Mirela Nogolica Norme Završni rad

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Voditelj: doc. dr. sc. Ivan Matić Osijek, 2014.

Sažetak U ovom završnom radu bavimo se temom norme. Navodimo u početku osnovna svojstva normi kako bi kasnije lakše razumijeli gradivo. Dotaknuti ćemo se teme ekvivalentnosti normi pa sve do vrsti normi. Obraditi ćemo Frobeniusovu i spektralnu normu te poznatu p normu. Na kraju ćemo objasniti i pojam kondicijskog broja te navesti važne rezultate vezane uz taj pojam. Ključne riječi: norma, operator, normirani prostor, skalarni produkt, nejednakost trokuta, ekvivalentnost normi, kondicijski broj Abstract In this final paper we deal with the subject of norm. In the beginning we state the basic characteristics so we could later easier understand the material. We will process everything from Equivalent norms to norm types. We ll elaborate Forbenius and spectral norm and also a famous p norm. In the end, we ll explain the term of conditional number and state an important results connected with said term. Key words: norm, operator, normed space, scalar product, inequality triangle, equivalent norms, conditional number

Sadržaj 1 Uvod 5 2 Norma 6 2.1 Osnovni pojmovi......................... 6 2.2 Ekvivalentnost normi....................... 7 2.3 Omedena linearna preslikavanja................. 12 3 Vrste normi 14 3.1 Frobeniusova i spektralna norma................. 14 3.2 p - norma............................. 16 3.3 Kondicijski broj.......................... 18 Literatura 22

1 UVOD 5 1 Uvod Ovaj rad predstavlja moj završni rad na preddiplomskom studiju matematike Sveučilišta u Osijeku. Tema mog rada je preuzeta iz kolegija Vektorski prostori i naziva se Norme. Općenito se norme protežu kroz većinu matematičkih kolegija i važnost normi je vrlo bitna u mnogim matematičkim aspektima zato me ova tema posebno dojmila. Završni rad se sastoji od nekoliko poglavlja. Počevši sa uvodom, u drugom poglavlju nastavljamo sa normama. Uvodimo osnovne pojmove vezane uz norme i normirani prostor. Bavimo se takoder i jednakostima normi. Definiramo pojam linearnog preslikavanja i navodimo rezultate vezane uz taj pojam. U trećem poglavlju zadiremo u vrste normi počevši sa Frobeniusovom i spektralnom normom gdje ćemo naučiti definirati normu na prostoru matrica. Zatim spominjemo i poznatu p normu kao i njene rezultate. Naposljetku nam preostaje tzv. kondicijski broj koji nam govori o veličini pogreške pri računanju sustava Ax = b i o njenim posljedicama.

2 NORMA 6 2 Norma 2.1 Osnovni pojmovi Definicija 2.1.1 Neka je V neprazan skup te K polje. Neka su zadane sljedeće operacije: +: V V V a, b V (a, b) a + b : K V V λ K, a V (λ, a) λ a. Uredena trojka (V, +, ) se naziva vektorski prostor nad poljem K ako vrijedi sljedeće: 1) (V, +) je Abelova grupa. 2) distributivnost obzirom na zbrajanje u V : λ K, a, b V vrijedi λ(a + b) = λa + λb, 3) distributivnost obzirom na zbrajanje u K : λ, µ K, a V vrijedi (λ + µ)a = λa + µa 4) kvaziasocijativnost: λ, µ K, a V vrijedi (λµ)a = λ(µa) 5) svojstvo jedinice: 1 K, a V vrijedi 1a = a. Elemente vektorskog prostora V nazivamo vektorima, a elemente polja K skalarima. U daljnjem tekstu za K uzimamo polje R realnih brojeva ili polje C kompleksnih brojeva. Prostor X je realan ako je K = R, odnosno kompleksan ako je K = C. Takoder u daljnjem tekstu ćemo umjesto a b pisati jednostavno ab. Definicija 2.1.2 Baza vektorskog prostora V je podskup B V za kojeg vrijedi: 1) Skup B je linearno nezavisan. 2) Skup B razapinje V tj. [B] = V. Definicija 2.1.3 Vektorski prostor V se naziva konačnodimenzionalan prostor ukoliko postoji konačan podskup koji ga razapinje. Prostor koji nije konačnodimenzionalan, naziva se beskonačnodimenzionalan prostor.

