MCRE úlohy a štandardné matematické úlohy na ZŠ

Vedecká rada Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave PaedDr. Ján Ďuriš Autoreferát dizertačnej práce MCRE úlohy a štandardné matematické úlohy na ZŠ na získanie vedecko-akademickej hodnosti philosophiae doctor vo vednom odbore 11 17 9 Teória vyučovania matematiky Bratislava 2010

Dizertačná práca bola vypracovaná v dennej forme doktorandského štúdia na Katedre algebry, geometrie a didaktiky matematiky Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Predkladateľ: Školiteľ: Oponenti: PaedDr. Ján Ďuriš Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislave Mlynská dolina 842 48 Bratislava Doc. RNDr. Tomáš Hecht, CSc. ING Tatry-Sympatia d.d.s. a.s. Trnavská 50/B 821 02 Bratislava Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Ústav matematických vied Prírodovedecká fakulta UPJŠ v Košiciach Jesenná 5 040 01 Košice Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied UMB v Banskej Bystrici Tajovského 40 974 01 Banská Bystrica Doc. RNDr. Helena Bereková, CSc. Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislave Mlynská dolina 842 48 Bratislava Autoreferát bol rozoslaný dňa: 20.7.2010 Obhajoba dizertačnej práce sa koná dňa 31.8.2010 o 11:00 hod. na Fakulte matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, miestnosť č. M112 pred komisiou pre obhajobu dizertačnej práce doktorandského štúdia vymenovanou dňa 3.6.2010 predsedom spoločnej odborovej komisie vo vednom odbore 11 17 9 Teória vyučovania matematiky. Predseda spoločnej odborovej komisie: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied UKF v Nitre Trieda A. Hlinku 1 949 74 Nitra

Úvod, východiská práce Počas svojho života sa každý človek mení. Mení sa jeho osobnosť. Vyvíja sa po sociálnej stránke, mení sa jeho morálka. Vek a učenie ovplyvňuje aj kognitívny vývin človeka. Všetky tieto zmeny môže učiteľ pozorovať u svojich žiakov. Je jeho úlohou dbať na to, aby žiaci napredovali, najmä po stránke kognitívneho vývinu. Toto napredovanie sa nedeje samo od seba. Je spôsobené podnetmi z vonkajšieho sveta. Je úlohou rodiča, komunity, v ktorej dieťa rastie, a tiež učiteľov, aby prinášali čo najrôznejšie podnety, pomáhali dieťaťu klásť si otázky a na otázky hľadať odpovede. Napredovanie žiaka v matematike určite nie je len vecou matematiky. Je tiež vecou žiakovho talentu a nadania na matematiku, vnútornej a vonkajšej motivácie, ochoty a schopnosti žiaka pracovať na sebe. Je však tiež otázkou pripravenosti žiaka prekonávať bariéry v myslení. V žiakovi je potrebné vypestovať kritickosť, citlivosť a vnímavosť na matematiku. V dizertačnej práci sa venujeme MCRE úlohám a ich vzťahu k úlohám školskej matematiky na základnej škole. MCRE je skratka pre Mathematics Contra Real-life Experience, teda matematika kontra skúsenosti z reálneho života. MCRE úlohy sú z matematického hľadiska nenáročné a ich náročnosť spočíva v konflikte, ktorý v sebe nesú a do ktorého sa pri ich riešení veľmi pravdepodobne dostáva riešiteľ. Tento konflikt pochádza z rozporu medzi matematickými požiadavkami úlohy a skúsenosťami riešiteľa z jeho života. Riešiteľ môže konflikt vyriešiť rôzne. Môže sa prikloniť na stranu matematiky, môže sa prikloniť na stranu reálnych skúseností zo svojho života, môže sa po uvedomení si konfliktu vzdať a príklad nechať nedoriešený. V každom prípade však pri riešení úlohy zažije stret dvoch svetov matematického a reálneho. Reálneho, v ktorom žijú ľudia so všetkým, čo k tomu patrí, a matematického, v ktorom existujú matematické objekty a vzťahy medzi nimi, vytvárajú sa teórie a axiomatické systémy. Zážitky z riešenia MCRE úlohy a prostredníctvom nich poukázanie na existenciu iného sveta, v ktorom veci a javy, ktoré sa nám zdajú byť normálne a bežné, nefungujú, ako by sme čakali, sa nám zdajú byť pre žiaka prínosné a potrebné. Domnievame sa, že pokroky žiaka v riešení MCRE úloh majú za následok jeho napredovanie v matematike ako takej. -3-

