Teme diplomskih radova u akademskoj godini 2013./2014.

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Teme diplomskih radova u akademskoj godini 2013./2014. - Slobodne teme -

Mentor: Dražen Adamović Područje: Algebra Prikladno za studij: svi smjerovi Poluprosti prstenovi Preduvjeti: Poželjno je predznanje iz kolegija Algebra Opis: U diplomskom radu bi se proučavali poluprosti prstenovi, poluproste algebre i njihovi moduli. Ovisno o afinitetu i predznanju studenta naglasak će biti dan na strukturnu teoriju, konstrukciju i klasifikaciju tih prstenova. S. Lang, Algebra, Springer, 2002. T.W. Hungerford, Algebra, Springer, 1980. 1

Mentor: Dražen Adamović Područje: Algebra Prikladno za studij: svi smjerovi Slobodne grupe i prezentacije Preduvjeti: Poěljno je predznanje iz kolegija Algebra Opis: U diplomskom radu bi proučavali slobodne grupe, te grupe definirane pomoću prezentacija. Dokazali bi se osnovni strukturni rezultati o slobodnim grupama. Ovisno o afinitetu i predznanju studenta, proučavale bi se prezentacije nekih zanimljivih konačnih i beskonačnih grupa. Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, v. 114, American Mathematical Society, 2010 T.W. Hungerford, Algebra, Springer, 1980. 2

Mentor: Ljiljana Arambašić Područje: Funkcionalna analiza Prikladno za studij: Svi studiji C -algebre Preduvjeti: Položeni kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima. Opis: C -algebra A je Banachova algebra na kojoj je zadano preslikavanje involucija : A A tako da za sve a A vrijedi a a = a 2. Najjednostavniji, ali i najvažniji, primjeri C -algebri vezani su za B(H), C -algebru ograničenih linearnih operatora na nekom Hilbertovom prostoru. Naglasak diplomskog rada može biti na upoznavanju strukture C -algebri, konstrukciji reprezentacija, ili na proučavanju posebnih klasa preslikavanja medu C - algebrama kao što su pozitivna, potpuno pozitivna i potpuno ograničena preslikavanjima. W. Arveson, An invitation to C -algebras, Springer, 1998., K.R. Davidson, C -algebras by example, AMS, 1996. J. Dixmier, C -algebras, North-Holland, Amsterdam, 1982. G.J. Murphy, C -algebras and operator theory, Academic Press, London, 1990. V.I. Paulsen, Completely bounded maps and dilations, Pitman research notes in mathematics, 146, Longman, 1986. 3

Mentor: Ljiljana Arambašić Funkcionalne jednadžbe pridružene nekim teoremima srednje vrijednosti Područje: Matematička analiza Prikladno za studij: Svi studiji Preduvjeti: Nema. Opis: Funkcionalna jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznanica jedna ili više funkcija. U ovom diplomskom radu cilj je proučiti neke funkcionalne jednadžbe motivirane Lagrangeovim odnosno Pompeiuovim teoremom srednje vrijednosti. M. Kuczma, A survey of the theory of functional equations, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., No. 130, Beograd 1964. S. Kurepa, Matematička analiza 2, Školska knjiga 1997, Zagreb. C. Rousseau, Rolle s theorem: from a simple theorem to an extremely powerful tool, http://wikis.zum.de/dmuw/images/a/ad/rolle Khovanskii.pdf P. K. Sahoo, T. Riedel, Mean value theorems and functional equations, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1998. xii+245 pp. 4

Mentor: Ljiljana Arambašić Područje: Funkcionalna analiza Prikladno za studij: Svi studiji Fuzijski bazni okviri Preduvjeti: Položeni kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima. Opis: Neka je I konačan ili prebrojiv skup i v i R +, i I. Familija zatvorenih potprostora (W i ) i I separabilnog Hilbertovog prostora H je fuzijski bazni okvir za H s obzirom na težine (v i ) ako postoje konstante A, B > 0 tako da za sve x H vrijedi A x 2 i v2 i P i (x) 2 B x 2, pri čemu je P i ortogonalni projektor na W i. Očito su fuzijski bazni okviri generalizacija baznih okvira Hilbertovih prostora, a pokazuje se i da mnoga svojstva baznih okvira imaju svoje analogone u ovoj općenitijoj formulaciji. Cilj diplomskog rada je proučiti neka od tih svojstava. P.G. Casazza, The art of frame Theory, Taiwanese Journal of Math., Vol 4 (2) (2000) 129-202. P. G. Casazza, G. Kutyniok, Frames of subspaces, Wavelets, frames and operator theory, Con-temp. Math., 345, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2004), 87 113. P.G. Casazza, J.C. Tremain, A brief introduction to Hilbert space frame theory and its applications. D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, Providence, AMS, 2007. 5

Mentor: Ljiljana Arambašić Neke generalizacije Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti Područje: Matematička analiza Prikladno za studij: Svi studiji Preduvjeti: Nema. Opis: Lagrangeov teorem srednje vrijednosti je jedan od osnovnih teorema diferencijalnog računa. Cilj diplomskog rada je proučiti nekoliko generalizacija ovog teorema na funkcije f kojima su domena i/ili kodomena u R 2. Lj. Arambašić, A. Valent, Neke primjene Rolleovog teorema i Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti, Poučak, 2013. S. Kurepa, Matematička analiza 2, Školska knjiga 1997, Zagreb. C. Rousseau, Rolle s theorem: from a simple theorem to an extremely powerful tool, http://wikis.zum.de/dmuw/images/a/ad/rolle Khovanskii.pdf N. Schaumberger, More Applications of the Mean Value Theorem, The College Mathematics Journal, Vol. 16, No. 5 (Nov., 1985), pp. 397 398. R. Smith, Rolle over Lagrange-Another Shot at the Mean Value Theorem, The College Mathematics Journal, Vol. 17, No. 5 (Nov., 1986), pp. 403 406. J. Tong, A Property Possessed by Every Differentiable Function, The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 3 (May, 2004), pp. 216 217. 6

Mentor: Damir Bakić Područje: Analiza Bazni okviri s konačnim viškom elemenata Prikladno za studij: Svi studiji. Opis: Niz vektora (f n ) u Hilbertovom prostoru H se naziva bazni okvir za H ako postoje konstante A, B > 0 takve da vrijedi A x 2 n=1 x, f n 2 B x 2, x H. Za svaki bazni okvir definira se pridruženi operator analize U : H l 2 formulom Ux = ( x, f n ) n. Višak elemenata baznog okvira (f n ) se definira kao dimenzija jezgre operatora U. U radu će se najprije izložiti osnovna svojstva ovako uvedenog pojma viška elemenata baznog okvira. U drugom dijelu će opisati bazni okviri s konačnim viškom te njihova veza s Rieszovim bazama. O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, 2002. D. Bakić, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroničkom izdanju). 7

