Erdös-Mordellova nejednakost

Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015.

Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Mentor: izv. prof. dr. sc. Zdenka Kolar - Begovi Osijek, 015.

Sadrºaj 1 Uvod 4 Erdös-Mordellova nejednakost 5 3 Dokazi Erdös-Mordellove nejednakosti 6 3.1 Mordellov dokaz.............................. 6 3. Dokaz Andre Aveza............................ 8 3.3 Dokaz Vilmosa Komornika........................ 10 3.4 Vizualni dokaz............................... 11 3.5 Dokaz kori²tenjem pomo ne gure.................... 1 3.6 Veldkampov dokaz............................ 14 3.7 Dokaz kori²tenjem kompleksnih brojeva................. 15 3.8 Dokaz Donata K. Kazarinoa...................... 19 3.9 Dokaz Hojoo Leeja............................ 1 4 Barrowova nejednakost 3 5 Teºinska Erdös-Mordellova nejednakost 6 6 Prostorni analogon Erdös-Mordellove nejednakosti 8 7 Generalizacija Erdös-Mordellove nejednakosti 31 Literatura 34 Saºetak 36 Title and summary 37 šivotopis 38

1 Uvod U ovome radu istraºena je Erdös-Mordellova nejednakost u kojoj se tvrdi da je zbroj udaljenosti bilo koje to ke unutar trokuta do vrhova trokuta ve i ili jednak od dvostruke udaljenosti te to ke do stranica danog trokuta. Ova nejednakost od svog pojavka 1935. godine u American Mathematical Monthly je izazvala veliko zanimanje matemati ara te je objavljen veliki broj dokaza razli ite prirode. U radu su prou avani razli iti dokazi. Navedeni su planimetrijski dokazi, koji su i najbrojniji u literaturi. Prou avani su trigonometrijski, vizualni dokazi kao i dokazi kori²tenjem kompleksnih brojeva te dokazi kori²tenjem pomo ne gure. U radu se prou ava prostorni analogon Erdös-Mordellove nejednakosti. Navedena je i generalizacija ove poznate nejednakosti. 4

Erdös-Mordellova nejednakost Paul Erdös bio je jedan od najpoznatijih matemati ara 0. stolje a. Zasluºan je za brojna postignu a u teoriji grafova, teoriji skupova i kombinatorici. Geometriju je zaduºio jednom naizgled jednostavnom nejednakosti koju je postavio 1935. godine, Problem 3740, American Mathematical Monthly 4, (1935). Teorem.1. (Erdös-Mordellova nejednakost) Neka je dan trokut ABC i to ka P unutar trokuta. Neka su P A, P B, P C udaljenosti od to ke P do to aka A, B i C, te neka su p a, p b, p c udaljenosti od to ke P do stranica BC, CA i AB. Tada vrijedi P A + P B + P C (p a + p b + p c ). (.1) Jednakost vrijedi ako i samo ako je trokut ABC jednakostrani an i ako je P sredi²te trokutu opisane kruºnice. Slika 1. Iako se ova nejednakost ini jednostavnom, prvi dokaz se pojavio tek 1937. godine, a nejednakost su prvi dokazali L. J. Mordell i D. Barrow, Solution to Problem 3740, American Mathematical Monthly 44 (1937). Dani dokaz je trigonometrijski. Ta tvrdnja je izazvala veliku pozornost matemati ke javnosti. Matemati ari su poku- ²avali na ²to jednostavnije na ine dokazati ovu nejednakost. Do danas je objavljen veliki broj dokaza. Neke od tih dokaza navest emo u sljede em poglavlju. 5

3 Dokazi Erdös-Mordellove nejednakosti 3.1 Mordellov dokaz Prvi dokaz kojeg emo navesti u ovome radu je dokaz koji je dao L. J. Mordell 1937. godine. On je prvi matemati ar koji je dokazao ovu nejednakost. Njegov dokaz koristi poznate trigonometrijske identitete i relacije. Ovaj dokaz se moºe na i u [1]. Slika. Neka je dan trokut ABC i to ka P unutar trokuta, te neka su P A, P B, P C udaljenosti od to ke P do to aka A, B i C. Ozna imo s p a, p b, p c udaljenosti od to ke P do stranica BC, CA, AB trokuta ABC (slika ). Promotrimo etverokut ARP Q. Vrijedi ARP + RP Q + P QA + QAR = 360 90 + RP Q + 90 + α = 360 RP Q = 180 α. Kako je α+ RP Q = ARP + P QA = 180 slijedi da je etverokut ARP Q tetivni. Primjenjuju i obrat Talesovog teorema na trokute ARP i AP Q, etverokutu ARP Q moºemo opisati kruºnicu polumjera P A, pa stoga i trokutu ARQ moºemo opisati kruºnicu polumjera P A. 6

Primjenjuju i formulu koja povezuje polumjer trokutu opisane kruºnice, duljinu stranice i sinus kuta nasuprot te stranice u trokutu RQP slijedi da je RQ = P A sin α. Primjenjuju i kosinusov pou ak na trokut RQP imamo RQ = p b +p c p b p c cos( RP Q) = p b +p c p b p c cos(π α) = p b +p c +p b p c cos α. Kako je RQ = P A sin α, vrijedi P A sin α = p b + p c + p b p c cos[π (β + γ)] = p b + p c + p b p c sin β sin γ p b p c cos β cos γ = p b(sin γ + cos γ) + p c(sin β + cos β) + p b p c sin β sin γ p b p c cos β cos γ = [p b sin γ + p b p c sin β sin γ + p c sin β] + [p b cos γ p b p c cos β cos γ + p c cos β] = (p b sin γ + p c sin β) + (p b cos γ p c cos β) (p b sin γ + p c sin β). Odatle slijedi da je pri emu jednakost vrijedi ako i samo ako je P A sin α p b sin γ + p c sin β, (3.1) p b cos γ = p c cos β. Dijeljenjem nejednakosti 3.1 sa sin α dobivamo Analogno dobivamo sin γ P A p b sin α + p sin β c sin α. sin α P B p c sin β + p sin γ a sin β, sin β P C p a sin γ + p sin α b sin γ, pri emu jednakosti vrijedi ako i samo ako je p c cos α = p a cos γ, p a cos β = p b cos α. Zbrajaju i nejednakosti dobivamo ( sin β P A + P B + P C p a sin γ + sin γ ) ( sin α + p b sin β sin γ + sin γ ) sin α p a + p b + p c = (p a + p b + p c ). 7 ( sin α + p c sin β + sin β ) sin α

