METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Algotm ş Stud Numece Necula Ade Reseac Isttute fo Ifomatcs Cete fo Advaced Modelg ad Optmzato 8- Aveescu Aveue Bucaest Romaa. Academy of Romaa Scetsts 54 Splaul Idepedete Bucaest 5 Romaa. E-mal: ade@c.o Î această lucae vom cosdea poblema de mmzae a fucţlo f : R R utlzâd metode de căutae dectă p cae îţelegem acele metode cae se x ş bazează uma pe evaluaea fucţe f de-a lugul uu ş de pucte { } compaaea acesto valo cu scopul de a obţe puctul de mm x. Cu alte cuvte aceste metode u apelează la costucţa ş evaluaea gadetulu fucţe f cu atât ma puţ a Hessaulu acestea. Metodele d această clasă sut utlzate î umătoaele ccumstaţe: ) Fucţa f u este devablă. ) Elaboaea gadetulu f ( x) a fucţe f este foate complexă. 3) Evaluaea gadetulu f ( x) a fucţe f este mult ma dfclă decât evaluaea fucţe f. 4) Nu este ecesaă o soluţe x de mae acuateţe. Poblema fudametală î ceea ce pveşte poectaea ue metode de căutae dectă este umătoaea: Date puctele x x x pecum ş valole fucţe de mmzat f ( x ) f ( x ) f ( x ) atuc să se deteme puctul x + petu cae f ( x + ) < f( x ) petu toţ =. Scopul acestu captol este de a pezeta câteva soluţ ale aceste pobleme sub foma uo algotm cae s-au dovedt ma teesaţ ş pefomaţ. Meţoăm faptul că aceste metode sut dedcate î specal ezolvă poblemelo cu u umă mc de vaable petu cae u ceem soluţ de mae acuateţe. Î geeal costucţa ue metode decte de căutae este o actvtate de magaţe putâduse elaboa eumăate asemeea metode [Toczo 99997]. O aalză a pcpalelo caactestc ale acesto metode făă a se ssta asupa pefomaţelo lo umece este dată de Powell [994 998]. Petu aceste metode demostaea uo popetăţ de covegeţă este foate delcată ca dacă d puct de vedee pactc algotm asocaţ acesto metode lucează be. De aceea cecetăle asupa acesto metode u sut falzate cu o cocluze taşată. Petu pobleme de mc dmesu cu elatăţ comode algotm metodelo de căutae dectă deseo au pefomaţe compaable cu metodele cae utlzează gadetul fucţe da ocazoal eşuează lametabl. Sguul avata al acesto metode este uşuţa î utlzae deoaece tot ceea ce este ecesa a se specfca este expesa algebcă a fucţe de mmzat.
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ. CĂUTARE PARALELĂ CU AXELE Petu mmzaea fucţe f : R R statega aceste metode este de a fxa vaable la valoaea lo cuetă ş de a se căuta mmul î apot cu vaabla ămasă lbeă. Deoaece mmzaea se face uma după o sguă vaablă poblema deve ua de căutae laă ş dec oce metodă pezetată î captolul 3 d [Ade 9] se poate utlza î acest scop. După ce s-a executat câte o mmzae coespuzătoae fecăe dte vaablele pobleme se cosdeă că s-a îceat u cclu ş dec se poate tece la execuţa umătoulu cclu pâă câd u cteu de ope a teaţlo este îdeplt. Algotmul este foate smplu ş se poate pezeta astfel: Algotmul. (Algotmul de căutae paalelă cu axele) Pasul. Iţalzae. Se alege u puct ţal x ş se pue =. Pasul. Se detemă decţa de căutae sub foma: T [ ] = + + T [ ] = + + d = T [ ] = 3. Pasul 3. Se detemă sesul de deplasae pe decţa. Petu aceasta se a Pasul 4. Pasul 5. Pasul 6. u mc pas de pobă de lugme µ ş se evaluează f + = f( x + µ d ) ş f = f( x µ d ). Dacă f + < f( x ) atuc d este decţa coectă de educee a valolo fucţe f. Dacă f < f( x ) atuc se cosdeă decţa d ca decţe de căutae. Dacă f + > f( x ) ş f > f( x ) atuc se cosdeă x ca fd mmul fucţe f de-a lugul decţe d ş se cotuă cu pasul 6. Se detemă lugmea pasulu α astfel îcât f ( x + α d ) = m f ( x + α d d ) α utlzâdu-se căutaea laă exactă sau exactă. Se calculează oul puct: x = x + + αd. Se execută u test de ope a teaţlo. Dacă de exemplu x x + ε ş x f( x+ ) f( x) ε f ude ε x ş ε f sut două toleaţe de detemae a soluţe atuc stop; altfel se pue = + ş se cotuă cu pasul.
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 3 Metoda este foate smplă ş uşo de mplemetat. Smpltatea acestea pove d cocepţa e ş d faptul că u utlzează devatele fucţe. Teoetc aceasta se poate aplca petu detemaea mmulu ocăe fucţ cotue. Totuş dacă fucţa este de tpul ue vă alugte atuc este foate posbl ca aceasta să se teme ît-u puct cae u este mmul pobleme.. METODA HOOKE-JEEVES DE CĂUTARE A FORMEI După cum am văzut î metoda de căutae paalelă cu axele decţle de deplasae sut fxate. Aceasta face ca metoda să fe let covegetă. Metoda Hooe-Jeeves [96] selectează decţle de căutae ît-o maeă cae se adaptează fome fucţe de mmzat. Petu aceasta metoda execută căută paalele cu axele ş apo cosdeă o căutae de-a lugul decţe s = x x umtă decţe de căutae a fome ude x este puctul obţut la sfâştul celo căută paalele cu axele ş x este puctul obţut îatea acesto căută. Dec metoda Hooe- Jeeves este o poceduă de căutae cae costă d două tpu de deplasă. Pma de exploae petu detfcaea compotă locale a fucţe ş a doua de exploatae a fome fucţe petu acceleaea covegeţe. Algotmul. (Algotmul Hooe-Jeeves) Pasul. Iţalzae. Se cosdeă u puct ţal x umt puct de bază ş se aleg lugmle paşlo de deplasae x = de-a lugul celo axe de coodoate. Se pue =. Pasul. Se calculează f = f( x ). Se pue y = ş se execută pasul 3 de exploae a compotă fucţe î uul puctulu de bază x. Pasul 3. Petu = petubăm vaabla x î uul puctulu de bază y + = + tempoa petu a obţe u ou puct tempoa. Se calculează: f f( y xe ) f = f( y xe) ş f = f( y ) cu cae se calculează oul puct tempoa: + y + xe f < f + y = y xe f < f < f (.) + y f < m{ f f }. Pasul 4. Dacă y = x atuc dacă max{ x } < ε stop; altfel educem lugmle paşlo de exploae x (de exemplu petu fecae = puem x = x /) ş se execută pasul 3. Dacă x
4 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ y x atuc s-a obţut u ou puct de bază x+ = y ş se cotuă cu pasul 5. Pasul 5. Utlzâd cele două pucte de bază x ş x + se stableşte decţa s = x x de-a lugul căea se detemă puctul + y = x + α s ude + + fucţe f de-a lugul decţe. Pasul 6. Se pue = + exploae î uul puctulu Dacă x + f α este soluţa pobleme de mmzae a s = f y ş utlzâd elaţle (.) se execută o ( ) y petu a se obţe u ou puct. f ( y ) < f( x ) atuc s-a obţut u ou puct de bază = y cu cae se cotuă cu pasul 5. Dacă pe de altă pate f ( y ) f( x ) atuc dacă { } max x ε stop; altfel la fel ca î pasul 4 lugmle paşlo x se educ se pue x = + x = + ş se cotuă cu pasul. y 3. METODA POWELL A DIRECŢIILOR CONJUGATE Metoda Powell [964] este o extese a pocedu de căutae a fome dată de Hooe-Jeeves petu cae se poate demosta că este o metodă de decţ cougate. Petu clasa fucţlo pătatce metoda covege la soluţe ît-u umă ft de paş. Powell a sugeat aumte modfcă petu a se depăş aumte coveete ş a accelea covegeţa î cazul fucţlo epătatce. La îceputul pme teaţ puctul x este dat ş decţle de căutae sut d e ude e sut decţa axelo de coodoate. La teaţa algotmul = lucează astfel. Fe y = x ş petu = d puctul y î decţa d se caută mmul fucţe obţâdu-se astfel puctul y. Se cotuă apo căutaea d puctul y î decţa s = y x obţâdu-se astfel oul puct x + cu cae eluăm pocedua la teaţa +. Dec decţle de căutae la teaţa + sut: 3 d d d s. Obsevăm că decţa d a fost elmată eţâdu-se decţa s cae ţe seama de foma fucţe f. Îate de îcepeea cele de-a + + + teaţ decţle de ma sus sut ebotezate ca d d. Vom demosta că î teaţ metoda Powell geeează decţ cougate. Ît-adevă p costucţe fecae dte puctele x ş mmzează fucţa f î decţa s d = y astfel îcât la sfâştul cele- de-a doua
