EKSTREMALNA KOMBINATORIKA - PDF Free Download

EKSTREMALNA KOMBINATORIKA A. Aglić Aljiović FER, diplomsi studij, 2012./2013.

Sadrµzaj Uvod Osovi pojmovi ii vi 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 1 1.1. Prebrojavaje............................... 1 1.1.1. Biomi teorem, dvostruo prebrojavaje............ 1 1.1.2. Multiomi teorem........................ 10 1.1.3. Rasporedi idetiµcih objeata u utije oje razliujemo.... 11 1.1.4. Particije supa, Stirligovi brojevi druge vrste......... 13 1.1.5. Surjecije............................. 15 1.1.6. Particije broja........................... 16 i

Uvod Kombiatoria je graa matematie oja se općeito bavi prouµcavajem oaµcih ili prebrojivo besoaµcih disretih strutura. Oviso o aspetu prouµcavaja postoje broje podgrae ombiatorie: -eumerativa ombiatoria je ajlasiµcija graa ombiatorie oja se bavi prebrojavajem odoso alaµzejem ardialog broja oaµcih supova; -teorija grafova prouµcava grafove, jede od osovih objeata u ombiatorici; -algebarsa ombiatoria oristi metode apstrate algebre (teoriju grupa i teoriju reprezetacija) u ombiatorici, ali i obrato, primjejuje ombiatore tehie za algebarse probleme; -ombiatoria a rijeµcima bavi se formalim jezicima; -teorija dizaja se bavi ostrucijom i aalizom tzv. blo dizaja oji su familije podsupova µciji presjeci zadovoljavaju odre ea svojstva; vaµza podgraa teorije dizaja je teorija odova; -aalitiµca ombiatoria se bavi prebrojavajem ombiatorih strutura, ali orištejem alata omplese aalize i teorije vjerojatosti; -geometrijsa ombiatoria prouµcava ovesu i disretu geometiju, aroµcito poliedarsu geometiju; -teorija matroida se bavi ostrucijom i aalizom supova vetora u vetorsim prostorima s apstratim svojstvima lieare zavisosti; -vjerojatosa ombiatoria se bavi vjerojatošću sluµcajih disretih objeata, primjerice sluµcajih grafova; -topološa ombiatoria ombiatorim aalogoima topološih metoda prouµcava ee probleme u ombiatorici (bojaje grafova, particije, parcijalo ure- ee supove, biara stabla, disretu Morseovu teoriju i dr.); -aritmetiµca ombiatoria povezuje ombiatoriu s teorijom brojeva, ergodsom teorijom i harmoijsom aalizom; -teorija ure aja prouµcava oaµce i besoaµce parcijalo ure ee supove; -teorija particija prouµcava razliµcite probleme prebrojavaja i asimptotie cjelobrojih particija; -ombiatora optimizacija se bavi proalaµzejem optimalog broja oaµcog supa objeata s daim svojstvom; -estremala ombiatoria se bavi proalaµzejem estremalog (ajvećeg ili ajmajeg) broja oaµcog supa objeata s daim svojstvom; -ombiatora teorija supova se bavi poopćavajem pojmova ombiatorie a besoaµce supove i dio je teorije supova (podruµcja matematiµce logie) oji oristi alate i ideje e samo teorije supova već i estremale ombiatorie. ii

UVOD iii Estremala ombiatoria ao graa ombiatorie u posljedjih eolio desetljeća doµzivljava vrlo iteziva razvoj, moµzda upravo zbog primjea u teorijsom raµcuarstvu, u aalizi sloµzeosti algoritama. Naziv "estremala" govori o prirodi problema ojim se bavi: olio velia ili olio mala oaµca supia objeata moµze biti ao mora ispujavati ea svojstva, odoso restricije. Ti objeti primjerice mogu biti brojevi, supovi, grafovi, vetori i sl. Ovdje avodimo eolio lasiµcih tavih problema: problemi 1 i 2 i 3 su iz estremale teorije grafova, problemi 4 i 5 iz estremale teorije supova, problemi 6, 7 i 8 su primjea vjerojatose metode, metode lieare algebre i Dirichletovog aµcela u teoriji brojeva, problem 9 iz teorije sloµzeosti. Problem 1. Kolio ljudi moµzemo pozvati a zabavu ao µzelimo da me u bilo oje troje od jih postoje dvoje oji se pozaju i dvoje oji se e pozaju? Odgovor: Argumetom Ramseyevog tipa lao se poaµze da ajviše 5 ljudi moµze biti a ovavoj zabavi. Odoso, me u 6 ljudi uvije postoji troje oji se svi me usobo pozaju ili se me usobo e pozaju. Problem 2. Kolio ajviše moµze biti pozastava u gradu s staova, ao zamo da me u svaih staovia su barem dva oji se e pozaju. Odgovor: Za = 3 odgovor je "ajviše b 2 =4c pozastava" i doazao ga je Matel 1907. godie. Primjetimo da je taj broj blizu pola uupog broja pozastava ( 1) =2. Za proizvolja odgovor je dao Turá 1941. godie "ajviše j 1 1 1 2 2 pozastava" i taj rezultat je bio zaµceta estremale teorije grafova. Problem 3. Kolio staovia mora imati grad da bi bili siguri da u jemu uvije postoji staovia oji se svi me usobo pozaju ili svi me usobo e pozaju? Odgovor: Ramseyev teorem tvrdi da u gradu s 4 staovia uvije postoji staovia oji se svi me usobo pozaju ili svi me usobo e pozaju. S druge strae, oristeći vjerojatosu metodu ma arsi matematiµcar Paul Erd½os je doazao da u gradu s ajviše 2 =2 staovia postoji raspored me usobih pozastava taav da emamo staovia oji se svi me usobo pozaju ili svi me usobo e pozaju. Koristeći metodu lieare algebre, Fral i Wilso su ostruirali ovaav raspored za grad s ajviše log staovia. Problem 4. U gradu s staovia imamo izvjesa broj lubova. Svai staovi moµze biti µcla eolio lubova ili ijedog od jih. Ao ijeda lub e sadrµzi sve µclaove eog drugog luba, oji je masimala broj lubova u tom gradu? Odgovor: Odgovor a ovo pitaje daje Spererov teorem, u gradu s staovia ajviše moµze biti b=2c lubova tavih da ijeda lub e sadrµzi sve µclaove eog drugog luba. Problem 5. Familiju lubova zovemo sucoret ao je svai staovi (oji je u barem jedom lubu) ili µcla svih lubova ili samo jedog luba. Ao svai lub ima s µclaova, olio lubova moramo imati da bi eih lubova tvorili sucoret? Odgovor: Erd½os-Radova sucoretova lema tvrdi ao imamo barem s! ( 1) s lubova, eih lubova će tvoriti sucoret.

