je subekspoecijalo ako je F x F lim. (3.7) x F x x, F x, x. Kažemo 9

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Ako je slučaja promeljiva sa raspodelom, kaže se da je subekspoecijala ako je subekspoecijalo. U ovom slučaju, ako su, ezavise kopije od, ada gorja jedačia posaje P x lim. x P x Na prvi pogled ova defiicija može delovai popriličo ejaso. Zao ćemo prvo ozačii da je max, P x P x P x P x P x P x x x P x P x P, ako da je subekspoecijalo ako i samo ako je max,. 3.8 P x P x U svari je subekspoecijalo ako i samo ako je za eko. x F lim, 3.9 x F x Međuim, sledeći uslov je dovolja za subekspoecijalos x F limsup, 3. x F x gde prošireje (3.8) a slučajih promeljivih (3.9) daje jasiji uvid u začaj verovaoće za subekspoecijale raspodele. Ovde se mogu posavii dva piaja. Prvo, zašo se ove raspodele zovu subekspoecijale i drugo, zašo se povezuje sa regularim varijacijama? Odgovor a prvo piaje se može dai a sledeći ači: ako je subekspoecijalo ada za svako imamo odakle sledi da lim e x F x, x Fx opada u uli mogo sporije ego bilo koji egaiva ekspoecijal, pa ouda sledi i prefiks sub u azivu (subekspoecijal je ubedljivo maje od samo ekspoecijal). Odgovor a drugo piaje dobijamo iz sledeće eoreme. Teorema 3.. Ako za eko, ada je subekspoecijal. 3

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Dokaz: Neka su i ezavise kopije od. Za bilo koje dao, i za svako x imamo Takođe, P x P x. P x P x P x P x, x P x lim sup x P x. P x P x limsup limsup P x x P x x P x Sada ako iskorisimo ograičeje da i primeimo (3.) dobijamo željei rezula. 3

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe 4 Modelovaje ideksa gubika Neka je, FP, komplea prosor verovaoće. Posmaraćemo bezrizičo fiasijsko ržiše sa deermiisičkom kamaom sopom rgovia opcijama osiguraja od kaasrofa koje su dae ideksom gubika. Kod osovog ideksa gubiaka pravimo razliku između dva vremeska perioda, period gubika r uz preposavku da je dozvoljea,t i period razvoja T, T, T Т. Period gubika je period u kome se kaasrofa može dogodii pri čemu se asali gubici gomilaju i određuju vredos ideksa. U periodu razvoja gubici asali u periodu gubika se poovo procejuju i uiču a prvobiu vredos ideksa. Precizije, ideks gubika modelovaćemo pomoću sohasičkog procesa L L T sledeći ači: i. Za T,, a L N Y j j je ehomogei slože Poasoov procesa, gde je: N ehomogei slože Poasoov proces sa deermiisičkom gusiom, Yj, j,,..., su poziive slučaje promeljive sa fukcijom raspodele G ezavisom od N ii. Za T, T, u T, T T L L L Z T u T u gde je Z u proces koji predsavlja fakor poove procee za koji važi: Z, L i T u u T T Z su ezavise. Preposavićemo da svi ivesiori a ržišu uzimaju u obzir poašaje ideksa gubika u prošlosi uključujući i jegovu sadašju vredos. Takođe, prook iformacija je da filraci- jom T F koja je geerisaa procesom L i o a sledeći ači: 3

