SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Vuko Vukčevć, Mhael Lobrovć Teorjsko numerčk prstup problemu lamnarnog grančnog sloja oko ravne ploče Zagreb, 2011.
Ovaj rad zrađen je na Katedr za hdromehanku plovnh objekata pod vodstvom profesorce dr. sc. Andreje Werner predan je na natječaj za dodjelu Rektorove nagrade u akademskoj godn 2011.
Pops oznaka: x - Kartezjeva koordnata u uzdužnom smjeru ploče y - Kartezjeva koordnata u okomtom smjeru na ploču v x - komponenta vektora brzne u smjeru x - os v y - komponenta vektora brzne u smjeru y - os ρ - gustoća fluda p - polje tlaka ν - knematčka vskoznost fluda μ - dnamčka vskoznost fluda d dx - operator dervacje * po x - u x - operator parcjalne dervacje * po x - u 2 x 2 - operator druge parcjalne dervacje * po x - u y - operator parcjalne dervacje * po y - u 2 y 2 - operator druge parcjalne dervacje * po y - u 3 y 3 - operator treće parcjalne dervacje * po y - u
2 x y - operator parcjalne dervacje * po x - u po y u L - duljna ploče B - šrna ploče δ - debljna grančnog sloja v δ - brzna vanjskog potencjalnog strujanja v - konstanta brzna paralelnog vanjskog potencjalnog strujanja Re - Reynoldsov broj ψ - funkcja toka η - Blasusova bezdmenzjska varjabla φ - prmtvna funkcja od Blasusovog bezdmenzjskog profla brzne φ - Blasusov bezdmenzjsk profl brzne φ - prva dervacja Blasusovog bezdmenzjskog profla brzne φ - druga dervacja Blasusovog bezdmenzjskog profla brzne u - supsttucjska funkcja za φ v - supsttucjska funkcja za φ - brojač koraka klasčne Runge - Kutta metode A k - koefcjent funkcje prrasta klasčne Runge - Kutta metode u -tom koraku (k = 1,2,3,4) B k - koefcjent funkcje prrasta klasčne Runge - Kutta metode u -tom koraku (k = 1,2,3,4)
C k - koefcjent funkcje prrasta klasčne Runge - Kutta metode u -tom koraku (k = 1,2,3,4) j - brojač konvergencje metodom gađanja α j - nz vrjednost za početn uvjet v(0) β j - nz vrjednost za grančn uvjet u h - korak Runge - Kutta metode e - točnost numerčkog postupka za rubn uvjet Δ - apsolutna vrjednost razlke zmeđu rješenja R - K metodom Howarthove ntegracje τ w - tangencjalno naprezanje po površn ploče D - sla otpora ploče
Sadržaj rada Uvod...1 Prandtlove jednadžbe za grančn sloj...2 Numerčka analza...14 Analza rezultata greške...21 Zaključak...27 Prlog 1...28 Zahvala...33 Pops lterature...34 Sažetak rada...36 Summary...37
1. Uvod U ovom radu se razmatra ravnnsko, staconarno lamnarno strujanje nestlačvog, vskoznog fluda u području u blzn ravne ploče, koje je poznato pod nazvom grančn sloj. Grančn sloj je područje vrtložnog strujanja vskoznog fluda u kojem su nercjalne vskozne sle koje djeluju na flud stog reda velčne, defnran je kao relatvno tanko područje u neposrednoj blzn kruth granca unutar kojeg se tangencjalna komponenta brzne naglo mjenja u smjeru normalno na stjenku, od nule na samoj krutoj nepomčnoj stjenc do brzne slobodne struje na vanjskom rubu grančnog sloja [1]. Najprje će se razmatrat Prandtlovo pojednostavljenje Naver - Stokesovh jednadžb koje opsuju spomenuto strujanje, da b se na kraju uvođenjem Blasusove bezdmenzjske funkcje, problem najvše moguće teorjsk pojednostavno, čme se dobje občna nelnearna dferencjalna jednadžba poznatja pod nazvom Blasusova dferencjalna jednadžba. Kako matematčka analza još uvjek nje dala analtčk egzaktno rješenje spomenute jednadžbe, problem će se rješt numerčk klasčnom Runge - Kutta metodom četvrtog reda [2], uz što će se analzrat velčna greške, te će se dobven rezultat prkazat tablčno grafčk. Na kraju razmatranja dobven rezultat će se usporedt s Howarthovom ntegracjom [3], te će se dat zraz za određvanje sle otpora ravne ploče u lamnarnom režmu strujanja što je zrazto btno za samu nženjersku prmjenu. 1
2. Prandtlove jednadžbe za grančn sloj Ogrančt ćemo se na ravnnsko staconarno strujanje duž blago zakrvljene krute stjenke, odnosno stjenke čj je radjus zakrvljenst znatno već od debljne grančnog sloja, R δ, slka 1. Dnamka strujanja u području lamnarnog grančnog sloja oko takve stjenke se opsuje Naver - Stokesovm jednadžbama [4] za nestlačvo, vskozno, adjabatsko staconarno strujanje, a one se zvode z zakona očuvanja kolčne gbanja za materjaln volumen fluda za što je potrebno znanje teorema z vše matematčke analze, kao što su: Lebntzov transportn teorem [5], Stokesov teorem [6] Gaussov teorem [7] (poznat kao Green - Gauss teorem, odnosno Gauss - Ostrogradsk teorem). Te jednadžbe su nelnearne parcjalne dferencjalne jednadžbe elptčkog tpa čja nelnearnost prozlaz z konvektvnh članova, te su egzaktna rješenja spomenuth jednadžb poznata za samo mal broj fzkalnh problema strujanja Newtonovskog fluda [8]. Strujanje se promatra u Oxy koordnatnom sustavu gdje se os Ox poklapa sa konturom stjenke, a os Oy je u svakoj točk okomta na os Ox, slka 1. Za daljnja razmatranja potrebno je navest defncju debljne grančnog sloja δ koja je defnrana kao udaljenost od stjenke u smjeru poprečne os y preko koje se brzna mjenja od 0 do 99% (l 99.5%) znosa vanjskog potencjalnog strujanja v δ = v δ (x), to jest, pr y = δ, vrjed v x = 0.99v δ (odnosno v x = 0.995v δ ). Slka 1. Lamnarn grančn sloj duž blago zakrvljene krute stjenke 2