Mentor: Damir Bakić Ekvinormalni Parsevalovi bazni okviri Područje: Vektorski prostori, Analiza Prikladno za studij: Svi studiji. Opis: Konačna familija vektora a 1, a 2,..., a m je bazni okvir n-dimenzionalnog unitarnog prostora X (tipično, X = R n ili X = C n ) ako postoje konstante A, B > 0 takve da vrijedi A x 2 m i=1 x, a i 2 B x 2, x X. Kaže se da je bazni okvir Parsevalov ako je A = B = 1, tj. ako vrijedi x 2 = m i=1 x, a i 2, x X. Ako svi vektori a i, i = 1, 2,..., m, imaju jednaku normu kažemo da je bazni okvir ekvinormalan. U radu će se najprije izložiti osnovna svojstva baznih okvira i, posebno, Parsevalovih baznih okvira. U drugom dijelu prikazat će se svojstva i neke metode konstrukcije ekvinormalnih baznih okvira. D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, AMS, 2007. P. Casazza, N. Leonhard, Classes of finite equal norm Parseval frames, Springer, Contemp. Math. 451 (2008) 11-31. 8

Mentor: Damir Bakić Područje: Normirani prostori Topološke baze Banachovih prostora Prikladno za studij: Svi studiji. Opis: U radu će se najprije izložiti osnovne činjenice o sumabilnim familijama vektora u normiranim i, posebno, Banachovim prostorima. Detaljno će se opisati bezuvjetna konvergencija redova. U drugom dijelu rada prikazat će se osnovni pojmovi i glavni rezultati povezani s konceptom baze normiranog, odnosno Banachovog prostora. C. Heil, A Basis Theory Primer, Georgia Institute of Technology, Manuscript D. Bakić, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroničkom izdanju) 9

Mentor: Mea Bombardelli Područje: geometrija Prikladno za studij: svi studiji Feuerbachova točka Preduvjeti: osnovna znanja iz geometrije Opis: Feuerbachova točka trokuta je točka u kojoj se dodiruju Feuerbachova kružnica i upisana kružnica tog trokuta. U ovom radu dokazat će se neke veze izmedu Feuerbachove točke, Eulerovog pravca i Feuerbachove kružnice. B. Suceava, P. Yiu, The Feuerbach point and Euler lines, Forum Geometricorum, 6 (2006) Y. Sortais, R. Sortais, La géométrie du triangle, Hermann, 1997. 10

Mentor: Mea Bombardelli Teorija grafova i zadaci s natjecanja Područje: kombinatorika, metodika Prikladno za studij: nastavnički studiji Preduvjeti: osnovna znanja iz kombinatorike Opis: U ovom radu odabrat će se dijelovi teorije grafova koji bi se mogli obraditi s naprednijim srednjoškolcima. D. Veljan, Kombinatorika s teorijom grafova, Školska knjiga, Zagreb, 1989. zadaci s državnih i medunarodnih natjecanja 11

Mentor: Nela Bosner Funkcije matrica Područje: Numerička linearna algebra; Numerička analiza; Matematička analiza; Prikladno za studij: Primijenjena matematika; Matematička statistika; Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poželjno znanje iz kolegija Numerička analiza 1 i 2, ili Numeričke metode financijske matematike, ili Pratikum iz numeričkih metoda u statistici Opis: Funkcije matrica se danas naširoko primijenjuju u znanosti i tehnici. Tema uključuje teoriju matrica, numeričku analizu, teoriju aproksimacija i razvoj algoritama. Ova radnja bi obuhvatila teoriju matričnih funkcija i numeričke metode za njihovo računanje. Takoder bi se dao uvid u osjetljivost ovog problema baziranu na Fréchetovoj derivaciji. Za numeričke algoritme dala bi se analiza točnosti, stabilnosti i složenosti. Posebno bi se obradile neke važne funkcije poput: matrične funkcije predznaka, matrični kvadratni korijen, matrična eksponencijalna funkcija, matrični logaritam, i sl. N. J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, SIAM., 2008. G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M. D. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. R. A. Horn and C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991. 12

Mentor: Nela Bosner Multigrid metoda za numeričko rješavanje Poissonove jednadžbe Područje: Numerička linearna algebra; Parcijalne diferencijalne jednadžbe Prikladno za studij: Primijenjena matematika; Matematička statistika; Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poželjno znanje iz kolegija Numerička analiza 1 i 2 ili Numeričke metode financijske matematike, te Parcijalnih diferencijalnih jednadžbi 1 i 2 Opis: Poissonova jednadžba opisuje razne fizikalne procese i glasi u(x, t) = f(x, t) na Ω u(x, t) = 0, na Ω Standardna metoda za dobivanje aproksimacija rješenja parcijalne diferencijalne jednadžbe, kao što je Poissonova, je metoda konačnih diferencija. U toj metodi se iz danog područja Ω izabire skup točaka koji čini mrežu. U svakoj točci mreže derivacija se u diferencijalnoj jednadžbi zamijenjuje sa kvocijentom koji se približava pravoj derivaciji kada mreža postaje sve finija. Ovim postupkom kojeg nazivamo diskretizacija, dobiva se sustav linearnih jednadžbi kod kojeg matrica sustava ima specijalni oblik. Ako želimo finiju aproksimaciju mreža mora biti gušća, što rezultira većom dimenzijom matrice sustava i njenom lošom uvjetovanošću. Kako bi se premostio ovaj problem, za rješavanje sustava primijenjuje se multigrid metoda koja diferencijalnu jednadžbu diskretizira na mrežama različitih gustoća. Prelazak sa mreže na mrežu na elegantan način smanjuje grešku aproksimacije rješenja sustava. Poželjna bi bila i izrada MATLAB programa koji implementira multigrid metodu za Poissonovu jednadžbu. A. Greenbaum, Iterative Methods for Solving Linear Systems, SIAM, 1997. W. L. Briggs, V. E. Henson, S. F. McCormick, A Multigrid Tutorial, Second Edition, SIAM, 2000. 13