Da bi vrijedila jednakost treba vrijediti da je sin β sin γ + sin γ sin β =, sin α sin γ + sin γ sin α =, sin α sin β + sin β sin α =, te iz toga slijedi da je α = β = γ, a iz toga proizlazi da je p a = p b = p c. Zaklju ujemo da jednakost vrijedi ako i samo ako je trokut jednakostrani an i ako je P sredi²te trokutu opisane kruºnice. U dokazu smo koristili sljede e: (i) x y + y x, x, y > 0, (ii) sin β sin γ + sin γ sin β = sin β = sin γ β = γ. 3. Dokaz Andre Aveza U ameri kom asopisu The American Mathematical Monthly 1993. godine objavljen je Andre Avezov dokaz Erdös-Mordellove nejednakosti. Njegov dokaz se moºe na i u []. On je nejednakost dokazao pomo u Ptolomejevog teorema. Teorem 3.1. Neka je ABCD konveksni etverokut kojemu je opisana kruºnica. Tada je zbroj umno²ka duljina nasuprotnih stranica jednak umno²ku duljina dijagonala. Dokaz Teorema.1 Neka je P to ka unutar trokuta ABC. Neka su udaljenosti od to ke P do vrhova A, B, C redom, P A, P B, P C, a udaljenosti od to ke P do stranica BC, CA i AB redom, p a, p b i p c. Neka k ozna ava kruºnicu opisanu trokutu ABC, te neka je A to ka dobivena presjekom kruºnice i pravca P A kao na slici 3. Tada primjenjuju i Ptolomejev teorem na etverokut ABA C dobivamo A C AB + AC A B = AA BC. (3.) Neka je P Q visina trokuta AP C i neka je to ka A to ka koja je dijametralno suprotna to ki A. Kako su kutovi A AC i A A C sukladni, tada su pravokutni trokuti AP Q i A A C 8

Slika 3. sli ni. Ako uzmemo da je promjer kruºnice k jednak 1 tada je AP A C = A A P Q = p b (jer vrijedi A A = 1 i P Q = p b ). Sli no moºemo zaklju iti da je P A A B = p c. Mnoºenjem obje strane jednadºbe (3.) s P A i dijeljenjem s BC dobivamo A C AB P A BC + A B AC P A BC AB BC p b + AC BC p c = P A AA. = AA BC P A, tj. BC Analogno dobijemo jednakosti za ostala dva vrha, te zatim zbrajaju i lijeve i desne strane dobivamo ( AC P A AA +P B BB +P C CC = p a AB + AB AC ) ( AB +p b BC + BC ) ( AC +p c AB BC + BC ). AC Lijeva strana je manja ili jednaka od P A + P B + P C, a jednakost vrijedi ako i samo ako AA = BB = CC = 1, ²to zna i da su AA, BB, CC promjeri kruºnice k, tj. P je sredi²te opisane kruºnice. S druge strane, desna strana je ve a ili jednaka od (p a +p b +p c ), a jednakost vrijedi ako i samo ako je AB = AC = BC. 9

3.3 Dokaz Vilmosa Komornika Sljede i dokaz dao je matemat ar Vilmos Komornik. On je svoj dokaz objavio 1997. godine, takožer u asopisu The American Mathematical Monthly ([9]). Slika 4. 1. Prvo emo promatrati to ku P koja se nalazi na stranici BC kao na slici 4. Tada je dvostruka povr²ina trokuta AP C jednaka bp b, dok je dvostruka povr²ina trokuta ABP jednaka cp c. Tada je povr²ina trokuta ABC jednaka 1 (bp b +cp c ). P A je ve a ili jednaka od visine trokuta povu ene iz vrha A. Tada je ap A bp b + cp c. (3.3) Napomenimo da nejednakost vrijedi za svaku to ku P unutar trokuta ABC. Dovoljno je napomenuti da je nejednakost (3.3) ekvivalentna (po sli nosti) nejednakosti koja se odnosi na to ku P, presjeci²te stranice BC i polupravca AP.. Ako je trokut jednakostrani an tada se nejednakost (3.3) moºe podijeliti s a = b = c i dodati ih dvjema analognim nejednakostima P B p c + p a i P C p a + p b. Dokaz nejednakosti (3.3) pokazuje da jednakost u Erdös Mordellovoj nejednakosti vrijedi ako P leºi na svima visinama trokuta ABC, tj. ako je P ortocentar jednakostrani nog trokuta ABC. Tada je P sredi²te trokutu opisane kruºnice. 10