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 5 teaţ avem o peece de decţ cougate otaţle cele- de-a tea teaţ decţle 3 s d ş = d ş 3 d s = y x Adcă î. sut cougate. Pesupuem acum că s-au executat teaţ ş că decţ d + d + + sut cougate. Î fapt acestea sut ca ultmele decţ de căutae d cadul teaţe cae sut de asemeea decţ de căutae ş î teaţa +. Dec puctul de plecae x + petu teaţa + mmzează f î subspaţul cae coţe aceste decţ. Ma mult deoaece decţle de ma sus sut cougate ezultă că puctul y + obţut la sfâştul teaţe + de asemeea mmzează f î acest + subspaţu. Dec decţa s = y x + este cougată cu cele + decţ + d + + d. Astfel după + teaţ avem exact + decţ cougate. Î patcula după teaţ metoda costueşte decţ cougate. Defectul metode Powell î foma sa de bază î cae a fost pezetată costă î faptul că la o aumtă teaţe este posbl ca cele decţ să devă la depedete. Aceasta se poate îtâmpla atuc câd oua decţe este astfel îcât ( y ) T ( y y y) =. Petu a eş d această dfcultate Powell a modfcat această poceduă de bază î sesul de a pemte elmaea la fecae teaţe a alte decţ dfetă de d astfel îcât cele decţ de căutae să poată f îtotdeaua la depedete. Pocedua modfcată a lu Powell se poate pezeta sub foma umătoulu algotm. Algotmul 3. (Algotmul Powell) Pasul. Se cosdeă u puct ţal x ş decţ d = e. pue =. Pasul. Se pue y = x ş petu = d puctul y î decţa Pasul 3. Pasul 4. se detemă mmul fucţe s = Se f obţâdu-se astfel puctul. Se execută testul de ope a teaţlo. De exemplu dacă y x ε stop; altfel se cotuă cu pasul 4. Se calculează = max f ( y ) f ( y ) = f ( y ) f ( y ) adcă = { } q q este valoaea dcelu cae maxmzează. Pasul 5. Se defeşte f f( y = ) f = f( y ) ş se evaluează f = f( y y ). 3 Pasul 6. Dacă f3 f sau ( f f + f3)( f f ) ( f f3) q y d
6 Pasul 7. METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ atuc la teaţa umătoae se utlzează vecle decţ = adcă se cosdeă y y se pue = + ş se cotuă cu pasul ; altfel se execută pasul 7. Se execută o căutae laă î decţa s = y x obţâdu-se astfel puctul x + se cosdeă decţle d dq dq+ d s se pue = + ş se cotuă cu pasul. d 4. METODA ROSENBROCK A ROTIRII COORDONATELOR Metoda de ote a coodoatelo dată de Roseboc [96] poate f ş ea cosdeată ca o extese a metode Hooe-Jeeves. Aceasta costă d ma multe etape î cadul fecăea sstemul de coodoate fd ott astfel îcât pma axă a acestua să fe oetată căte decţa local estmată a mmulu toate celelalte axe fd beîţeles otogoale pe aceasta. Metoda Roseboc fucţoează astfel. ) Se alege u puct ţal x de ude îcepe căutaea ş se calculează f ( x ). ) Se aleg lugmle paşlo de deplasae de-a lugul decţlo cae ţal sut paalele cu axele de coodoate. 3) D puctul x se execută o deplasae î decţa d de lugme petu a se obţe puctul x. Dacă f ( x) > f( x ) atuc acest pas este u eşec. Î acest caz lugmea pasulu petu umătoaea teaţe î aceeaş decţe va f luată ca β îmulţt cu lugmea cuetă a pasulu ude < β <. Pe de altă pate dacă f ( x) f( x ) atuc puctul obţut epeztă u succes caz î cae lugmea pasulu î aceeaş decţe de la teaţa umătoae va l luată ca + α îmulţt cu lugmea cuetă a pasulu ude α >. Valole ecomadate de Roseboc sut α = 3 ş β = 5. Cotuăm acest poces de căutae cu măea sau mcşoaea lugm paşlo de deplasae câte u eşec de-a lugul fecăe d decţle d = pâă câd s-a obţut cel puţ câte u succes ş d ude =. Aceasta epeztă o etapă a pocesulu de mmzae î metoda Roseboc. O ouă etapă îcepe o de câte o s-a obţut cel puţ câte u succes ş u eşec de-a lugul fecăe decţ. 4) Petu a îcepe umătoaea etapă vom modfca decţle î = astfel îcât d să se afle apoxmatv î decţa cele ma apde desceşte ale valolo fucţe f a celelalte decţ să fe otogoale pe aceasta. Nole decţ d d d sut obţute d cele vec pt-o poceduă de
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 7 otogoalzae Gam-Scmdt. Geometc oua decţe va f ca la cae ueşte puctul de la îceputul etape de optmzae cu puctul obţut la sfâştul aceste etape ş epeztă î fapt suma vectoală a tutuo deplasălo cu succes. Astfel decţa d este cea ma pomţătoae decţe petu educeea valolo fucţe f. 5) Cu aceste elemete executăm o ouă etapă a pocesulu de optmzae pt-o poceduă smlaă cu cea descsă ma sus î pasul 3 luâd ca puct de bază cel ma bu puct obţut la sfâştul etape ateoae. 6) Pocedua de ma sus se execută pâă câd dstaţa dte puctul de îceput ş cel de sfâşt a ue etape este ma mcă decât o toleaţă ε > sufcet de mcă. Cu acestea metoda Roseboc se poate pezeta sub foma umătoulu algotm. Algotmul 4. (Algotmul Roseboc) Pasul. Se cosdeă u puct ţal x umt puct de bază ş se aleg Pasul. Pasul 3. Pasul 4. decţle d = d de obce paalele cu axele; lugmle paşlo de deplasae = pecum ş costatele α ş β ( α = 3 β = 5 ). Se pue =. D puctul x se cosdeă u pas de lugme î decţa d. Dacă pasul epeztă u succes adcă f ( x + d ) < f ( x atuc ) puem = α ş se eţe oul puct obţut ca puct de bază. Dacă acest pas este u eşec adcă f ( x + d ) f ( x ) atuc puem = β. Se cotuă această căutae d cel ma bu puct obţut de-a lugul decţlo d d d d d d pâă câd petu fecae d cele 3 decţ d = au fost obţute cel puţ cât u succes ş câte u eşec. Se calculează ole decţ de deplasae = ecesae d + umătoae etape utlzâd pocedua de otogoalzae Gam-Scmdt. Se calculează matcea H ude decţa H H H H = (4.) H H H este suma algebcă a tutuo lugmlo paşlo cu succes î d =. Dacă H < ε petu toţ = atuc
8 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ stop; altfel se calculează decţle la depedete p p R sub foma P= [ p p] = [ d d ] H. (4.) Astfel p epeztă vectoul cae ueşte puctul de îceput cu cel de sfâşt obţut după secveţa de căută de la etapa a a. Vectoul p este suma algebcă a lugm paşlo cu succes î toate decţle exceptâd pma etc. Aceşt vecto la depedeţ p p sut utlzaţ petu a geea o ouă mulţme de decţ otogoale p pocedua Gam-Scmdt. Pesupuem că au fost alese decţ q q q petu etapa + a pocesulu de optmzae. Cu acestea defm matcea Q = [ q q ] (4.3) ş calculăm umătoaea decţe q + ca: q + = p + Q + (4.4) ude este u vecto ales astfel îcât q + să fe otogoal pe toate + T decţle q q q. Îmulţd la stâga (4.4) cu q petu = obţem qq = qp qq = (4.5) T T T + + + petu =. Î fomă matceală elaţle (4.5) dev: adcă Qq Qp QQ T T T + = + + = [ QQ ] = Q p. (4.6) T T + + Dec T T + = [ Q Q] Q p+. (4.7) Cu acestea d (4.4) obţem: q = T p (4.8) ude + + T [ T I Q Q Q] T Q = cae este ca o matce de poecţe. Deoaece T T Q Q = [ q q ] [ q q ] = I elaţa (4.8) deve: petu =. T T + + + + = q ( I QQ ) p p ( p q ) q = = (4.9) (4.)
