Upoznavanje s Kategorijama

Upoznavanje s Kategorijama Kultura komunikacije Februar 2013.

Siže Stefan Panić Ovaj tekst je plod saradnje profesora, asistenta i grupe studenata koji su pohad ali kurs iz predmeta Kultura komunikacije na Odseku za informatiku, Matematičkog fakulteta u Beogradu tokom jesenjeg semestra 2012. Svake nedelje od početka oktobra 2012. pa do početka januara 2013. je održan jedan blok od dva časa predavanja. Prva i druga nedelja su bile posvećene Halmosevim tekstovima [2] i [1]. Posle tih uvodnih časova sledila su predavanja koja su se odnosila na elementarne pojmove iz teorije kategorija i srodnih oblasti. Svaki polaznik kursa imao je zadatak da prikuplja beleške sa jednog predavanja i da ih pretoči u jedan odeljak ovog teksta. Dogovor je bio da se predavač drži Halmosevih saveta kako treba predavati matematiku a da onaj koji sakuplja beleške, organizuje tekst, koliko god je to moguće, po ugledu na Halmoseve sugestije kako treba pisati knjigu iz matematike. Zamisao kursa je da se na elementaran način, prihvatljiv za svakog zainteresovanog srednješkolca odnosno svakog studenta druge godine Odseka za informatiku, uvedu neki osnovni pojmovi teorije kategorija. Kao uzor, poslužila nam je knjiga [4] mada i dalje svima preporučujemo [5] kao osnovni udžbenik iz teorije kategorija. Jedan deo teksta se oslanja na primere date u [7]. Tekst se sastoji od sedam odeljaka. U prvom su date kratke biografije sa osnovnim informacijama o svim studentima koji su učestvovali u realizaciji ovog projekta. U tom odeljku su takod e dati osnovni pojmovi i notacija koji se koriste u tekstu. U drugom odeljku smo se bavili monoidima, kao strukturama čija uopštenja daju kategorije, navodeći nekoliko primera tih struktura. Zatim smo se bavili monoidima dijagrama i primerima tih monoida, prvenstveno dijagrama relacija i funkcija. Nakon toga smo izučavali konačne skupove i funkcije, pre svega uvodeći osnovne oznake i operacije koje se koriste u radu sa skupovima, kao i neke interesantne konačne skupove i njihova svojstva. Zatim smo uveli osnovne oznake i pojmove vezane za funkcije kao što su na primer pojam kompozicije, identičkog preslikavanja i karakteristične funkcije. Kroz primer kategorije konačnih skupova dolazimo do samog pojma i definicije kategorije, definišući osnovne uslove da bi neka struktura bila kategorija. Takod e dajemo neke elementarne primere kategorija koje koristimo u daljem tekstu. U trećem odeljku se bavimo izomorfizmima, kao posebnim vrstama morfizama, govoreći o potrebi postojanja obostranog inverza. Zatim smo se bavili problemom odred enosti i izbora, navodeći nekoliko primera tih problema. Nakon toga prelazimo na definiciju retrakcije (levog inverza) i sekcije (desnog inverza) i dokazujemo neka osnovna tvrd enja vezana za ove pojmove kako u kategoriji konačnih skupova tako i u proizvoljnoj kategoriji. U nastavku teksta bavimo se monomorfizmima, epimorfizmima i raznim drugim tvrd enjima povezujući ih sa pojmovima retrakcije i sekcije. U četvrtom odeljku je predstavljen Louvirov predlog dva moguća pogleda na funkcije: sortiranje domena po svojstvu i imenovanje ili uzrokovanje kodomena. Tu je ukazano i na razlike u ova dva pogleda. Uvedeni su neki novi pojmovi v

vi i opisano je kako nam oni pomažu u objašnjavanju raznih tačaka gledišta na funkcije uz navod enje nekoliko primera. Filozofsko objašnjenje ova dva aspekta je predstavljeno kao odnos razmišljanja, subjektivnog i objektivnog. U petom odeljku se dalje bavimo retrakcijama i sekcijama kao i idempotentima, zatim upotrebom i zloupotrebom izomorfizama za koje su dati neki primeri. Prikazano je kako se prebrojavaju sekcije i retrakcije i uveden je pojam idempotenta. Nakon toga prelazimo na kombinovanje retrakcija i sekcija, navodeći neka osnovna tvrd enja i definicije. U šestom odeljku je dat dokaz Brauerove teoreme kao posledice nepostojanja neprekidne retrakcije jednog utapanja. Za te potrebe je definisan pojam neprekidnosti funkcija na nekim podskupovima od R n. Spomenuta je intuicionistička logika i formulisan je Banahov stav o nepokretnoj tački, kao matematički srodnik Brauerove teoreme. U sedmom, poslednjem, odeljku uvodimo osnovne kategorijalne pojmove kao što su funktori (vid preslikavanja koje čuva osnovnu kategorijalnu strukturu), prirodne transformacije, proizvodi i koproizvodi. Zahvalnica Zahvaljujem se profesoru Kosti Došenu na sugestijama kako da započnemo ovaj kurs. U Beogradu, 5. februar 2013. Zoran Petrić zpetric@mi.sanu.ac.rs

SADRŽAJ Siže v Odeljak 1. Uvod 1 1.1. O autorima 1 1.2. Osnovni pojmovi i notacija 8 Odeljak 2. Monoidi i kategorije 9 2.1. Monoidi 9 2.2. Monoidi dijagrama 10 2.3. Konačni skupovi i funkcije 14 2.4. Definicija kategorije 18 2.5. Neki primeri kategorija 20 Odeljak 3. Izomorfizmi, retrakcije i sekcije 23 3.1. Izomorfizmi 23 3.2. Problem odred enosti i izbora 27 3.3. Monomorfizmi, epimorfizmi i razna tvrd enja 31 Odeljak 4. Dva pogleda na funkcije 35 4.1. Sortiranje domena po svojstvu 35 4.2. Imenovanje ili uzorkovanje kodomena 36 4.3. Filozofsko objašnjenje dva aspekta 37 Odeljak 5. Inverzi, idempotenti 41 5.1. Izomorfizmi: Upotreba i zloupotreba 41 5.2. Broj sekcija i retrakcija 44 5.3. Kombinovanje retrakcija i sekcija 46 5.4. Idempotenti beleže retrakt 49 5.5. Tri vrste problema retrakcije 51 Odeljak 6. Brauerova teorema 53 6.1. Kategorija T R 53 6.2. Banahov stav o nepokretnoj tački 55 6.3. Brauerova teorema 56 Odeljak 7. Funktori, prirodne transformacije 59 7.1. Homomorfizmi monoida 59 7.2. Funktori 60 7.3. Prirodne transformacije 61 vii

viii Sadržaj 7.4. Predured enja 62 7.5. Neke male kategorije 63 7.6. Funktor kategorije 65 7.7. Proizvod kategorija 67 7.8. Proizvodi 67 7.9. Koproizvodi 68 Bibliografija 69 Indeks 71

1. Uvod 1.1. O autorima Tanja Bojanović, rod ena 8.7.1993. u Beogradu. Obrazovanje: Osnovna škola Aleksa Šantić, Beograd; Hemijsko-prehrambena tehnološka škola, Beograd; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Ja sam komunikativna i druželjubiva osoba, u slobodno vreme volim da slušam muziku, čitam knjige i izlazim sa prijateljima. Ovaj smer sam upisala zato što volim da radim na računaru a i u životu će mi uvek poslužiti za dalje usavršavanje i komunikaciju sa ljudima. e-mail:tanjabojanovic1993@gmail.com Darko Denčić, rod en 6.11.1991. u Zaječaru. Obrazovanje: Osnovna škola Desanka Maksimović, Zaječar; Srednja tehnička skola, Zaječar; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Veoma komunikativan i druželjubiv uvek spreman za zabavu i provod. U slobodno vreme gledam filmove, slušam muziku odem do teretana ili na trčanje sa drugovima. Programranjem se bavim već 5 godina što me je i privuklo da upišem ovaj fakultet. e-mail: marinkobidzic@gmail.com Jovan -Dord ević, rod en 23.7.1992. u Beogradu. Obrazovanje: Osnovna škola Starina Novak, Beograd; Srednja škola Tehnoart, Beograd; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Skroman sam i nemam previše interesovanja. Kao struku sam odabrao rad sa kompjuterima jer me odvaja od nepotrebnih odnosa sa ljudima koje ne želim da trpim. U slobodno vreme volim da treniram i da izlazim sa društvom ili devojkom... e-mail: mi11330@alas.matf.bg.ac.rs 1

