ELEMENTET E PROBABILITETIT

ELEMENTET E PROBABILITETIT Hapësira e ngjarjeve ( e rezultateve). Ngjarjet Definicioni. Situata e cila varet nga rasti quhet eksperiment. Shembulli. Shembuj të eksperimenteve në kontest të probabilitetit janë: a) hedhja e zarit; b) hedhja e monedhës metalike c) zgjedhja e një letre nga 5 letrat d) rrotullimi i ruletit e) formimi i një delegacioni nga një grup njerëzish etj. Definicioni. Çdo rezultat i mundshëm quhet ngjarje. Bashkësia e të gjitha ngjarjeve quhet hapësirë e ngjarjeve. Hapësirën e ngjarjeve do të shënojmë me S. Shembulli. Nëse hedhim monedhën metalike janë të mundshme dy ngjarje: Paraqitet stema Paraqitet numri Atëherë hapësira e ngjarjeve do të jetë S = { St, N}. Shembulli. Gjatë hedhjes së zarit mund të paraqiten rastet që tregohen në figurë. Pra, hapësira e ngjarjeve në këtë rast është S = {,,,4,5,6}. Shembulli 4. Dy kube ( në faqet e të cilëve janë shënuar numrat,,,4,5,6) hidhen. Në këtë rast hapësira e ngjarjeve përbëhet nga 6 dyshet e renditura.

(,), (, ), (, ), (, 4), (, 5), (, 6) (,),(, ),(,),(, 4),(,5),(,6) (,),(, ),(,),(, 4),(,5),(,6) (4,),(4, ),(4,),(4, 4),(4,5),(4,6) (5,),(5, ),(5,),(5, 4),(5,5),(5,6) (6,),(6,),(6,),(6,4),(6,5),(6,6) Shembulli 5. Të caktohet hapësira e ngjarjeve për eksperimentin e tërheqjes së një letre nga kompleti prej 5 letrash. Hapësira e ngjarjeve është Detyra për ushtrime të pavarura Të caktohet hapësira e ngjarjeve për eksperimentet vijuese:. Hidhet një kub dhe një monedhë metalike. Hidhen dy monedha metalike. Hidhen dy kube dhe një monedhë metalike 4. Hidhen dy monedha metalike dhe një kub. Nëse hapësira e ngjarjeve ka numër të fundëm të elementeve, numrin e tillë do ta shënojmë me ns ( ). Nëse E është ngjarja që është nënbashkësi e bashkësisë S, atëherë vlen ne ( ) ns ( ). Shembulli 6. Le të jetë eksperimenti: hidhet kubi. Atëherë hapësira e ngjarjeve është S = {,,,4,5,6}. Vërejmë se numri i elementeve të hapësirës S është 6. Pra, ns ( ) = 6. Le të jetë E ngjarja numri është tek. Atëherë E = {,,5}. Pra ne ( ) =.

Le të jetë E ngjarja numri është çift. Atëherë E = {, 4,6}. Pra ne ( ) =. Definicioni klasik i probabilitetit Nëse hapësira e ngjarjeve S përbëhet nga ngjarjet me mundësi të barabartë të paraqitjeve, atëherë probabiliteti për paraqitjen e ngjarjes E, shënohet me p( E ) dhe definohet me formulën: ne ( ) pe ( ) =. ns ( ) Formulën e fundit e komentojmë si vijon: Probabiliteti për ngjarjen E është raporti në mes të numrit të rasteve të volitshme (të kërkuara) dhe rasteve të përgjithshme. Kështu, në bazë të shembullit paraprak, probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të bie numri tek është: ne ( ) pe ( ) = = =. ns ( ) 6 Po ashtu, probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të paraqitet numri çift është, sepse ne ( ) pe ( ) = = =. ns ( ) 6 Le të shohim në vijim se për çdo ngjarje A vlen: 0 pa ( ). Le të jetë n, numri i elementeve të hapësirës së ngjarjeve, pra ns ( ) = n. Le të jetë r, numri i elementeve të ngjarjes A, pra na ( ) = r. Sipas definicionit na ( ) r pa ( ) = =. ns ( ) n Meqë ngjarja A është nënbashkësi e hapësirës së ngjarjes S atëherë 0 r n, prej nga merret 0 r. n Pra 0 pa ( ). n A r n-r S