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 9 Cu acestea petu geeaea olo decţ pocedează astfel: a) Se calculează matcea P ca î (4.). b) Se pue q = p ş d + /. = q q c) Petu = se calculează: T + + + = + ( + ) = q p p d d d = q / q. + + + + d + = Pasul 5. Se cosdeă cel ma bu puct obţut î etapa dept puct de bază se pu lugmle = la valole lo ogale = + ş se cotuă cu pasul. se 5. METODA NELDER-MEAD A DEPLASĂRII SIMPLEXULUI După cum se şte fgua geometcă fomată d + pucte x cae u se află toate ît-u pepla împeuă cu oce combaţe covexă a acestoa se umeşte smplex î R. Cele + pucte x se umesc vâfule smplexulu. Câd toate puctele se află la dstaţe egale uele de altele smplexul 3 se zce că este egulat. Astfel î R smplexul este u tug î R este u tetaedu etc. Ideea de bază a aceste metode peczată de Spedley Hext ş Hmswot [96] ş îmbuătăţtă de Nelde ş Mead [965] este de a compaa valole fucţe f î cele + vâfu ale smplexulu ş apo de a deplasa (ostogol) smplexul căte puctul de optm. Deplasaea este ealzată utlzâd te tpu de mşcă cuoscute ca: eflexe cotacţe ş dlatae. Să le pezetăm. Reflexa. Dacă x este vâful coespuzăto cele ma ma valo a fucţe f = + atuc eflectâd acest puct efeto la faţa opusă lu e aşteptăm să obţem u ou puct x î cae valoaea fucţe să se educă. Dacă acesta este cazul atuc putem cosdea u ou smplex p elmaea lu x ş cludeea lu x î mulţmea vâfulo smplexulu. Cu acest ou smplex putem poceda ca ma sus deplasâd astfel căutaea î decţa mmză fucţe f. Dacă fucţa u peztă o vale adâcă atuc aplcaea epetată a acestu poces de eflexe e va coduce ce- dept î zg-zag căte puctul de mm al pobleme. Matematc puctul eflectat x este dat de: x = ( + α) x α x (5.) c
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ ude x este vâful smplexulu coespuzăto valo maxme a fucţe f î apot cu toate vâfule adcă f ( x) = max f( x ) (5.) = + { } a x c este cetodul vâfulo x = + dat de: + xc = x (5.3) = ; α > fd coefcetul de eflexe deft ca: x x α = x x c c. (5.4) Astfel x se va afla pe la cae ueşte x cu xc î cae x xc = α x xc. Dacă f ( x ) se află îte f ( x ) ş f ( x m) ude x m este vâful coespuzăto valo mme a fucţe f adcă atuc x este îlocut cu f ( xm) = m f( x ) = + { } (5.5) x ş astfel am obţut u ou smplex cu cae putem elua pocesul de optmzae. Pocedâd aşa este foate posbl să augem î uele stuaţ dfcle. De exemplu dacă u smplex auge ît-o vale a fucţe î cae f ( x ) = f( x ) atuc p eflexe e vom îtoace le vecul smplex apăâd dec feomeul de cclae. Această stuaţe se poate depăş p elmaea d smplexul cuet a vâfulu coespuzăto cele de-a doua valo maxme a fucţe f medat după valoaea f ( x ). Î geeal această statege coduce la apopeea smplexulu de puctul de mm al lu f da este foate posbl ca smplexul fal d ou să ccleze î uul lu x sau să se afle la o dstaţă egală cu odul de măme faţă de x. Î această stuaţe putem cosdea ca puct de mm al fucţe f acel vâf cae apae î toate smplexule geeate p eflexe. Dacă se doeşte o pecze ma mae atuc smplexul tebue cotactat sau edus î dmesue după cum vom vedea î cele ce umează. Dlataea. Dacă pocesul de eflexe costueşte puctul x petu cae f ( x ) < f( x ) adcă se obţe u ou mm atuc î geeal e aşteptăm ca m valole fucţe f să se educă de-a lugul le cae ueşte x c cu x. Dec vom deplasa x î x e p elaţa: x = γ x + ( γ ) x (5.6) e c ude γ este coefcetul de dlatae deft ca:
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ xe xc γ = >. x x c (5.7) Dacă f ( xe) < f( xm) atuc îlocum vâful x cu x e ş eluăm pocesul de eflexe. Dacă pe de altă pate f ( x ) > f( x ) atuc dlataea este u eşec ş e dec vom îlocu x cu x după cae eluăm pocesul de eflexe. Cotacţa. Dacă pocesul de eflexe fuzează u puct x petu cae f ( x ) > f( x ) petu toţ = + cu excepţa = ş f ( x ) < f( x ) atuc îlocum vâful x cu x. Î acest caz vom cotacta smplexul costud: xo = β x + ( β ) xc (5.8) ude β este coefcetul de cotacţe ( β ) deft ca: xo xc β =. (5.9) x x Dacă f ( x ) > f( x ) atuc vom utlza (5.8) petu costucţa puctulu x. Dacă pocesul de cotacţe a geeat puctul x o petu cae f( x ) m f( x ) f( x ) o c m { } < atuc îlocum puctul x cu x o ş eluăm pocesul de eflexe. Dacă pe de altă pate f( x ) m f( x ) f( x ) o { } atuc toate puctele x sut îlocute cu puctele ( x + xm)/ după cae eluăm pocesul de eflexe cu acest ou smplex. Dacă devaţa stadad a fucţe f î cele + vâfu ale smplexulu cuet este ma mcă decât o valoae pescsă poztvă sufcet de mcă adcă: + / ( f( x) f( xc)) ε = + (5.) atuc căutaea mmulu se cosdeă îceată. Nelde ş Mead sugeează valole: α = β = 5 ş γ =. Cu acestea algotmul de căutae dectă Nelde-Mead petu mmzaea fucţe f se poate pezeta sub foma umătoae. Fe x o estmaţe ţală a lu x ş cosdeăm vâfule smplexulu ţal ude x x e x x + + = + î cae scala sut aleş astfel îcât cattăţle f ( x+ e ) f( x) să fe pe cât posbl egale. Petu smplexul cuet defm: f ( x ) = max f( x ) x - puctul petu cae { } s = + x - puctul petu cae f x = max { f x } ( ) ( ) s = + ; o
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ x - puctul petu cae f x = m { f x } m x c - cetodul smplexulu ( ) ( ) x m c = + + = = ; x. Algotmul 5. (Algotmul Nelde-Mead) Pasul. Se aleg vâfule x x + ale smplexulu ţal ş se calculează f ( x ) = +. Se detemă puctele x x s x m ş x c. Pasul. Se testează cteul (5.) de ope a teaţlo. Pasul 3. Reflexa. Se calculează puctul x = ( + α) x α x. c Pasul 4. Dacă f ( xm) f( x) f( xs) atuc îlocum x cu x ş cotuăm cu pasul. Pasul 5. Dlataea. Dacă f ( x ) < f( x ) atuc dlatăm smplexul calculâd puctul x = γ x + ( γ ) x. e c a) Dacă f ( xe) < f( xm) atuc îlocum x cu x e ş cotuăm cu pasul. b) Dacă f ( xe) f( xm) atuc îlocum x cu x ş cotuăm cu pasul. Pasul 6. Cotacţa. Dacă f ( x ) > f( x ) atuc cotactăm smplexul. m s a) Dacă f ( x ) < f( x ) atuc calculăm x = β x + ( β ) x. o c b) Dacă f ( x ) f( x ) atuc calculăm x = β x + ( β ) x. o c c) Dacă f ( xo) < f( x) ş f ( xo) < f( x) atuc îlocum x cu x o ş cotuăm cu pasul. d) Dacă f ( x ) f( x ) sau f ( x ) > f( x ) atuc educem mămea o o smplexulu cosdeâd = / = + ş cotuăm cu pasul. Extes ale metode smplex î ceea ce pveşte toduceea optmză udmesoale podeă cetodulu sau utlzaea optmză cclce de tp mxt au fost date de Dumtu [975]. O ecosdeae a metodelo de căutae dectă î patcula a metode Nelde-Mead este dată de Wgt [996] ş Kelley [999]. Metodele de căutae dectă după cum se vede îceacă o see de stateg de detemae a fome fucţe de mmzat ş de utlzae a acestea î pocesul de calcul a mmulu. Toate aceste metode au o îcăcătuă empcă cae le fac vuleable la peteţle de optmzae a fucţlo cu umă mae de vaable sau atuc câd se doeşte detemaea mmulu cu o acuateţe mătă. De aceea î aplcaţle cuete aceste u sut utlzate. Totuş petu cazule î cae petu
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 3 fucţa dată calculul gadetulu este o poblemă ş u se doeşte decât o soluţe apoxmatvă atuc se pot îceca aceste metode. Exemplul 5.. Să cosdeăm umătoaea fucţe cu două vaable: f( x) = [ + ( x + x + ) (9 4x + 3x 4x + 6x x + 3 x )] [3 + (x 3 x ) (8 3x + x + 48x 36x x + 7 x )] cae ae u mm î puctul x = [ ] T cu valoaea fucţe f( x ) = 3. Calculul gadetulu aceste fucţ este o complcaţe de aceea vom îceca metodele de căutae dectă pezetate ma sus plecâd d puctul ţal x = [.5] T petu cae f( x ) = 436.3556. Tabelul 5. peztă umăul de teaţ (#te) umăul de evaluă ale fucţe (#eval) tmpul de calcul (cpu) î secude puctul de mm ş valoaea fucţe fuzate de algotm Hoo-Jeeves Powell Roseboc ş Nelde-Mead î cae căutaea laă este mplemetată p metodele îate-îapo secţuea de au Fboacc tepolae pătatcă î te pucte [Ade 9]. Tabelul 5.. Rezultate fuzate de algotm de căutae dectă. #te #eval cpu(s) x ε = 7. f ( x ) Hooe-Jeeves & 5 53 8.97 (-) 3. secţuea de au Hooe-Jeeves & 5 9.45 (-) 3. Fboacc Hooe-Jeeves & 579 3.8 (-) 3. tepolae pătatcă Hooe-Jeeves & 4 878.79 (-) 3. căutae îate-îapo Hooe-Jeeves & 8 95 4.74 (-) 3. lugmea pasulu egală cu Powell & 44 56.53 (.8.) 84. secţuea de au Powell & 99 46.75 (.8.) 84. Fboacc Powell & 33.85 (-.3346) 94.649 tepolae pătatcă Powell & 53 3.7 (.74-.5) 76.9 căutae îate-îapo Powell & 44 56.44 (.8.) 84. lugmea pasulu egală cu Roseboc 45 489.8 (-) 3. Nelde-Mead 56 65 8.5 (-) 3. Obsevăm că toate metodele au cam acelaş compotamet excepţe făcâd metoda Powell cae u euşeşte să localzeze mmul fucţe cu acuateţea dată.
