Differential Equations (DE) - PDF Free Download

工程數學 -- 微分方程 51 Differenial Equaions (DE) 授課者 : 丁建均教學網頁 :hp://djj.ee.nu.edu.w/de.hm 本著作除另有註明外, 採取創用 CC 姓名標示 - 非商業性 - 相同方式分享台灣 3. 版授權釋出

Chaper 8 Sysems of Linear Firs-Order Differenial Equaions 另一種解聯立微分方程式的方法 k (1) Secion 4.8: d y ( ) d d d (2) Chaper 7: y ( ) k k k ( ) k Dy sy 1 2 ( 1) ( s) s y( ) s y ( ) y ( ) k k k k (3) Chaper 8: Using marix operaions 註 : 本章這學期只教不考 511

比較 (1) 這 3 種方法都只適用於 linear & consan coefficiens 的情形註 : 其實 Laplace ransform 可用來解 nonlinear & non-consan coefficien DEs, 但過程頗為複雜 (2) Laplace ransform 的方法優於 Secion 4-8 的方法的地方, 在於可以輕易的解決 iniial condiion 的問題注意 : 但是, 若 boundary condiions 不是在 = 的地方, 用 Laplace ransform 需要花一番功夫 512

(3) 無論是 Secion 4-8 的方法, 還是 Laplace ransform, 運算量皆不少 Chaper 8 的方法可以減少 1 s order 聯立微分方程式的運算量但 2 nd order 以上反而比 Laplace ransform 麻煩 513

方法的限制 : 名詞 : Secion 8.1 Preliminary Theory (a) linear, (b) 1 s order DEs (c) full rank (n 個 dependen variable 需要 n 個式子 ) linear sysem (pp. 514) homogeneous, nonhomogeneous (pp. 515) soluion vecor (pp. 515) fundamenal se of soluions (pp. 519) general soluion (pp. 519) complemenary funcion (pp. 523) paricular soluion (pp. 523) 本節學習秘訣 : 和 Secion 4-1 相比較 514

8-1-1 表示法和名詞假設有 n 個 dependen variables x 1 (), x 2 (),., x n (), n 個只有針對其中一個 dependen variable 作微分的 linear DEs d x a x a x a x f 1 11 1 12 2 1n n 1 d ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) d x a x a x a x f 2 21 1 22 2 2n n 2 d ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) : : : d x a x a x a x f n n1 1 n2 2 nn n n d ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) : 稱作 linear sysem 515

Marix form of a linear sysem X = AX + F x1 () x2() X = x () n A a11() a12() a1 n() a21() a22() a2n() = an 1() an2() ann() F f1() f2() = f () n soluion vecor f n () = for all n oherwise homogeneous linear sysem nonhomogeneous linear sysem 516

dx x 3y d = + dy 5x 3y d = + 可改寫成 1 3 X = 5 3 X 其中 x X = y Example 2 (ex page 36) X 1 2 e 1 = e 2 = e 1 皆為 2 1 3 X = 5 3 X X 2 的解 6 3e 3 = e 6 = 5e 5 6 X 1 X 2 2 2e = 2 2e 6 18e = 6 3e AX AX 2 2 1 3 e 2e = 5 3 = = X e 2e 1 2 2 1 1 3 3 18 5 3 5e 3e 6 6 e e 2 = = = X 6 6 2 517

If x 1 ( ) = r 1, x 2 ( ) = r 2,., x n ( ) = r n, linear sysem 可寫成 X = AX + F subjec o ( ) X =X X ( ) x1( ) x2( ) = x ( ) n X r1 r 2 = r n 518

8-1-2 基本定理將 Secion 4-1 的幾個定理改成 vecor 和 marix 的型態 [Theorem 8.1.1] If he enries of A and F are coninuous on a common inerval ha conains he poin, hen he iniial value problem on he previous page has a unique soluion on his inerval. ( 比較 Theorem 4.1.1, page 137) 519