4 Formula e fundit tregon se probabiliteti i ngjarjes A është numër në mes të numrave 0, duke përfshirë edhe këta të fundit. Nëse pa= ( ) 0 atëherë ngjarja A nuk mund të ndodh. Ngjarja e tillë quhet ngjarje e pamundshme. Nëse pa= ( ) atëherë ngjarja A do të ndodh me siguri. Ngjarja e tillë quhet ngjarje e sigurtë. Shembulli 7. Janë dhënë ngjarjet: A: gjatë hedhjes së kubit bie numri. B: nga kutia që ka vetëm topa të kuq, tërhiqet topi i kaltër C: nga kutia që ka topa të kuq dhe të kaltër, tërhiqet topi i kaltër. D: Gjatë hedhjes së kubit bie numri 7. Cila nga ngjarjet e mësipërme është e mundshme, e pamundshme, e sigurt? Për çdo ngjarje A, me A e shënojmë ngjarjen e kundërt të ngjarjes A. Pra shënimi A nënkupton ngjarja A nuk ndodh. n S Atëherë duke iu referuar figurës kemi: A na ( ) n r n r r p( A) = = = = = p( A). ns ( ) n n n n r A Pra p( A) = p( A), gjegjësisht pa ( ) + pa ( ) =. Shembulli. Nga 5 letra është tërhequr një letër. Të caktohet probabiliteti që letra e tërhequr: a) të jetë, b) të mos jetë. Hapësira e ngjarjeve është S = {5 letrat}, pra ns ( ) = 5. a) Le të jetë A ngjarja: letra është. Atëherë na= ( ) 4. na ( ) 4 D.m.th. pa ( ) = = =. ns ( ) 5 Pra, probabiliteti që letra e tërhequr të jetë është. b) Ngjarja letra nuk është shënohet me A. Atëherë pa ( ) = pa ( ) = =. Pra, probabiliteti që letra e tërhequr të mos jetë është. n-r

5 Shembulli 9. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit të bie numri. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së dy kubeve shuma e numrave të jetë 9. Hedhja e një kubi: Hapësira e ngjarjeve është S = {,,,4,5,6}. Pra ns ( ) = 6. Nëse A është ngjarja: bie numri atëherë na= ( ). na ( ) Prandaj pa ( ) = =. ns ( ) 6 Hedhja e dy kubeve: Në këtë rast dimë se hapësira e ngjarjeve është S = {(,),(,),...,(,6),...(6,6)}, pra ns ( ) = 6. Le të jetë B ngjarja: shuma e numrave në të dy zaret është 9. Le t i referohemi figurës: kubi i dytë 6 5 4 0 4 5 6 kubi i parë Vërejmë se shuma është 9 në rastet (,6),(4,5),(5, 4),(6,). Pra nb ( ) = 4. nb ( ) 4 Atëherë pb ( ) = = =. ns ( ) 6 9 Shembulli 0. Janë hedhur dy monedha metalike. Të caktohet probabiliteti që në të dy monedhat të paraqitet stema. Hapësira e ngjarjeve është S = { StSt, StN, NSt, NN}. Nëse me A e shënojmë ngjarjen në të dy monedhat bie stema, atëherë na= ( ). Pra na ( ) pa ( ) = =. ns ( ) 4 monedha e dytë N S T SN T SS T S T T NN NS T N monedha e parë