4 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Studu umec (Pefomaţa algotmlo de căutae dectă) Petu a vedea pefomaţa algotmlo de căutae dectă cosdeăm umătoul studu umec î cae este voba de mmzaea a 5 de fucţ de test cu umăul de vaable egal cu 5 sau. Dec î total s-au ezolvat de pobleme de mmzae. Petu a lusta pefomaţa algotmlo se cosdeă uma acele pobleme petu cae dfeeţa dte valole mme ale fucţe este ma mcă decât. Î fgua 5. se peztă poflule de pefomaţă petu aceşt algotm î fucţe de umăul de evaluă ale fucţe de mmzat. Fg.. Poflule de pefomaţă ale algotmlo de căutae dectă. Pogamul UNO.FOR mplemetează algotm de căutae dectă cosdeaţ î acest studu umec. Pogamul UNOINT.FOR este o vaată teactvă a lu UNO.FOR
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 5 Obsevăm că d puctul de vedee al metc dată de umăul de evaluă ale fucţe de mmzat metoda Roseboc pae a f cea ma buă. Metoda Powell î mplemetaea oastă u ezstă la compaaţ î acest studu fd mult pea letă petu a f epezetată î poflule de pefomaţă Dola-Moé. Studu umec (Nelde-Mead vesus Roseboc) D studul umec de ma sus se vede că algotm Nelde-Mead a deplasă smplexulu ş Roseboc a ot coodoatelo sut ce ma pefomaţ. De aceea î acest studu vom pezeta pefomaţa acestoa î ceea ce pveşte ezolvaea poblemelo de optmzae făă estcţ cu u umă de vaable ceva ma mae. Cosdeăm aceleaş set de fucţ de test ca ma sus d cae selectăm ş mmzăm 6 petu cae umăul de vaable este egal cu 4 8 6 ş. Dec î total s-au mmzat 3 de fucţ de test. Compaaţa dte metoda Nelde-Mead ş Roseboc se face î aceeaş maeă p eţeea uma a acelo pobleme (d cele 3) petu cae dfeeţa dte valole optme (locale) ale fucţlo date de fecae metodă este ma mcă decât. D cele 3 uma 83 de pobleme satsfac acest cteu. Î fgua 5.. se peztă poflule de pefomaţă Dola-Moé ale celo do algotm î fucţe de umăul de evaluă ale fucţe de mmzat. Fg. 5.. Nelde-Mead vesus Roseboc.
6 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ D acest studu umec î cae se ezolvă pobleme cu u umă de vaable ceva ma mae () ezultă că metoda Roseboc este ma pefomată ş ma obustă decât metoda Nelde-Mead. 6. METODA POWELL UOBYQA A INTERPOLĂRII PĂTRATICE Îate de tece la pezetaea metode UOBYQA (Ucostaed Optmzato BY Quadatc Appoxmato) elaboată de Powell [994 ] să pacugem pcpalele clase de metode decte de optmzae. Î pactca optmză cae utlzează metodele decte se detfcă umătoaele patu clase. Î pma clasă putem clude metodele de căutae a fome fucţe de mmzat î uul puctulu cuet. Metodele pezetate î secţule ateoae d acest captol (Hooe-Jeeves Roseboc ş Nelde-Mead) apaţ aceste clase. Acestea sut bazate pe o exploae a spaţulu vaablelo utlzâd pucte ale uo tpae geometce î cae se evaluează fucţa de mmzat. Acestea u utlzează etezmea fucţe ş dec ce u umă M.J.D. Powell foate mae de evaluă ale fucţe. O aalză a acesto metode se găseşte î [Kolda Lews ş Tozco 3]. A doua clasă de metode decte sut cele toduse de Powell [964] ş cae geeează decţ cougate cuplate cu căutaea laă (vez secţuea 3). Combaea teclo de dfeeţe fte cu metodele quas-newto costtue a tea clasă de metode decte peczate de Moé ş Soese [983]. Î fe ultma clasă de metode decte sut bazate pe modelaea fucţe obectv ca o fucţe pătatcă obţută p tepolae uma d valole fucţe cuplată cu o tecă a egu de îcedee. Aceste metode au fost toduse de Wfeld [969 973] ş ecet ecosdeate de Powell [994 ]. Î această secţue vom pezeta metoda UOBYQA cae apaţe clase de metode decte bazate pe costucţa uu model pătatc obţut p tepolaea valolo fucţe de mmzat ît-u umă dat de pucte. Fe dec poblema m f ( x) ude x R împeuă cu u puct ţal x d cae de demaează calculele ş două valo ρ ş ρ f cae măgesc aza ρ a egu de îcedee î cae este valabl modelul pătatc stetzat uma d valole fucţe f. Valole aze de îcedee sut alese de algotm astfel îcât ρ ρ ρ. Utlzâd valole fucţe ît-u umă de pucte se costueşte modelul pătatc f
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 7 T T Q( x) = cq + gq( x x) + ( x x) GQ( x x ) x R (6.) cae este obţut p tepolaea valolo fucţe. Paamet modelulu pătatc sut scalaul eal c Q vectoul g R ş matcea smetcă G Q. Dec Q spaţul la al poloamelo pătatce de la R la R ae dmesuea m= ( + )( + ). Ca atae paamet lu Q sut defţ pt-u sstem de ecuaţ de tepolae de foma: Qx ( ) = f( x) = m (6.) î cae puctele x = m sut geeate de algotm astfel îcât modelul (6.) să fe be deft ş să asgue stabltatea umecă a pocesulu de calcul. Itepolaea î (6.) se face p temedul poloamelo de tepolae Lagage. Petu = m a a fucţe Lagage este polomul pătatc l : R R cu popetăţle l ( x ) = δ = m (6.3) ude δ este smbolul delta al lu Koece. Dec T T l( x) = c + g ( x x) + ( x x) G( x x ) cae este asemăăto cu ecuaţa (6.). D (6.) ş (6.3) ezultă că c = f( x ) c Qx ( ) = f( x) l( x). Dec d (6.4) avem umătoaele valo petu modelul pătatc (6.): m = g = f( x ) g Q Q = = m m m G = f ( x ) G. (6.6) Q = (6.4) (6.5) Cu acestea modelul pătatc este utlzat ît-o scemă a egu de îcedee adcă se detemă d R ca o estmaţe a soluţe pobleme m Q( x + d): d (6.7) { } ude este u îteg d [ m ] petu cae f ( x ) este cea ma mcă valoae dte valole f ( x ) = m. Ac oma utlzată este oma Eucldaă a este o altă ază a egu de îcedee cae satsface codţa ρ. Itoduceea lu ae avataul de a pemte modfcaea lugmlo vaablelo cae depăşesc valoaea lu ρ. Modfcaea lu se face ît-o maeă tpcă algotmulu egu de îcedee. La fecae teaţe algotmul ezolvă două pobleme de tpul egu de îcedee. Ua dte acestea este dată de (6.7) cealaltă de: { ( ) : } ρ max l x + d d (6.8)
