PENERAPAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRATIK, PUNCA KUASA DUA DAN PUNCA KUASA TIGA NATASHA BINTI DOLZAKIPI Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan (Matematik) Fakulti Pendidikan Universiti Teknologi Malaysia APRIL 2008
ii
iii Dedikasi Teristimewa buat abah dan ibu tersayang, Dolzakipi Selamat & Sarifah Faridah Syed Omar Ucapan terima kasih yang tidak terhingga kerana telah banyak memberi dorongan dan motivasi kepada diri ini Sejak kaki ini mula menjejak ke alam persekolahan sehinggalah sekarang... Sudi berkongsi susah senang walau apa jua terjadi... Buat semua adik-beradik yang sentiasa di hati, Nadia, Nadzarul, Nadzrein, Nadira, Nadzuan, Naella & Nadjuwa, Terima kasih di atas segala-galanya... Buat yang dikasihi, Muhammad Asyraf, Jacinta Emily, Siti Hajar dan rakan seperjuangan, pengorbanan kalian terlalu besar sepanjang penulisan dan ketika menjalani kehidupanku di UTM ini... Dan kepada mereka yang terlibat secara langsung atau tidak langsung... Terima kasih, semoga jasa anda diberkati Allah S.W.T...
iv PENGHARGAAN Segala puji-pujian bagi Allah S.W.T kerana dengan limpah kurnia, taufiq dan hidayahnya, penulisan ini dapat disempurnakan juga akhirnya. Setinggi-tinggi penghargaan yang tidak terhingga khas ditujukan kepada Prof. Dr. Ismail Kailani selaku penyelia bagi projek ini di atas segala susah payah menunjuk ajar, menasihat, menyemak, meyumbang idea serta bimbingan yang diberikan sepanjang tempoh projek ini dijalankan sehingga berjaya disiapkan. Dikesempatan ini juga, penulis ingin merakamkan ucapan penghargaan yang tidak terhingga kepada semua yang terlibat sama ada secara langsung atau tidak dalam menyiapkan kajian ini termasuk yang telah memberi dorongan dan sokongan kepada penulis serta memberi kekuatan dan ilham dalam menyiapkan Projek Sarjana Muda ini dengan jayanya. Dengan kerjasama semua, maka projek ini dapat berjalan dengan lancar dan dapat disiapkan dengan sempurna. Semoga Allah S.W.T membalas jasa baik kalian
v ABSTRAK Antara objektif matematik Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah (KBSM) ialah menghargai kepentingan dan keindahan matematik. Dalam usaha mencapai matlamat tersebut, Kementerian Pendidikan Malaysia telah menyarankan agar unsur sejarah diterapkan kepada para pelajar menerusi proses pengajaran dan pembelajaran. Kajian ini dibuat sejajar dengan matlamat tersebut iaitu untuk menerapkan unsur sejarah dalam pembelajaran matematik. Perbincangan difokuskan kepada penerapan unsur-unsur sejarah ke dalam subtopik punca kuasa dua dan punca kuasa tiga bagi matematik menengah rendah dan subtopik persamaan kuadratik bagi matematik menengah atas di samping cadangan aktiviti-aktiviti yang boleh digunakan guru dalam proses pengajaran di bilik darjah. Selain itu, perbincangan turut tertumpu kepada kaedah-kaedah sejarah yang digunakan oleh tokoh-tokoh matematik yang merangkumi pelbagai tamadun dalam menyelesaikan persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga. Penyelidikan yang dijalankan adalah penyelidikan pensejarahan di mana maklumat berkaitan sejarah penyelesaian persamaan kuadratik dan punca kuasa dua serta punca kuasa tiga akan dikenalpasti dan dikaji sebelum ia dijadikan cadangan sebagai kaedah alternatif dalam proses pengajaran dan pembelajaran matematik. Ada di antara kaedah-kaedah tersebut boleh dijadikan kaedah alternatif di bilik darjah di samping kaedah-kaedah sedia ada yang digunakan hari ini. Walau bagaimanapun, terdapat juga beberapa kaedah yang tidak sesuai untuk diterapkan kepada pelajar di peringkat menengah ini. Namun kaedah tersebut boleh dikemukakan sebagai sebahagian daripada hasil sumbangan tokoh matematik dalam bidang algebra ini.