6 Shembulli. Le t i referohemi figurës vijuese: Të caktohen probabilitetit: a) p(e gjelbër ose e kaltër) b) p(e gjelbër ose e kuqe) c) p(e kaltër ose numër më i madh se 5) d) p(e kuqe ose numër çift) e) p(numër i thjeshtë ose e gjelbër) f) p(numër i thjeshtë ose numër tek). Detyra për ushtrime të pavarura 5. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së kubit numri që bie është: a) shumëfish i numrit, b) më i vogël se 7, c) faktor i numrit 6. 6. Nga 5 letra është tërhequr një letër. Të caktohet probabiliteti që letra e tërhequr të jetë: a) të jetë katror, b) të jetë katror ose zemër, c) të mos jetë figurë. 7. Nga letrat që mbajnë numrat deri në 0 është tërhequr një letër. Të caktohet probabiliteti që numri të jetë: a) i plotpjesëtueshëm me 4, b) më i madhe se 5, c) i plotpjesëtueshëm me 4 dhe me i madhe se 5.. Nga kutia që përmban 0 topa të kuq, 5 topa të zi, 0 topa të gjelbër dhe 0 topa të verdhë është nxjerrë një top. Të caktohet probabiliteti që topi i nxjerrë të jetë: a) i zi, b) as i gjelbër as i verdhë, c) jo i verdhë, d) i kuq, i zi ose i gjelbër, e) jo i kaltër. 9. Janë hedhur dy kube. Të caktohet probabiliteti që: a) shuma në dy kubet të jetë, b) shuma në të dy kubet të tejkalojë 9 c) në të dy kubet të paraqitet i njëjti numër, d) numrat në kube të ndryshojnë për. e) prodhimi i dy numrave të jetë 6. 0. Nxënësit në klasë janë pyetur se sa motra dhe sa vëllezër i kanë. Përgjigjet e tyre janë dhënë në tabelën vijuese Numri i vëllezërve dhe motrave 0 4 5 Numri i nxënësve 4

7 Të caktohet probabiliteti që në familjen e fëmijës së zgjedhur rastësisht të jenë fëmijë.. Nëse ε= { x : x është numër i plotë dhe x 0} A= { x: x është shumëfish i numrit } B = { x: x është shumëfish i numrit 4}. Të caktohet probabiliteti që numri i zgjedhur rastësisht nga ε a) të jetë në bashkësinë A, b) të mos jetë në bashkësinë B.. Është hedhur tetraedri, në faqet e të cilit janë shënuar numrat,,,4. Rezultat merret numri në të cilin shtrihet tetraedri. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së tetradrit të bie: a) numër çift, b) numër i thjesht.. Të caktohet probabiliteti që gjatë hedhjes së dy tetraedrave: a) shuma e dy rezultateve të jetë 5; b) ndryshimi i dy rezultateve të jetë ; c) prodhimi i dy rezultateve të jetë shumëfish i numrit 4. 4. Janë hedhur kubi dhe monedha metalike. Të caktohet me anë të diagramit hapësira e ngjarjeve dhe të caktohet probabiliteti që të merret: a) stema dhe, b) numri dhe 7, c) stema dhe një numër çift. 5. Janë hedhur kubi dhe dy monedha metalike. Të caktohet probabiliteti që: a) dy stema dhe numri më i vogël se, b) monedhat tregojnë pamje të ndryshme dhe bie numri 4, c) paraqitet numri 4 dhe monedhat kanë pamje të njëjtë 6. Njëkohësisht hidhen dy kube. Rezultatet shumëzohen. Le të jetë p( n ) probabiliteti që të merret numri n. Të njehsohet: a) p (9), b) p (4), c) p (4), d) Nëse dihet se pt () =, të caktohet vlera e t -së. 9 0 m= 5 p( m).