2 NORMA 7 Definicija 2.1.4 Skalarni produkt na vektorskom prostoru V je preslikavanje ( ) : V V K koje uredenom paru (x, y) (x y) sa svojstvima: 1) pozitivnost: v V vrijedi (v v) 0, 2) definitnost: v V vrijedi (v v) = 0 v = 0, 3) linearnost u prvoj varijabli: λ, µ K, v, w, z V vrijedi (λv + µw z) = λ(v z) + µ(w z) 4) hermitska simetrija: v, w V vrijedi (v w) = (w v). Unitaran prostor (V, ( )) je ureden par vektorskog prostora i skalarnog produkta na njemu. Definicija 2.1.5 Neka je X vektorski prostor. Norma na X je preslikavanje : X R (v v ), za koje vrijedi: 1) pozitivna semidefinitnost: v X vrijedi v 0, 2) pozitivna definitnost: v = 0 v = 0, 3) homogenost: v X, λ K vrijedi λv = λ v, 4) nejednakost trokuta: v, w X vrijedi v + w v + w. Normirani prostor (X, ) je ureden par vektorskog prostora i norme na njemu. Definicija 2.1.6 Skup U X je otvoren ako p U δ > 0 takva da je K(p, δ) = {x : x p < δ} U, gdje sa K(p, δ) označavamo otvorenu kuglu u X radijusa δ sa središtem u p. Prema tome, skup je otvoren ako je svaka točka skupa unutarnja točka. Teorem 2.1.7 ( Cauchy - Schwarz - Buniakowsky ) U svakom unitarnom prostoru vrijedi Cauchy - Schwarz - Buniakowsky nejednakost ( kratko ćemo nadalje pisati CSB nejednakost ): (x y) x y. 2.2 Ekvivalentnost normi Neka je X konačnodimenzionalan normiran prostor sa normom. pri čemu ćemo polje skalara označavati sa K i pri tome je ili K = R ili K = C. Neka je {v 1, v 2,..., v n } baza prostora X. Ako je x X, sa x i označimo i-tu komponentu od x s obzirom na danu bazu.

2 NORMA 8 Prema tome x = x i v i. Definicija 2.2.1 Neka je x X i {v 1, v 2,..., v n } baza prostora X. normu definiramo na sljedeći način: Novu ( ) 1/2 x = x i 2 gdje je x = x i v i. Slično, neka je y Y i {w 1, w 2,..., w n } baza prostora Y te y i njegova komponenta obzirom na danu bazu, pa imamo: ( ) 1/2. y = y i 2 U dokazu sljedećeg rezultata koji će nam pomoći u dokazivanju ekvivalentnosti dviju normi,. i. koristiti ćemo sljedeći teorem. Teorem 2.2.2 Za skup S R n sljedeće dvije tvrdnje su ekvivalentne: 1) S je zatvoren i omeden, 2) Svaki otvoren pokrivač od S ima konačan potpokrivač, odnosno S je kompaktan skup. Teorem 2.2.3 Neka je (X,. ) konačnodimenzionalan normiran prostor i neka je. prethodno opisana norma obzirom na bazu {v 1, v 2,..., v n }. Tada za normu. postoje konstante δ, > 0 takve da za svaki x X vrijedi δ x x x. Dokaz: Svako od prethodno navedenih svojstava norme su očiti, osim nejednakosti trokuta. Da bismo dokazali nejednakost teorema, moramo koristiti Cauchy