2 ODELjAK 1. UVOD Maksim -Durd evac, rod en 3.9.1992. u Beogradu. Obrazovanje: Osnovna škola Gornja Varoš, Zemun; Zemunska gimnazija, Zemun; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Bavim se fudbalom. To je moj jedini hobi... e-mail: maxapfc@gmail.com Tijana Živković, rod ena 26.8.1991. u Beogradu. Obrazovanje: Osnovna škola Nikola Tesla, Vinča; Šesta beogradska gimnazija, Beograd; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Volim muziku, pesmu, igru, druženje, putovanja i još mnogo toga, tako da je jedna od stvari bez koje ne bih mogla da zamislim svoj život folklor. Igram ga od malena, a trenutno sam član kulturno umetničkog društva,,nikola Tesla, GSP Beograd. e-mail: mi10123@alas.matf.bg.ac.rs Jelena Jankov, rod ena 2.4.1992. u Zrenjaninu. Obrazovanje: Osnovna škola Svetozar Marković - Toza, Elemir; Zrenjaninska gimnazija, društveno - jezički smer, Zrenjanin; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika.,,Ja sam vašar. Eto šta! Ja sam tristo čuda. Muzika sam. Gužva. Smeh. Vrteška. I luda. e-mail: jelena.jankov@gmail.com Milan Jerotić, rod en 2.5.1992. u Loznici. Obrazovanje: Osnovna škola Vuk Karadžić, Loznica; Gimnazija Vuk Karadžić, Loznica; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. U slobodno vreme volim da sviram gitaru, slušam muziku, čitam SF literaturu, izlazim... e-mail: jeroticm@gmail.com

1.1. O autorima 3 Dejan Jovićević, rod en 8.6.1990. u Užicu. Obrazovanje: Osnovna škola Emilija Ostojić, Požega; Gimnazija Sveti Sava, Požega; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Glavna oblast interesovanja mi je računarstvo. U slobodno vreme sviram električnu gitaru, na amaterskom nivou, uživam u čitanju i gledanju filmova. e-mail: mi11398@alas.matf.bg.ac.rs Stefan Kostić, rod en 13.8.1992. u Vranju. Obrazovanje: Osnovna škola Dositej Obradović, Vranje; Gimnazija Bora Stanković, Vranje; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Interesuju me računari, muzika, sviranje gitare, filmovi, stripovi, knjige... e-mail: mi11092@alas.matf.bg.ac.rs Tijana Kostić, rod ena 8.7.1991. u Pančevu. Obrazovanje: Osnovna škola Jovan Jovanović Zmaj, Pančevo; Gimnazija Uroš Predić, Pančevo; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Ja sam iz Pančeva, a studiram informatiku u Beogradu najviše iz razloga što volim matematiku. Pored toga, bavim se i plesom, standardnim i latino-američkim a takod e podučavam decu u početnim plesnim koracima. e-mail: mi10125@alas.matf.bg.ac.rs Nataša Kuzmanović, rod ena 13.8.1990. u Sarajevu Obrazovanje: Osnovna škola Branko Radičević, Bratunac; Elektotehnička škola, Bratunac; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Volim programiranje i sve što je vezano za informatiku i matematiku. Veoma sam komunikativna, volim da izlazim i slušam muziku. e-mail: mi12404@alas.matf.bg.ac.rs

4 ODELjAK 1. UVOD Miloš Manić, rod en 8.10.1992. u Pirotu. Obrazovanje: Osnovna škola Dušan Radović, Pirot; Pirotska Gimnazija, Pirot; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Sviram klavir, igram i programiram kompjuterske igre, čitam knjige... e-mail: mi11090@alas.matf.bg.ac.rs Miloš Milovanović, rod en 27.8.1992. u Uroševcu. Obrazovanje: Osnovna škola Momčilo Živojinović, Mladenovac; Gimnazija u Mladenovcu, Mladenovac; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Volim programiranje, čokoladu itd. Mrzim analizu. e-mail: mi11166@alas.matf.bg.ac.rs -Duro Nenadović, rod en 24.10.1991. u Loznici. Obrazovanje: Osnovna škola Mika Mitrović, Brezjak; Gimnazija Vuk Karadžić, Loznica; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Trudim se da znam što je moguce više. Interesuje me književnost, filozofija, matematika. Pišem, trudim se da sviram gitaru, igram košarku, trčim, čitam. e-mail: djuronenadovic@yahoo.com Nemanja Nerandžić, rod en 9.10.1987. u Kragujevcu. Obrazovanje: Osnovna škola Aca Marović, Priština i Kosta Abrašević, Beograd; Srednja škola Nikola Tesla, Beograd; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Zainteresovan za sve što ima veze s računarima od malena, kada sam dobio Commodore 64. Godinama je u pitanju bilo puko servisiranje džojstika i igranje igara, ali je vremenom zahvatilo i hardver i, u poslednjih nekoliko godina, programiranje. Slobodno vreme uglavnom popunjavam vožnjom bicikla, gledanjem dobrih filmova i pokoje fudbalske utakmice. e-mail: mi12157@alas.matf.bg.ac.rs

1.1. O autorima 5 Stefan Panić, rod en 23.08.1992. u Užicu. Obrazovanje: Osnovna škola Stari grad, Užice; Užička gimnazija, Užice; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Trenirao i sudio sam košarku. Volim da putujem, igram video igre, gledam filmove. e-mail: pana2308@hotmail.com Nikola Ristić, rod en 15.1.1992. u Beogradu. Obrazovanje: Osnovna škola Sveti Sava, Vrčin; Osma beogradska gimnazija, Beograd; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Imam veliko interesovanje prema kolima i kompjuterima a u slobodno vreme volim da treniram boks. e-mail: mi11310@alas.matf.bg.ac.rs Marko Stanković, rod en 24.3.1992. u Vranju. Obrazovanje: Osnovna škola Predrag Devedžić, Vranjska banja; Gimnazija Bora Stanković, Vranje; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Na prvo mesto bih stavio računarstvo, to jest ono zbog čega i studiram ovaj fakultet. Ljubitelj sam filmova, muzike, sporta, knjiga... e-mail: mi11236@alas.matf.bg.ac.rs Ognjen Stanković, rod en 19.8.1992. u Vranju. Obrazovanje: Osnovna škola Vuk Karadžić, Vranje; Gimnazija Bora Stanković, Vranje; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Interesuju me filmovi, serije, fudbal, računari... e-mail: mi11209@alas.matf.bg.ac.rs