Polazne jednadžbe su jednadžba kontnuteta (1) (jednadžba očuvanja mase) te Naver - Stokesove jednadžbe (2) (3) (jednadžbe kolčne gbanja), koje glase: v x x + v y y = 0 (1) x - komponenta Naver - Stokesovh jednadžb: v x v x x + v y v x y = 1 ρ p x + ν ( 2 v x x 2 + 2 v x y 2 ) (2) y - komponenta Naver - Stokesovh jednadžb: v x v y x + v y v y y = 1 ρ p y + ν ( 2 v y x 2 + 2 v y y 2 ) (3) Buduć da je δ jako mala velčna u odnosu na duljnu ploče L, odnosno vrjed da je δ L << 1, pa se jednadžbe (2) (3) mogu znatno pojednostavnt. Sljed procjena reda velčne pojednh fzkalnh velčna: x ~ L (4) y ~ δ (5) v x ~ v δ (6) p ~ ρ v δ 2 (7) Pomoću odnosa (4) (7) moguće je procjent red velčne pojednh članova u jednadžbama (1), (2) (3), z čega sljed za članove jednadžbe (2): v x v x x ~ v 2 δ L 3 (8)
1 ρ 2 p x ~ v δ L (9) ν 2 v x x 2 ~ ν v δ L 2 (10) ν 2 v x y 2 ~ ν v δ δ 2 (11) sljed da je: Ako se uspored red velčne člana (10) s redom velčne člana (11), zbog L 2 δ 2 ν 2 v x x 2 << ν 2 v x y 2 (12) tako da se član ν 2 v x x 2 može zanemart. Iz jednadžbe kontnuteta (1) sljed: v x x = v y y ~ v δ L (13) te nadalje mamo: v y y ~ v y δ (14) Uspoređvanjem zraza (13) (14) dobje se: v δ L ~ v y δ v y ~ v δ δ L (15) čme smo procjenl red velčne brzne v y. 4
Uz sada poznat red velčne komponente brzne v y, možemo procjent red velčne posljednjeg preostalog člana z jednadžbe (2): v y v x y ~ v δ δ L v δ 2 δ ~ v δ L (16) Buduć da je grančn sloj područje podjednakog utjecaja vskoznh nercjskh sla, u x komponent Naver - Stokesovh jednadžb zadržava se vskozn član s desne strane nejednakost (12). Taj član mora mat st red velčne kao ostal zadržan članov, odnosno vrjed: ν v δ δ 2 ~ v 2 δ L (17) Nadalje, zraz (17) možemo raspsat u sljedećem oblku: ν v δ δ 2 ~ v 2 δ L L v δ ν ν ~ ν v δ L v δ L2 Re (18) gdje je Re Reynoldsov broj [9], Re = L v δ. Uspoređvanjem ljeve strane s krajnjom desnom ν stranom zraza (18) dobje se: ν v δ δ 2 ~ ν v δ L 2 Re δ L ~ 1 Re (19) Dakle, uvjet δ L << 1, bt će spunjen samo kada je Re >> 1, što uz zadane v δ L, kada su reda velčne prblžno 1, znač da vskoznost fluda ν treba bt relatvno mala vrjednost. Upotrebom jednostavnh matematčkh operacja zraza (15) (19) može se procjent red velčna pojednh članova u jednadžb (3): 5
v x v y x ~ v δ v δ δ L 2 1 L ~ v δ L 1 Re (20) v y v y y ~ v δ δ L v δ δ L 2 1 δ ~ v δ L 1 Re (21) ν 2 v y x 2 ~ L v δ Re δ v δ L 2 1 L 2 ~ v δ L 1 Re 3 (22) ν 2 v y y 2 ~ L v δ Re δ v δ L 2 1 L δ 2 L ~ v δ L Re Re ~ v 2 δ L 1 Re (23) Iz jednadžb (20) (23) vdljvo je da su članov, buduć da sadrže Re u nazvnku, zanemarv kada je Re >> 1, odnosno da sv t članov teže k nul. Dakle, preostal član u (3), koj predstavlja gradjent tlaka u smjeru okomtom na ploču, je također zanemarv, odnosno: p y 0 (24) što je osnovno svojstvo grančnog sloja, to jest tlak se po presjeku grančnog sloja može smatrat konstantnm jednakm tlaku u vanjskom strujanju. Na samom gornjem rubu grančnog sloja, pr staconarnom ravnnskom strujanju, prmjenom jednadžbe (2), uz zanemarenje vskoznost jer se nalazmo u području potencjalnog strujanja, te majuć na umu da se brzna tlak na vanjskom rubu grančnog sloja mjenjaju po zakonu v δ = v δ (x), p = p(x) prozlaz: v dv δ δ dx = 1 dp ρ dx (25) Korštenjem prethodno zvedenh zraza, dolaz se do Prandtlovh jednadžb za lamnarn grančn sloj, koje vrjede samo unutar grančnog sloja: 6
v x v x x + v y v x y = v δ dv δ dx + ν 2 v x y 2 (26) p y = 0 (27) v x x + v y y = 0 (28) uz rubne uvjete: v x = v y = 0 za y = 0 v x v za y (δ) v x = v x0 (y) za x = x 0 (ulazn brd) Prmjenom funkcje toka ψ(x, y) [10], koja je za ravnnsko strujanje defnrana pomoću sljedećh zraza: v x = ψ y (29) v y = ψ x (30) jednadžba kontnuteta (28) prelaz u oblk: 2 ψ x y 2 ψ x y = 0 (31) z čega je vdljvo da funkcja toka ψ(x, y) zadovoljava spomenutu jednadžbu. Jednadžba (27) ostaje sta, a jednadžba (26) prelaz u oblk: 7