Nëse A dhe B janë dy ngjarje të të njëjtit eksperiment të tilla që pa ( ) 0, pb ( ) 0. Atëherë p( AoseB) = p( A) + p( B) p( AdheB). Fakti AoseB nënkupton: ndodh ngjarja A, ose ndodh ngjarja B ose ndodhin që të dy ngjarjet. Formula e mësipërme mund të shënohet në trajtën: p( A B) = pa ( ) + pb ( ) pa ( B). Për të ilustruar këtë rezultat marrim këto të dhëna: ns ( ) = n, ku S është hapësira e ngjarjeve, na ( ) = r, nb ( ) = s, na ( B) = t. Kemi na ( B) pa ( B) = ns ( ) ( r t) + t+ ( s t) = n = r + s t n r s t = + = p( A) + p( B) p( A B). n n n A B Le të kuptojmë këtë me anë të shembujve vijues: Shembulli. Monedha metalike dhe kubi janë hedhur njëkohësisht. Të paraqitet me anë të diagramit hapësira e ngjarjeve dhe të caktohet probabiliteti që të merret: a) stema, b) numri më i madh se 4 c) stema dhe numri më i madh se 4 d) stema ose numri më i madh se 4. Le të jetë S hapësira e ngjarjeve. Atëherë ns ( ) =. Le të jetë A ngjarja merret stema. Pra na= ( ) 6. Le të jetë B ngjarja merret numri më i madh se 4, Pra nb ( ) = 4. a) na ( ) 6 pa ( ) = = = ns ( ) n A monedha r-t N St 0 t 4 5 s-t 6 kubi B S

b) nb ( ) 4 pb ( ) = = = ns ( ) na ( B) c) p(stema dhe numri më i madh se 4)= pa ( B) = = =. ns ( ) 6 na ( B) d) p(stema ose numri më i madh se 4) = pa ( B) = = =. ns ( ) Provojmë në fund nëse plotësohet relacioni: p( A B) = pa ( ) + pb ( ) pa ( B). Provoni. Shembulli. Në grupin prej 0 të rinjve, 4 nga 7 vajzat dhe nga djemtë përdorin syze. Të caktohet probabiliteti që personi i zgjedhur rastësisht është vajzë ose mban syze. Le të jetë V ngjarja personi i zgjedhur është vajzë dhe S ngjarja personi i zgjedhur mban syze. Atëherë 7 6 4 pv ( ) =, ps ( ) =, pv ( S) =, 0 0 0 7 6 4 9 pv ( S) = pv ( ) + ps ( ) PV ( S) = + =. 0 0 0 0 Probabiliteti që personi i zgjedhur të jetë vajzë që mban syza është 9. 0

PROBABILITETI I KUSHTËZUAR Nëse AB, janë dy ngjarje, të tilla që pa ( ) 0, pb ( ) 0, atëherë probabiliteti që të ndodh A, kur dihet se B tashmë ka ndodhur shënohet p( A B ) dhe njehsohet me formulën p( A B) pab ( ) =. pb ( ) Le të tregojmë këtë, duke shfrytëzuar diagramin e Venit. Meqë ngjarja B ka ndodhur atëherë hapësira e ngjarjeve është B. na ( B) pa ( B) = n nb ( ) A B t = s = t n s n p( A B) =. pb ( ) t A B s-t S Rezultati i mësipërm ndonjëherë mund të haset në formën p( A B) = p( A B) p( B). Le të ilustrojmë këtë me anë të shembujve: Shembulli. Duke ditur se nga 5 letra është tërhequr një zemër, të caktohet probabiliteti që ajo të jetë figurë. Kemi: p(figurë zemër) 5 P(figurë zemër) = = =. p(zemër) 5 Shembull. Çanta përmban 0 topa, 7 prej tyre janë të gjelbër dhe janë të bardhë. Një top nxirret nga çanta dhe shënohet ngjyra e tij. Topi nuk kthehet më në çantë. Pastaj nxirret një top tjetër. Të caktohet probabiliteti që: a) topi i parë i nxjerrë të jetë i gjelbër,

