Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014.
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Mentor: doc.dr.sc. Ivan Matić Osijek, 014.
Sažetak U matematici, kvadratna forma je homogeni polinom drugog stupnja od n varijabli. Kvadratne forme zauzimaju središnje mjesto u raznim granama matematike, kao što su teorija brojeva, linearna algebra, diferencijalna geometrija, diferencijalna topologija i mnoge druge. Teorija kvadratnih formi i metoda korištenja u njihovom učenju mnogo ovisi o njihovim koeficijentima, koji mogu biti realni, ali i kompleksni. U linearnoj algebri, analitičkoj geometriji i većini drugih grana matematike, koeficijenti su realni ili kompleksni brojevi. U algebarskoj teoriji kvadratnih formi, koeficijenti su elementi polja. U aritmetičkoj teoriji kvadratnih formi koeficijenti pripadaju prstenima. U slučaju jedne, dvije ili tri varijable postoje unarna, binarna i ternarna kvadrnatna forma, te kao takve imaju odgovarajući oblik. U uvodu ćemo reći nešto o povijesti kvadratnih formi, dok ćemo u. poglavlju opisati općenito što su to kvadratne forme, a u 3. poglavlju ćemo se posebno baviti binarnim kvadratnim formama, tj. formama oblika f(x, y = ax + bxy + cy, a, b, c K. Osim toga, u 3. poglavlju ćemo se dotaknuti Lagrangeovog teorema o četiri kvadrata, te Fundamentalnog korolara, te ćemo se na nekim primjerima uvjeriti kako se neki brojevi mogu, odnosno ne mogu prikazati u obliku kvadratnih formi. Ključne riječi: Kvadratna forma, unarna, binarna, ternarna kvadratna forma, kongruencija, ekvivalencija kvadratnih formi, definitnost kvadratnih formi, diskriminanta, Lagrangeov teorem o četiri kvadrata, Fundamentalna rasprava.
Abstract In mathematics, a quadratic form is a homogeneous polynomial of degree two in a number of n variables. Quadratic forms occupy a central place in various branches of mathematics, including number theory, linear algebra, differential geometry, differential topology, and the others. The theory of quadratic forms and methods used in their study depend in a large measure on the nature of the coefficients, which may be real or complex numbers. In linear algebra, analytic geometry, and in the majority of applications of quadratic forms, the coefficients are real or complex numbers. In the algebraic theory of quadratic forms, the coefficients are elements of a certain field. In the arithmetic theory of quadratic forms, the coefficients belong to a fixed commutative ring. In the cases of one, two, and three variables they are called unary, binary, and ternary and have the following explicit form. In the introduction, we will say something about the history of the quadratic forms, while in the second chapter we generally describe quadratic forms, and in the third chapter we will specifically watch binary quadratic forms f(x, y = ax + bxy + cy a, b, c K. Except this, in third chapter we will touch Lagrange s four-square theorem and say something about Fundamental converse. In some cases we are convinced that some numbers may or may not be written in the form of a quadratic form. Key words: Quadratic forms, unary, binary, ternary quadratic forms, congruence, equivalence of quadratic forms, definitness of quadratic forms, discriminant, Lagrange s four-square theorem, Fundamental converse.