V dizertačnej práci sa venujeme overovaniu tézy o užitočnosti MCRE úloh z hľadiska školského vyučovania matematiky. Stanovili sme si tri pracovné hypotézy. Hypotéza H1 Úspešnosť žiaka v riešení MCRE úloh je merateľná. Znamená to, že pri opakovaní testov s MCRE úlohami v krátkom časovom intervale ten istý žiak dosiahne veľmi podobné výsledky, teda že výsledky žiaka v danom okamihu sú stabilné a vypovedajú o ňom (podobne ako si myslíme, že o ňom vypovedajú výsledky z písomky). Hypotéza H2 Medzi úspešnosťou v riešení MCRE úloh a úspešnosťou v riešení školských matematických úloh je pozitívna korelácia. Úspešnosť pri riešení MCRE úloh, okrem dobrej schopnosti riešiť tento typ úloh, môže znamenať žiakov potenciál v matematike, ktorý ale nie je možné priamo merať. Na druhej strane, neúspešnosť pri riešení školských úloh zas môže v niektorých prípadoch byť spôsobená slabou motiváciou žiaka. V každom prípade, predvýskum naznačoval, že spomínaná korelácia existuje. Hypotéza H3 Diskutovaním o MCRE úlohách je možné výrazne zvýšiť úspešnosť pri ich riešení. Pri diskusiách, zamýšľaní sa nad MCRE úlohami, pri hľadaní ich riešenia sa zvyšuje vnímavosť na konflikty obsiahnuté v úlohách, v žiakovej mysli sa zlepšuje oddelenie sveta matematiky od sveta reálneho. Potvrdenie pravdivosti hypotéz H3 a H2 by znamenalo, že diskutovaním o MCRE úlohách je možné zvýšiť úspešnosť v riešení školských matematických úloh, pretože z hypotézy H3 vyplynie, že diskutovanie o MCRE úlohách môže výrazne zvýšiť úspešnosť ich riešenia a podľa hypotézy H2 je medzi touto úspešnosťou a úspešnosťou v riešení školských matematických úloh pozitívna korelácia. Pri stanovovaní si hypotéz práce sme sa okrem výsledkov nášho predvýskumu opierali o výsledky prác Svetlany Bednářovej, ktorá sa vo svojej dizertačnej práci Vplyv -4-

skúseností z bežného života na riešenie matematických problémov. MCRE úlohy a iných prácach venovala téme MCRE úloh. V jej práci [5] boli stanovené ciele: 1. upozorniť na (a preukázať) existenciu fenoménu Proces riešenia matematickej úlohy môže byť deformovaný detskými skúsenosťami a poznatkami týkajúcimi sa reálneho sveta, 2. preskúmať ako reagujú deti (a to nielen z kognitívneho, ale aj z emocionálneho hľadiska) na MCRE úlohy, 3. overiť predpoklad, že zaradenie MCRE úloh do bežných vyučovacích hodín matematiky pozitívne ovplyvní ako samotný vyučovací proces, tak aj osobnosť žiaka. V práci spomína a charakterizuje prejavy popisovaného fenoménu vyskytujúce sa pri riešení úloh, najmä MCRE úloh. Z rozhovorov so žiakmi zisťuje ich emocionálny postoj k MCRE úlohám, k ich zadaniam a spôsobom riešenia. Na základe experimentu realizovaného v niekoľkých triedach, z ktorých niektoré boli experimentálne a niektoré kontrolné, konštatuje pozitívny vplyv zaraďovania MCRE úloh do vyučovacích hodín matematiky. Výsledky práce Hypotéza H1 Úspešnosť žiaka v riešení MCRE úloh je merateľná. Znamená to, že pri opakovaní testov s MCRE úlohami v krátkom časovom intervale ten istý žiak dosiahne veľmi podobné výsledky, teda že výsledky žiaka v danom okamihu sú stabilné a vypovedajú o ňom (podobne ako si myslíme, že o ňom vypovedajú výsledky z písomky). Slovné spojenie veľmi podobné výsledky budeme chápať v zmysle, že poradie žiakov podľa počtu bodov v testoch MCRE1 a MCRE2 bude zachované. Spôsob overovania hypotézy, ktorý sme zvolili, bol taký, že sme žiakov niekoľkých tried 5. ročníka z rôznych základných škôl nechali písať dva rôzne testy s MCRE úlohami s odstupom niekoľkých dní. V oboch testoch bolo po 7 úloh, striedali sa úlohy s obrázkami s úlohami bez obrázkov. Štatistickým vyhodnotením sme potom chceli porovnať bodové výsledky testov MCRE1 a MCRE2. Pre porovnanie sme chceli mať k dispozícii štatistické vyhodnotenie bodových výsledkov dvoch matematických testov, písomiek. Pripravili sme preto dva testy, MAT1 a MAT2, do ktorých sme vybrali po 7 úloh z učebníc a zbierok určených pre 5. ročník ZŠ. Pri výbere úloh sme brali ohľad na učivo prebrané v dobe testovania. Aj tieto -5-