2 NORMA 9 Schwarz Buniakowsky nejednakost. x + y 2 = x i + y i 2 x i 2 + y i 2 + 2Re x i y i ( ) 1/2 ( ) 1/2 x 2 + y 2 + 2 x i 2 y i 2 = x 2 + y 2 + 2 x y = ( x + y ) 2. Time je svojstvo nejednakosti trokuta dokazano. Ostaje nam još dokazati ekvivalentnost normi. Korištenjem Cauchy Schwarz Buniakowsky nejednakosti, imamo x = x i v i ( ) 1/2 x i v i x v i 2 = δ 1 x. Dokazali smo prvu polovinu nejednakosti teorema. Za dokaz druge polovine nejednakosti koristiti ćemo kontrapoziciju, odnosno pretpostaviti ćemo da druga polovina nejednakosti ne vrijedi. Prema tome postoji niz x k X takav da Definiramo Slijedi x k > k x k, k = 1, 2,... y k = xk x k. y k = 1, y k > k y k. Označavajući sa yi k komponentu niza y k obzirom na danu bazu, slijedi da je vektor ( y1, k..., yn k ) jedinični vektor u K n. Obzirom na Teorem 2.2.2, postoji niz u oznaci k takav da ( y k 1,..., y k n ) ( y 1,..., y n ).

2 NORMA 10 To slijedi iz iterativnih metoda za linearne sustave i to je za: y = y i v i. 0 = lim y k = lim yi k v i = y i v i k k ali nisu svi y i jednaki nuli. Posljednja jednakost slijedi iz p norme o kojoj će kasnije biti detaljnije rečeno: yi k v i y i v i (yi k y i )v i yi k y i v i. Ovo je u kontradikciji sa pretpostavkom da je {v 1,..., v n } baza i time smo potpuno dokazali nejednakost. Definicija 2.2.4 Neka je ( X,. ) normirani prostor i neka je {x n } n=1 niz vektora. Ovaj niz se naziva Cauchyev niz ako za ɛ > 0 postoji N takav da m, n N vrijedi x n x m < ɛ. Ovo još zapisujemo i na sljedeći načn: lim x n x m = 0. m,n Definicija 2.2.5 Normirani prostor (X,. ) se naziva Banachov prostor ako je potpun. To znači da je svaki {x n } Cauchyev niz ako postoji jedinstveni x X takav da je lim n x x n = 0. Korolar 2.2.6 Ako je ( X,. ) konačnodimenzionalni normirani prostor nad poljem skalara K gdje je K = R ili K = C, tada je ( X,. ) Banachov prostor.

2 NORMA 11 Dokaz: Neka je {x k } Cauchyev niz. Označimo komponente od x k obzirom na danu bazu sa x k 1, x k 2,..., x k n, te prema Teoremu 2.2.3 slijedi da je (x k 1, x k 2,..., x k n), Cauchyev niz nad K n i ( x k 1, x k 2,..., x k n ) ( x 1, x 2,..., x n ) K n. Prema tome x = x i v i, iz čega slijedi jednakost dviju normi: lim k xk x = lim x k x = 0. k Korolar 2.2.7 Pretpostavimo da je X konačnodimenzionalan prostor nad poljem skalara ili R ili C te neka su. i. dvije norme na X. Tada postoje konstante δ, > 0 takve da za svaki x vrijedi: δ x x x. Prema tome ove dvije norme su jednake. Dokaz: Neka je v 1,..., v n baza za X i neka je. norma obzirom na danu bazu koju smo ranije opisali. Prema Teoremu 2.2.3 postoje pozitivne konstante δ 1, δ 2, 1, 2 takve da za svaki x vrijedi δ 2 x x 2 x, δ 1 x x 1 x. Tada δ 2 x x 1 x 1 x 1 2 x, δ 1 δ 1 δ 2 x x 2 x. 1 δ 1