4 b) topi i parë të jetë i gjelbër dhe topi i dytë të jetë i bardhë, c) topat të jenë me ngjyra të ndryshme. a) Le të jetë G ngjarja: topi i parë është i gjelbër. Atëherë është e qartë se 7 pg ( ) = (sepse gjithsejtë janë 0 topa, prej të cilëve 7 janë të gjelbër). 0 b) Le të jetë B ngjarja topi i dytë është i bardhë. Atëherë: PB ( G ) = = (sepse në çantë kanë mbetur 9 topa prej të cilave janë të 9 bardhë) Atëherë 7 7 PB ( G) = pb ( G) pg ( ) = =. 0 0 Pra, probabiliteti që topi i parë të jetë i gjelbër, dhe i dyti i bardhë është 7. 0 c) Duhet të caktojmë p( B G) + p( G B) 7 pb ( ) = ; pg ( B) =. 0 9 Atëherë 7 7 pg ( B) = pg ( B) pb ( ) = =. 9 0 0 D.m.th. 7 7 7 pb ( G) + pg ( B) = + =. 0 0 5 D.m.th. probabiliteti që topat të jenë të ngjyrave të ndryshme është 7. 5 Shënimi. Nëse A dhe B janë ngjarje që nuk kanë asgjë të përbashkët, pra nëse pa ( B) = 0, pb ( ) 0, atëherë PAB ( ) = 0. Shënimi. Meqë Merret pa ( B) p( A B) = p( A B) = p( A B) p( B) pb ( )

5 pb ( A) p( B A) = p( B A) = p( B A) p( A) pa ( ) Prandaj p( A B) p( B) = p( B A) p( A). Detyra për ushtrime të pavarura. Hidhet kubi dhe paraqitet numër tek. Të caktohet probabiliteti që ai numër të jetë i thjeshtë.. Dy tetraedra, në faqet e të cilëve janë numrat,,, 4 hidhen, dhe numrat në bazë shënohen. Rezultati është shuma e atyre numrave. Të probabiliteti që: a) rezultati të jetë numër çift, duke ditur se njëri tetraedër ka rënë në numrin. b) së paku njëri tetraedër të shtrihet në numrin, duke ditur se rezultati është numër çift. NGJARJET E PAVARURA Nëse paraqitja ose mosparaqitja e ngjarjes A në asnjë mënyrë nuk ndikon në probabilitetin e ngjarjes B, atëherë ngjarja B është e pavarur nga ngjarja A dhe vlen p( B A) = p( B). Nëse A, B janë ngjarje të pavarura, atëherë dhe p( A B) = p( A) p( B A) = p( B) Meqë p( A B) = p( A B) p( B). Pra p( A B) = p( A) p( B). Shembulli. Kubi është hedhur dy herë. Të caktohet probabiliteti që herën e parë të merret 4 dhe herën tjetër të merret numër tek. Le të jetë A ngjarja: merret 4 në hedhjen e parë. Atëherë pa= ( ). 6 Le të jetë B ngjarja: merret numri tek, në hedhjen e dytë. Pra pb ( ) = =. 6 Meqë ngjarjet AB, janë të pavarura kemi:

6 pa ( B) = papb ( ) ( ) = =. 6 Shembulli 4. Çanta përmban 5 topa të kuq dhe 7 topa të zi. Një top nxirret nga çanta, shënohet ngjyra e tij dhe kthehet sërish në çantë. Pastaj nxirret topi i dytë nga çanta. Të caktohet probabiliteti që topi i parë të jetë i kuq dhe topi i dytë të jetë i zi. Le të jetë K ngjarja topi i parë i nxjerrë është i kuq. 5 Pra pk ( ) =. Le të jetë Z ngjarja topi i dytë i nxjerrë është i zi. Pra D.m.th. 7 pz ( ) =. 5 7 5 pk ( Z) = pk ( ) pz ( ) = =. 44 Pra, probabiliteti që topi i parë i nxjerrë të jetë i kuq dhe i dyti të jetë i zi është 5. 44 Detyra për ushtrime të pavarura. Kubi hidhet dy herë. Të caktohet probabiliteti që: a) asnjë nga rezultatet të mos jetë 4, b) së paku një nga rezultaet të jetë 4. 4. Nëse AB, janë ngjarje të tilla që pavarura, të gjendet: a) p( B ); b) p( A B). pa ( ) =, PA ( B) =. Nëse, AB janë ngjarje të 5. Çanta përmban 6 topa të bardhë dhe 4 topa të kaltër. Një top nxirret, shënohet ngjyra e tij dhe kthehet në çantë. Pastaj, nxirret një top tjetër. Të caktohet probabiliteti që topi i nxjerrë herën e dytë të jetë i kaltër.