Mentor: Nela Bosner Točnost i stabilnost numeričkih algoritama Područje: Numerička analiza; Znanstveno računanje Prikladno za studij: Primijenjena matematika; Računarstvo i matematika Preduvjeti: Poželjno znanje iz kolegija Numerička analiza 1 i 2 Opis: Ova radnja bi trebala dati opis ponašanja raznih numeričkih algoritama u aritmetici konačne preciznosti. Tema obuhvaća algoritamske izvode, teoriju perturbacije i analizu grešaka zaokruživanja. Teorija perturbacije ima centralnu ulogu jer otkriva osjetljivost problema koji se rješava i daje ograde grešaka. U naslovu teme točnost se odnosi na apsolutnu ili relativnu grešku aproksimacije ŷ veličine y = f(x) koju želimo izračunati, i to želimo izraziti za neke važne algoritme. Dobivena aproksimacija je najčešće dobivena primjenom algoritma u aritmetici konačne preciznosti. S druge strane, možemo se pitati za koje ulazne parametre smo zaista egzaktno rješili problem, tj. za koje x je ŷ = f(x+ x)? Vrijednost od x (ili x / x ) naziva se povratnom greškom. Proces računanja ograde na povratnu grešku nam je zanimljiv jer greške zaokruživanja interpretira kao perturbaciju ulaznih podataka, a grešku u rezultatu možemo dobiti iz teorije perturbacija. Za mnoge algoritme možemo dobiti tek slabiji izraz za grešku ŷ + y = f(x + x), što u principu znači da se izračunati ŷ malo razlikuje od izraza ŷ + y, koji se dobiva iz ulaznih podataka x + x, pri čemu se oni malo razlikuju od pravih ulaznih podataka x. Takve algoritme nazivamo numerički stabilnim algoritmima, i ova vrsta stabilnosti se odnosi na probleme u kojima su greške zaokruživanja dominantni oblik greške. U radnji bi se razradila analiza povratnih grešaka i stabilnosti, te teorija perturbacije za nekoliko važnih algoritama iz numeričke matematike. N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, Second Edition, Philadelphia, SIAM., 2002. G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M. D. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. 14

Mentor: Tina Bosner Algoritmi ubacivanja čvorova splajnova Područje: Numerička matematika Prikladno za studij: Primjenjena matematika; Matematička statistika; Računarstvo i matematika Preduvjeti: Numerička matematika, a poželjni su i Numerička analiza 1 i 2 ili Računalna grafika Opis: Polinomni splajnovi imaju veliku primjenu, ponajviše u kompjuterskoj grafici i pri numeričkom rješavanju diferencijalnih jednadžbi s rubnim uvjetima. Zato je i bitno imati stabilne algoritme za računanje njihovih vrijednosti. Ideja ovog diplomskog rada je da se definiraju B-splajnovi, daju neka njihova svojstva, te izvedu nekoliko algoritama baziranih na ubacivanju čvorova i to koristeći polarne forme. 1. C. de Boor: B(asic)-Spline Basics, ftp://ftp.cs.wisc.edu/approx/bsplbasic.ps 2. L. Ramshaw:Blossoms are polar forms, CAGD 6, 323 358 (1989) 3. H. P. Seidel: A new multiaffine approach to B-splines, CAGD 6, 23 32 (1989) 4. Knot Insertion and Deletion Algorithms for B-Spline Curves and Surfaces, R. N. Goldman, T. Lyche, eds., Geometric Design Publications, SIAM (1993) 15

Mentor: Tina Bosner Globalno konvergentne modifikacije Newtonove metode Područje: Numerička matematika Prikladno za studij: Primjenjena matematika; Matematička statistika; Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Numerička matematika, a poželjni su i Numerička analiza 1 i 2 Opis: U primjeni se dosta često pojavljuje potreba za rješavanjem bezuvjtenih minimizacijiskih problema ili rješavanjem sistema nelinearnih jednadžbi. Za oba problema koriste se skoro iste numeričke metode, gdje je jedna od najpopulatnijih Newtonova metoda. Poznat je kao jedan od glavnih nedostataka Newtonove metode nepostojanje globalne konvergencije, pa je cilj ovog diplomskog rada ponuditi nekoliko mogućih modifikacija Newtonove metode kojima se taj problem rješava. 1. J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel: Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, SIAM (1996), (Originally published by Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1983.) 16

Mentor: Tina Bosner Osvjetljavanja i sjenčanje u računalnoj grafici Područje: Računarstvo i numerička matematika Prikladno za studij: Računarstvo i matematika; Primjenjena matematika Preduvjeti: Računalna grafika Opis: Za stvaranje realne 3D slike nekog geometrijskog modela pomoću računala, vrlo je bitno osvjetljavanje i sjenčanje. Oni odreduju boju plohe modela, a uz definiranje izvora i vrste svjetlosti, te svojstava materijala modela, mogu uključivati i preslikavanje uzoraka, crtanje sjena, transparenstnost materijala, itd. Cilj ovog diplomskog rada je upoznavanje sa matematičkim modelima za rješavanje gore navedenih problema i pisanje računalnog programa koji bi to ilustrirao. 1. J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principles and Practice, Addison Wesley (2005) 17

Mentor: Tina Bosner Područje: Numerička matematika Čebiševljevi sustavi i splajnovi Prikladno za studij: Primjenjena matematika; Matematička statistika Preduvjeti: Numerička matematika, a poželjni su i Numerička analiza 1 i 2 Opis: U primjeni postoji potreba i za drugim vrstama splajnova osim polinomnih. U svrhu generalizacije prostora polinoma, definiraju se Čebiševljevi potprostori. Cilj ovog diplomskog rada je istraživanja svojstava Čebiševljevih sustava i potprostora, te definiranja splajnova, kao i predstavljanje nekoliko konkretnih primjera. 1. L. L. Schumaker: Spline Functions: Basic Theory, New York, John Wiley & Sons (1981) 18

Mentor: Zvonko Čerin Područje: Topologija Beskonačno-dimenzionalna topologija Prikladno za studij: Teorijska matematika Preduvjeti: Poželjno predznanje kolegija Metrički prostori i Uvod u topologiju Opis: R. D. Anderson je u prošlom stoljeću započeo s izgradnjom teorije koja ima mnoštvo važnih i lijepih rezultata. Prvi je otkrio da beskonačnodimenzionalni prostori poput Hilbertove kocke Q posjeduju iznenedujuće jednostavniju strukturu od konačno-dimenzionalnih kocki. Na primjer, Q je homogen prostor. Dokazao je i homeomorfnost Hilbertovog prostora kvadratno sumabilnih nizova realnih brojeva s prebrojivim beskonačnom produktom pravaca. Poslije je T. A. Chapman promatrao mnogostrukosti modelirane na Q i pokazao da su to zapravo produkti poliedara s Q. 1. C. Bessaga, A. Pe lczyński,selected topics in infinite-dimensional topology, PWN, Warszawa 1975. 2. T. A. Chapman,Lectures on Hilbert cube manifolds, CBMS 28, Providence 1975. 3. J. van Mill,Infinite-dimensional Topology, Prerequisites and Introduction, North-Holland, Amsterdam 1989. 19

