u radu istrazujemo neke dovozjne uvjete uz koje je odgovor na

Dr Ivan Loncar F akultet organizacije i informatike Varazdin UDK: 519.5 Znanstveni rad JEDNAKOST DIMENZIJA INVERZNOG LIMESA Neka [e X = {X ~f S.,A}inverzni sistem topoloiiki.h proe tora X., aea.,-koji ~adgvozjavaju uvjet dim X = Ind X -'aea. Da Zi i~verzni Zimes X = Zfm ~ zadovozjava uvjet dim X~Ind X? AnaZ~ gni probzem mozemo postaviti za dimenzije ind i Ind te za sve tri dimenzije dim., Ind i indo u radu istrazujemo neke dovozjne uvjete uz koje je odgovor na postavzjeni probzemafirmitivan. 1. JEDNAKOST Ind (l~m~) = Ind (lim~) = dim (l~m~) Poznato je da jednakost ind X = Ind X = dim X vrijedi ako je X separabilan m~ tricki prostor, a jednakost ind X = Ind X ako je X strogo parakompaktan strogo nasljedno normalan [8J (specijalno, savr eno normalan Lindel~fov prostor [1:41il J. 1.1. TEOREM. Ako je X limes niza X ={X,f,N }separabilnih me t rick i h pros- - n nm tora Xn i surjektivnih veznih preslikavanja fnm' tada je ind X = Ind X = dim (1 im ~). D 0 k a z Projekcije fn : X -+ Xn su surjektivna presl ikavanja pa je X separabilan metricki prostor. To znaci da je ind X = Ind X = dim X. Kazemo da je prostor X nasljedno Lindel~fov ako je Lindel~fov svaki njegov potprostor. Svaki regularan prostor prebrojive baze je nasljedno Lindel~fov [7:247J. Odatle slijedi da je svaki separabilan metricki prostor nasljedno Lindel~fov U:320J. S druge strane, Lindel~fov prostor je nasljedno Lindel~fov ako (i sarno ako) je savr eno normalan [7:249J. 1.2. LEMA. [14 J Ako je ~ = {Xa,ttS,A} dobro uredeni inverzni sistem nasljedno l.inde lofov'ih prostora \. sa svojstvom cf(a) ;#w 1 ' tada je lim X nasljedno Lindel~fov prostor. 269

Zbornik radova (1985/86), 9-10 1.3. TEOREM. Neka je ~ = {~,tas,a} dobro uredeni inverzni sistem nasljedno Lindelofovih prostora Xa. Ako je cf(a) fw 1,tada je ind (lim ~) = Ind (lim~) = dim (lim ~). 1.4. NAPOMENA. Moze se dokazati da je za takve inverzne sisteme dim (1~.m ~) ;;an ako je dim ~;;a n, CJ. A. Dokaz slij edi iz cinjenice da za svaki otvoreni USilim X ~ostoji indeks CJ. A i + -.l otvoreni skup U ~X sa svojstvom U = f- (U ) [14J. CJ. CJ. CJ. CJ. Za dobro uredene inverzne sisteme koji imaju savrsena vezna preslikavanja (otvorena vezna preslikavanja ili su neprek:~ni inverzni sistemi) dokazao je Tkacenko [24J da iz w(x ) < m CJ. slijedi w(lim X) <; m. Tocnf.j e, ako je w(x )<I.1l, CJ. A, cf(a)fw + - CJ. T T tada je w (lim X)<w + - T 1.5. TEOREM. Neka je X = {X,f Q,A} dobro uredeni inverzni si CJ. CJ.I-' stem separabilnih metrickih prostora kofinalnosti cf(a) t wi. Ako su preslikavanaj f Q savrsena preslikavanja (otvorena pre CJ.I-' - slikavanja ili je ~ neprekidni inverzni sistem), tada je za prostor X = lim!ispunjena jednakost indx = IndX = dimx. D 0 k a z. Iz Tkacenkovog teorema [24 Jslijedi da je X separabilan metricki prostor. Iz napomene 1.4. jos slijedi da je dim X;;a n ako je dim X;;a n, CJ. A. 1.6. TEOREM. Neka je ~ = {X,f Q,A} inverzni sistem metrickih CJ. CJ.I-' kompakata i nuladimenzionalnih veznih preslikavanja. Za prostor X = lim ~ vrijedi indx = IndX = dimx. D 0 k a z. Iz pozna tog teorema za dim inverznog sistema kompakata odmah slijedi da su projekcije f : X + X nuladimenzio- Co nalne. K tome je dim X ~1l ako je di~;;an, CJ. A. X je, dakle, normalan prostor koji posjeduje nula-dimenzionalno preslikavanje na metricki kompakt pa je indx=indx=dimx[1:392j.d6kaz je gotov. 270