B B Z Z B Z B B Z Z 64 4 P() B B P() B Z P() Z 4 9 B P() Z Z. 4 4 4 p(badh dhe zi)()() p B Z p B. Z

B Z Z B B 0 7 0 0 Z 0 7 56 4 P()()() B B p B p B P() B Z 0 0 0 0 P() Z 4 6 B P() Z Z. 0 0 0 0 4 4 4 4 p(bardh dhe zi)()() p B Z p B Z. 0 0 0 55 C C P()()() C p0.06 C M0.0047 p C 0.0647. F

()() A p A Z p A Z 4 5 4 5 0 6 459 4 a) b) c) 4 z 5 5 5 ()() H H T p H. T H p T H H 5 50 5 A A.

H T ()() H T. T p H T T p H T T H T H T H H T H T H T T H H H H H T H T H H T T T H H T H T T T H T T T. 5 5 4 5 5 4 5 4 4 p(6 6)(6 p 6). 5 5 5 5 5 6 5 4 5 6 6.

. 7 ()()() H H H p H H T p H T H p T H H 0. 7 n n n i i i E()()() x x...()() P x x P x x P x x P x P() x

E() x 0 0.5 0.45 0. 4 0.,5 0. 6..4. 0 E(prodhimi) A 0.45 9000( 0.45)( 00) 95 E(prodhimi) B 0.6 7500( 0.6)( 500) 900

PROBABILITETI BINOMIAL Përkujtojmë formulat: ( p + q) = p + pq + q ( p + q) = p + p q + pq + q ( p + q) = p + 4p q + 6p q + 4pq + q 4 4 4 Apo në përgjithësi n n n n n n ( p + q) = p q = p + p q +... + pq + q k= 0 k 0 n n Ku n n! = ; k k!( n k)! n! = n ( n ) ( n ).... n n k k n n n n P.sh. 7! = 7 6 5 4. Po ashtu mund të shkruajmë: 7! = 7 6 5 4 = 7 6! 6! apo në përgjithësi: n! = n ( n )( n )... = n( n )! 7 Le të njehsojmë. ( n )! 7 7! 7 6 5 4! 7 6 5 = = = = 7 5 = 5.!(7 )!! 4! Në vijim paraqesim këtë rregull: Nëse probabiliteti që eksperimenti rezulton në sukses është p dhe probabiliteti që eksperimenti rezulton në dështim është q, ku q= p, dhe nëse X shënohet numri i rezultateve të favorshme në n prova të pavarura, atëherë probabiliteti i X it jepet me n x n x p( X = x) = p q, x = 0,,,..., n. x Le të ilustrojmë me anë të shembujve zbatimin e probabilitetit binomial.

Shembulli. Hidhet monedha metalike jo fer. Probabiliteti që të merret Head është. Monedha hidhet katër herë. Të caktohet probabiliteti që të merret dy herë Head. Në bazë të formulës kemi: 4 4 p( H) = phhhh ( ) = ( ph ( )) ( ph ( ) Meqë ph ( ) = ; ph ( ) = merret 4 4! 4 p( HHHH ) =. = =!(4 )! 9 9 7 Shembulli 4. Kubi hidhet 7 herë. Të caktohet probabiliteti që të merren saktësisht gjashtëshe. 5 p(6) = ; p(6) = 6 6 Atëherë 4 7 7 7 5 p(6666666) = ( p(6)) ( p(6)) = = 0.07. 6 6 Shembulli 5. Probabiliteti që një person e përkrah vizitën në teatër është 0.6. Të caktohet probabiliteti që nga tetë persona të zgjedhur rastësisht të jenë: a) saktësisht persona që përkrahin vizitën në teatër. b) më shumë se 5 persona që përkrahin vizitën në teatër. Le të konsiderojmë si ngjarje të volitshme: përkrahet vizita në teatër. Atëherë në bazë të kushteve të detyrës kemi p = 0.6 dhe q= p= 0.6= 0.4. Le të jetë X numri i përkrahësve të vizitës në teatër. Atëherë: a) px= = = = ( ) (0.6) (0.4)... 0.4.