Mentor: Zvonko Čerin Područje: Teorija brojeva Fibonaccijevi brojevi Prikladno za studij: Teorijska matematika Preduvjeti: Poželjno predznanje kolegija Elementarna teorija brojeva ili Diskretna Matematika Opis: Još u srednjem vijeku je Fibonacci uveo brojeve koji čine slijed 0, 1,1,2,3,5,8,13,... koji se gradi tako da je svaki suma prethodna dva. Ti brojevi imaju mnoga lijepa svojstva i predmet su istraživanja mnogih znanstvenika a pojavljuju se u raznim dijelovima matematike i znanosti. 1. R. A. Dunlap, The golden ratio and Fibonacci numbers, World Scientific, 1997. 2. Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, The fabulous Fibonacci numbers, Prometheus Books, 2007. 3. Nicolai N. Vorobiev, Fibonacci numbers, Birkhuser, 2002. 20

Mentor: Zvonko Čerin Područje: Geometrija Geometrija trokuta računalom Prikladno za studij: Teorijska matematika Preduvjeti: Poželjno predznanje kolegija Elementarna Matematika Opis: Trokute su proučavali već i stari Grci a danas kada možemo koristiti pomoć računala istraživanja trokuta doživljava novi procvat. On se najbolje vidi na Web stranicama časopisa Forum Geometricorum. Veliku pomoć pružaju i novi programi kao Cabri ili Sketchpad za dinamičku geometriju. 1. Clark Kimberling, Triangle centers and center triangles, Utilitas Mathematica, 1998. 2. Abraham A. Ungar, Hyperbolic Triangle Centers: The Special Relativistic Approach, Springer 2010. 21

Mentor: Zvonko Čerin Područje: Topologija Teorija oblika Prikladno za studij: Teorijska matematika Preduvjeti: Poželjno predznanje kolegija Metrički prostori i Uvod u topologiju Opis: K. Borsuk je u prošlom stoljeću proširio teoriju homotopije definiravši teoriju oblika za kompaktne metričke prostore i započeo s izgradnjom teorije koja ima mnoštvo važnih i lijepih rezultata. Uveo je klase pokretljivih i snažno pokretljivih kompakata koji imaju izvjesnu analogiju s apsolutnim okolinskim retraktima. Kasnije je T. Chapman povezao teoriju oblika s beskonačno-dimenzionalnom topologijom. 1. K. Borsuk,Theory of Shape, PWN, Warszawa 1975. 2. S. Mardešić, J. Segal,Shape Theory - An inverse limit approach, North- Holland, Amsterdam 1982. 22

Mentor: Tomislav Došlić Područje: Kombinatorika. Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Nema Catalanovi brojevi i njihovi rastavi Opis: Catalanovi brojevi C n javljaju se pri prebrojavanju stotina kombinatornih struktura indeksiranih cjelobrojnim nenegativnim parametrom n. Tipičan primjer su Dyckovi putovi na 2n koraka. Enumeracije se mogu profiniti uvodeći dodatni parametar k, što rezultira prikazom C n u obliku zbroja po k koeficijenata C n,k. U slučaju Dyckovih putova razloženih po broju vrhunaca, koeficijenti su Narayanini brojevi. Cilj rada bi bilo nalaženje koeficijenata C n,k za neke rastave toga tipa. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika 23

Mentor: Tomislav Došlić Područje: Kombinatorika. Dominacijski polinomi lančastih grafova Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Nema Opis: Skup vrhova D grafa G je dominirajući skup u grafu G ako svaki vrh od G koji nije u D ima barem jednog susjeda u D. Dominacijski polinom grafa G je polinom čiji koeficijent uz x k je broj dominirajućih skupova u G kardinalnosti k. U radu bi trebalo odrediti dominacijske polinome za razne klase lančastih grafova. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika 24

Mentor: Tomislav Došlić Igra sparivanja na konačnim podgrafovima pravilnih rešetki Područje: Teorija igara. Kombinatorika. Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Nema Opis: Promatraju se konačni podgrafovi pravilne rešetke ( lattice animals ) na kojima dva igrača naizmjence biraju bridove tako da svi odabrani bridovi čine sparivanje. Gubi igrač koji prvi ne može dodati brid u sparivanje. Cilj rada bi bio odrediti koji je igrač pobjednik u ovisnosti o simetriji zadanog grafa. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika 25

Mentor: Tomislav Došlić Logaritamsko ponašanje nizova zadanih linearnim rekurzijama Područje: Kombinatorika. Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Nema Opis: Niz s pozitivnim članovima je log-konveksan ako je kvadrat svakog njegovog člana manji ili jednak od umnoška susjednih mu članova. Ako je nejednakost obrnuta, niz je log-konkavan. U radu bi se trebalo proučavati logaritamsko ponašanje nizova zadanih kratkim linearnim rekurzijama s konstantnim koeficijentima. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika 26

Mentor: Alan Filipin Linearne forme u logaritmima i posljednji Fermatov teorem Područje: Teorija brojeva. Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Položen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva. Opis: U ovom diplmoskom radu obradit će se primjena Bakerove teorije linearnih formi u logaritmima na rješavanje posljednjeg Fermatovog teorema u posebnom slučaju. Takoder će se dati i povijesni prikaz problema. H. Cohen, Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer-Verlag, Berlin, 2007. H. Cohen, Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer- Verlag, Berlin, 2007. A. Baker, G. Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2008. 27

Mentor: Alan Filipin Linearne forme u logaritmima i binarno rekurzivni nizovi Područje: Teorija brojeva. Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Položen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva. Opis: U ovom diplomskom radu obradit će se primjena Bakerove teorije linearnih formi u logaritmima na traženje presjeka binarno rekurzivnih nizova te na još neke slične probleme. H. Cohen, Number Theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer-Verlag, Berlin, 2007. H. Cohen, Number Theory. Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer- Verlag, Berlin, 2007. A. Baker, G. Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2008. 28

Mentor: Alan Filipin Područje: Teorija brojeva. Metode rješavanja Pellove jednadžbe Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Položen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva. Opis: U ovom diplomskom radu obradit će se osnovni rezultati o Diofantskoj jednadžbi oblika x 2 dy 2 = 1 te njenim poopćenjima. Naglasak će biti na povijesnom prikazu raznih metoda korištenih u njenom rješavanju. M.J. Jacobson, H.C. Williams, Solving the Pell Equation, Springer, 2009. E.J. Barbeau, Pell s Equation, Springer-Verlag, 2003. T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea, 1981. 29