UVOD iv Problem 6. Kolio µclaova moµze imati podsup uaprijed zadaog supa cijelih brojeva razliµcitih od ule, uz uvjet da suma bilo oja dva elemeta iz tog podsupa ije u tom podsupu (egl. sum-free subset)? Odgovor: Ispostavlja se da eoviso o poµcetom supu, uvije moµzemo proaći ovaav podsup s barem trećiom elemeata poµcetog supa! Ovaj rezultat doazao je Erd½os 1965. godie oristeći vjerojatosu metodu. Problem 7. Za zadai 2 N, olio dug mora biti iz a 1 ; a 2 ; : : : ; a da bi bili siguri da sadrµzi podiz µcija je suma djeljiva s? Odgovor: Uzmemo li iz od 1 uzastopih ula i 1 uzastopih jediica 0 {z 0} 1 {z 1} ao otraprimjer, jaso je da taav iz mora imati barem 2 1 1 1 elemeata. Da zaista svai iz s 2 1 elemeata ima podiz µcija je suma djeljiva s ; oristeći metodu lieare algebre doazali su Erd½os, Gizburg i Ziv 1961. godie. Problem 8. Kolio dug mora biti iz realih brojeva da bi bili siguri da sadrµzi rastući podiz duljie s + 1 ili padajući podiz duljie r + 1? Odgovor: Svai iz realih brojeva s barem sr + 1 µclaova ima ovo svojstvo. To su prvi doazali Erd½os i Szeeres 1935. godie oristeći Dirichletovo aµcelo. Problem 9. Zada je sup od m biarih vetora. Za olio jihovih oordiata (bitova) moramo zati vrijedosti da bi mogli ih mogli sve me usobo razliovati? Odgovor: U prosjeu je dovoljo zati vrijedosti p m oordiata i postoje supovi za oje se ova graica e moµze poboljšati. Sljedeći iz primjera lijepo ilustrira ao se s malim varijacijama od vrlo jedostavih problema dolazi do vrlo teših: Primjer A. Nea je X = f1; 2; : : : ; g. Kolio ajviše µclaova moµze imati familija F podsupova za oju vrijedi da bilo oja dva podsupa iz te familije imaju eprazi presje? (Ovava familija se zove presijecajuća familija.) Odgovor: Najveći mogući broj µclaova presjecajuće familije je 2 1. Moµzemo je dobiti uzimajem svih podsupova od X oji sadrµze elemet 1. Više od 2 1 ih e moµzemo aći jer za bilo oji podsup i jegovog omplemet vrijedi da e mogu oba istovremeo biti u presjecajućoj familiji. Primjer B. Kolio ajviše µclaova moµze imati familija podsupova F za oju vrijedi da za bilo oja dva podsupa iz te familije jihova uija ije jedaa X = f1; 2; : : : ; g? Odgovor: Najveći mogući broj µclaova ovave familije F je opet 2 1. Moµzemo je dobiti uzimajem svih omplemeata podsupova od X iz prethodog primjera (oji sadrµze elemet 1), dale podsupova oji e sadrµze elemet 1. Primjer C. Kolio ajviše µclaova moµze imati familija F podsupova za oju vrijedi da bilo oja dva podsupa iz te familije imaju eprazi presje i uiju razliµcitu od X? Odgovor: Jeda primjer familije oja zadovoljava avedei uvjet je familija svih podsupova oji sadrµze elemet 1 i e sadrµze elemet 2. Oa ima 2 2 elemeata (podsupova). Me utim doaz da je ovo zaista i masimala familija s traµzeim svojstvom je daleo teµzi ego u prethoda dva primjera. Nao što je Paul Erd½os

UVOD v postavio ovaj problem prošlo je eolio godia do Kleitma ije doazao da e postoji familija s ovim svojstvom, a s većim brojem elemeata od 2 2. Primjer D. (Erd½os-Sos hipoteza) Nea je F familija grafova sa supom vrhova V = f1; 2; : : : ; g za oju vrijedi da bilo oja dva grafa iz familije imaju zajediµci trout (cilus duljie 3). Kolio ajviše elemeata (grafova) ova familija moµze imati? Odgovor: Uupa broj grafova s vrhova je 2 ( 2). Jedostava primjer familije s traµzeim svojstvom µcie svi grafovi oji sadrµze primjerice trout s vrhovima 1, 2, 3, tj. bridove f1; 2g, f2; 3g, f1; 3g. Ova familija ima toµco 2 ( 2) 3 elemeta, odoso 1=8 svih grafova. No, postoji li veća familija s ovim svojstvom? Paul Erd½os i Vera Sos su postavili hipotezu: e postoji veća familija s ovim svojstvom. Ova hipoteza je i daas otvorea. I za raj, jeda problem estremale prirode, postavlje 1974. godie ada je Er½o Rubi izumio Rubiovu 3 3 3 ocu, a riješe te edavo: Problem 10. U olio ajviše poteza se moµze riješiti bilo oja od (8! 12! 3 8 2 12 ) : 12 4:3 10 19 ombiacija Rubiove oce? Odgovor: Svaa ombiacija Rubiove oce rješiva je u ajviše 20 poteza! Ovaj problem su u srpju 2010. godie riješili aliforijsi programer Tomas Roici, jemaµci matematiµcar Herbert Kociemba, ameriµci matematiµcar Morley Davidso i Googleov iµzejer Joh Dethridge (više a http://www.cube20.org/).

Osovi pojmovi Za praćeje ovog predmeta pretpostavlja se zaje samo osovih, ovdje avedeih, pojmova iz 2. cilusa (Uvod u disretu matematiu) i 3. cilusa (Uvod u teoriju grafova) predmeta MAT3R, ao i predmeta VJEROJATNOST I STATISTIKA. Nei drugi pojmovi ili rezultati iz MAT3R i VIS biti će aado izloµzei u gradivu ovog predmeta. Urato, osovi ombiatoriµci pojmovi (s jihovim tipom i brojem) avedei su u sljedećoj tablici: PERMUTACIJE razliµcitih objeata! (poreda bita) a i objeata tipa i, = P i=1 a i VARIJACIJE razliµcitih objeata, duljie, bez poavljaja (poreda bita) razliµcitih objeata, duljie, s poavljajem KOMBINACIJE (poreda ije bita) -podsupovi -µclaog supa, bez poavljaja -podsupovi -µclaog supa, s poavljajem a 1 ;a 2 ;:::;a + 1 gdje je = ( 1) ( 2) ( + 1) ; =! ;! = a 1 ; a 2 ; : : : ; a a 1!a 2! a! : Osovi pojmovi teorije grafova: Graf (jedostavi graf) sastoji se od eprazog oaµcog supa V (G), µcije elemete zovemo vrhovi, i supa E (G) razliµcitih dvoµclaih podsupova supa vrhova oje zovemo bridovi. Za brid e = fu; vg aµzemo da spaja vrhove u i v, odoso da su vrhovi u i v susjedi, a vrh v (ili u) icideta s bridom e. Stupaj vrha v je broj bridova oji su icideti s vrhom v, ozaµcavamo ga s d (v). vi

OSNOVNI POJMOVI vii Šetja u grafu G je oaµca slijed bridova u ojem svaa dva uzastopa brida imaju zajediµci vrh ili su jedai. Staza u grafu G je šetja u ojoj su svi bridovi razliµciti. Put u grafu je šetja u ojoj su svi vrhovi (pa oda i bridovi) razliµciti. Cilus je zatvorei put (poµceti i raji vrh su jedai) oji sadrµzi barem jeda brid. Cilus od oji se sastoji od samo jedog brida zovemo petlja, od dva je dvostrui brid izme u dva vrha, o i jedi i i drugi isu mogući od jedostavih grafova. Kompoeta povezaosti grafa je sup jegovih vrhova sa svojstvom da postoji put izme u bilo oja dva vrha iz tog supa. Graf je poveza uolio se sastoji od samo jede ompoeete povezaosti. Šuma je graf bez cilusa. Stablo je povezai graf bez cilusa. Kompoete povezaosti šume su stabla.