6 ODELjAK 1. UVOD Stevan Stojanović, rod en 20.7.1992. u Beogradu. Obrazovanje: Osnovna škola Josif Pančić, Beograd; Matematička gimnazija, Beograd; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. Zainteresovan sam za programiranje od kad sam dobio prvi računar. Često igram igrice i to je jedna od stvari koja me je upoznala sa računarom. Iako sam najviše zainteresovan za proces pravljenja igrica, voleo bih da naučim malo ozbiljnije programiranje. e-mail: mi11151@alas.matf.bg.ac.rs Nemanja Tomić, rod en 18.1.1992. u Loznici. Obrazovanje: Osnovna škola Kadinjača, Loznica; Gimnazija Vuk Karadžić, Loznica; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, smer Informatika. U slobodno vreme volim da treniram, pecam, slušam muziku, izlazim... Programiranje mi takod e oduzima veliki deo tog vremena. e-mail: mi11195@alas.matf.bg.ac.rs Asistent Aleksandra Kostić, rod ena 12.5.1989. u Loznici. Obrazovanje: Osnovna škola Braća Nedić, Osečina; Valjevska gimnazija, Valjevo, specijalizovano matematičko odeljenje; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, osnovne studije, smer Računarstvo i informatika; Matematički fakultet Univerziteta u Beogradu, master studije, smer Teorijska matematika i primene. Još u najranijem detinjstvu sam pokazivala talenat za metematiku, pa mi je odabir specijalizovanog matematičkog odeljenja bio logičan izbor. Tu sam sam se po prvi put srela sa nečim što se zove programiranje. Zanimljivi algoritmi sa matematičkom osnovom, i sve to sa primenom na svakom koraku, i programiranje je postalo nešto što će u daljem školovanju potpuno preuzeti svu moju pažnju i interesovanje, a potom postati i moja profesija. Trenutno sam asistent na Matematičkom fakultetu u Beogradu, i pokušavam da sva svoja stečena znanja prenesem svojim studentima, i pokažem im da je matematika lepa i intresantna i da se krije svugde, čak i tako gde je najmanje očekujemo.

1.1. O autorima 7 Neko sam ko propagira svestranost, pa se ja nisam samo bavila matematikom i programiranjem, šta više, interesovale su me razne druge stvari. Tako sam se dugo vremena bavila pisanjem proze, pa sam sa uspehom učestvovala i na raznim literarnim konkursima. Pisanje je ostalo moja velika ljubav, i sada kada sam se našla u skroz drugim, matematičkim, vodama. U slobodno vreme najviše volim da putujem, i na dobrom sam putu da osvojim Evropu, a nadam se jednog dana proputovati i čitav svet. e-mail: alex@matf.bg.ac.rs

8 ODELjAK 2. MONOIDI I KATEGORIJE 1.2. Osnovni pojmovi i notacija prazan skup N skup prirodnih brojeva: {0, 1, 2,...} Q skup racionalnih brojeva R skup realnih brojeva M m n skup matrica nad R tipa m n M n skup kvadratnih matrica nad R tipa n n (a,b) ured en par; (a,b) = (c,d) (a = c b = d) A B Dekartov proizvod skupova A i B: {(a,b) a A,b B} P(X) partitivni skup (skup svih podskupova) od X {x 1,...,x n } konačan skup; x i x j za i j X broj elemenata konačnog skupa X ρ X X refleksivna ( x X)(x,x) ρ ρ X X simetrična ( x,y X)((x,y) ρ (y,x) ρ) ρ X X tranzitivna ( x,y,z X)(((x,y) ρ (y,z) ρ) (x,z) ρ) ρ X X rel. ekvivalencije refleksivna, simetrična i tranzitivna f : X Y je 1-1 ( x 1,x 2 X)(f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 ) f : X Y je na ( y Y )( x X)(y = f(x)) f : X Y je bijekcija 1-1 i na

2. Monoidi i kategorije 2.1. Monoidi Miloš Manić Za početak neka nam skup na kome ćemo raditi bude skup prirodnih brojeva N. Uzmimo jednu operaciju, recimo množenje, na skupu N. Skup N je zatvoren za množenje (množenjem dva prirodna broja dobijamo prirodan broj) i množenje je asocijativno, tj. za svaka tri prirodna broja m, n i k važi m (n k) = (m n) k. Na taj način dobijamo algebarsku strukturu (N, ). Takva struktura se naziva polugrupa. Definicija 2.1.1. Monoid je struktura (M,,e) koju čine jedan skup M sa jednom binarnom operacijom i jednim istaknutim elementom e, tako da važi: M je zatvoren za operaciju, tj. a,b M a b M; je asocijativna, tj. a (b c) = (a b) c; e je neutral za, tj. a e = e a = a. Primer 2.1.2. (N,,1). Primer 2.1.3. (N, +, 0). Primer 2.1.4. ({, },, ). Primer 2.1.5. (M 2,,I 2 ), gde( je M 2 skup ) kvadratnih matrica nad R tipa 1 0 2 2, dok je I 2 jedinična matrica. Množenje matrica u M 0 1 2 je definisano na standardni način: ( a11 a 12 a 21 a 22 )( b11 b 12 b 21 b 22 ) = df ( a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 Primer 2.1.5 nam je posebno interesantan, zato što su u svim prethodnim primerima operacije bile i komutativne, dok je operacija množenja u skupu matrica sa dve vrste i dve kolone samo asocijativna. Vežba 2.1.6. Proveriti asocijativnost i nekomutativnost operacije množenja matrica u primeru 2.1.5. Vežba 2.1.7. Ispitati neutralnost elementa I 2 u primeru 2.1.5. Dalje ćemo se baviti primerima nekih čudnijih monoida. Primer 2.1.8. Uzmimo da je Σ = {a,b,c,...,z} skup slova engleskog alfabeta. Neka je Σ skup svih reči nad Σ (za reč uzimamo svaki konačan niz slova, recimo jabuka, knjiga, ali i aaa, bzvzzv, zzzz, itd). Neka je operacija 9 ).

10 ODELjAK 2. MONOIDI I KATEGORIJE nadovezivanja reči. Na primer: azvsd aaa = azvsdaaa. Primetimo da se uvek kada nadovežemo dve reči dobija reč, tako da je Σ zatvoren za operaciju. Takod e, lako se vidi da je operacija asocijativna, npr. (abzd gg) cca=abzdgg cca=abzdggcca=abzd ggcca= abzd (gg cca). Ako obeležimo sa λ praznu reč. Jasno je da će λ biti neutral za našu operaciju nadovezivanja. Dakle, iz svega što sada znamo, sklopili smo sledeći monoid: (Σ,,λ). Vežba 2.1.9. Proveriti nekomutativnost operacije. 2.2. Monoidi dijagrama Miloš Manić Označimo sa Rel 3 (ime potiče od reči,,relacija ) skup svih dijagrama binarnih relacija na tročlanom skupu. Na primer, sledeći dijagram pripada Rel 3. Primetimo da takvih različitih crteža ima 2 9. To je zato što svaka tačka iz gornjeg reda može biti na 2 3 načina spojena sa tačkama donjeg reda (jedan način spajanja se lako kodira trojkom koja se sastoji od nula i jedinica 000 kodira slučaj kada tačka gornjeg reda nije spojena ni sa jednom tačkom donjeg reda, 100 kodira slučaj kada je spojena samo sa prvom tackom donjeg reda itd.) pa ukupno ima 2 3 2 3 2 3 = 2 9 crteža. Svaku od ovih relacija možemo da prikažemo 0 1 matricom tipa 3 3 tako da na primer gornji crtež predstavlja matrica 1 0 1 0 1 0 0 1 0 (jedinica u prvoj koloni na prvom mestu znači da prvi iz gornjeg reda,,gleda prvog iz donjeg reda, nula u prvoj koloni na drugom mestu znači da prvi iz gornjeg reda,,ne gleda drugog iz donjeg reda, nula u prvoj koloni na trećem mestu znači da prvi iz gornjeg reda,,ne gleda trećeg iz donjeg reda, itd.) Operacija u Rel 3 je data,,komponovanjem tako što se dva dijagrama nadovežu tako što levi u zapisu ide dole a desni u zapisu ide gore (kao na levoj strani donje slike) i onda se ispituje postojanje usmerenog puta od neke tačke u najvišem redu do neke tačke u najnižem redu da bi se dobio rezultat (desna strana donje slike). Ta operacija odgovara operaciji kompozicije relacija.