Sadržaj 1. Uvod................................... 1. Kvadratne forme........................... 3 3. Binarne kvadratne forme...................... 5 4. Literatura............................... 16
1. UVOD Proučavanje pojedinih kvadratnih formi, a posebno pitanje može li neki cijeli broj biti vrijednost određene kvadratne forme cijelih brojeva, proteže se stoljećima. Jedan takav slučaj je "Fermatov teorem u sumi dva kvadrata", koji utvrđuje kad cijeli broj može biti izražen u obliku x +y, gdje su x i y cijeli brojevi. Taj problem je povezan sa problemom "Pitagorinih trojki", što seže u tisućljeće prije Krista. 68. godine Indijski matematičar, Brahmagupta, je proučavao jednadžbe oblika x ny = c. U osnovi, on je proučavao ono što danas zovemo Pellovom jednadžbom x ny = 1, te je pronašao metodu kojom rješiti dani problem. U Europi, taj problem su proučavali Lagrange, Euler i Brouncker. 1801. godine Gauss je objavio Disquisitiones Arithmeticae, u kojoj je veći dio posvećen upravo teoriji binarnih kvadratnih formi s cjelobrojnim koeficijentima. Od tada, koncept je generaliziran i poveznica je između kvadratnih brojeva polja i grupa, te su druga područja matematike dodatno razrješena. Dvije forme se nazivaju ekvivalentnima ako postoji varijabla koja pretvara prvi oblik u drugi. To definira odnos relacije ekvivalencije na skupu kvadratnih formi, u kojoj se elementi nazivaju klase kvadratnog oblika. Slične forme nužno imaju istu diskriminantu D(f = b 4ac, D(f 0, 1 (mod 4 Gauss je dokazao da za svaku vrijednost D, postoji samo konačno mnogo klasa binarnih kvadratnih oblika s diskriminantom D. On je opisao algoritam za prikaz kanonskih predstavnika u svakoj klasi, u reduciranom obliku, čiji su koeficijenti najmanji u odgovarajućem smislu. Jedan od najvažnijih Gaussovih otkrića je postojanje prirodnog zakona na skupu klasa binarnih kvadratnih formi s danom diskriminantom, što čini ovaj skup Abelovom grupom. Povijest binarnih kvadratnih formi Binarne kvadratne forme su bile razmatrane još od Fermata, posebno prikaz brojeva u obliku suma dva kvadrata. Teorija Pellovih jednadžbi može se promatrati kao dio teorije binarnih kvadratnih formi. Lagrange je 1773. godine pokrenuo razvoj opće teorije kvadratnih formi. Prva sustavna obrada binarnih kvadratnih formi je bila Legendreova, te je njegovom teorijom napredovao mnogo dalje Gauss u već spomenutom djelu Disquisitiones Arithmeticae. On je promatrao pitanje ekvivalencije i sistematizirao binarne kvadratne forme. Te Gaussove istrage su snažno utjecale i na aritmetičku teoriju kvadratnih formi u više od dvije varijable, te na kasniji razvoj teorije brojeva. 1
Povijest ternarnih kvadratnih formi U matematici i teoriji brojeva, Ramanujanove ternarne kvadratne forme su algebarski izrazi oblika x + y + 10z, gdje su x, y, z, cijeli brojevi. Srinivasa Ramanujan je promatrao taj izraz i objavio rezultate o njemu 1916. godine, gdje je kratko objasnio reprezentaciju cijelih brojeva u spomenutom obliku. Nakon što je dao nužne i dovoljne uvjete da se cijeli broj ne može prikazati u obliku ax + by + cz za pojedine vrijednosti a, b i c, Ramanujan je izjavio: Ti rezultati mogu nas dovesti u iskušenje da pretpostavimo da postoje slični jednostavni rezultati za oblik ax + by + cz, gdje su vrijednosti a, b i c realni brojevi, no čini se, međutim, da u većini slučajeva ne postoje jednostavni rezultati. Da bi potkrijepio ovu tvrdnju, Ramanujan je objavio teoriju koja se sada spominje kao "Ramanujanove ternarnarne kvadratne forme".