testy písali tí istí žiaci niekoľkých tried 5. ročníka z rôznych základných škôl s odstupom niekoľkých dní. Poradie písania testov bolo test MCRE1, test MAT1, test MCRE2 a test MAT2. Testy sa písali vždy na začiatku hodiny, žiaci mali na vypracovanie úloh vždy 30 minút od rozdania testových formulárov. Žiaci vedeli, že testy nebudú známkované a že v prípade otázok alebo problémov nás môžu zavolať a pýtať sa nás. Testovanie sa uskutočnilo spolu v 5 triedach 5. ročníka. Do štatistického vyhodnotenia bolo zaradených 96 žiakov, ktorí písali oba z testov MCRE1 a MCRE2 a 92 žiakov, ktorí písali oba z testov MAT1 a MAT2. Pomocou párového t-testu sme rozhodovali na základe získaných dát, konkrétne celkového súčtu bodov v teste MCRE1 a celkového súčtu bodov v teste MCRE2, o platnosti nulovej hypotézy H 0 : stredná hodnota súčtov bodov v teste MCRE1 je rovnaká ako stredná hodnota súčtov bodov v teste MCRE2 oproti ktorej stála alternatívna hypotéza H 1 : stredná hodnota súčtov bodov v teste MCRE1 nie je rovnaká ako stredná hodnota súčtov bodov v teste MCRE2. Pomocou výpočtov sme zistili, že na hladine významnosti 0,05 nulovú hypotézu zamietame (p-hodnota bola 1,6.10-8 ). Znamená to, že výsledky žiakov v testoch MCRE1 a MCRE2 sa líšili. Opäť pomocou párového t-testu sme otestovali na základe získaných celkových súčtov bodov v teste MAT1 a celkových súčtov bodov v teste MAT2 platnosť nulovej hypotézy H 0 : stredná hodnota súčtov bodov v teste MAT1 je rovnaká ako stredná hodnota súčtov bodov v teste MAT2 oproti ktorej stála alternatívna hypotéza H 1 : stredná hodnota súčtov bodov v teste MAT1 nie je rovnaká ako stredná hodnota súčtov bodov v teste MAT2. Zistili sme, že na hladine významnosti 0,05 nulovú hypotézu zamietame (p-hodnota bola 0,00069). To znamená, že výsledky žiakov v testoch MAT1 a MAT2 sa líšili. Toto považujeme za zaujímavý výsledok výskumu, pretože sme očakávali, že výsledky žiakov v dvoch podobných testoch z matematiky zostavených z učebnicových a zbierkových úloh, písané v malom časovom odstupe pár dní za podobných podmienok dopadnú veľmi podobne. Otázna je vhodnosť použitia párového t-testu pre štatistické overovanie nami stanovenej hypotézy H1. Párový t-test ukázal, že testy MCRE1 a MCRE2 nemali rovnakú -6-