Poglavlje 1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 1.1. Prebrojavaje Prebrojavaje je ajstariji alat u ombiatorici. Biomi, multiomi teorem i ei drugi idetiteti vezai za biome oe cijete, ovdje eće biti doazai matematiµcom iducijom ili algebarsi, već mogo ljepše (iao e uvije i jedostavije): ombiatoro. U ombiatorim doazima "dvostruim prebrojavajem" poazujemo da se obje strae jedaosti mogu dobiti prebrojavajem iste vrste objeata, ali a dva razliµcita aµcia. 1.1.1. Biomi teorem, dvostruo prebrojavaje Broj -µclaih podsupova -µclaog supa ozaµcavamo s i azivamo biomi oe cijet. Sljedeći teorem doazao je Sir Isac Newto oo 1666. godie: Teorem 1.1. (Biomi teorem) Za sve 2 N [ f0g vrijedi X (x + y) = x y : =0 Doaz. Moµzeći izraz (x + y) (x + y) (x + y) µcla x y moµzemo dobiti a jedao aµcia a olio moµzemo odabrati toµco od zagrada iz ojih ćemo "uzeti" x-eve, a iz preostalih "uzimamo" y-e. Dale a aµcia. De icija 1.1. Za 2 N, -ta padajuća potecija od de ira se s := ( 1) ( 2) ( + 1) : Ovaj broj jeda je broju varijacija bez poavljaja supa od elemeata -tog razreda, odoso broju poredaih -teraca (x 1 ; x 2 ; : : : ; x ) gdje su x 1 ; x 2 ; : : : ; x razliµciti elemeti eog -µclaog supa. Sliµco, -ta rastuća potecija od de ira se s := ( + 1) ( + 2) ( + 1) : 1

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 2 Propozicija 1.1. Vrijedi =! ( 1) ( 2) ( + 1) = : (1.1)! Doaz. Kao je jeda je broju poredaih -teraca (x 1 ; x 2 ; : : : ; x ) gdje su x 1 ; x 2 ; : : : ; x razliµciti elemeti eog -µclaog supa, a jih moµzemo dobiti i tao da izaberemo -µclai podsup fx 1 ; x 2 ; : : : ; x g iz -µclaog supa, a zatim te elemete poredamo (permutiramo) a sve moguće aµcie. Ovo posljedje moµze se apraviti a! aµcia, pa slijedi =!. Svojstvo simetrije biomih oe cijeata jedostavije i ljepše se doazuje ombiatoro ego algebarsi: svai podsup jedistveo je odre e svojim omplemetom i stoga odmah slijedi = : Sliµco, svojstvo Pasclovog trouta = 1 + 1 1 dobijemo ao prebrojimo -µclae podsupove -µclaog supa a aµci da prvo prebrojimo sve podsupove oji sadrµze ei si elemet (primjerice, ao imamo sup f1; 2; : : : ; g), a zatim i oe oji ga e sadrµze. Podsupova oji ga sadrµze ima 1 1, a oih oji ga e sadrµze ima 1. Evo prvih osam redova Pascalovog trouta (od ultog do sedmog reda): 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Teorem 1.2. Za 2 N vrijedi X =0 = 2 ; tj. zbroj µclaova -tog reta Pascalovog trouta jeda je 2.

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 3 Doaz. Na lijevoj strai jedaosti prebrojavamo posebo sve 0-µclae, jedoµclae, dvoµclae,..., -µclae podsupove -µclaog supa, do je a desoj strai uupa broj svih podsupova -µclaog supa (sup svih biarih izova duljie i sup svih podsupova -µclaog supa bijetivo orespodiraju). Na drugi aµci, jedaost moµzemo dobiti iz biomog teorema ao uvrstimo x = 1 i y = 1. Teorem 1.3. Za 2 N vrijedi X ( 1) = 0; =0 tj. alterirajuća suma svih biomih oe cijeata s asim 2 N je jedaa uli. Doaz. Primijeimo biomi teorem za x = 1 i y = 1. Sljedeći teorem govori o jošjedom zaimljivom svojstvu Pascalovog trouta, o zbroju eolio uzastopih "dijagoalih" elemeata poµcevši od prvog (ili posljedjeg) elemeta u -tom retu. Teorem 1.4. Za ; 2 N vrijedi + 1 + 2 + + + + = + 1 : + 1 Doaz. Na desoj strai jedaosti oµcito imamo broj ( + 1)-µclaih podsupova ( + 1)-µclaog supa. Lijeva straa jedaosti prebrojava isto, ali u odosu a ajveći elemet u podsupu. Precizije, ( + 1)-µclaih podsupova s ajvećim elemetom + 1 imamo toµco, ( + 1)-µclaih podsupova s ajvećim elemetom + 2 imamo toµco +1,...,( + 1)-µclaih podsupova s ajvećim elemetom + 1 imamo toµco. Isljuµcivo zbog ljepote ombiatorih doaza avodimo i sljedeća dva teorema o svojstvima biomih oe cijeata. Teorem 1.5. Za 2 N vrijedi X = 2 1 : =0 Doaz. Obje strae jedaosti jedae su broju aµcia da izme u ljudi izaberemo delegaciju, a zatim iz delegacije izaberemo predsjedia. Na lijevoj strai posebo prebrojavamo sve delegacije s toµco µclaova, ima ih, a zatim u svaoj još moµzemo izabrati i predsjedia a aµcia. Na desoj strai, predsjedia moµzemo izabrati a aµcia, a zatim i ostata delegacije a 2 1 aµcia, jer za svaog od preostalih 1 ljudi postoje dvije mogućosti: ili je ili ije u delegaciji. Rijeµciom

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 4 supova, ombiatori doaz smo dobili prebrojavajem svih parova (x; M) gdje je M f1; 2; 3; : : : ; g i x 2 M. Drugi (alebarsi) doaz ovog teorema dobijemo primjeom biomog teorema za y = 1: X (x + 1) = x =0 zatim derivirajem obje strae jedaosti po x i oaµco uvrštavajem x = 1. (x + 1) 1 = X x 1 Teorem 1.6. (Vadermodova ovolucija) Za ; m; 2 N vrijedi + m = X i=0 =0 m : i i Doaz. Na lijevoj strai jedaosti je broj -µclaih podsupova ( + m)-µclaog supa f1; 2; 3; : : : ; + mg. Na desoj prebrojavamo to isto, ali u odosu a to olio je elemeata iz supa f1; 2; 3; : : : ; g, a olio iz ostata f + 1; + 2; : : : ; + mg. Broj elemeata iz f1; 2; 3; : : : ; g ozaµce je s i i varira od 0 do. Sljedeći teorem govori o svojstvu uimodalosti iza biomih oe cijeata, = 0; : : : ;, oje se lao "vidi" iz -tog reta Pascalovog trouta. Za oaµca iz aµzemo da je uimodala ao je do eog µclaa rasući, a ao tog µclaa padajući. Teorem 1.7. Za 2 N i 2 N [ f0g taav da je 1 2 ( : + 1 1) vrijedi Jedaost vrijedi jedio ao je = 2 + 1. Doaz. Teorem doazujemo algebarsi. Ova ejedaost se svodi a!! ( )!! ( + 1)! ( 1)! ; pa dijeleći je s! i moµzeći s! ( 1)! dobijemo 1 1 + 1 što je evivaleto s 2 + 1, odoso 1 2 ( 1) i teorem je doaza.