. KVADRATNE FORME Kvadratna forma je homogeni polinom drugog stupnja od n varijabli. Definicija.1. Realna kvadratna forma u n varijabli x 1, x,..., x n, pridružena simetričnoj matrici A je izraz definiran s: x 1 x (x 1 x... x n A. x 1 x ili kraće x T Ax, gdje je x =.. x n x n Definicija.. Kvadratna forma u dvije varijable x i y je izraz oblika ( ( ( a b x ax + bxy + cy = x y. b c y ( ( ( 3 x Primjer.1. 3x + 4xy 5y = x y. 5 y Primjer.. Slično, kvadratna forma u tri varijable: ( 4 x x 3y + 5z 4xy 8xz + yz = x y z 3 1 y. 4 1 5 Definicija.3. Kvadratna forma je kanonska ako je pripadna matrica dijagonalna. Primjer.3. 4x 7y = ( x ( ( 4 0 x y. 0 7 y z Svaka se kvadratna forma može svesti na kanonsku. Lema.1. Neka je x T Ax kvadratna forma u varijablama x 1, x,..., x n, gdje je A simetrična matrica. Ako matrica P ortogonalno dijagonalizira matricu A i ako su nove varijable y 1, y,..., y n definirane jednadžbom x = P y, onda njeno uvrštavanje u x T Ax daje 3
x T Ax = y T Dy = λ 1 y1 + λ y +... + λ n yn, λ 1 0... 0 0 λ gdje su λ 1, λ,..., λ n svojstvene vrijednosti matrice A i P T AP = D =... 0....... 0 0 λ n Kaže se da matrica P ortogonalno dijagonalizira kvadratnu formu ili da reducira kvadratnu formu na zbroj kvadrata. Primjer.4. Neka je kvadratna forma u dvije varijable definirana s: ( ( ( 5 x 5x + 4xy + 8y = x y. 8 y Rješenje: Zamijenimo varijable x i y novim varijablama x i y tako da bude ( ( x x x = P y, tj. = P, y y gdje je P = ( 5 1 5 5 5 1 5x + 4xy + 8y = orotogonalna matrica koja dijagonalizira matricu A, i nalazimo = x T Ax = (P y T A(P y = y T P T AP y (x y ( 1 5 ili 5 5 1 5 ( ( ( 9 0 x y 0 4 x y T ( ( 5 1 8 = 9x + 4y. 5 5 5 5 1 U daljnim tvrdnjama ćemo označavati kvadratnu formu s q(x = x T Ax. ( x y Definicija.4. Kažemo da je kvadratna forma q pozitivno definitna ako je q(x > 0, negativno definitna ako je q(x < 0, indefinitna ako je q(x = 0. 4
3. BINARNE KVADRATNE FORME U ovom poglavlju ćemo promatrati već ranije spomenute binarne kvadrane forme. f(x, y = ax + bxy + cy, a, b, c Z, (1 tj. riječ je o homogenom polinomu od dviju varijabli drugog stupnja s cjelobrojnim koeficijentima. Diskriminanta od f je broj d = b 4ac. Očito je d 0 (mod 4 u slučaju kada je b paran i d 1 (mod 4 ako je b neparan. Slično tako, vrijedi i obrat. Forme x 1 4 dy, ako je d 0 (mod 4, te x + xy + 1(1 4 dy, ako je d 1(mod 4 imaju diskriminantu d i nazivamo ih glavne forme s diskriminantom d. Prema formuli (1 imamo 4af(x, y = (ax + by dy. Ako je d < 0, onda f poprima ili samo pozitivne ili samo negativne vrijednosti za (x, y (0, 0, te u tom slučaju kažemo da je f pozitivno, odnosno negativno definitna. Ako je d > 0, onda f poprima i pozitive i negativne vrijednosti, pa je nazivamo indefinitna forma. Ako je d = 0, onda kažemo da je f poludefinitna. Definicija 3.1. Kažemo da su dvije binarne kvadratne forme f i g ekvivalentne ako se jedna može transformirati u drugu pomoću cjelobrojnih unimodularnih transformacija, tj. supstitucija oblika x = px + qy, y = rx + sy, gdje su p, q, r, s Z i ps qr = 1. Pišemo: f g Matrično f možemo zapisati kao X T F X, gdje je ( ( a b x F =, X =, b c y a supstituciju sa X = UX, gdje je U = ( p r ( q, X = s Uvijet unimodularnosti je tada detu = 1. Pritom f prelazi u X T GX, gdje je G = U T F U. ( p Označimo se Γ = { r množenje matrica. x y, q : p, q, r, s Z, ps qr = 1}. Tada Γ čini grupu s ozbirom na s 5