Mentor: Zrinka Franušić Pellova jednadžba u kriptografiji javnog ključa Područje: Teorija brojeva, Kriptografija Prikladno za studij: Svi nastavnički studiji, Primjenjena matematika, Teorijska matematika, Računarstvo i matematika Preduvjeti: Položen jedan od kolegija: Teorija brojeva, Elementarna teorija brojeva, Kriptografija Opis: Kriptosustavi javnog ključa baziraju se na tzv. jednosmjernim funkcijama koje se računaju lako no kojima se inverz teško računa bez poznavanja skrivenog podatka (tzv. trapdoor). Rezultati iz različitih područja matematike pokušavaju se implementirati u kreiranje i razvoj kritosustava. Mnogi su zasnovani na rezultatima iz algebarske teorije brojeva. U radu će se opisati dva kriptosustava koja se baziraju na svojstvima Pellovih jednadžbi. E. J. Barbeau, Pell s Equation, Springer, 2003. A. Dujella, M. Maretić: Kriptografija, Element, Zagreb, 2007. M. J. Jacobson, Jr., H. C. Williams, Solving the Pell Equation, Springer, 2009. 30

Mentor: Boris Guljaš Nuklearni operatori Područje: Funkcionalna analiza, Teorija operatora Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematička statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poželjno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metrički prostori Opis: Nuklearni operatori ili operatori s tragom su podskup skupa kompaktnih operatora na Hilbertovom prostoru X. Svaki kompaktan operator A : H H ima prikaz oblika Ax = λ n (x u n )e n, x H, n=1 gdje su (u n ) n i (e n ) n ortogonalni nizovi vektora, n N, λ n 0 i λ n 0. Operator je nuklearan ako vrijedi n=1 λ n < U bilo kojoj ortonormiranoj bazi moguće je definirati (konačan) trag operatora kao trag pripadne (beskonačne) matrice i on je neovisan o izboru baze. Na skupu svih nuklearnih operatora definira se norma tako da je on zatvarač u toj normi skupa svih operatora konačnog ranga. Cilj rada je proučiti svojstva navedenih operatora, struktura koje oni tvore i obraditi neke njihove primjene. Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, Školska knjiga, 1981, Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, American Mathematical Society, 1969, Simon B., Trace ideals and their applications, Second Edition, Amer. Math. Soc., 2005, Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963. 31

Mentor: Boris Guljaš Spektralni teorem za ograničene normalne operatore Područje: Funkcionalna analiza, Teorija operatora Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematička statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poželjno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metrički prostori Opis: Spektralni teoremi predstavljaju poopćenja rezultata iz konačno dimenzionalnih vektorskih prostora koji se odnose na dijagonalizaciju odgovarajućih klasa operatora u ortonormiranim bazama. U sučaju beskonačno dimenzionalnih Hilbertovih prostora radi se o egzistenciji tzv. dekompozicije jedinice ili spektralne funkcije za operator A, tj. familije ortogonalnig projektora {E λ ; λ K}, gdje je K = R u slučaju hermitskih operatora i K = C u slučaju normalnih operatora. Tada je moguć prikaz operatora u obliku A = λde λ. K Cilj rada je dokazati spektralni teorem za ograničene normalne operatore i opisati neke njegove primjene. Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, Školska knjiga, 1981, Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, American Mathematical Society, 1969, Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966 Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963, Rudin Walter, Functional analysisn, McGraw-Hill Book Company, 1973. 32

Mentor: Boris Guljaš Zatvoreni operatori Područje: Funkcionalna analiza, Teorija operatora Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matematička statistika, Financijska i poslovna matematika Preduvjeti: Poželjno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranim prostorima, Metrički prostori Opis: Linearan operator A : D(A) Y, D(A) X, je zatvoren operator ako je njegov graf Γ(A) = {(x, Ax) x X} X Y zatvoren potprostor u X Y, gdje su X, Y Banachovi prostori. Zatvorni operatori predstavljaju prirodnu generalizaciju ograničenih linearnih operatora na beskonačnodimenzionalnim Banachovim prostorima. Zbog teorema o zatvorenom grafu, ako je operator A neograničen onda je nužno D(A) X. Cilj rada je proučiti koje teoreme iz teorije ograničenih linearnih operatora je moguće proširiti na zatvorene operatore. Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, Školska knjiga, 1981, Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, American Mathematical Society, 1969, Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966 Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963. 33

Mentor: Marcela Hanzer Lokalna polja i prsten adela Područje: Algebarska teorija brojeva Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: Položeni kolegij Algebarske strukture; poželjno je da je položen i kolegij Algebra Opis: Upotpunjenja polja Q, i općenitije, upotpunjenja konačnih prošrenja polja Q obzirom na nearhimedsku metriku (tzv. p-adski brojevi) su od velikog interesa ne samo za algebarsku teoriju brojeva, već i za teoriju reprezentacija, automorfnih formi i mnoga druga područja suvremene matematike. U klasičnoj teoriji brojeva, polje algebarskih brojeva (konačno algebarsko prošrenje polja Q) se ulaže u produkt svojih arhimedskih upotpunjenja, tj. u Euklidov prostor. Meutim, još od radova Chevalleya i Weila, postalo je jasno da je za mnoštvo primjena mnogo prirodnije gledati sva upotpunjenja odjednom, i na takvom objektu promatrati neku prirodnu topologiju. Tako su formirani prsten adela i ideli. esto se informacije o Q (odnosno njegovim konačnim prošrenjima) iščitavaju iz informacija dobijenih iz adeličke slike. Cilj diplomskog rada bi bilo davanje osnovnih strukturnih činjenica i teorema o p adskim poljima (prsteni s diskretnom valuacijiom, Dedekindove domene), a s druge strane uočavanje da su takva p adska polja, zajedno s R ic jedina nediskretna lokalno kompaktna polja, što omogućava primjenu klasične harmonijske analize. Takoer, trebala bi se dati definicija adela i idela i proučiti njihova osnovna svojstva. Lang, Algebraic number theory, Springer 1994. Weil, Basic number theory, Springer 1995. Cassels, Fröhlich, Algebraic number theory, Academic Press Inc, 1986. Serre, A course in Arithmetic, Springer 1973. 34