obtiažnosť. Pre posúdenie hypotézy H1 je však vhodnejšia regresná analýza a korelačný koeficient. Pomocou regresnej analýzy sme zistili, že výsledky testov sa síce líšili, ale existuje medzi nimi súvislosť, a to taká, že čím viac bodov získal žiak v teste MCRE1, tým viac bodov získal v teste MCRE2. Vypočítaný korelačný koeficient bol 0,39, interval spoľahlivosti (0,21; 0,55). Táto hodnota nie je vysoká a čiastočne podporuje platnosť našej hypotézy H1. Vzhľadom k hodnote korelačného koeficientu nemožno jednoznačne potvrdiť platnosť hypotézy H1. Rozdielne výsledky žiakov v testoch MCRE1 a MCRE2 mohli byť spôsobené tým, že pri riešení MCRE úloh záleží na tom, aké skúsenosti zo svojho života má daný žiak a akým spôsobom ich pri riešení používa. Tiež záleží na kontexte, do ktorého je daná úloha vložená a na skúsenostiach žiaka s daným kontextom. Problémom môže byť aj malý počet úloh v testoch MCRE1 a MCRE2. Hypotéza H2 Medzi úspešnosťou v riešení MCRE úloh a úspešnosťou v riešení školských matematických úloh je pozitívna korelácia. Úspešnosť pri riešení MCRE úloh, okrem dobrej schopnosti riešiť tento typ úloh, môže znamenať žiakov potenciál v matematike, ktorý ale nie je možné priamo merať. Na druhej strane, neúspešnosť pri riešení školských úloh zas môže v niektorých prípadoch byť spôsobená slabou motiváciou žiaka. V každom prípade, predvýskum naznačoval, že spomínaná korelácia existuje. Túto hypotézu sme overovali tak, že sme žiakom niekoľkých tried 5. ročníka z rôznych základných škôl dali riešiť dva testy. Najskôr test s MCRE úlohami a potom test so školskými matematickými úlohami. Použili sme pritom rovnaké testy a tiež tých istých žiakov ako pri overovaní hypotézy H1, teda najskôr žiaci písali test MCRE1 a s odstupom niekoľkých dní test MAT1. V oboch testoch bolo po 7 úloh. Pomocou štatistického vyhodnotenia sme plánovali odmerať veľkosť korelačného koeficientu medzi výsledkami žiakov v teste MCRE1 a výsledkami žiakov v teste MAT1. Podobné merania, ale na menšej vzorke, sme už uskutočnili počas predvýskumu. Do štatistického vyhodnotenia bolo zaradených 127 žiakov, ktorí písali oba z testov MCRE1 a MAT1. -7-

Vypočítaný výberový korelačný koeficient je r xy = 0,60, interval spoľahlivosti (0,48; 0,70). Testovaním nulovej hypotézy H 0 : ρ = 0 (ρ označuje korelačný koeficient) oproti alternatívnej hypotéze H 1 : ρ 0 vyšlo, že na hladine významnosti 0,05 nulovú hypotézu zamietame. Teda medzi úspešnosťou v riešení MCRE úloh a úspešnosťou v riešení školských matematických úloh je pozitívna korelácia. Pracovná hypotéza H2 sa tým pádom potvrdila. Pozreli sme sa ešte na vzájomné výberové korelačné koeficienty medzi jednotlivými úlohami testu MCRE1 a jednotlivými úlohami testu MAT1. Ich číselné hodnoty sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Najvyššie výberové korelačné koeficienty sú vyznačené. MAT1_1 MAT1_2 MAT1_3 MAT1_4 MAT1_5 MAT1_6 MAT1_7 MCRE1_1 0.164 0.298 0.253 0.403 0.241 0.410 0.318 MCRE1_2 0.230 0.196 0.281 0.360 0.121 0.391 0.257 MCRE1_3 0.246 0.268 0.273 0.402 0.166 0.252 0.270 MCRE1_4-0.035-0.048 0.103 0.200 0.055 0.203 0.207 MCRE1_5 0.071 0.230 0.116 0.075 0.045 0.190 0.072 MCRE1_6 0.133 0.416 0.114 0.240 0.212 0.151 0.201 MCRE1_7 0.032 0.117 0.137 0.166 0.186 0.233 0.271 Medzi úlohou MCRE1_6 a úlohou MAT1_2 je podobnosť v tom, že v oboch je nastavený pomer medzi dvoma objektami. V úlohe o mackoch a mužoch (MCRE1_6) treba prísť na to, že dvaja mackovia sú rovnako silní ako jeden muž, v úlohe o hamburgeroch a pizzi (MAT1_2) je pomer, že na každú predanú pizzu pripadajú tri predané hamburgery priamo napísaný v zadaní ( predalo sa trikrát viac hamburgerov ako pizze ). Podobnosť úlohy MCRE1_1 s úlohami MAT1_4 a MAT1_6 spočíva v tom, že v každej sa rieši príklad tvaru a. b + c = d, s tým rozdielom, že v kažej úlohe sú iné veci zadané a iné treba dopočítať (a navyše mnohým žiakom robilo problém doplniť počet trpaslíkov 5 resp. 6 v úlohe MCRE1_1). Celkom zaujímavou výskumnou témou sa nám zdá otázka: Ktoré úlohy sú žiakmi riešené rovnako úspešne a aké sú príčiny tejto rovnakej úspešnosti? Ktoré úlohy vyžadujú tie isté rozumové schopnosti a danosti riešiteľa? Hypotéza H3 Diskutovaním o MCRE úlohách je možné výrazne zvýšiť úspešnosť pri ich riešení. -8-