Provjerimo, ( ( p q B = Γ B 1 1 s q = r s ps qr r p ( s q B Γ detb = ps qr = 1 B 1 = r p ( ( ( ( a b p q a b s A =, B = Γ AB 1 = c d r s c d r i det(ab 1 = deta (detb 1 = 1 AB 1 Γ. q = p ( as br cs dr bp aq dp cq Elemente grupe Γ nazivamo unimodularne matrice. Uvjet ekvivalentnosti kvadratnih formi je ekvivalentan postojanju matrice U Γ za koju je G = U T F U (uz oznake od prije. Propozicija 3.1. Neka su f, g, h binarne kvadratne forme. Tada vrijedi: 1. f f,. f g g f, 3. f g, g h f h. Drugim riječima, je relacija ekvivalencije. ( 1 0 Dokaz: 1 Očito je Γ. 0 1 Ako je f g, onda postoji U Γ tako da je G = U T F U. Odavde je F = (U 1 T GU 1. No, Γ je grupa, pa je U 1 Γ, što znači da je g f. 3 Ako je f g i g h, onda je G = U T F U, H = V T GV za neke U, V Γ, te je odavde H = (UV T F (UV, a budući da je UV Γ, to je f h. Q.E.D. Definicija 3.. Kažemo da binarna kvadratna forma reprezentira cijeli broj n ako postoje x 0, y 0 Z takvi da je f(x 0, y 0 = n. Ako je pritom (x 0, y 0 = 1 onda kažemo da je reprezentacija prava, inače je neprava. Propozicija 3.. Neka su f i g ekvivalentne binarne kvadratne forme, te n Z. Tada: 6
1 f reprezentira n ako i samo ako g reprezentira n, f pravo reprezentira n ako i samo ako g pravo reprezentira n, 3 diskriminante od f i g su jednake. Dokaz: 1 Zbog Propozicije 3.1. dovoljno je provjeriti samo jednu implikaciju. Neka je G = U T F U. Ako je n = X0 T F X0 0, onda je n = X1 T GX 1, gdje je X 1 = U 1 X 0. Neka je X 0 = ( x 0 y 0, X 1 = ( x 1 y 1. Pretpostavimo da su x 0 i y 0 relativno prosti, tj. da je (x 0, y 0 = 1. Iz x 0 = px 1 + qy 1, y 0 = rx 1 + sy 1 slijedi da je (x 1, y 1 = 1. 3 Označimo s d 0 i d 1 diskriminante od f, tj. od g. Tada je d 0 = 4detF, d 1 = 4detG, a detg = detu T detf detu = detf, pa iz toga slijedi da je d 0 = d 1. Q.E.D. Napomena 3.1. Obrat ovih tvrdnji općenito ne vrijedi. Primjer 3.1. f(x, y = x + xy + 3y i g(x, y = x xy + 3y su neekvivalentne pozitivno definitne binarne kvadratne forme s diskriminantom d = 3 i reprezentiraju iste brojeve. Npr. f(, 1 = 9 = g(, 1. Opisat ćemo redukciju pozitivno definitnih kvadratnih formi: Pretpostavimo da je d < 0 i a > 0, pa je i c > 0. Definicija 3.3. Kažemo da je pozitivno definitna kvadratna forma f(x, y = ax + bxy + cy reducirana ako je a < b a < c ili 0 b a = c. Teorem 3.1. Svaka pozitivno definitna kvadratna forma je ekvivalentna nekoj reduciranoj formi. Dokaz: Promotrit ćemo supstitucije čije su matrice ( ( 0 1 1 ±1 U = i V =. 1 0 0 1 Pokažimo da korištenjem konačno mnogo ovih transformacija možemo postići da je b a c. 7
( c Zaista, U T F U = b b a a > c, onda ćemo u U T F U imati da je a < c. Nadalje, (, što znači da U zamjenjuje a i c, pa ako smo u F imali da je V T F V = a ±a + b ±a + b a ± b + c Što znači da V zamjenjuje b s b ± a, dok a ostavlja nepromjenjenim. Stoga koristeći ovu transformaciju konačno mnogo puta možemo postići da je b a. završava, jer svaka primjena prve transformacije smanjuje vrijednost od a., Ovaj proces sigurno Ako je sada b = a, onda primjenom supstitucije s matricom V možemo postići da je b = a, gdje c pri tome ostaje nepromjenjen. Ako je a = c, tada se primjenom supstitucije s matricom U može postići da je b 0. Primjer 3.. Nađimo reduciranu formu evivalentnu sa 166x + 136xy + 8y. ( 166 68 Rješenje: Krenut ćemo od matrice kvadratne forme F =. Na tu matricu 68 8 ( ( ( 0 1 0 1 166 68 primjenimo matricu U = na sljedeći način: U T F U = 1 0 1 0 68 8 ( ( ( 0 1 8 68 1 1 = = F. Nakon toga, primjenimo matricu V + = na 1 0 68 166 0 1 ( ( ( ( 1 0 8 68 1 1 8 40 slijedeći način: V T F V = = = F. Još 1 1 68 166 0 1 40 58 ( 8 1 jednom primjenimo matricu V + na F na isti način i dobivamo matricu. 1 6 ( 6 1 Nakon toga primjenimo matricu U na zadnju matricu i dobivamo matricu oblika. 