ψ y 2 ψ x y ψ x 2 ψ y 2 = v δ dv δ dx + ν 3 ψ y 3 (32) p y = 0 (33) s rubnm uvjetma: ψ = 0 za y = 0 ψ y = ψ x = 0 za y = 0, x > 0 ψ y v δ za y δ, x R ψ y = v x0(y) za x = x 0 (ulazn brd) Prandtlove jednadžbe su nelnearne parcjalne dferencjalne jednadžbe čje analtčko rješenje nje poznato. Za razlku od Naver - Stokesovh jednadžb, koje su elptčkog tpa, ove jednadžbe su parabolčkog tpa. Jednadžbe elptčkog tpa karakterzra to da promjena stanja u nekoj točk strujanja zazva promjenu strujanja u čtavom području u kojemu je strujanje defnrano, dok jednadžbe parabolčkog tpa karakterzra da na stanje u promatranoj točk strujanja utječe samo stanje uzvodno od te točke, što znač da nje potrebno zadavat rubn uvjet na kraju ploče, odnosno na koordnat x = L. Promatra se beskonačno tanka beskonačno duga ravna ploča uronjena pod nultm napadnm kutem u jednolko paralelno strujanje neogrančenog, vskoznog, nestlačvog fluda konstantnom brznom v. Ishodšte Kartezjevog koordnatnog sustava Oxy postavljeno je na 8
ulazn brd ploče, koordnatna os Ox u uzdužnom smjeru ploče, te koordnatna os Oy u smjeru normale na ploču, to jest u smjeru okomtom na ploču. y p const. v (x) v v(y) x Slka 2. Lamnarn grančn sloj uz ravnu ploču U tom slučaju, kako je v konstantna brzna, jednadžba (32) postaje: ψ y 2 ψ x y ψ x 2 ψ y 2 = ν 3 ψ y 3 (34) a rubn uvjet glase: v x = ψ y = 0 za y = 0, x > 0 v y = ψ x = 0 za y = 0, x > 0 v x = ψ y = v za y, x R v x = ψ y = v za x = 0, y R {0} 9
Kako je na ulaznom brdu x = y = 0 to zahtjeva beskonačn gradjent brzne u toj točk, što predstavlja sngulartet u matematčkom smslu. S druge strane, pr optjecanju ploče se na prednoj stran pojavljuje točka zastoja. U okoln točke zastoja je brzna mala, pa Reynoldsov broj poprma nske vrjednost, tako da Prandtlove jednadžbe ne vrjede za to područje rad pretpostavke koje smo uvel u (19). Dakle, samo rješenje problema vrjed za vrjednost x veće od neke male udaljenost nzvodno od ulaznog brda. Ako Reynoldsov broj uvrstmo u (19), te prmjenom zraza (4) dobva se: δ x ~ 1 x v ν δ x ~ ν xv δ ~ νx v (35) Kako je red velčne od y jednak redu velčne od δ, to smo zrazom (34) dobl procjenu reda velčne za y. Taj zraz je dao deju Blasusu da se problem pokuša formulrat pomoću nove bezdmenzjske varjable η [11], koja je defnrana kao: η = y δ = y νx v = y v νx (36) Tražen profl brzne φ (η) možemo napsat u oblku: v x = ψ y = v φ (37) gdje je φ bezdmenzjsk profl brzne, odnosno, dervacja funkcje φ po η, odnosno φ = dφ dη = v x v. S druge strane, korsteć pravla z osnovne matematčke analze, zraz (37) možemo napsat kao: 10
v x = ψ y = ψ η η y = ψ η v νx (38) Nadalje, uspoređvanjem zraza (37) te (38) možemo psat: ψ η v νx = v φ ψ η = νxv φ (39) te se ntegracjom zraza (39) po η dolaz do: ψ = νxv φ (40) Korsteć zraz (40) pojedn članov u Prandtlovoj jednadžb (32) mogu se napsat u ovsnost o funkcj φ te njenm dervacjama, pa sljed: v x = ψ y = v φ (41) v y = ψ x = x ( νxv φ) = νv φ 1 2 x νxv φ η η x = 1 2 νv x φ + φ νxv 1 2 y v ν 1 x 3 = 1 2 νv x φ + 1 2 φ νv x η = 1 2 νv x φ ηφ 11
v y = 1 2 νv x ηφ φ (42) v x x = 2 ψ x y = = 1 2 v x ηφ (43) v x y = 2 ψ y 2 = = v v νx φ (44) 2 v x y 2 = 3 ψ y 3 = = v 2 νx φ (45) Uvrštavajuć jednadžbe (41) (45) u jednadžbu (34) Prandtlova parcjalna nelnearna dferencjalna jednadžba postaje občna nelnearna dferencjalna jednadžba trećeg reda kako sljed: 1 2 v φ v x ηφ + 1 2 νv x ηφ φ v v 2 νx φ = ν v νx φ z čega, sređvanjem jednadžbe (kraćenjem te djeljenjem sa v 2 sa x) dalje sljed: 1 2 φ ηφ + 1 2 φ ηφ 1 φφ = φ 2 te konačno, množenjem s 2, dobje se Blasusova dferencjalna jednadžba: 2φ + φφ = 0 (46) s rubnm uvjetma: φ = 0 za η = 0 φ = 0 za η = 0 12
φ = 1 za η Tme se zadatak sveo na određvanje funkcje φ(η) u ntervalu 0 < η <, koja zadovoljava občnu nelnearnu dferencjalnu jednadžbu (46) s prpadajućm rubnm uvjetma, što je, počevš od Naver - Stokesovh jednadžb (2) (3), te jednadžbe kontnuteta (1) znatno pojednostavljenje u matematčkom smslu. 13
3. Numerčka analza Kao što je već spomenuto, Blasusova dferencjalna jednadžba (46) sa prpadajućm rubnm uvjetma je občna nelnearna dferencjalna jednadžba trećeg reda, koja nema egzaktno analtčko rješenje. Ta jednadžba predstavlja problem grančne vrjednost u matematčkom smslu, gdje rubn uvjet nsu zadan u jednoj točk domene funkcje, nego u dvje (kao što je u ovom slučaju, na početku, te na kraju ntervala), l vše njh, odnosno jednadžba ne predstavlja Cauchyev problem [12] početne vrjednost gdje su sv rubn uvjet dferencjalne jednadžbe zadan na početku ntervala. Kroz povjest, gore spomenuta jednadžba se rješavala na razne načne. Sam Blasus je rješavao razvojem funkcje φ(η) u Taylorov red za male η, te asmptotskm razvojem za velke η zbog asmptotskog rubnog uvjeta φ ( ) = 1. Ta dva razvoja, koja na kraju rezultraju s tr nepoznate konstante ntegracje, usklađuju se tako da za područje u kojemu vrjede oba razvoja, funkcje φ, φ, φ moraju bt jednake, što na kraju daje tr jednadžbe s tr nepoznance. Töpfer je, s druge strane, rješavao jednadžbu tako da