abc UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
f: A B f: f() A je argument, f() B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija na funkcijah je sestavljanje. Funkciji f in g lahko sestavimo, če so vrednosti f vsebovane med argumenti g. A f B g C g f : g( f ( )) g f
TABELIRANE FUNKCIJE Premier League Final Chelsea 95 Arsenal 83 Manchester United 77 Everton 61 Liverpool 58 Bolton Wanderers 58 Middlesbrough 55 Manchester City 5 Tottenham Hotspur 5 Aston Villa 47 Charlton Athletic 46 Birmingham City 45 Fulham 44 Newcastle United 44 Blackburn Rovers 4 Portsmouth 39 West Bromwich Albion 34 Crystal Palace 33 Norwich City 33 Southampton 3 Angleška 1. liga 005-006 Temp. ( o C) 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 Kisik (mg/l) 14,16 13,77 13,40 13,05 1,70 1,37 1,06 11,76 11,47 11,19 10,9 10,67 10,43 10,0 9,98 9,76 9,56 9,37 Temp. ( o C) 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mmhg Kisik (mg/l) 9,18 9,01 8,84 8,68 8,53 8,38 8,5 8,11 7,99 7,86 7,75 7,64 7,53 7,4 7,3 7, 7,13 7,04 Logaritemske tablice Jurija Vege 3
GRAFIČNA PREDSTAVITEV FUNKCIJE 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 Arsenal Aston Villa Birmingham City Blackburn Rovers Bolton Wanderers Charlton Athletic Chelsea Crystal Palace Everton Fulham Liverpool Mancester City Manchester United Middlesbrough Newcastle United Norwich City Portsmouth Southampton Tottenham Hotspur West Bromwich Albion 16,00 14,00 1,00 10,00 Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi. 8,00 6,00 4,00,00 0,00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 4
FUNKCIJE PODANE S FORMULO f ( ) 3 5 linearna funkcija (enačba premice) s gt pot pri prostem padcu d( u, v) u v razdalja točke do izhodišča z y 3 linearna funkcija (enačba ravnine) 1 S ( a b c )( a b c )( a b c )( a b c ) Herenova formula 4 1 n povprečna vrednost n Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk. Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo. 5
GRAF f : A, A Graf f je množica točk v ravnini, ki so oblike (, f ()) za A. krivulja v ravnini l ( ) 1 1 1 1 6
f : A, A Graf f je množica točk v prostoru, ki so oblike (, y, f(,y)) za (,y) A. f (, y) 1 y alternativni prikazi ploskev v prostoru 7
ODSEKOMA DEFINIRANE FUNKCIJE PVT-diagram idealnega plina P nrt V PVT-diagram realne snovi 8
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ V posodo točimo vodo iz pipe. Kateri graf prikazuje spreminjanje gladine h vode v odvisnosti od časa t? A h B h t t C h D h t t Ker so stene posode navpične, narašča gladina enakomerno - linearno. 9
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf ponazarja kinetično energijo E telesa, ki se giblje s hitrostjo v? A E B E v v C E D E v v Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv /. 10
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf prikazuje spremembo prostornine V zraka v posodi ob spreminjanju pritiska p? A V B V p p C V D V p p Boyle-Mariottov zakon: pv=konst., zato je V~1/p. 11
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari? A y B y t t C y D y t t Nihanje napete strune je primer dušenega nihanja: moč zvoka hitro upade, višina pa ostane nespremenjena. Fizikalno: amplituda eksponentno pada, frekvenca se ne spreminja. Matematično: y=e -at sin(bt), a je dušenje, b je frekvenca nihanja. 1
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf prikazuje spremembo temperature T ogrevane posode v odvisnosti od časa t, če je posoda prazna, in kateri, če je posoda polna vode? A T B T prazna posoda t t posoda z vodo C T D T t t Posoda se ogreje do temperature vira toplote. Hitrost segrevanja je sorazmerna razliki temperatur (Newtonov zakon), zato razlika temperatur eksponentno upada. Temperatura polne posode se ne povečuje dokler vsa voda ne povre. 13
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf ponazarja število sekund, ki ga kaže sekundni kazalec na uri? A B t t C D t t 14
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA 1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu definicijskega območja 5. Periodičnost in simetrije 15