2.2. Monoidi dijagrama 11 To da je ova operacija asocijativna se može zaključiti iz samog crteza. Kada komponujemo tri dijagrama, onda je rezultat kompozicije u oba slučaja asociranja zagrada u stvari dobijen proverom da li je neka tačka iz prvog reda spojena, usmerenim putem, sa nekom tačkom iz četvrtog reda. S druge strane, komponovanje dijagrama možemo dovesti u vezu sa množenjem 3 3 matrica koje predstavljaju te dijagrame kao u gornjem primeru. Nije teško proveriti da je rezultat kompozicije dijagrama D 2 D 1 (D 1 je iznad D 2 ) predstavljen proizvodom matrica M 2 M 1, gde M 1 i M 2 predstavljaju redom D 1 i D 2, samo što se prilikom množenja matrica koristi da je 1 + 1 = 1 (interesuje nas samo postojanje puta a ne njihov broj pravi proizvod ovih matrica bi nam govorio na koliko načina se može stići iz neke gornje u neku donju tačku). Pošto iz linearne algebre znamo da je množenje matrica asocijativno, lako bismo zaključili da je i gornja operacija komponovanja takod e asocijativna. Neutral za ovu operaciju je dat sledećim crtežom: zato što on prilikom komponovanja samo,,razvlači postojeći crtež ne menjajući mu bitne osobine. Ukoliko uzmemo podskup od Rel 3 koji se sastoji od svih crteža sa osobinom da u njima svaka tačka odozgo,,gleda tačno jednu odozdo, pošto je ovaj skup zatvoren za operaciju komponovanja i pošto on sadrži neutral, na taj način dobijamo još jedan monoid dijagrama koji označavamo sa Fun 3 (ime potiče od reči,,funkcija zato što ovi dijagrami odgovaraju funkcijama iz tročlanog skupa u samog sebe). Vežba 2.2.1. Koliko elemenata ima Fun 3? Komponovanje crteža koje je gore definisano u slučaju crteža iz Fun 3 odgovara kompoziciji funkcija.

12 ODELjAK 2. MONOIDI I KATEGORIJE U ovom odeljku uvešćemo još dva primera monoida dijagrama. Monoid SJ 3 je monoid crteža sličnih onima iz Rel 3, s tim što je ovde svaka od šest tačaka spojena (neusmereno) sa tačno jednom drugom tačkom. Na primer: Vežba 2.2.2. Nacrtati sve elemente SJ 3 (ima ih samo 15). Kompozicija u SJ 3 je definisana tako što dva crteža nadovežemo i onda zategnemo otvorene putanje dok se zatvorene putanje (krugovi) brišu. Dokazati asocijativnost za ovako definisanu operaciju je nešto teže nego u prethodnim primerima. Jedan način da to uradimo je da proverimo sve moguće slučajeve kojih ima 15 3. Lakši način je da ove crteže matrično reprezentujemo i oslonimo se na asocijativnost množenja matrica ali to nećemo sad raditi. Neutral za ovu operaciju je dat sledećim crtežom: Ukoliko uzmemo podskup od SJ 3 koji se sastoji od svih crteža u kojima nema presecanja, onda, pošto je on zatvoren za goredefinisano komponovanje i pošto se neutral nalazi u njemu, na taj način dobijamo monoid J 3. Na primer, sledeća tri dijagrama pripadaju J 3.

2.2. Monoidi dijagrama 13 Vežba 2.2.3. Nacrtati sve elemente skupa J 3 (ima ih još samo dva). Koliko elemenata ima monoid J n koji ima po n (umesto tri) tačaka gore i dole? Pokazaćemo da je odgovor na to pitanje n-ti Katalanov broj. Kao i u sličnim kombinatornim problemima, postaraćemo se da elemente od J n predstavimo na drugi način. Uzmimo sve gornje tačke i spustimo ih na liniju na kojoj se nalaze donje tačke tako da im se obrne redosled. One sa sobom povlače veze koje se i dalje ne presecaju. Na taj način bismo sledeća dva elementa od J 3 data sa leve strane pretvorili u crteže sa desne strane na donjoj slici. Gornjem crtežu sa desne strane jednoznačno odgovara raspored zagrada (())(), dok donjem crtežu sa desne strane odgovara jednoznačno raspored zagrada ()()(). Jasno je da J n ima onoliko elemenata koliko ima pravilno formiranih rasporeda n pari zagrada. Rasporedi zagrada (())() i ()()(), opet jednoznačno odgovaraju redom sledećim graficima funkcija u kojima se za svaku levu zagradu penjemo jedan podeok sa koeficijentom pravca 1, dok se za svaku desnu zagradu spuštamo jedan podeok sa koeficijentom pravca -1. Ukupan broj (i pravilnih i nepravilnih) rasporeda n pari zagrada je ( 2n n ). Broj nepravilnih rasporeda zagrada možemo izračunati tako što znamo da nepravilan

14 ODELjAK 2. MONOIDI I KATEGORIJE raspored n pari zagrada odgovara grafiku koji ima bar jednu zajedničku tačku sa pravom x = 1. Na primer rasporedu ())(() odgovara grafik: Ukoliko deo grafika do prve zajedničke tačke sa pravom x = 1 preslikamo refleksijom u odnosu na tu pravu dobijamo sledeći grafik. Jasno je da u ovakvom grafiku od 2n koraka moramo napraviti n + 1 nagore i n 1 nadole da bismo od tačke sa koordinatama (0, 2) stigli do tačke sa ( koordinatama (2n, 0). Prema tome, pogrešnih rasporeda n pari zagrada ima 2n n+1). Znači da dobrih rasporeda n pari zagrada ima ( 2n ) ( n 2n ) n+1 što je baš n-ti Katalanov broj. = (2n)! n!n! (2n)! (n+1)!(n 1)! = (2n)!(n+1) (2n)!n n!(n+1)! = (2n)! n!n!(n+1) = 1 n+1 (2n n ), Vežba 2.2.4. Ispitati direktno asocijativnost u J 3 (treba proveriti 5 3 tj. 125 slučajeva od kojih samo 4 3 tj. 64 zahteva neki trud jer oni koji uključuju neutral su trivijalni). 2.3. Konačni skupovi i funkcije Stefan Kostić Pre svega treba napomenuti da mi pojam skupa ovde nećemo definisati, on će za nas biti osnovni pojam. Takod e, ne bavimo se formalnom aksiomatizacijom teorije skupova, već se u potpunosti oslanjanamo na intuiciju, što se vidi već u narednim primerima, gde uvodimo neke osnovne oznake i operacije koje se koriste u radu sa skupovima. O aksiomatskoj teoriji skupova čitaoci se mogu informisati u [6]. Sa a A označavamo da je,,a element skupa A. Potpuno nam je intuitivno jasno šta to znači. Na primer, jasno se vidi da 1 {0,1,2}. Sa A B označavamo da je,,skup A podskup skupa B, a definišemo kao što je rečeno, neformalno, na sledeći način: skup A je podskup skupa B kada je