Pri diskusiách, zamýšľaní sa nad MCRE úlohami, pri hľadaní ich riešenia sa zvyšuje vnímavosť na konflikty obsiahnuté v úlohách, v žiakovej mysli sa zlepšuje oddelenie sveta matematiky od sveta reálneho. Túto hypotézu sme overovali tak, že sme žiakom 5. ročníka dali riešiť úlohy z MCRE testu, následne sme na niekoľkých vyučovacích hodinách venovali čas analyzovaniu úloh z tohto testu, ale najmä sme riešili mnohé ďalšie MCRE úlohy. Po skončení tejto fázy sa písal ďalší MCRE test. Štatistickým vyhodnotením sme potom porovnávali bodové výsledky testu s MCRE úlohami písaného pred experimentom s bodovými výsledkami testu s MCRE úlohami písaného po experimente. Celý experiment sa uskutočnil v dvoch triedach. Jednak v triede 5.A na ZŠ Nejedlého v Bratislave a tiež v triede Oceans (príma v školskom roku 2005/2006) na 1. súkromnom gymnáziu na Bajkalskej ulici v Bratislave. V práci popisujeme priebeh experimentov v jednotlivých triedach. Štatistickým spracovaním výsledkov, pomocou párového t-testu sme rozhodovali na základe celkového súčtu bodov v MCRE teste písanom na začiatku experimentu a celkového súčtu bodov v MCRE teste písanom na konci experimentu o platnosti nulovej hypotézy H 0 : stredná hodnota súčtov bodov v MCRE teste písanom na začiatku experimentu je rovnaká ako stredná hodnota súčtov bodov v MCRE teste písanom na konci experimentu oproti ktorej stála alternatívna hypotéza H 1 : stredná hodnota súčtov bodov v MCRE teste písanom na začiatku experimentu je menšia ako stredná hodnota súčtov bodov v MCRE teste písanom na konci experimentu. Hypotézu H3 sme overovali zvlášť pre triedu 5.A a zvlášť pre triedu Oceans. Test písaný na začiatku experimentu v triede 5.A bol MCRE1 a test písaný na konci experimentu bol MCRE3, test písaný na začiatku experimentu v triede Oceans bol MCRE1 a test písaný na konci experimentu bol MCRE2. Z dát získaných v triede 5.A sme výpočtami zistili, že na hladine významnosti 0,05 nulovú hypotézu H 0 zamietame (p-hodnota bola 0,0124) v prospech alternatívnej hypotézy H 1, teda to znamená, že výsledky žiakov v teste MCRE3 sa zlepšili oproti výsledkom v teste MCRE1. Podobne aj z dát získaných v triede Oceans sme výpočtom zistili, že na hladine významnosti 0,05 nulovú hypotézu H 0 zamietame (p-hodnota bola 0,0017) v prospech -9-

alternatívnej hypotézy H 1, čo znamená, že výsledky žiakov v teste MCRE2 sa oproti výsledkom v teste MCRE1 zlepšili. Celkovo sa dá povedať, že hypotéza H3 sa potvrdila. Ukazuje sa, že ak sa učiteľ na vyučovacích hodinách venuje so žiakmi riešeniu MCRE úloh, tak sa žiaci zlepšujú v ich riešení. Pri tom zrejme záleží na tom, akým spôsobom sa učiteľ a žiaci zaoberajú týmito úlohami. Nami zvolený spôsob počas experimentu bol, že sme sa snažili nechať žiakom dostatok času na uvažovanie, vyzývali sme ich, aby svoje úvahy zverejňovali a navzájom si ich porovnávali a aby hľadali a upozorňovali na rozdiely medzi týmito úvahami a tým si uvedomovali rôznosť pohľadov na riešenie daných úloh. Dá sa povedať, že našou snahou bolo spôsobiť, aby si žiak uvedomil zvláštnosti matematického sveta a nutnosť používať v matematike matematické pravidlá. Potvrdenie pravdivosti hypotéz H2 a H3 znamená, že diskutovanie o MCRE úlohách, venovanie sa týmto úlohám zvyšuje úspešnosť riešenia školských matematických úloh, pretože sa potvrdilo, že diskutovanie o MCRE úlohách zvyšuje úspešnosť ich riešenia a potvrdilo sa, že táto úspešnosť pozitívne koreluje s úspešnosťou v riešení školských matematických úloh. Toto považujeme za najdôležitejší výsledok tejto práce. Počas experimentov sme skúšali tiež navrhovať ďalšie MCRE úlohy a dávali sme ich riešiť žiakom, aby sme zistili ich reakcie na ne. Náš pohľad na MCRE úlohy nie je ako na špeciálnu kategóriu úloh, ktorej by mala v zbierkach úloh patriť zvláštna kapitola, ale skôr ako na úlohy, ktoré môžu byť primiešavanou súčasťou bežného vyučovania. Myslíme si totiž, a potvrdenie hypotéz H2 a H3 tejto práce nás v tom utvrdzuje, že MCRE úlohy sú z hľadiska vyučovania matematiky užitočné. Úlohy MCRE charakteru pomáhajú pri chápaní matematiky, jej vnútornej logiky, pomáhajú pri oddeľovaní sveta matematiky od sveta každodenných činností v hlavách žiakov. V oboch svetoch platia svojské pravidlá, ktoré sú neprenosné alebo nie ľahko prenosné z jedného sveta do druhého. Na druhej strane, tieto svety sa prenikajú, navzájom súvisia a obohacujú sa. Na nasledujúcich štyroch stranách uvádzame testové formuláre MCRE1 a MCRE2 s MCRE úlohami. -10-