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe o F,, N u F : Lu, u Yj, u, j o za T,, o F Lu u LS s T ZuT T u :,,,, za T, T, o F T F. Preposavićemo da je filracija T F kom- pleiraje filracije T T T Z oblika Z e F eprekida sa dese srae i da je T F sa skupovima mere ula. Takođe, preposavićemo da je ehomogei Lévijev proces akav da je, gde je T T poziivi marigal u odosu a filraciju F T Dalje, preposavićemo da je zadovolje ekspoecijali uslov iegrabilosi.. Posoji akvo da za svako u, važi u E e,, T. Ovo je ekvivaleo sa zahevom sledećeg uslova iegrabilosi za F s :. Posoji akvo da za svako T u, x ux e Fs Prakičo, imamo da je EZ za svako, T dx ds. a osovu (.). Pored prehoda dva uslova, zahevaćemo i reći uslov za karakerisike: 3. a osovu kog sledi da je Takođe, gde je x b, sds c sds e h x F s dx ds Z možemo posmarai kao E marigal. b ds c dw x ds, dx F dx ds, s s s s W sadardo Baruovo kreaje a vredos mere koja predsavlja skokove za. 33

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe 5 Cea osiguraja derivaa za kaasrofe Mera cea Na ržišu osiguraja od kaasrofa ideksom L se e rguje, jer je ržiše ekompleo i posoji beskoačo mogo ekvivaleih mera marigala. Ovde ćemo preposavii da je klasa za ceu derivaa mere određea pomoću Rado-Nykodym a sledeći ači: N d T T Y exp Yj sdse e dp j T T exp sdw s s ds T T s s exp l s, x ds, dx F dx ds s, x l s, x F dx ds za eku Borel fukciju akvu da je d akve da je E. dp Prakičo, za meru proces gusiom i fukcijom raspodele za skokove E e L,, T Y i eegaive fukcije x, i je ope ehomoge slože Poasoov proces sa E Y e e E e y dg y dg y Y Takođe, za meru proces je i dalje ehomoge Lévijev proces ezavisa od sa karakerisikama b, c, F daim a sledeći ači: b b c, c c, F dx k, x F dx.. L,, T 34

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Jeda od mogućih meoda za određivaje cea mere jese podešavaje parameara, i sa ceama posmaraog ržiša. Na primer, cee su prilagođee ceama porfolia osiguraja ( a osovu premija ) i ceama derivaa kaasrofa. Određivaje cea pomoću ehike Furijeovih rasformacija i isplaom gde je h : Sada ćemo razmarai Evropske derivae koji su dai ideksom gubika sa dospećem T T h L, eprekida fukcija isplaa. Pošo smo preposavili da je kamaa sopa r deermiisička, bez gubiaka opšosi ceu procesa derivaa osiguraja možemo izrazii u diksoovaoj vredosi j. r. Neka je daa bezriziča cea mere. Tada je cea procesa za opcije daa sa E h LT F E h LT Z T T F T T E h LTe F. Ako poraživaja predsavimo kao isplau koja zavisi od dva fakora, ceu procesa ada možemo apisai kao E g LT,, (5.) T T F gde je g : fukcija akva da je x, hxe g x x za svako x, x. (5.) U asavku ćemo izračuai očekivau isplau pomoću Furijeovih rasformacija. Zahevaćemo da sledeći uslovi budu zadovoljei: i. ii. xx I :, e g x, x dx dx x x I :, e G dx, dx, L T, T T 35

gde je G LT, T T Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe kumulaiva fukcija raspodele za LT, T T ad, i eka je I I. Kako L T i osaju ezavise ad, sledi da je T T Sada, fukcija isplaa je oblika I E e E e LT T T, i. (5. 3), x x, za I I f x x e g x x Na osovu prve preposavke imamo da za iii f L, I I. Takođe, Furijeova rasformacija,. (5.4) ˆ ixu xu f u, u e f x, x dx dx, (5.5) u u, u. je dobro defiisaa za svako Na osovu preposavke da ˆf L i primeom iverze Furijeove rasformacije dobijamo xu xu ˆ f x, x e f u, u dudu. (5.6) Sada ako se vraimo u jedakos (5.), dobijamo LT T T,, E g LT T T F E e f LT T T F LT T T i u L T u T T E e e fˆ u, u dudu F iu i LT ui T T E e fˆ u, u dudu F iu i LT ui T T E e F ˆ f u, u dudu (5.7) iui LT iui T T E e F ˆ E e F f u, u dudu, pri čemu a jedakos (5.7) možemo da primeimo Fubiievu eoremu jer je uslov ˆf L zadovolje. Takođe je i posledja jedakos zadovoljea šo proizilazi iz ezavisosi L T i i prve preposavke T T xx I :, e g x, x dx dx. 36