vi ABSTRACT One of the mathematics Integrated Curriculum for Secondary Schools objective is to appreciate the importance and the beauty of mathematics. In order to achieve this aim, the Malaysian Ministry of Education has suggested so that the historical elements should be instilled to students through teaching and learning process. The research is done to expose the historical elements in mathematics learning. The discussion is focus on instilling the historical elements in the subtopics of square roots and cube roots for lower secondary and quadratics equation for upper secondary besides the suggestion activities which can be used by teacher in teaching process. Besides that, the discussion is contemplate on historical methods that established by the mathematician who came from diverse civilizations in solving quadratic equation, square roots and cube roots. The research done is known as a historical research where the information related to the history of solution of quadratic equation, square roots and cube roots will identified and studied before they are considered as alternative methods in teaching and learning process. There are several methods that can be considered as alternative methods besides the methods used today. However, there are some methods that are not suitable to instill to students at this secondary level. But these methods can be express as a part of mathematicians contribution in the algebra field.
vii ISI KANDUNGAN BAB TAJUK MUKA SURAT PENGESAHAN STATUS TESIS - PENGESAHAN PENYELIA - HALAMAN TAJUK i PERAKUAN ii DEDIKASI iii PENGHARGAAN iv ABSTRAK v ABSTRACT vi ISI KANDUNGAN vii SENARAI JADUAL xii SENARAI RAJAH xiii 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Pengenalan 1 1.2 Latar Belakang Masalah 2 1.3 Pernyataan Masalah 4 1.4 Objektif Kajian 5 1.5 Persoalan Kajian 6 1.6 Kepentingan Kajian 6 1.7 Skop Dan Batasan Kajian 7 1.8 Definisi Istilah 8 1.9 Penutup 9
viii 2 SOROTAN PENULISAN 10 2.1 Pengenalan 10 2.2 Senario Pengajaran Dan Pembelajaran Matematik 11 2.3 Penerapan Unsur-unsur Sejarah dalam Pengajaran Dan Pembelajaran Matematik Sebagai Alternatif Di Bilik Darjah 14 2.4 Minat Dan Motivasi terhadap Matematik 18 2.5 Penutup 20 3 METODOLOGI KAJIAN 22 3.1 Pengenalan 22 3.2 Reka Bentuk Kajian 22 3.3 Pengumpulan Data 24 3.4 Analisis Data 25 3.5 Penutup 25 4 DAPATAN KAJIAN 27 4.1 Pengenalan 27 4.2 Kaedah-Kaedah Sejarah Bagi Menyelesaikan Persamaan Kuadratik 27 4.2.1 Sumbangan Tokoh Matematik Greek 28 4.2.1.1 Kaedah geometri Euklid 28 4.2.2 Sumbangan Tokoh Matematik Arab 30 4.2.2.1 Kaedah Geomaetri al-khwarizmi 32 4.2.2.2 Kaedah Geomaetri Abu Kamil 34 4.2.3 Sumbangan Tokoh Matematik Eropah 38 4.2.3.1 Kaedah Viéta 38 4.2.3.2 Kaedah Descartes 40 4.2.4 Kaedah Lelaran Titik Tetap (KLTT) 43 4.2.5 Kaedah Newton Raphson 44 4.3 Kaedah-Kaedah Sejarah Bagi Menyelesaikan Punca Kuasa Dua 46 4.3.1 Sumbangan Tokoh Matematik Arab 47 4.3.1.1 Kaedah Ibnu al-banna (Punca Kuasa