[Theorem 8.1.2] For he homogeneous linear sysem X = AX (F = ) if X 1, X 2,., X k are he soluion of X = AX hen X= cx + c X + + c X is also a soluion of 1 1 2 2 n n X = AX [Definiion 8.1.3 and Theorem 8.1.5] If he size of A is n n and X 1, X 2,., X n are he linearly independen soluions of X = AX, hen X 1, X 2,., X n are said o be a fundamenal se of soluions. Then, he general soluion of X = AX is X= cx + c X + + c X 1 1 2 2 n n c 1, c 2,.., c n are arbirary consans ( 比較 Theorem 4.1.5, page 144) 52

[Theorem 8.1.3] Linearly dependen / independen 判斷方式 W ( X X X ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) x11 x12 x1 x21 x22 x2n,, = de xn 1 xn2 xnn 1 2 n ( 課本用來表示 de) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x11 x12 x1n x x x 21 22 2n X1 = X2 = Xn = x x x ( ) n1 n2 nn 521

Eiher W(X 1, X 2,., X n ) for every linearly independen or W(X 1, X 2,., X n ) = dependen ( 比較 Wronskian, page 147) 522

Example 4 (ex page 38) X 2 6 e 3e = X = e 5e 1 2 2 6 e 3e 1 3 W( X X ) e e e 5e 1 5 2 6 2+ 6 4 1, 2 = = = 8 2 6 deerminan 523

[Theorem 8.1.6] General soluion for nonhomogeneous sysem X = AX + F subjec o X ( ) =X X=X +X c p = cx + c X + + c X +X 1 1 2 2 n n p X = cx + c X + + c X c 1 1 2 2 n n 稱作為 complemenary funcion X p paricular soluion ( 比較講義 page 149) 524

8-1-3 本節要注意的地方 (1) 大部分的定理和 Secion 4-1 相似 (2) 當一個式子出現 2 個 dependen variable 的微分時先化成講義 page 514 linear sysem 的型態 525

Secion 8.2 Homogeneous Linear Sysems 8-2-1 本節摘要 X = AX (A) 解法的限制 : 同講義 page 513, 但多了二個限制 (d) homogeneous (e) 最好是 consan coefficiens a11 a12 a1 n a21 a22 a 2n A = an 1 an2 ann 526

(B) 解法 X = AX size of A: n n (consan coefficiens) 假設解為 k k k 1, a 2, a λa = X a = K a na, e e λ a a = 1, 2,., n 其中 λ a : A 的 eigenvalue K a : A 的 eigenvecor (AK a = λk a ) General soluion: 證明見講義 page 53 X= K K K K λ1 λ2 λ3 c e + c e + c e + + c e 1 1 2 2 3 3 n n λ n 527

(C) 三種情形 Case 1: A has disinc eigenvalues: 解法如前一頁 Case 2: A has repeaed eigenvalues 當 λ a 的 mulipliciies 為 m Case 2.1 可以找到 λ a 的 m 個 linearly independen eigenvecors 解法同前一頁 Case 2.2 無法找到 λ a 的 m 個 linearly independen eigenvecors 若只有 1 個 linearly independen eigenvecor, 將解表示成 X =K e λ a a,1 a,1 λa a,2 a,1 e + a,2 X =K K : e λ a X =K K K ( m 1)! ( m 2)! m 1 m 2 λa λa λa a,m a,1 e + a,2 e + + a,m e 528

λ a 注意 : ( A I) K a,1 = ( ) = λ a A I K K ( ) λ a a,2 a,1 A I K = K ( ) λ a : a,3 a,2 A I K = K a,m a,m-1 Case 2.3 無法找到 λ a 的 m 個 linearly independen eigenvecors 有超過 1 個 linearly independen eigenvecor 其實, 也可以用類似方法求解, 但較為複雜 529