ju je transformrao u problem početne vrjednost, odnosno Cauchyev problem, koj ma prednost zato što su sv rubn uvjet zadan u jednoj točk, te je nakon takve transformacje jednadžbu rješavao numerčkm metodama. U ovom radu, za rješavanje jednadžbe korst se klasčna Runge Kutta metoda 4. reda (u daljnjem tekstu R - K metoda), čj je zvod detaljno opsan u [2], a zasnva se na aproksmacj nepoznate funkcje s njenom dervacjom koja ju u oblku polgona aproksmra u točkama udaljenm za korak h (koj može bt konstantan l varjablan). Važno je spomenut da se ovom metodom rješavaju občne dferencjalne jednadžbe prvog reda, te je potrebno blo kakvu dferencjalnu jednadžbu koja se promatra zrazt tako da na jednoj stran bude sama dervacja tražene funkcje. Funkcja koja je sama na jednoj stran jednadžbe, razvja se u Taylorov red, te je potrebno pretpostavt da je ona dovoljno dferencjablna. 14
Prje svega, zbog jednostavnost, dferencjalnu jednadžbu (46) pomoću jednostavnh supsttucja φ = y, te η = x zapsujemo u standardnom matematčkom oblku: 2y + yy = 0 (47) s rubnm uvjetma: y = 0 za x = 0 y = 0 za x = 0 y = 1 za x Kao što je spomenuto, R - K metoda može rješavat samo občne dferencjalne jednadžbe prvog reda, te je potrebno jednadžbu (47) jednostavnm supsttucjama zapsat kao sustav dferencjalnh jednadžb prvog reda [13] kako sljed: Uz y = u sljed 2u + yu = 0 Nadalje, uz: u = v sljed 2v + yv = 0 koje glase: Konačno, problem se svod na sustav od tr občne dferencjalne jednadžbe prvog reda y = u (48) u = v (49) v = 0.5y v (50) s rubnm uvjetma: y(0) = 0 u(0) = 0 15
u( ) = 1 Za svaku dferencjalnu jednadžbu defnraju se koefcjent funkcje prrasta [13] R - K metode, pa za (48) mamo: A 1 = h u (48a) A 2 = h (u + 0.5A 1 ) (48b) A 3 = h (u + 0.5A 2 ) (48c) A 4 = h (u + A 3 ) (48d) Gdje ndeks označuje broj teracje, a h korak. Za (49) one su slčne glase: B 1 = h v (49a) B 2 = h (v + 0.5B 1 ) (49b) B 3 = h (v + 0.5B 2 ) (49c) B 4 = h (v + B 3 ) (49d) Dok su za (50): C 1 = h ( 0.5y v ) (50a) C 2 = h [ 0.5y (v + 0.5C 1 )] (50b) C 3 = h [ 0.5y (v + 0.5C 2 )] (50c) C 4 = h [ 0.5y (v + C 3 )] (50d) Vrjednost funkcja y, u, v, funkcja φ, φ, φ se računaju prema sljedećm zrazma: 16
y +1 = y + 1 6 (A 1 + 2A 2 + 2A 3 + A 4 ) (51) u +1 = u + 1 6 (B 1 + 2B 2 + 2B 3 + B 4 ) (52) v +1 = v + 1 6 (C 1 + 2C 2 + 2C 3 + C 4 ) (53) gdje su funkcje 1 6 ( 1 + 2 2 + 2 3 + 4 ); = A, B, C, prpadajuće funkcje prrasta [2]. Kao što je vdljvo z jednadžb (51), (52) (53), vrjednost funkcja se računaju u čvorovma koj su određen korakom h. Nadalje je vdljvo, da b uopće započel s proračunom, potrebno je poznavat rubne uvjete na početku ntervala, odnosno vrjednost funkcja y 0, u 0, v 0 (to jest vrjednost th funkcja u točk 0), što nam je poznato za funkcje y u, međutm vrjednost v 0 nam je nepoznata te ju je potrebno odredt. Za njeno određvanje poslužt ćemo se metodom gađanja [14], čja je deja nać odgovarajuću vrjednost v 0 koja nakon provedbe algortma, zadovoljava rubn uvjet u( ) = 1. Međutm, da b se zbjeglo nasumčno pogađanje brojeva v 0 (pr čemu je jako mala vjerojatnost da se nađe odgovarajuć v 0 koj b zadovoljo u( ) = 1 s nekom prhvatljvom točnošću), zadaju se prve dvje razlčte vrjednost v 0 te se provedbom algortma u posebnom nzu koj ćemo nazvat β j zablježavaju vrjednost funkcje u( ). Pomoću zablježenh vrjednost se, za zadnje dvje teracje, lnearnom nterpolacjom l ekstrapolacjom određuje nova vrjednost v 0 koja b tada, po jednadžb pravca trebala zadovoljavat uvjet u( ) = 1. To se jednostavno može geometrjsk nterpretrat kao da se povuče pravac kroz dvje poznate točke, te se traž točka koja ma koordnatu (1, v 0 ), z čega odredmo sljedeć v 0 koj ponovno ulaz u svoj zasebn nz koj ćemo nazvat α j. Matematčka formula za lnearnu nterpolacju jednostavno se zvod u ovom slučaju glas: 17
α j = α j 2 + (α j 1 α j 2 ) 1 β j 2 β j 1 β j 2 (54) Pomoću tako zračunath zadnjh α β, određvat će se nov početn uvjet v 0 sve dok se ne zadovolj određena (zadana) točnost (odnosno dok se ne zadovolj uvjet β j 1 e). Potrebno je naglast da se konvergencja ovakve metode nje još uvjek teorjsk dokazala, ako u praks daje dobre rezultate za većnu problema, a uz to je vrlo lako uočt da metoda ne konvergra l da daje pogrešne rezultate. Još valja spomenut da je kroz praksu pokazano, da broj koraka j (odnosno brzna konvergencje) ovs o početnm vrjednostma koje se zadaju (α 0 α 1 ). Upravo zbog toga će se, z same fzke problema, procjent red velčne funkcje v (odnosno φ ). Ukolko φ z jednadžbe (44) stavmo na jednu stranu jednadžbe, a ostale vrjednost na drugu stranu dobjemo: v = φ = v x y νx v 3 (55) Sada će se u zrazu (55) procjent red velčne o svakog člana u odnosu na bazu 10 zanemarajuć fzkalne dmenzje buduć je φ bezdmenzjska funkcja, pa vrjed: ν ~ o(10-6 ) (56) v ~ o(10 0 ) (57) Pomoću zraza (56) (57), te da krtčn Reynoldsov broj, koj karakterzra prjelaz z lamnarnog u turbulentn režm strujanja, gdje naše jednadžbe vše ne vrjede, Re = x v ν ma red velčne o(10 6 ) [15], možemo procjent red velčne od x koj tada znos: x ~ o(10 0 ) (58) 18