ix Dua Nombor Terbuka, Al-Maftuh) 47 4.3.1.2 Kaedah Pengiraan Penghampiran Kusyar (punca Kuasa Dua Nombor Bisu, Al-Asamm) 49 4.3.2 Sumbangan Tokoh Matematik China 52 4.3.2.1 Kaedah Geometri Lui Hui 52 4.3.3 Sumbangan Tokoh Matematik Greek 53 4.3.3.1 Kaedah Lelaran Heron 53 4.3.4 Sumbangan Tokoh Matematik Hindu 54 4.3.4.1 Kaedah Aryabhata 54 4.4 Kaedah-Kaedah Sejarah Bagi Menyelesaikan Punca Kuasa Tiga 58 4.4.1 Sumbangan Tokoh Matematik Greek 59 4.4.1.1 Kaedah Lelaran Heron 59 4.4.2 Sumbangan Tokoh Matematik Hindu 60 4.4.2.1 Kaedah Aryabhata 60 4.5 Penutup 64 5 CONTOH-CONTOH AKTIVITI PENGAJARAN YANG MENERAPKAN UNSUR SEJARAH MATEMATIK DAN PERBANDINGAN ANTARA KAEDAH SEJARAH DENGAN KAEDAH MODEN 65 5.1 Pengenalan 65 5.2 Contoh Aktiviti Bagi Subtopik Persamaan Kuadratik 65 5.3 Contoh Aktiviti Bagi Subtopik Punca Kuasa Dua 73 5.4 Contoh Aktiviti Bagi Subtopik Punca Kuasa Tiga 76 5.5 Kaedah Moden Yang Digunakan Dalam Menyelesaikan Persamaan Kuadratik 82 5.5.1 Kaedah Pemerinyuan Atau Cuba-Cuba 83 5.5.2 Kaedah Pemfaktoran 84 5.5.3 Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua 85 5.5.4 Penggunaan Rumus 85 5.5.5 Kaedah Graf 87
x 5.6 Perbandingan Kaedah Sejarah Dengan Kaedah Moden Dalam Mencari Nilai Punca Persamaan Kuadratik 88 5.7 Kaedah Moden Yang Digunakan Dalam Menentukan Nilai Punca Kuasa Dua 90 5.7.1 Kaedah Penganggaran 91 5.7.2 Melalui Penggunaan Kalkulator 92 5.8 Perbandingan Kaedah Sejarah Dengan Kaedah Moden Dalam Mencari Nilai Punca Kuasa Dua Suatu Nombor 92 5.9 Kaedah Moden Yang Digunakan Dalam Menentukan Nilai Punca Kuasa Tiga 94 5.9.1 Kaedah Penganggaran 94 5.9.2 Melalui Penggunaan Kalkulator 95 5.10 Perbandingan Kaedah Sejarah Dengan Kaedah Moden Dalam Penentuan Nilai Punca Kuasa Tiga Suatu Nombor 95 5.11 Penutup 96 6 KESIMPULAN DAN CADANGAN 97 6.1 Pengenalan 97 6.2 Kesimpulan 98 6.2.1 Kesimpulan Mengikut Persoalan Kajian 98 6.2.1.1 Persoalan 1 (Apakah bahan- bahan sejarah matematik yang digunakan bagi menyelesaikan persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga?) 98 6.2.1.2 Persoalan 2 (Bagaimanakah bahanbahan sejarah yang berkaitan dengan penyelesaian persaman kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga ini diterapkan di dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran
xi matematik di sekolah?) 99 6.2.1.3 Persoalan 3 (Apakah perbandingan yang terdapat antara kaedah penyelesaian persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga yang dikemukakan oleh tokoh- tokoh matematik zaman dahulu dengan kaedah moden yang pada digunakan masa kini?) 100 6.2.2 Kesimpulan Mengikut Dapatan Kajian 100 6.2.2.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik 100 6.2.2.2 Penyelesaian Punca Kuasa Dua 101 6.2.2.3 Penyelesaian Punca Kuasa Tiga 102 6.3 Cadangan Hasil Kajian 102 6.4 Cadangan Kajian Lanjutan 104 6.5 Penutup 105 RUJUKAN 106-107 \
xii SENARAI JADUAL NO. JADUAL TAJUK MUKA SURAT 4.1 Lelaran KLTT 44 4.2 Lelaran Bagi Kaedah Newton-Raphson 46
xiii SENARAI RAJAH NO. RAJAH TAJUK MUKA SURAT 4.1 Penyelesaian persamaan kuadratik berbentuk x(a x) = b 2 29 4.2 Penyelesaian persamaan kuadratik berbentuk x(a + x) = b 2 30 4.3 Gabungan sebuah segiempat sama, x 2 dan empat buah segiempat, tepat, 2x 32 4.4 Gabungan segiempat sama, x 2 dan dua buah segiempat tepat, 4x 33 4.5 Lemma Euklid yang dinyatakan oleh Abu Kamil 35 4.6 Penerangan proposition II, 5 oleh Euklid 35 4.7 Penerangan proposition II, 6 oleh Euklid 36 4.8 Gabungan segiempat sama dan segiempat tepat 37 4.9 Aplikasi proposition II, 6 oleh Euklid 37 4.10 Penyelesaian persamaan kuadratik berbentuk x 2 ax b 2 = 0 41 4.11 Penyelesaian persamaan kuadratik berbentuk x 2 + ax b 2 = 0 42 4.12 Penyelesaian persamaan kuadratik berbentuk x 2 - ax + b 2 = 0 42 4.13 Kedudukan anggaran punca, x 0 dari punca sebenar,p 45 4.14 Pembelahan (dissection) segiempat sama 52