3. Ako trokut nije jednakostrani an, tada trebamo jednostavnu posljedicu nejednakosti (3.3). Primjenjuju i (3.3) na reeksiju P to ke P u odnosu na simetralu kuta BAC, imamo P A = P A, p b = p c, p c = p b. Tada je ap A bp c + cp b. Ako je P unutar trokuta ABC, tada imamo i bp B cp a + ap c, te cp C ap b + bp a, te slijedi da je P A + P B + P C ( b c + c ) ( c p a + b a + a ) ( a p b + c b + b ) p c > (p a + p b + p c ). a U zadnjem dijelu nejednakosti imamo strogu nejednakost jer a, b i c nisu jednaki. 3.4 Vizualni dokaz Sljede i dokaz Erdös-Mordellove nejednakosti dali su C. Alsina i R. B. Nelsen 007. godine. Oni su Erdös-Mordellovu nejednakost dokazali na vrlo jednostavan na in. Njihov dokaz se moºe na i u [1]. Promotrimo trokut P QA (slika 5.a). Konstruirajmo njemu sli an trokut s koecijentom sli nosti c. Na isti na in konstruirajmo trokut sli an trokutu P RA s koecijentom sli nosti b (slika 5.b). Tada je B A C = 180 (90 α + 90 α 1 ) = 180 (180 α) = α. Trokuti ABC i A B C su sli ni prema teoremu SKS o sli nosti trokuta pa slijedi A B C = β, A C B = γ pa je B C = ap A. ap A ne moºe biti manje od cp b + bp c tj. ap A cp b + bp c pa je c P A p b a + p b c a. Analogno se dobije a P B p c b + p c a b, a P C p b c + p b a c. Tada zbrajaju i sve nejednakosti i dobivamo 11

5.a 5.b Slika 5. P A + P B + P C ( b c + c ) ( c p a + b a + a ) ( a p b + c b + b ) p c (p a + p b + p c ). a Jednakost u (.1) vrijedi ako vrijede jednakosti c P A = p b a + p b c a, P a B = p c b + p c a b, P a C = p b c + p b a c, odnosno ako i samo ako je trapez na desnoj slici pravokutnik, a to vrijedi ako i samo ako je β + α = π i γ + α 1 = π. Sli no moºemo zaklju iti i u preostala dva slu aja. Tada slijedi da je AP Q = β = CP Q pa su stoga pravokutni trokuti AP Q i CP Q sukladni. Tada je P A = P C, a sli no moºemo zaklju iti kako je P A = P B. Tada je P A = P B = P C pa je stoga P sredi²te trokutu opisane kruºnice. Takožer, jednakost mora vrijediti ako i samo ako je b c + c b =, a to vrijedi ako i samo ako je a = b = c. c a + a c =, c a + a c =, 3.5 Dokaz kori²tenjem pomo ne gure Promotrimo prvo etverokut AQP R (slika 6). Kako je ARP = AQP = 90 tada je etverokut AQP R tetivni pa mu moºemo opisati kruºnicu, a kutovi ϕ i θ su 1

Slika 6. sukladni jer su to kutovi nad istom tetivom kruºnice koja prolazi to kama A, Q, P, R. Primjenjuju i sinusov pou ak na trokut AQP dobivamo P A sin( AQP ) = AQ sin θ P A = AQ sin ϕ. (3.4) Primijenimo sada sinusov pou ak na trokut ARQ: RQ sin α = AQ sin ϕ Iz 3.4 i 3.5 slijedi da je P A = RQ sin α, tj. P A sin α = RQ. RQ sin ϕ AQ =. (3.5) sin α U etverokutu RP QA vrijedi da je RP Q + 90 + α + 90 = 360, pa je stoga RP Q = 180 α. Tada vrijedi da je cos( RP Q) = cos α. Primjenjuju i kosinusov pou ak na trokut RP Q imamo RQ = p b + p c p b p c cos( QP R) = p b + p c + p b p c cos α. Neka je ABC = β i ACB = γ. Tada je α + β + γ = 180, tj. α = 180 (β + γ). Vrijedi da je cos α = cos[180 (β+γ)] = cos(β+γ) = (cos β cos γ sin β sin γ) = sin β sin γ cos β cos γ. 13

Tada je RQ = p b + p c + p b p c (sin β sin γ cos β cos γ) = p b + p c + p b p c sin β sin γ p b p c cos β cos γ = p b(sin γ + cos γ) + p c(sin β + cos β) + p b p c sin β sin γ p b p c cos β cos γ = (p b sin γ + p c sin β) + (p b cos γ p c cos β) (p b sin γ + p c sin β). Sada dobivamo RQ = P A sin α p b sin γ + p c sin β sin γ odakle dobivamo P A p b + p sin α c sin β. sin α Analogno vrijedi sin α P B p c sin β + p sin γ a sin β i P sin β C p a sin γ + p sin α b sin γ. Zbrajaju i nejednakosti dobivamo ( sin β P A + P B + P C p a sin γ + sin γ ) ( sin α + p b sin β sin γ + sin γ ) sin α p a + p b + p c = (p a + p b + p c ). ( sin α + p c sin β + sin β ) sin α Jednakost dobijemo na sli an na in kao ²to smo napravili u Mordellovom dokazu. Dokaz se moºe na i u [4]. 3.6 Veldkampov dokaz Neka je P to ka simetri na to ki P s obzirom na simetralu AD kuta CAB kao na slici 7. Ozna imo li s p a, p b, p c udaljenosti to ke P od stranica BC, CA, AB, onda je p b = p c i p c = p b. Kako vrijedi da je AP = AP = P A, tada prema nejednakosti trokuta vrijedi da je P A + p a v a, a odatle je 1 ap A 1 av a 1 ap a, odnosno 1 ap A P ABC P BP C = P ABP C = P ABP + P ACP. Tada je 1 ap A 1 cp c + 1 bp b = 1 cp b + 1 bp c, a odatle slijedi P A c a p b + b a p c. Analogno dobijemo P B a b p c + c b p a i P C a c p b + b c p a. 14