Nadalje, pomoću (57), te uz δ L << 1, gdje možemo psat δ ~ o(10-3 ) [15], mamo: v x y ~ v δ ~ o(103 ) (59) No, tu je još potrebno napomenut da Prandtlove jednadžbe (26) (27), a tme naša Blasusova dferencjalna jednadžba (47) vrjede za p x < 0, što znač da se gbanje odvja nzvodno, to jest, da nema odvajanja strujanja (a potom moguće pojave natražnog strujanja), što povlač v x y (y = 0) > 0, [11]. Odnosno, gradjent brzne u smjeru okomtom na ploču mora bt poztvan broj, a kako je preostal član pod korjenom, zaključujemo da funkcja φ mora bt nenegatvna na cjeloj domen [16]. Sada, korštenjem (56) (59) vdmo da: v = φ ~ o(10 0 ) te se za prve dvje vrjednost v 0, odnosno za α o α 1 uzma: α o = 1 α 1 = 2. Treba napomenut da su ovako dobvene vrjednost samo aproksmacje koje mogu bt prlčno pogrešne (na kraju će se pokazat da je taj red velčne blž 10-1 ), međutm određvanje reda velčne v 0, pa barem prblžno uz neku grešku je korsno z razloga što, ukolko stavmo na prmjer velke vrjednost α o α 1 moguće je da će se, pr pokretanju algortma, susrest sa problemma koj su vezan za memorju računala ogrančenja programskog jezka. Još jedan problem je što je naš rubn uvjet u( ) = 1 defnran u beskonačnost, te b trebalo taj broj zamjent relatvno velkm brojem u kojemu se zadovoljava u 1. Kako je 19
krajnje nepraktčno unaprjed zadavat taj relatvno velk broj (odnosno zadavat broj koraka u for petlj čme drektno određujemo taj broj), te zvršavanjem programa znova gađat da bude zadovoljeno u 1 za spomenut broj, računanje funkcja u ekvdstantnm čvorovma računa se u whle petlj, z koje se zlaz dok se ne postgne uvjet u u 1 e, gdje je e unaprjed zadana točnost (u našem slučaju zabrat ćemo e = 10-10 ), odnosno rječma, zlazak z petlje se ostvaruje kada funkcja u bude konvergrala prema nekom broju. Tu treba bt oprezan zbog toga što metodom gađanja sam postavljamo rubn uvjet v 0, a z teorje dferencjalnh jednadžb je poznato da dferencjalna jednadžba, ovsno o rubnm uvjetma može mat jedno, vše, l nema rješenje, međutm, za većnu problema, rješenje će konvergrat bez obzra na rubne uvjete, što je ovdje slučaj. Uostalom, ukolko se dogod da rješenje ne konvergra, to se vrlo brzo u praks uoč, posebno z razloga što program javlja grešku u radu sa memorjom. Algortam za rješavanje dferencjalne jednadžbe (47) je napsan u programskom jezku Python, na čjem kraju se nalaze naredbe za grafčk prkaz funkcja y, u v u ovsnost o varjabl x, čje će se slke kasnje prkazat uz tablčne podatke u ekvdstantnm čvorovma. Programsk kod dan je u Prlogu 1. 20
4. Analza rezultata greške Prje zvršavanja programa opsanog u trećem poglavlju, potrebno je odredt korak h točnost e. Kako program Python korst double precson zaps realnh brojeva, njegova jednčna greška znos prblžno 1.11 10-16 prema [13], pa ćemo točnost e uzet 10-10 što je vše nego dovljno za praktčne potrebe jer je moguće da se prlkom velkog broja matematčkh operacja brojnh teracja ta greška nagomla do otprlke 10-10. S druge strane, korak h ćemo odredt na praktčan jednostavan načn. Ako želmo da maksmalna greška bude 10-6, znač da se prvh 6 decmalnh mjesta poslje decmalne točke ne mjenja daljnjm ustnjavanjem koraka. Dakle, pozvom programa za razne korake koje smo dakle konstantno smanjval, dobl smo sljedeće vrjednost v 0 : Tablca 1. Vrjednost v o (h) h 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000005 v o 0.3289821 0.3317485 0.3320266 0.3320557 0.3320589 Iz tablce 1 vdljvo je da, smanjvanjem koraka h, v o konvergra prema nekom broju koj je prblžno jednak 0.3320589, čme je ndrektno provjerena stablnost konvergencja R-K metode za zadan problem [17]. Daljnjm smanjvanjem koraka, vrjednost prvh šest decmalnh mjesta kod v o se ne mjenja, pa se može reć da je maksmalna moguća greška prblžno jednaka 10-6. Kako su konačno određen korak h točnost e, sada se može sa tm vrjednostma pokrenut program, koj će spsat vrjednost funkcja y, u v u svakom 40000-tom koraku (odnosno za x = 0, 0.2, 0.4... do krajnje vrjednost). Program spsuje kolku vrjednost poprma brojač j, odnosno potreban broj teracja metode gađanja koja je konačno dala takav v o da je zadovoljeno u(x ) = 1, gdje je s x označen x s kojm smo zamjenl našu beskonačnost, koj se također spsuje. 21