1 8 ( 6 6 Sada primjenimo matricu V iz prethodnog teorema na zadnju matricu i dobivamo 6 10 ( 6 0 i još jednom ponovimo postupak s V na zadnju matricu i dobivamo matricu. 0 4 ( 4 0 Konačno, primjena matrice U na posljednju matricu daje traženu matricu, pa je 0 6 naša tražena kvadratna forma oblika 4x + 6y. Teorem 3.1. nam olakšava da ne moramo svaki put množiti matrice kvadratne forme s matricama U, U T, V i V T, nego je dovoljno zapamtiti sljedeće ( ( b c U T F U =, V T F V =. b a a ±a + b ±a + b a ± b + c. 8
Teorem 3.. Postoji samo konačno mnogo klasa ekvivalencije pozitivno definitnih binarnih kvadratnih formi s danom diskriminantom d. Dokaz: Ako je f reducirana, onda je d = 4ac b 3ac, pa su i a i c i b manji od 1 d. 3 Q.E.D. Definicija 3.4. Za binarnu kvadratnu formu f(x, y = ax + bxy + cy kažemo da je primitivna ako je (a, b, c = 1. Definicija 3.5. Broj primitivnih pozitivno definitnih reduciranih binarnih kvadratnih formi s diskriminantom d naziva se broj klasa od d i označava se s h(d. Primjer 3.3. Izračunajmo h( 4. Rješenje: d = b 4ac 4 = b 4ac, tj. 4 = 4ac b, ta jednakost vrijedi samo za a = c = 1 i b = 0. To znači da je h( 4 = 1. Do sada je poznato da je h(d = 1 samo za 9 negativnih cijelih brojeva, a to su d = 3, 4, 7, 8, 11, 19, 43, 67, 163. Primjer 3.4. Izračunajmo h( 16. Rješenje: Iz 3ac 4 a = c = 1, pa iz toga slijedi da je b = 0, tj. h( 4 = 1 i oblika je x + y. 1 a = 1. Tada je b {0, 1}. Kada uvrstimo a = 1 dobivamo 4c b = 16 odakle slijedi da je b paran. Za b = 1 nemamo rješenja, što znači da je b = 0, odakle slijedi da je c = 4. a = Tada je b {0, 1} zbog a < b a. Iz 8c b = 16 slijedi da je opet b paran. Uvrštavanjem b u jednadžbu vidimo da za b = 1, 1, nemamo rješenja, što znači da je b = 0, a time dobivamo c =. Dakle, postoje dvije reducirane forme s diskriminantom -16, a to su x + 4y i x + y. Odnosno, h( 16 =. Sljedeći teorem pokazuje da je h(d upravo broj neekvivalentnih binarnih kvadratnih formi s diskriminantom d. Također valja napomenuti da analogna tvrdnja za d > 0 ne vrijedi. 9
Teorem 3.3. Ako su f i f dvije ekvivalentne reducirane forme, onda je f = f. Dokaz: Ako s x, y Z \ {0} i x y, onda je f(x, y x (a x by + c y x (a b + c y a b + c. Analogno se provjerava da ako je y x, onda je također f(x, y a b + c. Dakle, tri najmanje vrijednosti koje može poprimiti f(x, y su a, c i a b + c i to upravo u tom redosljedu, a poprimaju se za (x, y = (1, 0, (0, 1, (1, 1 ili (1, 1. Budući da, po Propoziciji 3.., f poprima iste vrijednosti za (x, y = 1 kao i f, te je f također reducirana, zaključujemo da je a = a. Pretpostavimo da je a < c. Tada je a < c < a b + c. Kada bi bilo da je a = c, onda bi broj a imao više reprezentacija pomoću forme f, nego pomoću forme f. Zato je a < c, pa je c = c. Iz b = d + 4ac = b, dobivamo da je b = b. Dakle, još preostaje pokazati da b = b povlači b = 0. Možemo pretpostaviti da je a < b < a < c. Budući da je f reducirana, imamo da je a < b, pa je a b, a ako je a = c, onda iz b 0 i b 0 slijedi ( da je b = 0. Prema tome je f(x, y a b + c > c > a za sve x, y Z \ {0}. p q Neka je matrica prijelaza iz f u f. Tada je r s a = f(p, r, b = apq + b(ps + qr + crs, c = f(q, s ( U našem slučaju je a = a = ap + bpr + cr, tada je p = ±1 i r = 0. Sada iz ps qr = 1, slijedi da je s = ±1, a iz c = f(q, s slijedi da je q = 0. To znači da je b = b, pa je b = 0. Ostaje nam još razmoriti slučaj kada je a = c. Tada broj a ima barem četiri reprezentacije pomoću f, pa mora imati i barem četiri reprezentacije pomoću f, a