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Kako je L ehomogei slože Poasoov proces ad T a ehomogei Lévijev proces ezavisa od L,, T osobie karakerisiče fukcije:. Ako je T imamo, možemo ačo odredii uslovo maemaičko očekivaje koriseći i i u i LT E e F iu iu i L i LT L e E e iu i L T iui x exp s e ds e G dx T s ds i u T i L iui x s e e exp ds e G dx,. Ako T T i ui T T i ui T T E e F E e TT exp i u ib s cs u i ds iu i x x s TT exp e i u i xi F dx ds.,, i i ui LT i u i LT E e F ; e i u i T T E e F e E e i( ui) T i ui ( T ) T T iu i T TT e exp i T u i bs cs u i ds x s TT i u i x exp e i u i xi F dx ds. T Takođe, da bismo izračuali ceu procesa, T porebo je da izračuamo Furijeovu rasformaciju za zavisu fukciju plaćaja f. Naš rezula sumiraćemo u sledećoj eoremi. Teorema 5.. Neka su zadovoljei uslovi (i)-(iii). Cea procesa za opcije osiguraja od kaasrofa dae ideksom gubika sa dospećem T i isplaom T h L je daa sa 37

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe. Za, T T i exp exp T s ds ˆ iu i L e f u, u e T TT iu i x s ds e G dx i u ibs cs u i ds iu i x x s TT exp e i u i xi F dx ds dudu, ˆ iui LT iui T f u, u e e TT exp i u ibs cs u i ds T iu i x x s TT exp T e i u i xi F dx ds du du gde je f fukcija isplae daa u (5.4), ˆf Furijeova rasformacija daa izrazom (5.5). U ovom delu smo za model izabrali ehomogei Lévijev proces Z. Ova grupa procesa je veoma bogaa i fleksibila za široki spekar modela kojima su opisae prirode pojave a akođe je i aaliički lako obradljiva. 38

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe 6 Opcije Iako se e za precizo kada se prvi ugovor ovog ipa pojavio, za se da su Rimljai i Feičai korisili sliče ugovore prilikom rgovaja. Takođe, posoje dokazi da je grčki maemaičar i filozof Tales korisio ovakve ugovore da osigura isku ceu maslia pre berbe. U Holadiji su se ovakvi ugovori korisili oko 6. godie pri čemu im je cilj bio obezbeđivaje odgovarajuće cee lala. Trgovci lalama su korisili call opcije da osiguraju isku ceu lala da bi mogli da zadovolje ražju. U iso vreme, proizvođači lala su korisili pu opcije da osiguraju odgovarajuću prodaju ceu. U Americi opcije su se pojavile egde u iso vreme kada i akcije. U 9. veku, call i pu opcije su bili ugovori između dve srae i jima se ije moglo rgovai a sekudarom ržišu. Uslovi su zavisili od ugovora do ugovora, pa se broj ovakvih ugovora povećavao jako sporo. Godie 968. CBOT (Chicago Board of Trade) uvidevši moga eslagaja u ovim ugovorima i u cilju jihovog jačaja predložio je dve mere, da se sadardizuju bii uslovi u ugovorima kao šo su srike cea, daum dospeća i da se svori orgaizacija koja će bii posredik i gara dobrog fukcioisaja ržiša opcija. Taj posredik je daas poza pod imeom Opio Clearig Corporaio. Godie 973. osova je Chicago Board Opios Exchage (CBOE). Da su predložee mere dale rezulae, govori i čijeica da je do kraja 974. godie broj ovakvih ugovora bio oko devo. Poređeja radi, do968. godie broj ovakvih ugovora a godišjem ivou ije prelazio 3. Takođe, godia 973. je začaja i zbog oga šo su se ada pojavili radovi Black i Scholesa koji su imali ogroma uicaj a povećaje broja ovih ugovora. 6. Osovi ipovi opcija Neki fiasijski isrumei imaju osobiu da jihova vredos zavisi od vredosi drugog fiasijskog isrumea. Prvi fiasijski isrumei se azivaju derivai, a drugi podloga (eg. uderlyig) za deriva. Geeralo, opcije su ugovori koji daju pravo, ali e i obavezu da se eka podloga kupi ili proda po uapred defiisaoj cei, u uapred defiisaoj količii i a uapred defiisa daum. Podloga mogu bii akcije, deoice, obvezice, roba i value. 39