Tablca 2. Rezultat proračuna x (η) y (φ) u (φ ) v (φ ) 0.0 0.0000000 0.0000000 0.3320589 0.2 0.0066409 0.0664083 0.3319854 0.4 0.0265598 0.1327651 0.3314714 0.6 0.0597347 0.1989387 0.3300807 0.8 0.1061086 0.2647111 0.3273908 1.0 0.1655725 0.3297824 0.3230087 1.2 0.2379501 0.3937790 0.3165907 1.4 0.3229836 0.4562651 0.3078669 1.6 0.4203236 0.5167606 0.2966648 1.8 0.5295218 0.5747624 0.2829323 2.0 0.6500292 0.6297704 0.2667527 2.2 0.7811994 0.6813155 0.2483519 2.4 0.9222974 0.7289874 0.2280925 2.6 1.0725147 0.7724607 0.2064552 2.8 1.2309875 0.8115156 0.1840070 3.0 1.3968199 0.8460506 0.1613605 3.2 1.5691083 0.8760877 0.1391281 3.4 1.7469651 0.9017676 0.1178761 3.6 1.9295418 0.9233361 0.0980860 3.8 2.1160482 0.9411245 0.0801256 4.0 2.3057665 0.9555247 0.0642338 4.2 2.4980615 0.9669636 0.0505194 4.4 2.6923846 0.9758773 0.0389722 4.6 2.8882734 0.9826899 0.0294834 4.8 3.0853478 0.9877959 0.0218709 5.0 3.2833026 0.9915483 0.0159065 5.2 3.4818983 0.9942519 0.0113416 5.4 3.6809515 0.9961616 0.0079275 5.6 3.8803249 0.9974841 0.0054318 5.8 4.0799179 0.9983818 0.0036483 6.0 4.2796586 0.9989791 0.0024020 6.2 4.4794967 0.9993688 0.0015501 6.4 4.6793978 0.9996179 0.0009806 6.6 4.8793388 0.9997741 0.0006080 6.8 5.0793045 0.9998701 0.0003695 7.0 5.2792853 0.9999278 0.0002202 7.2 5.4792750 0.9999620 0.0001286 7.4 5.6792701 0.9999817 0.0000736 7.6 5.8792681 0.9999929 0.0000413 7.8 6.0792679 0.9999991 0.0000227 7.841615 6.1208830 1.0000000 0.0000200 22
Iz tablce 2 je vdljvo da je ntegracja zvršena do x = 7.841615, odnosno za taj x funkcja u poprma vrjednost 1. Nadalje je vdljvo da su funkcje y u rastuće na cjeloj domen, te da je funkcja v padajuća funckja. Zanmljvo je da, buduć u ma horzontalnu asmptotu u 1, tu vrjednost b mogl nterpretrat kao maksmum funkcje u, što b dovelo do zaključka, uz pretpostavku neprekdnost dervablnost funkcje u, da dervacja od u, odnosno funkcja v u toj točk, ma vrjednost 0, što je ako bolje pogledamo rezultate potvrđeno, jer se vd da kako x (η), funkcja v (φ ) 0, čme se s velkm oprezom može reć da su funkcja u, a tme funkcje y v neprekdne funkcje. Također, kao što je spomenuto, program spsuje koju vrjednost poprma brojač j, odnosno konvergencja prema konačnom početnom rubnom uvjetu v 0 koj daje vrjednost u(x ) = 1 je ostvarena u 8 koraka. Grafčk prkaz funkcja dan je na slkama 3, 4 5: Slka 3. Grafčk prkaz funkcje φ η, odnosno y x 23
Slka 4. Grafčk prkaz funkcje φ η, odnosno u x Slka 5. Grafčk prkaz funkcje φ η, odnosno v x 24
Vrlo zanmljva je čnjenca da je u programu zvršeno otprlke 188198760 računanja vrjednost raznh funkcja, dakle zvršeno je strahovto puno matematčkh opercacja u svega desetak sekund, što na ovakvom praktčnom prmjeru demonstrra velku moć današnjh računala. Dobven rezultat će se usporedt s Howarthovom ntegracjom, koja se danas korst za praktčne proračune, na načn da ćemo za nekolko razlčth vrjednost η u tablc 3 prkazat rezultate proračuna R - K metodom Howarthove, te njhovu apsolutnu vrjednost razlke Δ u posebnm stupcma, gdje je Δφ = φ R K dervacje, odnosno prpadnu funkcju: φ Howart h, dok * označuje red Tablca 3. Usporedba rezultata proračuna s Howarthovom ntegracjom R - K Howarth Δ η φ R K φ R K φ R K φ Howart h φ Howart h φ Howart h Δφ Δφ Δφ 0.0 0.0000000 0.0000000 0.3320589 0.0000000 0.0000000 0.3320570 0 0 1.89-E6 1.0 0.1655725 0.3297824 0.3230087 0.1655720 0.3297800 0.3230070 5.19E-7 2.45E-6 1.68E-6 2.0 0.6500292 0.6297704 0.2667527 0.6500240 0.6297660 0.2667520 5.22E-6 4.44E-6 6.57E-7 3.0 1.3968199 0.8460506 0.1613605 1.3968080 0.8460440 0.1613600 1.19E-5 6.60E-6 4.89E-7 4.0 2.3057665 0.9555247 0.0642338 2.3057460 0.9555180 0.0642340 2.05E-5 6.74E-6 2.47E-7 5.0 3.2833026 0.9915483 0.0159065 3.2832740 0.9915420 0.0159070 2.86E-5 6.27E-6 4.68E-7 6.0 4.2796586 0.9989791 0.0024020 4.2796210 0.9989730 0.0024020 3.76E-5 6.13E-6 3.74E-8 7.0 5.2792853 0.9999278 0.0002202 5.2792390 0.9999220 0.0002200 4.63E-5 5.84E-6 1.58E-7 7.8 6.0792679 0.9999991 0.0000227 6.0792140 0.9999930 0.0000230 5.39E-5 6.11E-6 2.94E-7 Iz tablce 3 je vdljvo da su dobven rezultat gotovo dentčn s Howarthovm, odsnosno njhova apsolutna razlka je u najgorem slučaju reda velčne 10-5, a ponegdje čak de do 10-8. Zanmljvo je da, kao što smo prje spomenul, R - K metoda konvergra za x = 7.841615, dok je rubn uvjet φ (x ) = 1 u Howarthovoj ntegracj zadovoljen za prblžno x 8.4, što je vjerojatno rezultat greške zaokružvanja [13]. 25