Mentor: Marcela Hanzer Od kongruencijskih brojeva do eliptičkih krivulja Područje: Algebra, teorija brojeva, kompleksna analiza Prikladno za studij: Teorijska, Primjenjena matematika Preduvjeti: položen kolegij Algebarske strukture; poželjno je da položen i kolegij Algebra Opis: U radu bi se klasični problem odreivanja je li neki prirodni broj n kongruencijski ili ne, povezao s teorijom eliptičkih krivulja. Definirale bi se eliptičke krivulje, dvostruko periodičke funkcije, Weierstrassova forma, te promatralo zbrajanje na eliptičkoj krivulji. Proučavale bi se točke konačnog reda, te na koncu točke nad konačnim poljima i time dala veza s originalnim problem kongruencijskih brojeva. Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer, 1984. 35

Mentor: Marcela Hanzer Teorija reprezentacija konačnih grupa; Artinov teorem Područje: Teorija reprezentacija Prikladno za studij: svi studiji Preduvjeti: položen kolegij Algebarske strukture Opis: Reprezentacije konačnih grupa su vrlo značajne za primjene u fizici ili kvantnoj kemiji, a u matematici su, zajedno s klasičnom harmonijskom analizom, ishodišna točka u razvoju teorije reprezentacija i drugih klasa grupa, npr. algebarskih. U radu bi se trebao dati osvrt na osnove teorije reprezentacija konačnih grupa, teoriju karaktera i osnovne koncepte (sume, tenzorski produkti, induciranje) uz analizu nekoliko primjera konkretnih grupa. U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerov teorem, koji imaju značajnu ulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u proučavanju L-funkcija. Serre, Linear representations of finite groups, Springer 1977. Curtis, Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Wiley, 1962. 36

Mentor: Marcela Hanzer Područje: Algebra Uvod u teoriju valuacija Prikladno za studij: Teorijska, Primjenjena matematika Preduvjeti: položen kolegij Algebarske strukture; poželjno je da položen i kolegij Algebra Opis: U radu bi se trebao uvod u teoriju valuacija, počevš od definicija, valuacijskih grupa, rezidualnih polja, upotpunjenja i slično. Nakon toga bi se proučavala prošrenja polja s valuacijom i grupe grananja. U ovisnosti o afinitetu diplomanta, uvela bi se i Dedekindova polja. McCarthy, Algebraic extensions of fields, Dover, 1991. Weil, Basic number theory, Springer 1995. 37

Mentor: Vjeran Hari Ispitivanje brzine i točnosti Jacobijevih metoda za simetrične pozitivno definitne matrice malog reda Područje: Linearna algebra, teorija matrica Prikladno za studij: Svi studiji Preduvjeti: Položen kolegij Vektorski prostori Opis: Rad bi sadržavao teorijski i eksperimentalni dio. U teorijskom dijelu opisala bi se Jacobijeva dvostrana i jednostrana metoda za simetrične pozitivno definitne matrice. Naveli bi se osnovni rezultati o globalnoj i asimptotičkoj konvergenciji kao i o visokoj relativnoj točnosti tih metoda. U eksperimentalnom dijelu bi se pokušala naći optimalna metoda za dijagonalizaciju simetričnih pozitivno definitnih matrica malog reda, npr. prvo do reda 16, zatim do reda 32, pa do reda 64 i onda do reda 128. Najme, takve optimalne metode za metrice malog reda se koriste u tzv. blok Jacobijevim metodama za metrice velikog reda. Programiralo bi se u Fortranu i koristile bi se BLAS rutine. Demmel J.W., Veselić K., Jacobi s method is more accurate than QR. SIAM J. Mat. Anal. Appl. 13, 1204 1245 (1992) Hari Vjeran, Convergence to Diagonal Form of Block Jacobi-type Methods. Submitted for publ. in Num. Mathematik. 38

Mentor: Vjeran Hari Jacobijevi operatori i primjene Područje: Linearna algebra, teorija matrica Prikladno za studij: Svi studiji Preduvjeti: Položen kolegij Vektorski prostori Opis: Rad bi bio baziran na dolje spomenutim člancima. Jacobijevi anihilatori i operatori su alat za dokazivanje globalne konvergencije dijagonalizacijskih metoda. U člancima se oni modificiraju kako bi poslužili da dokazivanje konvergencije blok Jacobijevih metoda. Blok metode su generalizacije postojećih (standardnih) metoda, a dizajnirane su tako da se poveća njihova efikasnost tj. brzina. Članci se mogu naći na mojoj web stranici. Hari Vjeran, On Block Jacobi Annihilators. Proceedings of ALGORITMY 2009. Slovak University of Technology in Bratislava, Publishing House of STU, 2009. 429-439. Hari Vjeran, Convergence to Diagonal Form of Block Jacobi-type Methods. Submitted for publ. in Num. Mathematik. 39

Mentor: Vjeran Hari Korištenje aritmetike varijabilne točnosti kao alata za ispitivanje visoke relativne točnosti dijagonalizacijskih metoda Područje: Linearna algebra, teorija matrica Prikladno za studij: Svi studiji Preduvjeti: Položen kolegij Vektorski prostori Opis: U Matlabu je implementirana aritmetika varijabilne točnosti vpa (variable precision arithmetic), koja je mnogo sporija od uobičajene aritmetike, ali može raditi sa bilo kojom točnošću računanja, npr. sa 80 ili 200 decimalnih znamenka. Cilj rada je proučiti taj alat i primijeniti ga na ispitivanju točnosti nekih standardnih i nekih novih metoda metoda za računanje vlastitih i singularnih vrijednosti matrica. Demmel J.W., Veselić K., Jacobi s method is more accurate than QR. SIAM J. Mat. Anal. Appl. 13, 1204 1245 (1992) W.R. Wilcox, MATLAB Symbolic Mathematics Tutorial, Clarkson University, Potsdam, NY, USA Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB (ebook, www.mathworks.com/moler/chapters.html) 40

Mentor: Vjeran Hari Novi perturbacijski rezultati za Hermitske matrice Područje: Linearna algebra, teorija matrica Prikladno za studij: Svi studiji Preduvjeti: Položen kolegij Vektorski prostori Opis: Rad bi bio baziran na novom članku o oštrim perturbacijskim ocjenama za Hermitske matrice. Neka su [ ] [ ] H1 E A = 3D H1 0 = i à = 3D E H 2 0 H 2 = hermitske matrice čije su svojstvene vrijednosti λ 1... λ k i λ 1... λ k, respektivno. Označimo s E spektralnu normu matrice E i s η minimalnu udaljenost izmedu spektara matrica H 1 i H 2. Pokazujemo da vrijedi λ i λ i 2 E 2 η + η 2 + 4 E 2, što je bolja ocjena od svih postojećih rezultata. Slične ocjene dobivamo za singularne vrijednosti matrica pod utjecajem perturbacija blokova. Tvrdnje bi se provjerile pomoću Matlaba. C.-K. Li and R.-C. Li, A note on eigenvalues of perturbed Hermitian matrices. Linear Algebra and its Applications, 395 (2005) 183-190 B. N. Parlett, The Symmetric Eigenvalue Problem. SIAM, Philadelphia, 1998 (This SIAM edition is an unabridged, corrected reproduction of the work published by Prentice-Hall, Inc., Englewood Clifs, NJ, 1980.) 41