2.3. Konačni skupovi i funkcije 15 svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Na primer, {0,1} je podskup skupa {0, 1, 2}. Sa A B označavamo presek skupova A i B, koji sadrži zajedničke elemente skupova A i B. Na primer, presek skupova {0,1} i {0,1,2} je skup {0,1}. Sa A B označavamo uniju skupova A i B, koja sadrži sve elemente skupova A i B. Na primer, unija skupova {0, 1} i {2, 3, 4} je skup {0, 1, 2, 3, 4}. Matematički objekti kojima se bavimo su konačni skupovi. Oni čine prvu komponentu kategorije Set Fin koja će biti naš osnovni primer kategorije u ovom tekstu. Drugu komponentu te kategorije čine funkcije izmed u konačnih skupova. Funkcija (preslikavanje, a često ćemo zvati i morfizam) izmed u konačnih skupova, u oznaci f : A B, se sastoji od 3 stvari: 1. domena funkcije, skupa iz kojeg preslikavamo, skupa A; 2. kodomena funkcije, skupa u koji preslikavamo, skupa B; 3.,,pravila koje svakom elementu skupa A dodeljuje tačno jedan element skupa B. Treba napomenuti da ukoliko za različita pravila dobijamo za svaki element domena isti rezultat, ta pravila se smatraju jednakim. Primer 2.3.1. Dati su skupovi A = { 1,0,2} i B = { 1,0,1,...,8} i dva pravila koja elementima skupa A dodeljuju elemente skupa B; f(a) = a 3 i g(a) = a 2 +2a. Na prvi pogled pravila su različita ali f i g su ovde iste funkcije. Radi preciznosti, tačku 3 prethodne definicije bolje je zameniti sa: 3. podskupa f Dekartovog proizvoda A B, za koji važi ( a A)(!b B) (a,b) f. Znači, za svaki element a iz skupa A postoji tačno jedan element b koji pripada skupu B tako da ured en par (a,b) pripada f. To da je (a,b) f standardno označavamo sa b = f(a). Primer 2.3.2. U prethodnom primeru funkciju f (odnosno g) pored domena A i kodomena B čini i sledeći tročlani skup {( 1,1),(0,0),(2,8)}. Iz tog primera vidimo da iz skupa ured enih parova možemo pročitati domen funkcije, ali ne i njen kodomen. Primer 2.3.3. Paradigma funkcije i način na koji funkciju možemo zamisliti u glavi jeste merenje. Ukoliko sa jedne strane imamo skup učenika S, a sa druge strane skup C koji sadrži brojeve od 150 do 250, možemo napraviti preslikavanje v iz prvog u drugi skup, tako što ćemo svakom učeniku dodeliti broj koji odred uje njegovu visinu.

16 ODELjAK 2. MONOIDI I KATEGORIJE Miloš 175 Nemanja 180 Jovan 192 Prethodna slika predstavlja unutrašnji dijagram funkcije. Spoljašnji dijagram te funkcije je: v : S C. O nekom objektu možemo dosta saznati ne gledajući u njegovu unutrašnjost već na osnovu toga kakvi su njegovi odnosi sa drugim objektima ovo se smatra velikim dostignućem teorije kategorije. Na primer, ukoliko govorimo o Dekartovom proizvodu skupova A i B, onda je on spolja potpuno okarakterisan sledećim dijagramom: C f g 7! A A B B p 1 p 2 u smislu da postoje prva i druga projekcija p 1 odnosno p 2 takve da za svaki drugi objekat C i svake dve funkcije f : C A i g: C B postoji jedinstvena funkcija h: C A B, označena isprekidanom strelicom, takva da dva trougla na gornjem dijagramu komutiraju, tj. f = p 1 h i g = p 2 h. Sa unutrašnje strane, Dekartov proizvod skupova A i B je zadat svojim elementima ured enim parovima (a,b) takvim da je a A a b B. Ovde nećemo skupovno definisati ured en par ali je važno da znamo da važi (a,b) = (c,d) akko a = c i b = d. Iznutra strelice sa gornjeg spoljašnjeg dijagrama odgovaraju sledećem: p 1 p 2 a (a,b) b f(c) c (f(c),g(c)) g(c) Pogledajmo dalje neke interesantne skupove: - prazan skup (skup bez ijednog elementa);

2.3. Konačni skupovi i funkcije 17 { } - singlton (skup koji sadrži samo jedan element); 2 = {0,1} - dvočlani skup. Naravno, interesantni skupovi imaju i neka interesantna svojstva: 1. B iz praznog skupa u bilo koji skup postoji tačno jedno preslikavanje - prazna funkcija (to preslikavanje ima prazan skup ured enih parova). Da bismo pokazali da je prazan skup ured enih parova preslikavanje sa domenom i kodomenom B, moramo pokazati da važi:,,za svako a postoji tačno jedno b B takvo da je (a,b). Ova rečenica je tačna naprazno, iz razloga što ne postoji a ; isto kao što je na primer tačno reći,,svaki dinosaurus u mojoj ulici je roze zato što nema dinosaurusa u mojoj ulici. 2. A { } iz skupa A u singlton postoji tačno jedno preslikavanje. 3. A ukoliko je A prazan skup postoji jedno preslikavanje (što sledi iz prvog svojstva), inače preslikavanje ne postoji. 4. { } A ima onoliko preslikavanja koliko elemenata ima skup A. Posmatrajmo neki skup A i dvočlani skup 2 = {0,1}. Za proizvoljno X A definišimo preslikavanje κ X : A 2 na sledeći način: κ X (a) = { 0, kada a X 1, kada a X To preslikavanje zovemo karakteristična funkcija skupa X. Sa druge strane, svako preslikavanje f : A 2 zadaje neki podskup od A, naime {a A f(a) = 1}, čija je karakteristična funkcija preslikavanje f. Znači, pričati o podskupovima skupa A ili o preslikavanjima iz A u 2 je skoro ista stvar. To je jedno važno svojstvo skupa 2. Podskup skupa A povezujemo sa unarnom relacijom na A, tj. nekim svojstvom elemenata skupa A. Znači neko svojstvo elemenata skupa A možemo zadati preslikavanjem iz A u 2 kao u sledećem primeru. Primer 2.3.4. Kao i u prethodnom primeru domen preslikavanja je skup učenika koje merimo. Videli smo da se oni slikaju u skup koji sadrži njihove visine. Sada svaki od brojeva iz drugog skupa slikamo u skup {0, 1}, tako da se svi koji su viši od 180 slikaju u 1, a visoki 180 ili niži u 0. Ovde se lako uočava svojstvo,,viši od 180 i vidi se da se svi učenici koji su viši od 180 slikaju u 1 a ostali u 0.

18 ODELjAK 2. MONOIDI I KATEGORIJE Miloš 175 Nemanja 180 0 Jovan 192 1 Dalje, ukoliko imamo funkcije f : A B i g : B C, tj. takve funkcije da je kodomen prve isto što i domen druge, onda možemo da definišemo kompoziciju g f : A C, kao g f(a) = df g(f(a)). Za kompoziciju važi da je asocijativna, tj. važi h (g f) = (h g) f. Vežba 2.3.5. Proveriti asocijativnost kompozicija i primetiti da je provera crtežom ista kao u prethodnom odeljku 2.2. Za svaki skup postoji identično preslikavanje - identitet, koje slika skup u samog sebe 1 A : A A, za koje važi 1 A (a) = df a. 0. 0 1. 2. 1 2 Naravno, ovo preslikavanje ima neke interesantne osobine: 1. Za preslikavanje f : A B važi f 1 A = f. 2. Za preslikavanje g : C A važi 1 A g = g. Pažljivom čitaocu će možda struktura (f unkcije,, 1) ličiti na monoid. Med utim, dalja analiza pokazuje da proizvoljne funkcije f i g, ne možemo uvek nadovezivati i praviti kompozicije. U tome je razlika ova struktura je nastala,,eksplozijom struktura poput monoida Fun 3. 2.4. Definicija kategorije Stefan Kostić Kategorija je struktura koja se sastoji od: 1. objekata (u prethodnom odeljku su to bili konačni skupovi) koje označavamo sa A, B, C,...