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Definicijsko območje in zaloga vrednosti f( ) 1 1 Z f [0, ) 1 D f [ 1,1) 1 Definicijsko območje D f je senca (tj. slika projekcije) grafa na osi, zaloga vrednosti Z f pa je senca na osi y. 16
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Naraščanje in padanje funkcije naraščajoča padajoča Pri stalni temperaturi je tlak padajoča funkcija prostornine. 17
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Lokalno naraščanje in padanje funkcije pri a je funkcija padajoča a b pri b je funkcija naraščajoča 18
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Globalni ekstremi (globalni) maksimum (globalni) minimum 19
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Lokalni ekstremi lokalni maksimum ravnovesne lege so tipični primeri lokalnih ekstremov lokalni minimum 0
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Konveksnost in konkavnost Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol. konveksna konkavna konveksnost grafa ponazarja pospeševanje procesa konkavnost grafa ponazarja pojemanje procesa 1
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Prevoji Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno. Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno. Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Asimptote Vodoravna asimptota npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira npr. dušeno nihanje 3
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Linearna asimptota Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida 4
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Periodičnost in simetrija liha soda 5
ELEMENTARNE FUNKCIJE Polinomi 3 p( ) 7 1 Racionalne funkcije Q ( ) 3 3 5 1 Algebrajske funkcije A ( ) 3 1 1 5 Eksponentne in logaritmske funkcije f ( ) e e g( ) ln( 1 ) Kotne in ločne funkcije u( ) sin( 1) 3cos( ) 1 v ( ) arcsin 1 w ( ) arctg(1 ) 6
Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij. Osnovne funkcije: n potence, n eksponentna e n koreni, n logaritemska ln sinus arkus sinus arkus tangens sin arcsin arctg 7
Funkcije podane z grafom Funkcija f:a B je predpis, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Krivulja v ravnini je graf neke funkcije če jo vsaka navpična premica seka največ enkrat. 8
OBRATNE FUNKCIJE f :A B Praslika f -1 (b)={a A f(a)=b} (množica rešitev enačbe f(a)=b) Predpis b f -1 (b) določa funkcijo, če imajo množice f -1 (b) natanko en element za vse b B. Tedaj je f bijektivna, predpis f -1 :B A, b f -1 (b) pa je obratna (inverzna) funkcija za f. f je surjektivna, če imajo f -1 (b) vsaj en element. f je injektivna, če imajo f -1 (b) največ en element. Kadar funkcija ni bijektivna, lahko včasih zožimo njeno domeno ali kodomeno in tako dobimo sorodno funkcijo, ki je bijektivna. 9
EKSPONENTNA FUNKCIJA injektivna surjektivna Zožimo kodomeno na (0,+ ). ep: (0,+ ) je bijektivna. Obratna funkcija je ep -1 =ln: (0,+ ) 30
TANGENS injektivna surjektivna Zožitev je bijektivna. tg :, Obratna funkcija 1 arc tg tg :, je strogo naraščajoča, ima vodoravni asimptoti y= π/ 31
SINUS injektivna surjektivna Zožitev je bijektivna. sin :, [ 1,1] 1 1 1 1 Obratna funkcija je 1 arcsin sin :[ 1,1], 3
f ( ) e y e f : je bijekcija y y e Obratna funkcija f 1 : ni elementarna funkcija. 33
FUNKCIJSKE ENAČBE, IMPLICITNE FUNKCIJE F(,y)=0 f : A B je rešitev funkcijske enačbe, če je F(,y) definirana za A, y B in je F(,f())=0 za vse A. Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno. y y 3 f 1 ( ) 1 3 f ( ) 1 3 f, f :[,] 1 34
4 4 3 y 3y 1 Implicitna enačba določa funkcijo na odseku med dvema navpičnima tangentama f ( ) 1 3 1 3 6 4 a 1 b f 3 ( ) f ( ) 3 1 3 6 4 3 1 3 6 4 3a 4 3b f 4 ( ) 3 1 3 6 4 35
) arctg( ) ( f f ) 1( 3 ) ( 3 f 5 3 ) ( 5 3 3 f 7 5 3 ) ( 7 5 3 4 f ZAPOREDJA FUNKCIJ Taylorjevi približki za funkcijo arctg() FUNKCIJE 36
f1( ) 1.19 sin( ) f( ) 1.19 sin 0.38 sin 0.9 sin3 f3( ) 1.19 sin 0.38 0.0 sin sin 4 0.9 0.16 sin3 sin5 f4( ) 1.19 sin 0.38 0.0 sin sin 4 0.9 0.16 sin3 sin5 0.13 sin 6 0.1 sin 7 f ( ) arctg( ) Fourierjevi približki za funkcijo arctg() 37