Mentor: Dijana Ilišević Područje: Funkcionalna analiza Prikladno za studij: Matematička statistika Hahn-Banachov teorem Teorijska matematika; Primijenjena matematika; Preduvjeti: Kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima Opis: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalne analize. Njegova klasična verzija se odnosi na proširenje linearnih funkcionala. Zadatak ovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko formulacija Hahn- Banachovog teorema i pristupa njegovom dokazu. S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer- Verlag, New York-Heidelberg, 1974. S. Kurepa, Funkcionalna analiza, Školska knjiga, Zagreb, 1990. 42

Mentor: Dijana Ilišević Područje: Teorija prstena Jordanovi homomorfizmi i derivacije Prikladno za studij: Teorijska matematika, Matematika - smjer nastavnički, Matematika i informatika - smjer nastavnički Preduvjeti: Kolegiji Algebra 1 i 2 ili Algebarske strukture. Opis: Aditivno preslikavanje f s prstena R u prsten R se naziva homomorfizam ako je f(ab) = f(a)f(b) za sve a, b R, antihomomorfizam ako je f(ab) = f(b)f(a) za sve a, b R, a Jordanov homomorfizam ako je f(a 2 ) = f(a) 2 za sve a R. Aditivno preslikavanje f : R R se naziva derivacija ako je f(ab) = f(a)b+af(b) za sve a, b R, a Jordanova derivacija ako je f(a 2 ) = f(a) 2 za sve a R. Očigledno je svaki (anti)homomorfizam ujedno i Jordanov homomorfizam, a svaka derivacija ujedno i Jordanova derivacija. Obrati ovih tvrdnji su u zadnjih pedesetak godina bili predmetom proučavanja mnogih matematičara i općenito ne vrijede. Zadatak ovog diplomskog rada je opisati strukturu Jordanovih homomorfizama i Jordanovih derivacija u nekim posebnim slučajevima. P. Ara, M. Mathieu, Local multipliers of C*-algebras, Springer-Verlag, London, 2003. M. Brešar, Jordan mappings of semiprime rings, J. Algebra 127 (1989), 218 228. I. N. Herstein, Topics in ring theory, Univ. of Chicago, Chicago, 1969. T. W. Palmer, Banach algebras and the general theory of -algebras, Cambridge University Press, Cambridge, 1994. 43

Mentor: Dijana Ilišević Područje: Teorija operatora Prikladno za studij: Matematička statistika Konvergencija niza operatora Teorijska matematika; Primijenjena matematika; Preduvjeti: Kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima Opis: Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem. Niz (A n ) operatora iz L(X, Y ) konvergira operatoru A 0 L(X, Y ): (a) uniformno ako A n A 0 0, (b) jako ako A n x A 0 x 0 za svaki x X, (c) slabo ako y (A n x) y (A 0 x) za svaki x X i svaki y Y. Zadatak ovog diplomskog rada je proučiti uniformnu, jaku i slabu konvergenciju niza operatora. T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York, 1966., S. Kurepa, Funkcionalna analiza, Školska knjiga, Zagreb, 1990. 44

Mentor: Dijana Ilišević Nekomutativno proširenje Banach-Stoneovog teorema Područje: Teorija operatora Prikladno za studij: Matematička statistika Teorijska matematika; Primijenjena matematika; Preduvjeti: Kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima ; poznavanje C*-algebri Opis: Kadison je 1951. poopćio klasični Banach-Stoneov teorem o izometrijama sa C(X) na C(Y ) (neprekidne funkcije na kompaktu X odnosno Y ) na nekomutativan slučaj C*-algebri. Dalje je taj teorem poopćen na JB*-algebre (Wright and Youngson, 1978.) i JB*-trojke (Kaup, 1983.), dakle na neasocijativne strukture koje uključuju i C*-algebre. Zadatak ovog diplomskog rada je prikazati jedinstven pristup karakterizacijama izometrija na navedenim strukturama. T. Dang, Y. Friedman, B. Russo, Affine geometric proofs of the Banach Stone theorems of Kadison and Kaup, Rocky Mountain J. Math. 20 (1990), 409 428. R. J. Fleming, J. E. Jamison, Isometries on Banach spaces: function spaces, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2003. 45

Mentor: Mladen Jurak Teoremi ulaganja Soboljevljevih prostora i primjene Područje: Funkcionalna analiza, Parcijalne diferencijalne jednadžbe Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe, Integral i mjera Opis: Cilj radnje je dokazati teoreme ulaganja Soboljevljevih prostora u L p prostore i demonstrirati primjene tih teorema u teoriji egzistencije rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Potrebno je dokazati teoreme o kompaktnosti ulaganja te iskoristiti tu kompaktnost u primjeni Schauderovog teorema o fiksnoj točki na nelinearne eliptičke rubne zadaće. 1. Robert A. Adams, John J. F. Fournier: Sobolev Space, Elsevier, 2003. 2. Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, 2010. 46

Mentor: Matija Kazalicki Eliptičke krivulje i Mordellov teorem Područje: Aritmetička geometrija Prikladno za studij: Teorijska matematika Preduvjeti: Opis: Cilj ovog diplomskog je definirati osnovne pojmove vezane uz eliptičke krivulje i dokazati Mordellov teorem o konačnoj generiranosti grupe racionalnih točaka. J.H. Silverman, J. Tate Rational points of elliptic curves, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1992. 47

Mentor: Matija Kazalicki Modularne forme i prikaz prirodnog broja kao sume kvadrata Područje: Teorija brojeva i kompleksna analiza Prikladno za studij: Teorijska matematika Preduvjeti: Opis: Lagrange je dokazao da se svaki prirodan broj može prikazati kao suma četiri kvadrata. Cilj ovog diplomskog je koristeći modularne forme odrediti broj različitih prikaza. F. Diamond, J. Shurman A first course in modular forms, Graduate Texts in Mathematics, 228, Springer-Verlag, New York, 2005. 48