to tada povlači da je c = a = c. Ponovno dobivamo da je b = b, ali u ovom slučaju iz definicije reduciranosti imamo da je b 0, b 0, pa je b = b. Q.E.D. Teorem 3.4. Neka su d < 0 i n > 0 cijeli brojevi. Tada je n pravo reprezentiran nekom binarnom kvadratnom formom s diskriminantom d ako i samo ako kongruencija x d( mod 4n ima rješenja. Dokaz: Pretpostavimo da gornja konguencija ima rješenja i da je x = b traženo rješenje. Definirajmo c s b 4nc = d i stavimo da je a = n. Sada forma f(x, y = ax + bxy + cy ima diskriminantu d i f(0, 1 = n, pa f pravo reprezentira broj n. Obratno, pretpostavimo da forma f ima diskriminantu d i da je n = f(p, r za neke p, r Z, takvi da su p i r relativno prosti. Tada postoje q, s Z takvi da je ( ps qr = 1. p q Sada je f ekvivalentna s f koja je dobivena iz f pomoću matrice prijelaza i po r s formuli (3.. vrijedi da je a = f(p, r = n. Ali, f i f imaju istu diskriminantu, pa je 10
b 4nc = d. Dakle, kongruencija x d(mod 4n ima rješenje x = b. Q.E.D. Primjer 3.5. Dokažimo da se prost broj p može prikazati u obliku x + 5y, x, y N ako i samo ako je p 1 ili 9 (mod 0. Rješenje: Nužan i dovoljan uvjet da bi se p mogao prikazati nekom kvadratnom formom s diskriminantom 0 je da kongruencija x 0 (mod 4p, tj x 5 (mod p ima rješenja. To znači da je ( 5 = 1. Lako se pokaže da postoje točno dvije neekvivalentne p forme s diskriminantom 0, analogno kao u Primjeru 3.4. Ako je p = x + 5y, onda je x p (mod 5, tj. ( p 5 = 1. Ako je p = x + xy + 3y, onda je p = (x + y + 5y, pa je (x + y p (mod 5, tj ( p = 1. No, kako je ( p = ( ( p = ( p, pa je ( p = 1. Kako je ( 5 = ( p, uvjeti su 5 5 5 5 5 5 p 5 ekvivalentni s ( p = 1 i ( 1 = 1, tj slijedi da je p 1 ili 4 (mod 5 i p 1 (mod 4, odakle 5 5 slijedi da je upravo p 1 ili 9 (mod 0. Teorem 3.5. Prirodan broj n se može prikazati u obliku n = x +y, x, y Z ako i samo ako se u rastavu broja n na proste faktore svaki prost faktor p za koji je p 3 (mod 4 javlja s parnom potencijom. Dokaz: Pretpostavimo da je n = x + y, te da je n djeljiv prostim brojem ( p 3(mod 1 4. Tada je x y (mod p. Ako p ne dijeli x i y onda dobivamo da je, što je p ( ( x y kontadikcija. Iz toga slijedi da p dijeli x i y pa je n djeljiv s p. Tada je + = n p p p, pa indukcijom slijedi da se p u rastavu broja n javlja s parnom potencijom. Da bi dokazali obrat, dovoljno je dokazati da ako je n kvadratno slobodan i svi neparni faktori p od n zadovoljavaju p 1(mod 4, onda se n može prikazati u obliku x + y. Uistinu, ako je n = x + y, onda je n m = (xm + (ym. Promotrimo sada binarnu kvadratnu formu f(x, y = x + y. To je reducirana forma s diskriminantom 4. U Primjeru 3.3. pokazali smo da je h( 4 = 1, te je to jedina reducirana forma s diskriminantom 4. Iz Teorema 3.6. slijedi da je n pravo reprezentiran formom x +y ako i samo ako kongruencija x 4(mod 4n ima rješenja. Ta kongruencija je ekvivalentan sa z 1(mod n. Neka je n = p 1 p... p k. Po pretpostavci je p i 1(mod 4, pa kongruencija z 1(mod p i ima rješenje, te neka je to rješenje z = z i. Po Kineskom teoremu o ostacima, postoji cijeli broj z koji zadovoljava sustav z z 1 (mod p 1,..., z z k (mod p k. 11