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 5 Korolar 1.1. Za 2 N i 2 N [ f0g taav da je 1 ( 2 : + 1 1) vrijedi Jedaost vrijedi jedio ao je = 2 + 1. Doaz. Doaz slijedi iz tvrdje prethodog teorema i svojstva simetrije biomih oe cijeata. Primjedba 1.1. * Kombiatori doaz uimodalosti iza biomih oe cijeata: Nea je < =2 i pogledajmo sve disrete šetje po cjelobrojoj oordiatoj mreµzi iz toµce (0; 0) u toµcu (; ) tave da je dozvoljeo samo pomicaje za jeda u deso ili gore. Tavih šetji ima, olio i aµcia da od uupo pomicaja izaberemo jih za pomicaje u deso, jer ostalih pomicaja prema gore su s time tao er odre ea. Kostruirajmo ijeciju sa supa svih šetji iz O = (0; 0) do A = (; ) u sup šetji iz O = (0; 0) do B = ( + 1; 1) a sljedeći aµci (vidi sliu 1.1): Kostrucija ijecije f ozaµcimo sa L toµcu presjea šetje iz O do A sa simetralom duµzie AB. Ao tavih presjea ima više, sa L ozaµcimo presje ajbliµzi toµci A. Kao je < =2, presje siguro postoji. Simetriµco presliajmo p dio šetje od L do A s obzirom a simetralu duµzie AB. Dobijemo šetju p 0 od L do B oja zajedo sa t starim dijelom šetje od O do L daje ovu šetju t [ p 0 od O do B. Ovavo presliavaje f (t [ p) = t [ p 0 je oµcito ijecija, pa ao šetji iz O do A ima, a šetji iz O do B ima +1 doazali smo da je +1. Nadalje, zbog simetrije biomih oe cijeata direto slijedi > =2. +1 za Zadata 1.1. Algebarsi ili ombiatoro doaµzite da za 2 N vrijedi X 2 = 3 : =0

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 6 Ideja: algebarsi doaz iz biomog teorema za x = 1, y = 2. Za ombiatori doaz promatrajte sve terare izove (od 0; 1; 2) duljie. Zadata 1.2. Doaµzite da za 2 N vrijedi X ( 1) = ( 1) 2 2 =0 a) algebarsi, b) ombiatoro. Koristeći ovaj rezultat poušajte izraµcuati µcemu je jedao X m : =m Rješeje: P =m m = 2 m m. Algebarsi doaz dobijemo iz biomog teorema za y = 1, derivirajući m puta po varijabli x. Kombiatori doaz dobijemo ada poaµzemo da su lijeva i desa straa jedaosti jedae broju aµcia da izme u ljudi izaberemo delegaciju, a zatim iz delegacije izaberemo m µclaova delegacije od ojih svai ima svoju istautu fuciju. Primjerice, u sluµcaju m = 2 a poµcetu zadata, izme u ljudi izaberemo delegaciju, a zatim iz delegacije predsjedia i podpresjedia. Zadata 1.3. Kombiatoro doaµzite idetitet = 1 : 1 Ideja: prebrojite parove (x; M) gdje je jmj =, M f1; 2; 3; : : : ; g i x 2 M. Zadata 1.4. Doaµzite ombiatoro ejedaost 2 < 4 : 2 Rješeje: je broj -µclaih podsupova 2-µclaog supa, a 4 = 2 2 je broj svih podsupova 2-µclaog supa. Zadata 1.5. Poaµzite da je broj parova (A; B) gdje su A i B razliµciti podsupovi od f1; 2; 3; : : : ; g i A B jeda 3 2. Rješeje: Ao je jaj =, 2 f1; 2; : : : ; 1g elemete od A moµzemo izabrati a aµcia, svai od preostalih elemeata ili je, ili ije u B (moramo samo isljuµciti mogućost da su svi va B zbog A B). Zato imamo X 1 =0 2 1 = X =0 2 X =0 = 3 2 : Ili direto, svai elemet moµze biti ili u A ili u B A ili u f1; 2; 3; : : : ; g B, za elemeata to je 3 mogućosti. Od jih moramo jedio izuzeti sluµcajeve ada je A = B, a tavih ima 2.

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 7 Zadata 1.6. Nea su ; ; l 2 N tavi da je l. Doaµzite ombiatoro idetitet l X a) = b) = 2 l : l l l l l Ideja: a) prebrojite a dva aµcia sve parove (L; K) podsupova od f1; 2; 3; : : : ; g, tave da vrijedi L K, jlj = l, jkj =. b) prebrojite a dva aµcia sve parove (L; K) podsupova od f1; 2; 3; : : : ; g, tave da vrijedi L K, jlj = l (bez uvjeta a ardialost podsupa K). Zadata 1.7. Nea su ; m; 2 N tavi da je + m. Doaµzite ombiatoro idetitet m = : m m Ideja: prebrojite a dva aµcia sve parove (M; K) podsupova od f1; 2; 3; : : : ; g, tave da vrijedi M \ K = ;, M [ K f1; 2; 3; : : : ; g, jmj = m, jkj =. Zadata 1.8. Poaµzite da je X =0 2 = =l 2 a) oristeći biomi teorem za (1 + x) 2, b) ombiatoro. Ideja: a) usporedite oe cijete uz x u biomom razvoju od (1 + x) 2 i (1 + x) (1 + x), b) od -µclaih podsupova supa f1; 2; 3; : : : ; 2g prebrojite olio je elemeata majih ili jedaih od, a olio većih od. Zadata 1.9. Kombiatoro doaµzite idetitet = + ( ) + : 2 2 2 Ideja: 2 je broj bridova u potpuom grafu s vrhova. Razdvojite sup vrhova a dva podsupa od i vrhova. Zadata 1.10. Doaµzite aalogo biomog teorema za padajuće potecije X (x + y) = x y =0 Rješeje: Matematiµcom iducijom po. Baza: za = 1 imamo x + y = x + y. Pretpostavimo da tvrdja vrijedi za 2 N i provjerimo ora iducije: X (x + y) +1 = (x + y) (x + y ) = x y ((x ) + (y ( ))) =0 X X X+1 X = x +1 y + x y +1 = x y +1 + x y +1 1 =0 =0 =1 =0 X X+1 + 1 = x +1 + + x y +1 + y +1 = x y +1 : 1 =1 =0

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 8 Biomi oe cijeti za "velie" i * Za "velie" i biome oe cijete je tešo raµcuati. Umjesto toµce vrijedosti u primjeama je dovoljo zati jihovu brziu rasta. Tave procjee mogu se dobiti pomoću Taylorovog razvoja espoecijale fucije e t = 1 + t + t2 2! + t3 3! + t4 4! + Zato vrijedi ejedaost, oju ćemo µcesto oristiti: 1 + t < e t za sve t 2 R f0g. Propozicija 1.2. Nea su, 2 N [ f0g taavi da je <. Tada vrijedi ocjea e : Doaz. Za doju ogradu imamo: = 1 1 2 2 + 1 1 Za gorju ogradu je: (e) t > (1 + t) = Supstitucijom t = = dobivamo e > X i=0 t i > i : t : Precizija asimptotsa ocjea moµze se dobiti Stirligovom formulom: p! = 2e ; e gdje je 1 12 + 1 < < 1 12 Iz ove ocjee se dobiva i asimptotsa ocjea za -ti fatorjel od () = e 2 3 2 6 2 +o(1) za = o 3 4 ; odoso za biome oe cijete = e 2 2! 3 6 2 (1 + o (1)) : = : Prisjetimo se, za dvije reale fucije f i g ozaa f = o (g) zaµci da vrijedi f (t) lim t!1 g (t) = 0:

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 9 Biomi oe cijeti za reali U sljedećoj de iciji je poopćeje biomog oe cijeta za reali. De icija 1.2. Nea je x 2 R i 2 N [ f0g. Tada de iramo x 0 = 1 i x = x! = x (x 1) (x 2) (x + 1)! za > 0. -ta derivacija fucije f (x) = (1 + x) m je f () (x) = m (1 + x) m Taylorov razvoj fucije f (x) oo x = 0 dobijemo sljedeći teorem., pa oristeći Teorem 1.8. Nea je m 2 R, tada vrijedi gdje se sumira po svim 2 N [ f0g. (1 + x) m = X 0 m x Primijetimo da je suma iz prethodog teorema oaµca jedio ao je m 2 N[f0g, jer je u tom sluµcaju m = 0 za m <. Primjer 1.1. Razvijte u red fuciju p 1 4x. Rješeje p 1 4x = (1 4x) 1=2 = X 1=2 ( 4x) : 0 Nadalje je 1=2 = gdje je!! = b 1 2 c Q i=0 1 1 2 2 3 2 2 3 2! ( 2i) dvostrui fatorjel pa imamo p 1 4x = X 0 2 (2 3)!! x :! = ( 1) 1 (2 3)!! 2! Moµzeći broji i azivi s ( 1)!, ije tešo vidjeti da vrijedi 2 (2 3)!!! (2 2)! = 2! ( 1)! ; pa je p 1 4x = 2 X 0 2 2 1 x :

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 10 Zadata 1.11. Doaµzite da je 1 p 1 4x = X 0 2 x : q 1+x Zadata 1.12. Razvijte u red fuciju f (x) =. 1 x q 1+x Ideja: = 1+x i oristite rezultat prethodog zadata. 1 x p1 4(x 2 =4) Primjedba 1.2. Zadata 1.10. moµze se jedostavije riješititi dijeljejem obje strae jedaosti s! i zatim svo ejem a Vadermodovu ovoluciju za "reale" biome oe cijete a sljedeći aµci X (x + y) = x y (x + y) X x y, =!! ( )! =0 =0 x + y X x y, = : =0 1.1.2. Multiomi teorem Slijedi poopćeje pojma biomog oe cijeta. De icija 1.3. Nea je = P i=1 a i, gdje su, a 1,...,a eegativi cijeli brojevi. De iramo! = a 1 ; a 2 ; : : : ; a a 1!a 2! a! : Broj a 1 ;a 2 ;:::;a se zove multiomi oe cijet. Primjetimo, u sluµcaju = 2 multiomi oe cijet se svodi a biomi oe cijet. Teorem 1.9. (Multiomi teorem) Za sve 2 N [ f0g vrijedi (x 1 + x 2 + + x ) = X x a 1 1 x a 2 2 x a a 1 ; a 2 ; : : : ; a a 1 ;a 2 ;:::;a pri µcemu se sumira po svim -tercima eegativih cijelih brojeva a 1 ; a 2 ; : : : ; a za oje je = P i=1 a i. Doaz. Moµzeći (x 1 + x 2 + + x ) (x 1 + x 2 + + x ), t.j. uzimajući po jeda x i iz svae zagrade, µcla x a 1 1 x a 2 2 x a moµzemo dobiti a tolio aµcia olio ima permutacija s poavljajem supa s a 1 elemeata x 1, a 2 elemeata x 2,...,a elemeata x. Taj broj je upravo a 1 ;a 2 ;:::;a. Sljedeći teorem opisuje vezu multiomih i biomih oe cijeata.

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 11 Teorem 1.10. Za sve eegative cijele brojeve, a 1,...,a tave da je = P i=1 a i, vrijedi. = a 1 ; a 2 ; : : : ; a a 1 a 2 a1 a1 a i a i+1 a1 a 1 Doaz. Svau permutaciju s poavljajem supa s a 1 elemeata x 1, a 2 elemeata x 2,...,a elemeata x moµzemo dobiti tao da od mjesta izaberemo a 1 mjesta a ojima će biti x 1, zatim od preostalih a 1 mjesta izaberemo a 2 mjesta a ojima će biti x 2, itd. a : Zadata 1.13. Doaµzite da je a) b) c) X a 1 +a 2 +a 3 = X a 1 +a 2 +a 3 = X a 1 +a 2 +a 3 = = 3 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ( 1) a 2 = 1; a 1 ; a 2 ; a 3 a 1 ; a 2 ; a 3 2 a 1 ( 1) a 2+a 3 = 0: Rješeje: multiomi teorem a) x 1 = x 2 = x 3 = 1, b) x 1 = x 3 = 1, x 2 = 1, c) x 1 = 2, x 2 = x 3 = 1. 1.1.3. Rasporedi idetiµcih objeata u utije oje razliujemo U ovom i sljedeća tri podpoglavlja razmatrati ćemo problem prebrojavaja svih rasporeda objeata, primjerice istih ili razliµcitih lopti, u utija oje tao er moµzemo razliovati ili e. U ovom podpoglavlju razmatramo prvi sluµcaj: 1. "Objete e razliujemo, utije razliujemo". Pretpostavimo da 20 lopti, iste boje i veliµcie, moramo podijeliti a µcetvero djece: Ai, Bori, Cviti i Duji. Kao su lopte iste, bito je jedio olio će lopti svao dijete dobiti. Problem se svodi a rastavljaje broja 20 u sumu µcetiri eegativa cijela broja. Svaao, ovdje je poreda pribrojia bita, jer djecu razliujemo. Raspored 0 + 7 + 8 + 5 ije isti ao i 7 + 0 + 5 + 8. De icija 1.4. Rastavi broja u zbroj eegativih cijelih brojeva, gdje je poreda pribrojia bita azivaju se slabi rasporedi (egl. "wea compositio of "). Rastavi broja u zbroj prirodih brojeva, gdje je poreda pribrojia bita azivaju se rasporedi (egl. "compositio of ").

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 12 Napomeimo da je pojam particija broja rezervira za rastav u zbroj prirodih brojeva, gdje poreda pribrojia ije bita, što ćemo usoro vidjeti. Teorem 1.11. Nea su, 2 N. Broj svih izova (a 1 ; : : : ; a ) tavih da je a i 0 za svai i 2 f1; : : : ; g i = P i=1 a i jeda je + 1 + 1 = : 1 Doaz. Ovaj je broj oµcito jeda broju aµcia da idetiµcih lopti rasporedimo u razliµcitih utija. A ovaj je adalje jeda broju razliµcitih izova (permutacija) od oji se svai sastoji od istih lopti i 1 pregrada. Svai taav iz jedozaµco odre uje broj lopti po utijama (u prvu utiju idu lopte do prve pregrade, u drugu utiju lopte izme u prve i druge pregrade, itd.). Dale, taj broj je jeda ( + 1)!! ( 1)! : Primjedba 1.3. Ao zamijeimo i u posljedjem teoremu dobijemo ombiacije s poavljajem -tog razreda s -elemeata (a i ovdje biljeµzi olio se puta u ombiaciji pojavljuje i-ti elemet -µclaog supa). U ašem primjeru s 20 lopti i µcetvero djece ovaj broj je jeda 20+4 1 20 = 23 3 = 1771. Što ao dodamo uvjet da svao dijete mora dobiti ajmaje jedu loptu? Tavih rasporeda će oµcito biti maje. Pribrojici u sumi sada moraju biti pozitivi cijeli brojevi. Ovavi rastavi broja a pozitive cijele pribrojie gdje je poreda bita azivaju se rasporedi (egl. "compositio of "). Problem se lao riješi ao ajprije svaom djetetu podijelimo po jedu loptu, a zatim preostalih 16 lopti podijelimo ao u prethodo teoremu a 16+4 1 16 = 19 3 = 969 aµcia. Korolar 1.2. Nea su, 2 N. Broj svih izova (a 1 ; : : : ; a ) tavih da je a i > 0 za svai i 2 f1; : : : ; g i = P i=1 a i jeda je 1 1. ( )+ 1 Doaz. Korištejem rezultata prethodog teorema ovaj broj je jeda 1 = 1 1. Na drugi aµci, poredajmo lopte u iz, i izme u jih stavimo ajviše jedu pregradu. Raspored ovih pregrada jedozaµco odre uje raspored po utijama i to tao da e bude prazih utija. Dale, imamo 1 mjesto izme u lopti, a od jih biramo 1 gdje ćemo staviti pregrade. Tvrdja slijedi. Korolar 1.3. Za sve 2 N broj svih rastava broja u obliu = P i=1 a i, gdje su a i 2 N i gdje je poreda bita, jeda je 2 1. Doaz. Prvi aµci: ao moµze biti ajmaje 1, a ajviše, imamo X =1 1 = 2 1 : 1