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Pengenalan Matematik merupakan bidang yang tinggi perkembangannya dan boleh diaplikasikan kepada bidang-bidang lain dalam kehidupan seharian. Pelajaran matematik merupakan pembelajaran yang menguji kecerdasan seseorang itu berfikir untuk menyelesaikan masalah dengan kepintaran yang dibantu oleh daya ingatan terhadap konsep, fakta dan kemahiran mengira dan menyelesaikan masalah dengan kepintaran yang didorong oleh daya ingatan terhadap konsep tertentu fakta dan tatacara dalam ilmu matematik. Keperluan dan kepentingan matematik zaman ini jauh berbeza jika dibandingkan dengan zaman dahulu. Sekarang matematik bukan hanya memberi pengetahuan asas mengira sahaja tetapi lebih kepada membekalkan ilmu pengetahuan matematik bagi mengembangkan kemahiran dalam penyelesaian masalah, pemikiran sistematik, komunikasi dan nilai murni kepada pelajar. Dewasa ini pelbagai perubahan yang berlaku dalam sistem pendidikan negara turut mempengaruhi kandungan dan pedagogi dalam pendidikan matematik di sekolah menengah. Para guru perlu bijak dan kreatif dalam mempelbagaikan cara pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah. Menurut Nik Azis (1996) dalam Tengku Zawawi, guru matematik perlu memaparkan sifat-sifat yang matang, berfikiran terbuka, kreatif, inovatif, konstruktif rasional dan bijaksana dalam
2 mengatur strategi pengajaran dan pembelajaran.. Salah satu pendekatan yang relevan digunakan ialah penerapan unsur-unsur sejarah dalam pendidikan matematik. Pendekatan ini mungkin jarang diaplikasikan oleh para guru kerana ia memerlukan banyak sumber maklumat tambahan selain buku teks dan buku rujukan untuk dijadikan bahan pengajaran di dalam kelas serta perlu bijak merangka aktiviti-aktiviti yang bersesuaian dengan masa yang agak terhad. Namun, pendekatan ini mampu mengubah suasana pengajaran dan pembelajaran yang sebelum ini hanya bergantung kepada buku teks semata-mata. Penggunaan sumber bersesuaian adalah penting dalam membantu pelajar membentuk konsep-konsep matematik. Penerapan unsur-unsur sejarah dalam matematik perlu diberikan penekanan dalam usaha melahirkan pelajar yang menghargai dan menghayati keindahan matematik. Unsur sejarah seperti riwayat hidup dan peristiwa tertentu mengenai tokoh-tokoh matematik dan sejarah ringkas mengenai sesuatu konsep dan idea matematik dapat merangsang minat pelajar terhadap sesuatu topik matematik. Dengan ini proses pengajaran dan pembelajaran akan menjadi lebih bermakna kerana pendekatan ini mampu meningkatkan semangat ingin tahu pelajar. Melalui aktiviti penerapan unsur-unsur sejarah dalam matematik yang dilaksanakan oleh guru di dalam atau di luar bilik darjah, pelajar akan lebih menghargai matematik merasai keindahannya di samping mendapat input baru yang tidak terdapat dalam buku teks. Proses pengajaran dan pembelajaran tidak akan bosan malah menjadi lebih bermakna. 1.2 Latar Belakang Masalah Matematik merupakan jentera kepada pembangunan dan perkembangan dalam bidang sains dan teknologi. Oleh itu penguasaan ilmu matematik perlu dipertingkatkan dari semasa ke semasa bagi menyediakan tenaga kerja yang sesuai dengan perkembangan dan keperluan membentuk negara maju. Kurikulum matematik yang digunakan hari ini adalah platform bagi menyediakan pengetahuan