Case 3 若 λ a = α + jβ 為 A 的 eigenvalues, A 為 real marix λ b = α jβ 必為 A 的 eigenvalues 若 K a = B 1 + jb 2 為 λ a 所對應的 eigenvecor K b = B 1 jb 2 此時, 可將解改寫成必為 λ b 所對應的 eigenvecor [ cos β sin β ] X = B B e α a 1 2 [ cos β sin β ] X = B + B e α b 2 1 (D) 名詞與其他 mulipliciy (pp. 539) 53

X = AX 假設解為 1 1 2 2 n n k ke k ke e e k ke λ λ λ λ λ = X= = K 1 2 n k k k K= 8-2-2 方法 ( 和 Secion 4-3 相似 ) 1 2 n k e k e e k e λ λ λ λ λ λ λ λ = X= K e e λ λ λ = K AK X = AX λ = K AK 531

X = AX 的問題變成 λ K = AK ( 和 linear algebra 當中解 eigenvecor, eigenvalue 的問題相同 ) 532

λ K = AK ( A λik ) = I 1 1 = 1 1 λ 是 A 的 eigenvalue K 是 A 的 eigenvecor 由 de(a λi) = 算出 ( 稱作 characerisic equaion) 當 λ 算出後,K 為使得 ( A λik ) = 成立的任一個滿足 K 的解 533

Example 1 (ex page 313) dx 2x 3y d = + dy 2x y d = + X = AX 2 λ 3 x X = y 2 3 A= 2 1 2 de( A λi ) = = λ 3λ 4 = ( λ+ 1)( λ 4) = (i) When λ = 1 2 1 λ 3 3 k1 ( A λik= ) = 2 2 k 2 3k1+ 3k2 = 2k1+ 2k2 = 設 k 1 = 1, λ = 1, 4 k 2 = 1 k 2 = k 1 K 1 1 = 1 534

(ii) When λ = 4 2 3 k1 ( A λik= ) = 2 3 k 2 k 2 = 2 k 1 /3 設 k 1 = 3, k 2 = 2 2k1+ 3k2 = 2k1 3k2 = K 2 3 = 2 X 1 = K e = e 1 1 1 X 3 = K e = e 2 2 2 4 4 1 3 X = c1x1+ c2x2 = c1 e + c2 e 1 2 4 535

rajecory x 1 3 c1 e c2 e y = + 1 2 4 Fig. 8.2.1 536

8-2-3 Case 1: Disinc Eigenvalues 根據 eigenvalues, 分成 3 cases Case 1: Disinc eigenvalues Case 2: Repeaed eigenvalues Case 3: Complex eigenvalues 537

Example 2 (ex page 314) dx 4x y z d = + + dy x 5y z d = + dz y 3 d = z ( A λi) ( λ )( λ )( λ ) de = + 3 + 4 5 = 4 1 1 A = 1 5 1 1 3 λ = 3, 4, 5 (disinc) 538

When λ = 3 1 1 1 k1 ( A λik ) 1 8 1 k 1 = 2 1 k 3 3 rd row: k 2 = 1 s row: k 1 + k 2 + k 3 = k 1 + k 3 =, k 1 = k 3 When λ = 4, λ = 5 ( 自己練習解解看 ) 1 1 1 X = c e + c 1 e + c 8 e 1 1 1 3 4 5 1 2 3 K 1 1 = 1 539

8-2-4 Case 2: Repeaed Eigenvalues 有時, de(a λi) 會出現 (λ λ a ) m λ a 被稱作 eigenvalue of mulipliciy m 3 18 = 2 9 A de ( A λi) = ( λ+ 3) 2 1 2 2 = 2 1 2 2 2 1 A de ( A λi) = ( λ+ 1 ) 2 ( λ 5 ) ( 這種情形較複雜, 但也是本節的重點 ) 54

Case 2.1 當 λ a 的 mulipliciy 為 m (m > 1) 時, 有的時候可以將 m 個 linearly independen eigenvecors 全部找出來此時,soluions 解法和 Case 1 相同注意 : 當 A = A T 時, 若 λ a 的 mulipliciy 為 m, 一定可以找到 λ a 所對應的 m 個 linearly independen eigenvecors Example 3 (ex page 316) X = AX 1 2 2 A = 2 1 2 2 2 1 ( A λi) = ( λ+ ) 2 ( λ ) de 1 5 541