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Posoje dva osova ipa opcija a o su call opcije i pu opcije. Defiicija 6.. Call opcija je ugovor koji daje pravo kupcu opcije (eg. buyer) da kupi određeu podlogu od ooga ko je apisao opciju (eg. wrier, seller), a određe daum (koji se aziva daum dospeća), po uapred uvrđeoj cei (koja se aziva srike cea ili cea izvršeja). Defiicija 6.. Pu opcija je ugovor koji daje pravo kupcu opcije da proda određeu podlogu, a određe daum, po uapred uvrđeoj cei. Prodavac opcije (eg. wrier, seller) prima ovac uapred, ali ima poecijale obaveze kasije. Daum dospeća ćemo obeležavai sa T, a srike ceu sa K. U zavisosi od oga kada ih možemo izvršii opcije se dele a američke opcije i evropske opcije. Američke opcije mogu bii izvršee u bilo kom reuku od dauma kupovie do dauma dospeća. Za razliku od jih evropske opcije mogu bii izvršee samo a daum dospeća. Napomea 6..3 Američke i evropske opcije emaju veze sa područjem a kojem se rguje. Evropskim opcijama se rguje u Americi i obruo. Evropske opcije je geeralo lakše aalizirai ego američke i eke osobie američkih opcija su izvedee baš iz evropskih opcija. Pored američkih i evropskih opcija posoje i drugi ipovi opcija. Evropske opcije Defiicija 6..4 Evropska call opcija daje pravo jeom vlasiku da kupi podlogu a daum dospeća po srike cei K. Vlasik ove opcije očekuje da će cea podloge rasi i bii veća od srike cee a daum dospeća. Sa druge srae pisac opcije očekuje da će cea podloge pasi ispod srike cee a daum dospeća. Ceu podloge u reuku ćemo ozačavai sa Prihod vlasika evropske call opcije je da sa: f S, K S a a daum dospeća T sa ST., S T K za S T K, iače 4

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Prihod pisca opcije, kada je S T K, je da sa: f S, K, K S T za S T K, iače Geeralo, kada god je cea podloge veća od srike cee (a daum dospeća) call opciju ima smisla izvršii. Defiicija 6..5 Evropska pu opcija daje pravo jeom vlasiku da proda podlogu a daum dospeća po srike cei K. Vlasik ove opcije očekuje da će cea podloge padai i bii iža od srike cee a daum dospeća. Sa druge srae, pisac opcije očekuje da će cea podloge bii izad srike cee a daum dospeća. Prihod vlasika evropske pu opcije je da sa: f S, K, K S T za K S T, iače Prihod pisca opcije, kada je K S T, je da sa: f S, K, S T K za K S T., iače Američke opcije Američke opcije su fiasijski isrumei (ugovori) koji kupcu opcije daju pravo, ali e i obavezu, da kupi ili proda određeu podlogu u bilo kom reuku pre dauma dospeća T za uapred određeu ceu. Defiicija 6..6 Američka call opcija daje pravo vlasiku call opcije, ali e obavezu, da kupi određeu podlogu u bilo kom reuku pre dauma dospeća T za uapred određeu srike ceu K. 4