Kako su funkcje φ, φ te φ određene, vrlo jednostavnm matematčkm operacjama z jednadžbe (44) možemo odredt slu otpora ploča razlčth dmenzja u lamnarnom režmu strujanja, jer je tangecjalno naprezanje na površn ploče τ w dano zrazom [4]: τ w = μ v x y (za y = 0) (60) gdje je μ dnamčka vskoznost fluda, pa se ntegracjom tangencjalnog naprezanja po površn ploče dobje ukupna sla otpora: L D = B τ w dx 0 0.664 ρ v 2 BL Lv ν 1 2 (61) gdje je konstanta 0.664 dobvena zaokružvanjem na treću decmalu, što je vše nego dovoljno za praktčnu upotrebu, broja 0.6641178 koj je zračunat kao 2φ (0), z razloga što ploča ma dvje strance, to jest dvje površne po kojma treba ntegrrat, dok dmenzju šrne ploče možemo jednostavno zvuć spred znaka ntegrala, jer u smjeru šrne nema nkakvh promjena buduć se razmatra ravnnsk problem. 26
5. Zaključak Kao što je prkazano u radu, na relatvno jednostavan načn se rješo vrlo komplcran problem koj opsuju Naver - Stokesove jednadžbe, što je splatvj brž načn nego postavljanje provođenje ekspermentalnh sptvanja za što je potrebna skupa laboratorjska oprema koja uključuje bazen za modelska sptvanja. Jednostavnm algortmom koj se sastoj od ugnježđenh whle petlj, te korštenjem računala programskog jezka Python došl smo do rješenja Blasusove dferencjalne jednadžbe (47). Uspoređvanjem rezultata proračuna s Howarthovm, doprnjelo je točnost rješenja, te je pokazano da je ovako formran algortam krajnje stablan zrazto pouzdan za nženjersku prmjenu. Problem razmatran u ovom radu se kroz povjest ekspermentalno određvao, te je u [3] opsano da se ekspermentaln podac profla brzne odlčno podudaraju s Howarthovom ntegracjom, čme drektno možemo zaključt da se odlčno podudaraju s rješenjma dobvenm R - K metodom, što je zapanjujuće zbog velkog broja, ako zrazto opravdanh pretpostavk prblženja koje smo uvel u drugom poglavlju, te samh nesavršenost grešaka u artmetc računala. Na kraju rada smo na temelju rezultata dal zraz za određvanje sle otpora (61) ravne ploče u lamnarnom režmu strujanja, koj je krajnje jednostavan, koj pokazuje da tangecjalno naprezanje pada po zakonu τ w ~ 1 x u smjeru os x, što sljed ukolko bolje pogledamo jednadžbu (44) uzevš u obzr zraz za tangencjalno naprezanje (60). Tme je doprnos ukupnoj sl otpora to manj što je ploča dulja. Ovakvm razmatranjem se, kranje efkasno brzo, te dovoljno točno rješo temeljn problem moderne mehanke fluda. 27
6. Prlog 1 mport matplotlb.pyplot as plt from math mport * h=nput('upste korak:') e=nput('upste tocnost:') alpha=[] beta=[] alpha.append(nput('upste prvu vrjednost za alpha:')) alpha.append(nput('upste drugu vrjednost za alpha:')) =0 j=0 whle 1: whle j<2: =0 y=[0] u=[0] v=[] A1=[] A2=[] A3=[] A4=[] B1=[] B2=[] B3=[] B4=[] C1=[] C2=[] C3=[] C4=[] v.append(alpha[j]) 28
whle 1: A1.append(h*u[]) A2.append(h*(u[]+0.5*A1[])) A3.append(h*(u[]+0.5*A2[])) A4.append(h*(u[]+A3[])) y.append(y[]+(1./6.)*(a1[]+2.*a2[]+2.*a3[]+a4[])) B1.append(h*v[]) B2.append(h*(v[]+0.5*B1[])) B3.append(h*(v[]+0.5*B2[])) B4.append(h*(v[]+B3[])) u.append(u[]+(1./6.)*(b1[]+2.*b2[]+2.*b3[]+b4[])) C1.append(h*(-0.5*y[]*v[])) C2.append(h*(-0.5*y[]*(v[]+0.5*C1[]))) C3.append(h*(-0.5*y[]*(v[]+0.5*C2[]))) C4.append(h*(-0.5*y[]*(v[]+C3[]))) v.append(v[]+(1./6.)*(c1[]+2.*c2[]+2.*c3[]+c4[])) +=1 f abs(u[]-u[-1])<=e: break else: pass beta.append(u[]) j+=1 alpha.append(alpha[j-2]+((alpha[j-1]-alpha[j-2])*(1-beta[j-2]))/(beta[j-1]-beta[j-2])) y=[0] u=[0] 29
v=[] A1=[] A2=[] A3=[] A4=[] B1=[] B2=[] B3=[] B4=[] C1=[] C2=[] C3=[] C4=[] v.append(alpha[len(alpha)-1]) =0 whle 1: A1.append(h*u[]) A2.append(h*(u[]+0.5*A1[])) A3.append(h*(u[]+0.5*A2[])) A4.append(h*(u[]+A3[])) y.append(y[]+(1./6.)*(a1[]+2.*a2[]+2.*a3[]+a4[])) B1.append(h*v[]) B2.append(h*(v[]+0.5*B1[])) B3.append(h*(v[]+0.5*B2[])) B4.append(h*(v[]+B3[])) u.append(u[]+(1./6.)*(b1[]+2.*b2[]+2.*b3[]+b4[])) C1.append(h*(-0.5*y[]*v[])) 30
C2.append(h*(-0.5*y[]*(v[]+0.5*C1[]))) C3.append(h*(-0.5*y[]*(v[]+0.5*C2[]))) C4.append(h*(-0.5*y[]*(v[]+C3[]))) v.append(v[]+(1./6.)*(c1[]+2.*c2[]+2.*c3[]+c4[])) +=1 f abs(u[]-u[-1])<=e: break else: pass beta.append(u[]) f abs(beta[j]-1)<=e: break j+=1 prnt 'Konvergencja prema konacnom pocetnom rubnom uvjetu v(0) koj daje vrjednost u(beskonacno)=1 je ostvarena u', j,' koraka vrjednost funkcje v u 0 je prblzno v(0)=', alpha[len(alpha)-1] prnt 'Vrjednost funkcja se racunaju do vrjednost x=', *h,', odnosno za taj x je zadovoljen uvjet konvergencje funkcje u u beskonacnost sa zadanom tocnoscu' prnt y[0:len(y):40000] prnt y[len(y)-1] prnt u[0:len(u):40000] prnt u[len(u)-1] prnt v[0:len(v):40000] prnt v[len(v)-1] x=range(+1) for k n x: x[k]=h*x[k] 31
plt.plot(x,y) plt.ylabel('y') plt.xlabel('x') plt.show() plt.plot(x,u) plt.ylabel('u') plt.xlabel('x') plt.show() plt.plot(x,v) plt.ylabel('v') plt.xlabel('x') plt.show() 32