(i) 當 λ = 1 k1 2 2 2 k1 ( A λi) k = 2 2 2 k = 2 2 2 2 2 k3 k3 row operaion 2( k k + k ) = 1 2 3 3 個 variables, 1 個式子 new 2 nd row = old 2 nd row + 1 s row new 3 rd row = old 3 rd row 1 s row 2 2 2 k1 k 2 = k 3 3 1 = 2 2 個 linearly independen soluions 542

2( k k k ) + = 2 個 linearly independen soluions 1 2 3 543 ( 第一個 soluion) 設 k 1 =, k 2 = 1 k 3 = 1 ( 第二個 soluion) 設 k 1 = 1, k 2 = k 3 = 1 Check: 1, 1 1 1 的確互為 linearly independen 為 A 在 λ = 1 時的 eigenvecors 小技巧 : 任意給定其他 n-1 個 unknowns 的值再將最後一個 unknown 的值算出來通常可以得到一個新的 independen soluion ( 但是也有的時候得到的解不為 independen, 所以要 check)

(ii) 當 λ = 5 算出來的 eigenvecor 為 1 1 1 General soluion for Example 3: X 1 1 = c 1 e + c e + c 1 e 1 1 1 5 1 2 3 544

Case 2.2 當 λ a 的 mulipliciy 為 m (m > 1) 時, 有的時候只能找出 1 個 linearly independen eigenvecor K a,1 將 λ a 所對應的 m 個解表示成 e λ a X a,1 =Ka,1 e λa X =K + K a,2 a,1 a,2 : e λ 2 X a,3 =Ka,1 e + Ka,2 e + Ka,3e 2 a λ λ λ a a a X =K K K ( m 1)! ( m 2)! m 1 m 2 λa λa λa e +, e + + e a,m a,1 a 2 a,m K a,1 : 唯一滿足 AK a,1 = λ a K a,1 的 eigenvecor K a,q (q 1) 的求法如後頁 545

當 X =K K K K ( p 1)! ( p 2)! 1! p 1 p 2 1 λa λa λa λa e +, e + + 1 e + e a,p a,1 a 2 a,p a,p (p = 1, 2,, m) X = K K K K K ( p 1)! ( p 2)! ( p 3)! p 1 p 2 p 3 λa λa λa a,p λa a,1 e + ( a,1 + λa a,2) e + ( a,2 + λa a,3) e 1 a a e λ a,p-2 λ a,p-1 a,p-1 λa a,p + + ( K + K ) + ( K + K ) e 1! λ a 由 X = AX AX X = 比較 AX X = 當中! ( A λ a I) K a,1 = ( λ a ) = ( λ a ) = : ( ) A I K K a,2 a,1 A I K K a,3 a,2 A I K =K λ a a,p a,p-1 q q e λ a (q =, 1,., m 1) 的係數得出由 K a,1 求出 K a,2 由 K a,2 求出 K a,3 : 由 K a,p-1 求出 K a,p 546

註 :(1) 課本 page 316 中 K 11 = K 21 =. = K m1 K 22 = K 32 =. = K m2 K 33 = K 43 =. = K m3 : ( ) λ a : (2) A I K = K 經常有多個 linearly independen 解 a,b+1 a,b 在這種情形下, 我們只需找出其中一個解即個 ( 但是必需以可以繼續解下去為條件, 如 page 548) 547

Example 5 (ex page 319) ( λ ) X = AX de (2 ) 2 1 6 A = 2 5 2 3 A I = λ eigenvalues: 2, 2, 2 k1 1 6 k1 ( A 2 I) k 2 = 5 k 2 = k3 k3 5k =, k + 6k = k2 = k3 = 3 2 3 only one independen soluion: 1 K a,1 1 = 548