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Prihod vlasika američke call opcije je da sa: f S, K S K, ako je S > K, T., iače Američku call opciju ima smisla izvršii samo kada je cea podloge veća od srike cee K. Defiicija 6..7 Američka pu opcija daje pravo vlasiku pu opcije, ali e i obavezu, da proda određeu podlogu u bilo kom reuku pre dauma dospeća T, za uapred određeu srike ceu K. Prihod vlasika američke pu opcije je da sa: f S, K K S, ako je K S, T., iače Učesici a ržišu Opcije se primaro korise za hedžig i špekulaciju (aravo i arbiraža je dobra ako ju je moguće osvarii). Zbog oga se ivesiori, odoso učesici a ržišu opcija dele ahedžere (eg. hedgers), špekulae (eg. speculaors) i arbiražere (eg. arbirageurs). Hedžeri žele da smaje rizik svoje ivesicije pomoću druge ivesicije. Na primer, preposavimo da ivesior reuo poseduje akcija čija je reua cea 88$ po akciji. Ako dođe do većeg pada cee akcija u aredoj godii, ivesior bi bio a većem gubiku. O zbog oga kupuje američku pu opciju sa srike ceom od 88$ i rokom dospeća godiu daa. Neka je cea ovakvog ugovora.5$ po akciji. To zači da će ivesior porošii 5$ da bi zašiio ivesiciju od 88 $. Za razliku od hedžera koji kupuju opcije da bi se zašiili od eprijaih pomeraja a ržišu, špekulai žele da zauzmu poziciju a ržišu ako šo se klade da li će cea podloge oići gore ili dole. Na primer, ako predviđaju da će cea podloge oići gore, kupuju call opciju pa pokušavaju da zarade kasije. 4

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Arbiražeri pokušavaju da osvare profi ako šo kupuju i prodaju a različiim ržišima. Najčešće su o Lodo i Njujork, ali same mogućosi arbiraže raju krako. 6. Call, pu i spread opcije za kaasrofe U ovom delu razmaraćemo opcije osiguraja za kaasrofa. Opcije ovog ipa kojima se ajčešće rguje a ržišu su call, pu i spread opcije. Ekspliciim račuajem Furijeove rasformacije za isplae i korišćejem eoreme 5.. možemo dobii formule za cee ovih opcija, šo ćemo i pokazai. Call opcije Neka je fukcija isplae call opcije za kaasrofe oblika call (6.) h x x K za eku srajk ceu K. Tada odgovarajuća isplaa a dvodimezioalom skupu za x fukciju g x, x hxe a zavisa fukcija isplae je call šo pripada prosoru, x, x ( kao šo smo uveli u (5.)) je x x, g x x x e K I x e K I call x K x, xl x xx,, f x x e g x x call 6. x x x e x e K I K x, xl x L za svako, I,,. 43

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Za Furijeovu rasformaciju K l x f call dobijamo: ixu xu fcall u, u e f call x, x dxdx iu x iu x x e x e K dx dx iu x iu x iu x iu x x e e dx dx K e e dx dx K K l l x x K iu iu x iu l K x iu x iu l K x x e e dx e e dx iu = iu K iu K iu iu x = x e dx iu iu iu K iu iu x iu iu x x e dx x e dx iu iu =, gde je Gamma fukcija. iu iu iu iu iu iu K Da bismo dokazali da fukcija isplae call opcija za kaasrofe (6.) zadovoljava uslove eoreme 5.., reba pokazai da f u, u L. (6.3) call Odoso, da bismo dokazali (6.3) dovoljo je da posmaramo asimposko poašaje f u, u, kada u, u. call Kako je dobijamo f u, u u u lim iu e u u iul iu iarca call iu l K K e iu iu iu u arca u u arca iu e e u e, 6.4 iu iu iu iu K K u u e 3 u 44