VOLÁM SA TENTO ROK SOM V TRIEDE 1. Doplň na miesto čísla 5, 6, 7, 37 (každé iba raz!) tak, aby to mohla byť pravda: Snehulienka upiekla koláčov. Každý zo trpaslíkov si zobral po koláčov a koláčov ešte zvýšilo. 2. Malý macko býva v domčeku pri smreku, stredný v domčeku pri dube a veľký v domčeku pri pníku. Nakresli do obrázku, ako sa vracali mackovia z prechádzky domov, ak vieš, že sa ich cesty nekrižovali a nevyšli von z lesa. 3. Na narodeniny dostali súrodenci Juraj a Katka takéto čokolády: 3 Vanilkové pochúťky, 1 Nugátovú pochúťku, 1 Arašidovú pochúťku a 1 Sójovú pochúťku. Ako si majú deti rozdeliť tieto čokolády, aby každý z nich mal len 2 druhy? 4. Na košeli bolo 12 gombíkov. Niekoľko z nich sa odtrhlo. Dokresli chýbajúce gombíky. (OTOČ NA DRUHÚ STRANU)

5. Ujo Novák priniesol v košíku z lesa 64 húb, pričom 36 z nich bolo jedlých. Zo 4 húb spravila jeho manželka obed, zvyšok prinesených húb zavarili. Koľko húb zavarili? 6. Štyria rovnako silní mackovia a päť rovnako silných mužov sa rozdelilo do dvoch družstiev. Pri preťahovaní lanom sa ukázalo, že obe družstvá sú rovnako silné: Potom sa preťahovali už len malé skupinky z nich. Dopíš do štvorčekov znamienko < alebo > alebo = podľa toho, kto je silnejší: 7. Doplň chýbajúci text: Miškov ocko a starý otec majú spolu 100 rokov. Miškov ocko má 54 rokov. Teda Miškov starý otec je o ako Miškov ocko. BOLA NIEKTORÁ Z TÝCHTO ÚLOH ŤAŽKÁ? NAPÍŠ PREČO. ČO SI MYSLÍŠ O TÝCHTO ÚLOHÁCH?

VOLÁM SA TENTO ROK SOM V TRIEDE 1. Na tomto obrázku sú dve sliepky so všetkými svojimi kuriatkami. Bielej sliepke sa vyliahlo 9 kuriatok. Koľko kuriatok sa vyliahlo tmavej sliepke? 2. Mercedes zvládol cestu z Bratislavy do Brna za 127 minút. Škodovka zvládla cestu z Bratislavy do Brna a späť za 247 minút. Ani Mercedes ani Škodovka prakticky nemenili počas jazdy rýchlosť a z Bratislavy vychádzali súčasne. Ktoré auto bolo v Brne skôr? 3. Mirka, Soňa a Iveta sa fotili. Najprv odfotila Mirka Soňu a Ivetu, potom Iveta Soňu a Mirku. Ktoré z dievčat je najvyššie? (OTOČ NA DRUHÚ STRANU)

4. Pani Voňavá natrhala v záhrade 48 ruží. 16 z nich bolo červených. 2 ruže dala pani Voňavá do vázy, zvyšné predala. Koľko ruží pani Voňavá predala? 5. Z minerálneho prameňa natečú za minútu 4 litre vody. Jožko naplnil svoje vedro za 3 minúty. Ferkovo vedro ani za 5 minút ešte nebolo plné. Ktoré vedro patrí komu? 6. V tomto školskom roku dostal Tomáško z matematiky už päť jednotiek, Ivanko mal včera ešte len štyri. Dnes dala pani učiteľka jednému z nich znovu jednotku. Obaja chlapci majú dohromady deväť jednotiek z matematiky. Kto dostal dnes jednotku? 7. Jankin balíček váži 2,5 kg, Jurkov 874 gramov. Čí balíček je ťažší?