( A 2) IK = K a,2 a,1 3 2 3 1 6 k1 1, 5 k = 2 k 3 5k =, k + 6k = 1 選擇其中一個 soluion: K a,2 = 1 注意 : 若選擇 K a,2 為其他的值, 最後的解還是一樣的 549

( A 2) IK = K a,3 a,2 3 2 3 General soluion of Example 5 1 6 k1, 5 k = 1 2 k 3 5k = 1, k + 6k = 其中一個 soluion: K a,3 = 6/5 1/5 2 2 2 2 2 2 2 X= c1k e c2( e e ) c3( a,1 + Ka,1 + Ka,2 + Ka,1 e + Ka,2e + Ka,3e ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 c1 e c2 e 1 e c3 X = + + + e + 1 e + 6/5 e 2 1/5 55

Case 2.3 當 λ a 的 mulipliciy 為 m (m > 1) 時, 有的時候只能找出 2 ~ m 1 個 linearly independen eigenvecors 例子 :Secion 8-2 Exercises 31 and 5 X = AX 2 1 2 = 2 2 1 2 A ( A λi) de = (2 λ) 5 hree independen soluions: 1 1 1 551

Se K a,1 1 =, k1 1 k1 1 k 2 k 2 2 k3= k3= k 1 k ( A I) k 2 = 1, k 4 = Choose 但 ( 2 ) A I K = K 無解 a,3 a,2 4 4 k5 k5 K a,2 1 = 552

= 1, Se K a,1 ( 2 ) =, 1 Se K a,1 ( 2 ) A I K = K 無解 a,2 a,1 A I K = K 的解為 a,2 a,1 ( 當一個解無法繼續算時, 嘗試由其他的解來算 ) K a,2 = 1 553

General soluion for Exercises 31 and 5 X 1 2 2 2 = c1e + c21e + c3e 1 1 1 2 2 2 + c4 e + e + c5 e + 1 1 2 e 554

8-2-5 Case 3: Complex Conjugaed Eigenvalues 其實和 Case 1 (disinc eigenvalues) 相同只是用不同的方式來表示 soluions X = AX 當 λ a = α + jβ 和 λ b = α jβ (α, β 為 real) 皆為 A 的 eigenvecor 且 A 為 real marix 若 K a = B 1 + jb 2 (B 1, B 2 為 real) 是 λ a 所對應的 eigenvecor 則 K b = B 1 jb 2 必為是 λ b 所對應的 eigenvecor Proof: AK a = λ K a a AKa = λ K a a AK a = λ a K a AK b = λ a K b 555

此時, 可將解改寫成 [ cos β sin β ] X = B B e α a 1 2 [ cos β sin β ] X = B + B e α b 2 1 ( 證明如後 ) 556

c ( B + jb ) e + c ( B jb ) e a ( α+ jβ) ( α jβ) 1 2 b 1 2 α α = c e ( B + jb )(cos β+ jsin β) + c e ( B jb )(cos β jsin β) a 1 2 b 1 2 α α = ce ( B cos β B sin β) + ce ( jb sin β+ jb cos β) a 1 2 a 1 2 α α + ce ( B cos β B sin β) ce ( jb sin β+ jb cos β) b 1 2 b 1 α α = ( c + c) e ( B cos β B sin β) + jc ( c) e ( B sin β a b 1 2 a b 1 2 + B 2 cos β) 因此, 兩個 linearly independen soluions 可改寫為 [ cos β sin β ] [ cos β sin β ] X = B B e α a 1 2 X = B + B e α b 2 1 557

Example 6 (ex page 322) X = AX A 2 8 = 1 2 已知 λ = 2i 為其中一個 eigenvalue, 所對應的 eigenvecor 為 2+ 2i 1 可以迅速判斷 2 個 independen soluions 為 2 2 = cos 2 sin 2 1 X1 X2 2 2 = cos 2+ sin 2 1 558