Zbornik radova (1985/86), 9-10 1.7. LEMA. [8:199J. Aka je X strogo parakompaktan strogo nasljedno normalan prostor, tada je indx = IndX. Iz leme 1.7. odmah slijedi ovaj teorem. 1.8. TEOREM. Neka je X limes inverznog sistema strogo parakom_ paktnih strogo nasljednih normalnih prost ora i savrsenih veznih preslikavanja. Aka je X strogo nasljedno normalan, tada je indx IndX. D a k a z. X je strogo parakompaktan jer su projekcije f :X+X,.a aea, savrsena preslikavanja [1:148J. Kazemo da je inverzni sistem X ={X,fQ,A} ind-s p e.c i j a - - a a.., I a n (Ind-specijalan, (ind,ind)-specijalan) aka zadovoljavaju uvjete: X) Za svaki zatvoreni skup Fe X je indf~ n (IndF ~n, indf = a a a a a = IndF a ), -1 F) Za svaki zatvoreni skup Fe X i svaki S~a je indfn~ind fnq -1 a a u. u..., (F ) (odnosno Ind f (F) ~ IndF ), a as a a S) Za svaka dva zatvorena disjunktna skupa F 1,F 2 limesa X postoji indeks aea za koji je f a (F 1 )()f a (F 2 ) = 0. 1.9. TEOREM. Neka je X limes ind-specijalnog (Ind-specijalnog) inverznog sistema X = {X,f Q,A}. Aka je indx ~n(indx ~n) za - a a.., a a sve aea, tada je indx~n(indx~n). D a k a z. Mi cemo dati dokaz za dimenziju Ind jer je za ind dokaz slican i jednostavniji jer tada uvjet S) nije potreban. Dokaz provodimo totalnom indukcijom po broju n. 271

Zbornik radova (1985/86),9-10 A) Neka je n=o. Neka su nadalje F1 i F2 dva disjunktna zatvorena skupa limesa X. Zbog uvjeta S) postoji aea za koji je f a (F 1 ) f\ f a (F 2 ) = 0. Zbog 1ndX~O postoje disjunktni otvoreni skupovi ----- ----- U :> f (F 1 ) i V ::> f (F 2 ) sa svoj stvom U V V = X. Skupovi a a a a a a a f- 1 (U ) i f- 1 (V ) su disjunktni, sadrze F1 i F2 i pokrivaju X. a a a a To znaci da je 1ndX~O. B) Neka je Teorem 1.9. istinit za sve inverzne sisteme kod koj ih 1ndX ~n-l. a C) Dokazimo da je Teorem istinit za prirodan broj n. Za dva disjunktna zatvorena skupa F 1 i F2 limesa X odr ed nm neki aea u skladu s uvjetom S). Zbog 1ndX~ n postoji pregrada L izmedu a f (F 1 ) i f (F 2 ) koja je dimenzije 1ndL ~n-1. Neka je Lo = f-~(l ), a a a ij aij a 8~a. 1z uvjeta X) i F) slijedi da je 1ndL8~n-1. 1nverzni sistem L = {Lo,fo /L, a~8~y} zadovoljava hipotezu indukcije B. Dakle - ij ijy Y je Ind(lim L) ~ n-1. Kako je lim L f- 1 (L), to je 1ndX~n. Do- - a a kaz je gotov. 1.10. Problem. Neka je X limes (ind, 1nd)-specijalnog inverznog limesa!. Da Ii je 1ndX = indx? Scepin [26:200J uveo je xrmetricke prostore. Svaki metricki prostor j e /.-metricki prostor. Produkt )l-metrickih prostora je,(-metricki prostor. Ako je X ~-metricki kompakt a f:x+y otvorena neprekidna surjekcija, tada je Y ~-metricki kompakt. 1.11. Lema. Scepin [25J. Ako je X = {X,f o,a} neprekidni in- - a aij verzni sistem )l-metrickih kmpakata i otvorenih veznih preslikavanja, tada je X = lim X ~-metricki kompakt. +- - 272