Zoznam prác dizertanta 1. Ďuriš, J.: MCRE úlohy a školské úlohy. Písomná časť dizertačnej skúšky. Bratislava, KAGDM FMFI UK 2004 2. Ďuriš, J.: Riešenie MCRE úloh žiakmi a dospelými. Rigorózna práca. Bratislava, KAGDM FMFI UK 2005 3. Ďuriš, J.: MCRE úlohy ako ich riešili dospelí. In: Zborník príspevkov z konferencie didza 2. Žilina, Žilinská univerzita 2005 4. Ďuriš, J.: Ukážky niekoľkých Mathematics contra real-life experience úloh (príspevok na 38. konferencii slovenských matematikov). In: Zborník abstraktov prednášok, 38. konferencia slovenských matematikov. Žilina, EDIS 2006 5. Ďuriš, J.: Porovnanie výsledkov dvoch testov s MCRE úlohami riešených žiakmi 5. ročníka ZŠ. In: Zborník príspevkov z konferencie didza 4. Žilina, Žilinská univerzita 2007 6. Ďuriš, J., Masaryk, I., Pémová, M., Slavíčková, M., Vankúš, P., Vyslocká, E.: Matematika v teplákoch pri príprave budúcich učiteľov. In: Zborník príspevkov z konferencie didza 3. Žilina, Žilinská univerzita 2006 7. Ďuriš, J.: O štvorcoch mesta Palermo. In: Zborník 8 Bratislavského seminára z teórie vyučovania matematiky. Bratislava, UK 2004 8. Ďuriš, J.: Pohľad maturantov na matematickú analýzu a jej vyučovanie. In: Zborník príspevkov z konferencie Matematika v škole dnes a zajtra. Ružomberok, Katolícka univerzita 2006-15-

Zoznam použitej literatúry 1. Bednářová, S.: Matematika a realita. Písomná časť dizertačnej skúšky. Bratislava, KZDM MFF UK 1999 2. Bednářová, S.: Nevedia počítať? In: Zborník príspevkov na seminári z teórie vyučovania matematiky. Bratislava, Vydavateľstvo UK 1998 3. Bednářová, S.: Sekvencionálny prístup k riešeniu problémov ako zdroj neadekvátnych stratégií. In: Zborník Bratislavského seminára z teórie vyučovania matematiky. Bratislava, Vydavateľstvo UK 1999 4. Bednářová, S.: Vplyv metodického zaraďovania MCRE úloh do vyučovacích hodín na schopnosť žiaka riešiť štandardné matematické úlohy. In: Zborník 3 Bratislavského seminára z teórie vyučovania matematiky. Bratislava, UK 2000 5. Bednářová, S.: Vplyv skúseností z bežného života na riešenie matematických problémov. MCRE úlohy. Dizertačná práca. Bratislava, KZDM FMFI UK 2001 6. Bednářová, S.: Vplyv skúseností z bežného života na riešenie matematických problémov. Rigorózna práca. Bratislava, KZDM FMFI UK 2000 7. Brousseau, G.: Theory of Didactical Situations in Mathematics. Didactique des Mathématiques 1970 1990. Edited and translated by N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland and V. Warfield. New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow, Kluwer Academic Publishers 2002 8. Česenek, J., Floreková, Š., Franek, A., Hrdina, Ľ., Kavanová, M.: Zbierka úloh z matematiky pre 5. ročník základnej školy. Bratislava, SPN 1990 9. Česenek, J., Floreková, Š., Franek, A., Hrdina, Ľ., Kavanová, M.: Zbierka úloh z matematiky pre 6. ročník základnej školy. Bratislava, SPN 1991 10. Čorba, J.: Tivoli. Bratislava, Ikar 1999 11. Ďuriš, J., Masaryk, I., Pémová, M., Slavíčková, M., Vankúš, P., Vyslocká, E.: Matematika v teplákoch pri príprave budúcich učiteľov. In: Zborník príspevkov z konferencie didza 3. Žilina, Žilinská univerzita 2006 12. Ďuriš, J.: MCRE úlohy a školské úlohy. Písomná časť dizertačnej skúšky. Bratislava, KAGDM FMFI UK 2004 13. Ďuriš, J.: MCRE úlohy ako ich riešili dospelí. In: Zborník príspevkov z konferencie didza 2. Žilina, Žilinská univerzita 2005-16-