Slika 7. Zbrajanjem ovih nejednakosti dobijemo P A + P B + P C ( b c + c b )p a + ( c a + a c )p b + ( a b + b a )p c (p a + p b + p c ). Jednakost vrijedi ako i samo ako vrijedi jednakost P A + p a = v a, te b c + c b =, c a + a c =, a b + b a =, a to vrijedi ako i samo ako je trokut ABC jednakostrani an, a P sredi²te trokutu opisane kruºnice. Ovaj dokaz se moºe na i u [1]. 3.7 Dokaz kori²tenjem kompleksnih brojeva Neka je ABC trokut i O to ka unutar trokuta. Postavimo koordinatni sustav tako da je ishodi²te u to ki O. Neka je A to ka koja se nalazi na pozitivnom dijelu x-osi, B to ka koja se nalazi u 1. ili. kvadrantu, te C to ka koja se nalazi u 3. ili 4. kvadrantu. To ke A, B, C moºemo zapisati kao kompleksne brojeve na sljede i 15

Slika 8. na in: A = A e iθ A, θ A = 0 B = B e iθ B, θ B (0, π) C = C e iθ C, θ C [π, π) i θ C θ B (0, π). S ovakvim rasporedom vrhova osiguravamo da to ka O leºi unutar trokuta ABC. Nadalje, s P ozna imo noºi²te visine iz to ke O na stranicu BC, s Q noºi²te visine iz to ke O na stranicu AC, te R noºi²te visine iz to ke O na stranicu AB. Tada Erdös-Mordellovu nejednakost moºemo zapisati A + B + C ( P + Q + R ). U ovom dokazu upotrebljavat emo dot i cross umno²ke kompleksnih brojeva. Neka su z 1 = x 1 + iy 1 i z = x + iy. Dot umnoºak deniramo kao z 1 z = x 1 x + y 1 y = Re{z 1 z } = z 1z +z 1 z. Cross umnoºak deniramo kao z 1 z = x 1 y y 1 x = Im{z 1 z } = z 1z z 1 z i. Tada je z 1 z = z 1 z + iz 1 z. 16

Lako se pokaºe da vrijedi z 1 z = z z 1 i z 1 z = z z 1. Takožer vrijede i jo² neka svojstva: (i) zz = z z = z, (ii) z z = 0, (iii) z(iz) = i[z (iz)] = i z, (iv) z (iz) = 0. Koriste i jednakost (z 1 z ) n = z1 n z n, posebno za n =, lako se pokaºe da vrijedi z1 z = (z 1 z ) (z 1 z ) z1 z = (z 1 z )(z 1 z ). Vrijedi da je (z 1 z )(z 1 +z ) = (z 1 z ) (z 1 +z )+i(z 1 z ) (z 1 +z ) = ( z 1 z )+iz 1 z, iz ega imamo z 1 z = ( z 1 z ) + (z 1 z ). Dakle, z 1 z z 1 z, gdje jednakost vrijedi ako i samo ako z 1 = z. Neka je OF G trokut i neka je H noºi²te visine iz O na F G. Uzimaju i u obzir povr²inu trokuta OF G i kompleksne brojeve pridruºene to kama F, G i H imamo H F G = F G = P OF G. Tada je H = F G F G Ako je F = f i G = g dobivamo = Im{F G} F G = F G F G. F G H = f g f g = f g f g f g f g f g f g = f g, 17

gdje jednakost vrijedi ako i samo ako f = g Neka je A = a, B = b, C = c, gdje je a = a e iθa, θ a = 0 i θ a = θ A b = b e iθ b, θ b (0, π ) i θ b = θ B c = c e iθc, θ c [ π, π) i θ c = θ C. Vrijedi A + B + C P Q R a + b + c b c c a a b pri emu jednakost vrijedi ako i samo ako a = b = c. Kako je a b 0, b c 0, c a 0 slijedi A + B + C P Q R a a + b b + c c b c + c a a b = (a b + c) (a b + c) = a b + c 0 pri emu jednakost vrijedi ako i samo ako a b + c = 0. Koriste i dot umnoºak na a, b i c dobivamo sljede i sustav jednadºbi 1 0 1 a b a 1 1 0 b c = b. 0 1 1 c a c Odakle dobivamo Ako je a = b = c = d, dobivamo a b b c = 1 1 1 1 a 1 1 1 b. c a 1 1 1 c a b b c = c a 18 1 1 1 d,

i tada je θ b = π i θ 3 c = π, pa je u slu aju jednakosti trokut ABC jednakostrani an 3 i O je sredi²te trokutu opisane kruºnice. Dokaz se moºe na i u [5]. 3.8 Dokaz Donata K. Kazarinoa Kazarino je dokazao Erdös-Mordellovu nejednakost pomo u Pappusovog teorema. Teorem 3.. Neka je ABC trokut te ABDE i ACF G dva paralelograma koji, ili obojica leºe ili nijedan od njih ne leºi potpuno izvan trokuta ABC. Neka je H sjeci²te duºina DE i F G, i neka je BCKL paralelogram ija je stranica KL dobivena translacijom duºine BC za HA. Tada je zbroj povr²ina ABDE i ACF G jednak povr²ini od BCKL. Slika 9: Pappusov teorem, P ABDE + P ACF G = P BCKL Promotrimo trokut ABC (slika 10). Neka je S sredi²te opisane kruºnice trokuta ABC, te neka je M sjeci²te duºine BC i simetrale kuta BAC. Nadalje, neka je trokut B AC zrcalna slika trokuta ABC u odnosu na simetralu kuta BAC. Sada primjeniv²i Pappusov teorem na trokut B AC uz napomenu da je SA B C dobivamo AP cos(ap, AS) B C = AC p c + AB p b, 19

