Prirodno-Matematički fakultet, Niš. dexterofnis@gmail.com www.pmf.ni.ac.rs/dexter Nauk nije bauk, 2011
Sadržaj predavanja 1
Sadržaj predavanja 1 2
Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija
Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija 4 Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene
Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija 4 Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene
Reč fraktal potiče od latinske reči fractus (izlomljen). Benoit Mandelbrot - otac fraktalne geometrije Fractal roughness proves to be ubiquitous in the works of nature and man. (Mandelbrot, Frame 2001) Fraktali se od davnina koriste kao dekorativni elementi a od 1975 godine intenzivno proučavaju kao matematička disciplina. Mogu biti matematički generisani a javljaju se i u prirodi...
Sadržaj predavanja 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija 4 Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene
Korak 0: L 0 = 1
Korak 0: L 0 = 1 Korak 1: L 1 = 4 3
Korak 0: L 0 = 1 Korak 1: L 1 = 4 3 Korak 2: L 2 = ( ) 2 4 3
Korak n: L n = ( ) n 4 3 n + L n + P = 3 4 [ 1 9 + 4 ] 9 + 42 2 9 +... = 3 3 9 4 1 1 4 9 = 3 20. Ograničena figura konačne površine ima beskonačni obim!!! Primećujemo da kriva nema prekid (neprekidnost svuda) ali je u svakoj svojoj tački oštra (diferencijabilnost nigde)!
Kada spojimo tri dela dobijamo:
Kada spojimo tri dela dobijamo:... odnosno pahuljicu :).
Jednostavni samoslični objekti Neka je N broj objekata koji se dobijaju uvećavanjem osnovnog objekta k puta. U narednim primerima je k = 2. 1. Linija N = 2, D = log k N = 1 2. Trougao N = 4, D = log k N = 2 3. Kocka N = 8, D = log k N = 3
Jednostavni samoslični objekti Neka je N broj objekata koji se dobijaju uvećavanjem osnovnog objekta k puta. U narednim primerima je k = 2. 1. Linija N = 2, D = log k N = 1 2. Trougao N = 4, D = log k N = 2 3. Kocka N = 8, D = log k N = 3 Primetimo da broj D = log k N predstavlja dimenziju objekta.
Kohova pahuljica - samosličnost Primetimo da se svaka strana Kohove pahuljice sastoji od 4 dela od kojih je svaki deo isti kao i cela strana:
Kohova pahuljica - samosličnost Primetimo da se svaka strana Kohove pahuljice sastoji od 4 dela od kojih je svaki deo isti kao i cela strana:
Kohova pahuljica - samosličnost Primetimo da se svaka strana Kohove pahuljice sastoji od 4 dela od kojih je svaki deo isti kao i cela strana: Ako objekat povećamo k = 3 puta dobićemo N = 4 kopije istog objekta. D = log k N = log 3 4 1.262. Dobili smo objekat čija dimenzija D nije ceo broj, odnosno fraktal. Koliko god zumirali Kohovu pahuljicu, uvek ćemo videti sitne detalje - još jedno važno svojstvo fraktala
Počinjemo sa crnim kvadratom 1 1: L 0 = 4 P 0 = 1
Onda isečemo centralni kvadrat L 1 = 4+4 1 3 P 1 = 1 1 3 2
Isti postupak primenimo na preostale kvadrate L 2 = 4+4 1 3 +8 4 1 3 2 P 2 = 1 1 3 2 8 1 3 4
Isti postupak primenimo na preostale kvadrate L 3 = 4+4 1 3 +8 4 1 1 3 2 +82 4 3 3 P 3 = 1 1 3 2 8 1 3 4 82 1 3 6
Isti postupak primenimo na preostale kvadrate L = 4+4 1 3 +8 4 1 3 2 +82 4 1 +... = + 33 P = 1 1 3 8 1 1 2 3 4 82 3 +... = 0 6 Dobili smo ograničenu figuru beskonačnog obima a nulte površine!!!
- dimenzija Primetimo da ako kvadrat uvećamo k = 3 puta dobijamo N = 8 novih kvadrata. Prema tome, dimenzija je D = log k N = log 3 8 1.893.
Mengerov sundjer Na sličan način dobija se 3D varijanta kvadrata Sirjepinskog: Mengerov sundjer. Sada za k = 3 dobijamo N = 20 odnosno D = log 3 20 = 2.727.
: D = log 2 3 1.585!!
Tetraedar Sirjepinskog : log 2 4 = 2!!