14. Ďuriš, J.: O štvorcoch mesta Palermo. In: Zborník 8 Bratislavského seminára z teórie vyučovania matematiky. Bratislava, UK 2004 15. Ďuriš, J.: Porovnanie výsledkov dvoch testov s MCRE úlohami riešených žiakmi 5. ročníka ZŠ. In: Zborník príspevkov z konferencie didza 4. Žilina, Žilinská univerzita 2007 16. Ďuriš, J.: Riešenie MCRE úloh žiakmi a dospelými. Rigorózna práca. Bratislava, KAGDM FMFI UK 2005 17. Ďuriš, J.: Ukážky niekoľkých Mathematics contra real-life experience úloh (príspevok na 38. konferencii slovenských matematikov). In: Zborník abstraktov prednášok, 38. konferencia slovenských matematikov. Žilina, EDIS 2006 18. Fischer, R., Malle, G., Bürger, H.: Človek a matematika. Bratislava, SPN 1992 19. Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava, SPN 1990 20. Hejný, M., Kuřina, F.: Dítě, škola a matematika (Konstruktivistické přístupy k vyučování). Praha, Portál 2001 21. Internet: www.exam.sk, Exam testing Bratislava 22. Internet: www.statpedu.sk, Štátny pedagogický ústav Bratislava 23. Pupala, B.: Alopatia a homeopatia vo výchove a škole. In: Íčko, študentské noviny, ročník 1, číslo 1. Íčko, o.z. máj 2004 24. Půlpán, Z.: Základy sestavování didaktických testů. Praha, Ústav rozvoje vysokých škol ČSR 1986 25. Repáš, V., Černek, P., Pytlová, Z., Vojtela, I.: Matematika pre 5. ročník základných škôl. Prirodzené čísla. Bratislava, Orbis Pictus Istropolitana 1997 26. Rybár, J. a kol.: Kapitoly z epistemológie III. Bratislava, UK 1996 27. Šedivý, O., Bálint, Ľ., Čeretková, S., Malperová, M.: Matematika pre 6. ročník základných škôl, 1. časť. Bratislava, SPN 1998 28. Šedivý, O., Čeretková, S., Malperová, M., Bálint, Ľ.: Matematika pre 6. ročník základných škôl, 2. časť. Bratislava, SPN 1999 29. Šedivý, O., Čeretková, S., Malperová, M.: Matematika pre 5. ročník základných škôl, 1. časť. Bratislava, SPN 1997 30. Šedivý, O., Čeretková, S., Malperová, M.: Matematika pre 5. ročník základných škôl, 2. časť. Bratislava, SPN 2001 31. Štefanovič, J.: Identifikácia vedeckovýskumných problémov v medicíne. In: Naša Univerzita, spravodaj Univerzity Komenského. Bratislava, UK február 2004-17-

32. Takáč, Z.: Paradox Kréťana. In: Matematika v škole dnes a zajtra. Zborník 6. ročníka konferencie s medzinárodnou účasťou. Ružomberok, Pedagogická fakulta KU 2006 33. Tomáška, Ľ.: Tretia kultúra. In: Naša Univerzita, spravodaj Univerzity Komenského. Bratislava, UK január 2005 34. Turek, I.: Učiteľ a pedagogický výskum. Bratislava, Metodické centrum mesta Bratislavy 1996 35. Veselský, M.: Pedagogická psychológia. Vybrané kapitoly. Bratislava, UK 1996 36. Wimmer, G.: Štatistické metódy v pedagogike. Hradec Králové, Nakladatelství Gaudeamus 1993-18-

Summary The thesis deals with special kind of mathematical tasks called MCRE tasks. MCRE is abbreviation of Mathematics Contra Real-life Experience. These tasks usually are not hard to solve according to their mathematical difficulty but cause problems connected with the students expectations, past experience and additional premises added when solving these tasks. We studied the relation between the results in MCRE tasks solving and the results in standard mathematical tasks solving. The conclusion of the thesis is that there is such relation. We statistically verified that the students who are taught to solve the MCRE tasks can improve their ability to solve this kind of tasks. We also verified that there exist correlation between the results of MCRE test solving and the results of standard mathematical test solving. Therefore teaching to solve MCRE tasks, discussing about them improves the mathematical results of the students. We believe that using of MCRE tasks helps the students to realize and register the differences between the world of mathematics and the world of everyday life and that this information is useful for better understanding of mathematics and its internal logic and manners. -19-