7. Zahvala Srdačno se zahvaljujemo asstentma Fakulteta strojarstva brodogradnje na Zavodu za brodogradnju pomorsku tehnku: Mat Grgću, Ivu Ćatpovću Jadrank Radanovć koj su nam djell dragocjene savjete prje početka u toku psanja rada. Također smo zrazto zahvaln profesorc sa Katedre za matematku Sanj Snger, koja je uvjek bla prstupačna za blo kakva ptanja vezana za samu numerčku matematku, te nam zrazto pomogla. Profesorc Božen Tokć sa Katedre za tehnčke strane jezke također dugujemo velku zahvalnost jer nam je bla od velke pomoć oko prjevoda sažetka rada na englesk jezk. Profesorca Nasta Degul sa Zavoda za brodogradnju pomorsku tehnku nam je nezmjerno pomogla u početku samog rada pr psanju rada, te smo joj na tome vrlo zahvaln. Konačno, posebnu zahvalnost dugujemo profesorc Andrej Werner na puno preporučene lterature, te još vše dobrh savjeta, najbtnje, jer nas je od početka do kraja vodla kroz ovaj rad svojm šrokm znanjem z spomenutog područja. 33
8. Pops lterature [1] Werner, A.: Podloge za predavanje z Mehanka fluda IIB, rukops FSB, Zagreb [2] Har, V., Drmač, Z., Marušć, M., Rogna, M., Snger, S., Snger, S.: Numerčka analza, predavanja vježbe, Sveučlšte u Zagrebu, PMF - matematčk odjel, Zagreb, (2003.) http://web.math.hr/~rogna/2001096/num_anal.pdf [3] Fancev, M.: Mehanka fluda, Tehnčka encklopedja, svezak broj 8 jugoslavenskog lekskografskog zavoda, Jugoslavensk lekskografsk zavod, Zagreb, (1982.) [4] Degul, N., Werner, A.: Mehanka fluda IB - podloge za nastavu http://www.fsb.hr/zbrodo/ [5] Kaplan, W.: Advanced calculus (4th edton), Addson Wesley Publshng Company, (1991.) [6] Pjush, K. K., Cohen, M. I.: Flud mechancs (2nd edton), Academc Press, (2002.) [7] Kreyszg, E.: Advanced engneerng mathematcs, John Whley & Sons, Inc., (2006.) [8] Batchelor, G. K.: An ntroducton to flud dynamcs, Cambrdge Unversty Press, (1998.) [9] Landau, L. D., Lfshtz, E. M.: Flud mechancs (2nd edton): Volume 6, Course of theoretcal physcs, Reed educatonal and Professonal Publshng Ltd, (1999.) [10] Nakayama, Y., Boucher R. F.: Introducton to flud mechancs, Butterworth - Henemann, (1998.) [11] Schlchtng, H.: Boundary - layer theory (7th edton), McGraw - Hll Book Company, (1979.) 34
[12] Kurepa, S.: Matematčka analza 2 (funkcje jedne varjable), Tehnčka knjga, Zagreb, (1990.) [13] Snger, S.: Numerčka matematka, predavanja, Zagreb, (2009.) [14] Pejovć, P.: Numerčka analza II. Deo, Naučna knjga, Beograd, (1983.) [15] Werner, A.: Odabrana poglavlja z mehanke fluda, zbrka zadataka, Fakultet strojarstva brodogradnje, Zagreb, (2002.) [16] Kurepa, S.: Matematčka analza 1 (dferencranje ntegrranje), Tehnčka knjga, Zagreb, (1989.) [17] Snger, S.: Matematka IX, Predavanja na FSB, Sveučlšte u Zagrebu, Fakultet strojarstva brodogradnje, Zagreb, (2007/8.) 35
Sažetak rada Vuko Vukčevć, Mhael Lobrovć Teorjsko - numerčk prstup problemu lamnarnog grančnog sloja oko ravne ploče U ovom radu se razmatra lamnarn grančn sloj uz ravnu ploču što predstavlja osnovn problem moderne mehanke fluda. Jednostavnm procjenama reda velčne je prkazano znatno pojednostavljenje početnh Naver - Stokesovh jednadžb, da b se, na kraju, uvođenjem bezdmenzjskog profla brzne, problem maksmalno teorjsk pojednostavno. Tako dobvena, občna nelnearna dferencjalna jednadžba, poznatja pod nazvom Blasusova dferencjalna jednadžba može se prmjenom računala vrlo jednostavno rješt nekom od numerčkh metoda. Klasčna Runge - Kutta metoda 4. reda, korštena u ovom radu, se pokazala kao zrazto jednostavna, efkasna, te vrlo točna metoda. Konačno, korštenjem dobvenh rezultata se odredo zraz za određvanje sle otpora ravne ploče u lamnarnom režmu strujanja što je od znmne važnost za razne tehnčke prmjene. Ključne rječ: lamnarn grančn sloj, ravna ploča, Blasusova dferencjalna jednadžba, Runge - Kutta metoda četvrtog reda, sla otpora 36
Summary Vuko Vukčevć, Mhael Lobrovć Theoretcal and numercal approach to lamnar boundary layer across a flat plate Lamnar boundary layer across a flat plate, whch s a fundamental problem of modern flud mechancs, s dealt wth n ths paper. A smple estmaton of the order of magntude resulted n equatons that were smpler than the ntal Naver - Stokes equatons. Subsequently, by ntroducng a dmensonless velocty profle, the problem was theoretcally smplfed to a maxmum. The resultng Blasus dfferental equaton, whch s an ordnary nonlnear dfferental equaton, can be easly solved by usng personal computers and some of numerous numercal methods. The classcal fourth order Runge - Kutta method, used n ths paper, has proven to be a smple, effectve, and a very accurate method. Fnally, usng the obtaned solutons, an expresson for the mplct calculaton of drag force of a flat plate n a lamnar flow was produced, whch s of great mportance for varous techncal applcatons. Key words: lamnar boundary layer, flat plate, Blasus dfferental equaton, fourth order Runge - Kutta method, drag force 37