2.4. Definicija kategorije 19 2. morfizama ili strelica (u prethodnom odeljku su to bile funkcije) koje označavamo sa f, g, h,... 3. svakom morfizmu je pridružen par objekata njegov domen i njegov kodomen (da f ima domen A a kodomen B označavamo sa f : A B); 4. za svaki objekat A postoji jedinični endomorfizam 1 A : A A; 5. kompozicija - za svaki par morfizama takvih da važi: f : A B g : B C data je njihova kompozicija: g f : A C. Da bi neka struktura bila kategorija, moraju biti zadovoljeni sledeći uslovi: 1. svojstvo neutrala - za morfizme: f : A B g : B C važi: f j A = f 1 C g = g odnosno, sledeći dijagrami komutiraju: A 1 B f A B f C g 1 C B C g 2. asocijativnost - za morfizme: f : A B g : B C h : C D važi h (g f) = (h g) f, što je predstavljeno sledećim dijagramom: h (g f) g f A f B g C h D h g (h g) f

20 ODELjAK 2. MONOIDI I KATEGORIJE 2.5. Neki primeri kategorija Tijana Živković Primer 2.5.1. Kategorija Set Fin 1. objekti su konačni skupovi koje označavamo sa A, B, C,... 2. morfizmi ili strelice su funkcije koje označavamo sa f, g, h,... 3. svaka funkcija ima svoj domen i kodomen (f ima domen A i kodomen B, što označavamo sa f : A B) 4. za svaki konačan skup A postoji identično preslikavanje (jedinični endomorfizam) 1 A : A A, definisano kao 1 A (a) = a, za svako a A 5. za svaki par morfizama takvih da važi: f : A B g : B C data je njihova kompozicija: definisana kao g f(a) = g(f(a)). g f : A C Primer 2.5.2. Proizvoljan monoid kao kategorija sa samo jednim objektom Posmatrajmo monoid (M,,e) i od njega napravimo sledeću kategoriju. 1. objekti : samo jedan objekat A; 2. morfizmi : svi elementi monoida M; 3. svaki morfizam ima A i za domen i za kodomen; 4. 1 A je e; 5. morfizmi (elementi od M) se komponuju tako što se pomnože, tj. b a = b a. Primer 2.5.3. Kategorija Vct R 1. objekti: konačnodimenzionalni vektorski prostori nad R; 2. morfizmi: linearna preslikavanja; 3. svako linearno preslikavanje ima svoj domen i kodomen; 4. identično preslikavanje jeste linearno;

2.5. Neki primeri kategorija 21 5. kompozicija linearnih preslikavanja je linearno preslikavanje. Primer 2.5.4. Kategorija ALG 1. objekti: tipovi podataka; 2. morfizmi: programi; 3. svaki program za ulazni podatak nekog tipa daje kao izlaz neki podatak istog ili nekog drugog tipa; 4. identični morfizam je program koji samo prihvati podatak i izbaci ga nepromenjenog; 5. kompozicija morfizma bi bilo nadovezivanje programa (drugi program uzima izlazni podatak prvog programa kao svoj ulazni podatak).

3. Izomorfizmi, retrakcije i sekcije 3.1. Izomorfizmi Marko Stanković Reč izomorfizam potiče od grčke reči ισoζ što znači,,jednak i reči µoρϕη što znači,,oblik. To je u slučaju algebarskih struktura preslikavanje koje kao i njegov inverz čuva datu strukturu. Neformalno, izmorfizam je vrsta morfizma med u objektima koji pokazuje da te objekte možemo smatrati istim do na preimenovanje koje on donosi. Ako postoji izomorfizam izmed u dve strukture, onda kažemo da su te strukture izomorfne. U slučaju kategorije Set Fin, u odred enom smislu, izomorfni skupovi su oni koji imaju isti broj elemenata i na nivou skupova (tj. ukoliko ne ulazimo u prirodu njihovih elemenata) možemo ih smatrati identičnim. Za početak ćemo dati nekoliko primera rešavanja jednačina u monoidima koji će nam ukazati na postojanje potrebe za,,inverzima kako bismo ih lakše rešili. Primer 3.1.1. Rešiti jednačinu 2 x = 4 u monoidima (N,,1) i (Q,,1). Rešenje jednačine 2 x = 4 u monoidu (N,,1), možemo na osnovu iskustava odmah reći jer to znamo. To je x = 2. Ovde, u ovom monoidu nemamo metod za rešavanje ovakvih jednačina jer u skupu prirodnih brojeva N nemamo inverzne elemenata u odnosu na množenje. U slučaju ovog monoida, osim pomenutog primera, imamo još dve mogućnosti koje možemo napomenuti, nevezano za dati primer, tj. za njegovo rešavanje: 1. Ako imamo jednačinu 0 x = 5, lako zaključujemo da ona nema rešenje, jer bilo koji broj da uzmemo umesto x i pomnožimo ga sa 0 nikad nećemo dobiti 5. 2. Ako imamo jednačinu 0 x = 0, lako zaključujemo da ona ima beskonačno mnogo rešenja, tj. jednačina je zadovoljena za bilo koje x. Med utim, ako rešavamo ovakve jednačine u monoidu (Q,,1), onda je to malo drugačije od prethodnog. Tu, za razliku od prethodne situacije, imamo metod za rešavanje jednačina. Suština je postojanje inverza (levog ili desnog u zavisnosti od potrebe) za ne-nula element od Q. U slučaju jednačine 2 x = 4, dovoljan nam je desni inverz broja 2 i to je 1 1 2, jer je 2 2 = 1. Rešenje jednačine će biti 1 2 4 = 2, zato što kada u jednačini 2 x = 4 promenljivu x zamenimo sa 1 2 4 dobijamo: leva strana = 2 ( 1 2 4) = (2 1 2 ) 4, zbog asocijativnosti = 1 4, zato što je 1 2 desni inverz od 2 23

24 ODELjAK 3. IZOMORFIZMI, RETRAKCIJE I SEKCIJE = 4, zato što je 1 neutral. = desna strana Sad se postavlja pitanje kako rešiti jednačinu x 2 = 4 u monoidu (Q,,1)? Pa to sad znamo, posto znamo levi inverz broja 2 (to je opet 1 2, zato što je 1 1 2 2 = 1). Pa na osnovu toga, znamo da će rešenje biti 4 2, što možemo direktno proveriti: leva strana = (4 1 2 ) 2 = 4 ( 1 2 2), zbog asocijativnosti = 4 1, zato što je 1 2 levi inverz od 2 = 4, zato što je 1 neutral. = desna strana Ako želimo da pokažemo jedinstvenost dobijenih rešenja dovoljno je primetiti da u primeru prve jednačine važi: 2 x = 4 1 2 (2 x) = 1 2 4 x = 1 2 4 = 2. Ovde smo se oslanjali na kongruentnost jednakosti, tj. ako a = b i c = d onda a c = b d, kao i na asocijativnost množenja i neutralnost jedinice. Dakle u slučaju prve jednačine mi smo pokazali 2 x = 4 x = 2. Zaključak je da kada rešavamo jednačinu množeći njenu levu i desnu stranu nekim brojem, taj broj mora da ima inverz, jer inace nećemo moći da se vratimo na početnu jenačinu. Recimo, jednačinu 2 x = 4 ne smemo množiti sa 0, jer ako je pomnožimo dobijamo 0 (2 x) = 0 4 (0 2) x = 0 0 x = 0, pa smo dobili jednačinu koja ima beskonačno mnogo rešenja i prema tome nije ekvivalentna polaznoj. Primer 3.1.2. Rešiti matrične jednačine: ( ) ( ) 1 2 3 0 1. X = 2. X 2 1 1 5 ( ) 1 2 = 2 1 ( ) 3 0 1 5 Rešenje: 1. Analogno prethodnom primeru, desni inverz matrice sa leve strane jednakosti nam garantuje postojanje rešenja ove jednačine. Desni inverz matrice ( 1 2 2 1 ) ( 1 3 je matrica 2 3 2 3 1 3 ) ( ) 1 2 2 1 zato što važi: ( 1 2 3 3 2 3 1 3 Sada znamo da je rešenje ove jednačine ( ) 1 2 3 3 X = 2 3 1 3 ) = ( ) 3 0 = 1 5 ( ) 1 0. 0 1 ( 1 10 3 3 5 3 5 3 )