Pra, probabiliteti që saktësisht tre persona të përkrahin vizitën në teatër është 0.4. b) Kërkohet px> ( 5). Pra px ( > 5) = px ( = 6) + px ( = 7) + px ( = ) (0.6) (0.4) (0.6) (0.4) (0.6) (0.4) 6 7 = + + = = 6 7 6 6 7 7 = + + = 6 7 (0.6) (0.4) (0.6) (0.4) (0.6)... 0.5. Shembulli 6. Kutia përmban topa të kuq dhe të verdhë në raportin :. Nga kutia tërhiqen disa topa. Sa topa duhet të tërhiqen ashtu që probabiliteti që në mesin e tyre të jetë së paku një top i kuq të jetë më i madh se 0.95? Le të konsiderohet nxjerrja e topit të kuq si sukses. Atëherë pp= ( kuq) = dhe q= p= =. 4 4 4 Shënim: Meqë kemi raportin : kjo do të thotë, nëse kemi 4 topa një është i kuq dhe tre të verdhë. Kjo është arsyeja që pp= ( kuq) =. 4 Le të jetë X numri i topave të kuq Pra n x n x p( X = x) = p q. x Sipas kushtit të detyrës: px ( ) > 0.95. Le të shqyrtojmë formulën: n n n n ( q+ p) = q p + q p + q p +... + q p 0 n n n 0 n n 0 n = p( X = 0) + p( X = ) + p( X = ) +... + p( X = n) Prandaj meqë p( X ) = p( X = ) + p( X = ) +... + p( X = n) kemi

4 px ( ) = px ( = 0) Pra n n q n = =. 0 4 n > 0.95 4 0.05 > 4 log 0.05 > n log 0.75 n log 0.75 < log 0.05 n 0.5n <.0 n > 0.4. Vlera më e vogël e plotë n > 0.4 është n =. (logaritmojmë me bazën 0) Pra, nëse nxirren së paku topa nga kutia atëherë probabiliteti që së paku një top të jetë i kuq do të jetë më i madh se 0.95. SHPËRNDARJA NORMALE a) Shpërndarja standarde normale Shpërndarja standarde normale e ka mesataren 0 dhe devijimin standard (d.m.th. edhe varianca është ). Shpërndarjen standarde normale do ta shënojmë me Grafikisht paraqitet: Z N(0, ). - - - 0

5 Shembulli. Nëse Z N(0, ) njehsoni: a) pz< (.6); b) pz> (.9); c) pz> (.); d) pz< (.). x μ a) p( Z <.6) =φ =φ( x) sepse μ = 0, σ =. σ Pra, pz< (.6) =φ (.6) = 0.945. (Figura ) x μ Shënim. Zbatuam formulën p( Z < a) =φ =φ( x), sepse nga σ N (0, ) merret μ= 0, σ=. Nëse x >μ merret x μ σ μ x b) pz ( >.9) =φ =φ (.9) = 0.905. (Figura ) σ N( μσ, ) dhe μ x. Nëse x < μ merret.. σ 0.6 -.9 0 Figura. Figura. c) pz ( >.) = pz ( <.) = φ (.) = 0.9 = 0.079. (Figura ). d) pz ( <.) = pz ( >.) = φ (.) = 0.49 = 0.5. (Figura 4). Shembulli. Njehsoni: 0. -. 0 Figura. Figura 4. a) p(.4 < Z <.4); b) p(07 < Z <.95); c) p(. < Z < 0.5); d) p(. > Z >.4).