Sada je z z i 1(mod p i za svaki i, pa je z 1(mod n. Q.E.D. Teorem 3.6. Cijeli broj n se može prikazati u obliku x y ako i samo ako n ( mod 4. Dokaz: Pretpostavimo da je n (mod 4, te da je n = x y = (x y(x + y. Budući da je n paran, to je jedan od faktora x y, x + y paran. No, kako je x + y = (x y + y, pa iz toga slijedi da je i drugi faktor također paran. To znači da je n 0( mod 4, pa smo time dobili kontradikciju. Neka je sada n (mod 4. Tada razlikujemo dva slučaja: 1 n = k + 1. Tada je n = (k + 1 k. n = 4k. Tada je n = (k + 1 (k 1. Q.E.D. Teorem 3.7. (Lagrangeov Teorem o četiri kvadrata Svaki prirodan broj n može se prikazati u obliku sume kvadrata četiri cijela broja, tj. u obliku n = x + y + z + w, x, y, z, w Z. Dokaz: Uočimo da vrijedi identitet (x + y + z + w (a + b + c + d = (ax + by + cz + dw + (ay bx + dz cw + (az cx + bw dy + (aw dx + cy bz. (3 Stoga je tvrdnju teorema dovoljno provjeriti za proste brojeve. Jasno je da je = 1 + 1 + 0 + 0, pa pretpostavimo da je p neparan prost broj. Promotrimo brojeve ( p 1 0, 1,,...,. (4 Nikoja dva među njima nisu kongruentna modulo p. Isto tako vrijedi i za brojeve ( p 1 1 0, 1 1, 1,..., 1. (5 U formulama (4 i (5 imamo ukupno p + 1 brojeva. Po Dirichletovom principu, dva među njima daju isti ostatak pri djeljenju s p. To znači da postoje cijeli brojevi x i y takvi da x 1 y (mod p i vrijedi da je x + y + 1 < 1 + ( p < p. Dakle, dobili smo da je mp = x + y + 1 za neki cijeli broj 0 < m < p. Neka je sada k najmanji prirodan broj takav je kp = x +y +z +w za neke x, y, z, w Z. Tada je k m < p. Nadalje, k je neparan, jer ako bi k bio paran, onda bi među brojevima x, y, z, w imali parno mnogo neparnih brojeva, pa bismo tada mogli pretpostaviti da su brojevi x + y, x y, z + w, z w parni. Ali tada bi iz 1
1 kp = ( ( ( ( x + y x y z + w z w + + + dobili kontradikciju s time da je k najmanji takav. Da bismo dokazali teorem moramo pokazati da je k = 1. Zato pretpostavimo da je k > 1. Neka su x, y, z, w najmanji ostaci po apsolutnoj vrijednosti pri djeljenju brojeva x, y, z, w s k, te neka je n = x + y + z + w. Tada je n 0(mod k i n > 0, jer bi inače k dijelio p. Budući da je n neparan, imamo da je n < 4 ( k = k. Stoga je n = mk, za neki cijeli broj m takav da je 0 < m < k. Iz (3 slijedi da se broj (mk(kp može prikazati kao suma kvadrata četiri cijela broja, čak da je svaki od tih kvadrata djeljiv s k. Odavde slijedi da se broj mp može prikazati kao suma četiri kvadrata, no to je u kontradikciji s minimalnošću od k. To znači da k = 1, te je time tvrdnja teorema dokazana. Q.E.D. Napomena 3.. Metoda upotrebljena u posljednjem dijelu dokaza prethodnog teorema naziva se Fermatova metoda beskonačnog spusta. Metoda beskonačnog spusta, koristi se kad radimo s prirodnim brojevima (tj. koristimo činjenicu da svaki podskup od N ima najmanji element. Ideja ove metode je slijedeća: Pretpostavimo da je neka tvrdnja točna za neki prirodan broj. Pokažimo da je ta tvrdnja točna za neki manji prirodan broj (manji od danog. Ovo znači da je tvrdnja točna za neki strogo padajući (beskonačni niz prirodnih brojeva, što je kontradikcija s činjenicom da svaki podskup od N ima minimalni element. Legendere i Gauss su dokazali da se prirodan broj n može prikazati kao suma tri kvadrata ako i samo ako n nije oblika 4 j (8k + 7, j, k 0. Nužnost, kao što ćemo pokazati u sljedećem primjeru, slijedi iz činjenice da kvadrati daju ostatke 0,1 ili 4 pri djeljenju s 8, dok je dokaz dovoljnosti znatno teži i koristi teoriju ternarnih kvadratnih formi. Primjer 3.6. Neka je n = 4 m (8k + 7, m, k 0. Dokažimo da se n ne može prikazati u obliku x + y + z, x, y, z Z. Rješenje: Pretpostavimo suprotno, tj da je n najmanji prirodan broj za kojeg dana tvrdnja ne vrijedi. Tada je n = 4 m (8k + 7 = x + y + z. Kvadrat neparnog broja (a + 1 a(a + 1 = 8 + 1 daje ostatak 1 pri djeljenju s 8. Ako se među brojevima x, y, z nalaze jedan, dva ili tri neparna broja, onda je x + y + z oblika 13