3 dan kemahiran matematik kepada para pelajar yang mempunyai pelbagai latar belakang dan keupayaan di samping menyediakan pendidikan yang relevan, terkini, dan unggul bagi melahirkan generasi yang cemerlang gemilang dan terbilang. Kekerapan menggunakan buku teks, papan tulis dan kertas kerja semata-mata akan menyebabkan para pelajar menjadi hilang minat terhadap subjek matematik terutamanya bagi kalangan pelajar yang sememangnya lemah dalam subjek ini. Mereka tidak akan memberikan konsentrasi dalam proses pengajaran dan pembelajaran di dalam kelas. Keadaan ini akan menyukarkan tugas para guru bagi membantu pelajar dalam membina konsep dan menguasai kemahiran secara menyeluruh terutamanya dari aspek penyelesaian masalah, penaakulan, komunikasi dalam matematik dan membuat perkaitan (Sharifah Maimunah Syed Zin, 2001). Pada masa kini kebanyakkan guru mengajar dengan tujuan untuk menghabiskan sukatan pelajaran sebelum waktu peperiksaan sama ada bagi peperiksaan selaras di peringkat sekolah, daerah atau negeri mahupun peperiksaan awam seperti PMR, SPM atau STPM tanpa mengambil kira aras kefahaman pelajar terhadap topik yang diajar. Guru hanya bertindak sebagai penyampai maklumat atau penunjuk cara manakala pelajar berperanan sebagai penerima yang pasif atau pemerhati. Penyertaan pelajar dalam proses pengajaran dan pembelajaran biasanya terhad kepada memberikan respon kepada arahan atau soalan guru sahaja. Menurut Raja Sulaiman (1996) dalam Tengku Zawawi, guru yang tidak tahu mempelbagaikan kaedah pengajaran matematik akan menyebabkan para pelajar berasa jemu, bosan dan benci kepada matematik dan seterusnya kepada guru matematik itu sendiri. Antara objektif kurikulum matematik diwujudkan ialah untuk menghargai kepentingan dan keindahan matematik. Bagi memastikan objektif tersebut mampu dicapai, salah satu usaha yang boleh dipertimbangkan adalah dengan menerapkan unsur-unsur sejarah matematik dalam proses pengajaran dan pembelajaran. Penerapan unsur-unsur sejarah matematik perlu diberikan penekanan sewajarnya dalam usaha untuk mewujudkan pelajar yang menghargai dan menghayati keindahan matematik. Unsur sejarah seperti riwayat hidup dan peristiwa tertentu tentang tokohtokoh matematik atau sejarah ringkas tentang sesuatu konsep dan idea boleh diterapkan bersama aktiviti bersesuaian yang dirangka guru dalam proses pengajaran
4 dan pembelajaran. Hal ini akan merangsang lagi minat pelajar terhadap sesuatu topik matematik sekaligus dapat meningkatkan naluri ingin tahu mereka terhadap sejarah matematik. 1.3 Pernyataan Masalah Kurikulum matematik sekolah menengah dirangka bertujuan untuk membentuk individu yang berpemikiran matematik dan mampu mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran dalam menyelesaikan masalah matematik serta dapat menghargai kepentingan dan keindahan matematik (Pusat Perkembangan Kurikulum, 2001). Pencapaian yang diperoleh pelajar dalam subjek ini amat bergantung kepada kaedah pengajaran yang dipraktikkan guru di dalam bilik darjah. Guru perlu mempelbagaikan pendekatan pengajaran di dalam bilik darjah bagi mengelakkan pelajar merasa bosan terutamanya bagi mereka yang sememangnya lemah dalam subjek ini serta kurang keyakinan diri dalam menyelesaikan