odnosno Takožer vrijedi da je pa je stoga Analogno dobijemo Slika 10. a AP cos(ap, AS) = bp c + cp b. a AP a AP cos(ap, AS) = bp c + cp b, AP b a p c + c a p b. BP c b p a + a b p c i CP a c p b + b c p a. Zbrajanjem ovih nejednakosti dobivamo ( b AP + BP + CP c + c ) p a + b ( c a + a c ) p b + ( a b + b ) p c (p a + p b + p c ). a Jednakost se postiºe za cos(ap, AS) = 1, a cos(ap, AS) je jednak 1 kada P leºi na promjeru opisane kruºnice koji prolazi to kom A. Analogno, ako je cos(bp, BS) = 1 i cos(cp, CS) = 1 tada P mora leºati u sredi²tu opisane kruºnice. Kako vrijedi AP + BP + CP = ( b c + c b )p a + ( c a + a c )p b + ( a b + b a )p c = (p a + p b + p c ) 0

tada mora biti b c + c b =, a c + c a = i b a + a b = pa slijedi da je a = b = c. Ovaj dokaz se moºe na i u [7]. 3.9 Dokaz Hojoo Leeja Ovaj dokaz je planimetrijski i moºe se na i u [10]. Slika 11. Neka je HG ortogonalna projekcija stranice BC na pravac RQ kao na slici 11. Tada vrijedi BC HG = HR + RQ + QG. Kako vrijedi BRH = ARQ = AP Q slijedi da su pravokutni trokuti BRH i AP Q sli ni i vrijedi P Q HR = P A BR. Sli no dobivamo QG = P R P A CQ. Primjenom Ptolomejevom teorema na etverokut ARP Q dobivamo P A RQ = AR P Q + AQ P R, 1

odnosno Dobivamo odnosno BC RQ = AR P Q + AQ P R. P A P Q AR P Q + AQ P R P R BR + + P A P A P A CQ, BC P A P Q BR + AR P Q + AQ P R + P R CQ. Djeljenjem prethodne jednakosti s BC dobivamo P A AB AC P Q + P R. BC BC Ponovimo sli an postupak na druge dvije ortogonalne projekcije i dobijemo P B BC AB P R + P O CA AC i P C AC BC P O + P Q. AB AB Zbrajaju i ove nejednakosti dobivamo ( AB P A + P B + P C AC + AC AB ( P O + P Q + P R ). ) ( AB P O + BC + BC AB ) ( AC P Q + BC + BC ) P R AC Jednakost vrijedi ako i samo ako je AB = BC = CA te ako je P sredi²te trokutu opisane kruºnice.

4 Barrowova nejednakost Sljede a nejednakost koju emo navesti je Barrowova nejednakost. Nazvana je prema ameri kom matemati aru D. F. Barrowu koji je nejednakost prvi i dokazao 1937. godine. Njegova nejednakost je o²trija od Erdös-Mordellove nejednakosti i ona glasi ovako: Teorem 4.1. (Barrowova nejednakost) Neka je P to ka koja se nalazi unutar trokuta ABC i neka su U, V i W to ke gdje simetrale kutova BP C, CP A, AP B sijeku, redom stranice BC, CA i AB. Tada vrijedi P A + P B + P C ( P U + P V + P W ). Jednakost vrijedi ako i samo ako je trokut ABC jednakostrani an a P je sredi²te trokutu opisane kruºnice. Dokaz Barrowove nejednakosti moºe se na i u [11]. Slika 1. Za dokaz ove nejednakosti bit e nam potrebna sljede a lema koju u navesti bez dokaza. Lema 4.1. Neka su p, q i r pozitivni realni brojevi i neka su θ 1, θ, θ 3 realni brojevi takvi da je θ 1 + θ + θ 3 = π. Tada vrijedi Dokaz Teorema 4.1 p cos θ 1 + q cos θ + r cos θ 3 1 (qr p + rp q + pq r ). 3

Neka je θ 1 = BP C, θ = CP A, θ 3 = AP B. Promatrajmo trokut BP C, te trokute BP U i P CU sa slike 1. U trokutu CP U prema sinusovom pou ku vrijedi je odakle dobivamo CU sin θ 1 = P U sin γ 1 CU = P U sin θ 1 sin γ 1. U trokutu P BU prema sinusovom pou ku vrijedi da je BU sin θ 1 = P U sin β 1 BU = P U sin θ 1 sin β 1. Zatim primjenjuju i sinusov pou ak na trokut P BC dobivamo da je BC sin θ 1 = P B sin γ 1. Odatle slijedi BC sin γ 1 = P B sin θ 1, odnosno ( BU + CU ) sin γ 1 = P B sin θ 1. Valja napomenuti kako primjenjuju i sinusov pou ak na trokute P BU i P BC mo- ºemo do i do jednakosti sin γ 1 P B = sin β 1 P C. Tada vrijedi ( P U sin θ 1 sin β 1 + P U sin θ 1 sin γ 1 ) sin γ 1 = P B sin θ 1 P U sin θ 1 ( sin γ 1 + 1) = sin θ 1 cos θ 1 P B sin β 1 P B P U ( P C + 1) = cos θ 1 P B P B + P C P U ( ) = cos θ 1 P B P C P B P C P U = cos θ 1 P B + P C 4

Na sli an na in dobijemo sljede e jednakosti P V = P W = P C P A cos θ P C + P A P A P B cos θ 3. P A + P B Napomena: Prema A-G nejednakosti vrijedi da je a + b ab, odnosno vrijedi 1 1 a+b. ab Prema A-G nejednakosti i korolaru vrijedi da je 1 P U + P V + P W = P B P C cos θ 1 P B + P C + P C P A cos θ 1 P C + P A 1 + P A P B cos θ 3 P A + P B 1 P B P C cos θ 1 P B P C + P C P A cos θ 1 P A P C 1 + P A P B cos θ 3 P A P B = P B P C cos θ 1 + P A P C cos θ + P A P B cos θ 3 1 ( P A + P B + P C ). Jednakost vrijedi kada je P A = P B = P C i θ 1 = θ = θ 3 = 60, odnosno kada je trokut ABC jednakostrani an i P sredi²te trokutu opisane kruºnice. To se moºe lako provjeriti direktnim uvr²tavanjem u gornje jednakosti. 5