Mentor: Matija Kazalicki Problem broja klasa Područje: Algebarska teorija brojeva i modularne funkcije Prikladno za studij: Teorijska matematika Preduvjeti: Opis: Problem broja klasa je slavan problem koji je postavio Gauss. Treba odrediti sva kvadratno imaginarna polja s brojem klasa 1. Problem je riješio Heegner (1952), ali njegov dokaz nije bio prihvaćen sve do 1969 (nažalost Heegner to nije doživio). Cilj ovog diplomskog je izložiti Heegnerov dokaz koji koristi modularne funkcije i teoriju kompleksnog množenja. D.A. Cox, Primes of the form x 2 + ny 2, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989. 49

Mentor: Matija Kazalicki Područje: Kombinatorika Prikladno za studij: Svi studiji. Spernerova lema i primjene Preduvjeti: Položen kolegij Diskretna matematika. Opis: U ovom diplomskom obradit će se dvije primjene Spernerove leme: Monskyjev teorem (kvadrat se ne može podijeliti na neparan broj trokuta jednake površine) i problem odredivanja stanarine (rental harmony theorem). P. Monsky, On Dividing a Square into Triangles, The American Mathematical Monthly 77 (2), 1970. F.E. Su, Rental Harmony: Sperner s Lemma in Fair Division, Amer. Math. Monthly 106 (10), 1999. 50

Mentor: Vedran Krčadinac Područje: Projektivna geometrija. Prikladno za studij: Svi studiji. Kleinova kvadrika Preduvjeti: Položen kolegij Projektivna geometrija. Opis: Kleinova kvadrika je nedegenerirana hiperbolička kvadrika u 5-dimenzionalnom projektivnom prostoru. U ovom diplomskom radu uvest će se Plückerove koordinate, uspostaviti izomorfizam izmedu Kleinove kvadrike i 3-dimenzionalnog projektivnog prostora i dokazati još neka svojstva Kleinove kvadrike. 1. A. Beutelspacher, U. Rosenbaum, Projective geometry: From foundations to applications, Cambridge University Press, 1998. 51

Mentor: Vedran Krčadinac Područje: Algebra, analiza. Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Osnovni teorem algebre Opis: Nakon kratkog povijesnog uvoda cilj je dati nekoliko dokaza osnovnog teorema algebre. Obradit će se dokazi koji se oslanjaju na apstraktnu algebru, kompleksnu analizu i topologiju. 1. J.J. O Connor, E.F. Robertson, The fundamental theorem of algebra, 1996. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/histtopics/fund theorem of algebra.html 2. B. Fine, G. Rosenberger, The fundamental theorem of algebra, Springer- Verlag, 1997. 52

Mentor: Vedran Krčadinac Reprezentacijski teoremi za projektivne i afine prostore Područje: Projektivna geometrija. Prikladno za studij: Svi studiji. Preduvjeti: Položen kolegij Projektivna geometrija. Opis: Cilj ovog diplomskog rada je dokazati da se svaki projektivni prostor dimenzije veće od 2 može konstruirati od vektorskog prostora nad tijelom. Osim toga dokazat će se reprezentacijski teorem za kolineacije takvih projektivnih prostora. 1. A. Beutelspacher, U. Rosenbaum, Projective geometry: From foundations to applications, Cambridge University Press, 1998. 53

Mentor: Miljenko Marušić Diferencijske sheme na Shishkinovoj mreži Područje: numerička matematika Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Računarstvo i matematika Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskih shema koje se primjenjuju za numeričko rješavanje singularno perturbiranog rubnog problema za ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadžbu oblika εy + by + cy = f, gdje je ε jako mali realni broj. Jer su klasične metode neprikladne za ovaj problem, jedan od pristupa za dobivanje dobre aproksimacije primjena klasičnih diferencijskih shema na prilagodenoj mreži. Jedna od takvih mreža je Shishkinova mreža. J. J. H. Miller, E. O Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems, World Scientific, Singapore, 1996. 54

Mentor: Miljenko Marušić Eksponencijalne Runha-Kuttine metode Područje: numerička matematika Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Računarstvo i matematika Opis: Tema rada je primjena klase metoda za rješavanje krutih sustava diferencijalnih jednadžbi. Za razliku od klasičnih Runge-Kuttinih metoda, ovdje se traži da metoda bude egzaktna na test primjeru y = λy gdje je λ veliki pozitivni realni broj. Treba prikazati teorijsku podlogu metoda te implementirati nekoliko metoda i testirati ih na konkretnim problemima. M. Hochbruck, A. Ostermann, Exponential integrators, Acta numerica (2010) 209 286. 55

Mentor: Miljenko Marušić Eksponencijalno prilagodene diferencijske sheme Područje: numerička matematika Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Računarstvo i matematika Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskih shema koje se primjenjuju za numeričko rješavanje singularno perturbiranog rubnog problema za ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadžbu oblika εy + by + cy = f, gdje je ε jako mali realni broj. Konvergentne diferencijske sheme (na uniformnoj mreži) mogu se dobiti prikladnim izborom funkcija baze. U ovom slučaju se radi o upotrebi eksponencijalne funkcije. J. J. H. Miller, E. O Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems, World Scientific, Singapore, 1996. 56

Mentor: Miljenko Marušić Područje: primijenjena matematika Matematički modeli rasta tumora Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Računarstvo i matematika Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati nekoliko modela tumora i usporediti ih na eksperimentalnim podacima. Izbor modela obavio bi se u dogovoru s mentorom. T. Roose, S. J. Chapman, P. K. Maini, Mathematical Models of Avascular Tumor Growth, SIAM Review, 49 (2007) 179 208 57

Mentor: Eduard Marušić-Paloka Područje: Primijenjena matematika Prikladno za studij: svima Idealni nestlačivi fluid. Preduvjeti: Matematička analiza 3 i 4 ili Dir 2 i Primijenjena matematička analiza Opis: Osnovni pojmovi. Eulerove jednadžbe. Potencijalni bezvrtložni tok.. Teorem Kutta-Žukovskog. D alambertov paradox. C.Malchioro, M.Pulvirenti, Mathematical theory of incompressible nonviscous fluids, Springer, 1994. A.J.Chorin, J.E.Marsden, A methematical introduction to fluid mechanics, Springer, 2000. 58

Mentor: Eduard Marušić-Paloka Matematičko modeliranje puhačkih instrumenata. Područje: Primijenjena matematika Prikladno za studij: svima Preduvjeti: Matematička analiza 1 i 2 ili Dir 1 Opis: Izvod jednostavnih matematičkih modela za puhačke instrumente i analiza dobivenih diferencijalnih jednadžbi. N.H.Fletcher, T.D.Rossing, The physics of musical instruments, Springer, 1998. 59