3.1. Izomorfizmi 25 ( ) 1 2 zato što kada u jednačini X = ( ) 2 1 1 2 ( ) 3 3 3 0 proizvodom dobijamo 1 5 leva strana = 2 3 1 3 = ( ) 1 2 2 1 ( (1 ) 2 2 1 (( 1 ( 1 2 3 3 2 3 1 3 2 3 3 2 3 1 3 ) )) ( ) 3 0 1 5 ( ) ) 3 0 1 5 ( ) 3 0 1 5 ( ) ( ) 1 0 3 0 = 0 1 1 5 ( ) 3 0 = = desna strana 1 5 ( ) 1 2 3 3 Pošto je istovremeno i levi inverz matrice 2 3 1 3 promenljivu X zamenimo ( ) 1 2 2 1 dobijenog rešenja pokazujemo tako što jednačinu pomnožimo matricom sa leve strane., jedinstvenost ( 1 2 3 3 2 3 1 3 ) 2. Što se tiče jednačine X ( ) 1 2 = 2 1 ( ) 3 0, 1 5 levi inverz matrice sa leve strane jednakosti nam garantuje postojanje njenog rešenja. Može se pokazati da je ( ) ( ) 3 0 1 2 ( ) 3 3 1 2 X = = 1 5 3 1 2 3 1 3 jedinstveno rešenje ove jednačine. Treba primetiti da rešenja ove dve jednačine nisu ista. To je posledica nekomutativnosti množenja matrica. Vežba 3.1.3. Koji od sledećih uslova je dovoljan da jednačina a x = b ima rešenje u monoidu (M,,e): a) u M postoji levi inverz za a; b) u M postoji desni inverz za a. Uopštavajući rešavanje jednačina u monoidima dolazimo do sledeća dva tipa jednačina po nepoznatim morfizmima u i w u nekoj kategoriji: f w = h u f = g.

26 ODELjAK 3. IZOMORFIZMI, RETRAKCIJE I SEKCIJE O načinu njihovog rešavanja ćemo diskutovati kasnije, posle definicije izomorfizama. Definicija 3.1.4. Morfizam f : A B je izomorfizam kada postoji morfizam g : B A takav da je: 1. g f = 1 A, tj. g je levi inverz morfizma f i 2. f g = 1 B, tj. g je desni inverz morfizma f. Znači da je g obostrani inverz za f i kažemo da su objekti A i B izomorfni, što označavamo sa A = B. Primer 3.1.4a. Neka je skup S = {Jovan, Nenad, Dejan, Miloš} a skup C = {190,180,182,175}. Neka je v : S C funkcija koja svakom elementu skupa S (studenti) dodeljuje njegovu visinu iz skupa C (centimetri). Pri tome neka je Jovan visok 190, Nenad 180, Dejan 182 i Miloš 175 centimetara. Neka je u: C S funkcija zadata sa u(190) = Jovan, u(180) = Nenad, u(182) = Dejan i u(175) = Miloš. Zaključujemo da je u v = 1 S, a to je identitet na skupu S i v u = 1 C, identitet na skupu C. J N D M v 190 180 182 175 C S u Znači, u je obostrani inverz za v pa je v izomorfizam i skupovi S i C su izomorfni. Iz ovog primera se može naslutiti da su izomorfizmi u Set Fin bijekcije, tj. preslikavanja koja su 1-1 i na. Izomorfizam = Bijekcija Sada, kada ovo znamo možemo se vratiti rešavanju jednačina f w = h u f = g po nepoznatim morfizmima w i u u slučaju kada je f izomorfizam u datoj kategorji. To što f ima desni inverz garantuje postojanje rešenja prve jednačine i to što je desni inverz istovremeno i levi inverz za f garantuje jedinstvenost tog rešenja. Analogno postupamo i sa drugom jednačinom.

3.2. Problem odred enosti i izbora 27 Tvr-denje 3.1.5. Ako su g i h obostrani inverzi za f, onda je g = h. dokaz. Neka je f : A B, i neka su g,h : B A obostrani inverzi za f. To znači da je h f = 1 A, f h = 1 B, g f = 1 A, f g = 1 B. Odavde lako pokazujemo da je g = h: g = g 1 B = g (f h) = (g f) h = 1 A h = h. ZAKLJUCAK: Ako postoji obostrani inverz za f, on je jedinstven i nakon ovog tvrd enja ćemo obostrani inverz za f označavati sa f 1. Svojstvo 3.1.6. Ako je f : A B izomorfizam, onda važi zakon kancelacije: f h = f k h = k i h f = k f h = k. Treba napomenuti da tada f h = k f ne povlači h = k, zbog odsustva komutativnosti kompozicije. 3.2. Problem odred enosti i izbora Jelena Jankov Primer 3.2.1. Zamislimo pred sobom sledeći problem. U kategoriji Set Fin su nam date dve funkcije f : A B i g : A C. Da li postoji funkcija u: B C takva da sledeći dijagram komutira u Set Fin? B f A g u? C To jest, postoji li funkcija u takva da je g jednako kompoziciji u f? Ovo pitanje predstavlja problem odred enosti i uskoro ćemo objasniti zašto smo ga tako nazvali. Primer 3.2.2. Posmatrajmo sledeći,,unutrašnji dijagram zadat sa dve funkcije, t: S K i v: S C.

28 ODELjAK 3. IZOMORFIZMI, RETRAKCIJE I SEKCIJE S D N M S t K 88 65 80 v 191 182 180 181 175 C Zamislimo da je S skup koji čine četiri studenta, K skup mera u kilogramima a C skup mera u centimetrima. Znači Dejan, Nemanja, Marko i Stefan imaju redom težine 88, 65, 80, 80 kilograma i visine 182, 180, 181, 175 centimetara. Šta bi značilo gornje pitanje u ovoj situaciji: da li postoji funkcija u : K C takva da je v = u t? Naravno, takva funkcija u bi postojala kada bi visina u našoj situaciji bila odred ena težinom, što nije slučaj (Marko i Stefan imaju iste težine ali različite visine). Znači takvo u ne postoji. Ono što još možemo naslutiti iz ovog primera je da ukoliko bi t bila 1-1, onda bi rešenje postojalo. Primer 3.2.3. Neka je K skup kvadrata (recimo neke ravni) i neka je R skup realnih brojeva. Posmatrajmo dve funkcije, s: K R i p: K R koje svakom kvadratu dodeljuju dužinu njegove stranice odnosno njegovu površinu. R s u? Kvadrati P p R Da li postoji funkcija u: R R takva da je p = u s? Sada, pošto znamo da je površina kvadrata odred ena dužinom njegove stranice, odgovor će biti

3.2. Problem odred enosti i izbora 29 potvrdan. Mi tačno znamo kako mora da bude zadata funkcija u; formulom za površinu kvadrata preko dužine njegove stranice. Dakle, u(x) = x 2. Primetimo da ovde preslikavanje s nije 1-1 ali ipak rešenje problema odred enosti postoji. Neko će možda imati primedbu da je s, ako kvadrate posmatramo do na podudarnost, ipak 1-1 pa ćemo zato dati sledeći primer u kome je polazna funkcija daleko od svojstva 1-1. Primer 3.2.4. Neka je T skup trouglova (recimo neke ravni) i neka je R skup realnih brojeva a R 2 skup ured enih parova realnih brojeva. Posmatrajmo dve funkcije, funkciju f : T R 2, koja dodeljuje svakom trouglu par: dužina najduže stranice, odgovarajuća visina i funkciju p: T R koja svakom trouglu dodeljuje njegovu površinu. R 2 (a,h a ) f u? Trouglovi P R p Funkcija f je daleko od toga da je 1-1 (dva nepodudarna trougla mogu imati istu najveću stranicu i odgovarajuću visinu). Ipak, pošto je površina odred ena parom stranica-visina, problem odred enosti možemo rešiti i rešenje je funkcija u: R 2 R koja je zadata sa u(a,h a ) = 1 2 a h a. Nadamo se da je posle ovih primera jasno otkud ovakav naziv problemu odred enosti. Primer 3.2.5. Zamislimo sada problem dualan problemu odred enosti. U kategoriji Set Fin su nam date dve funkcije f : A B i h: C B. Da li postoji funkcija w: C A takva da sledeći dijagram komutira u Set Fin? C w? A f B h To jest, postoji li funkcija w takva da je h jednako kompoziciji f w? Ovo pitanje predstavlja problem izbora i uskoro ćemo objasniti zašto smo ga tako nazvali.