5 Teºinska Erdös-Mordellova nejednakost 001. godine u ameri kom asopisu The American Mathematical Monthly S. Dar i S. Gueron objavili su lanak u kojem su poop ili Erdös-Mordellovu nejednakost tako da su joj dodali teºine te dobili teºinsku Erdös-Mordellovu nejednakost. Teorem 5.1. (Teºinska Erdös-Mordellova nejednakost) Neka je dan trokut ABC i to ka P unutar trokuta. Neka su P A, P B, P C udaljenosti od to ke P do to aka A, B i C, te neka su p a, p b, p c udaljenosti od to ke P do stranica BC, CA i AB. Za pozitivne realne brojeve λ 1, λ, λ 3 vrijedi λ 1 P A + λ P B + λ 3 P C λ 1 λ λ 3 ( p a λ1 + p b λ + p c λ3 ). Jednakost vrijedi ako i samo ako je λ 1 : λ : λ 3 = a : b : c i P je sredi²te opisane kruºnice trokutu ABC. Walther Janous je 004. godine objavio lanak u kojem je poop io teºinsku Erdös-Mordellovu nejednakost. U njegovom lanku su se na²la sljede a dva teorema iji se dokazi mogu na i u [6]. Teorem 5.. Neka su λ 1, λ, λ 3, t pozitivni realni brojevi i neka je 0 < t 1. Tada vrijedi λ 1 PA t + λ PB t + λ 3 PC t t λ 1 λ λ 3 ( pt a + λ1 pt b λ + pt c λ3 ). Jednakost vrijedi ako i samo ako je λ 1 : λ : λ 3 = a t : b t : c t i P je sredi²te opisane kruºnice trokutu ABC. Dokaz. Iz dokaza iz 3. poglavlja vrijedi Tada za 0 < t 1 vrijedi P A c a p b + b a p c, P B a b p c + c b p a, P C b c p a + a c p b. P t A t ( c a p b + b a p c Na isti na in dobijemo sljede e nejednakosti P t B t ( a b )t p t c + ( c b )t p t a ) t t ( c a )t p t b + ( b a )t p t c., PC t t ( b c )t p t a + ( a c )t p t b. 6

Zbrajaju i ove nejednakosti te primjenju i A-G nejednakosti dobivamo λ 1 P t A + λ P t B + λ 3 P t C λ 1 ( t ( c a )t p t b + ( b a )t p t c ) + λ ( t ( a b )t p t c + ( c b )t p t a ) + λ 3 ( t ( b c )t p t a + ( a c )t p t b ) = t ( ( c b )t λ + ( b c )t λ 3 p t a + ( a c )t λ 3 + ( c a )t λ 1 p t b + ( b a )t λ 1 + ( a b )t λ p t c) t ( λ λ 3 p t a + λ 3 λ 1 p t b + λ 1 λ p t c). Iz prija²njih dokaza moºemo zaklju iti da jednakost vrijedi ako je P sredi²te trokutu opisane kruºnice, te mora vrijediti da je ( b a )t λ 1 = ( a b )t λ i ( c b )t λ = ( b c )t λ 3. Odatle slijedi da je λ 1 : λ : λ 3 = a t : b t : c t. Teorem 5.3. Neka su λ 1, λ, λ 3, t pozitivni realni brojevi i neka je t > 1. vrijedi λ 1 PA t + λ PB t + λ 3 PC t λ 1 λ λ 3 ( pt a + λ1 pt b λ + pt c λ3 ). Tada Jednakost vrijedi ako i samo ako je λ 1 : λ : λ 3 = a t : b t : c t i P je sredi²te opisane kruºnice trokutu ABC. Dokaz slijedi iz prethodnog teorema i injenice da je t >, t > 1. 7

6 Prostorni analogon Erdös-Mordellove nejednakosti 1957. godine je D. K. Kazarino objavio svoj rad u kojem daje analogon Erdös- Mordellove nejednakosti za trokut. Njegov dokaz se moºe na i u [8]. Teorem 6.1. (Erdös-Mordellova nejednakost za tetraedar) Neka je S tetraedar ABCD i P to ka unutar tog tetraedra. Neka su P A, P B, P C, P D udaljenosti to ke P do vrhova A, B, C i D, a p a, p b, p c, p d udaljenosti to ke P do, redom, ravnina odreženih to kama BCD, ACD, ABD i ABC. Tada za tetraedar ije je sredi²te opisane sfere unutar tetraedra vrijedi i je najve a donja meža. P A + P B + P C + P D p a + p b + p c + p d > Slika 13. Uvedimo sa H A, H B, H C, H D visine iz vrhova A, B, C, D tetraedra S te sa R polumjer tetredru opisane sfere sa sredi²tem O. Veliku vaºnost u dokazivanju teorema ima Pappusov teorem poop en na tri dimenzije. 8