8 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ ude l este fucţa Lagage (6.4). Utlzaea lu (6.8) meţe esgulatatea ecuaţlo de tepolae (6.). După ce modelul pătatc s-a fomat ceea ce mplcă m evaluă ale fucţe f se geeează u ou puct utlzâd ua dte cele două pobleme ale egu de îcedee (6.7) sau (6.8). Petu ezolvaea pobleme (6.7) algotmul Powell aplcă metoda egu de îcedee a lu Moé- Soese [983]. Obsevăm că T T Qx ( + d) = Qx ( ) + d Q + dgd Q (6.9) ude = g + G ( x x ). Codţle KKT (Kaus-Ku-Tuce) petu (6.7) aată că Q Q Q d tebue să fe o soluţe a sstemulu ( G + θ I) d = (6.) ude I este matcea dettate de od astfel îcât GQ Q Q a θ u paametu eegatv ales + θ I să fe o matce poztv deftă sau poztv sem-deftă. Dacă θ este poztv atuc evdet d =. Ca atae metoda Moé-Soese poate cee ezolvaea sstemulu algebc (6.) petu ma multe valo ale lu θ. Petu aceasta Powell costueşte o tasfomae otogoală cae face matcea G tdagoală petu cae o estmaţe a cele ma mc valo pop λ este Q calculată. Fe acum d = d( θ ) soluţa sstemulu (6.) petu oce θ petu cae matcea GQ + θ I este poztv deftă. Atuc d( θ ) desceşte mooto câd θ ceşte ş d = d( θ ) este acceptat dacă θ satsface codţa =. (6.) d( θ ) Da petu θ > λ Q vedem că / d( θ ) este o fucţe de θ cu umătoaele popetăţ: este mooto cescătoae cocavă ş pma devată este măgtă feo de / Q. Algotmul UOBYQA utlzează aceste popetăţ petu ezolvaea ecuaţe elae (6.) î pvţa lu θ pt-o tecă de căutae îate-îapo. Petu ezolvaea pobleme (6.8) se poate aplca de două o pocedua de ma sus deoaece î acest caz î (6.7) se poate cosdea Q= l ş apo Q= l cu = ρ. Totuş această abodae este efcetă deoaece ma multe valo ale lu tebue îcecate (d cele / posble) petu a găs l ( x + d) sufcet de mae. De aceea UOBYQA utlzează o poceduă cae maxmzează l ( x + d) efeto la d ρ uma î O ( ) opeaţ algebce. Îtegul d subpoblema (6.8) îtotdeaua este dfet de dec codţle (6.3) clud cazul l ( x ) =. Ca atae ţâd seama de (6.4) ş deoaece vectoul Q
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 9 = g + G ( x x este calculat atuc d (6.9) ezultă că subpoblema se ) poate sce sub foma: T T max d + d G d = l ( x + d) : d ρ (6.) Acum deoaece î metoda egu de îcedee îtotdeaua d se poate îlocu cu d ezultă că poblema de ma sus este ecvaletă cu T T max d + d G d : d ρ. (6.3) Dacă ˆd ş d T sut valole lu d cae maxmzează d ş espectv d T G d efeto la codţa d ρ atuc d poate f o estmaţe adecvată a soluţe pobleme (6.) dacă acesta se alege îte ± ˆd ş ± d cae dă cea ma mae valoae a fucţe obectv a pobleme. Ît-adevă petu oce d admsbl (cae satsface codţa d ρ ) Powell stableşte umătoaea mage: T T T ˆ T T ˆT d + dgd d + dgd + d + dgdˆ T ˆ ˆT ˆ T T max d + d G d d + d G d. (6.4) Cu acestea ˆd este selectat ca vectoul ± ρ / î tmp ce d este geeat pt-o tecă cae utlzează coloaele matce metode pute petu calculul cele ma mae valo pop a lu. G ît-o maeă pope Odată vecto ˆd ş d selectaţ algotmul costueşte d ca o combaţe laă a acesto vecto da alegeea u este estcţoată la ± ˆd sau ± d cum s-a făcut î (6.4) c se detemă vecto û ş u d spaţul la geeat de ˆd ş d T cae satsfac codţle uu= ˆ ş ugu= ˆ T cae î eseţă este o poblemă de valo pop. Cu acestea d se alege ca d = uˆ cosφ + u s φ ude φ se alege astfel îcât să se ealzeze valoaea maxmă a fucţe T T l( x + d) = d + d Gd T T T T = uˆcos s ˆ ˆ φ + u φ+ ugu cos φ+ ugu s φ (6.5) cu φ π. Valoaea lu φ cae maxmzează această expese se poate detema p tec de tepolae pătatcă da î UOBYQA Powell alege φ ca multpl îteg de π /4. Astfel valoaea fală a lu l ( x + d) este cattatea: G
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ T T T T max ˆ ˆ ˆ u + u G u u + u G u ( ). (6.6) Această cattate u este cu mult ma mcă decât valoaea maxmă a fucţe (6.5). Powell aată că apotul dte (6.6) ş valoaea maxmă a lu (6.5) este măgt feo de ( + ) /7.87 cae este destul de apoape de. Testele / T T T T uˆ ˆ ˆ + u + ugu + ugu umece tesve cu dfete fucţ de test efectuate de Powell aată că această poceduă de detemae a ue soluţ a pobleme (6.8) cae mplcă uma O ( ) opeaţ atmetce este foate expedtvă ş apoxmează foate be soluţa lu (6.8). Umătoaea etapă a algotmulu este aceea a alege uu puct de tepolae cae se modfcă cu soluţa uea d poblemele de ma sus. La îceputul ue teaţ se dspue de: puctele cuete de tepolae x = m; vectoul x d (6.) ş (6.4); gadetul g ş Hessaul G al fecăe fucţ de tepolae Lagage l = m; gadetul ş Hessaul G Q asocate modelulu pătatc cuet cae satsfac ecuaţle de tepolae (6.). De asemeea se dspue de valole azelo egu de îcedee ş ρ ude ρ pecum ş de îtegul cae tă î (6.7) ş cae coespude cele ma mc valo f ( x ) = m. Dacă d este o soluţe a lu (6.7) cu = ρ da f ( x + d ) > f ( x ) atuc ρ tebue să fe edus dacă Q fuzează o buă apoxmaţe a lu f î domeul { : ρ} x x x. Totuş dacă ua sau ma multe dstaţe x x = m sut ma ma decât ρ atuc sgu Q u costtue o buă apoxmae a fucţe f. Î această stuaţe u puct de tepolae modfcat î domeul { x: x x ρ} g Q x este îate ca aza ρ să fe edusă. Powell [] demostează că: dacă fucţa este de te o dfeeţablă cu devata de odul te măgtă de o costată M atuc dfeeţa dte modelul pătatc ş fucţa obectv satsface codţa m 3 Qx ( ) f( x) M l( x) x x. (6.7) 6 = Acest ezultat pae uma o estmaţe academcă deoaece pesupueea făcută asupa devate de odul te (cae amteşte de fucţle autococodate) este foate estctvă ş costata M u este dspoblă. Totuş Powell utlzează (6.7) ît-o maeă costuctvă cae educe umăul de teaţ î UOBYQA. Paametul M /6 este o costată eegatvă cae este actualzat la fecae teaţe ca:
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ m max M /6 Q( x d) f ( x d) / l ( x d) x d x 3 + + + +. = Actualzaea lu se face î fucţe de valoaea apotulu f ( x) f( x + d) = Qx ( ) Qx ( + d) î maea umătoae: max{ 5 d / 4 ρ + d }.7 = max{ / d }.< <.7 d /.. Pe de altă pate valoaea lu ρ este modfcată cofom egul: (6.8) (6.9) ρf ρ f < ρ 6ρ f ρ = ρρ f 6ρ f < ρ 5 ρ f ρ/ ρ > 5 ρf. (6.) UOBYQA coţe o ţalzae foate teesată. Cele m pucte de tepolae sut selectate astfel. Se pue x = x ş x = x + ρ e = ude este al -lea vecto uta d R. Powell cosdeă σ ca dacă f ( x ) f( x) ş espectv dacă f ( x ) < f ( x ş aplcă fomula: + ) x ρe σ = x + = x + ρe σ =+ =. (6.) Î cotuae se cosdeă ( p q) cu valole: ( p q) = + + p+ ( q )( q ) p < q a celelalte pucte ţale de tepolae sut plasate pe pozţle x( p q) = x + ρ( σ pep+ σqeq) p < q. (6.) Pocedua de ţalzae pue dept cel ma mc îteg d [ m] astfel îcât f ( x ) este cea ma mcă valoae dte valole f ( x ) = m ş cosdeă M /6= ρ = ρ ş = ρ cu cae se demaează calculele. Această alegee a puctelo ţale de tepolae face ca detemaea pmulu model pătatc (6.) d codţle de tepolae (6.) să fe foate uşoaă. Ît-adevă faptul că x = x detemă cq = f( x ). Apo deoaece petu = x x ş x + x sut multpl dfeţ de zeo a vectoulu e pemte ca ( g ) ş ( ) să fe detemaţ d dfeeţele Q G Q f ( x ) f( x) ş f ( x + ) f( x) ude ( g Q ) este e