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 13 Drugi aµci: matematiµcom iducijom po. Za = 1 tvrdja je oµcito istiita, postoji samo jeda ovaav rastav. Pretpostavimo da je tvrdja istiita za, tj. imamo 2 1 ovavih rastava. Ao u svaom tavom rastavu prvom elemetu a 1 dodamo jediicu, dobijemo rastav broja + 1 oji za prvi pribroji ima ajmaje 2. Ao adalje svaom tavom rastavu dopišemo ispred jediicu ao prvi pribroji, dobijemo rastav broja +1 oji za prvi pribroji ima 1. Svai rastav od +1 moµze biti dobive a samo jeda od ova dva aµcia, što zaµci da ih ima toµco 22 1 = 2 što je i trebalo poazati. Dale, doazali smo sljedeće: -ao su praze utije dozvoljee idetiµcih objeata moµzemo razmjestiti u razliµcitih utija a + 1 1 aµcia, -ao praze utije isu dozvoljee idetiµcih objeata moµzemo razmjestiti u razliµcitih utija a 1 1 aµcia, -ao praze utije isu dozvoljee idetiµcih objeata u razliµcite utije moµzemo razmjestiti a 2 1 aµcia. 1.1.4. Particije supa, Stirligovi brojevi druge vrste U drugom sluµcaju imamo obratu situaciju: 2. "Objete razliujemo, utije e razliujemo". Stoga moµzemo zamisliti da su lopte ozaµcee brojevima 1; 2; 3; : : : ;. Problem se svodi a podjelu (particiju) supa f1; : : : ; g a eprazih, disjutih podsupova. De icija 1.5. Rastav supa f1; : : : ; g a eprazih disjutih podsupova zovemo particija supa. Broj particija supa f1; : : : ; g a dijelova ozaµcava se sa S (; ) i zove Stirligov broj druge vrste. Dijelove (podsupove) partcije zovemo bloovima. Iz de icije slijedi S (; ) = 0 za <. Dogovoro je S (0; 0) = 1. Primjer 1.2. Za 1 je S (; 1) = S (; ) = 1. Tao er, za 2 je S (; 1) = 2 jer od 1 bloova svi su jedoµclai, osim jedog dvoµclaog. Primjer 1.3. Vrijedi S (4; 2) = 7 jer imamo 7 particija supa f1; 2; 3; 4g: f1; 2; 3g f4g; f1; 2; 4g f3g; f1; 3; 4g f2g; f2; 3; 4g f1g; f1; 2g f3; 4g; f1; 3g f2; 4g; f1; 4g f2; 3g. Zadata 1.14. Doaµzite da vrijedi S (; 2) = 2 1 1. Rješeje: svai podsup A od f1; : : : ; g osim prazog supa i cijelog f1; : : : ; g odre uje jedu particiju tog supa u dva bloa A i A. Tavih podsupova A ima 2 2. Ali ao A i A a ovaj aµci odre uju istu particiju 2 2 treba jošpodijeliti s 2. Ne postoji zatvorea formula za S (; ), ali postoji otvorea formula oja sadrµzi ozau za sumu X S (; ) = ( 1) i ( i) i! ( i)! : i=0

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 14 i izvesti ćemo ju u Poglavlju 1.2.3. oristeći formulu uljuµcivaja-isljuµcivaja. U sljedećem teormu doazati ćemo reurzivu relaciju za S (; ). Teorem 1.12. Za sve ; 2 N tave da je vrijedi S (; ) = S ( 1; 1) + S ( 1; ) : Doaz. Reurziju doazujemo ombiatoro. Pogledajmo masimali elemet. Ao o µcii jedoµclai blo, oda preostalih 1 elemeata a S ( 1; 1) aµcia moµze dovršiti particiju. Ao ije u jedoµclaom blou, preostalih 1 elemeata moµzemo rasporediti u bloova a S ( 1; ) aµcia, a zatim moµzemo smjestiti u bilo oji od ovih bloova i time smo dovršiti particiju. De icija 1.6. Broj svih particija supa f1; : : : ; g a epraze bloove ozaµcava se s B () i zove Bellov broj. Dogovoro pretpostavljamo da je B (0) = 1. Oµcito vrijedi B () = P i=0 S (; i). Bellovi brojevi zadovoljavaju lijepu reurzivu relaciju. Teorem 1.13. Za sve 2 N [ f0g vrijedi B ( + 1) = X i=0 B (i) : i Doaz. Doazati ćemo da i desa straa jedaosti prebrojava sve particije supa f1; : : : ; + 1g. Pretpostavimo da je elemet + 1 u blou veliµcie i + 1, i = 0; 1; : : : ;. Preostale elemete iz tog bloa moµzemo odabrati a i = i aµcia, i ao toga preostalih i elemeata razmjestiti u bloove a B (i) aµcia. Zadata 1.15. Matematiµcom iducijom po doaµzite da za 3 vrijedi ejedaost B () <! Rješeje: Baza: za = 3 imamo B (3) = 5 < 6. Pretpostavimo ea tvrdja vrijedi za sve brojeve. Kora: B ( + 1) = X i=0 B (i) < i X i=0 i! = i X i < ( + 1)! = ( + 1)!: U ovom podpoglavlju do sad smo poazali: -ao praze utije isu dozvoljee razliµcitih objeata moµzemo razmjestiti u idetiµcih utija a S (; ) aµcia, -ao praze utije isu dozvoljee razliµcitih objeata moµzemo razmjestiti u idetiµce utije a P i=0 S (; i) = B () aµcia. I oµcito je, ao su praze utije dozvoljee razliµcitih objeata u idetiµcih utija moµzemo razmjestiti a P i=1 S (; i) aµcia. i=0