Zbornik radova (1985/86), 9-10 Fedorcuk [10Jdokazuje da za svaki ~-metricki kompakt X ispunj~ va jednakost indx = IndX. Iz prethodne leme sada slijedi ovaj teorem. 1.12. TEOREM. Neka je ~ = {Xa,faS"~} neprekidni inverzni sistem )( -me t rlckt.h kompakata f-a i ot"'{orer:i.h veznih pres\likavanja fas' Tada je ind(lim X) = IridCl.Lm X)"... + -.+ --~-- ~'.'-... 1. l3. NAPOMENA: Usporedi ovaj.teorem s teoremom L 5. 2. JEDNAKOST Ind(lim ~) dim(lim ~) Poznato je [8:254J da je jednakost IridX metricke prostore. Prema tome vrijedi ovaj dimx ispunjena za 2.1. TEOREM. Ako je X = [X,f D,AJ takav inverzni sistem kojemu - a alj je limes X me t rlck.i prostor, t ada je IridX = dimx. Specijalno, ako je ~ inverzni niz s limesom X, tada je IndX = dimx. Ako normalan prostor X posjeduje zatvoreno dim-nuladimenzionalno preslikavanje f:x ~ Y na metricki prostor Y, tada je IndX = = dimx [1:392J. Odatle slijedi 2.2. TEOREM. Neka je X limes inverznog sistema X = {X,f B,A} - a a metrickih prostora Xa' Ako su preslikavanja fas savrsena i dim-nuladimenzionalna, tada je IndX = dimx. D 0 k a z Projekcije f X ~ X su savrsena preslikavanja a a [1:148J pa je X parakompaktan prostor. Nadalje su f dim-nulaa dimenzionalna preslikavanja. Prema navedenom teoremu Pasynkova je dimx = IndX. 273

Zbornik radova (1985/86),9-10 Pasynkov [cit.1:394] dokazao je da je IndX = dimx ako je X normalan prostor i postoji n-diskretno preslikavanje f:x+y na metricki prostor. Preslikavanje f:x+y je n-diskretno ako je w-diskretno za svaki konacan pokrivac wen. Preslikavanje f:x+y je w-diskretno ako svaka tocka y iz skupa f(x) posjeduje okolinu V ciji se original f- 1 (V) raspada na diskretnu u X familiju otvorenih 'skupova koja je upisana u pokrivac w. 2.3. LEMA. Neka je X limes sistema X {X,f,A} sa n-diskrea a8 tnim veznim preslikavanjima f Ako za svaki konacan otvoreni a8 pokr Lvac U prostora X postoj i aea i konacan otvoreni' prostora X8 sa svojstvom da je f~l (u'8) upisan u pokr Lvac ~ tada su projekcije f : X + X Q-diskretna preslikavanja. a a D 0 k a z. Jednostavna provjera. Uvjet ove leme je zadovoljen, prije svega, za kompaktne prostore X. Imamo, dakle, ovaj teorem. a 2.4. TEOREM. Ako je ~ inverzni sistem kompaktnih metrickih pr stora i n-diskretnih veznih preslikavanja, jednakost Ind(lim X) + - dim (lim X). + - tada je ispunjena 2.5. LEMA. Neka je X {X,f a,a} a-usmjereni inverzni sistem. a a I-' Ako je X = lim X Lindelofov prostor a projekcije f : X + X a a surjekcije, tada za X vrijedi lema 2.3. D 0 k a z Neka je 1.l = {Ul'..,Uk} konacan otvoreni pokr Lvac prostora X. Za svaki aea neka je U~ otvoren skup prostora X 1 a koji je maksimalan u odnosu na svojstvo f-1(u.)~u., i=l,.,k. a 1 1 Neka je Y = X \U{U. : i=l,,k}. Kad bi svi skupovi Y bili a a 1 a 274

Lonc~r I. Jednakost dimenzije inverznog 1imesa Zbornik radova (1985/86),9-10 neprazni, ima1i bi u prostoru X a-centriranu fami1iju {f-1(y ) a a :aeal Kako je X Lf.nde Lof ov, postoji YE(\{f- 1 (y ) : aeal Ovo a a je u kontradikciji s cinjenicom da je X = V{U~ aea, i=l,.,kl 1 Dokaz je gotov. 2.6. TEOREM. Neka je X a-usmjereni inverzni sistem separabi1- nih metrickih prostora i savrsenih Q-diskretnih veznih pres1ikavanja. Za prostor X = 1im X je IndX = dimx. + - D 0 k a z Prostor X je Linde1ofov jer su takvi svi prostori X EX [7:320J a projekcije f :X~X su savrsena pres1ikavanja a - a a [1: 148 J. Iz lema 2.3. i 2.5. slij edi da su proj ekcij e Q-diskr~ tna pres1ikavanja. Konacno, iz teorema koji smo nave1i prije definicije Q-diskretnih pres1ikavanja slijedi da je IndX = dimx. Prostor X je o-me t rldkf, prostor ako je X = V {X.iEN}, gdje 1 su X. zatvoreni metricki potprostori. Prostor je ~-prostor 1 ako je potprostor produkta prebrojivo mnogo parakompaktnih a-metrickih prostora [15J. Produkt prebrojivo mnogo ~-prostora je ~-prostor. Za ~-prostor X je dimx = IndX [15: Theorem 1.J. Prostor je ~-prostor dimenzije dimx~n onda i sarno onda kada je homeomorfan 1imesu inverznog niza parakompaktnih~-metrickih prostora X k dimenzije dim Xk~n. [15: Theorem 2.J. Na temelju svega navedenog slijedi ovaj teorem. 2.7. TEOREM. Ako je X limes niza X tada je IndX = dimx. {X, f,n} a-prostora X, n nm n D 0 k a z X je dio produkta {X :nen} koji je produkt prebron jivo mnogo parakompaktnih a-metrickih prostora. Dak1e je X ~-prostor pa je IndX = dimx. 275