masalah matematik. Menurut Davis (1986), matematik melibatkan penggunaan simbol-simbol dan pengajaran di bilik darjah tertumpu kepada aktiviti memanipulasikan simbol-simbol tersebut berdasarkan petua dan hukum-hukum yang telah dihafal. Selain itu, penguasaan kemahiran mengira adalah penting kerana hasil pembelajaran lebih diutamakan berbanding dengan proses pembelajaran. Hal ini akan mengakibatkan pelajar lebih membenci serta sukar untuk memberi tumpuan terhadap matematik kerana tidak semua pelajar mampu menguasai kemahiran mengira atau mahir dengan penggunaan simbol-simbol matematik. Oleh itu, pendekatan pengajaran dengan menerapkan unsur-unsur sejarah dalam pendidikan matematik wajar dijadikan alternatif sebagai satu usaha berterusan bagi menarik minat pelajar supaya lebih mengenali matematik dari akar umbi. Pendekatan ini mampu merangsang semangat ingin tahu pelajar serta mendorong proses pengajaran dan pembelajaran menjadi lebih bermakna. Dengan ini pelajar akan lebih
5 menghargai matematik serta merasai keindahannya kerana segala konsep matematik merupakan hasil usaha tokoh matematik sejak beribu tahun dahulu. Oleh itu, satu kajian tentang penerapan unsur-unsur sejarah dalam pendidikan matematik akan dijalankan dalam pengajaran matematik sekolah menengah. Kajian bertujuan untuk memperkayakan lagi pendekatan pengajaran di bilik darjah di samping pendekatan pengajaran yang kerap dipraktikkan seperti penggunaan papan hitam dan penggunaan buku teks dalam menerangkan isi pelajaran, pengajaran dan pembelajaran secara konstruktivisme dan pengajaran dan pembelajaran secara inkuiri-penemuan. Di samping itu, pengkaji berharap agar pendekatan alternatif ini mampu mambantu guru dalam merangka aktiviti yang lebih membina serta mampu menarik perhatian pelajar sekaligus meningkatkan kefahaman dan pencapaian pelajar dalam subjek matematik ini. Selain itu, penerapan unsur-unsur sejarah ini bertujuan mendedahkan pelajar secara lebih dekat dengan tokoh-tokoh matematik serta asal usul sesuatu topik matematik agar pelajar lebih mengenali dan menghargai matematik disamping menghayati keindahannya. 1.4 Objektif Kajian (i) (ii) (iii) Meninjau bahan-bahan sejarah matematik yang digunakan bagi menyelesaikan persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga. Menerapkan bahan-bahan sejarah matematik yang digunakan bagi menyelesaikan persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga ke dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran matematik di bilik darjah. Membuat perbandingan antara kaedah sejarah yang digunakan dalam mencari penyelesaian persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga yang dikemukakan oleh tokoh-tokoh
6 matematik dengan kaedah moden yang digunakan pada pada hari ini. 1.5 Persoalan Kajian (i) Apakah bahan-bahan sejarah matematik yang digunakan bagi menyelesaikan persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga? (ii) Bagaimanakah bahan-bahan sejarah yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga diterapkan di dalam aktiviti pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah? (iii) Apakah perbandingan yang terdapat antara kaedah penyelesaian persamaan kuadratik, punca kuasa dua dan punca kuasa tiga yang dikemukakan oleh tokoh-tokoh matematik dengan kaedah moden yang digunakan pada hari ini?