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 15 1.1.5. Surjecije Sada je lao riješiti problem razmještaja lopti u utija u trećem sluµcaju: 3. "I objete i utije razliujemo". Brojevima ozaµcee lopte ajprije razdijelimo u bloova a S (; ) razliµcitih aµcia, a zatim bloove moµzemo razmjestiti u razliµcitih utija! aµcia. Dale, razliµcitih lopti u razliµcitih utija moµzemo razmjestiti a! S (; ) aµcia. Korolar 1.4. Broj svih surjecija f iz -µclaog supa u -µclai sup jeda je! S (; ) : Doaz. Surjecije prirodo de iraju particiju domee. Bloove µcie praslie elemeata iz odomee. Razliµcitih particija domee ima S (; ), a a! ih jošmoµzemo presliati u odomeu. Zaimljiva posljedica ovog rezultata je sljedeći orolar o priazu obiµcih potecija x pomoću padajućih x. Veza (oe cijeti prelaza iz baze x u x ) su upravo Stirligovi brojevi druge vrste! Korolar 1.5. Za sve x 2 R i 2 N vrijedi x = X S (; ) x : (1.2) =0 Doaz. S obje strae jedaosti je poliom -tog stupja u x, pa je dovoljo poazati da se ovi poliomi podudaraju u barem + 1 vrijedosti za x. Doazati ćemo bito jaµcu tvrdju, tj. da se podudaraju za sve x 2 N. Nea je x 2 N. Na lijevoj strai jedaosti je broj svih fucija iz -µclaog u x-µclai sup. I a desoj strai je taj isti broj samo u odosu a ardiali broj slie, oji moµze biti ajmaje 1, ajviše. Ao slia fucije ima toµco x elemeata, postoji aµcia za izbor te slie, a adalje prema prethodom orolaru i! S (; ) aµcia za odabir same fucije. Kao je x! S (; ) = x S (; ) tvrdja je doazaa. Dale, doazali smo: -ao praze utije isu dozvoljee razliµcitih objeata u razliµcitih utija moµzemo razmjestiti a S (; )! aµcia. Zbog toga ao praze utije isu dozvoljee razliµcitih objeata moµzemo razmjestiti u razliµcite utije a P i=1 S (; i) i! aµcia. U sluµcaju ada su praze utije dozvoljee, umjesto surjecija imamo fucije (u slici e moraju biti svi elemeti iz odomee), pa razliµcitih objeata u razliµcitih utija moµzemo razmjestiti a aµcia. Zadata 1.16. Doaµzite da vrijedi S (; 3) = 1 2 (3 1 + 1) 2 1, za 3. Ideja: 3! S (; 3) je broj surjecija iz -µclaog u 3-µclai sup. Svih fucija iz -µclaog u 3-µclai sup ima 3, od toga ih 3 imaju jedoµclau sliu, a dvoµclau sliu ih ima 3 (2 2). Slijedi da je 3! S (; 3) = 3 3 (2 2) 3, odoso S (; 3) = 1 2 (3 1 + 1) 2 1.

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 16 1.1.6. Particije broja Preostaje µcetvrti sluµcaj: 4. "I objete i utije e razliujemo". Dale, ovdje je bita samo broj lopti po utijama, jer lopte e razliujemo. A ao i utije e razliujemo 1 + 1 + 3 ili 1 + 3 + 1 ili 3 + 1 + 1 će predstavljati isti raspored, poreda ovih pribrojia ije bita. De icija 1.7. Nea je a 1 a 2 a 1 tao da vrijedi a 1 +a 2 + +a =. Niz (a 1 ; : : : ; a ) zovemo patricija broja. Broj svih particija ozaµcavamo s p (), do broj particija s toµco pribrojia ozaµcavamo s p (). Pojam patricija broja zaµci rastav broja 2 N u zbroj prirodih brojeva gdje poreda pribrojia ije bita i e smije se brati s pojmom particija supa. Primjer 1.4. Broj = 5 ima 7 paticija, tj. p (5) = 7, a to su (5) ; (4; 1) ; (3; 2) ; (3; 1; 1) ; (2; 2; 1) ; (2; 1; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1) : Tao er je p 1 (5) = 1, p 2 (5) = 2, p 3 (5) = 2, p 4 (5) = 1, p 5 (5) = 1. Teorem 1.14. Za broj particija s toµco pribrojia vrijedi reurziva relacija p () = p 1 ( 1) + p ( ) : Doaz. Pogledajmo sve (a 1 ; : : : ; a ) particije broja. Oih u ojima je a = 1 ima p 1 ( 1). Ao je a > 1 uzmimo ea je b i = a i 1, i = 1; : : : ;. Tada vrijedi b 1 b 2 b 1 i b 1 + b 2 + + b =. Dale (b 1 ; : : : ; b ) je particija broja, pa (a 1 ; : : : ; a ) particija broja u ojima je a > 1 ima p ( ). Korolar 1.6. Vrijedi p () = X p i ( ) : i=1 Doaz. Koristimo uzastopce reurziju iz prethodog teorema za, 1, 2,...,2. Zbrajajući sve ove jedaosti, zbog p 1 ( + 1) = 1 = p 1 ( ) tvrdja slijedi. Nije tešo vidjeti da vrijedi p 1 () = p () = 1, p 2 () = 2. Tao er vrijedi (što ećemo doazivati) da je p 3 () prirodi broj ajbliµzi broju 2 =12. Općeito, pribliµze vrijedosti za p () i p () za velie, dae su asimptotsim formulama p () 1! ( 1)! ; p () 1 4 p 3 e p 2 3 odale se vidi da p () raste brµze od bilo ojeg polioma, ali sporije od bilo oje espoecijale fucije f () = c, za c > 1. Problem proalaµzeja egzate formule za p () još je teµzi ego za Stirligove brojeve druge vrste S (; ). µca ao i zamo sve p (i) za sve i <, još uvije ;

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 17 e moµzemo jedostavo direto izraµcuati p (). Postoji MacMahoova reurzija oja uljuµcuje tzv. petagoale brojeve, tj. brojeve oblia (3 1) =2. Ovdje je avodimo bez doaza: p () = p ( 1) + p ( 2) p ( 5) p ( 7) + + ( 1) (3 1) p + ( 1) (3 + 1) p + 2 2 Istaimo i posljedju mogućost: -ao praze utije isu dozvoljee idetiµcih objeata moµzemo razmjestiti u idetiµcih utija a p () aµcia, -ao praze utije isu dozvoljee idetiµcih objeata moµzemo razmjestiti u idetiµce utije a p () aµcia. Stoga je oµcito da ao su praze utije dozvoljee idetiµcih objeata u idetiµcih utija moµzemo razmjestiti a P i=1 p i () aµcia. Slijedi eolio orisih rezultata o particijama broja p () pomoću fucija izvodica. De icija 1.8. Nea je ff g 0 iz realih brojeva. Tada red F (x) = P 0 f x zovemo fucija izvodica iza ff g 0. Propozicija 1.3. Nea je p () broj particija broja s pribrojicima, p () broj particija broja. Tada vrijedi X p () x = 0 Y 1 1 x ; X p () x = i i=1 0 1Y i=1 1 1 x i : Doaz. Odredimo oe cijet uz x a desoj strai jedaosti: 1 + x + x 2 + x 3 + 1 + x 2 + x 4 + x 6 + 1 + x + x 2 + x 3 + Pogledajmo dopriose iz zagrada. Ao iz i te zagrade odaberemo x j ii, j i 0, oda vrijedi 1j i + 2j 2 + 3j 3 + + j = ; a to je upravo particija broja s pribrojicima oji isu veći od. Time je prva jedaost doazaa. Kao je p () = p (), a sliµca aµci doazuje se i druga jedaost. Na imo vezu izme u particija broja i particija supa f1; : : : ; g. Primjerice za = 10 particija supa f1; 5; 6g ; f2; 7g ; f3; 9g ; f4; 8g ; f10g je tipa (3; 2; 2; 2; 1). Općeito, pretpostavimo da je = ( 1 ; 2 ; : : : ; ) particija supa f1; : : : ; g gdje i ozaµcavaju bloove od. Poredajmo iz brojeva j 1 j ; j 2 j ; : : : ; j j od ajvećeg do ajmajeg da bi dobili iz a 1 a 2 a oji je oµcito particija broja. Za iz (a 1 ; : : : ; a ) aµzemo da je tip particije.