8-2-6 高階線性聯立微分方程的解法 mx = kx + k ( x x) 1 1 1 1 2 2 1 mx = k( x x) 2 2 2 2 1 解法 : 將問題變成 1 s order DE x 1 = x3 x 2 = x4 mx = kx + k ( x x) 1 3 1 1 2 2 1 mx = k( x x) 2 4 2 2 1 X = AX x x 1 2 1 2 2 X = x3 m1 m1 m1 x 4 1 1 A = k k k k2 k2 m2 m2 559

8-2-7 Secion 8-2 要注意的地方 (1) 方法適用的情形 (a) linear, (b) 1 s order DEs, (c) full rank (n 個 dependen variable 需要 n 個式子 ), (d) homogeneous, (e) consan coefficiens (2) 複習並熟悉算 eigenvecor 的方法 ( 可以研究快速法 ) ( 我們只要得出任何一個 eigenvecor 或任何一組 linearly independen eigenvecors 即可, 因此可以選擇當中較簡單的 ) (3) Case 2 比較複雜, 要多加練習 (4) 注意 page 542 找 independen soluion 的小技巧 ( ) (5) Case 2.2 A λ a I Ka,b+1 = Ka,b 選擇其中一組解即可 ( 但是要可以繼續解下去 ) 56

d xk (6) 計算前, 確定的係數皆為 1 (sandard form) d (7) 熟悉原理, 才不會背錯公式 561

Secion 8.3 Nonhomogeneous Linear Sysems 8.3.1 Secion 8.3 摘要本節討論如何找 X = AX + F ( 方法 1) undeermined coefficiens 的 paricular soluion 猜 paricular soluions, 類似 Secion 4-4 ( 方法 2) variaion of parameers, 類似 Secion 4-6 1 X=ΦCΦΦF ( ) + ( ) ( ) ( ) d c1 c 2 C Φ(): fundamenal marix, 定義見 page 57 = c n 562

( 方法 2) variaion of parameers,wih iniial condiions X = AX + F X ( ) =X 1 1 X ( ΦΦXΦΦF ) = ( ) ( ) + ( ) ( τ) ( τ) dτ 名詞 : fundamenal marix 563

8.3.2 方法一 : Undeermined Coefficiens 和 Secion 4.4 的方法相似 X = AX + F 根據 F() 來猜 paricular soluion 複習講義 page 191 (1) 出現 n (2) 出現 cos(a) (3) 出現 exp(b) 564

(4) 出現綜合 (5) 只要 F() 其中有一個 enry 有某一項則 paricular soluion 其他每一個 enry 都要根據這一項來猜 paricular soluion 的型態 ( 見 page 566 的注意 ) ( 這一點和 Secion 4.4 稍有所不同 ) (6) 和 homogeneous soluion 有重覆時, 不只乘, 原來的 erm 也保留 ( 見 page 568) ( 這一點也和 Secion 4.4 有所不同 ) 565

Example 3 (ex page 328) dx = 5x+ 3y 2e + 1 d dy = x+ y+ e 5+ 7 d solving he complemenary funcion X C = AX 5 3 C A = eigenvalues of A: 2, 4 1 1 1 corresponding eigenvecors for λ = 2: 1 corresponding eigenvecors for λ = 4: 3 1 1 3 complemenary funcion X c = c1 e + c2 e 1 1 2 4 566

解 paricular soluion 因為 F X p ( ) ( ) 2e + 1 = e 5+ 7 a1 a2 a = e b + + b b 1 2 3, 所以假設 paricular soluion 為 a + a+ ae = b1+ b 2 + b3e 3 1 2 3 From X = AX + F 注意, 每一個 enry 皆有 1,, e a2 ae 3 5a1+ 3 b1+ (5a2 + 3 b2) + (5a3+ 3 b3) e 2e + 1 = + b2 be 3 a1+ b1+ ( a2 + b2) + ( a3+ b3) e e 5+ 7 567