2 NORMA 12 2.3 Omedena linearna preslikavanja Definicija 2.3.1 Neka su X i Y normirani prostori sa normama X i Y. Za linearno preslikavanje A sa X u Y kažemo da je omedeno ako je skup { Ax : x 1} omeden. Tada definiramo normu omedenog linearnog operatora A sa: A sup{ Ax Y : x X 1} < Vektorski prostor svih omedenih linearnih operatora s X u Y ćemo označavati s L(X, Y ). Tada je A odreden kao norma linearnog operatora A. Za dokaz idućeg rezultata potreban nam je sljedeći teorem. Teorem 2.3.2 Neka su X i Y konačnodimenzionalni vektorski prostori dimenzije n odnosno m. Tada je dim(l(x, Y )) = n m. Teorem 2.3.3 Neka su X i Y konačnodimenzionalni normirani vektorski prostori dimenzije n odnosno m te sa označimo normu sa X ili Y. Ako je A linearno preslikavanje sa X na Y onda je A L(X, Y ) i (L(X, Y ), ) je konačnodimenzionalini normirani prostor dimenzije nm pri čemu vrijedi Ax A x. Dokaz: Potrebno je dokazati da je norma definirana na linearnom preslikavanju zaista norma. Očito vrijede prvo i treće svojstvo. Preostaje nam dokazati drugo svojstvo te dokazati nejednakost: A <. Označimo sa {v 1, v 2,..., v n } bazu prostora X i ranije definirano preslikavanje obzirom na navedenu bazu. Postoje konstante δ, > 0 takve da vrijedi: δ x x x. Zatim A + B sup{ (A + B)(x) : x 1}

2 NORMA 13 sup{ Ax : x 1} + sup{ Bx : x 1} A + B. Sada ćemo promatrati nejednakost A <. ( ) A(x) = A x i v i x i A(v i ) Prema tome ( ) 1/2 ( ) 1/2 x A(v i ) 2 x A(v i ) 2 <. ( ) 1/2. A A(v i ) 2 Sljedeća tvrdnja koju je potrebno dokazati odnosi se na dimenziju prostora L(X, Y ). Dokaz slijedi direktno iz Teorema 2.3.2. Prema Korolaru 2.2.6 (L(X, Y ), ) je konačnodimenzionalan prostor. Za x 0 vrijedi 1 A Ax x = x A. x

3 VRSTE NORMI 14 3 Vrste normi 3.1 Frobeniusova i spektralna norma Definicija 3.1.1 U prostoru matrica m n skalarni produkt definiramo na sljedeći način: (A, B) tr(ab ). Pokažimo još jedan način definiranja norme na matricama m n. Definicija 3.1.2 Neka je A matrica m n. Spektralnu normu u oznaci A 2 definiramo s: A 2 max{λ 1/2 : λ je svojstvena vrijednost od A A}. Uočimo da su sve svojstvene vrijednosti matrice A A pozitivne ako je A Ax = λx onda je: λ(x, x) = (A Ax, x) = (Ax, Ax) 0. Korolar 3.1.3 Neka je A L(X, X) gdje je X konačnodimenzionalan unitaran prostor. Tada su sve svojstvene vrijednost realne i za svaku svojstvenu vrijednost λ 1 λ 2... λ n od A postoji ortonormirani skup vektora {u 1, u 2,..., u n } za koji vrijedi: Au k = λ k u k. Osim toga, pri čemu je λ x inf{(ax, x) : x = 1, x X k } X k {u 1, u 2,..., u k 1 }, X 1 X. Propozicija 3.1.4 Vrijedi sljedeća jednakost: A 2 = sup { Ax : x = 1} A. Dokaz: Uočimo da je A A hermitska matrica te prema Korolaru 3.1.3 slijedi: A = max{(a Ax, x) 1/2 : x = 1} = max{(ax, Ax) 1/2 : x = 1} = max{ Ax : x = 1} = A.