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 18 Teorem 1.15. Nea je a = (a 1 ; : : : ; a ) particija broja, a m i ratost od i u a. Tada je broj paticija supa f1; : : : ; g oje su tipa a jeda P a = a 1 ;a 2 ;:::;a Q m i! i1 Doaz. Pretpostavimo da imamo a i idetiµcih loptica boje i, za i = 1; : : : ;. Poredati u iz ih moµzemo a a 1 ;a 2 ;:::;a aµcia. Potom podijelimo sup f1; : : : ; g a bloove tao da su brojevi i i j u istom blou ao i samo ao su loptice a mjestima i i j u ovom poretu iste boje. Dobili smo jedu particiju supa f1; : : : ; g. Ali ao se i u particiji a broja pojavljuje m i puta, oda odgovarajuće bloove moµzemo obojati a m i! aµcia sa m i boja oje odgovaraju ovim bloovima, a svi ovi aµcii odre uju istu particiju supa f1; : : : ; g. Zato je broj a 1 ;a 2 ;:::;a potrebo podijeliti s Q m i!. i1 : U sljedeće dvije tablice još jedom dajemo pregled svih mogućih rasporeda objeata u utije. 1. praze utije isu dozvoljee: SURJEKCIJE razliµcitih objeata u razliµcitih utija S (; )! RASPOREDI razliµcitih objeata u razliµcite utije idetiµcih objeata u razliµcitih utija P i=1 S (; i) i! 1 1 idetiµcih objeata u razliµcite utije 2 1 PARTICIJE SKUPA razliµcitih objeata u idetiµcih utija S (; ) razliµcitih objeata u idetiµce utije B () PARTICIJE BROJA idetiµcih objeata u idetiµcih utija p () idetiµcih objeata u idetiµce utije p () 2. praze utije su dozvoljee: FUNKCIJE razliµcitih objeata u razliµcitih utija SLABI RASPOREDI idetiµcih objeata u razliµcitih utija + 1 1 PARTICIJE SKUPA razliµcitih objeata u idetiµcih utija P i=1 S (; i) PARTICIJE BROJA idetiµcih objeata u idetiµcih utija P i=1 p i ()

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 19 Zadata 1.17. Na olio aµcia moµzemo 7 razobojih lopti a) podijeliti izme u troje djece, ao svao dijete mora dobiti bar jedu loptu, b) razmjestiti u 3 utije oje e razliujemo, ao i jeda utija e smije ostati praza. Rješeje: a) S (7; 3) 3! = 301 6 = 1806, b) S (7; 3) = 301 (orište zad.1.16). Zadata 1.18. Na olio aµcia moµzemo 7 razobojih lopti a) podijeliti izme u troje djece, (ao svao dijete e mora dobiti loptu) b) razmjestiti u 3 utije oje e razliujemo (praze utije su dozvoljee). Rješeje: a) 3 7 = 2187, b) P 3 i=1 S (7; i) = 1 + 63 + 301 = 365 (orištei zad.1.14 i zad.1.16). Zadata 1.19. Na olio aµcia moµzemo 7 lopti oje e razliujemo a) podijeliti izme u troje djece, ao svao dijete mora dobiti bar jedu loptu, b) razmjestiti u 3 utije oje e razliujemo, ao i jeda utija e smije ostati praza. Rješeje: a) 6 2 = 15, b) p3 (7) = 4, jer su sve particije broja 7 s tri pribrojia (5; 1; 1) ; (4; 2; 1) ; (3; 3; 1) ; (3; 2; 2). Zadata 1.20. Na olio aµcia moµzemo 7 lopti oje e razliujemo a) podijeliti izme u troje djece, (ao svao dijete e mora dobiti loptu) b) razmjestiti u 3 utije oje e razliujemo (praze utije su dozvoljee). Rješeje: a) 7+3 1 3 1 = 9 P 2 = 36, b) 3 i=1 p i (7) = 1 + 3 + 4 = 8. Zadata 1.21. Nea je 2. Na olio aµcia moµzemo bomboa (oje e razliujemo) podijeliti izme u djece, ao svao dijete mora dobiti barem dva bomboa. Rješeje: Najprije svaom djetetu podjelimo po dva bomboa, a zatim preostalih 2 bomboa podijelimo izme u djece bez iavih uvjeta a 2+ 1 1 = 1 1 aµcia. Zadata 1.22. Na olio aµcia moµzemo izabrati podsup S f1; : : : ; g tao da je jsj = i iti jeda elemet iz S ije sljedbei eog drugog elemeta iz S, tj. x 6= y + 1, za sve x; y 2 S. Rješeje: Za taav podsup S = fa 1 ; a 2 ; : : : ; a g ao je a 1 < a 2 < < a mora vrijediti i a 1 < a 2 1 < a 3 2 < < a ( 1). Stavimo li b i = a i i + 1, broj aµcia da odaberemo ovaav podsup S jeda broju aµcia da odaberemo podsup fb 1 ; b 2 ; : : : ; b g f1; : : : ; + 1g, a taj je +1.

1. Klasiµca ombiatoria, estremali problemi 20 Zadata 1.23. (Quie 1988.) Pozati Velii Fermatov teorem (egl. Fermat s Last Theorem) tvrdi da za > 2, jedadµzba x + y = z ema rješeja u supu prirodih brojeva. Ova tvrdja se moµze reformulirati u termiima ombiatorie, precizije prebrojavajem rasporeda objeata oje razliujemo u utije oje su obojae u crveu ili bijelu boju ili isu obojae. Pri tome i sve utije me usobo razliujemo. Velii Fermatov teorem tada glasi: broj rasporeda ada su crvee utije praze i broj rasporeda ada su bijele utije praze zajedo e moµze biti jeda broju svih rasporeda u crvee, bijele i eobojae utije ao je broj objeta veći od 2. Poaµzi da su ove dvije tvrdje evivalete. Ideja: ea je broj objeata, z broj svih utija, x broj utija oje isu crvee, y broj utija oje isu bijele..

Bibliogra ja [1] S. Jua, "Extremal Combiatorics With Applicatios i Computer Sciece", Spriger, 2001. [2] M. Bóa, "A Wal Through Combiatorics", Secod editio, World Scieti c, 2006. [3] J. H. va Lit, R. M. Wilso, "A course i combiatorics", Cambridge Uiversity Press, 1992. [4] L. Lovász, "Combiatorial Problems ad exercises", AMS Chelsea Publishig, 2007. [5] B. Bollobás, "Combiatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, ad Combiatorial Probability", Cambridge Uiversity Press, 1986. [6] B. Stechi, V. Baraov, "Extremal Combiatorial Problems ad Their Applicatios", Kluwer Academic Publishers,1995. [7] R. Graham, B. Rothschild, J. Specer, "Ramsey Theory", Wiley, 1990. [8] N. Alo, J. Specer, " The Probabilistic Method" Third Editio, Wiley, 2008. [9] P. Erdos, J. Specer, "Probabilistic Method i Combiatorics", Aademiai Kiado, 1974. [10] L. Babai, P. Fral, "Liear Algebra Methods i Combiatorics", Dept. of Comp. Sci., Uiversity of Chicago, 1992. 21