4l +1, 4l + ili 8l + 3. No, kako n nema niti jedan od ovih oblika, slijedi da su x, y, z svi parni. Uzmimo npr. x = x 1, y = y 1, z = z 1. Tada je n = 4m 1 (8k + 7 = x 1 + y 1 + z 1, pa smo time dobili kontradikciju s minimalnošću od n. Znači da početna tvrdnja vrijedi. Teorem 3.8. Neka je d 0, 1(mod 4 pozitivan cijeli broj, i neka je n neparan cijeli broj koji je relativno prost s d. Tada su slijedeće tvrdnje ekvivalentne: 1 d je kvadratni ostatak ostatak n, postoji primitivna kvadratna forma s diskriminantom d koja reprezentira n. Dokaz: 1 = Neka je b neki broj takav da vrijedi d b (mod n. Kako je n neparan, zamjenjujući b s b + n, ukoliko je potrebno, možemo pretpostaviti da je d b(mod, te je tada i d b (mod 4n, tj. d = b 4nc, za neki c, i tada nx + bxy + cy pravo reprezentira n i ima diskriminantu d. Ta forma je primitivna, te kako je (n, d = 1 slijedi da ne postoji zajednički prost djelitelj od n i b. = 1 Ako postoji primitivna forma f(x, y = ax + bxy + cy s diskriminantom d, te relativno prosti brojevi p i q takvi da je f(p, q = n, tada postoje cijeli brojevi r i s takvi da pq rs = 1 i tada f(px + ry, qx + sy = f(p, qx + (apr + bps + brq + cqsxy + f(r, sy = nx + b xy + c y ima diskriminantu d = b 4nc i taj d je kvadratni ostatak modulo n. Q.E.D. Korolar 3.1. Fundamentalna rasprava Za prirodan broj m i neparan prost broj p koji nije djeljiv s m vrijedi slijedeće: 1 m je kvadratni ostatak modulo p, postoji primitivna kvadratna forma diskriminante 4m koja reprezentira p. Dokaz: Dovoljno je primjeniti na prethodan teorem d = 4m i primjetiti da je m kvadratni ostatak modulo p ako i samo ako je 4m kvadratni ostatak modulo p. Q.E.D. U idućem teoremu ćemo iskazati sličan rezultat kao što smo ranije u Teoremu 3.., te ćemo ga koristiti u primjerima koji slijede i još jednom pokazati primjenu kvadratnih formi. Teorem 3.9. Ako je ax + bxy + cy reducirana kvadratna forma, s diskriminantom d, d tada je b a. 3 14
Primjer 3.7. Neka je diskriminanta d = 4. To znači da je 4ac b = 4. Tada za b = 0 dobivamo da je a = c = 1, tj. postoji jedinstvena kvadratna forma q 4 = x + y odnosno prema Korolaru 3.1. neparan prost broj p odgovara formi x + y ako i samo ako je ( 1 p = 1. Primjer 3.8. Neka je sada diskriminata d = 11, tada je 4ac b 11 = 11. Zbog 0 b a 3 slijedi da a može biti 1 ili. Za a = 1 imamo da je 4c b = 11, a kako b može biti 0, ili ±1, vidimo da za b = 0 nema cjelobrojnih rješenja, ali za b = ±1 dobivamo da je c = 3. Preostaje nam još provjeriti a =. Tada b može biti 0, ±1, ±, no niti za jednu od navedenih mogućnosti b ne postoji cijeli broj c koji bi odgovarao rješenju jednadžbe. Kako se radi o reduciranoj kvadratnoj formi preostaje nam jedno rješenje, a ono je (a, b, c = (1, 1, 3. Prema tome, postoji jedinstvena reducirana kvadratna forma s diskriminatom 11 i oblika je q 11 (x, y = x + xy + 3y. Tada neparan prost broj p odgovara traženoj formi ako i samo ako je ( 11 p = 1, tj. p 1 (mod 11. Tvrdnja slijedećeg teorema se slično može pokazati kao i dosadašnji primjeri, te se on koristi kao završni rezultat sličan prethodnima. Teorem 3.10. Prost broj p se može prikazati u obliku x + 6y ako i samo ako p 1, 7 (mod 4. 15
4. LITERATURA [1] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, PMF-Matematički odjel, Zagreb, skripta [] I. Matić, Uvod u teoriju brojeva, Odjel za matematiku, Osijek, skripta [3] P. L. Clark, Elementary theory of quadratic forms, dostupno na http://math.uga.edu/ pete/8430notes3.pdf [4] http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_form 16