3 VRSTE NORMI 15 Nadalje sa A 2 ćemo označavati normu operatora A obzirom na običnu euklidsku normu ili svojstvenu vrijednost od A, ovisno o tome što nam više odgovara. Zanimljiva primjena pojma ekvivalentnih normi na prostoru R n je pridruživanje norme na konačnom Kartezijevom produktu normiranih linearnih prostora. Definicija 3.1.5 Neka je X i, za i = 1,..., n, normirani linearni prostor sa normom i. Za n x = (x 1, x 2,...x n ) definiramo θ : n X i R n sa X i θ(x) ( x 1 1,..., x n n ). Ako je neka norma na R n onda normu na n X i takoder označavamo sa odnosno x θx. Sljedeći teorem direktno slijedi iz Korolara 2.2.7. Teorem 3.1.6 Neka je X i normirani linearni prostor a i norma opisana u prethodnoj definiciji. Neka su norme na prostoru n X i norme sa R n. Tada su bilo koje dvije norme na prostoru n X i ekvivalentne. Na primjer, x 1 x i, x { x i, i = 1,..., n}, ili ( ) 1/2 x 2 = x i 2 i sve tri norme su ekvivalentne na prostoru n X i.

3 VRSTE NORMI 16 3.2 p - norma Definicija 3.2.1 Neka je x C n. Za p 1 definiramo p - normu na sljedeći način ( ) 1/p. x p x i p Sljedeća nejednakost se naziva Hölderova nejednakost. Propozicija 3.2.2 Za x, y C n vrijedi ( ) 1/p ( x i y i x i p y i p ) 1/p. Dokaz se temelji na sljedećoj lemi. Lema 3.2.3 Ako su a, b 0 i p definiran kao 1 p + 1 p = 1 onda je ab ap p + bp p. Dokaz Propozicije 3.2.2: Ako su x i y jednaki nul-vektoru, onda tvrdnja slijedi trivijalno. Neku su x i y različiti od nul-vektora. Neka je ( ) 1/p ( A = x i p i B = y i p ) 1/p. Korištenjem Leme 3.2.3 dobivamo sljedeće: x i y i A B [ 1 ( xi ) p 1 ( yi ) p ] + p A p B = 1 p 1 A p Prema tome slijedi: x i p + 1 p 1 B p y i p = 1 p + 1 = 1. p ( ) 1/p ( x i y i AB = x i p y i p ) 1/p

3 VRSTE NORMI 17 Teorem 3.2.4 p norma zadovoljava sve aksiome norme. Dokaz: Očito je da p norma p zadovoljava većinu aksioma norme. nije sasvim očit je nejednakost trokuta. Pisati ćemo dalje umjesto p. Vrijedi p = p 1. p Korištenjem Propozicije 3.2.2 slijedi: = x + y p = x i + y i p x i + y i p 1 x i + x i + y i p p x i + x i + y i p 1 y i x i + y i p p y i ( ) 1/p [( ) 1/p ( ) 1/p ] x i + y i p x i p + y i p Djeljenjem sa x + y p/p ( p p p = x + y p/p ( x p + y p ). slijedi: x + y p x + y p/p = x + y x p + y p. ) ) = p (1 1p = p 1p = 1 Aksiom koji A p možemo smatrati kao normu operatora A obzirom na p. U slučaju za p = 2 dobivamo spektralnu normu. Pokažimo jednu jednostavnu ocjenu za A p u terminima od A. Teorem 3.2.5 Vrijedi: ( ( ) q/p ) 1/q A p A jk p k pri čemu je A jk element koji se nalazi na presjeku j-tog retka i i-tog stupca matrice A. j

3 VRSTE NORMI 18 Dokaz: Neka je x p 1 te neka je A = (a 1, a 2,..., a n ) gdje su a k stupci od A. Slijedi: ( ) Ax = x k a k k i prema Propoziciji 3.2.2: Ax p k x k a k p k x k a k p ( ) 1/p ( x k p a k q p k k ) 1/q ( ( ) q/p ) 1/q. A jk p k j 3.3 Kondicijski broj Neka je A L(X, X) linearno preslikavanje i X konačnodimenzionalni vektorski prostor. Razmotrimo problem Ax = b te pretpostavimo da je rješenje jedinstveno. Zanima nas koliko se promjeni rješenje x ako uvedemo male promjene vrijednosti u A i b. Ovo pitanje je dosta zanimljivo jer u većini slučajeva ne znamo točnu vrijednost od A i b. Ako bi male promjene ovih vrijednosti uzrokovale velike promjene u rješenju x onda nam je jasno da nikakve promjene u vrijednostima A i b nisu poželjne. Primjena linearnog preslikavanja na odnosi se na normu operatora. Lema 3.3.1 Neka su A, B L(X, X) i neka je X normirani vektorski prostor kao što smo prethodni naveli. Tada sa označavamo normu operatora AB A B.