30 ODELjAK 3. IZOMORFIZMI, RETRAKCIJE I SEKCIJE Primer 3.2.6. Posmatrajmo sledeći,,unutrašnji dijagram zadat sa dve funkcije, t: A B i h: C B. A C w? 0 2 1 α β γ δ h t m n B Da li postoji preslikavanje w takvo da je h = t w? Počnimo da rešavamo ovaj problem. Pošto h slika 0 u n a pošto t slika i β i δ u n, možemo da izvršimo izbor i opredelimo se da li će w da slika 0 u β ili u δ. Recimo da smo izabrali da je w(0) = β. Slično treba da izaberemo da li će w da slika 1 u α ili γ i da li će w da slika 2 u α ili γ. Recimo da smo izabrali da bude w(1) = w(2) = γ i dobili smo rešenje ovog problema sa gornje slike. Iz ovog primera vidimo da će rešenje problema izbora postojati uvek kad funkcija t, kao u ovom primeru, pokriva skup slika funkcije h, što je uvek slučaj ako je funkcija t na ali to nije neophodno. Znači problem nastaje kada se pojavi element skupa B koji jeste slika nekog elementa iz C pomoću funkcije h ali nije slika nijednog elementa iz A pomoću funkcije t, tj. nemamo mogućnost izbora. Sada ćemo problem odred enosti i izbora prikazati u nekim posebnim situacijama. Definicija 3.2.7. Morfizam f : A B ima retrakciju (levi inverz) kada postoji morfizam r : B A takav da je r f = 1 A. B f A 1 A r? A Problem postojanja retrakcije i problem odred enosti su srodni o čemu govori i sledeće tvrd enje. Tvr-denje 3.2.8. Ako f ima retrakciju, onda jednačina u f = g ima rešenje po u. dokaz. Neka je r: B A retrakcija za f : A B. Pokazaćemo da je u = g r rešenje gornje jednačine.

3.3. Monomorfizmi, epimorfizmi, i razna tvrd enja 31 (g r) f = g (r f), asocijativnost = g 1 A = g, r je retrakt za f i neutralnost. Definicija 3.2.9. Morfizam f : A B ima sekciju (desni inverz) kada postoji morfizam s: B A takav da je f s = 1 B. B s? A f C 1 B Problem postojanja sekcije i problem izbora su srodni o čemu govori i sledeće tvrd enje. Tvr-denje 3.2.10. Ako f ima sekciju, onda jednačina f w = h ima rešenje po w. Vežba 3.2.11. Dokazati tvrd enje 3.2.10. Tvr-denje 3.2.12. Ako f ima retrakciju i sekciju, onda su one jednake i f je izomorfizam. dokaz. Neka je r,s: B A, redom, retrakcija i sekcija za f : A B. Tada važi: r = r 1 B = r (f s) = (r f) s = 1 A s = s. Pošto morfizam f ima obostrani inverz (r = s) to je po definiciji on izomorfizam. 3.3. Monomorfizmi, epimorfizmi i razna tvrd enja Tijana Kostić U ovom poglavlju ćemo govoriti o nekim posebnim morfizmima (videti 2.4) u nekim kategorijama. Definisaćemo pojmove kao što su monomorfizam i endomorfizam. Definicija 3.3.1. Morfizam f : A B je monomorfizam (skraćeno mono) kada za sve g,h : C A važi: ako f g = f h onda g = h. Ovo se svodi na problem kancelacije (videti rešavanje jednačina u monoidima u 3.1. Ako je f mono onda je on kancelabilan (skrativ) sleva. To skraćivanje se nekad može obaviti pomoću svedoka (levog inverza odnosno retrakcije za f) a

32 ODELjAK 3. IZOMORFIZMI, RETRAKCIJE I SEKCIJE nekad bez svedoka, kad retrakcija za f ne postoji u datoj kategoriji. Pokazaćemo ovo na primeru monoida. Primer 3.3.2. Dat je monoid sa (N,+,0) i jednakost 2 + x = 2 + y. Odavde možemo da zaključimo da je x = y pri čemu ne postoji inverz od 2 kojim bismo dobili neutral za sabiranje sa obe strane jednakosti, ali i dalje važi zakon kancelacije. Primer 3.3.3. Ako posmatramo monoid Fun 3 iz 2.2 i elemente zadate sa m k l lako se proveri da su m k i m l jednaki sledećem dijagramu pa iz jednakosti m k = m l neće slediti da je k = l, odnosno ne važi zakon kancelacije sleva. Sledeće tvrd enje koje se lako dokazuje povezuje pojmove retrakcije i monomorfizma. Teorema 3.3.4. Ako f ima retrakciju onda je f monomorfizam. Obrnuta implikacija ne mora da važi. Kontraprimer je monoid (N,+,0) iz primera 3.3.2 koji posmatramo kao kategoriju sa jednim objektom u kome je 2 morfizam koji jeste mono (kancelabilan je sleva) ali nema retrakciju (levi inverz). Definicija 3.3.5. Morfizam f : A B je epimorfizam (skraćeno epi) kada za sve g,h : B C važi: ako g f = h f onda g = h. To znači da f smemo da kanceliramo zdesna. Lako se pokazuje da važi sledeće tvrd enje.

3.3. Monomorfizmi, epimorfizmi, i razna tvrd enja 33 Teorema 3.3.6. Ako f ima sekciju onda je f epimorfizam. Kao i malopre, obrat ne mora da važi. Teorema 3.3.7. Neka su A i B konačni skupovi i A. Tada su za funkciju f : A B sledeća tvrd enja ekvivalenta: 1. f je 1 1; 2. f ima retrakciju u Set Fin ; 3. f je monomorfizam u Set Fin. dokaz. (1) Prvo ćemo pokazati da 1 2. Neka je f : A B, 1-1. Pošto je A, možemo izabrati jedan element iz A, koji ćemo označiti sa. Definišimo funkciju r : B A na sledeći način: {, kada ne postoji a A takvo da je f(a) = b, r(b) = a, za jedinstveno a A takvo da je f(a) = b. Da li ovako definisano r jeste funkcija? Za svaki element iz B smo odredili jedinstven element iz A u koji se slika. Za svaki element iz B znamo da li je potekao od nekog elementa iz A ili nije. Ako je potekao od nekog elementa,,vraćamo ga nazad u taj element a ako nije, slikamo ga u. Odavde se lako vidi da je funkcija r levi inverz od funkcije f, odnosno funkcija f ima retrakciju. 2) Implikacija 2 3 je posledica teoreme 3.3.4. 3) Implikaciju 3 1 ćemo dokazati kontrapozicijom. Pretpostavimo da funkcija f nije 1-1, odnosno a 1,a 2 A a 1 a 2 & f(a 1 ) = f(a 2 ) = b, b B. Treba da pokažemo da f nije kancelabilna sleva. Neka je C = {0}. Definišimo funkcije g,h : C A na sledeći način g(0) = a 1, h(0) = a 2 g 0 h 3a 1 a 2