a2 ae 3 5a1+ 3 b1+ (5a2 + 3 b2) + (5a3+ 3 b3) e 2e + 1 = + b2 be 3 a1+ b1+ ( a2 + b2) + ( a3+ b3) e e 5+ 7 5a + a 3b = 1 1 2 1 5a + 3b = 2 2 6a + 3b = 2 3 3 a b b a + = a 1 1+ 2 = 7 2 b2 5 2b = 1 3 3 a1 = 35, b 89 15 25 7 4 1 =, a2 =, b2 =, a3 =, b3 = 32 32 8 8 15 15 X 35 15 7 1 3 32 8 15 = c e c e e 1 + 1 + + + 89 25 4 32 8 15 2 4 1 2 568

補充的範例 (Example 1 in ex page 327 的變型 ) X = AX + F λ =,2 X c 1 1 A = 1 1 8 F = 3 1 1 eigenvecor :, 1 1 1 1 = c1 + c2 e 1 1 2 設 paricular soluion 為 ( ) X p 2 1 1 2 2 a1 a2 = + b b a2 a1+ b1 a2 + b2 8 b = + + a + b a + b 3 注意, 這一項要保留 1 2 乘 569

a2 a1+ b1 a2 + b2 8 b = + + a + b a + b 3 2 1 1 2 2 a2 = a1+ b1 8 b2 = a1+ b1+ 3 a2 + b2 = a a b = 11 2 2 + b = 2 2 a = 11, b = 11 2 2 2 2 a + b = 1 1 5 2 choose a =, b = 1 1 11 1 1 2 2 X = c1 c2 e 1 + + 1 5 + 11 2 2 5 2 57

8.3.3.1 方法二 : Variaion of Parameers x11() x12() x1n () x21() x22() x2n() X () = c 1 + c 2 + + c n x () x () x () n1 n2 nn fundamenal marix Φ= ( ) x11() x12() x1 n() x21() x22() x2n() xn 1() xn2() xnn() 571

令 X ΦU ( ) = ( ) ( ) U( ) p u1() u2() = u () n X = AX + F X p =ΦU ΦU + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΦU( ) ΦU( A) F( ) ( ) ( ) ( ) Φ ( ) 每個 column 都是 associaed homogeneous DE 的解 ΦU + = + 由於 ΦAΦ ( ) = ( ) ( ) ΦU( ) ΦU( A) F( ) = ( ) ( ) + ( ) AΦU + ( ) 1 ΦU ( F ) = ( ) UΦF ( ) = ( ) ( ) 572

1 ( ) ( ) ( ) UΦF = 1 UΦF= ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( 1 X p ΦUΦΦF = = ) ( ) ( ) d 1 X ( ΦCΦΦF ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) d C c1 c = 2 c n some consans 573

Example 4 (ex page 331) X = AX + F eigenvalues of A: λ = 2, 5 eigenvecors of A : X c ( ) 1 1 3 1 A = 2 4 1 2 1 1 = c e + c e 1 2 2 5 1 2 F 3 = e fundamenal marix Φ ( ) 2 5 e e = 2 5 e 2e 574

Φ ( ) 2 5 e e = 2 5 e 2e de( Φ( )) = 3 7 e Φ X 1 p ( ) ( ) 2 2 1 2 5 5 1 2 e e e e 3 3 = = 2 2 de( Φ( )) e e 1 5 1 5 e e 3 3 2 2 1 2 2 5 e e e e 3 3 3 = d 2 5 e 2e 1 5 1 5 e e e 3 3 2 1 2 5 (2 ) 6 27 1 e e e + e d + 3 5 5 4 2 5 5 4 e = = e 2 e ( 1 ) 3 21 1 e e d e 3 + 5 5 2 575

8.3.3.2 和 iniial value problems 相結合 X = AX + F X ( ) =X 1 X ( ΦCΦΦF ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) d 在此時, 可改寫成定積分的型態 1 X ( ΦCΦΦF ) = ( ) + ( ) ( τ) ( τ) dτ Since 1 ( ΦC ) X( ) hus CΦX ( ) = X = = 1 1 X ( ΦΦXΦΦF ) = ( ) ( ) + ( ) ( τ) ( τ) dτ 576