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ a a compoetă a lu g a ( G ) este elemetul ( p q ) d matcea G Q. Elemetele edagoale ale matce smetce c + ρ [ σ ( g ) + σ ( g ) ] Q p Q p q Q q Q Q pq G Q sut calculate d dettatea: + ρ [( GQ) pp + σ pσq( GQ) pq + ( GQ) qq] = f( x( p q) ) (6.3) petu p < q obţută d (6.) (6.) ş (6.). Î acelaş tmp toţ coefceţ eul d poloamele de tepolae Lagage se pot calcula î O ( ) opeaţ atmetce deoaece petu p < q fucţle au o l ( p q ) fomă foate smplă: l ( x) = ( σσ / ρ)( x x ) ( x x ) p < q (6.4) ceea ce aată că ( p q) p q p q ( G ) = σ σ / ρ este sguul coefcet eul al lu. ( p q) pq p q l ( p q ) Coefceţ eulu d poloamele de tepolae Lagage l = + se detemă d poloamele pătatce: ˆ ( x x) ( ) ( ) x x + l x = ( x x ) ( x x ) + ( x x ) ( x x ) ˆ l + ( x) = ( x + x) ( x + x ) (6.5a) (6.5b) petu =. Cu acestea o pezetae fomală a algotmulu UOBYQA se poate face după cum umează. Detal se găsesc î Powell [ ] pecum ş î pogamul Fota cae mplemetează acest algotm. Algotmul 6. (Algotmul UOBYQA - Powell) Pasul. Iţalzae. Se cosdeă vectoul x R paamet ρ ş ρ f pecum ş M /6= ρ = ρ = ρ ş se pue =. Se detemă cele m pucte de tepolae x = m pecum ş dcele coespuzăto celu ma mc îteg d mulţmea m petu cae { } f ( x ) = m f( x ): = m. Pasul. Dacă = atuc utlzâd pocedua descsă ma sus (vez (6.)) se ezolvă poblema (6.7) cae fuzează pasul d. Pasul 3. Se calculează f ( x + d) Qx ( + d) ş valoaea poloamelo de tepolae Lagage l ( x + ) = m. Se actualzează M /6. d Pasul 4. Dacă = atuc utlzâd (6.9) se actualzează. Se alege t ca 3 3 acel petu cae expesa l( x + d) max{ x x / ρ } este
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 3 maxmă ş lt( x + d). Dacă pe de altă pate > atuc se pue t =. Pasul 5. Dacă t > atuc se deplasează x î pozţa x = x + d. Se ecalculează coefceţ poloamelo de tepolae Lagage ş a modelulu pătatc. Pasul 6. Dacă t > ş cel puţ ua d codţle > f ( x ) < f( x ) d > ρ ş x x > ρ este îdepltă atuc se pue = ş se cotuă cu pasul. Pasul 7. Se alege d mulţmea Totuş dacă t J { : x x ρ} x x max{ x x : J} t = > petu cae =. (6.6) 3 ( M /6) x x l( x + d) ε ude ε = ρ λ Q / î cae λ Q este cea ma mcă valoae pope a matce G Q atuc se elmă d mulţmea J ş se detemă u alt cae vefcă (6.6). Dacă J este mulţmea vdă atuc se pue =. Pasul 8. Dacă > sau dacă = ş d > ρ atuc se execută pasul. Pasul 9. Dacă ρ > ρ f atuc se actualzează ρ ca î (6.) ca î (6.9) ş se pue x = x + x. Dacă ρ = ρ f atuc stop; altfel se cotuă cu pasul. Deoaece fecae coefcet al fecău polom de tepolae Lagage este elevat ezultă că complextatea algotmulu î paş 3 ş 5 este de odul 4 O ( ). Aceasta educe foate mult posbltăţle algotmulu de a ezolva pobleme de ma dmesu. Powell peztă aumte sceme de smplfcae a acesto paş da cu toate acestea pefomaţele algotmulu sut lmtate la mmzaea fucţlo cu de vaable. Algotmul este complcat coţe foate multă eustcă cae ţe seama atât de pofuzmle metode egu de îcedee cât ş de aumte obsevaţ ş caactestc ale mmză fucţlo detemate p umeoase expemetă umece cotolate. Exemplul 6.. Să cosdeăm fucţa de două vaable: f( x) = [ + ( x + x + ) (9 4x + 3x 4x + 6x x + 3 x )] [3 + (x 3 x ) (8 3x + x + 48x 36x x + 7 x )] cae ae u mm î puctul x = [ ] T cu valoaea fucţe f( x ) = 3 ş pe cae am mmzat-o cu algotm de căutae dectă pezetaţ î acest captol cu t t
4 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ ezultatele î tabelul 5.. D puctul ţal x = [.5] T algotmul UOBYQA al lu Powell fuzează soluţa x = [ ] T cu valoaea fucţe f( x ) = 3 î 6 teaţ ş 5 de evaluă ale fucţe. Vedem că petu acest exemplu metoda de căutae p tepolae pătatcă sugeată de Powell este de depate supeoaă. Studu umec (UOBYQA vesus Roseboc) La fel ca î studul umec ateo î cae am compaat metodele Roseboc ş Nelde-Mead ac cosdeăm aceleaş 6 de fucţ de test cu umăul de vaable egal cu 4 8 6 ş pe cae le mmzăm cu UOBYQA a lu Powell. Dec ca ma sus s-au efectuat 3 de expemete umece î aceleaş codţ computaţoale. Î toate acestea fucţle au fost ţalzate î acelaş puct. Compaaţa dte metoda UOBYQA ş metoda Roseboc a ot coodoatelo se face î aceeaş maeă p eţeea uma a acelo pobleme petu cae dfeeţa dte valole optme locale ale fucţlo date de fecae metodă î pate este ma mcă decât. D cele 3 de pobleme uma 38 satsfac acest cteu. Î fgua 6. se peztă poflule de pefomaţă ale celo do algotm î fucţe de umăul de evaluă ale fucţe de mmzat. Fg. 6.. UOBYQA vesus Roseboc. Pogamul UOBYQA a fost elaboat de Powell căua autoul î mulţumeşte petu amabltatea de a-l f tms î vedeea efectuă testelo umece d această lucae.
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 5 Î apot cu metca cosdeată dată de umăul de evaluă ale fucţe obsevăm medat că metoda UOBYQA a lu Powell este supeoaă metode Roseboc a ot coodoatelo. Î acelaş tmp aceasta este ma obustă. Aceste două metode ămâ cel puţ pâă acum metodele decte de bază î ceea ce pveşte mmzaea fucţlo p căutae dectă. Studu umec (UOBYQA vesus Nelde-Mead) Î acest studu umec compaăm metoda UOBYQA a lu Powell cu metoda Nelde-Mead a deplasă smplexulu. Acest studu a fost făcut î aceleaş codţ ca ma sus adcă s-au cosdeat aceleaş fucţ de test ţalzate î acelaş puct petu cae umăul de vaable a fost cescut costat fd egal cu 4 8 6 ş. Ca ma sus î amb algotm acuateţea de calcul a soluţe a fost fxată la 5. Algotmul Nelde-Mead fucţoează mult ma geu decât UOBYQA. De aceea umăul de teaţ a fost lmtat la. Aceasta face ca d cele 3 de pobleme ezolvate uma 99 să satsfacă cteul cofom căua uma acele pobleme petu cae dfeeţa dte valole optme ale fucţlo este ma mcă decât să fe cosdeate î detemaea poflulu de pefomaţă. Fgua 6. aată poflule de pefomaţă ale acesto algotm î fucţe de umăul de evaluă ale fucţe de mmzat. Fg. 6.. UOBYQA vesus Nelde-Mead.