Teorem 6.. Konstruirane su tri trostrane prizme ije su baze strane tetraedra S, koje imaju zajedni ki brid i koje, ili sve leºe ili nijedna od njih ne leºe u potpunosti izvan tetraedra S. Na preostaloj strani konstruirana je etvrta prizma iji su bo ni bridovi sukladni i paralelni zajedni kom bridu prve tri prizme. Tada je zbroj volumena prve tri prizme jednak volumenu etvrte prizme. Veliku vaºnost u dokazivanju imaju i sljede e dvije leme iz kojih direktno proizlazi na² teorem. Ozna imo s d A = AB + AC + AD RH A, d B = BA + BC + BD RH B, d C = CA + CB + CD RH C, d D = DA + DB + DC RH D. Lema 6.1. Za bilo koji tetraedar S vrijedi P A + P B + P C + P D d A p a + d B p b + d C p c + d D p d. Jednakost vrijedi ako i samo ako se to ke P i O podudaraju. Lema 6.. Ako se to ka O nalazi unutar tetraedra S, tada su d A, d B, d C i d D strogo ve i od. Iz toga direktno slijedi dokaz Teorema 6.1. Teorem 6.3. Za svaki tetraedar S, kome se u jednom vrhu sastaju tri okomita brida, vrijedi P A + P B + P C + P D p a + p b + p c + p d >. Ovdje valja napomenuti kako se sredi²te opisane sfere uvijek nalazi izvan tetraedra S. Dokaz. Neka je A vrh u kojem se sastaju tri okomita brida. U tetraedru S vrijedi 1 = 1 AB + 1 AC + 1 AD, H A R = AB + AC + AD. Tada je 1 d A = [ AB + AC + AD ][ AB + 1 AC + 1 AD ] 9 = 3 >. 9

Provjerimo sada za vrh B. d B = BA + BC + BD RH B = BA + BA + AC + AB + AD RH B = 3 AB + AC + AD Ra = AB + AC + AD + AB Ra = 4R + a = R Ra a + a R. Isto vrijedi za vrhove C i D. Posljednja nejednakost slijedi iz injenice da je x + y y x dokazan., te je time teorem 30

7 Generalizacija Erdös-Mordellove nejednakosti Kako se Erdös-Mordellova nejednakost odnosi na trokut, tako ju moºemo poop iti na n-terokut. Prvi matemati ar koji je izrekao Erdös-Mordellovu nejednakost za n-terokute bio je L. Fejes-Tóth, a prvi ju je dokazao H. C. Lenhart 1961. godine. Teorem 7.1. Neka je M n-terokut s vrhovima A 0, A 1,... A n 1 i neka je O to ka unutar konveksnog n-terokuta M. Neka su R i udaljenosti od O do A i, a r i udaljenosti od O do stranica A i A i+1 (gdje je A n = A 0 ). Tada vrijedi cos π n 1 n n 1 R i r i. Jednakost vrijedi ako i samo ako je M pravilan n-terokut sa sredi²tem O. i=0 Ovdje emo navesti dokaz matemati ara M. Dinc a, a ovaj dokaz se moºe prona i u [3]. Za dokaz na²e nejednakosti potreban nam je sljede i teorem. Teorem 7.. Za svaki x k 0, 1 k n, x n+1 = x 1 i α k (0, π) takav da je n α k = π vrijedi cos π n n x k = i=0 n x k x k+1 cos α k. (7.1) Dokaz. Neka je dano ishodi²te O = (0, 0), to ke P k = (a k, b k ), 1 k n, u ravnini takve da (P k OP k+1 ) = α k, 1 k n 1, i neka je n 1 α k = π α n. Ozna imo x k = OP k = a k + b k. Primjenjuju i kosinusov pou ak na trokut P k OP k+1, 1 k n 1, te na trokut P 1 OP n dobivamo x k x k+1 cos α k = 1 ( OP k + OP k+1 P k P k+1 ) = 1 (a k + b k + a k+1 + b k+1 (a k a k+1 ) (b k b k+1 ) ) = a k a k+1 + b k b k+1, gdje je k = 1,,..., n 1 n 1 x 1 x n cos α n = x 1 x n cos(π α k ) n 1 = x 1 x n cos( α k ) = 1 ( OP 1 + OP n P 1 P n ) = a 1 a n b 1 b n 31

Tada je cos π n n x k n x k x k+1 cos α k = cos π n n n n 1 (a k + b k) (a k a k+1 + b k b k+1 ) + a 1 a n + b 1 b n 1 = sin kπ n n 1 + sin kπ n 0 sin (k+1)π n sin (k+1)π n (sin (sin (k + 1)π a k sin kπ n n a k+1 + sin π n a n) + (k + 1)π b k sin kπ n n b k+1 + sin π n b n) Dokaºimo posljednju jednakost. Dokaºimo prvo da je cos π n n n 1 a k a k a k+1 +a 1 a n = n sin kπ n 1 sin (k+1)π n (sin (k + 1)π a k sin kπ n n a k+1+sin π n a n) usporežuju i koecijente uz a k i a ka k+1. Koecijent uz a k je sin (k+1)π n sin kπ n + sin (k 1)π n sin kπ n = sin kπ n cos π n sin kπ n = cos π n, za k=,..., n-. Koecijent uz a 1 je Koecijent uz a n 1 je Koecijent uz a n je sin π n sin π n sin (n )π n sin (n 1)π n = sin π n cos π n sin π n = sin π n sin π n = cos π n. = cos π n. n sin kπ n sin π n (k+1)π sin n = n sin π n (ctg kπ n (k + 1)π ctg ) = sin π n n (ctg π n (n 1)π ctg ) = cos π n n. 3