Loncar I. Jednakost dimenzije Zbornik radova (1985/86), 9-10 2.8. PROBLEM. Neka je!inverzni sistem koji zadovoljava uvjete X), F) i X). Ako je dimx IndX, da Ii je dim(lim X) = Ind a a + - (lim X)? + - LITERATURA [lj Aleksandrov P.S., Pasinkov B.A., Vvedenije v teoriju razmernosti, Nauka, Moskva, 1973. [2J Baladze V.H., 0 funkcijah razmernostnogo tipa, Trudy Tbilis. mat.inst. 68 (1982), 5-41. [3J Charalambous M.G., Inductive dimension and inverse sequences of compact spaces, Proc.Amer. Math.Soc.81 (1981), 482-484. [4J...., An example concerning inverse limit sequence of normal spaces, Proc.Amer.Math.Soc.78/1980), 600-607. [5J, The dimension of inverse limits, Proc.Amer.Math. Soc. 58 (1976), 289-295. [6J Cook H. and Fitzpatrick P.Jr., Inverse limits of perfectly normal spaces, Proc.Amer.Math.Soc. 19 (1968), 189-192. [7J Engelking R., General Topology, PWN, Warszawa, 1977. [8J..., Dimension Theory, PWN, Warszawa, 1978. [9J Fedorcuk V.V., Metod razvertyvaemyh spektrov i vpolne zamknuty otobrazenij v obscej topologii, UMN 35 (1980), 112-121. [10J, 0 razmernosti ~-metrizuemyh bikompaktov, v castnosti prostranstv Dugundzi, DAN SSSR 234(1977), 30-33. [llj Katuta Y., On the covering dimension of inverse limits, Proc.Amer.Math.Soc.84 (1982), 588-592. [12J Keesling J.E., Open and closed mappings and compactification, Fund.Math. 65 (1969), 73-81. [13J Lejbo I.M., 0 razmernosti nekotoryh prostranstv, DAN SSSR 235 (1982), 26-29 276

Loncar I. Jednakost dimenzije Zbornik radova 81985/86),9-10 [14J Loncar I., Inverse limits for spaces which generalize compact spaces, Glasnik matematicki 17(37) (1982), 155-173. [15J, Lindelofov broj i inverzni sistemi, Zbornik radova Fakulteta organizacije i informatike varazdin, 7 (1983), 245-252. [16J Mardesic S., Sostak A., 0 soversennyh proobrazah kruzevyh prostranstv, UMN 35 (1980), 84-93. [17J Mizomaki T., On the dimension of ~-spaces, Proc.Amer.Math. Soc. 83 (1981), 195-200. [18J Nagami K., A note on the normality of inverse limits and products, Proc. of the international Symposium on Topology and its applications Herceg-Novi 1968, Beograd 1969,261-264. [19J Nagata J., Modern dimension theory, Amsterdam, 1965. [20J Pasynkov B.A., Casticnye topologiceskije proizvedenija, Trudy Mosk. mat. obscestva 13 (1965), 136-245. [21J, Faktorizacionnye teoremy v teorii razmernosti, UMN 36 (1981), 147-175. [22J 0 razmernosti proizvedenij normal'nyh prostranstv,dan [23J..., 0 razmernosti prostranstv s bikompaktnoj gruppoj preobrazovanij, UMN 31 (1976), 112-120. [24J Ponomarev V.l., Parakompakty, ih projekcionnije spektri i neprerivnye otobrazenija, Mat.Sb.60 (1963), 89-119. [25J Scepin E.V., Topologija predel'nyh prostranstv nescetnyh obratnyh spektrov, UMN 36 (1976), 191-226. [26J, Funktory i nescetnye stepeni kompaktov, UMN 36 (1981), 3-62. [27J Tkacenko M.G., Cepy i kardinaly, DAN SSSR 239 (1978), 546-549. 277

Zbornik radova (1985/86),9-10 Loncar I. Equality of the dimensions of inverse limit SUM MAR Y Some sufficient conditions for the equality of the dimensions dim, ind and Ind are studied. We introduce the notions of ind-, Ind- and (ind,ind)-special inverse systems. 218