6 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Fgua 6. lustează supeotatea metode de tepolae pătatcă cae utlzează uma valole fucţe faţă de metoda deplasă smplexulu. Coceptual aceste metode sut foate dfete. Deplasaea smplexulu caută foma locală a fucţe ş face u umă de eflex dlată ş cotacţ ale smplexulu petu a găs mmul. Itepolaea pătatcă este ma afată. Aceasta toduce u model local pătatc al fucţe cae supde ma be compotaea locală a fucţe ş beefcază de teologa dată de metoda egu de îcedee. Exemple ş aplcaţ (UOBYQA) Î cele ce umează vom cosdea câteva exemple ş aplcaţ cae lustează capabltăţle metode UOBYQA a lu Powell. Î geeal aplcaţle sut de mc 6 dmesu ş soluţa se calculează cu acuateţea de. Exemplul 6. (Fucţa HAS 64) [Bow ş Batolomew-Bggs 987a pg.7]. Să cosdeăm fucţa: f ( x) = 5x+ 5 / x+ x + 7 / x + x3+ 44 / x3+ τ 5 ( ( 4 / 3 / / ) ( x x ) x3 x4 + x x5 ( x x ) + ( x x ) 5 5 6 3 7 T τ = cu puctul ţal: x = [ ]. Algotmul UOBYQA î mplemetaea dată de Powell fuzează soluţa: x = [6.8333 79.4958 86.386.74 T -.3938 8.9-3.653] î 6 teaţ ş 45 evaluă ale fucţe petu cae ) + f( x ) = 64.48878. Aplcaţa D (Aalza eacţe ezmelo) 3 [Ade pg.66] [Ade 3 pg.6]. Se popue umătoaea fucţe cae expmă eacţa uo ezme: x( u + ux) f( x) = y = u + ux3+ x 4 ude măsuătole expemetale fuzează umătoaele valo: y u y.957 4. 7.456.5.947. 8.34. 3.735. 9.33.833 4.6.5.35.74 5.844.5.46.65 6.67.67 3 Pogamul ENZIME.FOR mplemetează această aplcaţe. u
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 7 T Cosdeâd puctul ţal x = [.5.39.45.39] atuc algotmul UOBYQA fuzează umătoaea soluţe: T x = [.98.98.356.366] petu cae f( x ) =.375 î 6 teaţ ş de evaluă ale fucţe. Aplcaţa D (Aalza ezsteţe uu temsto î fucţe de tempeatuă) 4 [Ade pg.66] [Ade 3 pg.6]. Petu această aplcaţe se popue umătoaea fucţe: f x y x ude măsuătole au umătoaele valo: 6 x ( ) = exp = 45 + 5+ x 3 y y 3478 9 86 86 73 3 365 65 4 963 547 5 637 3 447 6 37 4 38 7 54 5 337 8 9744 6 87 Cosdeâd puctul ţal x = [.634] T petu cae valoaea fucţe de mmzat este f( x ) =.3359E+ atuc algotmul UOBYQA î vaata dată de Powell fuzează soluţa x = [.697 698.4636 34.48] î cae acuateţe ma mcă decât T f( x ) = 75.3366 6. î 4 teaţ ş 35 evaluă ale fucţe cu o Aplcaţa D3 (Aalza spectoscope solae) 5 [Ade pg.7] [Ade 3 pg.68]. Modelul matematc al aceste aplcaţ este: 3 ( + x3 ) f ( x) = x+ xexp y = x 4 ude măsuătole au umătoaele valo: 4 Pogamul TERMISTOR mplemetează această aplcaţe 5 Pogamul SOLAR.FOR mplemetează această aplcaţe.
8 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ y y.5 8.5.8 9.6 3.3 4.4.7 5.4 6.4 3.3 7.7 Petu puctul ţal x = [] T algotmul UOBYQA fuzează umătoaea soluţe: T x = [.353846.335.4794.34658] cu f( x ) = 8.33 î 6 teaţ ş 38 evaluă ale fucţe. Aplcaţa D4 (Plasaea optmă î pla a ue facltăţ Poblema Webe) 6 [Ade 3 pg.58] [Maaas Floudas 994]. Aplcaţa se efeă la plasaea optmă î pla a ue facltăţ î aşa fel îcât să se mmzeze suma podeată a dstaţelo Eucldee ale acestea la u umă dat de pucte d pla. Petu cazul f( x) = ( x ) + ( x 4) + 4 ( x 9) + ( x ) 5 ( x 43) + ( x 88) algotmul UOBYQA ţalzat î puctul x = [9] T x = [] T fuzează soluţa î 6 teaţ ş 45 evaluă ale fucţe petu cae f( x ) = 64.4534. Poblema este dfcl de ezolvat. Î puctul de mm gadetul fucţe u este deft. Aplcaţa D5 (Poectaea uu ccut electc) 7 [Ratsce ş Roe 993]. Î aplcaţa S d [Ade 9] captolul 6 am pezetat modelul matematc al poectă uu ccut electc utlzâd ecuaţle Ebes-Moll. Ecuaţle Ebes-Moll [Ebes ş Moll 954] descu elaţle dte cuetul d colecto I C ş cădeea de tesue dte bază ş emto V BE sub foma ev I I exp BE C= S T ude IS este cuetul de satuaţe e =.6 9 C este utatea de sacă 3 electcă elemetaă =.38 J/K este costata Boltzma a T este tempeatua absolută (Kelv). 6 Pogamul WEBER.FOR mplemetează această aplcaţe. 7 Pogamul CIRCUIT.FOR mplemetează această aplcaţe.
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 9 Modelul matematc epeztă poblema poectă uu ccut electc utlzâd teoa Ebes Moll cu umătoaea fomulae: ude 3 3 { } ( xx ) x3 exp x5( g g3x7 g5x8 ) + g x g = = 4 4 5 3 3 { } ( xx ) x4 exp x6( g g g3x7 g4x9 ) + g g x = = 4 xx 3 xx 4= 4 5.485.75.869.98.369.54.73.455 g = 5.95.677.974.53 3.337.779.46 9.67 8.53.8467 34.3884.483 Poblema costă î ezolvaea uu sstem de ecuaţ algebce elae cae se tasfomă foate smplu î mmzaea sume pătatelo ecuaţlo sstemulu. Utlzâd aceaş paamet ş acelaş puct ţal algotmul UOBYQA fuzează soluţa: T x = [.9.45.9999 7.9999 8 4.9999.9999.9999] î 6 teaţ ş 686 evaluă ale fucţe petu cae f( x ) =. Algotmul Newto dă aceeaş soluţe î doa 4 teaţ. Peţul plătt este costucţa Jacobaulu sstemulu cae u este o sacă smplă! Aplcaţa D6 (Combusta popaulu î ae-vaata edusă) 8 [Metes ş Moga 99] [Ade pg.7] [Ade 3 pg.67] [Avec Cate ş Moé 99]. Aplcaţa S d [Ade 9] captolul 6 desce modelul matematc al pocesulu de combuste a popaulu î ae ca u sstem de ecuaţ algebce elae. Modelul matematc desce eclbul cmc al combuste popaulu î ae. Vaablele epeztă umăul de mol al uu podus fomat d adeea fecău mol de popa. Se cuosc două vaate ale aceste pobleme. Pma coţe o eacţe î cae patcpă substaţe. Sstemul espectv este geu de ezolvat datotă pezeţe adcallo î expesa algebcă a acestua ş dec a posbltăţ geeă teaţlo cu compoete egatve. A doua vaată este o efomulae algebcă edusă a pme vaate cae evtă adcal ş cae coţe uma 5 vaable. Î cele ce umează vom ezolva vaata edusă expmată ca: 8 Pogamul PROPAN.FOR mplemetează această aplcaţe.
3 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ ude: xx + x 3x = 5 x x + x + R x + x x + R x x + R x x + R x Rx = 3 xx + Rxx + Rx + Rx 8x = 3 7 3 5 3 Rxx + x 4Rx = 9 4 4 5 7 3 9 4 8 5 6 3 5 x x + x+ R x + xx + Rxx + Rxx 3 7 3 9 4 + Rx + Rx + Rx + x = 8 5 3 6 3 4 R 5 = 93 R6 =.46754E 3 R7 =. 545766686E 3 R8 =.44975E 6 R9 =. 34735478E 4 R =. 965E 6 R =. Poblema se tasfomă smplu la mmzaea sume pătatelo ecuaţlo modelulu. Î această fomă algotmul UOBYQA fuzează soluţa: T x = [.987.6377.67.858.3688] î 7 teaţ ş 55 evaluă ale fucţe petu cae f x ( ) =.5877E- 4. Aplcaţa D7 (Soluţa staţoaă a uu eacto cmc) 9 [Sacam 986] [Ade pg. 67] [Ade 3 pg.63]. Î aplcaţa S3 d [Ade 9] captolul 6 se peztă modelul matematc al uu eacto cmc. Modelul epeztă ecuaţle cmce ale uo compoete ît-u eacto. Paamet defesc coefceţ de eacţe cmcă a vaablele epeztă cattăţle î mol ale dfetelo substaţe pezete î eacţe. Î egm staţoa toate atele de eacţe tebue să fe ule. x xx6 + x 4 = x xx6 + x 5 = x3 + 3x4x5 = x x x x x = 6 4 3 4 5 ( ) 5 xx 6 x 5 xx 3 4 5 = x x x = 4 5 6 ude: = 34 = 7 3 = 33 3 = 6 =. Tasfomâd poblema î aceea de mmzae a sume pătatelo ecuaţlo î aceleaş codţ ţale algotmul UOBYQA fuzează soluţa: T x = [.34. -.68 -.. -.95] î 6 teaţ ş 63 evaluă ale fucţe cu f( x ) =.353E-9. 9 Pogamul REACTOR.FOR mplemetează această aplcaţe.