Petnička piramida Pomoću slamčica i kanapa... Ukupno slamčica: 6144 Ukupno kanapa: 2.46km Osmeh na licima petničara: NEPROCENJIVO! :)
Sadržaj predavanja Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija 4 Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene
Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija A sad malo ozbiljnije matematike (Box-Counting dimenzija) Definisali smo dimenziju samosličnih objekata pomoću D = log k N. Sada ćemo ovu definiciju uopštiti na proizvoljan skup X. Box-Counting dimenzija. Minimalan broj kocki stranice δ (dovoljno malo) koje pokrivaju duž: N δ dužina, površ: N δ površina, telo: N δ δ 2 δ zapremina δ 3
Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija Neka je X skup i N δ (X) minimalan broj kocki stranice δ koje pokrivaju X. Intuitivno važi N δ (X) 1 δ d, d logn δ(x), logδ
Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija Neka je X skup i N δ (X) minimalan broj kocki stranice δ koje pokrivaju X. Intuitivno važi N δ (X) 1 δ d, d logn δ(x), logδ pa možemo definisati Box-counting dimenziju na sledeći način: logn δ (X) d = dim B(X) = lim δ 0+ logδ
Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija Neka je X skup i N δ (X) minimalan broj kocki stranice δ koje pokrivaju X. Intuitivno važi N δ (X) 1 δ d, d logn δ(x), logδ pa možemo definisati Box-counting dimenziju na sledeći način: logn δ (X) d = dim B(X) = lim δ 0+ logδ Za Kohovu pahuljicu: N δ/3 (X) 4N δ (X) Za ostale samoslične fraktale važi ( ) d δ 4δ d d = log 3 3 4 N δ/k (X) N N δ (X) d = log k N
Hausdorfova dimenzija Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija Normalizovana d-dimenzionalna zapremina: { } Hδ(X) d = inf ri d skup X može se prekriti loptama radiusa r i < δ H d (X) = lim δ 0+ Hd δ(x) i Ako je L duž, S površ a T telo, i ako su l, s i v redom dužina, površina i zapremina, onda je +, d < 1 +, d < 2 +, d < 3 H d (L) = l, d = 1, H d (S) = s/π, d = 2 H d (T) = 3v/(4π), d = 3 0, d > 1 0, d > 2 0, d > 3
Hausdorfova dimenzija Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija Normalizovana d-dimenzionalna zapremina: { } Hδ(X) d = inf ri d skup X može se prekriti loptama radiusa r i < δ H d (X) = lim δ 0+ Hd δ(x) i Ako je L duž, S površ a T telo, i ako su l, s i v redom dužina, površina i zapremina, onda je +, d < 1 +, d < 2 +, d < 3 H d (L) = l, d = 1, H d (S) = s/π, d = 2 H d (T) = 3v/(4π), d = 3 0, d > 1 0, d > 2 0, d > 3 Dakle, dimenziju možemo definisati na sledeći način { } D = dim H(X) := inf d 0 H d (X) = 0 Ovako definisana fraktalna dimenzija naziva se Hausdorfova dimenzija.
Sadržaj predavanja Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene 1 2 3 Box-Counting dimenzija Hausdorfova dimenzija 4 Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene
Mandelbrotov skup Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Kompleksni brojevi: z = a+ib, i 2 = 1, C = {a+ib a,b R}. Neka je z n+1 = z 2 n +c gde je c C i z 0 = 0. Ukoliko postoji konstanta M takva da je z n < M (niz z n je ograničen) za svako n = 1,2,..., onda tačku c bojimo u crno. Ovo su tačke Mandelbrotovog skupa. Može se pokazati da je dovoljno uzeti M = 2. Ako z n nije ograničeno, onda boju tačke c C odredjuje n 0 = min{n N z n > 2}.
Mandelbrotov skup Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Na prvi pogled, slika bi trebala da izgleda jednostavno. Ispostavlja se da nije tako:
Mandelbrotov skup - osobine Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Konačna površina (nalazi se unutar kruga radiusa 2). Beskonačni obim. Granica skupa je fraktal (Hausdorfove) dimenzije d = 2. Fini detalji koliko god da zumiramo. Samosličnost je primetna, ali nije egzaktna. Delovi liče jedan na drugog.
Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Putovanje u središte Mandelbrotovog skupa
Zgužvani papir Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Pretpostavka: M = c p d, gde je M masa papira a p prečnik zgužvanog papira. Sledi logm = logc+dlogp.
Zgužvani papir Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Pretpostavka: M = c p d, gde je M masa papira a p prečnik zgužvanog papira. Sledi logm = logc+dlogp. M p [cm] 8 8.5 4 7.5 2 5.2 1 3.75 0.5 3.1 0.25 2.5 0.125 1.85 Masa (normalizovana) 10 1 0.1 y = a + b*x Vrednost Gre ka a -1.60157 0.07498 b 2.63726 0.11564 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p [cm] d 2.63
Fraktali u prirodi Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Paprat Bakterija Grom
Fraktali u prirodi Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Obala Britanije Obala Norveške
Fraktalne antene Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Fraktalne antene daju mnogo širi frekventni opseg od konvencionalnih antena istih dimenzija. Pogodne su za primenu u mobilnim telefonima.
Softver i literatura Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Knjige i radovi: KENNETH FALCONER, Fractal geometry - mathematical foundations and applications, Wiley, UK, 2003. ARTHUR C. CLARKE, BENOÎT MANDELBROT, DAVID PENNOCK, GARY FLAKE, IAN STEWART, MICHAEL BARNSLEY, NIGEL LESMOIR-GORDON, WILL ROOD, The Colours of Infinity: The Beauty and Power of Fractals, Springer, 2010. BENOÎT MANDELBROT, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, Science, New Series, Vol. 156, No. 3775 (May 5, 1967), 636 638. T. GREGORY DEWEY, Fractals in modern biophysics, Oxford University Press, 1997 Korišćen softver: Wolfram Mathematica ver. 8.0 (www.wolfram.com) L A T E X beamer (latex-beamer.sourceforge.net)
Mandelbrotov skup Zgužvani papir Fraktali u prirodi Fraktalne antene Hvala na paznji!