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe gde je f u, u f u, u f u, u : lim u, u f u, u Sada ćemo razmorii sledeće slučajeve: Kako. Ako je uu, oda (6.4) zadovoljava f call 3 u u u arca e u e, K u u u K gde desa sraa (6.5) pripada L. e u u 3 u. Ako je uu oda je (6.4) ekvivaleo sa f call, (6.5) 3 u u u arca e u e, K u u u = K = K K u 3 u arca u e u e u 3 u arca u u e u 3 u u u e. 6.6 u 3 u u u 3 e du u u pripada L, sledi da desa sraa (6.6) pripada L kad u, u. Možemo primeii eoremu 5.. i eksplicio dobijamo ceu za call opciju. Sada kada zamo ceu call opcije, cee pu i spread opcije koje se odose a osiguraje od kaasrofa možemo svesi a ceu call opcije sa sadardim argumeima. 45

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Pu opcije Neka je pu h x K x isplaa pu opcije osiguraja od kaasrofa. Tada isplae pu i call opcija sa srike ceom K se mogu prikazai sledećom formulom: Ceu. h x h x K L pu call T pu opcije možemo odredii preko cee pu call opcije, i kroz sledeći callpu parie Iz ezavisosi T dobijamo:. ako je T L i E LT Z T T F call K E L F pu call T call K E LT Z. T T F Z, za uslovo maemaičko očekivaje E LT Z T T F T u u T T E LT F E ZT T F T T L E LT L E e T T T x x L E Y s ds exp bs cs e xi Fs dx ds;. ako je T, T E LT Z T T F T T E LT e F LT Z exp T E T T T TT x LT Z exp. T b T s cs e xi F x s dx ds 46

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe Call i pu spread opcije Call spread opcije su proširee call opcije koje omogućavaju kupoviu call opcije sa srajk ceom K i zaim prodaju call opcije a isi daum dospeća ali sa srajk ceom K K. Odgovarajuća fukcija isplae a daum dospeća je oblika spread h x x K x K, ako x K; = x K, ako K x K; K K, ako x K. Napomea 6.. Iz (5.3) sledi da raspodela Y i zadovoljava G za broj poraživaja i,,,... x e G dy, za eko. 6.7 Tipiči primeri raspodela koje zadovoljavaju gorju ejedakos (6.7) su ekspoecijala i Gamma raspodela. Važa klasa fukcija raspodela koja akođe zadovoljava (6.7), je klasa fukcija raspodela ekvivaleih kovolucija,, koje su pogode za modelovaje broja poraživaja. Iverza Gauss-ova raspodela je jeda od ajvažijih primera klase fukcija raspodela ekvivaleih kovolucija. Sa druge srae, raspodela G sa eškim repom defiisaa u (6.7) ije popua jer smo izosavili uslov kada je. 47

Vredovaje opcija polisa osiguraja za kaasrofe 7 Cee gubiaka sa eškim repom Da bismo mogli da govorimo o gubicima eškog repa, j. da bismo mogli da korisimo prigušei paramear (5.3), preposavićemo da fukcija raspodele G za i Y, i,,..., pripada, za eko. Drugim rečima, preposavićemo da ako se kaasrofa desi ada odgovarajući izos gubiak veći je od proizvoljo malog. Međuim, ako u obzir uzmemo čijeicu da PCS defiišu kaasrofu (vešačku ili prirodu) kao pojediači događaj ili kao seriju povezaih događaja, šo implicira osiguraje imovie a ajmaje 5 milioa dolara, oda je ova preposavka očigledo eozbiljo ograičeje. Ozačimo LT LT, 7. gde je L ehomogei slože Poasoov proces ad T. U ovom delu pokušaćemo da primeimo ehiku Furijeovih rasformacija a ceu pu opcije za kaasrofe. Da bismo ovo uradili prvo ćemo uradii sledeće rasformacije. Cea procesa pu opcija za kaasrofe je daa sa T T E K LT e F. (7.) Kako je L ehomogei slože Poasoov procesa po T ad, gorji izraz (7.) možemo zapisai kao T T NT E K LT e I F pri čemu smo korisili da je T T T NT E K L e I F TT LT K NT F E K LT e I F, LI T N T. (7.3) Neka je L : L. Tada iz (7.) sledi T T LT LT LT L T. 48