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 3 Aplcaţa D8 (Cematca uu obot) [Keafott ş Novoa 99] [Ade 3 pg.4] [Floudas et al. 999 pg.39]. Î aplcaţa S4 d [Ade 9] captolul 6 am ezolvat poblema cematc uu obot fomulată ca u sstem de ecuaţ algebce elae. 4 73( 3 ) xx 3578xx 3 3 38x + x 7 637( 3 ) x 9338 x 4 357 = 38 xx 3 + 763xx 3 + 638 x x 7745x 6734x 6 = 7 4 3 xx 6 8 + 3578x + 4 73( ) x = 763x + 38 x + 346 = x x x x 3 5 7 + x = 4 + x = + x = 6 + x =. 8 Utlzâd algotmul UOBYQA al lu Powell î cae poblema a fost efomulată ca ua de mmzae a sume pătatelo ecuaţlo se obţe soluţa: T x = [.675.749.958 -.364 -.9638 -.665.446.944] î 6 teaţ ş 79 evaluă ale fucţe petu cae f( x ) =.5E-. Aplcaţa D9. (Estmaţa paametlo d date expemetale) [Hmmelblau 97 pg.43]. Modelul matematc al aceste aplcaţ este: 7 x + ax + a x 3 f( x) = = ( + ax 4 ) b ude măsuătole au umătoaele valo: a b. 7.39.48.8 3. 6.44 4.6 6. 5.9. 6.348 4. 7.55 3.3 Pogamul ROBOT.FOR mplemetează această aplcaţe. Pogamul ESTIMATIE.FOR mplemetează această aplcaţe.
3 METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ Petu puctul ţal x = [.795] T algotmul UOBYQA fuzează T umătoaea soluţe: x = [.7436 4.4357 77.593 3.583] cu f( x ) =.3857 î 7 teaţ ş 57 evaluă ale fucţe. 7. CONCLUZII Metodele de căutae dectă petu optmzae făă estcţ sut ctcable d multe pucte de vedee. Î pmul âd posbltăţle de detemae a mmulu sut lmtate la lugmea pasulu de pobă cae caactezează fecae metodă. Ca atae acestea au u caacte local mmul obţut se află î vecătatea puctulu ţal. Î al dolea âd ata de covegeţă este extem de letă ma ales petu fucţ cu vă adâc. De obce aceste metode u au î cosdeaţe topologa locală a fucţe de mmzat ceea ce face ca petu multe teaţ valoaea fucţe de mmzat să u se îmbuătăţească. Î al telea âd aceste metode sut capable să fuzeze o soluţe cu o acuateţe ma mae decât lugmea pasulu de pobă. O excepţe otablă este dată de metoda de tepolae pătatcă a lu Powell. Î fal meţoăm faptul că aceste metode sut lmtate uma la mmzaea fucţlo cu u umă foate edus de vaable. Pcpalul avata al acesto metode este uşuţa emacablă cu cae acestea se pot utlza ma ales petu acele fucţ cae sut coststo de evaluat sau cae sut afectate de zgomot. Ît-adevă tot ceea ce tebue să mplemetăm este expesa algebcă a acesto fucţ. Uşuţa î utlzae face ca aceste metode de căutae să fe mult studate ş să costtue o actvtate de cecetae foate actvă. U exemplu elevat este dat de Fmaslud ş Steag [7] cae popu o combaţe a metode de ote a coodoatelo a lu Roseboc cu utlzaea uu model pătatc al fucţe de mmzat. U alt exemplu este cel ofet de Pce ş Tot [6] cae utlzează stuctua pobleme î căutaea fome fucţe de mmzat. Refeţe Ade N. () Pacete de Pogame Modele ş Pobleme de Test petu Pogamaea Matematcă. Edtua MatxRom Bucueşt. Ade N. () Ssteme ş Pacete de Pogame petu Pogamaea Matematcă. Edtua Tecă Bucueşt. Ade N. (3) Modele Pobleme de Test ş Aplcaţ de Pogamae Matematcă. Edtua Tecă Bucueşt 3. Ade N. (9) Ctca aţu algotmlo de optmzae făă estcţ. Edtua Academe Româe Bucueşt 9. Avec B.M. Cate R.G. Moé J.J. (99) Te MINPACK- test poblem collecto (Pelmay veso) Matematcs ad Compute Scece Dvso Agoe Natoal Laboatoy Teccal Memoadum No. 5 May 99. Bow A.A. Batolomew-Bggs M.C. (987a) Some effectve metods fo ucostaed optmzato based o te soluto of systems of oday dffeetal equatos. Teccal Repot No. 78 Te Hatfeld Polytecc Numecal Optmsato Cete Apl 987.
METODE DE CĂUTARE DIRECTĂ 33 Bow A.A. Batolomew-Bggs M.C. (987b) ODE vs SQP metods fo costaed optmzato. Teccal Repot No. 79 Te Hatfeld Polytecc Numecal Optmsato Cete Jue 987. Dumtu V. (975) Pogamae Nelaă. Algotm pogame ezultate umece. [Apedx P î colaboae cu Fl. Luba S. Moga R. Şeba]. Edtua Academe Româe Bucueşt 975. Ebes J.J. Moll J.L. (954) Lage scale beavou of ucto tasstos. IEE Poc. Vol.4 pp.76-77. Floudas A.C. et al. (999) Hadboo of test poblems local ad global optmzato.kluwe Academc Publses Dodect Bosto Lodo 999. Fmaslud L. Steaug T. (7) A geeatg set seac metod usg cuvatue fomato. Computatoal Optmzato ad Applcatos 38 (7) pp.5-. Hmmelblau D.M. (97) Appled Nolea Pogammg. McGaw-Hll New Yo 97. Hooe R. Jeeves T.A. (96) Dect seac soluto of umecal ad statstcal poblems. Joual of te Assocato fo Computg Macey 8 (96) pp.- 9. Keafott R. Novoa M. (99) INTBIS a potable teval ewto bsecto pacage. ACM Tas. Mat. Softwae 6 99 pp.5-57. Kelley C.T. (999) Iteatve Metods fo Optmzato. SIAM Publcatos Fote Matematcs Pladelpa 999. Kolda T.G. Lews R.M. Tozco V. (3) Optmzato by dect seac: ew pespectves of some classcal ad mode metods. SIAM Revew 45 (3) pp.385-48. Maaas C.D. Floudas C.A. (994) A global optmzato metod fo Webe s poblem wt attacto ad epulso. Î W.W. Hage D.W. Hea ş P.M. Padalos (Eds.) Lage-Scale Optmzato. State of te At Kluwe Academc Publses Dodect 994 pp.59-93. Metes K. Moga A.P. (99) Cemcal-equlbum systems as umecal test poblems. ACM Tas. Mat. Soft. vol.6 (99) pp.43-5. Moé J.J. Soese D.C. (983) Computg a tust ego step SIAM J. Sc. Stat. Comput. 4 (983) pp.553-57. Nelde J.A. Mead R. (965) A smplex metod fo fucto mmzato. Te Compute Joual 7 (965) pp.38-33. Powell M.J.D. (964) A effcet metod fo fdg te mmum of a fucto of seveal vaables wtout calculatg devatves Compute Joual 7 (964) pp.55-6. Powell M.J.D. (994) A dect seac optmzato metod tat models te obectve ad costat fuctos by lea tepolato î Advaces Optmzato ad Numecal Aalyss S. Gomez J.P. Heat (Eds.) Kluwe Academc Publses 994 pp. 5-67. Powell M.J.D. (998) Dect seac algotms fo optmzato calculatos. Repot DAMTP 998/NA4 Depatmet of Appled Matematcs ad Teoetcal Pyscs Uvesty of Cambdge Mac 998. [Acta Numeca vol.7 998] Powell M.J.D. () O te Lagage fuctos of quadatc models tat ae defed by tepolato. Repot DAMTP /NA Depatmet of Appled Matematcs ad Teoetcal Pyscs Uvesty of Cambdge. Powell M.J.D. () UOBYQA: ucostaed optmzato by quadatc appoxmato. Repot No. DAMTP /NA4 Uvesty of Cambdge Decembe evsed Jue.