8.3.4 Secion 8.3 需要注意的地方 (1) 2 2 marix 的 eigenvecor 快速算法 (2) 注意 undeermined coefficien 的方法和 Secion 4.4 異同處 (3) Variaion of parameers 的部分, 關鍵在是否能將公式背起來 (4) 通常 undeermined coefficien 的方法會比較容易解而 variaion of parameers 較複雜, 但適用於任何情形 (5) 同樣記得先算 complemenary funcion (homogeneous 部分的 soluion), 再算 paricular soluion 577

Secion 8.4 Marix Exponenial 8.4.1 Secion 8.4 摘要把 linear sysem 當成一般 1 s order DE 來解 x () = ax() a x() = ce ( 比較 Secion 2-3) x () = ax() + f () a a a x() = ce + e e f ( ) d (1) X = AX X () = e A C c1 c X A A A 2 (2) = AX + F X( ) = e C+ e e F( ) d C = A τ X = AX + F X( ) e A e X e A e A F( τ) dτ c (3) n = + (Wih iniial condiion X( ) = X ) 其中可以由 Laplace ransform A 1 1 e A 或 eigenvecor-eigenvalue decomposiion (see page 582) 算出 e = L ( si A ) (see page 58) 578

8.4.2 For Homogeneous Sysems X = AX x () = ax() x() = ce a soluion: X () = e A C e A 的定義 e A 2 3 2 3 = IΑΑΑΑ + + + + = k= k k 2! 3! k! k 1 h k h+ 1 = Α = Α = d e A d ( k 1)! h! k= 1 h= h = k 1 Α e A 579

8.4.3 For Nonhomogeneous Sysems X = AX + soluion: F A A A X( ) = e C+ e e F( ) d 或 A A Aτ X( ) C F( τ) = e + e e dτ 比較 : x () = ax() + f () a a a x() = ce + e e f ( ) d wih iniial condiions X( ) = X A τ X( ) = e A e X + e A e A F( τ) dτ 58

8.4.4 Compuaion of e A X = AX X = e A C 一定有這樣的 iniial condiion X( ) = C 令 X(s) 為 X() 的 Laplace ransform ( ) ( ) ( ) ( s) = ( s) = ( s 1 ) L X( s) = sx s X = AX s ( si AX ) C X I A C [ ] 1 e A C= L ( si A) A 1 1 e = L ( si A) 1 1 C consan column vecor 581

Example 1 (ex page 335) 1 1 A = 2 2 Deermine e A s 1 1 si A= 2 s + 2 1 1 s + 2 1 ( si A) = ss ( + 1) 2 s 1 2 1 1+ 1 s s+ 1 s s+ 1 = 2 2 1 2 + s s+ 1 s s+ 1 e A 2 e 1+ e = 2 2e 1+ 2e 582

殺雞焉用牛刀複習 linear algebra 當中, e A 的求法 (1) eigenvecor-eigenvalue decomposiion for A A = EDE 1 [ ] E e e e e = 1 2 3 n λ1 λ2 D = λ3 λn e 1, e 2, e 3,, e n 皆為 A 的 eigenvecors, 皆為 n 1 的 column λ 1, λ 2, λ 3,., λ n 為 e 1, e 2, e 3,, e n 所對應的 eigenvalues 583

A = EDE e A = Ee e D D 1 E 1 e λ 1 λ2 e λ3 = e λn e 例如, Example 1 當中 D 1 1 1 1 2 1 e = E = e 1 2 E = 1 1 584

8.4.5 注意 (1) 本節可以解的問題, 用 Secions 8-2, 8-3 的方法也可以解 (2) 熟悉公式和的計算 e A (3) 使用 eigenvalue-eigenvecor decomposiion 的方法時, 別忘了將 λ 變成 e λ 585