Koecijent uz a k a k+1 je za,,..., n. Koecijent uz a n 1 a n je sin (k+1)π n sin kπ n sin kπ n (k+1)π sin n = 1, sin (n )π n sin (n )π n sin π n sin (n 1)π n = sin π n sin π n Koecijent uz a 1 a n je sin π sin π n n sin π sin π = 1. n n A koecijenti uz a k a n za k =, 3,..., n su = 1. n k= sin (k+1)π n sin kπ n sin π n sin (k+1)π n n 3 Na isti na in se dokaºe da je sin kπ n sin π n sin kπ n sin (k+1)π n = n sin π n sin kπ k= n n 3 sin π n sin (k+1)π n = 0. cos π n n n 1 b k b k b k+1 +b 1 b n = n sin kπ n 1 sin (k+1)π n (sin (k + 1)π b k sin kπ n n b k+1+sin π n b n). te je tako dokazana jednakost. Neka su A 1, A,..., A n vrhovi konveksnog n-terokuta i neka se to ka P nalazi unutar tog n-terokuta. Neka je R k = P A k i neka je r k udaljenost od P do stranice A k A k+1. Uzimamo u obzir da je A n+1 = A 1. Iz nejednakosti 7.1 za x k = R k vrijedi cos π n n R k n Rk Rk+1 cos α k n w k n r k. 33

Literatura [1] C. Alsina, R. B. Nelsen, A Visual Proof of the Erdös-Mordell Inequality, Forum Geometricorum, 7(007), 99-10 http://forumgeom.fau.edu/fg007volume7/fg00711.pdf [] A. Avez, A Short Proof of a Theorem of Erdös and Mordell, The American Mathematical Monthly, 100(1993), 60-6 [3] M. Dinc a, A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality for Polygons in n- dimensional Spaces, Gazeta Matematica-B, 4(009), 17-177 http://ssmr.ro/gazeta/gmb/009/4/articol.pdf [4] A. Dreiling, Mathematical Inequalities, San Jose State University, Disertacija, 013. http://scholarworks.sjsu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=7881&context=etd_theses [5] F. Dubeau, Complex numbers and the Erdös-Mordell inequality, Département de mathématiques, 134(013), 1-4 https://www.yumpu.com/en/document/view/33691/complex-numbers- and-the-erdas-mordell-inequality-universitac-de- [6] W. Janous, Further Inequalities of Erdös-Mordell Type, Forum Geometricorum, 4(004), 03-06 http://forumgeom.fau.edu/fg004volume4/fg0043.pdf [7] D. K. Kazarinoff, A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality for Triangles, The Michigan Mathematical Journal, 4(1957), 97-98 http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.mmj/ [8] N. D. Kazarinoff, D. K. Kazarino's Inequality for Tetrahedra, The Michigan Mathematical Journal, 4(1957), 99-104 http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.mmj/108988999 [9] V. Komornik, A Short Proof of the Erdös-Mordell Theorem, The American Mathematical Monthly, 104(1997), 57-60 [10] H. Lee, Another Proof of the Erdös-Mordell Theorem, Forum Geometricorum, 1(001), 7-8 http://forumgeom.fau.edu/fg001volume1/fg0010.pdf 34

[11] H. Lee, Topics in Inequalities-Theorems and Techniques, Korea Institute for Advanced Study, Skripta, 007. http://congdongtoan.com/portals/0/documents/topics-in-inequalities- Theorems-and-Techniques.pdf [1] A. Mari, Erdös-Mordellova nejednakost, Matemati ko-zi ki list, 4(1997-98), 199-03 [13] D. S. Mitrinovi, J. E. Pe ari, V. Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1989. 35

Saºetak U ovome radu opisana je Erdös-Mordellova nejednakost. U prvom dijelu rada navedeno je niz razli itih dokaza ove nejednakosti mežu kojima je i Mordellov dokaz, prvi dokaz ove nejednakosti. U drugom dijelu rada navedena je Barrowova nejednakost koja je o²trija od Erdös-Mordellove nejednakosti. Nakon toga su navedena neka poop enja Erdös-Mordellove nejednakosti. Prva od njih je teºinska Erdös-Mordellova nejednakost koju su prvi puta prezentirali S. Dar i S. Gueron 001. godine, te te- ºinska Erdös-Mordellova nejednakost u kojoj kongurira eksponent t a do koje je do²ao matemati ar W. Janous. U radu je spomenut i rad D. K. Kazarinoa u kojem poop ava Erdös-Mordellovu nejednakost na tetraedar. U zadnjem dijelu rada navedena je Erdös-Mordellova nejednakost u n-terokutu i njen dokaz. 36

Title and summary Erdös-Mordell inequality In this paper it is described Erdös-Mordell inequality. In the rst part of this paper several dierent proofs of this inequality are listed, including rst proof that was given by L. J. Mordell. In the second part of this paper we give Barrow's inequality which is sharper than Erdös-Mordell inequality. Then we give some generalizations of Erdös-Mordell inequality. First of them is weighted Erdös-Mordell inequality that was rst presented by S. Dar and S. Gueron in 001, and weighted Erdös-Mordell inequality with exponent t that was rst presented by W. Janous. In the paper it is mentioned D. K. Kazarino's work on Erdös-Mordell inequality for tetrahedra. In the last part of this paper we give proof of Erdös-Mordell inequality for polygons in n-dimensional spaces. 37

šivotopis Rožen sam. oºujka 199. godine u Na²icama. Osnovnu ²kolu pohažao sam u Donjem Miholjcu te sam tijekom osnovno²kolskog obrazovanja sudjelovao na nekoliko ºupanijskih natjecanja iz matematike. Srednju ²kolu sam takožer upisao u Donjem Miholjcu. U tom razdoblju sudjelovao sam na ºupanijskim natjecanjima iz matematike, a najzna ajnija postignu a su mi sudjelovanje na drºavnim natjecanjima iz matematike u 3. i 4. razredu srednje ²kole. 010. godine upisao sam se na Odjel za matematiku, Sveu ili²ta J. J. Strossmayera u Osijeku na petogodi²nji Sveu ili²ni nastavni ki studij matematike i informatike. 38