6 a) p(.4 < Z<.4) = pz ( <.4) pz ( <.4) =φ(.4) ( pz ( >.4)) =φ(.4) + pz ( >.4) =φ(.4) +φ (.4) = 0.9. (Figura 5) b) p(0.7 < Z<.95) = pz ( <.95) pz ( < 0.7) =φ(.95) φ (0.7) = 0.9744 0.6064 = 0.6. (Figura 6) -.4 0.4 0 0.7.95 Figura 5. Figura 6. c) p(. < Z< 0.5) = pz ( < 0.5) pz ( <.) = ( pz ( > 0.5)) ( pz ( >.)) = φ(0.5) +φ (.) =φ(.) φ (0.5) = 0.907 0.695 = 0.99. (Figura 7). d) p(. > Z>.4) = pz ( <.) + pz ( >.4) = ( pz ( >.)) + ( pz ( <.4)) = φ (.) + φ (.4) = 0. 0.974 = 0.. (Figura ) -. -0.5 -. 0.4 Figura 7. Figura. Shembulli. Njehsoni: a) p( Z <.); b) p( Z >.7). a) p( Z <.) = p(. < Z <.) = p( Z <.) p( Z <.)

7 =φ(.) ( pz ( >, )) =φ(.) ( φ (.)) = φ(.) = 0.49 = 0.769. (Figura 9) b) p( Z >.7) = pz ( >.7) + pz ( <.7) = ( pz ( <.7)) + pz ( >.7) = φ (.7) = 0.09. (Figura 0) -.. -.7.7 Figura 9. Figura 0.

TRANSFORMIMI I SHPËRNDARJES SË PËRGJITHSHME NË SHPËRNDARJEN STANDARDE NORMALE Shumë shpërndarje normale nuk e kanë mesataren 0 dhe si rezultat edhe devijimi standard nuk do të jetë. Meqë tabelat janë në dispozicion vetëm për shpërndarjen standarde normale, së pari duhet të konvertojmë (transformojmë) formulën që çfarëdo shpërndarje ta kthejmë në shpërndarje standarde normale. Pastaj, tabelat do të shërbejnë për të gjetur sipërfaqen e kërkuar. Le të cekim se variabla X do të përdoret për të shënuar shpërndarjen normale të përgjithshme, gjersa Z përdorej për shpërndarjen standarde normale. Ekuacioni: x μ z = () σ përdoret për të kryer transformimin. Procesi i transformimit të shpërndarjes së përgjithshme normale X ~ N( μσ, ) tek shpërndarja standarde normale duke përdorur barazimin () quhet standardizim. Le të shohim këtë me anë të shembujve vijues. ) Le të jetë X ~ N(00,5). μ σ Të caktohet: a) px< ( 07); b) px> ( 0); c) px> ( 9); d) p(< x< 0); e) p(0 < x < 09); f) p(96 < x< 99); g) p(90 > x > 05). a) x μ 07 00 7 px ( < 07) = = = = (.4) = 0.99 (figura ) σ 5 5 b) c) 00 07 00 0 Figura Figura 0 00 px ( > 0) = px ( < 0) = = = (.6) 5 5 = 0.945 = 0.054 (figura ). μ x 00 9 9 px ( > 9) = = = = (.) = 0.964 (figura ) σ 5 5

9 d) p( < x< 0) = px ( < 0) px ( < ) = px ( < 0) [ px ( > )] 0 00 00 4 9 = + = + = (0.) + d(.) 5 5 5 5 = 0.7 + 0.999 (figura 4). e) f) 9 00 00 0 Figura Figura 4 09 00 0 00 p(0 < x < 09) = p( x < 09) p( x < 0) = 5 5 9 = = (.4) (0.4) = 0.99 0.6554 5 5 00 96 00 99 p(96 < x< 99) = px ( > 96) px ( > 99) = 5 5 4 = = (0.) (0.) = 0.7 0.579 5 5 g) p(90 > x > 05) = [ p( x < 05)] + [ p( x > 90)] 05 00 00 90 = = () (). 5 5