3 VRSTE NORMI 19 Dokaz: Slijedi iz uvodne definicije. Neka je x 1 te iz Teorema 2.3.3: ABx A Bx A B x A B prema tome AB sup x 1 ABx A B. Lema 3.3.2 Neka su A, B L(X, X), A 1 L(X, X) i pretpostavimo B < 1/ A 1. Tada postoje (A + B) 1, (I + A 1 B) 1 i vrijedi: (I + A 1 B) 1 (1 A 1 B ) 1 (1) (A + B) 1 A 1 1. (2) 1 A 1 B Gornja formula ima smisla jer je A 1 B < 1. Dokaz: Prema Lemi 3.3.1: A 1 B A 1 B < A 1 1 A 1 = 1. Primjenom nejednakosti trokuta sada imamo: (I + A 1 B)x x A 1 Bx x A 1 B x = (1 A 1 B ) x. Slijedi da je I + A 1 B monomorfizam, jer ima trivijalnu jezgru. No, kako je prostor X konačnodimenzionalan, ovo preslikavanje mora biti i surjektivno, tj. ovo preslikavanje je izomorfizam vektorskih prostora pa prevodi bazu u bazu. Tada je općenito y X oblika y = (I + A 1 B)x i iz prethodno navedenog: (I + A 1 B) 1 y (1 A 1 B ) 1 y

3 VRSTE NORMI 20 što potvrduje (1). Prema tome, (A + B) = A(I + A 1 B) što je jednako pa Lema 3.3.1 implicira (2). Propozicija 3.3.3 Pretpostavimo da je matrica A invertibilna, b 0, Ax = b i (A + B)x 1 = b 1 gdje je B < 1/ A 1. Vrijedi: x 1 x x A 1 A ( b1 b 1 A 1 B b + B ). A Dokaz: Iz prethodne leme slijedi: x 1 x x = (I + A 1 B) 1 A 1 b 1 A 1 b A 1 b 1 A 1 b 1 (I + A 1 B)A 1 b 1 A 1 B A 1 b 1 A 1 (b 1 b) + A 1 BA 1 b 1 A 1 B A 1 b A 1 1 A 1 B ( b1 b A 1 b + B ) jer je A 1 b/ A 1 b jedinični vektor. Sada pomnožimo i podijelimo sa A. A 1 A ( b1 b 1 A 1 B A A 1 b + B ) A A 1 A ( b1 b 1 A 1 B b + B ) A

3 VRSTE NORMI 21 To nam pokazuje koliko je broj A 1 A osjetljiv obzirom na promjene u rješenju Ax = b odnosno promjene A i b. Taj broj se naziva kondicijski broj. Poželjno je da je on što manji jer u suprotnom male promjene vrijednosti od b mogu rezultirati velikim razlikama u rješenju x. Prisjetimo se recimo matrice A m n u normi A 2 = σ 1 gdje je σ 1 najveća svojstvena vrijednost. Najveća svojstvena vrijednost od A 1 je onda 1 σ n gdje je σ n najmanja svojstvena vrijednost od A. Stoga se kondicijski broj smanjuje za σ 1 σ n, omjer najveće i najmanje svojstvene vrijednosti matrice A obzirom na običnu euklidsku normu.

Literatura [1] H. Kraljević, Vektorski prostori, predavanja na Odjelu za matematiku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek, rujan 2008. [2] K. Kuttler, Linear Algebra, Theory And Application, December 19, 2013 [3] S. Kurepa, Funkcionalna analiza: Elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990.